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LISTA DE EXERCÍCIOS – Questões de Vestibulares


1) UFBA 92
                          1 2          3 − 1
                                            
Considere as matrizes A =  1 1  e B =  2 0 
                          2 1         3 1 
                                            
Sabendo-se que X é uma matriz simétrica e que AX = B, determine 12y11- 4y12, sendo
Y = (yij) = X-1
R) 4
2) UFBA 95

                         a b      2 - 1    - 2 3
Dadas as matrizes A =         B = 1 3  C =  4 1
                         c d                    
Pode-se afirmar:
(01) se A-1 = B, então b+c = 0
                   − 10 9 
(02) C t + B.C =  13 7  
                          

(04) A matriz B é uma matriz simétrica
(08) O produto da matriz A por sua transposta só é possível porque A é uma matriz
quadrada
                                                 − 3
(16) a soma dos termos da matriz X, tal que BX =   é igual a zero
                                                 2
R) 19
3) UFBA 90
       2 3     x  1
Sendo     .     y  = 3 , determine x – 5y
      5 7         
R) 7
4) UFBA 94
                                       1 2
                                                                        aij , se i = j
                                                                        
Considere as matrizes A = ( aij) 3x2 = 1 0 B = (bij) 2x3, sendo bij = 
                                                                      a ji , se i ≠ j
                                                                        
                                       0 1 
                                           
      1 1 
C=           uma matriz simétrica
       x 0
Indique as afirmativas verdadeiras:
I - a soma dos elementos da diagonal principal de C –1 tem módulo 1
xII – Existe a matriz S = Bt . At + C
                 2 4
III- A + B = 2 0 e BA é uma matriz quadrada
           t
                    
                0 2
                    
IV- det AB = 0
         1 1 0
V- B =          e x = -1
         2 0 1 
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(01) apenas as afirmativas I II e IV são verdadeiras
(02) apenas as afirmativas I III e IV são verdadeiras
(04) apenas as afirmativas I III e V são verdadeiras
(08) apenas as afirmativas II III e V são verdadeiras
(16) apenas as afirmativas II IV e V são verdadeiras

5) UFBA
          3 x + 5 y = 1
          
O sistema 2 x + z = 3
          5 x + py − z = 0
          
É impossível para um nº real p. Determine m = 3p
R)35

6) UFBA
                          3 − 1       2 0 
Dadas as matrizes A =    4 2  e B =  0 − 2  , considere a matriz X tal que X = A .
                                              
                                                                                      t

                                             
B- 6B –1. Sabendo que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua
diagonal principal, determine o traço da matriz X

R) 2
7) UFBA 88
                                                             2 3              − 1 0
Dadas as matrizes A = (aij) 2x2 e B = (bij) 2x2 , sendo A =           e B =  2 1 , pode-
                                                             − 1 4                 
se afirmar:
                                                                  4 − 3
(01)o produto da matriz M = [2 -1] pela matriz A é a matriz                 
                                                                  − 2 − 4
                                                                        1 5
(02) a soma da matriz A com a matriz transposta de B é a matriz               
                                                                        − 1 5

                                                                           2 0
(04) a matriz C = (cij) 2x2 onde cij = aij se i =j e cij = bij se i ≠ j é     
                                                                           2 4
                    a − 3
(08) a matriz M =            é simétrica da matriz A se a = -2 e b = 4
                   1 − b 
(16) a soma dos termos da matriz A = (aij) 2x2 e (bij) 2x2 tais que i < j é 5
(32) o determinante da matriz B é igual a 2
                                        − 1 0
(64) a matriz inversa da matriz B é            
                                        2 1
R) 78
8) UFBA

Seja a matriz A = ( a rs) 3x4 onde a       rs   = ( r+ s)2, calcule a soma dos elementos que
satisfazem a condição r > s

R) 50
9) UFBA 97
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                        x + 2 y + az = 0
                       
Considere o sistema bx + 3 z = −1
                        x + 3 y − 2 z = −2
                       
E sejam A: a matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas
         B: a matriz completa associada ao sistema
         C: a matriz dos termos independentes
Nessas condições, pose-se afirmar:
(01) sendo a = 1 e b = 2, A é uma matriz simétrica
(02) se a = b = -1 então o determinante de A = -5
                                    1 b     1
                                    2 0     3
(04) a matriz transposta de B é               
                                     a 3 − 2
                                              
                                     0 − 1 − 2
(08) para a = b = -1, a soma dos termos da 3ª coluna da matriz inversa de A é igual a –
3/2
             − 2(a + 1)
(16) A .C =     6     
                        
             
              −7      

(32) se S = ( m,n,p) é a solução do sistema para a = b = -1
então m+n+p = 19/4

R) 13

10) UFBA
                           2 4 2     5    8 − 3
                                               
Sejam as matrizes A =  0 5 0  e B =  − 7 − 4 2  Calcule o determinante
                          − 3 6 1    2    3 −1
                                               
associado à matriz A t - B


R) 86

11) UFBA 96

Sobre determinantes, matrizes e sistema de equações lineares, pode-se afirmar:
                  2 x + 3 y + kz = 0
                  
