Apostila 1 calculo i

1

ELEMENTOS DA LÓGICA MATEMÁTICA
FUNÇÕES ELEMENTARES
LIMITES E CONTINUIDADE

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

2

1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de
conceitos básicos da matemática. O principal objetivo consiste na investigação da
validade de argumentos.

1.1 PROPOSIÇÕES

Proposição é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve
exprimir um pensamento de sentido completo, podendo ser escrita na
forma simbólica ou na linguagem usual.

Exemplos:
3
1) Sen 60° =
2
2) Marleide é professora.
3) Orleans se localiza no estado de Santa Catarina.

Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (1)
se a proposição é verdadeira e é a falsidade (0) se a proposição é
falsa.
Exemplos:
a) Orleans fica no nordeste.
b) Sen(30°) + cos(60°) = 1

O valor lógico da proposição a) é a falsidade (0), e da proposição
b) é a verdade (1).
As proposições podem ser simples ou compostas.
SIMPLES COMPOSTA
Não contém nenhuma outra Formada por duas ou mais
proposição como parte integrante proposições relacionadas pelos
de si mesma. conectivos “e”, “ou” e “se então” .
Notação: letras minúsculas do Notação: letras maiúsculas do
alfabeto alfabeto
Exemplos: Exemplo:
1) p: Maria é bonita. 1) P(p,q): Maria é bonita e
q: Maria é estudiosa. estudiosa.
2) p: 1+2=3 2) Q(p,q): 1+2=3 ou 21.
q: 21

3

1.2- PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA MATEMÁTICA

a) Princípio da Não-contradição

Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e
falsa”.

b) Princípio do terceiro excluído
Toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro estado
lógico para ela.

De acordo com esses princípios, podemos afirmar que toda
proposição admite um e um só dos valores 1 e 0.

Conectivos Lógicos: são palavras ou expressões que se usam para
formar novas proposições, a partir de proposições dadas.
Exemplos:
P: O número 9 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
R: Se João estuda, então sabe a matéria.

1.3- TABELA VERDADE

O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2 n, onde n
é o número de proposições componentes.

PROPOSIÇÃO Nº DE PROPOSIÇÕES Nº DE LINHAS DA
SIMPLES TABELA
P 1 21 = 2
P(p,q) 2 22 = 4
P(p,q,r) 3 23 = 8
P(p,q,r,...,n-1,n) n 2n

p q r
p p q 0 0 0
0 0 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

4

EXERCÍCIOS

1. Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições:
a) O número 2 é o único número par que é primo. V(a)=
b) A área do quadrado de lado 3 é 6. V(b)=
c) Log3 3 = 1 V(c)=
d) A solução da equação 4x-8=12 em R é S={4}. V(d)=
e) O conjunto solução de 3x = 81 é S = {4}. V(e) =
f) Todo número divisível por 5 termina em 0. V(f)=
g) –2 < 0. V(g)=
h) O par {x,x} = {x}. V(h)=
i) O par ordenado (x,x)=(x). V(i)=
j) x2. x5 = x7 . V(j)=

2.Determinar o valor lógico (1 ou 0) de cada uma das seguintes
proposições:
a) O polinômio f(x)=x3+mx-5 é divisível por x-3 quando m é igual a
4. V(a) =
b) A função f:RR definida por f(x)=x+2, é uma função crescente.
V(b) =
c) A função f:RR definida por f(x)=x2 +1, é uma função crescente.
V(c)=
d) Se logx-logy=log2 e 9x-y = 81 então o valor de x+y é 6. V(d) =

e) A imagem da função y=x² - 2x é [-1, ∞[. V(e) =

f) A forma fatorada de x² - 4x + 4 = (x-2)² ; V(f)=

g) A forma fatorada de x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4); V(g) =

h) A fórmula para a determinação do volume do cilindro é
V = R 2 h V(h) =

1
i) x  x2 V(i) =

1 x
j)  V(j) =
x x

3. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 1.

4. Escreva 5 proposições de valor lógico igual a 0.

5

1.4-OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES

1) Negação ( ‘ )ou : não
Exemplos:

Altera o valor lógico de uma proposição, isto é, V(p) = 0 então
V(p‟) = 1 ou se V(p) = 1 então V(p‟) = 0. Lê-se: “não p”.

Exemplos: I) p: 1+4=5 V(p)=1 p‟: 1+45 V(p‟)=0
II) q: João é estudante V(q)=0 q‟:João não é estudante
V(q‟)=1

Tabela Verdade:
p P‟
0 1
1 0

2) Conjunção ( . )

A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando
V(p)=1 e V(q)=1, e falsa nos demais casos.
Notação: p.q também se utiliza o símbolo : e
Lê-se: p e q

Exemplos:

I) p: Maria é alegre V(p)=1 q: Maria é simpática V(q)=1
P(p,q): p.q: Maria é alegre e simpática. V(p.q)=1

II) r: log22=1 V(r)=1 s: 20=2 V(s)=0
0
Q(r,s): r.s : log22=1 e 2 =2 V(r.s) = 0

Tabela Verdade:
p q p.q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Obs.: Equivale a ligação em série de interruptores.

