O documento apresenta técnicas algébricas como fatoração, frações algébricas e racionalização para resolver equações. Inclui exemplos de fatoração de expressões, diferença de quadrados, trinômio perfeito e exercícios para praticar estas técnicas.

1. FATORAÇÃO, FRAÇÕES ALGÉBRICAS, RACIONALIZAÇÃO, EQUAÇÕES,
x − 3x − 2 = 0
2
| x − 2 |= 5
3 = 81
x
Log 2 ( x − 2) = 3
Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de
energia elétrica. Se a potência P (em watts) que um
certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela
relação P(i) = 20i – 5i2, em que i é a intensidade da
5 x − 2 = 13 corrente elétrica que atravessa o gerador, determine os
pontos em que p(i) = 0
PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
Apostila 2
1

2. AS TÉCNICAS ALGÉGRICAS
As formas de fatoração
O que significa fatorar?
Quais as aplicações das técnicas de fatoração?
Quais as fatorações mais freqüentes?
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos;
através dela conseguimos resolver situações mais complexas.
O processo de transformar uma soma em produto é denominado fatoração.
A fatoração aplica-se em diferentes contextos e constitui-se um elemento importante
como facilitador de muitos algoritmos.
O processo de fatoração envolve diferentes técnicas
1º caso: fator comum em evidência.
Vamos brincar um pouquinho para não esquecer mais de fatorar.
Vejam as imagens:
5 +3 = (5+3)=8 se indicarmos as vaquinhas por v temos o
seguinte:
5v + 3v = v(5+3) = 8v, neste caso temos que as vacas são comuns então é possível
somar as quantidades.
Agora vejamos outra situação:
+ neste caso o que se apresenta comum?
( + 1) se representarmos então por letras vamos ter:
vtp + vt = vt(p+1) ou ainda podemos escrever que:
xyz + xy = xy(z+1), este processo de fatorar é essencial para resolver equações
incompletas, por exemplo:
x² - 3x = 0
x(x-3) = 0 logo
x = 0 e x = 3 S = {0,3}
Observação importante: O fator comum em evidência só é possível quando todos os
termos têm em comum o fator a ser evidenciado;
Quando todos os termos tem o fator comum é sempre o de menor expoente que se
evidencia.
Outros exemplos:
x³y – xy² observe que tanto o x quanto o y são comuns logo fica o de menor expoente.
x³y – xy² = xy(x²-y).
Outros exemplos:
a) a² + ab – a b) bx²- 3bx c) 4x + 2x² - 6x
2º caso: Fatoração por agrupamento:
+ + +
Vejam que aqui é necessário agrupar em dois grupos de dois termos:
2

3. assim fica
( + )+ ( + ) aqui é que está o detalhe:
Entre os dois grupos formados o que repete e o que sobra:
( + )( + ) agora vamos trocar por letras:
vt + tp + cv + cp no primeiro grupo temos o t em comum e no segundo grupo temos
o c em comum assim fica:
t(v + p) + c(v + p) agora é facil identificar que o (v+p) é comum nos dois grupos
assim:
(v + p) (t + c).
Outros exemplos:
a) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b ( x + y) b) ax³ + bx² + ax + b
= (x + y) ( a + b)
Geometricamente temos o seguinte
c) ax + ay – 2x – 2y d) x³ - 3x² - 4x + 12
3º caso: a diferença de dois quadrados
Você pode deslocar uma parte do quadrado e visualiza a
mesma região da seguinte forma:
Pode visualizar a fatoração a² - b²= (a-b)(a+b) pela região retangular formada.
3

4. Algebricamente pode-se fatorar da seguinte forma
Assim fica (a + b).(a - b)
Outro exemplo:
Fatorar a expressão 16x² - 25 temos o seguinte processo algébrico:
Veja a seguinte imagem:
4º caso: Trinômio do quadrado perfeito
A área do quadrado da figura corresponde a ( a+b ).( a + b) = a² + 2ab + b²
Algebricamente temos
4

