SlideShare uma empresa Scribd logo
1




ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA
FUNÇÕES ELEMENTARES
LIMITES E CONTINUIDADE

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
2



1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA
 O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de
conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da
validade de argumentos.


1.1 PROPOSIÇÕES

      Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve
exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na
forma simbólica ou na linguagem usual.

Exemplos:
                   3
   1) Sen 60° =
                  2
   2) Marleide é professora.
   3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina.

        Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1)
     se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é
     falsa.
Exemplos:
  a) Orleans fica no nordeste.
  b) Sen(30°) + cos(60°) = 1

       O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição
b) é a verdade (1).
       As proposições podem ser simples ou compostas.
              SIMPLES                              COMPOSTA
Não contém nenhuma outra              Formada por duas ou mais
proposição como parte integrante      proposições relacionadas pelos
de si mesma.                          conectivos “e”, “ou” e “se então” .
Notação: letras minúsculas do         Notação: letras maiúsculas do
alfabeto                              alfabeto
Exemplos:                             Exemplo:
1) p: Maria é bonita.                 1) P(p,q): Maria é bonita e
   q: Maria é estudiosa.              estudiosa.
2) p: 1+2=3                           2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21.
    q: 21
3


1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA

a) Princípio da Não-contradição

      Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e
falsa”.

b) Princípio do terceiro excluído
      Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado
lógico para ela.

     De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda
proposição admite um e um só dos valores 1 e 0.

Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para
formar novas proposições, a partir de proposições dadas.
Exemplos:
P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
R: Se João estuda, então sabe a matéria.

1.3- TABELA VERDADE

      O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 n, onde n
é o número de proposições componentes.

      PROPOSIÇÃO               Nº DE PROPOSIÇÕES   Nº DE LINHAS DA
                                    SIMPLES            TABELA
              P                         1               21 = 2
           P(p,q)                       2               22 = 4
          P(p,q,r)                      3               23 = 8
      P(p,q,r,...,n-1,n)                n                 2n



                                          p    q    r
  p                p       q              0    0    0
  0                0       0              0    0    1
  1                0       1              0    1    0
                   1       0              0    1    1
                   1       1              1    0    0
                                          1    0    1
                                          1    1    0
                                          1    1    1
4


EXERCÍCIOS

1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições:
   a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)=
   b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)=
   c) Log3 3 = 1 V(c)=
   d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)=
   e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) =
   f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)=
   g) –2 < 0. V(g)=
   h) O par {x,x} = {x}. V(h)=
   i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)=
   j) x2. x5 = x7 . V(j)=

2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições:
   a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a
      4. V(a) =
   b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente.
      V(b) =
   c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente.
      V(c)=
   d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) =

   e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) =

   f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ;      V(f)=

   g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) =

   h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é
      V = R 2 h V(h) =

                1
   i)   x  x2       V(i) =

        1        x
   j)               V(j) =
        x       x


3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1.

4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.

Recomendado para você

Equações literais
Equações literaisEquações literais
Equações literais

O documento descreve o que são equações literais e como resolvê-las. As equações literais são equações que contêm mais de uma variável e podem ser resolvidas em relação a qualquer uma das variáveis. Ao resolver uma equação literal, isola-se a variável desejada em um dos membros da equação usando as mesmas regras para resolver equações numéricas.

alda blogs blospot blogger
92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)

Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.

Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas

1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra, como porcentagem, potenciação, radiciação e fatoração. 2) Também aborda sequências numéricas, como progressão aritmética e progressão geométrica. 3) Por fim, discute noções básicas de geometria plana, incluindo relações métricas, teoremas e fórmulas para cálculo de áreas.

5


1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

            1) Negação ( ‘ )ou : não
Exemplos:


      Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então
V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”.

Exemplos: I) p: 1+4=5       V(p)=1      p‟: 1+45   V(p‟)=0
          II) q: João é estudante       V(q)=0 q‟:João não é estudante
  V(q‟)=1

Tabela Verdade:
   p        P‟
   0        1
   1        0

2) Conjunção ( . )

     A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando
V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos.
Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e
Lê-se: p e q

Exemplos:

I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1
P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1

II) r: log22=1 V(r)=1      s: 20=2 V(s)=0
                         0
Q(r,s): r.s : log22=1 e 2 =2 V(r.s) = 0

Tabela Verdade:
   p        q        p.q
   0        0         0
   0        1         0
   1        0         0
   1        1         1

Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.
6


3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+)

     A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos.
Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou
Lê-se: p ou q

Exemplos:
I) p:  = 3 V(p)=0
   q: 9-3=6 V(q)=1
   V(p+q)=1

II) p: 2 < 1 V(p)=0
     q: 2 < 2 V(q)=0
     V(p+q) = 0

Tabela Verdade:

   p          q         p+q
   0          0          0
   0          1          1
   1          0          1
   1          1          1

4) Disjunção Exclusiva (  )

       A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição
verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes,
isto é V(p)  V(q).
Notação: p  q
Lê-se: p ou q, mas não ambas.

Exemplos:

I) p: Maria é alta V(p)=1
   q: Maria é baixa V(q)=0
   P(p,q): (p  q): Maria é alta ou baixa.
   V(p  q):1
II) p:  < 3 V(p)=0
     q: 3>2 V(q)=1
     V(p,q)=1
7


Tabela Verdade

  p               q        p q
  0               0         0
  0               1         1
  1               0         1
  1               1         0


5) Condicional ()

     O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em
todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é
chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente.
Notação: p  q
Lê-se: “se p então q”

Exemplos:

      
I) p:tg  =1 V(p)=1
       4
  q: sen0º=0 V(q)=1
V(p,q)=1

                      2
II) p: cos                V(p)=1
              4       2
              
      q: tg  0              V(q)=0
           4
      V(p,q)=0

Tabela Verdade

  p       q            pq
  0       0             1
  0       1             1
  1       0             0
  1       1             1
8


6) Bicondicional ()

     Esta operação equivale a duas operações do tipo
condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores
lógicos das proposições forem iguais.
Notação: p  q
Lê-se: “p se e somente se q”

Exemplos:
I) p: 2   V(p)=1
   q: 2 > 1 V(q)=1
   V(p,q)=1

II) p: 3  Z V(p)=0
    q: 3  1  V(q)=1
    V(p,q)=0

Tabela Verdade

  p          q    pq
  0          0     1
  0          1     0
  1          0     0
  1          1     1

1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES
   a) Negação ( „ )
   b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+)
   c) Condicional ()
   d) Bicondicional ()

Exemplo:
  a) pq  r (bicondicional)
  b) p + q‟  q.r (condicional)
  c) p+(q‟  q.r‟) (soma lógica e condicional)


EXERCÍCIOS
1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis.
Escrever na linguagem usual as seguintes proposições:
   a) p+q
   b) p.q
   c) p.q‟

Recomendado para você

Funções
FunçõesFunções
Funções

1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções, incluindo definição de função, domínio, contradomínio e imagem. 2) São descritos tipos de funções como função constante, função afim, função monotônica, função periódica e função definida por várias sentenças. 3) O documento também explica conceitos como função inversa, função composta e tipologia das funções (sobrejetora, injetora, bijetora).

vestibular
Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio

1. O documento apresenta um trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos no Ensino Médio, abordando noções básicas como conjuntos, subconjuntos, operações com conjuntos (união, interseção, diferença), e conjuntos numéricos fundamentais. 2. É dividido em seções de Introdução, Desenvolvimento e Conclusão, com explicações detalhadas dos principais conceitos da Teoria dos Conjuntos. 3. A seção Desenvolvimento define termos como conjunto, subconjunto, relação de pertinência, operações com conjuntos e

Resumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra LinearResumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra Linear

O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.

resumoalgebra linearproduto interno
9


  d) p´.q‟
  e) (p‟)‟
  f) (p‟.q‟)‟

2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante,
escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:
   a) Maria é bonita e elegante.
   b) Maria é bonita, mas não é elegante.
   c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante.
   d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante.

3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção,
disjunção, condicional, bicondicional ou negação:
   a) (p.q‟)‟
   b) p+(q.r‟)
   c) p.(qr)
   d) p.qr‟
   e) (p.q‟)‟+(r+s)
   f) (p+q‟)(r.s)
   g) [p(q.r)].s
   h) [p(q.r)]‟
   i) [p+(q.r)]‟ s‟
   j) (pq)  r‟

  4)   Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
  a)   3+2=7 e 5+5=10
  b)   sen=0 e cos=0
  c)   3>2 ou sen90º>tg45º
  d)   se |-1|< 0 então sen90º=1
  e)   3>1  30=3
  f)   >43> 5
  g)   tg  =1 se e somente se sen=0
  h)   Não é verdade que o número 12 é um número ímpar
  i)   (1+1=24+3=5)‟
  j)   (sen0º=0 ou cos0º=1)‟

5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada
uma das proposições:
   a) p.q‟
   b) p+q‟
   c) p´.q
   d) p‟.q‟
   e) p‟+q‟
   f) p.(p´+q)
10



6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que:
   a) V(q)=0 e V(p.q)=0
   b) V(q)=0 e V(p+q)=0
   c) V(q)=0 e V(pq)=0
   d) V(q)=0 e V(pq)=1
   e) V(q)=1 e V(pq)=0
   f) V(q)=0 e V(pq)=1




                          As funções reais
Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já
estudaram as funções e suas principais características na disciplina de
Matemática básica.

Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características
da sua representação gráfica.
a)                                        b)
11

c)                                 d)




e)                                         f)




      Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
      Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a
imagem em cada caso.

      a) f(x) = sen(x)                     b) g(x) = cos(x)
12

c)f(x) = tg(x)         d) f(x) = cotag(x)




   e) f(x) = sec(x)           f) f(x) = cossec(x)




   f) f(x) = sen(2x)        g) g(x) = cos(2x)

Recomendado para você

Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini

O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.

Apostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-iApostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-i

O documento descreve conceitos matemáticos básicos para contadores, incluindo: 1) Representações dos conjuntos de números reais, racionais e inteiros; 2) Expressões algébricas e literais; 3) Funções do primeiro grau, incluindo gráficos crescentes e decrescentes.

matemática
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores ExtremosMedida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos

O documento resume os principais conceitos da Teoria de Valores Extremos (EVT) para medir riscos, incluindo: 1) a distribuição generalizada de valores extremos para máximos em blocos e a distribuição generalizada de Pareto para violações de limiares; 2) estimação de parâmetros dessas distribuições; 3) determinação de intervalos de confiança para medidas de risco via inversão de testes de verossimilhança ou bootstrap.

análise de riscos
13

   g) y= 2 sen(x)                      h) y = - 3 cos(x)




 Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados
seu campo de definição, vejamos os exemplos:

                                                 1
   a) Veja o gráfico da função racional f(x) =
                                                 x

                                                 Neste caso observa-se que a função
                                                 não é definida para x = 0. Mas o que
                                                 acontece com o valor da função
                                                 quando x se aproxima se 0 pela
                                                 direita e pela esquerda?
14

                                            x 1
b) Vamos pensar na função racional f(x) =
                                            x2

                                                   Neste caso observa-se que a função
                                                   não é definida para x =2. Mas o que
                                                   acontece com o valor da função
                                                   quando x se aproxima se 2 pela
                                                   direita e pela esquerda? Analise
                                                   sempre a linha do gráfico.




   Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças
           x 2  1, se  2
c) f(x) = 
           x  3, se  2



                                                   Neste caso observa-se que a função
                                                   não é definida para x =2. Mas o que
                                                   acontece com o valor da função
                                                   quando x se aproxima se 2 pela
                                                   direita e pela esquerda? Analise
                                                   sempre a linha do gráfico.
15

       Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre
as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser
descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras.
As funções representam um importante instrumento de análise das relações
matemáticas e físicas.

Um problema:

Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares,
dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento.
Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o
departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o
tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume.




1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA

       O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de
problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria
aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de
cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para
calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada
através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os
aspectos do movimento.
       Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem
inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o
fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não
só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas
reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista
para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os
economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que
envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada,
exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um
fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo?
       A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos
processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das
16

partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried
Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais.
Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados
os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras
contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo
como o estudo de limites, derivadas e integrais.



NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

       Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte
fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que
o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de
natação”.

Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso?
Em que situações aparecem a palavra limite?
Qual o significado da palavra limite em nosso contexto?

       O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas
geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva.
Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto,
o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que,
de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de
cálculo estão baseados.

      Considere as seguintes situações:

1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1




Vamos desenvolver as seguintes etapas :

Primeira : hachurar metade dessa figura

                                                    1
                                 Área hachurada :
                                                    2


Segunda : hachurar metade do que restou em branco.

                                                               1 1 3
                                            Área hachurada :     
                                                               2 4 4

Recomendado para você

www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricoswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos

Matemática - VideoAulas Sobre Conjuntos Numéricos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.aulasapoio.com

conjunto dos números irracionaisconjuntos numéricos complexosconjuntos numéricos operações e propriedades
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos

Matemática - VideoAulas Sobre Conjuntos Numéricos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicaApoio.com

conjunto dos números irracionaisconjuntos numéricos complexosconjuntos numéricos operações e propriedades
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2

Este documento apresenta os conceitos fundamentais dos números reais, incluindo: 1) Define os conjuntos N, Z, Q e R e suas relações de inclusão; 2) Apresenta os axiomas da adição, multiplicação e distributividade que definem a estrutura algébrica de R; 3) Demonstra propriedades algébricas dos números reais usando raciocínios lógicos a partir dos axiomas.

17



Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco.


                                            Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7
                                                             2 4 8 8


       Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada
vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se
aproximando de 1 ou tendendo a 1.

      1 , 3 , 7,...,                  Quando dizemos que a área
      2 4 8                           hachurada tende a 1, significa que
                                      ela se aproxima de 1, sem no
                                      entanto assumir esse valor.
2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
a) 1,2,3,4,5,...

b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,...

c)1,0,-1,-2,-3,...

d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,...

      Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da
sucessão tende para o infinito .

Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca
atingirem esse valor.

Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o
limite da sucessão tende para o menos infinito .

Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
18

3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo,
expressa pelo gráfico




a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s?

b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s?



O LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Considere as seguintes funções:

1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como A   2 . O
que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?

            1,8           1,9          1,98          1,99         1,999
             3,24          3,61         3,9204        3,9601       3,996001
A  2

            2,1           2,01         2,001         2,0001       2,00001
             4,41          4,0401       4,004001      4,000400     4,00004
A  2

Esta função tende a 4 quando x tende a 2.
Diz-se que se   2 então A  4 . Esta situação pode ser observada no
gráfico abaixo:

Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y,
temos:
19

              y
          9

          8

          7

          6

          5

          4

          3

          2

          1
                                                                              x
    -1              1   2    3    4         5       6    7     8         9
         -1


Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: lim x 2  4
                                                                                              x 2




2) Consideramos a função f definida pela equação: f ( x)                 Sendo
                                                                                     2 x  3.( x  1) .
                                                                x 1
que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se x  1 , o
numerador e o denominador podem ser divididos por ( x  1) para obtermos:
f ( x)  2 x  3 para x  1
      Estudaremos os valores da função f (x) , quando x estiver próximo a 1, mas
não igual a 1.

Quadro (1):

          X                 0     0,25          0,5     0,75       0,9       0,99   0,999     0,9999        0,99999
f ( x) 
         2 x  3.( x  1)
               x 1
                            3         3,5       4       4,5        4,8       4,98   4,998     4,9998        4,99998
         ( x  1)

Quadro (2) :

             X               2   1,75       1,50        1,25       1,1       1,01   1,001       1,0001       1,00001
 f ( x) 
          2 x  3.( x  1)
                x 1         7   6,5        6,0         5,5        5,2       5,02   5,002       5,0002       5,00002
( x  1)
20

        Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de
1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x)
estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem:




                                     Em particular, vemos no nosso exemplo que :
                                           (2 x  3).( x  1)                (2 x  3).( x  1)
                                     lim                       5 , mas que:                    não
                                      x 1      ( x  1)                          ( x  1)
                                     é definida para x = 1.




Outros exemplos:

1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2.




O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x :

       x         2    2,3          2,9        2,99     ...      3,03        3,4       3,9
 f(x) = x + 2    4    4,3          4,9        4,99     ...      5,01        5,4       5,9

De acordo com o exposto, podemos dizer que :
• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos :
                            lim f ( x )  5
                            x3


• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos :

                            lim f ( x)  5
                            x3

Recomendado para você

Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos   Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos

O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos: 1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de conjuntos; 2) Apresenta os conceitos primitivos da Teoria dos Conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade; 3) Explica as representações gráficas dos conjuntos utilizando símbolos como chaves e vírgula.

Redes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas BayesianasRedes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas Bayesianas

O documento discute técnicas bayesianas, incluindo o teorema de Bayes, modelos hierárquicos, inferência de parâmetros e hiperparâmetros, e seleção de modelos. É apresentado o uso do teorema de Bayes para classificação de dados através de um perceptron contínuo. Métodos bayesianos são comparados a métodos frequentistas e discutidas aproximações para inferência bayesiana.

redes neurais
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa

1) O documento apresenta uma lista de exercícios resolvidos sobre progressões aritméticas. 2) As questões abordam cálculos envolvendo os termos gerais de PAs, razão, soma dos termos e posição de elementos nas sequências. 3) Também são tratados sistemas de equações para determinar valores desconhecidos a partir de propriedades das progressões aritméticas.

21

Podemos representar somente por :

                                   lim f ( x)  5
                                   x 3



2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :


                  x, se, x  3
        f ( x)  
                  x  2, se, x  3




Observe :

• quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é:

                                            lim f ( x)  3
                                            x3



• quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é:
                                             lim f ( x)  5
                                             x3


   Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos
que:
   Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.
Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se
aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é:

                           lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
                           xa              xa              xa


Observando a figura podemos afirmar que:

                                                    lim g ( x)  L     lim g( x )  L
                                                    xb 
                                                                       x b 
22

Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que
a função g tem limite L no ponto b e escrevemos :

                            lim g( x )  L
                            x b




   Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida
à direita e a esquerda de b.


       Y

                                               lim f ( x )  L1
                                              x b 

       L1



       L2

                                             lim f ( x )  L2
                              X              xb
                    b
23

      Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática
básica ( função definida por várias sentenças.

Atividade:
Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item

          2 x, se  0
1) f(x) =  2
           x , se x 0


a)     lim f ( x )                 b)   lim f ( x )             c)    lim f ( x )
       x 0-                            x  0                         x 0


                x 2  1, se  1
     2) f(x) = 
                x  3, se x  1


a) lim-      f( x)                      b) lim
                                                  f ( x)            c) lim    f( x)
     x 1                                 x1                         x 1




              3, se  2
     3) (x) = 
               x  1, se x 2


     a)   lim f ( x )                   b)   lim f ( x )       c)   lim f ( x )
          x  2                             x  2                 x 2



Outros exemplos:
                                 x-1 se x  1
1. Seja h definida por: h( x)  
                                1-x se x  1
a) Faça um esboço do gráfico de h.


b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
      i) lim h( x) =
            
                     x 1

            ii)      lim h( x) =
                     x 1

            iii)     lim h( x) =
                     x1
24


                                        x 2 se x  0
2. Seja a função f definida por: f(x)= 
                                       3 - x se x  0

      a) Faça um esboço do gráfico de f.
      b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
         i) lim f ( x) =
                   x 0

              ii) lim f ( x) =
                  x 0

              iii) lim f ( x) =
                   x0




EXERCÍCIOS

1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:

                   x 2  1, se x  2
                  
a) f ( x )        2, se x  2
                  1 - x 2 , se x  2
                  

      i)        lim f( x )             ii)   lim f ( x )         iii) lim f ( x )
                                                                        x 2
                x 2                          x 2


                   x 2 para x  1
                  
b) f ( x )        2 para x  1
                  2 - x para x  1
                  

i) lim f( x )
      
                                              ii) lim f( x )
                                                     
                                                                                          iii) lim f( x )
     x 1                                            x 1                                        x 1




                  2 x  1, se x  1
                  
c)     f ( x)     1, se x  1
                   1-2 x, se x  1
                  


i)   lim f ( x )                        ii)    lim f ( x )           iii)   lim f ( x )
     x  1_                                    x 1                        x 1

Recomendado para você

Teoria dos Conjuntos
Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos

O documento resume os principais conceitos da Teoria dos Conjuntos, incluindo: (1) definições de conjunto, elementos, igualdade e relações entre conjuntos; (2) operações básicas em conjuntos como união, interseção e complemento; (3) identidades envolvendo operações em conjuntos; (4) tipos de conjuntos como contáveis e não contáveis.

federallavrasconjuntos
Exercícios de calculo 1 limites
Exercícios de calculo 1   limitesExercícios de calculo 1   limites
Exercícios de calculo 1 limites

matemaitca

limite
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exercicios

Este documento contém uma lista de exercícios sobre limites de funções para um curso de cálculo 1. Inclui exercícios para calcular limites, analisar a continuidade de funções, e esboçar seus gráficos. Também fornece respostas para os exercícios.

25


               2 x 2 para x  0
               
d) f ( x )     1 para x  0
               -x 2 para x  0
               
i) lim f ( x )                    ii) lim
                                               f ( x)                          iii) lim f ( x )
   x 0                               x 0                                         x 0




                2, se x  1
               
e) f ( x )    - 1, se x  1
               - 3, se x  1
               

i) lim- f ( x )                    ii) lim f ( x )                           iii) lim f ( x )
    x1                                x 1                                        x 1




             2 x  4 se x  -1
f) f ( x)  
            1  2 x se x  1

 i) lim- f ( x )                       ii) lim f ( x )                       iii) lim f ( x )
      x  -1                                 x  -1                                x  -1




2) Seja a função f definida pelo gráfico:
Intuitivamente encontre se existir:

                                                          a ) lim f ( x) 
                                                             x 3

                                                          b) lim f ( x) 
                                                             x 3

                                                          c) lim f ( x) 
                                                             x  

                                                          d ) lim f ( x) 
                                                             x  

                                                          e) lim f ( x) 
                                                             x4
26

3) Seja a função f definida pelo gráfico:


                                            Intuitivamente encontre se existir:

                                            a ) lim f ( x) 
                                               x  2

                                            b) lim f ( x) 
                                              x  2

                                            c) lim f ( x) 
                                              x  2

                                            d ) lim f ( x) 
                                               x  

                                            e) lim f ( x) 
                                              x  


4) Seja a função f definida pelo gráfico:
                                             Intuitivamente encontre se existir:

                                             a ) lim f ( x) 
                                                 x 0

                                             b) lim f ( x) 
                                                 x 0

                                             c) lim f ( x) 
                                                 x 0

                                             d ) lim f ( x) 
                                                 x2

                                             e) lim f ( x) 
                                                 x2

                                              f )lim f ( x) 
                                                   x2




                                              lim f ( x)  L
                                              x a
27



DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE

  Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-
se de a é L, pode ser escrito como:

   Se para qualquer      0    ,mesmo pequeno, existir um       0,   tal que:
 f ( x)  L      sempre que    0 xa .

Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y
quando x está muito próximo de 3?

x            3,1          3,01         3,001        3,0001       3,00001
y = 2x-1     5,2          5,02         5,002        5,0002       5,00002
Tab.1

x            2,9        2,99           2,999        2,9999       2,99999
y = 2x-1     4,8        4,98           4,998        4,9998       4,99998
Tab.2
1 =5,2-5,02=0,18
2 =5,02-5,002=0,018
3 =5,002-5,0002=0,0018
4 =5,0002-5,00002=0,00018
5 =5,00002-5,000002=0,000018

1 = 3,1-3,01=0,09
2 = 3,01-3,001=0,009
3 = 3,001-3,0001=0,0009
4 = 3,0001-3,00001=0,00009
5 = 3,00001-3,000001=0,000009


QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO?

0,18 e 0,09?
0,018 e 0,009?
0,0018 e 0,0009?

Pode-se concluir que:

0,09 x 2 = 0,18
0,009 x 2 = 0,018
0,0009 x 2 = 0,0018     Logo podemos concluir que  = 2 x 
28

Outro exemplo:

                                2x
O que significa provar que o lim    3  5?
                           x 3 3

Significa que devemos mostrar que para qualquer          0 ,mesmo pequeno, existe
um    0, tal que:   f ( x)  L   sempre que 0  x  a   , isto é:
Dados que neste caso tem-se:
        2x
f(x) =      3     L = 5 a = 3 então:
         3
   2x
  (  3)  5   sempre que 0  x  3  
    3
 2x
      2   sempre que 0  x  3  
  3
 2x  6
           sempre que 0  x  3  
    3
 2
   x  3   sempre que 0  x  3  
 3
         3
 x3        sempre que 0  x  3  
          2
Comparando-se as desigualdades tem-se que:
                3
             =
                 2

Outro modo utilizando as desigualdades temos:
3- < x < 3+  5- < y < 5+

5- < y < 5+
       2
5- < x  3 < 5+
       3
          2
5--3 < x < 5+-3
          3
3.(2-) < 2x < 3.(2+)
3.(2   )      3.(2   )
           <x<
    2               2
    3          3
3      x  3
     2           2
            3
Logo  =
             2
Vejamos graficamente a situação descrita acima.

Recomendado para você

Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)

1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.

exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos

O documento apresenta conceitos sobre cálculo de limites de funções, incluindo regras adicionais para funções racionais e casos de indeterminação. São explicadas propriedades de limites como soma, diferença, produto e quociente. Um exemplo numérico é resolvido usando fatoração para eliminar uma indeterminação.

The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...

Another stunning ecological design by Turenscape. Delivering a dramatic upgrade of a river bank and merging nature with people in one powerful example of landscape architecture. Read more at http://landarchs.com/fantastic-river-park-unveils-value-natural-landscape/

outdoorswildlifelandscape architecture
29




      Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou
melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x
                                         2x
                                    lim  3  5
suficientemente próximos de 3. Logo x 3
                                         3

Exercícios

1) Usando a definição de limite prove que:

a) lim (3x  1)  2
   x 1

b) lim (4 x  5)  13
  x 2




2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se
lim f ( x)  L é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um
x a

número positivo  tal que | f(x) – L | <  válido sempre que 0 < | x – a | < . Na
maioria dos casos o valor de  depende de , e quanto menor for  escolhido,
menor será o  necessário. Usando a definição de limite determine um  tal que
| f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < .

a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2,  = 0,01, lim ( x  3)  5
                                            x 2
30



                x 1                                                             x 1
b) f(x) =            L = 3, a = 5,  = 0,1,                               lim         3
                  2                                                       x 5     2




PROPRIEDADES DOS LIMITES

1. Unicidade: Se lim f ( x)  b e se lim f ( x)  c , então b = c.
                            x a                             x a



2. Se a, m e n são números reais, então lim(mx  n)  m.a  n
                                                                            x a


Casos particulares:
1. Se f(x) = x, então lim f ( x)  lim x  a .
                                   x a              x a

2. Se f(x) = n, então lim n  n (o limite de uma constante é a própria constante).
                                   x a

3. Se lim f ( x)  b e lim g ( x)  c , então:
             x a                  x a



   a) lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  b  c
             x a                         x a              x a



   b) lim[ f ( x).g ( x)]  lim f ( x).lim g ( x)  b.c
             x a                    x a            x a



                    f ( x) lim f ( x) b
   c) lim                  x a      (c  0)
             xa    g ( x) lim g ( x) c
                           x a



   d) lim k. f ( x)  k lim f ( x)  kb
             x a               x a




             x a
                            x a
                                             
   e) lim[ f ( x)]n  lim f ( x)  bn , n  Z*
                                              
                                                 n




   f)    lim n f ( x)  n lim f ( x)  n b ; se lim f ( x)  0 e n  Z* ou se lim f ( x)  0 e n  Z* impar
                                                                                                   
             x a               x a                               x a                    x a




4. Funções Polinomiais

   Se f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 , então:
    lim f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  f ( x0 )
    x  x0
31

Exemplos:

1) lim (5x  6) 
    x 3



2) lim x 
    x 4




3) lim (3x 2  3x  8) 
   x 2




         3x  1
4) lim          
   x 2   5


5) lim 1  x 2 
   x1




6) lim (3x 3  5x 2  8x  7) 
   x 2




            x3  2 x  3
7) lim                   
   x2         x2  5



8) lim (5x  7) 2 
  x 4




               x
9) lim 3             
   x 4      7x  1
32

EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos seguintes limite
1) lim 2 x  1 
                6
  x  1
                                                 x 1
                              
                               2
2) lim 3 x 3  2 x 2  5 x  1 
   x2
                                        9) lim
                                           x 1 1  x
                                                      

               1                                     3 1 
3) lim  4 x 2  x                    10) lim  3 x   2  
   x  4
               2                           x 
                                                1       x x 
                          
                                                3
4) lim x 4  x 3  x 2  1 
   x  1                                              x2 1
                                        11) lim                   
       5 x 3  6 x 2  3x                  x
                                                 1
                                                     1  2x  8
5) lim 3                                        2
      1 x  x 2  3x
   x
      2                                               8x  1
                                                             
6) lim t  14  t  
                                        12) lim
   t 3
              .                             x 1      x3
        x 1
7) lim 4      
  x 16   x
8) lim (2 x  3)1 / 4 
  x  1 / 3

Recomendado para você

Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1

1) O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo domínio, imagem, composição e função inversa. 2) Apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos, como determinar se uma relação é uma função, calcular imagem e composição de funções. 3) Explica como determinar a função inversa de uma função bijetora, trocando a variável independente pela dependente e isolando-a.

Apostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim DerivApostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim Deriv

1) O documento apresenta um resumo sobre limites e derivadas, incluindo noções intuitivas de limite, cálculo de indeterminações do tipo 0/0, regras de derivação e aplicações da derivada. 2) A citação destaca que pequenos problemas, se resolvidos com curiosidade e criatividade, podem levar a descobertas. 3) O valor de a no problema proposto é 25.

Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil

O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.

33

CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES


O que significa uma indeterminação?
Como sair de uma indeterminação?


                      0 
           As expressões, ,   , 0  , 0 , 0 ,1 , são ditas indeterminações. O
                      0 
que fazer quando se encontra tais situações?

                       0
Por exemplo              .
                       0

Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  lim g ( x)  0 . Nada se pode afirmar, a
                                           x a   x a

                                         f
princípio sobre o limite do quociente       . Dependendo das funções ele pode
                                         g
                                                                         0
assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que   é um
                                                                         0
símbolo de indeterminação.

Exemplo:

Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.
lim f ( x)  lim g ( x)  0
x 0             x0

    lim f ( x)            x3
e   x 0
                  lim        lim x  0
    lim g ( x)     x 0   x 2 x 0
    x 0


Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios
algébricos são necessários.

Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com x  a , que resulte a
                        0
indeterminação                e      a  função    dada  é   do     tipo  racional
                        0
           P( x)                 
  f ( x) 
                 polinômios em x  é possível fazer uma simplificação, pois os
                                  
           Q( x)                 
polinômios serão divisíveis por (x-a).

Exemplos:
         x2 1
1) lim         
    x 1 x  1
34



          x 3  4 x 3  7 x  10
2) lim                           
   x 1        x 2  2x  3



        x 3  27
3) lim           
   x 3 x  3




           x  12  4
4) lim                
  x 4       x4
35




                                 EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos limites:
           x3  8
1) lim               
   x  2 x  2

           x2  x  6
2) lim                  
    x 3       x3
             x 2  5x  6
3) lim 2                    
    x  2 x  12 x  20

              x 1  2
4) lim                     
     x 1        x 1
              2x  1  3
5) lim                    
    x 5        x5

6) lim
            x  32  9 
    x 0           x
           3
              8h 2
7) lim                   
    h 0          h
          5
              x  27  2
8) lim                    
    x 5        x5
          3 x 2  17 x  20
9) lim 2                     
   x  4 4 x  25 x  36

             2 x 2  3x  5
10) lim                     
       x
          5      2x  5
      2
36

LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO

      O símbolo  não representa um número; portanto, não se efetuam com ele
as operações que realizamos com os números reais.

       Alguns exemplos:

                                          1
1) Observe o gráfico da função f ( x)      :
                                          x




               1
      lim        0 , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é
       x    x
       zero.
               1
        lim  0 , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é
        x   x

       zero.
              1
       lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce
        x 0 x

       indefinidamente e o limite é infinito (+).
              1
       lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y
        x 0 x

       decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).

Recomendado para você

Contrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdadeContrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdade

O documento discute a construção de tabelas-verdade para proposições lógicas. Primeiro, explica como determinar os valores lógicos verdadeiro ou falso para proposições simples e compostas. Em seguida, define as operações lógicas de negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional e fornece exemplos de suas tabelas-verdade. Por fim, apresenta exemplos passo a passo de construção de tabelas-verdade para proposições compostas.

Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - ConjuntosLista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos

O documento apresenta 14 questões sobre conjuntos em três níveis de dificuldade - básico, intermediário e avançado. As questões abordam tópicos como operações com conjuntos, diagramas de Venn, pesquisas e relações entre conjuntos. O gabarito com as respostas é fornecido no final.

lista de questõesconjuntos.professor ferretto
Aula 01 limites e continuidade
Aula 01   limites e continuidadeAula 01   limites e continuidade
Aula 01 limites e continuidade

Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.

37

                                          1
2) Observe o gráfico da função f ( x)       .
                                          x2




     Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de
                                                                      1
      zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: lim 2  0 e
                                                               x   x

             1
       lim 2  0 .
       x  x

    Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce
                                                                             1
      indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: lim 2   e
                                                                        x 0 x

             1
       lim 2   .
       x 0 x

                      1
3) Considere f ( x)  3 :
                     x
38

         De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce
          ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação:
                 1
           lim 3  0 .
          x   x



                                                                            1
Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por f ( x)               , então:
                                                                            xn
                         1                               1
  lim f ( x)  lim           0   e    lim f ( x)  lim      0
  x             x  x n           x        x  x n




                                  k
De modo geral: x  
                         lim        n
                                      0
                                  x
                                                     3
4) Seja a função f: R-{2} R tal que f ( x)            cujo gráfico é:
                                                    x2




   Observa-se que:
    lim f ( x)  
          x 2

         lim f ( x)  
          x 2 

         lim f ( x) não existe, pois os limites laterais são diferentes.
          x2

         lim f ( x)  0
          x 


 LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS
                           INFINITO

          Considere a função polinomial f(x), de grau n, com a n0.
                           f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0
                                      lim f ( x)  lim an x n
                                      x        x 

Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de
n.

      Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a
+, podemos aplicar a seguinte regra prática:
39


                                                         se p  q
         p       p 1
     a p x  a p 1 x  ...  a1 x  a0       p
                                                ap x    ap
                                                       
lim                                      lim             se p  q
x  b x q  b x q 1  ...  b x  b    x  b x q
       q       q 1             1     0          q      bq
                                                        0 se p  q
                                                       
Analogamente se x tender a -.



PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
40




Exemplos:
1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular:
a) lim f ( x)
   x  

b) lim f ( x)
   x  




                  2 x 2  5x  1
2) Calcular lim                   .
            x  4 x 2  3 x  7

Recomendado para você

Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesCálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites

O documento discute regras fundamentais de limites, incluindo: (1) a regra da constante, onde o limite de um valor k tende a k quando x tende a zero; (2) a regra da soma e diferença, onde o limite da soma ou diferença de duas funções é igual ao limite da primeira função mais ou menos o limite da segunda função; e (3) casos de indeterminação em limites e como resolvê-los.

limitesmatemáticacálculo 1
Exercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematicaExercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematica

O documento apresenta 15 exercícios resolvidos de matemática, com problemas envolvendo proporções, porcentagens e operações com frações. Os exercícios abordam tópicos como torneiras enchendo tanques, divisão de heranças, gastos com compras e idades.

Modulo ii
Modulo iiModulo ii
Modulo ii

O documento apresenta os conceitos fundamentais de tabelas-verdade, incluindo: 1) Como construir tabelas-verdade para proposições com diferentes números de proposições simples; 2) Como preencher as colunas iniciais das tabelas-verdade; 3) Exemplos detalhados de como construir tabelas-verdade para proposições específicas.

41




                      2x 4  x  1
3) Calcular lim                     .
                x  x 3  x 2  4




Teorema: Se lim h( x)  0 e lim g ( x)  c com c  0, então:
                   x a                 x a

                                                                        g ( x)
1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então lim               .
                                                                 x a   h( x )

                                                                         g ( x)
2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então lim                .
                                                                  x a   h( x )

                                                                  g ( x)
3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então lim           .
                                                                x a
                                                                  h( x )
                                                                   g ( x)
4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então lim            .
                                                             x  a h( x )




Exemplos:
         2x 2  6x  5
1) lim 2              
   x  2 x  6 x  16




          x 2  3x  1
2) lim                
   x2    x2  x  6



             x 1
3) lim                
   x 1   x  x 2  2x
           3
42



                                               EXERCÍCIOS

1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função
quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência
do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um
ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre
limites, calcule os limites abaixo.
 a ) lim (2 x 5  2 x 4  x  1) 
   x  

b) lim (3  7 x  4 x 6 ) 
   x  

c) lim (2  x  x 5 ) 
   x  

d ) lim ( x 3  3 x 2 ) 
    x  

e) lim (4 x 12  4 x  5) 
   x  

             12 x 6  3 x 3  1
f ) lim                         
      x        3x 3  1
              6x 5  x 1
g ) lim                      
      x   2 x 4  3 x  5

              26 x 5  x
h) lim                       
     x   2 x 8  3 x  5

               x  16 x 5
i ) lim                      
    x   21x 3  3 x  5

            12 x 6  34 x 3  1
 j ) lim
     x       1 x 6  x

2) Calcule os seguintes limites:
              x2                             2x
    a ) lim                       i ) lim        
       x 1 1  x                       x 1 x  1

                 x                              x2
    b) lim           
       x  4 x  4                  j ) lim         
                                         x2 x  2
               x2
    c) lim 2          
       x2 x  4                              x 2  5x  1
                                    l ) lim 2             
                  x                     x 3 x  2 x  3
    d ) lim          
        x  1 x  4
                                               2 x 2  3x  2
                x
                    
                                    m) lim 2                 
    e) lim
       x4 x  4
                                          x4   x  3x  4
    f ) lim
               x2
                                              x2 1
        x 1 1  x
                                    n) lim
                                         x2 x  2 
                 4x
    g ) lim            
        x  3 9  x 2

                 4x
    h) lim             
       x  3 9  x 2
43



LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E
ASSÍNTOTAS VERTICAIS

Exemplos:
                                                   4
      a) Observe o gráfico da função f(x) =             quando x tende para 3/2 pela
                                                 2x  3
      esquerda e pela direita




    Assim podemos concluir que:
       4                                           4
lim        =                   e        lim           =
   3 2x  3                                  3   2x  3
x                                      x
  2                                          2
Por outro lado no exemplo acima temos que :

         4                                     4
lim           =                 e      lim          =
x  2 x  3                         x  2 x  3




                                           1
b) Observe o gráfico da função f(x) = 2      quando x tende para 1 pela
                                         x 1
                                                
esquerda e pela direita e quando x tende ao
                                                
44




                                                               Assíntota horizontal y = 2




                                                      Assíntota vertical x = 1




     Assim podemos concluir que:
           1                                  1
lim 2        =                   e lim 2       =
x 1    x 1                        x 1  x 1
Por outro lado no exemplo acima temos que :

           1                                       1
lim 2         =                   e     lim 2       =
 x    x 1                           x     x 1
       Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os
limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito
negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma
assíntota horizontal.


DEFINIÇÃO:

ASSÍNTOTA VERTICAL:
                                    x
Veja o gráfico da função f(x) =
                                  x 1
                                   2

Recomendado para você

Modulo iii
Modulo iiiModulo iii
Modulo iii

1) O documento apresenta os conceitos de tautologia, contradição e contingência e fornece exemplos de cada um. 2) É explicado o que é equivalência lógica e como verificar se duas proposições são logicamente equivalentes comparando suas tabelas-verdade. 3) São dados exemplos de verificação de equivalência lógica entre proposições.

Apostila3
Apostila3Apostila3
Apostila3

O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas que envolvem termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Aborda o grau de polinômios, propriedades de soma e multiplicação, e equações de 1o e 2o grau, cujos gráficos são retas e parábolas respectivamente.

Apostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdadeApostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdade

Este documento apresenta os conceitos básicos de lógica proposicional, incluindo: (1) definição de sentenças e proposições, (2) conectivos lógicos como negação, conjunção, disjunção, (3) tabelas verdade para avaliar proposições compostas, e (4) exercícios sobre esses tópicos.

45



No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida,
estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue:

Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f
se pelo menos uma das seguintes condições for válida:
 1) lim f ( x)    2) lim f ( x)   3) lim f ( x)   4) lim_ f ( x)  
    x a                 x a                  x a             x a




ASSÍNTOTA HORIZONTAL




No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e
observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem
nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas
horizontais conforme segue:

A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma
função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:

1) lim f ( x)  b      2) lim f ( x)  b
   x                    x 


Outros exemplos:
Determine as assíntotas das funções abaixo:

             3x                 2x  6                 1  2x
a) f(x) =           b) f(x) =              c) g(x) =
            x 1                 x5                   3  5x
46



LIMITE FUNDAMENTAIS                    ( 2ª parte da apostila)

Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais

1) Primeiro Limite Fundamental

     sen x
lim        1
x 0   x

2) Segundo Limite Fundamental

     a x 1
lim          ln a (a > 0 e a  1)
x 0    x
                        a u ( x)  1
De modo geral: lim                    ln a
                   x 0   u ( x)

                   ex 1
Em particular: lim        ln e  1
              x 0   x
3) Terceiro Limite Fundamental


              x
      1
lim 1    e
x 
       x
                                       u ( x)
                       1 
De modo geral: lim 1 
                     u ( x) 
                                               e
               x 
                            

Teorema do Confronto

       Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se              g(x)
f(x) h(x).
       Se lim g ( x)  L e lim h( x)  L, então lim f ( x)  L. O teorema do confronto
             x a               x a                 x a

será utilizado para demonstrar o limite fundamental.
47

Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites
fundamentais.

1) Primeiro Limite Fundamental

     sen x
lim        1
x 0   x
Demonstração:




Da figura temos:
Vamos considerar x  1º quadrante.
Área do triângulo AOM  área do setor circular AOM  área do triângulo AOT
1. sen x 1          1.tgx
         .x.12 
    2      2          2
sen x  x  tgx
Dividindo por senx temos:
      x       1
1        
    sen x cos x
    sen x                   sen x
1         cos x  cos x        1
      x                       x
lim cos x  cos 0  1
x 0

lim 1  1
x 0



                                        sen x
Pelo Teorema do Confronto, temos: lim         1
                                   x 0   x
Graficamente, temos:
48



                                 sen u ( x)
De modo geral: lim                          1
                          x 0     u ( x)
Exemplos:
        sen2 x
1) lim         
   x 0   x

        sen3 x
2) lim          
   x 0 sen 4 x




          tgx
3) lim        
   x 0    x

        sen2 x
4) lim         
   x 0   5x

          1  cos x
6) lim              
   x 0      2x

2) Segundo Limite Fundamental

     a x 1
lim          ln a (a > 0 e a  1)
x 0    x
                        a u ( x)  1
De modo geral: lim                    ln a
                   x 0   u ( x)

                            ex 1
Em particular: lim                 ln e  1
                       x 0   x
Exemplos:

        e3x  1
1) lim          
   x 0   3x

        e3x  1
2) lim          
   x 0    x

        4 2 x  1
3) lim             
   x 0      x

        7 3x  1
4) lim           
   x 0    5x

        e x 1  1
5) lim 2           
    x 1 x  1

Recomendado para você

As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...

O documento aborda a história das equações do segundo grau desde a antiguidade, destacando que os babilônios foram os primeiros a registrar tais equações e resolvê-las por métodos geométricos semelhantes aos atuais. Posteriormente, gregos, hindus e chineses também estudaram e resolveram equações polinomiais do segundo grau.

Modulo iv
Modulo ivModulo iv
Modulo iv

Este documento apresenta os conceitos de equivalência lógica e implicação lógica. A equivalência lógica entre duas proposições é verificada quando elas têm a mesma tabela-verdade ou quando a bicondicional associada é uma tautologia. A implicação lógica ocorre quando toda vez que a primeira proposição for verdadeira, a segunda também o é, ou quando a condicional associada for uma tautologia. Exemplos ilustram como verificar essas relações por meio de tabelas-verdade.

Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalvaCaderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva

Este documento fornece informações sobre um caderno de exercícios de matemática do 10o ano que inclui sínteses com exemplos, mais de 500 exercícios propostos e respostas, e testes online. Aborda temas como introdução à lógica bivalente e teoria dos conjuntos, geometria analítica, álgebra, radicais e potências, polinómios, funções reais e estatística.

49

3) Terceiro Limite Fundamental

            x
      1
lim 1    e
x 
       x
                                 u ( x)
                       1 
De modo geral: lim 1                   e
               x         
                     u ( x) 
                                               x
                           1
                 f ( x)  1  
Seja a função
                             x                   , definida num domínio D.