   (01) O sistema kx + 2 y + 2 z = 0 é determinado se k ≠ 2 e k ≠ 3
                  x + y + z = 0
                  
         a 2
              a 1 a 2 +1 a 1
   (02) b 2 b 1 = b 2 + 1 b 1
         c2   c 1     c 2 +1 c 1
    (03) Sendo a matriz quadrada de ordem 3, tal que det A = 5, tem-se que
    det (2A)= 10
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                  1 a b 
                              
    ( 08) Se A =  9 2 − 5  é matriz simétrica então a+b+c= 2
                 − 2 c 3 
                              
                    2 x − my = 3
    (16) O sistema               admire uma infinidade de soluções, se m=2 ou m = -2
                   mx − 2 y = 1
    (32) se A é matriz 3x4 e B é matriz 4x2, então 3A . 5B é matriz 3x2


               1  2 −3 − 4
               −3 −2 1  4
    (64) 4 .                    = 44
               0   0    0  0
               5   6   − 7 −8
R) 43

12) UFBA

             x + 2 y + z = 10
            
O sistema 3 x + 4 y = 12       é indeterminado para algum valor de a e de b.
            4 x + 2 y + az = b
            
Calcule a + b
R) 19
    13)(ITA-SP)
                                     2 x 0  2 3    y 
                                                      
    Dadas as matrizes reais A=  y 8 2  e B=  0 8   2 
                                     1 3 1   x 3 x − 2
                                                      
    Analise as afirmações
    I.      A = B sse x=3 e y=0
                    4 5 1
                                
    II.     A+B=  1 16 4  sse x=2 e y=1
                    3 6 1
                                
                 0  1
                   
    III.    A .  1  =  3  sse x=1
                 0   3
                   
    E conclua:
    a) apenas a afirmação II é verdadeira
    b) apenas a afirmação I é verdadeira
    c) as afirmações I e II são verdadeiras
    d) todas as afirmações são falsas
    e) apenas a afirmação I é falsa.
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14) UFBA
                     3 x + y + 4 z = 0
                      x + y + 3z = b
                     
Dado o sistema S=                      conclui-se
                     2 x − 3 y + z = 0
                     
                     
(01) ∆ x - ∆ é divisível por 5 , se b = -5
(02) 0 valor se x no sistema ∈ Z se b = -5
(04) ∆ y = 0 se b = 0
(08) o sistema admite solução (0, 0 ,0 ) se b = 0
                                                                 2
                                                                  
(16) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e C =  1  , então M . C não
                                                                 3
                                                                  
está definido.

(32) ) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e B é a matriz
 − 2 −1 0 
           
 3    4 5
 2    0 2
           
                 7    3   2 
                              
tem-se M – 2B =  − 5 − 7 − 13 
         t

                 0       −3 
                      3       

R) 45

15) UFBA 90

                                 1 0         2 − 1
                                 2 1         3 − 2
Calcule o determinante da matriz                  
                                 0 0         2 3
                                                  
                                 1 − 1       0 2
R)15

16) ITA 91
                        x + z + w = 0
                        
                         x + ky + k w = 1
                                     2
Considere o sistema P = 
                         x + ( K + 1) z + w = 1
                         x + z + kw = 2
                        



Podemos afirmar que P é possível e determinado quando:
a) k ≠ 0
b) k ≠ 1
c) k ≠ - 1
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d) k ≠ 0 e k ≠ - 1
e) n.d.a



17) ITA 96
                                                   3a − 1     7 a −1      8 a −3 
Seja a ∈ R e considere as matrizes reais 2x2, A =         eB=                    
                                                  − 1 3 
                                                        a
                                                                 7          2 −3 

O produto AB será inversível se somente se :
A) a 2 –5a +6 ≠ 0
B) a 2 – 2a +1 ≠ 0
C) a 2 –5a ≠ 0
D) a 2 –2a ≠ 0
E) a 2 – 3a ≠ 0



18) ITA

                      3 x − 2 y + z = 7
                      
Analisando o sistema  x + y − z = 0       concluímos que este é:
                       2 x + y − 2 z = −1
                      
a) possível e determinado com xyz = 7
b) possível e determinado com xyz = -8
c) possível e determinado com xyz = 6
d) possível e indeterminado
e) impossível

19) UFBA 89

Seja X a matriz 2x2 tal que A –1X tB =A
                     3 0          2 0
Sabendo-se que A =         e B = 0 1  calcule det X
                     2 2             
R) 18
20) UFBA 91

Chama-se matriz completa do sistema à matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e pelos termos independentes. Chama-se matriz principal do sistema a matriz
formada pelos coeficientes das incógnitas
Considerando o sistema
 x − z = 1
 kx + y + 3 z = 0
 
                   , pode-se afirmar:
  x + ky + 3 z = 1
 
 
(01) se k = 2 o sistema é determinado
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc    Page 7/13