5. Exemplos: Fatore as expressões:
a) x² - 4x + 4 b) 4x² - 12x + 9 c) x 4 − 8 x ² + 16
Resumindo temos
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
(a² - b²) = (a-b)(a + b)
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a − b)² = a ² − 2ab + b ²
O CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
( x + y )3 = ( x ³ + 3 x ² y + 3 xy ² + y ³)
O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
( x − y )3 = ( x ³ − 3 x ² y + 3 xy ² − y ³)
A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
x 3 − y 3 = ( x − y )( x ² + xy + y ²)
A SOMA DE DOIS CUBOS
x 3 + y 3 = ( x + y )( x ² − xy + y ²)
Os casos de fatoração são indispensáveis aos processos de cálculo envolvendo
frações algébricas e mais tarde as funções racionais.
O domínio das técnicas de fatoração permitem ao engenheiro civil a resolução
de diferentes problemas que envolvem os processo de simplificação.
Vamos exercitar cada caso de fatoração aplicando-os nas simplificações.
1) Fatore em R as seguintes expressões respeitando seus campos de definição e
simplifique quando possível.
x+3 x² − 4 x + 4 x −1 x−4
a) b) c) d) 2
x² + 6 x + 9 ( x − 2) ax + a + bx + b x − 16
5

6. e) 3x – 12 f) x³ - 8 g) x³ + 8 h) x³ + 6x² + 12x + 8
x 3 + 27 ( x + h) 2 − x 2 ( x − 3) 2 − 9
i) 2x³ - 54 j) = l) m)
x+3 h x
O estudo dos processos de fatoração facilitam o processo resolutivo de muitas
equações. No próximo item vamos conhecer os diferentes processos resolutivos das
equações.
Para iniciar nossos estudos sobre as equações vale a pena ressaltar que as equações
apresentam-se nas mais diferentes situações do contexto. Desde os tempos mais remotos
muitos matemáticos dedicaram-se ao estudo das equações. Mas vale questionar:
O que são as equações?
Como diferenciar os variados tipos de equações?
Como determinar o conjunto solução de uma equação?
Acompanhe esse famoso quebra-cabeça hindu do século VII:
Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados
Uma fileira de pérolas escapou
A sexta parte ao solo caiu
A quinta parte na cama ficou
Um terço pela jovem se salvou
A décima parte o namorado recolheu
E com seis pérolas o colar ficou
Diga-me leitor, quantas pérolas tinham o colar dos namorados?
Traduzindo este problema para a linguagem moderna, temos a seguinte equação:
Outro matemático conhecido no desenvolvimento da álgebra foi Diofanto de
Alexandria que introduziu o estilo sincopado de escrever equações. Na álgebra
sincopada, algumas expressões vêm escritas em palavras e outras são abreviadas.
Nada se sabe com certeza acerca da nacionalidade de Diofanto e da época certa
em que viveu, mas a maioria dos historiadores tende a situá-lo no século III de nossa
era.
6