6

3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+)

A soma lógica de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando V(p)=0 e V(q)=0 e verdadeira nos demais casos.
Notação: p + q também se utiliza o símbolo : ou
Lê-se: p ou q

Exemplos:
I) p:  = 3 V(p)=0
q: 9-3=6 V(q)=1
V(p+q)=1

II) p: 2 < 1 V(p)=0
q: 2 < 2 V(q)=0
V(p+q) = 0

Tabela Verdade:

p q p+q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

4) Disjunção Exclusiva (  )

A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma proposição
verdadeira quando os valores lógicos das proposições são diferentes,
isto é V(p)  V(q).
Notação: p  q
Lê-se: p ou q, mas não ambas.

Exemplos:

I) p: Maria é alta V(p)=1
q: Maria é baixa V(q)=0
P(p,q): (p  q): Maria é alta ou baixa.
V(p  q):1
II) p:  < 3 V(p)=0
q: 3>2 V(q)=1
V(p,q)=1

7

Tabela Verdade

p q p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

5) Condicional ()

O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa
quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em
todos os outros casos o resultado é verdadeiro. A proposição p é
chamada antecedente e a proposição q é o conseqüente.
Notação: p  q
Lê-se: “se p então q”

Exemplos:


I) p:tg =1 V(p)=1
4
q: sen0º=0 V(q)=1
V(p,q)=1

 2
II) p: cos  V(p)=1
4 2

q: tg 0 V(q)=0
4
V(p,q)=0

Tabela Verdade

p q pq
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

8

6) Bicondicional ()

Esta operação equivale a duas operações do tipo
condicional. Seu resultado é verdadeiro quando os valores
lógicos das proposições forem iguais.
Notação: p  q
Lê-se: “p se e somente se q”

Exemplos:
I) p: 2   V(p)=1
q: 2 > 1 V(q)=1
V(p,q)=1

II) p: 3  Z V(p)=0
q: 3  1 V(q)=1
V(p,q)=0

Tabela Verdade

p q pq
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

1.5- ORDEM DE PRECEDÊNCIA ENTRE OS OPERADORES
a) Negação ( „ )
b) Conjunção e Soma Lógica (.) e (+)
c) Condicional ()
d) Bicondicional ()

Exemplo:
a) pq  r (bicondicional)
b) p + q‟  q.r (condicional)
c) p+(q‟  q.r‟) (soma lógica e condicional)

EXERCÍCIOS
1) Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis.
Escrever na linguagem usual as seguintes proposições:
a) p+q
b) p.q
c) p.q‟

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d) p´.q‟
e) (p‟)‟
f) (p‟.q‟)‟

2) Dadas as proposições p: Maria é bonita e q: Maria é elegante,
escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Maria é bonita e elegante.
b) Maria é bonita, mas não é elegante.
c) Não é verdade que Maria é feia ou elegante.
d) É falso que Maria é feia ou que não é elegante.

3) Classificar as proposições compostas abaixo, como conjunção,
disjunção, condicional, bicondicional ou negação:
a) (p.q‟)‟
b) p+(q.r‟)
c) p.(qr)
d) p.qr‟
e) (p.q‟)‟+(r+s)
f) (p+q‟)(r.s)
g) [p(q.r)].s
h) [p(q.r)]‟
i) [p+(q.r)]‟ s‟
j) (pq)  r‟

4) Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) 3+2=7 e 5+5=10
b) sen=0 e cos=0
c) 3>2 ou sen90º>tg45º
d) se |-1|< 0 então sen90º=1
e) 3>1  30=3
f) >43> 5
g) tg  =1 se e somente se sen=0
h) Não é verdade que o número 12 é um número ímpar
i) (1+1=24+3=5)‟
j) (sen0º=0 ou cos0º=1)‟

5) Sabendo que V(p)=1 e V(q)=0, determinar o valor lógico de cada
uma das proposições:
a) p.q‟
b) p+q‟
c) p´.q
d) p‟.q‟
e) p‟+q‟
f) p.(p´+q)

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6) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo que:
a) V(q)=0 e V(p.q)=0
b) V(q)=0 e V(p+q)=0
c) V(q)=0 e V(pq)=0
d) V(q)=0 e V(pq)=1
e) V(q)=1 e V(pq)=0
f) V(q)=0 e V(pq)=1

As funções reais
Vamos dar uma esquentadinha em nosso tico e o teco (hehehehehe), já
estudaram as funções e suas principais características na disciplina de
Matemática básica.

Em cada caso identifique o nome de cada função a partir das características
da sua representação gráfica.
a) b)

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c) d)

e) f)

Agora vamos construir os gráficos das funções trigonométricas, seno,
cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
Dado as funções abaixo represente graficamente e determine o domínio e a
imagem em cada caso.

a) f(x) = sen(x) b) g(x) = cos(x)

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c)f(x) = tg(x) d) f(x) = cotag(x)

e) f(x) = sec(x) f) f(x) = cossec(x)

f) f(x) = sen(2x) g) g(x) = cos(2x)

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g) y= 2 sen(x) h) y = - 3 cos(x)

Outras funções podem ser representadas graficamente desde que respeitados
seu campo de definição, vejamos os exemplos:

1
a) Veja o gráfico da função racional f(x) =
x

Neste caso observa-se que a função
não é definida para x = 0. Mas o que
acontece com o valor da função
quando x se aproxima se 0 pela
direita e pela esquerda?

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x 1
b) Vamos pensar na função racional f(x) =
x2

não é definida para x =2. Mas o que
direita e pela esquerda? Analise
sempre a linha do gráfico.