                                              1    k 1
                                                         
                                              0    1 k
(02) a matriz transposta da matriz completa é 
                                                −1  3 3
                                                         
                                              1    0 1
                                                         
                                                         1 0 −1 
                                                                   
(04) a matriz inversa da matriz principal, quando k=0 é  0 1 1 / 3 
                                                         1 0 1 / 3
                                                                   


(08) o elemento a 23 da matriz principal A = (aij) 3x3 é 3
                                                                      1 00 − 1
                                                                              
(16) o produto da matriz ( 1 2 0 –1 ) pela matriz completa é a matriz  k 2
                                                                          0 0
                                                                       1 2k
                                                                          0 − 1
                                                                              
                       2 0 −1                                      3 0 − 2
                                                                          
(32) a soma da matriz  0 2 − 2  com a matriz principal é a matriz  k 3 1 
                       −1 0 −1                                    0 k 2 
                                                                          

R) 43


21 ) UFBA 2001

                                                   1 1       1 
                                                                
Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de 1 x + 1   2  é igual a – 1/4 ,
                                                   1 1     x − 3
                                                                
determine x

R) 2




22) UFBA 99

           a 1                                                 x        - 2
Sendo A = 
             2 b
                   com a+b = 4, a .b=3 e a<b, B = A-1, X =       y  e C =  1  , é verdade:
                                                                         
   (01) det A = 1



                  3 − 2
       (02) B =          
                 − 1 1 
       (04) det A . det B = 1
                                   2
       (08) se A.X = C, então X =  
                                   3
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc   Page 8/13


              0               2
(16) se BX =   , então X =    3
              0               
(32) det ( A+5B)t = 96                                            R) 05




23) UFBA 2000

                       a +1 0     1       1 1
                                                      1 0 1 
Dada as matrizes A =  0       1   a  , B=  0 1  e C = 
                                                          1 1 0  e sabendo-se
                                                                 
                        0                 1 0               
                              0 a + 1          
que detA = 4a , pode-se afirmar:

(01) a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a 6
(02) B + 2C t = 9B
                             1  2 − 1
(04) a matriz inversa de CB é          
                             3  −1 2 
                                       
                              x
                                 0
(08) as soluções do sistema C  y  =   são da forma ( x, -x, -x) , x ∈ R
                                       
                               z   0
                               
                  x   0
                    
(16) o sistema A  y  =  0  tem solução única
                  z   0
                    
                                                                R) 28


24 UFBA 2002

                                      3!        (-2) 2 
                                                               sen x cos x 
Considerando-se as matrizes A =                 − 1 −2  e B = 
                                                                 − cos x sen x  , é
                                                                                
                                      log 2 16 ( )                           
                                                 3     
correto afirmar:
(01) O determinante da matriz A é um número maior que 50
(02) A matriz B é inversível, qualquer que seja x ∈ R
(04) Existe x ∈ R, tal que o determinante da matriz A . B é menor que 36
                                                  π
(08) A matriz B é simétrica. Se e somente se x = + kπ , para algum k ∈ Z
                                                   2
(16) a matriz B é diagonal, se e somente se senx = ± 1

Resp. 26


24 UFBA 2002
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc   Page 9/13



Considerando-se                 as            matrizes              M               =
a 1 1             d                      x
                         1 0 1          
 b −1 1  , N =  2  , P = 
                              0 k 2  e X =  y  em que a, b, c, d , k são números
                                     
 c 0 0            0                    z
                                          
reais e c ≠ 0 , pode-se afirmar:
(01) M é inversível, e a soma dos termos da primeira coluna de M -1 é igual a 1, para
quaisquer valores a, b ∈ R com c ∈ R *

(02) O determinante da matriz 2M é igual a 4c
              3 / 2
(04) Se P.N = 
               1  , então d.k = 3/4
                    
                   
                                 0
                                 
(08) A solução do sistema M.X =  1  satisfaz a equação x+y+z = 0
                                 0
                                 
(16) Existem a, b ∈ R, c ∈ R * tais que M t = M
                                         0
(32) Para todo k ∈R, o sistema P.X =   é possível e indeterminado
                                         0
                                         

Resp. 45


UFBA 2003

                                           x + 2 y + kz = 1
                                          
Considerando-se o sistema de equações S :  x + y + z = −1 e as matrizes B =
                                          kx + y + z = 0
                                          
1 2 k             1          x
                              
 1 1 1  , C =  − 1 e X =  y  , sendo k um número real, pode-se afirmar:
k 1 1             0          z
                              
(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 )
                                                           1 2 − 2
                                                                       
(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B =  1 − 1 1 
                                                      -1

                                                           −1 1      1 
                                                                       
(04) S é um sistema determinado se k ≠ 1 e k ≠ 2
(08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0
(16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1
                                                           0
                                                           
(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é
                                                           0
                                                           
{( x , 0 , -x ) x ∈R }
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc   Page 10/13