7. Também os hindus foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas
à álgebra sendo que Brahmagupta e Bhaskara foram os mais preeminentes algebristas
desta civilização.
Os hindus resolviam equações quadráticas completando quadrados, e aceitavam
números negativos e raízes irracionais. Tinham também conhecimento de que uma
equação quadrática, com raízes reais, tem duas raízes.
Al-Khowarizmi é considerado o “Pai da Álgebra”. O seu livro mais famoso
intitula “Hisab al-jabr wa-al-muqabalah” e desse título veio o termo álgebra.
Al-Khowarizmi é considerado o “Pai da Álgebra”. O seu livro mais famoso intitula
“Hisab al-jabr wa-al-muqabalah” e desse título veio o termo álgebra.
Os matemáticos François Viète, Thomas Harriot, René Descartes, Pierre de
Fermat, John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Wilhelm von Leibniz, Leonhard Euler,
Carl Friedrich Gauss e David Hilbert, foram expoentes no desenvolvimento da Álgebra
na idade moderna e contemporânea.
O PROCESSO RESOLUTIVO DAS EQUAÇÕES
O processo resolutivo das equações envolve algoritmos que são característicos a
cada equação e exige diferentes conhecimentos. Vamos exercitar nossos conhecimentos
resolvendo alguns problemas.
1)As pesquisas de um antropólogo revelaram que as populações indígenas de
duas reservas A e B variam de acordo com as funções f(t) = 2 t + 2 + 75 e
g(t) = 2 t + 1 + 139, em que t é o tempo em anos e f(t) e g(t) são formados por pontos das
curvas indicadas abaixo por f e g, respectivamente ( essas curvas são os próprios
gráficos das funções, f(t) e g(t) só podem assumir valores naturais.
Daqui a quantos anos as duas reservas terão o mesmo número de indivíduos?
7

8. Observe que para resolver este problema devemos igualar as duas equações
correspondentes, ou seja, f(t) = g(t)
Nesta caso temos uma equação exponencial
2 t + 2 + 75 = 2 t + 1 + 139
Como neste caso temos uma equação exponencial, pois a nossa incógnita está no
expoente devemos, então é necessário conhecermos a diversas equações exponenciais e
seus algoritmos de resolução. Para tanto vale a pena retomar as propriedades das
potências em primeiro lugar.
Vale também as seguintes igualdades:
Temos também que conhecer o processo de racionalização.
8

9. Para exercitar em casa:
1) Calcule
a) 10 2 b) (−5) 2 c) (−3) 2 d) (2) 5 e) - 82 f) 17
2
g) 31 h) ( ) 2 i) (−4) 1 j) (0,6) 3 l) (1,2) 2
5
3 2
m) − (−2) 3 n) − (−1) 4 o) − (− ) 1 p) − (− ) 2 q) − (0,4) 3
4 3
2) Aplicando a definição calcule:
2
a) 2 −1 b) 4 −1 c) ( ) −1 d) 3 −2 e) ( − 5) −2
3
1 4 3
f) ( ) − 2 g) ( ) − 2 h) − (−2) −3 i) − (− ) −1
4 3 4
2 −2 1 −2 3 −3
j) − (− ) l) − ( ) m) − (− )
3 6 2
3) Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo.
1 1 1 1 1
a) b) c) d) e)
42 32 10 4 23 62
1 1 1
f) g) h) e, x ≠ 0 i) 0,001
2 54 x2
j) 0,0001 l) 0,000001 m) 0,1
4) Fatore e escreva na forma de expoente inteiro negativo
1 1 1 1
a) b) c) d)
16 81 125 64
1 1 1 1
e) f) g) h)
243 4 1000 8
5) Escreva sob a forma de radical as seguintes potências
3 1 1 2
4 2 3 3
a) 5 b) 10 c) 2 d) 2
2 1
e) 3 0 , 25
f) 2 3
g) 5 0 ,125
h) π 4
6) Escreva sob a forma de potência com expoente fracionário os seguintes radicais.
9

