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Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;
O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os
outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19
das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura
1.15:
Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração
Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC
respectivamente.
No triângulo retângulo AH1C, temos que
^ h1 ^
sen C = ⇒ h1 = b.sen C . [1]
b
No triângulo retângulo AH1B, temos que
^ h1 ^
sen B = ⇒ h1 = c.sen B . [2]
c
Comparando [1] e [2], temos:
^ ^ b c
b.sen C = c.sen B ⇒ ^
= ^ [A]
sen B sen C
Unidade 1 37](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-37-2048.jpg)
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No triângulo retângulo BH2C, temos que
^ h2 ^
sen C = ⇒ h2 = a.sen C . [3]
a
No triângulo retângulo AH2B, temos que
^ h2 ^
sen A = ⇒ h2 = c.sen A . [4]
c
Comparando [3] e [4], temos:
^ ^ a c
a.sen C = c.sen A ⇒ ^
= ^ [B]
sen A sen C
De [A] e [B] podemos concluir que:
a b c
^
= ^
= ^
sen A sen B sen C
Lei dos cossenos
Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é
necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e
B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela
obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a
medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir
qual a extensão da ponte.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.
38](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-38-2048.jpg)
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Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,
temos:
b2 = m2 + h2 a 2 = h2 +(c-m)2
h2 = b2 - m2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]
Substituindo [1] em [2], temos:
a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2
a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
^ ^ m
Note no triângulo A H C que temos: cos A =
b
Logo m = b.cos [4]
Substituindo [4] em [3], temos:
a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ
De forma análoga, você demonstra que:
^
b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B .
^
c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C .
Unidade 1 41](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-41-2048.jpg)
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Você sabia...
Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditos
periódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vez
que transcorre um intervalo de tempo determinado.
Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar as
ondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas.
Função Seno
Observe a figura 3.1:
Figura 3.1: Função Seno
A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco de
medida x∈IR, associa a ordenada y do ponto P.
f(x) = senx
O domínio da função seno é D(f)=IR
A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
Unidade 3 97](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-97-2048.jpg)
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Função Cosseno
Observe a figura 3.2:
Figura 3.2: Função Cosseno
A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arco
de medida x∈IR associa a abscissa x do ponto P.
f(x) = cos x
O domínio da função cosseno é D(f)=IR.
A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
Gráfico da Função Seno: Senóide
Seja f(x) = sen x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.1: Valores do seno
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
98](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-98-2048.jpg)
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Observe o gráfico na figura 3.3:
Figura 3.3: f(x) = senx
Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo
[-2 π ,2 π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2 π , pois a função repete
os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja,
toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x,
a função seno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um
valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os
valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o
intervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2 π ,2 π ].
Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0; π [ , a função f(x)=sen x
assume valores positivos.
Unidade 3 99](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-99-2048.jpg)
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Nos intervalos ]−π , 0[ e ]π ; 2π [ , a função f(x)=sen x
assume valores negativos.
A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos
−3π π π 3π
−2π ; 2 , − 2 , 2 e 2 ; 2π .
A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos
−3π −π π 3π
2 ; e ; .
2
2 2
A função f(x)=sen x é ímpar pois f(x) = -f(-x).
A função f(x)=sen x possui valor máximo quando
−3π rad e x = π rad.
x=
2 2
−π
A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando x =
2
3π
rad e x = rad.
2
Generalizando algumas características da função f(x)= sen x
tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível
estender a senóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].
A função f(x)= sen x possui valor máximo para
π
x ∈ IR | x = + 2kπ , k ∈ Z .
2
A função f(x)= sen x possui valor mínimo para
3π
x ∈ IR | x = + 2 kπ , k ∈ Z .
2
100](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-100-2048.jpg)
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Você lembra?
Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da Matemática
Elementar I’ cada uma das características das funções
y=sen x e y=cos x, citadas. Assim, você deve lembrar das
definições formais de função periódica, função par e ímpar.
Então:
Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica se
existe um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x)
para todo
x ∈D(f).
Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x no
seu domínio temos f(x)=f(-x).
Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos
f(x)=-f(-x).
Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide
Seja f(x) = cos x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.2: Valores do cosseno
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
Unidade 3 101](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-101-2048.jpg)
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Agora observe o gráfico na figura 3.4:
Figura 3.4: f(x) = cos x
Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo
[-2 π ,2 π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2 π , pois a função repete
os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja,
toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x,
a função cosseno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f(x)=cos x tem um
valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os
valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o
intervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2 π ,2 π ].
3π π π 3π
Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π a
2 2 2
2
função f(x)=cos x assume valores positivos.
3π π π 3π
Nos intervalos − ,− e ; , a função
2 2 2 2
f(x)=cosx assume valores negativos.
102](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-102-2048.jpg)
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A função f(x)=cos x é crescente nos intervalos [−π ;0] e
[π , 2π ].
A função f(x)=cos x é decrescente nos intervalos
[−2π ; −π ] e [0;π ].
A função f(x)=cos x é par, pois, f(x) = f(-x).
A função f(x)=cos x possui valor máximo quando
x = 0 rad .
A função f(x)=cos x possui valor mínimo quando x = −π
rad e x = π rad.
Generalizando algumas características da função f(x)= cos x
tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender
a cossenóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1].
A função f(x)= cos x possui valor máximo para
{x ∈ IR | x = 2kπ , k ∈ Z }.
A função f(x)= cos x possui valor mínimo para
{x ∈ IR | x = π + 2kπ , k ∈ Z }.
1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir,
determinando o domínio, a imagem e o período.
a ) f ( x) = 2 + sen x
b) f ( x) = sen x − 1
a) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração do
gráfico:
Unidade 3 103](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-103-2048.jpg)
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Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x
x sen x y=2+sen x y
0 sen0=0 y=2+0 2
π sen
π =1
y=2+1 3
2 2
π sen π =0 y=2+0 2
3π sen 3π =-1 y=2+(-1) 1
2 2
2π sen 2π =0 y=2+0 2
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado
na figura 3.5.
Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x
D=IR;
Im=[1,3];
P=2 π .
b) Solução:
Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico:
104](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-104-2048.jpg)
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Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1
x senx y=senx - 1 y
0 sen0=0 y=0-1 -1
π π
sen =1 y=1-1 0
2 2
π sen π =0 y=0-1 -1
3π sen
3π =-1
y=-1-1 -2
2 2
2π sen 2π =0 y=0-1 -1
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado
na figura 3.6.
Figura 3.6: f(x) = sen x -1
D=IR;
Im=[-2,0];
P=2 π .
Unidade 3 105](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-105-2048.jpg)
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Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura
3.3 no intervalo [0, 2 π ], você poderá observar que
f(x)=2+sen x pode ser obtida transladando-se o gráfico de y=sen x
em duas unidades no sentido positivo de Oy.
Quando se compara o gráfico de f(x) = sen x-1, observa-se que ele
pode ser obtido fazendo a translação de uma unidade do gráfico
f(x)=sen x, no sentido negativo de Oy.
x
2) Construa o gráfico da função f(x)=sen , dê o domínio, a
2
imagem e o período.
Você sabia...
Multiplicando o valor de x da função y=senx por um número
real, vamos observar que o período da função fica 2 π
dividido por este número. Por exemplo, y=sen(kx) o período
é P= .
Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.5 para a elaboração do
gráfico. Para isso, calcula-se o período desta função, pois se nota
que o mesmo será diferente de 2 π .
Observe: P=
Como k = 1 , temos:
2
P=
Como o seno é uma função periódica de período 2 π , basta variar
o argumento x num intervalo de amplitude 2 π . Atribuindo
2
x
a valores adequados e pertencentes ao intervalo [0, 2π ] e
2
calculando x e y, temos:
106](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-106-2048.jpg)
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Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano,
representado na figura 3.8.
Figura 3.8: f(x) = cos 2x
D = IR;
Im = [-1,1];
P = π.
b) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração do
gráfico.
Calculando o período da função y= cos4x, tem-se:
Nesta função k=4, logo:
2π 2π π
P= = = .