       Resp 44

    UFMT
    Uma empresa fabrica três produtos.Suas despesas de produção estão divididas em
   três categorias (tabela I). Em cada uma dessas categorias,faz-se uma estimativa do custo
   de produção,de um único exemplar de cada produto. Faz-se ,também, uma estimativa da
   quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II)
   Tabela I
    Custo de produção por item(em dólares)
    Catrgorias                      produto
                      A              B           C
    Matéria prima     0,10           0,30        0,15
    Pessoal           0,30           0,40        0,25
    Depesas gerais    0,10           0,20        0,15

   Tabela II
   Quantidade produzida por estação
    Catrgorias     estação
                   verão         outono     inverno        primavera
    A              4000          4500       4500           4000
    B              2000          2600       2400           2200
    C               5800         6200       6000           6000
   As tabelas I e II podem ser representadas, respect.pelas matrizes
        0,10 0,30 0,15        4000 4500 4500 4000 
                                                       
   M=  0,30 0,40 0,25  e  2000 2600 2400 2200  . A empresa apresenta a seus
        0,10 0,20 0,15        5800 6200 6000 6000 
                                                       
   acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação se cada uma das três
   categorias:matéria prima,pessoal e despesas gerais. A partir das informações
   dadas,julgue os itens.
       0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz
            MP de ordem 3x4
       1) os elementos da 1ª linha de MP representam o custo total de matéria prima para
            cada uma das quatro estações
       2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares.

                 resp.0)v    1) v     2) Custo = 1900 dólares.

   Unifesp
                       1     0     2 
                                       
Considere a matriz A=  2 sen x     0  , onde x varia no conjunto dos números reais.
                       0         cos x 
                             2         
Calcule:
a) o determinante da matriz A
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc   Page 11/13


                   1
Resp. a) det A =     sen2x+8   b) v máx = 8,5 e v mín = 7,5
                   2
    UFBA

    Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, pode-se afirmar:
                   1 2         1 
                                  
       (01) Se A=  2 5 4 − 3 x  é matriz simétrica, então x ∈ ] - ∞ ,2]
                   1 x2        0 
                                  
       (02) Se B é uma matriz tal que [ 0 1 0 ] .B = [ 2 1 0], então a 2ª coluna da
                               2
            transposta de B é 1 
                               
                              0 
                               
       (04) Se as ordens das matrizes M, N, P e MN+P são respectivamente, 3xa, 2xb, cxd e
            3x3, então a+b+c+d=10

                     x − y + z = 0
      (08) O sistema                 tem como única solução ( 0 0 0 )
                     x + y + 2z = 0
                  a 1                       ax + y = 2
      (16) Se det      = 0, então s sistema 2 x + 2 y = 3 é determinado
                  2 b                       
                                                   x + y = 3
     (32) Se S1 é o conjunto solução do sistema                  e S2 é o conjunto solução do
                                                   2 x + 3 y = 7
            x − y = 1
    sistema               então S1 ∩ S2 = { ( 2 , 1 )}
            3 x − 3 y = 3

    R) 35


    UFBA 99
    Sobre determinantes, matrizes e sistemas de equações lineares, é verdade:
                   2 1
       (01) Se A = 
                    0 2  e X = A + A , então det X =65
                         
                                    -1    2            t

                        
                     2 3 1 
                                
        (02) Se A =  1 1 − 1 e f(x) = x2 –x +1, então f [( det A-1)] = ¾
                     1 2 0 
                                
                    1 sen x cos x 
                                        
        (04) Se A= 1       0        0  , então detA + sen2x = 0
                    1 − sen x cos x 
                                        
        (08) As retas 2x-3y=1 e x-y=3 interceptam-se no ponto (4 , 5)
                        2 x + 3 y − z = 2
                        
        (16) O sistema  x − y + z = 1     admite uma infinidade de soluções
                        x + y − z = 3
                        
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc     Page 12/13


                                                             x + mz = 0
                                                            
    (32) O conjunto de valores de m para os quais o sistema mx + y = 0 admite
                                                             x + my = 0
                                                            
    solução não-nula é { -1 , 0 , 1 }

    R) 38



    UFBA

         2 − 1
                          - 1 2 3      −1 a 
   A =− 2 2  ; B =       2 1 1  ; C =  3 6  , com a = det (A.B).
                                               
         0                                  
                1
   Considerando-se as matrizes acima, pode-se afirmar:
   (01) A.B é matriz inversível
   (02) det C + det (A.B) = 6
   (04) A.B + B.A = I3 , sendo I3 a matriz identidade de ordem3
 (08) det( Ct ) : det ( C-1 ) = 36
 (16) A matriz C + Ct é simétrica
                   x
 (32) Sendo X =   , B1 a matriz formada pela 1ª coluna de B e CX = B1, tem-se
                    y
                    
que x.y-1= -6

R) 58

(UFBA 2006 – 1ª etapa)

Os estoques de gasolina,álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em
milhares de litros, na tabela a seguir, sendo c e k números reais não negativos.