10. 3 6
a) 4
23 b) 5 10 2 c) 2 d) 35
3 1 1 1
e) 2 f) 55 g) h) i) 3
3 2
2 10 4
7) Racionalize cada um dos casos.
1 1 8 1
a) b) c) d)
3 2+ 5 2 3 −1
Agora vamos resolver a equação:
2 t + 2 + 75 = 2 t + 1 + 139
Como temos adição entre as bases vamos utilizar a propriedade
2 t . 2 ² + 75 = 2 t . 2 + 139 utilizamos um artifício para facilitar processo
resolutivo: 2 t = y
y . 4 + 75 = y . 2 + 139
4y – 2y = 139 – 75
2y = 64
64
y=
2
y = 32, mas não é o valor de y que interessa e sim o valor do t logo:
2t = y
2 t = 32 para resolver a equação exponencial vale o princípio de igualdade das bases,
para isso fatora-se o 2 e escreve-se:
2t = 25
logo t = 5 anos, ou seja, o número de indivíduos será igual daqui a 5 anos.
Outros exemplos:
Determine o conjunto solução das equações:
2
−3 x
a) 3 x = 1 b) 32 x + 1 = 3 c) 5 x − 0,04 = 0
Exercícios
1) Determine o conjunto solução das equações:
2
+x 1
a) 10 2 .(0,1) x = 3 100 b) 7 x = c) 5 = 25 x
7x
d) 3 x +2 + 3 x −1 = 84 e) 2 x + 3 + 2 x +1 − 2 x = 36
f) 9 x = 6 + 3 x Respostas a) 4/3, b){-2,0} c)1/4 d) 2 e) 2
10

11. Outro problema:
1) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se
desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim
sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui.
Supondo que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m0
t
−
gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática m(t) = m0 .10 70 ,
onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t em anos. Quantos anos
demorará para que esse elemento de decomponha até atingir um oitavo da massa
inicial.
1
Observe que nesse caso tem-se que m(t) = m0 então a equação fica
8
t
1 −
m0 = m0 10 70 como m0 está em ambos os lados multiplicando pode-se simplificar
8
e a equação nova vai ficar:
t
1 −
= 10 70
como não é possível escrever na mesma base o recurso matemática para
8
resolver é utilizar logaritmo.
t
1 −
log( ) = log(10 ) 70
8
Vamos dar uma pausa para estudar os logaritmos e suas propriedades:
A expansão comercial e a necessidade de aprimorar técnicas de navegação exigiram
métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos. Assim sendo, no início do
século XVII, a matemática revelou seu poder como ciência para cálculo com a invenção
do logaritmo, pelos matemáticos John Napier e Henry Briggs.
John Napier (1550 --1617)
O escocês John Napier ingressou no St. Salvator's College, em St. Andrews, onde
estudou com o matemático John Rutherford. Na Escócia do século dezesseis, os interesses
intelectuais concentravam-se na religião, na teologia e na política em vez de nas ciências e na
matemática, e o primeiro trabalho de Napier refletia esse clima. Ele foi um protestante fervoroso
11

12. e dono de uma grande propriedade e de fazendas. Há evidências de que começou trabalhando
a idéia de logaritmos por volta de 1590. Seu importante trabalho matemático culminou com a
publicação de dois tratados em latim. Em Constructio, as palavras "números artificiais" são
usadas por Napier em vez de "logaritmos", que será adotada mais tarde.
Hoje Napier é mais conhecido como "o inventor dos logaritmos", mas até recentemente
sabíamos muito pouco sobre sua invenção. Sabemos hoje que ele inventou uma ferramenta
computacional chamada "logaritmo" que simplificava a aritmética substituindo a multiplicação
pela adição. A equação que concluía isso era simplesmente In (ax) = In a + In x. Para
multiplicar dois números positivos "a" e "x", era preciso procurar seus logaritmos em uma
tabela, somá-los e encontrar o número que correspondia àquela soma em uma tabela inversa.
Essa tabela representou a chave e Napier passou os últimos 20 anos de sua vida trabalhando
em uma tabela que nunca terminou.
Foi responsável pela criação do sistema de logaritmo neperiano, que é o de base e. É
por isto que o nome neperiano deriva de John Napier.
Em 1617 Napier inventou um dispositivo mecânico feito de osso no qual os números eram
estampados. Quando combinados apropriadamente, "os ossos de Napier" podiam realizar a
multiplicação. Os ossos de Napier foram utilizados por Oughtred em 1630 na invenção da
régua de cálculo. Ele também realizou outros trabalhos matemáticos, incluindo a trigonometria
esférica e o desenvolvimento da notação decimal.
Henry Briggs (1561—1630)
Briggs nasceu em Yorkshire, Inglaterra, e estudou no St. John's College, em Cambridge.
Gradou-se em 1581 e 1585 e tornou-se palestrante de matemática em 1592.
Por volta de 1615 engajou-se completamente no estudo, cálculo e ensino dos logaritmos.
Encontrou-se com Napier e propôs melhorias para o sistema logarítmico desenvolvido por ele.
Briggs ajudou a publicar algumas obras de Napier e em 1617 escreveu Logarithmorum chilias
prima.
Briggs publicou trabalhos em navegação, astronomia, e matemática. Ele propôs os
logaritmos "comuns", com base dez, e construiu uma tabela de logaritmos que foi usada até o
século 19. Vale destacar que ele defendia a importância do logaritmo de base 10 como
instrumento auxiliar de cálculos numéricos.
LOGARÍTMO
Definição:
Considerando dois números reais, a e b, positivos com a ≠ 1. Chamamos de logaritmo
do número b na base a, o expoente c, de forma que ac = b. logo
a = base