O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação
     1
1      0.
     x
D   ,1  0,

Atribuindo valores de D a x, temos;

       x           y
      1          2,000                         Para os valores de x que crescem ou
      2          2,250                         decrescem indefinidamente, correspondem
        3        2,369                         valores de y que vão se aproximando do
      5          2,489                         número irracional e, chamado número de
     10          2,594                         Euler.
     100         2,705
    1000         2,717                         e = 2,71828182....
   10000         2,718
      -2           4
      -3         3,375
     -10         2,868
    -100         2,732
   -1000         2,720
  -10000         2,718
       .            .
       .            .
       .            .
                  e
50

OBSERVE O GRÁFICO:




A partir do gráfico, temos que:

                      x           x
      1         1
lim 1    lim 1    e
x 
      x  x   x 

Exemplos:
                 4x
           1
1) lim 1           
   x  
           x


           x 6
                  x

2) lim          
   x  
           x 



                 x
           1
3) lim 1   
   x  
           x



                 x
           2 4
4) lim 1   
   x  
           x
51

 CONTINUIDADE

Definição

A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem
satisfeitas:
i)     f(a) existe
ii)     lim f ( x)existe
       x a

iii)   lim f ( x)  f (a)
       x a


Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função
f é descontínua em a.

Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a.




Exemplos:
Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.

             x  1 se x  1
a) f ( x)                  em x = 1
            1  x se x  1
52



            2 x  1 se x  1
b) f ( x)                   em x = 1
             4 se x  1




              2 se x  1
             
c)   f (x)  - 1 se x  1   em x = 1
             - 2 se x  1
             




             x  1 se x  1
d) f ( x)   2                   em x = 1
            x  6 x  7 se x  1




             x2  1
                    se x  1
             x 1
e) f ( x)                   em x = 1
            
             1 se x  1
            

Recomendado para você

Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
Ufba11mat2

1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120. 2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8. 3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau

GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06

O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo: 1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos; 2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária; 3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.

geometríacalculo vetorialanalÍtica
Introdução Ao Cálculo
Introdução Ao CálculoIntrodução Ao Cálculo
Introdução Ao Cálculo

(1) O documento introduz os conceitos básicos de geometria analítica, incluindo o plano cartesiano, pares ordenados, coordenadas de pontos e cálculo da distância entre pontos; (2) Apresenta como calcular a inclinação e equação de uma reta a partir de dois pontos, e como determinar o ponto de interseção entre duas retas.

retas no planocalculo com geometria analitica
53



                   x  3 se x  -1
f)       f ( x)                    em x = -1
                  - x  1 se x  -1




Exercícios

1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:

             x se x  1
            
a) f ( x)   2 se x  1
             x 2 se x  1
            
* lim f ( x)
     x  1

* lim f ( x)
     x 0

             1  x se x  0
             
b) g ( x )   2    se x  0
             1  x se x  0
             
* lim g ( x)
     x  1

* lim g ( x)
     x 0

* lim g ( x)
     x 1



             x  4 se x  0
c) g ( x)   2
             x  1 se x  0

* lim g ( x)
     x 0

* lim g ( x)
     x 0

* lim g ( x)
     x 0

* lim g ( x)
     x  9
54



              x     se x  1
d ) p ( x)  
              x  2 se x  1
* lim p ( x)
  x 1

* lim p ( x)
  x 1

* lim p ( x)
  x 1

* lim p ( x)
  x 15

                                           1  x 2   se x  2
2) A função g está definida por   g ( x)  
                                           7  x     se x  2
Esboce o gráfico de g.
a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda.
b) A função tem limite em x = 2..




3) Dado a função




a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afa
Acir Robson
 
Booklet reais
Booklet reaisBooklet reais
Booklet reais
pm3d
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
Jean Silveira
 
Equações literais
Equações literaisEquações literais
Equações literais
aldaalves
 
92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)
奈莫 里玛
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
Fernando Viana
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
Everton Moraes
 
Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
WANDERSON JONER
 
Resumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra LinearResumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra Linear
Rodrigo Thiago Passos Silva
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
Luciano Pessanha
 
Apostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-iApostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-i
Claudia Sá de Moura
 
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores ExtremosMedida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
Renato Vicente
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricoswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
Aulas Apoio
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
Aulas De Matemática Apoio
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2
bonesea
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos   Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
Luciano Pessanha
 
Redes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas BayesianasRedes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas Bayesianas
Renato Vicente
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
resolvidos
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
Chromus Master
 

Mais procurados (19)

Resumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afaResumo teorico matematica afa
Resumo teorico matematica afa
 
Booklet reais
Booklet reaisBooklet reais
Booklet reais
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Equações literais
Equações literaisEquações literais
Equações literais
 
92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)92 268-1-pb (2)
92 268-1-pb (2)
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Trabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médioTrabalho de matematica ensino médio
Trabalho de matematica ensino médio
 
Resumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra LinearResumo - Álgebra Linear
Resumo - Álgebra Linear
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
 
Apostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-iApostila de-matemática-ester-parte-i
Apostila de-matemática-ester-parte-i
 
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores ExtremosMedida de risco por Teoria de Valores Extremos
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricoswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos   Teoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
 
Redes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas BayesianasRedes Neurais: Técnicas Bayesianas
Redes Neurais: Técnicas Bayesianas
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
Teoria dos Conjuntos
Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
 

Destaque

Exercícios de calculo 1 limites
Exercícios de calculo 1   limitesExercícios de calculo 1   limites
Exercícios de calculo 1 limites
Adersom Carvalho
 
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exercicios
Sergio Finamore
 
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Gi Olli
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
Scott Renwick
 
Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1
Gabriel Mendes
 
Apostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim DerivApostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim Deriv
Atila Haber
 
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Ana Carolline Pereira
 
Contrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdadeContrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdade
Aristóteles Meneses
 
Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - ConjuntosLista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Daniel Ferretto
 
Aula 01 limites e continuidade
Aula 01   limites e continuidadeAula 01   limites e continuidade
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesCálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites
Amanda Saito
 
Exercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematicaExercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematica
zeramento contabil
 

Destaque (13)

Exercícios de calculo 1 limites
Exercícios de calculo 1   limitesExercícios de calculo 1   limites
Exercícios de calculo 1 limites
 
Limites exercicios
Limites exerciciosLimites exercicios
Limites exercicios
 
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
Exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
 
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02   Cálculo de limites - Conceitos BásicosAula 02   Cálculo de limites - Conceitos Básicos
Aula 02 Cálculo de limites - Conceitos Básicos
 
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
The Red Ribbon Park, Qinhuangdao City, Hebei Province, China, designed by Tur...
 
Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1Apostila cálculo 1
Apostila cálculo 1
 
Apostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim DerivApostila Alvaro Lim Deriv
Apostila Alvaro Lim Deriv
 
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia CivilApostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
Apostila Calculo 1 - Limites de uma função - Engenharia Civil
 
Contrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdadeContrução da tabela verdade
Contrução da tabela verdade
 
Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - ConjuntosLista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
Lista de questões - Professor Ferretto - Conjuntos
 
Aula 01 limites e continuidade
Aula 01   limites e continuidadeAula 01   limites e continuidade
Aula 01 limites e continuidade
 
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - LimitesCálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites
 
Exercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematicaExercicios resolvidos matematica
Exercicios resolvidos matematica
 

Semelhante a Apostila 1 calculo i

Modulo ii
Modulo iiModulo ii
Modulo ii
EvelyneBorges
 
Modulo iii
Modulo iiiModulo iii
Modulo iii
EvelyneBorges
 
Apostila3
Apostila3Apostila3
Apostila3
con_seguir
 
Apostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdadeApostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdade
João moreira
 
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
leosilveira
 
Modulo iv
Modulo ivModulo iv
Modulo iv
EvelyneBorges
 
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalvaCaderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva
beta2001
 
Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
Andrei Bastos
 
Introdução Ao Cálculo
Introdução Ao CálculoIntrodução Ao Cálculo
Introdução Ao Cálculo
omineirinhobom
 
Md 4 sequenciae_inducaomatematica
Md 4 sequenciae_inducaomatematicaMd 4 sequenciae_inducaomatematica
Md 4 sequenciae_inducaomatematica
Mauricio Wieler
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
David Azevedo
 
Polinomios aula
Polinomios aulaPolinomios aula
Polinomios aula
ELIZEU GODOY JR
 
Prova p1 calc4_2011_2_eng
Prova p1 calc4_2011_2_engProva p1 calc4_2011_2_eng
Prova p1 calc4_2011_2_eng
Vitobno
 
aula sobre polinomios matematica basica1
aula sobre polinomios matematica basica1aula sobre polinomios matematica basica1
aula sobre polinomios matematica basica1
RobertaArago2
 
Cn2008 2009
Cn2008 2009Cn2008 2009
Cn2008 2009
2marrow
 
Razão e proporção1
Razão e proporção1Razão e proporção1
Razão e proporção1
Luccy Crystal
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
matheuslw
 
Ap2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabaritoAp2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabarito
Marcia Costa
 
Lógica para ciencia da computaçao joao nunes souza
Lógica para ciencia da computaçao   joao nunes souzaLógica para ciencia da computaçao   joao nunes souza
Lógica para ciencia da computaçao joao nunes souza
Paulo Cesar Diniz Bicudo
 

Semelhante a Apostila 1 calculo i (20)

Modulo ii
Modulo iiModulo ii
Modulo ii
 
Modulo iii
Modulo iiiModulo iii
Modulo iii
 
Apostila3
Apostila3Apostila3
Apostila3
 
Apostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdadeApostilam01 tabela verdade
Apostilam01 tabela verdade
 
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a é...
 
Modulo iv
Modulo ivModulo iv
Modulo iv
 
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalvaCaderno exercicios 10º ano   novo programa jorge penalva
Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva
 
Ufba11mat2
Ufba11mat2Ufba11mat2
Ufba11mat2
 
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06GEOMETRIA ANALÍTICA cap  06
GEOMETRIA ANALÍTICA cap 06
 
Introdução Ao Cálculo
Introdução Ao CálculoIntrodução Ao Cálculo
Introdução Ao Cálculo
 
Md 4 sequenciae_inducaomatematica
Md 4 sequenciae_inducaomatematicaMd 4 sequenciae_inducaomatematica
Md 4 sequenciae_inducaomatematica
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 
Polinomios aula
Polinomios aulaPolinomios aula
Polinomios aula
 
Prova p1 calc4_2011_2_eng
Prova p1 calc4_2011_2_engProva p1 calc4_2011_2_eng
Prova p1 calc4_2011_2_eng
 
aula sobre polinomios matematica basica1
aula sobre polinomios matematica basica1aula sobre polinomios matematica basica1
aula sobre polinomios matematica basica1
 
Cn2008 2009
Cn2008 2009Cn2008 2009
Cn2008 2009
 
Razão e proporção1
Razão e proporção1Razão e proporção1
Razão e proporção1
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
 
Ap2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabaritoAp2 gai-2014-2-gabarito
Ap2 gai-2014-2-gabarito
 
Lógica para ciencia da computaçao joao nunes souza
Lógica para ciencia da computaçao   joao nunes souzaLógica para ciencia da computaçao   joao nunes souza
Lógica para ciencia da computaçao joao nunes souza
 

Mais de trigono_metrico

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
trigono_metrico
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
trigono_metrico
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
trigono_metrico
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
trigono_metrico
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
trigono_metrico
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
trigono_metrico
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
trigono_metrico
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
trigono_metrico
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
trigono_metrico
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
trigono_metrico
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
trigono_metrico
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
trigono_metrico
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
trigono_metrico
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
trigono_metrico
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
trigono_metrico
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
trigono_metrico
 