4 4 2
Unidade 3 109](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-109-2048.jpg)
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Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x
4x x y=cos4x y
0 0 y=cos0 1
π π π
y=cos 0
2 8 2
π
π y=cos π -1
4
3π 3π 3π 0
2 8 y=cos
2
π
2π y=cos 2π 1
2
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado
na figura 3.9.
Figura 3.9: f(x) = cos 4x
D = IR;
Im = [-1,1];
π
P= .
2
110](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-110-2048.jpg)
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Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela
3.8 com os valores notáveis da tangente.
Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente
π π π π 3π
x 0 π 2π
6 4 3 2 2
3 Não Não
tgx 0 1 3 existe 0 existe 0
3
Gráfico da Função Tangente: Tangentóide
Seja f(x) = tg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.9: Valores da tangente
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
Não Não Não Não 0
tg x 0 0 0 0
existe existe existe existe
Figura 3.16: f(x)=tg x
Unidade 3 119](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-119-2048.jpg)
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Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo
[-2 π ,2 π ], representada na figura 3.16, tem-se que:
A função é periódica de período π , pois a função repete os seus
valores nos intervalos [0, π ] e [ π ,2 π ], ou seja, toda vez que
somarmos π a um determinado valor de x, a função tangente
assume o mesmo valor.
Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráfico
da tangente tende ao infinito positivo ou negativo.
O estudo da variação nos mostra que, no intervalo
[-2 π ,2 π ], f(x)=tg x é sempre crescente.
O domínio da função f(x)=tg x é:
3π 3π π π π π 3π 3π
D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π
2 2 2 2 2 2 2 2
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
3π π π 3π
Nos intervalos −2π , − , −π , − 2 , 0, 2 e π , 2 , a
2
função f(x)=tg x assume valores positivos.
3π π π 3π
No intervalo − , −π , − , 0 , , π e , 2π , a
2 2 2 2
função f(x)=tg x assume valores negativos.
A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.)
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=tgx é
π
D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z .
2
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
120](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-120-2048.jpg)
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Gráfico da Função Cotangente
Seja f(x) = cotg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relação
cos x
cot g x = , ( sen x ≠ 0) , com x variando [-2π, 2π].
sen x
Tabela 3.10: Valores da cotangente
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
Não Não Não Não Não
cotgx 0 0 0 0
existe existe existe existe existe
Figura 3.18: f(x)=cotg x
Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo
[-2 π ,2 π ], representada na figura 3.18, tem-se que:
124](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-124-2048.jpg)
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A função é periódica de período π .
Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe,
o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ou
negativo.
O estudo da variação nos mostra que no intervalo
[-2 π ,2 π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente.
O domínio da função f(x)=cotg x é
D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ .
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR.
3π π π 3π
Nos intervalos −2π , − , −π , − , 0; e π ; ,
2
2 2 2
a função f(x)=cotg x assume valores positivos.
3π π
No intervalo − , −π , − 0 , π ; π e 3π ; 2π a
2
2 2 2
função f(x)=cotg x assume valores negativos.
A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x).
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=cotg x é
D( f ) = {x ∈ IR|x ≠ kπ , k ∈ Z}.
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR .
Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente.
1) Determine o valor de cot g 37π .
6
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 37π :
6
37π 36π π
= +
6 6 6
37π
Temos que π rad é a primeira determinação positiva de .
6 6
π 3
cos
37π π 6 = 2 = 3 .2 = 3
Então: cot g = cot g =
6 6 sen π 1 2 1
6 2
Unidade 3 125](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-125-2048.jpg)
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Logo:
1
sec x = , (cos x ≠ 0)
cos x
Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o
∆OM’M é semelhante ao ∆OMD.
OD OM
=
OM MM'
OD 1
=
1 sen x
OD . sen x = 1
1
OD =
sen x
Logo:
1
cos ec x = , ( sen x ≠ 0)
sen x
Gráfico da Função Secante
Seja f(x) = sec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação
1
sec x = , com x variando [−2π , 2π ].
cos x
Tabela 3.11: Valores da secante
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
Não Não Não Não
secx 1 -1 1 -1 1
existe existe existe existe
130](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-130-2048.jpg)
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Figura 3.20: f(x)=sec x
Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura
3.20, no intervalo [−2π , 2π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2 π .