→ b = log aritmando
c = log aritmo

Em símbolos:
Loga b = c ⇔ ac = b condição de existência ( C.E.) : b > 0 e 0 < a ≠ 1.
Ex.: calcule os logaritmo abaixo usando a definição:
a) log3 9 b) log2 1/16 c) log9 81 d) log3 1/81
12

13. PROPRIEDADES E CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DOS LOGARITMOS
1) loga 1= 0 2) loga a= 1 3) loga (b.c) = loga b + loga c
log a b
4) loga (b/c) = loga b - loga c 5) loga bm = m loga 6) logc b =
log a c
Exemplos:
Aplique as propriedades e a definição em cada caso:
a) log (b.c) b) log(2/3) c) log 1 d) log 32
e) log 10 2 f) log x g) log a + log b h) log(x) - log ( y)
i) log (a+b) (a – b) j) log xy l) x log 2
Aplique as propriedades e resolva
1) Dados log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 5 = 0,699 e log 7 = 0,845 calcule:
a) log 15 b) log 14 c) log 42 d) log 210 e) log 2/3
f) log 0,6 g) log 1,5 h) log 1,2
SISTEMAS DE LOGARITMOS
1) SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMAIS
É um sistema de logaritmos no qual adota a base 10. Ex. ; log10 2 ou log 2. Esse sistema
de logaritmo pode ser calculado com o uso da calculadora.
2) SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS
É um sistema de logaritmos no qual adota a base e ( e = 2,718...), denominado número
de Euler) sendo representado de duas formas: loge ou ln. Ex. loge2 ou ln 2
Vamos resolver nosso problema então:
t
1 −
log( ) = log(10 70 )
8
Outros exemplos de aplicação dos logaritmos:
1) O lucro mensal, em reais, de uma empresa é expresso pela lei L(t) = 3000.(1,5)t
sendo L(t) o lucro após t meses.
a) Daqui quantos meses o lucro será de R$ 36000,00?
13