Apostila 1 ec
Apostila 1 ecApostila 1 ec
Apostila 1 ec
trigono_metrico
 

Mais de trigono_metrico (20)

Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentadaPro cefet fasciculo 03 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 03 resolução comentada
 
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentadaPro cefet fasciculo 04 resolução comentada
Pro cefet fasciculo 04 resolução comentada
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 
Ap geometria resolvidos
Ap geometria resolvidosAp geometria resolvidos
Ap geometria resolvidos
 
Ap matemática m2
Ap matemática m2Ap matemática m2
Ap matemática m2
 
Ap geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidosAp geometria plana resolvidos
Ap geometria plana resolvidos
 
Ap matemática m3
Ap matemática m3Ap matemática m3
Ap matemática m3
 
Dfato vestibular fasciculo 3
Dfato vestibular fasciculo  3Dfato vestibular fasciculo  3
Dfato vestibular fasciculo 3
 
Apostila 3 funções
Apostila 3 funçõesApostila 3 funções
Apostila 3 funções
 
Ap geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidosAp geometria analitica resolvidos
Ap geometria analitica resolvidos
 
Dfato vestibular fasciculo 5
Dfato vestibular fasciculo  5Dfato vestibular fasciculo  5
Dfato vestibular fasciculo 5
 
Ap trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexoAp trigonometria numeros complexo
Ap trigonometria numeros complexo
 
Apostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integraisApostila 3 calculo i integrais
Apostila 3 calculo i integrais
 
Dfato vestibular fasciculo 2
Dfato vestibular fasciculo  2Dfato vestibular fasciculo  2
Dfato vestibular fasciculo 2
 
Apostila trigonometria
Apostila trigonometriaApostila trigonometria
Apostila trigonometria
 
Dfato vestibular fasciculo 4
Dfato vestibular fasciculo  4Dfato vestibular fasciculo  4
Dfato vestibular fasciculo 4
 
Apostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basicaApostila 2 matematica basica
Apostila 2 matematica basica
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Mat exercicios resolvidos 011
Mat exercicios resolvidos  011Mat exercicios resolvidos  011
Mat exercicios resolvidos 011
 
Apostila 1 ec
Apostila 1 ecApostila 1 ec
Apostila 1 ec
 

Último

Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdfGuia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
FLAVIOROBERTOGOUVEA
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
felipescherner
 
Painel para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
Painel  para comemerorar odia dos avós grátis.pdfPainel  para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
Painel para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
marcos oliveira
 
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantililSEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
menesabi
 
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Mary Alvarenga
 
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
Pr Davi Passos - Estudos Bíblicos
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
Sandra Pratas
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
shirleisousa9166
 
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
Falcão Brasil
 
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
Texto e atividade - Fontes alternativas de energia
Texto e atividade -  Fontes alternativas de energiaTexto e atividade -  Fontes alternativas de energia
Texto e atividade - Fontes alternativas de energia
Mary Alvarenga
 
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdfTrabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
marcos oliveira
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mary Alvarenga
 
As Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
As Ideias Têm Consequências - Richard M. WeaverAs Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
As Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
C4io99
 
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdfApostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
pattyhsilva271204
 
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsxSe A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
Luzia Gabriele
 
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docxPlano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
IsaiasJohaneSimango
 
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
Falcão Brasil
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Luzia Gabriele
 

Último (20)

Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdfGuia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
Guia referencial de Apoio - Planejamento Escolar 2024.pdf
 
Guerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibéricaGuerra de reconquista da Península ibérica
Guerra de reconquista da Península ibérica
 
Painel para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
Painel  para comemerorar odia dos avós grátis.pdfPainel  para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
Painel para comemerorar odia dos avós grátis.pdf
 
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantililSEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
SEQUÊNCIA NÃO ME TOCA, SEU BOBOCA, Violência sexual infantilil
 
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.Caça-palavras e cruzadinha -  Encontros consonantais.
Caça-palavras e cruzadinha - Encontros consonantais.
 
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
(45-ESTUDO - LUCAS) A EPIRITUALIDADE DE JESUS
 
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
EBOOK_HORA DO CONTO_O MONSTRO DAS CORES_ANGELINA & MÓNICA_22_23
 
escrita criativa utilizada na arteterapia
escrita criativa   utilizada na arteterapiaescrita criativa   utilizada na arteterapia
escrita criativa utilizada na arteterapia
 
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
Relatório de Atividades 2009 CENSIPAM
 
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2015 CENSIPAM.pdf
 
Texto e atividade - Fontes alternativas de energia
Texto e atividade -  Fontes alternativas de energiaTexto e atividade -  Fontes alternativas de energia
Texto e atividade - Fontes alternativas de energia
 
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdfTrabalho Colaborativo na educação especial.pdf
Trabalho Colaborativo na educação especial.pdf
 
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História. Mini livro  sanfona - Minha Escola Tem História.
Mini livro sanfona - Minha Escola Tem História.
 
As Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
As Ideias Têm Consequências - Richard M. WeaverAs Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
As Ideias Têm Consequências - Richard M. Weaver
 
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdfApostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
Apostila em LIBRAS - Curso Básico ENAP 2019.pdf
 
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsxSe A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
Se A Música É O Alimento do Amor Não Parem de Tocar Luzia Gabriele.ppsx
 
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2019 CENSIPAM.pdf
 
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docxPlano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
Plano Analitico de Psicopedagogia -11 Classe- II Trimestre - 2024_014203.docx
 
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdfRelatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
Relatório de Atividades 2017 CENSIPAM.pdf
 
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsxNoite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
Noite Alva! José Ernesto Ferraresso.ppsx
 