Vamos pensar eu uma função definida por várias sentenças
 x 2  1, se  2
c) f(x) = 
 x  3, se  2

não é definida para x =2. Mas o que
direita e pela esquerda? Analise
sempre a linha do gráfico.

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Um dos mais importantes temas em Cálculo é a análise das relações entre
as quantidades físicas e Matemáticas. Tais relações muitas vezes podem ser
descritas em termos de gráficos, de fórmulas, de dados numéricos ou de palavras.
As funções representam um importante instrumento de análise das relações
matemáticas e físicas.

Um problema:

Um fabricante que produz caixas abertas de papelão de formas retangulares,
dispondo de folhas com faces retangulares com 29 cm por 21 cm de comprimento.
Cortando-se pequenos quadrados dos cantos e dobrando-se para cima os lados o
departamento de Pesquisa e Desenvolvimento pede que você determine o
tamanho do quadrado o qual resulta numa caixa com maior volume.

1. CÁLCULO UMA GRANDE INVENÇÃO HUMANA: UM POUCO DA HISTÓRIA

O cálculo foi inventado no século XVII, como instrumento para resolução de
problemas que envolviam movimento. A geometria, a álgebra e a trigonometria
aplicam-se a objetos que se movem com velocidade constante: os métodos de
cálculo no entanto são necessários para estudar as órbitas dos planetas, para
calcular o vôo de um foguete, para predizer a trajetória de uma partícula carregada
através de um campo eletromagnético, e de um modo geral para tratar de todos os
aspectos do movimento.
Embora o cálculo tenha sido criado para resolver problemas da física, tem
inúmeras aplicações em outros campos. Uma das razões de sua versatilidade é o
fato de que a derivada é aplicada ao estudo de taxa de variação em geral, e não
só do movimento. Exemplos: o químico utiliza para prever resultados de diversas
reações químicas, o biólogo para pesquisa da taxa de crescimento. O eletricista
para descrever a variação da taxa da corrente num circuito elétrico. Os
economistas para resolver problemas de lucros e perdas. Muitos problemas que
envolvem máximos e mínimos podem ser tratados com auxílio da derivada,
exemplos: como uma empresa pode maximizar sua receita? Como pode um
fabricante minimizar seus custos na produção de um artigo?
A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos
processos de limite. A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das

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partes mais elementares da matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried
Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716) descobriram a ligação entre derivadas e integrais.
Em razão disto e de suas outras contribuições para o assunto, são considerados
os inventores do cálculo. Muitos outros matemáticos deram inúmeras
contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se considerar o cálculo
como o estudo de limites, derivadas e integrais.

NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Durante a realização das olimpíadas um dos repórter fez a seguinte
fala: “segundo estudos da evolução da capacidade humana acredita-se que
o ser humano está chegando em seu limite quando ao tempo mínimo de
natação”.

Para que foi utilizada a palavra “limite” neste caso?
Em que situações aparecem a palavra limite?
Qual o significado da palavra limite em nosso contexto?

O desenvolvimento do Cálculo foi estimulado por dois problemas
geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva.
Esses problemas requerem um processo de limite para a sua solução. Entretanto,
o processo de limite ocorre em muitas outras aplicações, na verdade tantas, que,
de fato, o conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos de
cálculo estão baseados.

Considere as seguintes situações:

1) Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1

Vamos desenvolver as seguintes etapas :

Primeira : hachurar metade dessa figura

1
Área hachurada :
2

Segunda : hachurar metade do que restou em branco.

1 1 3
Área hachurada :  
2 4 4

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Terceira : hachurar, novamente, metade do restou em branco.

Área hachurada : 1 + 1 + 1 = 7
2 4 8 8

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada
vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se
aproximando de 1 ou tendendo a 1.

1 , 3 , 7,..., Quando dizemos que a área
2 4 8 hachurada tende a 1, significa que
ela se aproxima de 1, sem no
entanto assumir esse valor.
2) Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
a) 1,2,3,4,5,...

b) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,...

c)1,0,-1,-2,-3,...

d)1,3/2,3,5/4,5,7/6,7,...

Em a) os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da
sucessão tende para o infinito .

Na sucessão b) os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca
atingirem esse valor.

Na sucessão c) os termos desta sucessão tendem para o menos infinito ou que o
limite da sucessão tende para o menos infinito .

Em d) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.

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3) Pensamos na trajetória de uma bola cuja altura é uma função do tempo,
expressa pelo gráfico

a) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 3s?

b) Qual o limite da altura quando o tempo tende a 2s?

O LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Considere as seguintes funções:

1) Sabe-se que a área do quadrado é uma função do lado definida como A   2 . O
que acontece com a área quando a medida do lado tende para 2?

 1,8 1,9 1,98 1,99 1,999
3,24 3,61 3,9204 3,9601 3,996001
A  2

 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
4,41 4,0401 4,004001 4,000400 4,00004
A  2

Esta função tende a 4 quando x tende a 2.
Diz-se que se   2 então A  4 . Esta situação pode ser observada no
gráfico abaixo:

Se considerarmos a medida do lado como x e a medida da área como y,
temos:

19

y
9

8

7

6

5

4

3

2

1
x
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1

Assim pode-se representar em termos de limite da seguinte forma: lim x 2  4
x 2

2) Consideramos a função f definida pela equação: f ( x)  Sendo
2 x  3.( x  1) .
x 1
que f esta definida para todos os valores de x exceto x = 1. Assim, se x  1 , o
numerador e o denominador podem ser divididos por ( x  1) para obtermos:
f ( x)  2 x  3 para x  1
Estudaremos os valores da função f (x) , quando x estiver próximo a 1, mas
não igual a 1.