                           Gasolina          Álcool                      Diesel
Posto 1                      2                    1                      1
Posto 2                     1                     4                       k
Posto 3                      c                    k                      1


Seja M a matriz formada pelos estoques da cada combustível em cada posto, na mesma
disposição da tabela dada. Sabe-se que o preço por litro de cada combustível é o mesmo
nos três postos.
Com base nessas informações, é correto afirmar:
01) Se c = 1, então a matriz M2 é simétrica.
02) Se c = 1, então a matriz M é inversível, para todo k ∈ [ 0, + ∞ [.
04) Se c = 3, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ para o qual e determinante da matriz M é nulo.
08) Conhecendo-se os preços por litro de álcool e de diesel e sabendo-se que o primeiro
é maior que o segundo, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ tal que a soma dos estoques desses
dois combustíveis, no posto 2, é igual a mesma soma no posto3.
Arquivo: Questões matrizes-2003.doc   Page 13/13


16) Assumindo-se que c = 3, k = = e que a soma dos valores dos estoques nos postos 1,
2 e 3 são, respectivamente, R$8800,00, R$ 10800,00 e R$9600,00, então a soma dos
preços, por litro, de cada combustível é igual a R$6,00.

R) 01 + 08 + 16 = 25

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  • 1. LISTA DE EXERCÍCIOS – Questões de Vestibulares 1) UFBA 92 1 2  3 − 1     Considere as matrizes A =  1 1  e B =  2 0  2 1 3 1      Sabendo-se que X é uma matriz simétrica e que AX = B, determine 12y11- 4y12, sendo Y = (yij) = X-1 R) 4 2) UFBA 95 a b  2 - 1 - 2 3 Dadas as matrizes A =   B = 1 3  C =  4 1 c d      Pode-se afirmar: (01) se A-1 = B, então b+c = 0  − 10 9  (02) C t + B.C =  13 7     (04) A matriz B é uma matriz simétrica (08) O produto da matriz A por sua transposta só é possível porque A é uma matriz quadrada − 3 (16) a soma dos termos da matriz X, tal que BX =   é igual a zero 2 R) 19 3) UFBA 90  2 3 x  1 Sendo  .  y  = 3 , determine x – 5y 5 7      R) 7 4) UFBA 94 1 2 aij , se i = j  Considere as matrizes A = ( aij) 3x2 = 1 0 B = (bij) 2x3, sendo bij =    a ji , se i ≠ j  0 1    1 1  C=   uma matriz simétrica  x 0 Indique as afirmativas verdadeiras: I - a soma dos elementos da diagonal principal de C –1 tem módulo 1 xII – Existe a matriz S = Bt . At + C  2 4 III- A + B = 2 0 e BA é uma matriz quadrada t   0 2   IV- det AB = 0 1 1 0 V- B =   e x = -1 2 0 1 
  • 2. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 2/13 (01) apenas as afirmativas I II e IV são verdadeiras (02) apenas as afirmativas I III e IV são verdadeiras (04) apenas as afirmativas I III e V são verdadeiras (08) apenas as afirmativas II III e V são verdadeiras (16) apenas as afirmativas II IV e V são verdadeiras 5) UFBA 3 x + 5 y = 1  O sistema 2 x + z = 3 5 x + py − z = 0  É impossível para um nº real p. Determine m = 3p R)35 6) UFBA  3 − 1 2 0  Dadas as matrizes A =   4 2  e B =  0 − 2  , considere a matriz X tal que X = A .    t     B- 6B –1. Sabendo que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, determine o traço da matriz X R) 2 7) UFBA 88  2 3  − 1 0 Dadas as matrizes A = (aij) 2x2 e B = (bij) 2x2 , sendo A =   e B =  2 1 , pode-  − 1 4   se afirmar:  4 − 3 (01)o produto da matriz M = [2 -1] pela matriz A é a matriz    − 2 − 4  1 5 (02) a soma da matriz A com a matriz transposta de B é a matriz    − 1 5  2 0 (04) a matriz C = (cij) 2x2 onde cij = aij se i =j e cij = bij se i ≠ j é    2 4  a − 3 (08) a matriz M =   é simétrica da matriz A se a = -2 e b = 4 1 − b  (16) a soma dos termos da matriz A = (aij) 2x2 e (bij) 2x2 tais que i < j é 5 (32) o determinante da matriz B é igual a 2  − 1 0 (64) a matriz inversa da matriz B é    2 1 R) 78 8) UFBA Seja a matriz A = ( a rs) 3x4 onde a rs = ( r+ s)2, calcule a soma dos elementos que satisfazem a condição r > s R) 50 9) UFBA 97