Apostila 1 calculo i

  • 1. 1 ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA FUNÇÕES ELEMENTARES LIMITES E CONTINUIDADE PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO
  • 2. 2 1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da validade de argumentos. 1.1 PROPOSIÇÕES Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na forma simbólica ou na linguagem usual. Exemplos: 3 1) Sen 60° = 2 2) Marleide é professora. 3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina. Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1) se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é falsa. Exemplos: a) Orleans fica no nordeste. b) Sen(30°) + cos(60°) = 1 O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição b) é a verdade (1). As proposições podem ser simples ou compostas. SIMPLES COMPOSTA Não contém nenhuma outra Formada por duas ou mais proposição como parte integrante proposições relacionadas pelos de si mesma. conectivos “e”, “ou” e “se então” . Notação: letras minúsculas do Notação: letras maiúsculas do alfabeto alfabeto Exemplos: Exemplo: 1) p: Maria é bonita. 1) P(p,q): Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. estudiosa. 2) p: 1+2=3 2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21. q: 21
  • 3. 3 1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA a) Princípio da Não-contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e falsa”. b) Princípio do terceiro excluído Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado lógico para ela. De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda proposição admite um e um só dos valores 1 e 0. Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para formar novas proposições, a partir de proposições dadas. Exemplos: P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar. Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. R: Se João estuda, então sabe a matéria. 1.3- TABELA VERDADE O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 n, onde n é o número de proposições componentes. PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES Nº DE LINHAS DA SIMPLES TABELA P 1 21 = 2 P(p,q) 2 22 = 4 P(p,q,r) 3 23 = 8 P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n p q r p p q 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
  • 4. 4 EXERCÍCIOS 1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes proposições: a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)= b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)= c) Log3 3 = 1 V(c)= d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)= e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) = f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)= g) –2 < 0. V(g)= h) O par {x,x} = {x}. V(h)= i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)= j) x2. x5 = x7 . V(j)= 2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes proposições: a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a 4. V(a) = b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente. V(b) = c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente. V(c)= d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) = e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) = f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)= g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) = h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é V = R 2 h V(h) = 1 i) x  x2 V(i) = 1 x j)  V(j) = x x 3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1. 4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.
  • 5. 5 1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 1) Negação ( ‘ )ou : não Exemplos: Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”. Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0 II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante V(q‟)=1 Tabela Verdade: p P‟ 0 1 1 0 2) Conjunção ( . ) A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos. Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e Lê-se: p e q Exemplos: I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1 P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1 II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20=2 V(s)=0 0 Q(r,s): r.s : log22=1 e 2 =2 V(r.s) = 0 Tabela Verdade: p q p.q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.
  • 6. 6 3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+) A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos. Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou Lê-se: p ou q Exemplos: I) p:  = 3 V(p)=0 q: 9-3=6 V(q)=1 V(p+q)=1 II) p: 2 < 1 V(p)=0 q: 2 < 2 V(q)=0 V(p+q) = 0 Tabela Verdade: p q p+q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 4) Disjunção Exclusiva (  ) A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes, isto é V(p)  V(q). Notação: p  q Lê-se: p ou q, mas não ambas. Exemplos: I) p: Maria é alta V(p)=1 q: Maria é baixa V(q)=0 P(p,q): (p  q): Maria é alta ou baixa. V(p  q):1 II) p:  < 3 V(p)=0 q: 3>2 V(q)=1 V(p,q)=1
  • 7. 7 Tabela Verdade p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 5) Condicional () O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente. Notação: p  q Lê-se: “se p então q” Exemplos:  I) p:tg =1 V(p)=1 4 q: sen0º=0 V(q)=1 V(p,q)=1  2 II) p: cos  V(p)=1 4 2  q: tg 0 V(q)=0 4 V(p,q)=0 Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  • 8. 8 6) Bicondicional () Esta operação equivale a duas operações do tipo condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores lógicos das proposições forem iguais. Notação: p  q Lê-se: “p se e somente se q” Exemplos: I) p: 2   V(p)=1 q: 2 > 1 V(q)=1 V(p,q)=1 II) p: 3  Z V(p)=0 q: 3  1 V(q)=1 V(p,q)=0 Tabela Verdade p q pq 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES a) Negação ( „ ) b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+) c) Condicional () d) Bicondicional () Exemplo: a) pq  r (bicondicional) b) p + q‟  q.r (condicional) c) p+(q‟  q.r‟) (soma lógica e condicional) EXERCÍCIOS 1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposições: a) p+q b) p.q c) p.q‟
  • 9. 9 d) p´.q‟ e) (p‟)‟ f) (p‟.q‟)‟ 2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante, escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Maria é bonita e elegante. b) Maria é bonita, mas não é elegante. c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante. d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante. 3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção, disjunção, condicional, bicondicional ou negação: a) (p.q‟)‟ b) p+(q.r‟) c) p.(qr) d) p.qr‟ e) (p.q‟)‟+(r+s) f) (p+q‟)(r.s) g) [p(q.r)].s h) [p(q.r)]‟ i) [p+(q.r)]‟ s‟ j) (pq)  r‟ 4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) 3+2=7 e 5+5=10 b) sen=0 e cos=0 c) 3>2 ou sen90º>tg45º d) se |-1|< 0 então sen90º=1 e) 3>1  30=3 f) >43> 5 g) tg  =1 se e somente se sen=0 h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar i) (1+1=24+3=5)‟ j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟ 5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada uma das proposições: a) p.q‟ b) p+q‟ c) p´.q d) p‟.q‟ e) p‟+q‟ f) p.(p´+q)
  • 10. 10 6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que: a) V(q)=0 e V(p.q)=0 b) V(q)=0 e V(p+q)=0 c) V(q)=0 e V(pq)=0 d) V(q)=0 e V(pq)=1 e) V(q)=1 e V(pq)=0 f) V(q)=0 e V(pq)=1 As funções reais Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já estudaram as funções e suas principais características na disciplina de Matemática básica. Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características da sua representação gráfica. a) b)
  • 11. 11 c) d) e) f) Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a imagem em cada caso. a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)
  • 12. 12 c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x) e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x) f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)
  • 13. 13 g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x) Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados seu campo de definição, vejamos os exemplos: 1 a) Veja o gráfico da função racional f(x) = x Neste caso observa-se que a função não é definida para x = 0. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 0 pela direita e pela esquerda?
  • 14. 14 x 1 b) Vamos pensar na função racional f(x) = x2 Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico. Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças  x 2  1, se  2 c) f(x) =   x  3, se  2 Neste caso observa-se que a função não é definida para x =2. Mas o que acontece com o valor da função quando x se aproxima se 2 pela direita e pela esquerda? Analise sempre a linha do gráfico.
  • 15. 15 Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras. As funções representam um importante instrumento de análise das relações matemáticas e físicas. Um problema: Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares, dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento. Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume. 1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os aspectos do movimento. Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada, exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo? A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das
  • 16. 16 partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de natação”. Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso? Em que situações aparecem a palavra limite? Qual o significado da palavra limite em nosso contexto? O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto, o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que, de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de cálculo estão baseados. Considere as seguintes situações: 1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 Vamos desenvolver as seguintes etapas : Primeira : hachurar metade dessa figura 1 Área hachurada : 2 Segunda : hachurar metade do que restou em branco. 1 1 3 Área hachurada :   2 4 4
  • 17. 17 Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco. Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7 2 4 8 8 Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1. 1 , 3 , 7,..., Quando dizemos que a área 2 4 8 hachurada tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor. 2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas: a) 1,2,3,4,5,... b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,... c)1,0,-1,-2,-3,... d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,... Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão tende para o infinito . Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o limite da sucessão tende para o menos infinito . Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
  • 18. 18 3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo, expressa pelo gráfico a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s? b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s? O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Considere as seguintes funções: 1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como A   2 . O que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?  1,8 1,9 1,98 1,99 1,999 3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001 A  2  2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004 A  2 Esta função tende a 4 quando x tende a 2. Diz-se que se   2 então A  4 . Esta situação pode ser observada no gráfico abaixo: Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y, temos:
  • 19. 19 y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: lim x 2  4 x 2 2) Consideramos a função f definida pela equação: f ( x)  Sendo 2 x  3.( x  1) . x 1 que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se x  1 , o numerador e o denominador podem ser divididos por ( x  1) para obtermos: f ( x)  2 x  3 para x  1 Estudaremos os valores da função f (x) , quando x estiver próximo a 1, mas não igual a 1. Quadro (1): X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 f ( x)  2 x  3.( x  1) x 1 3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 ( x  1) Quadro (2) : X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 f ( x)  2 x  3.( x  1) x 1 7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002 ( x  1)
  • 20. 20 Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de 1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x) estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem: Em particular, vemos no nosso exemplo que : (2 x  3).( x  1) (2 x  3).( x  1) lim  5 , mas que: não x 1 ( x  1) ( x  1) é definida para x = 1. Outros exemplos: 1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2. O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x : x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9 f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9 De acordo com o exposto, podemos dizer que : • o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos : lim f ( x )  5 x3 • o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos : lim f ( x)  5 x3
  • 21. 21 Podemos representar somente por : lim f ( x)  5 x 3 2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :  x, se, x  3 f ( x)    x  2, se, x  3 Observe : • quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é: lim f ( x)  3 x3 • quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: lim f ( x)  5 x3 Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos que: Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3. Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é: lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) xa  xa xa Observando a figura podemos afirmar que: lim g ( x)  L lim g( x )  L xb  x b 
  • 22. 22 Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que a função g tem limite L no ponto b e escrevemos : lim g( x )  L x b Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida à direita e a esquerda de b. Y lim f ( x )  L1 x b  L1 L2 lim f ( x )  L2 X xb b
  • 23. 23 Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática básica ( função definida por várias sentenças. Atividade: Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item 2 x, se  0 1) f(x) =  2  x , se x 0 a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x ) x 0- x  0 x 0  x 2  1, se  1 2) f(x) =   x  3, se x  1 a) lim- f( x) b) lim f ( x) c) lim f( x) x 1 x1 x 1 3, se  2 3) (x) =   x  1, se x 2 a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x ) x  2 x  2 x 2 Outros exemplos:  x-1 se x  1 1. Seja h definida por: h( x)   1-x se x  1 a) Faça um esboço do gráfico de h. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) lim h( x) =  x 1 ii) lim h( x) = x 1 iii) lim h( x) = x1
  • 24. 24  x 2 se x  0 2. Seja a função f definida por: f(x)=  3 - x se x  0 a) Faça um esboço do gráfico de f. b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites: i) lim f ( x) = x 0 ii) lim f ( x) = x 0 iii) lim f ( x) = x0 EXERCÍCIOS 1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:  x 2  1, se x  2  a) f ( x )   2, se x  2 1 - x 2 , se x  2  i) lim f( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x 2 x 2 x 2  x 2 para x  1  b) f ( x )   2 para x  1 2 - x para x  1  i) lim f( x )  ii) lim f( x )  iii) lim f( x ) x 1 x 1 x 1 2 x  1, se x  1  c) f ( x)   1, se x  1  1-2 x, se x  1  i) lim f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x  1_ x 1  x 1