Quadro (1):

X 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999
f ( x) 
2 x  3.( x  1)
x 1
3 3,5 4 4,5 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998
( x  1)

Quadro (2) :

X 2 1,75 1,50 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001
f ( x) 
2 x  3.( x  1)
x 1 7 6,5 6,0 5,5 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
( x  1)

20

Vemos, de ambos os quadros, que quando x aproxima-se cada vez mais de
1, f(x) aproxima- se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo x estiver de 1, f(x)
estará mais próxima de 5. No gráfico visualiza-se a seguinte imagem:

Em particular, vemos no nosso exemplo que :
(2 x  3).( x  1) (2 x  3).( x  1)
lim  5 , mas que: não
x 1 ( x  1) ( x  1)
é definida para x = 1.

Outros exemplos:

1) Consideremos o gráfico da função f :IRIR, definida por f(x) = x + 2.

O quadro a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x :

x 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,03 3,4 3,9
f(x) = x + 2 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,4 5,9

De acordo com o exposto, podemos dizer que :
• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos :
lim f ( x )  5
x3

• o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos :

lim f ( x)  5
x3

21

Podemos representar somente por :

lim f ( x)  5
x 3

2) Consideramos também o gráfico da função f : IRIR, definida por :

 x, se, x  3
f ( x)  
 x  2, se, x  3

Observe :

• quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é:

lim f ( x)  3
x3

• quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é:
lim f ( x)  5
x3

Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos
que:
Neste caso não existe o limite de f(x) quando x tende a 3.
Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se
aproxima de a pela direita ou pela esquerda, isto é:

lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x)
xa  xa xa

Observando a figura podemos afirmar que:

lim g ( x)  L lim g( x )  L
xb 
x b 

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Isto é, que os limites laterais de g no ponto b são iguais. Neste caso, dizemos que
a função g tem limite L no ponto b e escrevemos :

lim g( x )  L
x b

Seja f uma função definida nos reais cujo gráfico está na figura abaixo, definida
à direita e a esquerda de b.

Y

lim f ( x )  L1
x b 

L1

L2

lim f ( x )  L2
X xb
b

23

Vamos retomar o conteúdo do primeiro semestre de Matemática
básica ( função definida por várias sentenças.

Atividade:
Construa o gráfico das funções abaixo definidas em R e responda cada item

2 x, se  0
1) f(x) =  2
 x , se x 0

a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x )
x 0- x  0 x 0

 x 2  1, se  1
2) f(x) = 
 x  3, se x  1

a) lim- f( x) b) lim
f ( x) c) lim f( x)
x 1 x1 x 1

3, se  2
3) (x) = 
 x  1, se x 2

a) lim f ( x ) b) lim f ( x ) c) lim f ( x )
x  2 x  2 x 2

Outros exemplos:
 x-1 se x  1
1. Seja h definida por: h( x)  
1-x se x  1
a) Faça um esboço do gráfico de h.

b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
i) lim h( x) =

x 1

ii) lim h( x) =
x 1

iii) lim h( x) =
x1

24

 x 2 se x  0
2. Seja a função f definida por: f(x)= 
3 - x se x  0

a) Faça um esboço do gráfico de f.
b) Determine, caso existam, cada um dos seguintes limites:
i) lim f ( x) =
x 0

ii) lim f ( x) =
x 0

iii) lim f ( x) =
x0

EXERCÍCIOS

1) Faça um esboço do gráfico e determine se existir o limite indicado:

 x 2  1, se x  2

a) f ( x )   2, se x  2
1 - x 2 , se x  2


i) lim f( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x )
x 2
x 2 x 2

 x 2 para x  1

b) f ( x )   2 para x  1
2 - x para x  1


i) lim f( x )

ii) lim f( x )

iii) lim f( x )
x 1 x 1 x 1

2 x  1, se x  1

c) f ( x)   1, se x  1
 1-2 x, se x  1


i) lim f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x )
x  1_ x 1  x 1

25

2 x 2 para x  0

d) f ( x )   1 para x  0
-x 2 para x  0

i) lim f ( x ) ii) lim
f ( x) iii) lim f ( x )
x 0 x 0 x 0

 2, se x  1

e) f ( x )  - 1, se x  1
- 3, se x  1


i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x )
x1 x 1 x 1

 2 x  4 se x  -1
f) f ( x)  
1  2 x se x  1

i) lim- f ( x ) ii) lim f ( x ) iii) lim f ( x )
x  -1 x  -1 x  -1

2) Seja a função f definida pelo gráfico:
Intuitivamente encontre se existir:

a ) lim f ( x) 
x 3

b) lim f ( x) 
x 3

c) lim f ( x) 
x  

d ) lim f ( x) 
x  

e) lim f ( x) 
x4

26



a ) lim f ( x) 
x  2

b) lim f ( x) 
x  2

c) lim f ( x) 
x  2

d ) lim f ( x) 
x  

e) lim f ( x) 
x  


a ) lim f ( x) 
x 0

b) lim f ( x) 
x 0

c) lim f ( x) 
x 0

d ) lim f ( x) 
x2

e) lim f ( x) 
x2

f )lim f ( x) 
x2

lim f ( x)  L
x a

27

DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE

Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto contendo
a, exceto possivelmente no próprio número a. O limite de f(x) quando x aproxima-
se de a é L, pode ser escrito como:

Se para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existir um  0, tal que:
f ( x)  L   sempre que 0 xa .