  • 3. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 3/13  x + 2 y + az = 0  Considere o sistema bx + 3 z = −1  x + 3 y − 2 z = −2  E sejam A: a matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas B: a matriz completa associada ao sistema C: a matriz dos termos independentes Nessas condições, pose-se afirmar: (01) sendo a = 1 e b = 2, A é uma matriz simétrica (02) se a = b = -1 então o determinante de A = -5 1 b 1 2 0 3 (04) a matriz transposta de B é    a 3 − 2    0 − 1 − 2 (08) para a = b = -1, a soma dos termos da 3ª coluna da matriz inversa de A é igual a – 3/2 − 2(a + 1) (16) A .C =  6     −7   (32) se S = ( m,n,p) é a solução do sistema para a = b = -1 então m+n+p = 19/4 R) 13 10) UFBA  2 4 2  5 8 − 3     Sejam as matrizes A =  0 5 0  e B =  − 7 − 4 2  Calcule o determinante − 3 6 1  2 3 −1     associado à matriz A t - B R) 86 11) UFBA 96 Sobre determinantes, matrizes e sistema de equações lineares, pode-se afirmar: 2 x + 3 y + kz = 0  (01) O sistema kx + 2 y + 2 z = 0 é determinado se k ≠ 2 e k ≠ 3 x + y + z = 0  a 2 a 1 a 2 +1 a 1 (02) b 2 b 1 = b 2 + 1 b 1 c2 c 1 c 2 +1 c 1 (03) Sendo a matriz quadrada de ordem 3, tal que det A = 5, tem-se que det (2A)= 10
  • 4. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 4/13  1 a b    ( 08) Se A =  9 2 − 5  é matriz simétrica então a+b+c= 2 − 2 c 3     2 x − my = 3 (16) O sistema  admire uma infinidade de soluções, se m=2 ou m = -2 mx − 2 y = 1 (32) se A é matriz 3x4 e B é matriz 4x2, então 3A . 5B é matriz 3x2 1 2 −3 − 4 −3 −2 1 4 (64) 4 . = 44 0 0 0 0 5 6 − 7 −8 R) 43 12) UFBA  x + 2 y + z = 10  O sistema 3 x + 4 y = 12 é indeterminado para algum valor de a e de b. 4 x + 2 y + az = b  Calcule a + b R) 19 13)(ITA-SP)  2 x 0 2 3 y      Dadas as matrizes reais A=  y 8 2  e B=  0 8 2   1 3 1  x 3 x − 2     Analise as afirmações I. A = B sse x=3 e y=0 4 5 1   II. A+B=  1 16 4  sse x=2 e y=1 3 6 1    0  1     III. A .  1  =  3  sse x=1  0   3     E conclua: a) apenas a afirmação II é verdadeira b) apenas a afirmação I é verdadeira c) as afirmações I e II são verdadeiras d) todas as afirmações são falsas e) apenas a afirmação I é falsa.
  • 5. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 5/13 14) UFBA 3 x + y + 4 z = 0  x + y + 3z = b  Dado o sistema S=  conclui-se 2 x − 3 y + z = 0   (01) ∆ x - ∆ é divisível por 5 , se b = -5 (02) 0 valor se x no sistema ∈ Z se b = -5 (04) ∆ y = 0 se b = 0 (08) o sistema admite solução (0, 0 ,0 ) se b = 0 2   (16) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e C =  1  , então M . C não 3   está definido. (32) ) sendo M a matriz dos coeficientes das incógnitas de S e B é a matriz  − 2 −1 0     3 4 5  2 0 2    7 3 2    tem-se M – 2B =  − 5 − 7 − 13  t  0 −3   3  R) 45 15) UFBA 90 1 0 2 − 1 2 1 3 − 2 Calcule o determinante da matriz   0 0 2 3   1 − 1 0 2 R)15 16) ITA 91 x + z + w = 0   x + ky + k w = 1 2 Considere o sistema P =   x + ( K + 1) z + w = 1  x + z + kw = 2  Podemos afirmar que P é possível e determinado quando: a) k ≠ 0 b) k ≠ 1 c) k ≠ - 1
  • 6. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 6/13 d) k ≠ 0 e k ≠ - 1 e) n.d.a 17) ITA 96  3a − 1 7 a −1 8 a −3  Seja a ∈ R e considere as matrizes reais 2x2, A =   eB=   − 1 3  a  7 2 −3  O produto AB será inversível se somente se : A) a 2 –5a +6 ≠ 0 B) a 2 – 2a +1 ≠ 0 C) a 2 –5a ≠ 0 D) a 2 –2a ≠ 0 E) a 2 – 3a ≠ 0 18) ITA 3 x − 2 y + z = 7  Analisando o sistema  x + y − z = 0 concluímos que este é:  2 x + y − 2 z = −1  a) possível e determinado com xyz = 7 b) possível e determinado com xyz = -8 c) possível e determinado com xyz = 6 d) possível e indeterminado e) impossível 19) UFBA 89 Seja X a matriz 2x2 tal que A –1X tB =A 3 0   2 0 Sabendo-se que A =   e B = 0 1  calcule det X 2 2    R) 18 20) UFBA 91 Chama-se matriz completa do sistema à matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. Chama-se matriz principal do sistema a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas Considerando o sistema x − z = 1 kx + y + 3 z = 0   , pode-se afirmar:  x + ky + 3 z = 1   (01) se k = 2 o sistema é determinado