  • 25. 25 2 x 2 para x  0  d) f ( x )   1 para x  0 -x 2 para x  0  i) lim f ( x ) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x ) x 0 x 0 x 0  2, se x  1  e) f ( x )  - 1, se x  1 - 3, se x  1  i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x1 x 1 x 1  2 x  4 se x  -1 f) f ( x)   1  2 x se x  1 i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x ) x  -1 x  -1 x  -1 2) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x 3 b) lim f ( x)  x 3 c) lim f ( x)  x   d ) lim f ( x)  x   e) lim f ( x)  x4
  • 26. 26 3) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x  2 b) lim f ( x)  x  2 c) lim f ( x)  x  2 d ) lim f ( x)  x   e) lim f ( x)  x   4) Seja a função f definida pelo gráfico: Intuitivamente encontre se existir: a ) lim f ( x)  x 0 b) lim f ( x)  x 0 c) lim f ( x)  x 0 d ) lim f ( x)  x2 e) lim f ( x)  x2 f )lim f ( x)  x2 lim f ( x)  L x a
  • 27. 27 DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima- se de a é L, pode ser escrito como: Se para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existir um  0, tal que: f ( x)  L   sempre que 0 xa . Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y quando x está muito próximo de 3? x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001 y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002 Tab.1 x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998 Tab.2 1 =5,2-5,02=0,18 2 =5,02-5,002=0,018 3 =5,002-5,0002=0,0018 4 =5,0002-5,00002=0,00018 5 =5,00002-5,000002=0,000018 1 = 3,1-3,01=0,09 2 = 3,01-3,001=0,009 3 = 3,001-3,0001=0,0009 4 = 3,0001-3,00001=0,00009 5 = 3,00001-3,000001=0,000009 QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO? 0,18 e 0,09? 0,018 e 0,009? 0,0018 e 0,0009? Pode-se concluir que: 0,09 x 2 = 0,18 0,009 x 2 = 0,018 0,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que  = 2 x 
  • 28. 28 Outro exemplo: 2x O que significa provar que o lim  3  5? x 3 3 Significa que devemos mostrar que para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existe um  0, tal que: f ( x)  L   sempre que 0  x  a   , isto é: Dados que neste caso tem-se: 2x f(x) = 3 L = 5 a = 3 então: 3 2x (  3)  5   sempre que 0  x  3   3 2x  2   sempre que 0  x  3   3 2x  6   sempre que 0  x  3   3 2 x  3   sempre que 0  x  3   3 3 x3  sempre que 0  x  3   2 Comparando-se as desigualdades tem-se que: 3 = 2 Outro modo utilizando as desigualdades temos: 3- < x < 3+  5- < y < 5+ 5- < y < 5+ 2 5- < x  3 < 5+ 3 2 5--3 < x < 5+-3 3 3.(2-) < 2x < 3.(2+) 3.(2   ) 3.(2   ) <x< 2 2 3 3 3  x  3 2 2 3 Logo  = 2 Vejamos graficamente a situação descrita acima.
  • 29. 29 Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x 2x lim  3  5 suficientemente próximos de 3. Logo x 3 3 Exercícios 1) Usando a definição de limite prove que: a) lim (3x  1)  2 x 1 b) lim (4 x  5)  13 x 2 2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se lim f ( x)  L é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um x a número positivo  tal que | f(x) – L | <  válido sempre que 0 < | x – a | < . Na maioria dos casos o valor de  depende de , e quanto menor for  escolhido, menor será o  necessário. Usando a definição de limite determine um  tal que | f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < . a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2,  = 0,01, lim ( x  3)  5 x 2
  • 30. 30 x 1 x 1 b) f(x) = L = 3, a = 5,  = 0,1, lim 3 2 x 5 2 PROPRIEDADES DOS LIMITES 1. Unicidade: Se lim f ( x)  b e se lim f ( x)  c , então b = c. x a x a 2. Se a, m e n são números reais, então lim(mx  n)  m.a  n x a Casos particulares: 1. Se f(x) = x, então lim f ( x)  lim x  a . x a x a 2. Se f(x) = n, então lim n  n (o limite de uma constante é a própria constante). x a 3. Se lim f ( x)  b e lim g ( x)  c , então: x a x a a) lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  b  c x a x a x a b) lim[ f ( x).g ( x)]  lim f ( x).lim g ( x)  b.c x a x a x a f ( x) lim f ( x) b c) lim  x a  (c  0) xa g ( x) lim g ( x) c x a d) lim k. f ( x)  k lim f ( x)  kb x a x a x a x a  e) lim[ f ( x)]n  lim f ( x)  bn , n  Z*  n f) lim n f ( x)  n lim f ( x)  n b ; se lim f ( x)  0 e n  Z* ou se lim f ( x)  0 e n  Z* impar   x a x a x a x a 4. Funções Polinomiais Se f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 , então: lim f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  f ( x0 ) x  x0
  • 31. 31 Exemplos: 1) lim (5x  6)  x 3 2) lim x  x 4 3) lim (3x 2  3x  8)  x 2 3x  1 4) lim  x 2 5 5) lim 1  x 2  x1 6) lim (3x 3  5x 2  8x  7)  x 2 x3  2 x  3 7) lim  x2 x2  5 8) lim (5x  7) 2  x 4 x 9) lim 3  x 4  7x  1
  • 32. 32 EXERCÍCIOS Encontre o valor dos seguintes limite 1) lim 2 x  1  6 x  1 x 1   2 2) lim 3 x 3  2 x 2  5 x  1  x2 9) lim x 1 1  x   1   3 1  3) lim  4 x 2  x   10) lim  3 x   2   x  4  2  x  1 x x    3 4) lim x 4  x 3  x 2  1  x  1 x2 1 11) lim  5 x 3  6 x 2  3x x 1 1  2x  8 5) lim 3  2 1 x  x 2  3x x 2 8x  1  6) lim t  14  t   12) lim t 3 . x 1 x3 x 1 7) lim 4  x 16 x 8) lim (2 x  3)1 / 4  x  1 / 3
  • 33. 33 CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES O que significa uma indeterminação? Como sair de uma indeterminação? 0  As expressões, ,   , 0  , 0 , 0 ,1 , são ditas indeterminações. O 0  que fazer quando se encontra tais situações? 0 Por exemplo . 0 Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  lim g ( x)  0 . Nada se pode afirmar, a x a x a f princípio sobre o limite do quociente . Dependendo das funções ele pode g 0 assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que é um 0 símbolo de indeterminação. Exemplo: Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2. lim f ( x)  lim g ( x)  0 x 0 x0 lim f ( x) x3 e x 0  lim  lim x  0 lim g ( x) x 0 x 2 x 0 x 0 Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários. Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com x  a , que resulte a 0 indeterminação e a função dada é do tipo racional 0  P( x)   f ( x)   polinômios em x  é possível fazer uma simplificação, pois os   Q( x)  polinômios serão divisíveis por (x-a). Exemplos: x2 1 1) lim  x 1 x  1
  • 34. 34 x 3  4 x 3  7 x  10 2) lim  x 1 x 2  2x  3 x 3  27 3) lim  x 3 x  3 x  12  4 4) lim  x 4 x4
  • 35. 35 EXERCÍCIOS Encontre o valor dos limites: x3  8 1) lim  x  2 x  2 x2  x  6 2) lim  x 3 x3 x 2  5x  6 3) lim 2  x  2 x  12 x  20 x 1  2 4) lim  x 1 x 1 2x  1  3 5) lim  x 5 x5 6) lim  x  32  9  x 0 x 3 8h 2 7) lim  h 0 h 5 x  27  2 8) lim  x 5 x5 3 x 2  17 x  20 9) lim 2  x  4 4 x  25 x  36 2 x 2  3x  5 10) lim  x 5 2x  5 2
  • 36. 36 LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO O símbolo  não representa um número; portanto, não se efetuam com ele as operações que realizamos com os números reais. Alguns exemplos: 1 1) Observe o gráfico da função f ( x)  : x 1  lim  0 , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é x   x zero. 1  lim  0 , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é x   x zero. 1  lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce x 0 x indefinidamente e o limite é infinito (+). 1  lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y x 0 x decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).
  • 37. 37 1 2) Observe o gráfico da função f ( x)  . x2  Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de 1 zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: lim 2  0 e x   x 1 lim 2  0 . x  x  Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce 1 indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: lim 2   e x 0 x 1 lim 2   . x 0 x 1 3) Considere f ( x)  3 : x
  • 38. 38  De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação: 1 lim 3  0 . x   x 1 Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por f ( x)  , então: xn 1 1 lim f ( x)  lim 0 e lim f ( x)  lim 0 x  x  x n x  x  x n k De modo geral: x   lim n 0 x 3 4) Seja a função f: R-{2} R tal que f ( x)  cujo gráfico é: x2 Observa-se que:  lim f ( x)   x 2  lim f ( x)   x 2   lim f ( x) não existe, pois os limites laterais são diferentes. x2  lim f ( x)  0 x  LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS INFINITO Considere a função polinomial f(x), de grau n, com a n0. f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 lim f ( x)  lim an x n x  x  Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de n. Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a +, podemos aplicar a seguinte regra prática:
  • 39. 39   se p  q p p 1 a p x  a p 1 x  ...  a1 x  a0 p ap x  ap  lim  lim  se p  q x  b x q  b x q 1  ...  b x  b x  b x q q q 1 1 0 q  bq  0 se p  q  Analogamente se x tender a -. PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
  • 40. 40 Exemplos: 1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular: a) lim f ( x) x   b) lim f ( x) x   2 x 2  5x  1 2) Calcular lim . x  4 x 2  3 x  7
  • 41. 41 2x 4  x  1 3) Calcular lim . x  x 3  x 2  4 Teorema: Se lim h( x)  0 e lim g ( x)  c com c  0, então: x a x a g ( x) 1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então lim  . x a h( x ) g ( x) 2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então lim  . x a h( x ) g ( x) 3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então lim  . x a h( x ) g ( x) 4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então lim  . x  a h( x ) Exemplos: 2x 2  6x  5 1) lim 2  x  2 x  6 x  16 x 2  3x  1 2) lim  x2 x2  x  6 x 1 3) lim  x 1 x  x 2  2x 3
  • 42. 42 EXERCÍCIOS 1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre limites, calcule os limites abaixo. a ) lim (2 x 5  2 x 4  x  1)  x   b) lim (3  7 x  4 x 6 )  x   c) lim (2  x  x 5 )  x   d ) lim ( x 3  3 x 2 )  x   e) lim (4 x 12  4 x  5)  x   12 x 6  3 x 3  1 f ) lim  x    3x 3  1 6x 5  x 1 g ) lim  x   2 x 4  3 x  5 26 x 5  x h) lim  x   2 x 8  3 x  5 x  16 x 5 i ) lim  x   21x 3  3 x  5 12 x 6  34 x 3  1 j ) lim x   1 x 6  x 2) Calcule os seguintes limites: x2 2x a ) lim  i ) lim  x 1 1  x x 1 x  1 x x2 b) lim  x  4 x  4 j ) lim  x2 x  2 x2 c) lim 2  x2 x  4 x 2  5x  1 l ) lim 2  x x 3 x  2 x  3 d ) lim  x  1 x  4 2 x 2  3x  2 x  m) lim 2  e) lim x4 x  4 x4 x  3x  4 f ) lim x2  x2 1 x 1 1  x n) lim x2 x  2  4x g ) lim  x  3 9  x 2 4x h) lim  x  3 9  x 2
  • 43. 43 LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS Exemplos: 4 a) Observe o gráfico da função f(x) = quando x tende para 3/2 pela 2x  3 esquerda e pela direita Assim podemos concluir que: 4 4 lim = e lim = 3 2x  3 3 2x  3 x x 2 2 Por outro lado no exemplo acima temos que : 4 4 lim = e lim = x  2 x  3 x  2 x  3 1 b) Observe o gráfico da função f(x) = 2  quando x tende para 1 pela x 1  esquerda e pela direita e quando x tende ao 
  • 44. 44 Assíntota horizontal y = 2 Assíntota vertical x = 1 Assim podemos concluir que: 1 1 lim 2  = e lim 2  = x 1 x 1 x 1 x 1 Por outro lado no exemplo acima temos que : 1 1 lim 2  = e lim 2  = x  x 1 x  x 1 Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma assíntota horizontal. DEFINIÇÃO: ASSÍNTOTA VERTICAL: x Veja o gráfico da função f(x) = x 1 2
  • 45. 45 No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida, estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue: Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: 1) lim f ( x)   2) lim f ( x)   3) lim f ( x)   4) lim_ f ( x)   x a x a x a x a ASSÍNTOTA HORIZONTAL No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas horizontais conforme segue: A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: 1) lim f ( x)  b 2) lim f ( x)  b x  x  Outros exemplos: Determine as assíntotas das funções abaixo: 3x 2x  6 1  2x a) f(x) = b) f(x) = c) g(x) = x 1 x5 3  5x
  • 46. 46 LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila) Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais 1) Primeiro Limite Fundamental sen x lim 1 x 0 x 2) Segundo Limite Fundamental a x 1 lim  ln a (a > 0 e a  1) x 0 x a u ( x)  1 De modo geral: lim  ln a x 0 u ( x) ex 1 Em particular: lim  ln e  1 x 0 x 3) Terceiro Limite Fundamental x  1 lim 1    e x   x u ( x)  1  De modo geral: lim 1   u ( x)   e x    Teorema do Confronto Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x) f(x) h(x). Se lim g ( x)  L e lim h( x)  L, então lim f ( x)  L. O teorema do confronto x a x a x a será utilizado para demonstrar o limite fundamental.
  • 47. 47 Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. 1) Primeiro Limite Fundamental sen x lim 1 x 0 x Demonstração: Da figura temos: Vamos considerar x  1º quadrante. Área do triângulo AOM  área do setor circular AOM  área do triângulo AOT 1. sen x 1 1.tgx  .x.12  2 2 2 sen x  x  tgx Dividindo por senx temos: x 1 1  sen x cos x sen x sen x 1  cos x  cos x  1 x x lim cos x  cos 0  1 x 0 lim 1  1 x 0 sen x Pelo Teorema do Confronto, temos: lim 1 x 0 x Graficamente, temos:
  • 48. 48 sen u ( x) De modo geral: lim 1 x 0 u ( x) Exemplos: sen2 x 1) lim  x 0 x sen3 x 2) lim  x 0 sen 4 x tgx 3) lim  x 0 x sen2 x 4) lim  x 0 5x 1  cos x 6) lim  x 0 2x 2) Segundo Limite Fundamental a x 1 lim  ln a (a > 0 e a  1) x 0 x a u ( x)  1 De modo geral: lim  ln a x 0 u ( x) ex 1 Em particular: lim  ln e  1 x 0 x Exemplos: e3x  1 1) lim  x 0 3x e3x  1 2) lim  x 0 x 4 2 x  1 3) lim  x 0 x 7 3x  1 4) lim  x 0 5x e x 1  1 5) lim 2  x 1 x  1
  • 49. 49 3) Terceiro Limite Fundamental x  1 lim 1    e x   x u ( x)  1  De modo geral: lim 1   e x    u ( x)  x  1 f ( x)  1   Seja a função  x , definida num domínio D. O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação 1 1  0. x D   ,1  0, Atribuindo valores de D a x, temos; x y 1 2,000 Para os valores de x que crescem ou 2 2,250 decrescem indefinidamente, correspondem 3 2,369 valores de y que vão se aproximando do 5 2,489 número irracional e, chamado número de 10 2,594 Euler. 100 2,705 1000 2,717 e = 2,71828182.... 10000 2,718 -2 4 -3 3,375 -10 2,868 -100 2,732 -1000 2,720 -10000 2,718 . . . . . .  e
  • 50. 50 OBSERVE O GRÁFICO: A partir do gráfico, temos que: x x  1  1 lim 1    lim 1    e x   x  x   x  Exemplos: 4x  1 1) lim 1    x    x  x 6 x 2) lim    x    x  x  1 3) lim 1    x    x x  2 4 4) lim 1    x    x
  • 51. 51 CONTINUIDADE Definição A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem satisfeitas: i) f(a) existe ii) lim f ( x)existe x a iii) lim f ( x)  f (a) x a Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função f é descontínua em a. Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a. Exemplos: Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.  x  1 se x  1 a) f ( x)   em x = 1 1  x se x  1
  • 52. 52 2 x  1 se x  1 b) f ( x)   em x = 1  4 se x  1  2 se x  1  c) f (x)  - 1 se x  1 em x = 1 - 2 se x  1   x  1 se x  1 d) f ( x)   2 em x = 1 x  6 x  7 se x  1  x2  1  se x  1  x 1 e) f ( x)   em x = 1   1 se x  1 
  • 53. 53  x  3 se x  -1 f) f ( x)   em x = -1 - x  1 se x  -1 Exercícios 1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:  x se x  1  a) f ( x)   2 se x  1  x 2 se x  1  * lim f ( x) x  1 * lim f ( x) x 0 1  x se x  0  b) g ( x )   2 se x  0 1  x se x  0  * lim g ( x) x  1 * lim g ( x) x 0 * lim g ( x) x 1  x  4 se x  0 c) g ( x)   2  x  1 se x  0 * lim g ( x) x 0 * lim g ( x) x 0 * lim g ( x) x 0 * lim g ( x) x  9
  • 54. 54  x se x  1 d ) p ( x)    x  2 se x  1 * lim p ( x) x 1 * lim p ( x) x 1 * lim p ( x) x 1 * lim p ( x) x 15 1  x 2 se x  2 2) A função g está definida por g ( x)   7  x se x  2 Esboce o gráfico de g. a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda. b) A função tem limite em x = 2.. 3) Dado a função a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1