Exemplo: Considere f: RR definida por y = 2x - 1. O que acontece com y
quando x está muito próximo de 3?

x 3,1 3,01 3,001 3,0001 3,00001
y = 2x-1 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
Tab.1

x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999
y = 2x-1 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998
Tab.2
1 =5,2-5,02=0,18
2 =5,02-5,002=0,018
3 =5,002-5,0002=0,0018
4 =5,0002-5,00002=0,00018
5 =5,00002-5,000002=0,000018

1 = 3,1-3,01=0,09
2 = 3,01-3,001=0,009
3 = 3,001-3,0001=0,0009
4 = 3,0001-3,00001=0,00009
5 = 3,00001-3,000001=0,000009

QUAL É A RELAÇÃO ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO?

0,18 e 0,09?
0,018 e 0,009?
0,0018 e 0,0009?

Pode-se concluir que:

0,09 x 2 = 0,18
0,009 x 2 = 0,018
0,0009 x 2 = 0,0018 Logo podemos concluir que  = 2 x 

28

Outro exemplo:

2x
O que significa provar que o lim  3  5?
x 3 3

Significa que devemos mostrar que para qualquer  0 ,mesmo pequeno, existe
um  0, tal que: f ( x)  L   sempre que 0  x  a   , isto é:
Dados que neste caso tem-se:
2x
f(x) = 3 L = 5 a = 3 então:
3
2x
(  3)  5   sempre que 0  x  3  
3
2x
 2   sempre que 0  x  3  
3
2x  6
  sempre que 0  x  3  
3
2
x  3   sempre que 0  x  3  
3
3
x3  sempre que 0  x  3  
2
Comparando-se as desigualdades tem-se que:
3
=
2

Outro modo utilizando as desigualdades temos:
3- < x < 3+  5- < y < 5+

5- < y < 5+
2
5- < x  3 < 5+
3
2
5--3 < x < 5+-3
3
3.(2-) < 2x < 3.(2+)
3.(2   ) 3.(2   )
<x<
2 2
3 3
3  x  3
2 2
3
Logo  =
2
Vejamos graficamente a situação descrita acima.

29

Podemos dizer que y se aproxima de 5 quando x se aproxima de 3, ou
melhor, y toma valores tão próximos de 5 quanto quisermos, para valores de x
2x
lim  3  5
suficientemente próximos de 3. Logo x 3
3

Exercícios

1) Usando a definição de limite prove que:

a) lim (3x  1)  2
x 1

b) lim (4 x  5)  13
x 2

2) Segundo a definição de limite considera-se as seguintes condições: Se
lim f ( x)  L é afirmar que, para qualquer número positivo , haverá sempre um
x a

número positivo  tal que | f(x) – L | <  válido sempre que 0 < | x – a | < . Na
maioria dos casos o valor de  depende de , e quanto menor for  escolhido,
menor será o  necessário. Usando a definição de limite determine um  tal que
| f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < .

a) f(x) = x + 3 , L = 5, a = 2,  = 0,01, lim ( x  3)  5
x 2

30

x 1 x 1
b) f(x) = L = 3, a = 5,  = 0,1, lim 3
2 x 5 2

PROPRIEDADES DOS LIMITES

1. Unicidade: Se lim f ( x)  b e se lim f ( x)  c , então b = c.
x a x a

2. Se a, m e n são números reais, então lim(mx  n)  m.a  n
x a

Casos particulares:
1. Se f(x) = x, então lim f ( x)  lim x  a .
x a x a

2. Se f(x) = n, então lim n  n (o limite de uma constante é a própria constante).
x a

3. Se lim f ( x)  b e lim g ( x)  c , então:
x a x a

a) lim[ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x)  b  c
x a x a x a

b) lim[ f ( x).g ( x)]  lim f ( x).lim g ( x)  b.c

f ( x) lim f ( x) b
c) lim  x a  (c  0)
xa g ( x) lim g ( x) c
x a

d) lim k. f ( x)  k lim f ( x)  kb
x a x a

x a
x a

e) lim[ f ( x)]n  lim f ( x)  bn , n  Z*

n

f) lim n f ( x)  n lim f ( x)  n b ; se lim f ( x)  0 e n  Z* ou se lim f ( x)  0 e n  Z* impar
 
x a x a x a x a

4. Funções Polinomiais

Se f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 , então:
lim f ( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0  f ( x0 )
x  x0

31

Exemplos:

1) lim (5x  6) 
x 3

2) lim x 
x 4

3) lim (3x 2  3x  8) 
x 2

3x  1
4) lim 
x 2 5

5) lim 1  x 2 
x1

6) lim (3x 3  5x 2  8x  7) 
x 2

x3  2 x  3
7) lim 
x2 x2  5

8) lim (5x  7) 2 
x 4

x
9) lim 3 
x 4  7x  1

32

EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos seguintes limite
1) lim 2 x  1 
6
x  1
x 1
 
2
2) lim 3 x 3  2 x 2  5 x  1 
x2
9) lim
x 1 1  x


 1   3 1 
3) lim  4 x 2  x   10) lim  3 x   2  
x  4
 2  x 
1 x x 
 
3
4) lim x 4  x 3  x 2  1 
x  1 x2 1
11) lim 
5 x 3  6 x 2  3x x
1
1  2x  8
5) lim 3  2
1 x  x 2  3x
x
2 8x  1

6) lim t  14  t  
12) lim
t 3
. x 1 x3
x 1
7) lim 4 
x 16 x
8) lim (2 x  3)1 / 4 
x  1 / 3

33

CÁLCULO DE LIMITES e SUAS INDETERMINAÇÕES

O que significa uma indeterminação?
Como sair de uma indeterminação?