  • 7. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 7/13 1 k 1   0 1 k (02) a matriz transposta da matriz completa é  −1 3 3   1 0 1    1 0 −1    (04) a matriz inversa da matriz principal, quando k=0 é  0 1 1 / 3   1 0 1 / 3   (08) o elemento a 23 da matriz principal A = (aij) 3x3 é 3 1 00 − 1   (16) o produto da matriz ( 1 2 0 –1 ) pela matriz completa é a matriz  k 2 0 0  1 2k 0 − 1    2 0 −1  3 0 − 2     (32) a soma da matriz  0 2 − 2  com a matriz principal é a matriz  k 3 1   −1 0 −1 0 k 2      R) 43 21 ) UFBA 2001 1 1 1    Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de 1 x + 1 2  é igual a – 1/4 , 1 1 x − 3   determine x R) 2 22) UFBA 99 a 1   x - 2 Sendo A =  2 b com a+b = 4, a .b=3 e a<b, B = A-1, X =  y  e C =  1  , é verdade:       (01) det A = 1  3 − 2 (02) B =   − 1 1  (04) det A . det B = 1  2 (08) se A.X = C, então X =    3
  • 8. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 8/13 0  2 (16) se BX =   , então X =  3 0   (32) det ( A+5B)t = 96 R) 05 23) UFBA 2000 a +1 0 1  1 1     1 0 1  Dada as matrizes A =  0 1 a  , B=  0 1  e C =  1 1 0  e sabendo-se   0  1 0    0 a + 1   que detA = 4a , pode-se afirmar: (01) a soma dos elementos da diagonal principal de A é igual a 6 (02) B + 2C t = 9B 1  2 − 1 (04) a matriz inversa de CB é   3  −1 2    x    0 (08) as soluções do sistema C  y  =   são da forma ( x, -x, -x) , x ∈ R    z   0    x   0     (16) o sistema A  y  =  0  tem solução única  z   0     R) 28 24 UFBA 2002  3! (-2) 2     sen x cos x  Considerando-se as matrizes A =  − 1 −2  e B =   − cos x sen x  , é   log 2 16 ( )     3  correto afirmar: (01) O determinante da matriz A é um número maior que 50 (02) A matriz B é inversível, qualquer que seja x ∈ R (04) Existe x ∈ R, tal que o determinante da matriz A . B é menor que 36 π (08) A matriz B é simétrica. Se e somente se x = + kπ , para algum k ∈ Z 2 (16) a matriz B é diagonal, se e somente se senx = ± 1 Resp. 26 24 UFBA 2002
  • 9. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 9/13 Considerando-se as matrizes M = a 1 1 d  x     1 0 1    b −1 1  , N =  2  , P =   0 k 2  e X =  y  em que a, b, c, d , k são números   c 0 0 0   z       reais e c ≠ 0 , pode-se afirmar: (01) M é inversível, e a soma dos termos da primeira coluna de M -1 é igual a 1, para quaisquer valores a, b ∈ R com c ∈ R * (02) O determinante da matriz 2M é igual a 4c 3 / 2 (04) Se P.N =   1  , então d.k = 3/4     0   (08) A solução do sistema M.X =  1  satisfaz a equação x+y+z = 0  0   (16) Existem a, b ∈ R, c ∈ R * tais que M t = M  0 (32) Para todo k ∈R, o sistema P.X =   é possível e indeterminado  0   Resp. 45 UFBA 2003  x + 2 y + kz = 1  Considerando-se o sistema de equações S :  x + y + z = −1 e as matrizes B = kx + y + z = 0  1 2 k  1 x        1 1 1  , C =  − 1 e X =  y  , sendo k um número real, pode-se afirmar: k 1 1 0 z       (01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha ( 1 1 k-1 )  1 2 − 2   (02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B =  1 − 1 1  -1  −1 1 1    (04) S é um sistema determinado se k ≠ 1 e k ≠ 2 (08) O terno ( -1, 1, -1 ) é a única solução do sistema S, para k = 0 (16) O sistema S é possível e indeterminado, para k = 1  0   (32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é  0   {( x , 0 , -x ) x ∈R }
  • 10. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 10/13 Resp 44 UFMT Uma empresa fabrica três produtos.Suas despesas de produção estão divididas em três categorias (tabela I). Em cada uma dessas categorias,faz-se uma estimativa do custo de produção,de um único exemplar de cada produto. Faz-se ,também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por estação (tabela II) Tabela I Custo de produção por item(em dólares) Catrgorias produto A B C Matéria prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25 Depesas gerais 0,10 0,20 0,15 Tabela II Quantidade produzida por estação Catrgorias estação verão outono inverno primavera A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 As tabelas I e II podem ser representadas, respect.pelas matrizes  0,10 0,30 0,15   4000 4500 4500 4000      M=  0,30 0,40 0,25  e  2000 2600 2400 2200  . A empresa apresenta a seus  0,10 0,20 0,15   5800 6200 6000 6000      acionistas uma única tabela mostrando o custo total por estação se cada uma das três categorias:matéria prima,pessoal e despesas gerais. A partir das informações dadas,julgue os itens. 