O domínio da função f(x)=secx é:
3π 3π π π π π 3π 3π
D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π
2 2 2 2 2 2 2 2
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[.
A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos
3π 3π π π
−2π , − 2 , − 2 , −π ,
0, 2 e 2 , π .
A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos
π π 3π 3π
−π , − , − , 0 , π , e , 2π .
2 2 2 2
3π π π 3π
Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π , temos
2 2 2 2
sec x ≥ 1.
Nos intervalos − 3π , − π e π ; 3π , sec x ≤ -1.
2
2 2 2
A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x).
Unidade 3 131](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-131-2048.jpg)
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Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=sec x é
π
D( f ) = x ∈ IR | x ≠ + kπ , k ∈ Z .
2
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[.
Gráfico da Função Cossecante
Seja f(x) = cosec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação
1
cos ecx = , com x variando [-2π, 2π].
senx
Tabela 3.12: Valores da cossecante
3π π π 3π
x -2π − -π − 0 π 2π
2 2 2 2
Não Não Não Não Não
cosecx 1 -1 1 -1
existe existe existe existe existe
132](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-132-2048.jpg)
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Figura 3.21: f(x)=cosec x
Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo
[-2 π ,2 π ], representada na figura 3.21’, temos que:
A função é periódica de período 2 π .
O domínio da função f(x)=cosec x é:
D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ .
A imagem da função f(x)=cosec x é
Im (f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[.
A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos
3π π π 3π
− 2 , −π , −π , − 2 , 2 ,π e
π , 2 .
A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos
3π π π 3π
−2π , − 2 , − 2 , 0 , 0, 2 e 2 , 2π .
Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0, π [ , temos cosecx ≥ 1.
Nos intervalos ]−π ;0[ e ]π , 2π [, cosecx ≤ -1.
A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x.
Unidade 3 133](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-133-2048.jpg)
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Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=cosec x é
D(f) = {x ∈ IR | x ≠ kπ , k ∈ Z }.
A imagem da função f(x)=cosec x é
Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[.
Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante e
cossecante.
9π
1) Determine o valor de sec .
2
Solução:
9π
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de rad .
2
9π 8π π
= +
2 2 2
9π π
A primeira determinação positiva de rad é rad .
2 2
9π π
Então: sec = sec → não existe
2 2
9π
Logo, sec → não existe .
2
59π
2) Determine o valor de cos ec .
4
Solução:
59π
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de .
4
3π
Tem-se que rad é a primeira determinação positiva de
4
59π
rad .
4
59π 3π π
Assim, cos ec = cos ec = cos ec = 2 .
4 4 4
59π
Logo: cos ec = 2.
4
134](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-134-2048.jpg)
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Função Arco Seno
π π
Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio − , e,
2 2
tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, e
somente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1]
π π
corresponde y ∈ − , .
2 2
Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura
3.23:
Figura 3.23 : Função y = arc sen x
A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintes
características da função
y = arc sen x:
o domínio da função é D = [-1,1];
π π
a imagem da função é − , ;
2 2
é crescente em todo seu domínio.
Unidade 3 137](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-137-2048.jpg)
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Função Arco Cosseno
Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o
domínio [0,π].
A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x,
se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1]
corresponde y ∈ [0, π ] .
Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura
3.24:
Figura 3.24: Função y = arc cos x
A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintes
características da função
y = arc cos x:
o domínio da função é D = [-1,1];
a imagem da função é [0,π ];
é decrescente em todo seu domínio.
138](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-138-2048.jpg)
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Função Arco Cotangente
A função inversa da função cotangente é definida como
π
y = arc cotg x = − arc tgx , onde, para cada x real, corresponde
2
y ∈ ]0, π [ .
Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura
3.26:
Figura 3.26: Função y = arc cotg x
A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintes
características da função y = arc cotg x:
o domínio da função é D = IR;
a imagem da função ∈ ]0, π [ ;
yé
é decrescente em todo seu domínio.