0 
As expressões, ,   , 0  , 0 , 0 ,1 , são ditas indeterminações. O
0 
que fazer quando se encontra tais situações?

0
Por exemplo .
0

Sejam f e g funções tais que lim f ( x)  lim g ( x)  0 . Nada se pode afirmar, a
x a x a

f
princípio sobre o limite do quociente . Dependendo das funções ele pode
g
0
assumir qualquer valor real ou não existir. Exprimimos isso, dizendo que é um
0
símbolo de indeterminação.

Exemplo:

Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2.
lim f ( x)  lim g ( x)  0
x 0 x0

lim f ( x) x3
e x 0
 lim  lim x  0
lim g ( x) x 0 x 2 x 0
x 0

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios
algébricos são necessários.

Obs.: Sempre que estamos diante de um limite com x  a , que resulte a
0
indeterminação e a função dada é do tipo racional
0
 P( x) 
 f ( x) 
 polinômios em x  é possível fazer uma simplificação, pois os

 Q( x) 
polinômios serão divisíveis por (x-a).

Exemplos:
x2 1
1) lim 
x 1 x  1

34

x 3  4 x 3  7 x  10
2) lim 
x 1 x 2  2x  3

x 3  27
3) lim 
x 3 x  3

x  12  4
4) lim 
x 4 x4

35

EXERCÍCIOS
Encontre o valor dos limites:
x3  8
1) lim 
x  2 x  2

x2  x  6
2) lim 
x 3 x3
x 2  5x  6
3) lim 2 
x  2 x  12 x  20

x 1  2
4) lim 
x 1 x 1
2x  1  3
5) lim 
x 5 x5

6) lim
 x  32  9 
x 0 x
3
8h 2
7) lim 
h 0 h
5
x  27  2
8) lim 
x 5 x5
3 x 2  17 x  20
9) lim 2 
x  4 4 x  25 x  36

2 x 2  3x  5
10) lim 
x
5 2x  5
2

36

LIMITES INFINITOS E LIMITES PARA X TENDENDO AO INFINITO

O símbolo  não representa um número; portanto, não se efetuam com ele
as operações que realizamos com os números reais.

Alguns exemplos:

1
1) Observe o gráfico da função f ( x)  :
x

1
 lim  0 , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é
x   x
zero.
1
 lim  0 , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é
x   x

zero.
1
 lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela direita, y cresce
x 0 x

indefinidamente e o limite é infinito (+).
1
 lim   , ou seja, quando x se aproxima de zero, pela esquerda, y
x 0 x

decresce indefinidamente e o limite é menos infinito (-).

37

1
2) Observe o gráfico da função f ( x)  .
x2

 Quando x cresce ou decresce indefinidamente a função se aproxima de
1
zero, ou seja y tende a zero. Simbolicamente temos: lim 2  0 e
x   x

1
lim 2  0 .
x  x

 Quando x se aproxima de zero pela esquerda e pela direita, y cresce
1
indefinidamente, isto é, y tende a mais infinito e indicamos: lim 2   e
x 0 x

1
lim 2   .
x 0 x

1
3) Considere f ( x)  3 :
x

38

 De modo análogo às situações anteriores, percebe-se que quando x cresce
ou decresce indefinidamente, a função se aproxima de zero. Notação:
1
lim 3  0 .
x   x

1
Definição: Se nN* e se f: R* R é a função definida por f ( x)  , então:
xn
1 1
lim f ( x)  lim 0 e lim f ( x)  lim 0
x  x  x n x  x  x n

k
De modo geral: x  
lim n
0
x
3
4) Seja a função f: R-{2} R tal que f ( x)  cujo gráfico é:
x2

Observa-se que:
 lim f ( x)  
x 2

 lim f ( x)  
x 2 

 lim f ( x) não existe, pois os limites laterais são diferentes.
x2

 lim f ( x)  0
x 

LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA X TENDENDO A MAIS OU MENOS
INFINITO

Considere a função polinomial f(x), de grau n, com a n0.
f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0
lim f ( x)  lim an x n
x  x 

Obs.: Esses limites são iguais a + ou - conforme o sinal de an e a paridade de
n.

Quando temos o limite de um quociente de polinômios, com x tendendo a
+, podemos aplicar a seguinte regra prática:

39

  se p  q
p p 1
a p x  a p 1 x  ...  a1 x  a0 p
ap x  ap

lim  lim  se p  q
x  b x q  b x q 1  ...  b x  b x  b x q
q q 1 1 0 q  bq
 0 se p  q

Analogamente se x tender a -.

PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO

40

Exemplos:
1) Dada a função f(x) = 2x3 -5x2 + 2x -1, calcular:
a) lim f ( x)
x  

b) lim f ( x)
x  

2 x 2  5x  1
2) Calcular lim .
x  4 x 2  3 x  7

41

2x 4  x  1
3) Calcular lim .
x  x 3  x 2  4

Teorema: Se lim h( x)  0 e lim g ( x)  c com c  0, então:
x a x a

g ( x)
1) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores positivos, então lim  .
x a h( x )

g ( x)
2) Se c > 0 e h (x) tende a zero por valores negativos, então lim  .
x a h( x )

g ( x)
3) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores positivos então lim  .
x a
h( x )
g ( x)
4) Se c < 0 e h (x) tende a zero por valores negativos então lim  .
x  a h( x )

Exemplos:
2x 2  6x  5
1) lim 2 
x  2 x  6 x  16

x 2  3x  1
2) lim 
x2 x2  x  6

x 1
3) lim 
x 1 x  x 2  2x
3

42

EXERCÍCIOS

1) O estudo dos limites nos permite analisar o comportamento de uma função
quando ela se aproxima de um ponto ou quando ela tende ao infinito. A existência
do limite de uma função está condicionado a sua igualdade quando tende a um
ponto pela direita e pela esquerda. Com base nos estudos realizados sobre
limites, calcule os limites abaixo.
a ) lim (2 x 5  2 x 4  x  1) 
x  

b) lim (3  7 x  4 x 6 ) 
x  

c) lim (2  x  x 5 ) 
x  

d ) lim ( x 3  3 x 2 ) 
x  

e) lim (4 x 12  4 x  5) 
x  

12 x 6  3 x 3  1
f ) lim 
x    3x 3  1
6x 5  x 1
g ) lim 
x   2 x 4  3 x  5

26 x 5  x
h) lim 
x   2 x 8  3 x  5

x  16 x 5
i ) lim 
x   21x 3  3 x  5

12 x 6  34 x 3  1
j ) lim
x   1 x 6  x

2) Calcule os seguintes limites:
x2 2x
a ) lim  i ) lim 
x 1 1  x x 1 x  1

x x2
b) lim 
x  4 x  4 j ) lim 
x2 x  2
x2
c) lim 2 
x2 x  4 x 2  5x  1
l ) lim 2 
x x 3 x  2 x  3
d ) lim 
x  1 x  4
2 x 2  3x  2
x

m) lim 2 
e) lim
x4 x  4
x4 x  3x  4
f ) lim
x2
 x2 1
x 1 1  x
n) lim
x2 x  2 
4x
g ) lim 
x  3 9  x 2

4x
h) lim 
x  3 9  x 2

43

LIMITES QUE ENVOLVEM INFINITO e as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E
ASSÍNTOTAS VERTICAIS

Exemplos:
4
a) Observe o gráfico da função f(x) = quando x tende para 3/2 pela
2x  3
esquerda e pela direita

Assim podemos concluir que:
4 4
lim = e lim =
3 2x  3 3 2x  3
x x
2 2
Por outro lado no exemplo acima temos que :

4 4
lim = e lim =
x  2 x  3 x  2 x  3

1
b) Observe o gráfico da função f(x) = 2  quando x tende para 1 pela
x 1

esquerda e pela direita e quando x tende ao


44

Assíntota horizontal y = 2

Assíntota vertical x = 1

Assim podemos concluir que:
1 1
lim 2  = e lim 2  =
x 1 x 1 x 1 x 1
Por outro lado no exemplo acima temos que :

1 1
lim 2  = e lim 2  =
x  x 1 x  x 1
Pode –se observar que quando x tende a 1 pela direita e pela esquerda os
limites são infinitos. Por outro lado quando x tende a infinito positivo ou infinito
negativo f(x) tende a 2. Pode-se concluir que 1 é uma assíntota vertical e 2 é uma
assíntota horizontal.

DEFINIÇÃO:

ASSÍNTOTA VERTICAL:
x
Veja o gráfico da função f(x) =
x 1
2

45

No caso tem-se que para os valores de x = -1 e x = 1 a função não está definida,
estes valores se constituem nas assíntotas verticais conforme segue:

Uma linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f
se pelo menos uma das seguintes condições for válida:
1) lim f ( x)   2) lim f ( x)   3) lim f ( x)   4) lim_ f ( x)  
x a x a x a x a

ASSÍNTOTA HORIZONTAL

No caso tem-se que para os valores de y = 2 a função nunca atinge este valor , e
observe que quando x tende para o infinito a função se aproxima deste valor sem
nunca assumir, este valor de aproximação se constituem nas assíntotas
horizontais conforme segue:

A linha horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma
função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida:

1) lim f ( x)  b 2) lim f ( x)  b
x  x 

Outros exemplos:
Determine as assíntotas das funções abaixo:

3x 2x  6 1  2x
a) f(x) = b) f(x) = c) g(x) =
x 1 x5 3  5x

46

LIMITE FUNDAMENTAIS ( 2ª parte da apostila)

Passa a discussão dos casos que denominamos limites fundamentais

1) Primeiro Limite Fundamental

sen x
lim 1
x 0 x

2) Segundo Limite Fundamental

a x 1
lim  ln a (a > 0 e a  1)
x 0 x
a u ( x)  1
De modo geral: lim  ln a
x 0 u ( x)

ex 1
Em particular: lim  ln e  1
x 0 x
3) Terceiro Limite Fundamental

x
 1
lim 1    e
x 
 x
u ( x)
 1 
De modo geral: lim 1 
 u ( x) 
 e
x 
 

Teorema do Confronto

Sejam f, g, h funções e a um ponto tal que para todo xa, tem-se g(x)
f(x) h(x).
Se lim g ( x)  L e lim h( x)  L, então lim f ( x)  L. O teorema do confronto

será utilizado para demonstrar o limite fundamental.