14. 2) Determinado material radiativo se desintegra segundo a lei M = Mo . e −0 , 005 t , em
que t é o tempo em séculos; M, a massa desintegrada ao fim do tempo t; e Mo , a massa
inicial. Calcule o tempo necessário para a massa de reduzir a quarta parte da inicial.
Exercícios
1) Define-se, em química pH = - log[H+] , em que pH é o potencial de hidrogênio e h+ é
a concentração hidrogeniônico. O valor do pH classifica uma solução da seguinte
forma:
Para 0 ≤ pH < 7, a solução é ácida
Para pH = 7, a solução é neutra;
Para 7< pH ≤ 14, a solução é básica.
– 8
a)Determinada solução apresenta concentração hidrogeniônica 5,4. 10 íons-g/l
classifique essa solução. (R = 7,26 é básica)
b) O cérebro humano contém um fluido cuja concentração de H3O+ é 4,8 . 10 –8
( em
média). Calcule o pH dessa solução e classifique -a. (R = 7,31, básica)
2) Nos problemas a seguir use a equação Q = Q0 . e –rt , onde Q = massa da substância,
r = taxa; e t = tempo).
a)Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 8 % ao ano. Em quantos anos
50g dessa substância se reduzirão a 5 g ?
b)Calcule a meia - vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de
4 % ao ano. ( meia - vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento,
metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre).
Processo resolutivo das equações logarítmicas.
Vamos aos exemplos:
a) log( 2 x − 8) = log( x + 2) b) log 3 ( x ) = 2
c) log 5 ( x ) + log 5 ( x − 2) = log 5 3 d) log ( x ) − log ( x − 1) = log 6
14

15. Alguns passos indispensáveis no processo resolutivo de uma equação logarítmica
1) determine a condição de existência;
2) verifique se as bases são iguais;
3) aplique as propriedades possíveis
4) determine o conjunto solução
5) faça a verificação;
6) represente o conjunto solução.
Outros exemplos:
1) Resolva em R as equações logarítmicas
a) log ( x −1) ( 25) = 2 b) log 3 ( x 2 + 4) = log 3 (5 x )
c) log( x + 2) + log(3 − x ) = log(5 x + 1)
respostas a) 6, b) {1,4} c) 1
Equação do segundo grau
Um problema:
Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia elétrica. Se a potência P
(em watts) que um certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação
P(i) = 20i – 5i2, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador,
determine os pontos em que p(i) = 0.
Neste caso tem-se uma equação do segundo grau em que:
20i – 5i2 =0
Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do
2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.
−b± ∆
x= com ∆ =b 2 − 4ac
2a
Logo resolve-se a equação pela fórmula:
− b ± (b) 2 − 4(a)(c)
x=
2.(a)
No exemplo te-se:
a = -5 b = 20 c=0 assim:
15

16. − (20) ± (20) 2 − 4(−5)(0)
x=
2.(−5)
− 20 ± 400 + 0
x=
− 10
− 20 ± 20
− 20 ± 400 x=
x= − 10 logo x’ = 0 e x” = 4
− 10
A equação do segundo grau apresenta a característica
ax ² + bx + c = 0 com a ≠ 0
O matemático Bhaskara, que apresentou grandes contribuições no processo resolutivo
das equações do segundo grau, este viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.
Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional
da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática
e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das
posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do
Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da
India, na época.
Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a
problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar)
e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é
Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria
desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a
elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois,
foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se
casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco
conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os
professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão
abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.
Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o
matemático mais famoso de sua época.
Outro exemplo:
x² - 2x – 3 =0
a = 1, b = -2 e c = -3
16

17. − (−2) ± (−2) 2 − 4(1)(−3)
x=
2.(1)
2 ± 4 + 12
x=
2.
2±4
2 ± 16
x= x = 2. logo x’ = 3 e x” = -1
2.
Mas a equação do segundo grau pode ser incompleta nos seguintes casos:
a) x² - 9 = 0 b) x² - 3x = 0 pode-se resolver por fator comum
x( x – 3 ) = 0
x² = 9 x’ = 0 e x” = 3
x= ± 9
x’ = 3 e x” = -3
Uma equação do segundo grau pode ou não apresentar raízes reais, dependendo do
valor do delta, conforme segue:
ESTUDO DO DELTA
O delta determina a existência ou não das raízes da função.
1º caso ∆ > 0 ( existem duas raízes reais e diferentes)
2º caso : ∆ < 0 (não existe raízes reais)
3º caso: ∆ = 0 ( uma raiz real ou zero duplo)
Exemplos:
1) Resolva em R as equações.
a) x2 – x + 4 = 0 b) - x2 + 4x – 6 = 0 c) x2 + 2x + 1 = 0 d) x2 + 2x – 8 =0
2)Determine m para que a equação x 2 − 3x + m = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.
FORMA FATORADA DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ a ( x − x' ).( x − x" ) = 0
Exemplos.:
1) Escreva da forma fatorada as equações abaixo:
a) x 2 − x − 2 = 0 b) 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 c) x 2 − 9 = 0
17