0) a tabela apresentada pela empresa a seus acionistas é representada pela matriz MP de ordem 3x4 1) os elementos da 1ª linha de MP representam o custo total de matéria prima para cada uma das quatro estações 2) o custo com despesas gerais para o outono será de 2160 dólares. resp.0)v 1) v 2) Custo = 1900 dólares. Unifesp 1 0 2    Considere a matriz A=  2 sen x 0  , onde x varia no conjunto dos números reais. 0 cos x   2  Calcule: a) o determinante da matriz A b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
  • 11. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 11/13 1 Resp. a) det A = sen2x+8 b) v máx = 8,5 e v mín = 7,5 2 UFBA Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, pode-se afirmar: 1 2 1    (01) Se A=  2 5 4 − 3 x  é matriz simétrica, então x ∈ ] - ∞ ,2] 1 x2 0    (02) Se B é uma matriz tal que [ 0 1 0 ] .B = [ 2 1 0], então a 2ª coluna da  2 transposta de B é 1    0    (04) Se as ordens das matrizes M, N, P e MN+P são respectivamente, 3xa, 2xb, cxd e 3x3, então a+b+c+d=10 x − y + z = 0 (08) O sistema  tem como única solução ( 0 0 0 ) x + y + 2z = 0 a 1  ax + y = 2 (16) Se det   = 0, então s sistema 2 x + 2 y = 3 é determinado 2 b  x + y = 3 (32) Se S1 é o conjunto solução do sistema  e S2 é o conjunto solução do 2 x + 3 y = 7 x − y = 1 sistema  então S1 ∩ S2 = { ( 2 , 1 )} 3 x − 3 y = 3 R) 35 UFBA 99 Sobre determinantes, matrizes e sistemas de equações lineares, é verdade: 2 1 (01) Se A =   0 2  e X = A + A , então det X =65  -1 2 t   2 3 1    (02) Se A =  1 1 − 1 e f(x) = x2 –x +1, então f [( det A-1)] = ¾ 1 2 0    1 sen x cos x    (04) Se A= 1 0 0  , então detA + sen2x = 0 1 − sen x cos x    (08) As retas 2x-3y=1 e x-y=3 interceptam-se no ponto (4 , 5) 2 x + 3 y − z = 2  (16) O sistema  x − y + z = 1 admite uma infinidade de soluções x + y − z = 3 
  • 12. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 12/13  x + mz = 0  (32) O conjunto de valores de m para os quais o sistema mx + y = 0 admite  x + my = 0  solução não-nula é { -1 , 0 , 1 } R) 38 UFBA  2 − 1    - 1 2 3 −1 a  A =− 2 2  ; B =   2 1 1  ; C =  3 6  , com a = det (A.B).     0       1 Considerando-se as matrizes acima, pode-se afirmar: (01) A.B é matriz inversível (02) det C + det (A.B) = 6 (04) A.B + B.A = I3 , sendo I3 a matriz identidade de ordem3 (08) det( Ct ) : det ( C-1 ) = 36 (16) A matriz C + Ct é simétrica x (32) Sendo X =   , B1 a matriz formada pela 1ª coluna de B e CX = B1, tem-se  y   que x.y-1= -6 R) 58 (UFBA 2006 – 1ª etapa) Os estoques de gasolina,álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em milhares de litros, na tabela a seguir, sendo c e k números reais não negativos. Gasolina Álcool Diesel Posto 1 2 1 1 Posto 2 1 4 k Posto 3 c k 1 Seja M a matriz formada pelos estoques da cada combustível em cada posto, na mesma disposição da tabela dada. Sabe-se que o preço por litro de cada combustível é o mesmo nos três postos. Com base nessas informações, é correto afirmar: 01) Se c = 1, então a matriz M2 é simétrica. 02) Se c = 1, então a matriz M é inversível, para todo k ∈ [ 0, + ∞ [. 04) Se c = 3, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ para o qual e determinante da matriz M é nulo. 08) Conhecendo-se os preços por litro de álcool e de diesel e sabendo-se que o primeiro é maior que o segundo, então existe k ∈ [ 0, + ∞ [ tal que a soma dos estoques desses dois combustíveis, no posto 2, é igual a mesma soma no posto3.
  • 13. Arquivo: Questões matrizes-2003.doc Page 13/13 16) Assumindo-se que c = 3, k = = e que a soma dos valores dos estoques nos postos 1, 2 e 3 são, respectivamente, R$8800,00, R$ 10800,00 e R$9600,00, então a soma dos preços, por litro, de cada combustível é igual a R$6,00. R) 01 + 08 + 16 = 25