47

Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites
fundamentais.

1) Primeiro Limite Fundamental

sen x
lim 1
x 0 x
Demonstração:

Da figura temos:
Vamos considerar x  1º quadrante.
Área do triângulo AOM  área do setor circular AOM  área do triângulo AOT
1. sen x 1 1.tgx
 .x.12 
2 2 2
sen x  x  tgx
Dividindo por senx temos:
x 1
1 
sen x cos x
sen x sen x
1  cos x  cos x  1
x x
lim cos x  cos 0  1
x 0

lim 1  1
x 0

sen x
Pelo Teorema do Confronto, temos: lim 1
x 0 x
Graficamente, temos:

48

sen u ( x)
De modo geral: lim 1
x 0 u ( x)
Exemplos:
sen2 x
1) lim 
x 0 x

sen3 x
2) lim 
x 0 sen 4 x

tgx
3) lim 
x 0 x

sen2 x
4) lim 
x 0 5x

1  cos x
6) lim 
x 0 2x

2) Segundo Limite Fundamental

a x 1
lim  ln a (a > 0 e a  1)
x 0 x
a u ( x)  1
De modo geral: lim  ln a
x 0 u ( x)

ex 1
Em particular: lim  ln e  1
x 0 x
Exemplos:

e3x  1
1) lim 
x 0 3x

e3x  1
2) lim 
x 0 x

4 2 x  1
3) lim 
x 0 x

7 3x  1
4) lim 
x 0 5x

e x 1  1
5) lim 2 
x 1 x  1

49

3) Terceiro Limite Fundamental

x
 1
lim 1    e
x 
 x
u ( x)
 1 
De modo geral: lim 1   e
x  
 u ( x) 
x
 1
f ( x)  1  
Seja a função
 x , definida num domínio D.

O domínio D é determinado pelos valores reais de x que satisfazem a relação
1
1  0.
x
D   ,1  0,

Atribuindo valores de D a x, temos;

x y
1 2,000 Para os valores de x que crescem ou
2 2,250 decrescem indefinidamente, correspondem
3 2,369 valores de y que vão se aproximando do
5 2,489 número irracional e, chamado número de
10 2,594 Euler.
100 2,705
1000 2,717 e = 2,71828182....
10000 2,718
-2 4
-3 3,375
-10 2,868
-100 2,732
-1000 2,720
-10000 2,718
. .
. .
. .
 e

50

OBSERVE O GRÁFICO:

A partir do gráfico, temos que:

x x
 1  1
lim 1    lim 1    e
x 
 x  x   x 

Exemplos:
4x
 1
1) lim 1   
x  
 x

 x 6
x

2) lim   
x  
 x 

x
 1
3) lim 1   
x  
 x

x
 2 4
4) lim 1   
x  
 x

51

CONTINUIDADE

Definição

A função f é contínua em um número a se as três condições seguintes forem
satisfeitas:
i) f(a) existe
ii) lim f ( x)existe
x a

iii) lim f ( x)  f (a)
x a

Se uma ou mais destas condições não está satisfeita em a, dizemos que a função
f é descontínua em a.

Mostra de gráficos de funções que não são contínuas em x=a.

Exemplos:
Verifique a continuidade das seguintes funções. Faça um esboço do gráfico.

 x  1 se x  1
a) f ( x)   em x = 1
1  x se x  1

52

2 x  1 se x  1
b) f ( x)   em x = 1
 4 se x  1

 2 se x  1

c) f (x)  - 1 se x  1 em x = 1
- 2 se x  1


 x  1 se x  1
d) f ( x)   2 em x = 1
x  6 x  7 se x  1

 x2  1
 se x  1
 x 1
e) f ( x)   em x = 1

 1 se x  1


53

 x  3 se x  -1
f) f ( x)   em x = -1
- x  1 se x  -1

Exercícios

1) Trace o gráfico das funções e determine os limites indicados:

 x se x  1

a) f ( x)   2 se x  1
 x 2 se x  1

* lim f ( x)
x  1

* lim f ( x)
x 0

1  x se x  0

b) g ( x )   2 se x  0
1  x se x  0

* lim g ( x)
x  1

* lim g ( x)
x 0

* lim g ( x)
x 1

 x  4 se x  0
c) g ( x)   2
 x  1 se x  0

* lim g ( x)
x 0

* lim g ( x)
x 0

* lim g ( x)
x 0

* lim g ( x)
x  9

54

 x se x  1
d ) p ( x)  
 x  2 se x  1
* lim p ( x)
x 1

* lim p ( x)
x 1

* lim p ( x)
x 1

* lim p ( x)
x 15

1  x 2 se x  2
2) A função g está definida por g ( x)  
7  x se x  2
Esboce o gráfico de g.
a) Calcule limite de g quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda.
b) A função tem limite em x = 2..

3) Dado a função

a)Esboce o gráfico e verifique se a função é contínua em x = -1 e x = 1

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