18. ESTUDO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Vejamos um problema:
1) Na produção de peças, uma indústria tem custo fixo de R$ 5,00 mais um custo
variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades
produzidas. Quantas unidades são produzidas de o custo total foi de R$ 50,00.
Observa-se que o modelo matemático correspondente ao problema é:
1,5 x + 5 = 50
1,5 x = 50 – 5
1,5x = 45
x = 45/1,5
x = 30 unidades
Uma equação denomina-se do primeiro grau na incógnita x se for do tipo
ax + b = c , sendo a, b e c números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
1) Determine o conjunto solução das equações em R
x + 1 2x − 1 x x −1 1
a) x – 3 = 4x - 6 b) + =0 c) − =
3 4 2 5 3
Equação modular
As equações modulares apresentam um processo resolutivo fundamentado na noção de
distância.
Vejamos:
MÓDULO
DEFINIÇÃO:
Sendo x um número real representamos o módulo x por |x| e definimos:
- módulo de x é igual ao x se x ≥ 0;
- módulo de x é igual a – x se x < 0. Assim
|x| = x se x ≥ 0
-x se x < 0 o módulo de um número real é sempre positivo.
Geometricamente o módulo de um número indica na reta real a distância do
número até a origem.
| | |
-2 0 5
A distância do –2 ao 0 é 2 unidades, assim: | -2 |= 2
A distância do 5 ao 0 é 5 unidades, assim: | 5 | = 5
Ex.: Represente geometricamente |x | = 3
| | |
-3 0 3
Exemplo:
a) |-5| = 5 b) |1| = 1 c) |1-7| = 6 d) |3 – 6| = 3
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19. Assim se temos:
| x | = 3 (a distância de x até a origem é igual a 3)
Os números que estão nesta distância são 3 e -3.
1) Determine o conjunto solução das equações em R.
a) | x| = 7 b) | x | = -7 c) | x – 2| = 3 d) | x² - 1 | = 8
e) ||x-2|-3| = 4 f) | 2x – 3|= 3 g) | x – 4| = 2 h) | x| = x – 2
Atividades em geral envolvendo equações
1) Obtenha três números pares consecutivos cuja soma é 24.
2)Quais as idades de dois irmãos, sabendo que a idade de um deles é o dobro da idade
do outro, e que daqui a 10 anos a soma das idades é igual a 35 anos?
3) Um retângulo, cuja área é 65m², a base é 3m menor que o dobro da altura, obtenha
sua base.
4) Duas pessoas pintam separadamente 1m² de um muro em tempos diferentes de i
minuto. Trabalhando juntas, elas pintam 27m² por hora. Quanto tempo cada uma delas
leva para pintar 1 m²?
5) Resolva as equações respeitando os algoritmos dos processos resolutivos de cada
uma.
a) b) log11 (2x - 3) = log115
c) 2x² - 10x + 12 = 0 d) x2 - 6x = 0 e) x² - 81 = 0
6) De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )
a) ax + bx + c = 2a + 2b + c b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )
7) Após um aumento de 18%, uma mercadoria passou a custar R$ 236,00. Qual o preço
antes do aumento?
8) Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do
diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem
10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:
Altura H(t) = 1 + (0,8) . log 2 (t + 1) e o diâmetro
t
D(t) = (0,1).2 7 com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro
do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são
plantadas.
b) A altura da árvore é 3,4 m. determine o diâmetro aproximado do tronco
dessa árvore, em centímetros.
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