Função Arco Secante
A função inversa da função secante é definida como
1
y = arc sec x = ar cos , onde, para cada x real, tal que x ≥ 1 ,
x
corresponde y = [0, π ] com y ≠ π .
140 2](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-140-2048.jpg)
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Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura
3.27:
Figura 3.27: Função y = arc sec x
A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintes
características da função y = arc sec x:
o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1};
π
a imagem da função é [0, π ] e y ≠ ;
2
é crescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[.
Função Arco Cosecante
A função inversa da função cossecante é definida como
1
y = arccos x = arsen , onde, para cada x real, tal que, x ≥ 1 ,
x
π π
corresponde y = − , com y ≠ 0.
2 2
Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura
3.28:
Unidade 3 141](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-141-2048.jpg)
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Figura 3.28: Função y = arc cosec x
A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintes
características da função y = arc cosec x:
o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1};
a imagem da função é − π , π e y ≠ 0;
2 2
é decrescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[.
Que tal alguns exemplos?
Exemplos:
1
1) Qual o valor de y = sec 2 arcsen ?
2
Solução:
1
y = sec 2 arcsen .
2
1
Fazendo x = arcsen , deve-se procurar um arco cujo seno é igual
2
142](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-142-2048.jpg)
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a 1.
2
π
Então, o arco procurado deve ser x = rad , pois, de acordo com
6
π π
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo − , .
2 2
1
Dessa forma, substituindo x em y = sec 2 arcsen , pode-se
2
escrever:
1 π π 1 1
sec 2 arcsen = sec 2 = sec = = = 2.
2 6 3 cos π 1
3 2
1
Logo, o valor de y = sec 2 arcsen é 2.
2
− 2
2) Qual o valor de E = 10. sen arccos
?
2
Solução:
− 2
E = 10. sen arccos
2
− 2
Fazendo x = ar cos , deve-se procurar um arco cujo cosseno é
2
igual a − 2 .
2
3π
Então, o arco procurado deve ser x = rad , pois, de acordo com
4
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [0,π ].
− 2
Dessa forma, substituindo x em E = 10. sen arccos
, pode-
2
se escrever:
− 2
E = 10. sen arccos
2
3π
E = 10. sen
4
2
E = 10.
2
E = 5 2.
Unidade 3 143](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-143-2048.jpg)
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d 2 ( A, B ) = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
d ( A, B ) = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 .
Seja a figura 4.3:
Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos
Na circunferência trigonométrica tem-se:
os arcos a e b;
o arco a-b;
M representa a extremidade do arco a;
N representa a extremidade do arco b;
P representa a extremidade do arco a-b;
A representa a extremidade do arco nulo.
Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontos
P e A, M e N são iguais.
Escreve-se então: d 2 ( P, A) = d 2 ( M , N )
( X P − X A ) + (YP − YA ) = ( X M − X N ) + (YM − YN )
2 2 2 2
[1]
164](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-164-2048.jpg)
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Note que:
as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b));
as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena);
as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb);
as coordenadas do ponto A são: A(1,0).
Assim substituindo em [1] tem-se:
[cos(a − b) − 1] + [sen(a − b) − 0] = [cos a − cos b] + [sena − senb]
2 2 2 2
Desenvolvendo a equação e sabendo que:
sen 2 (a − b) + cos 2 (a − b) = 1 ;
sen 2 a + cos 2 a = 1 ;
sen 2b + cos 2 b = 1 .
Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membros
A e B, então:
A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0 e B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ] .
2 2 2 2
Desenvolvendo A, tem-se:
2 2
A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0
A = cos 2 (a − b ) − 2 cos (a − b ) + 1 + sen 2 (a − b )
A = 2 − 2 cos (a − b )
Desenvolvendo B, tem-se:
B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ]
2 2
B = cos 2 a − 2.cos a.cos b + cos 2 b + sen 2 a − 2.sen a.sen b + sen 2b
B = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b )
Como A=B, tem-se:
2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b )
Unidade 4 165](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-165-2048.jpg)
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Para simplificar a equação, divide-se por (-2):
−1 + 1cos(a − b) = −1 + (cos a.cos b + sen a.sen b)
Logo :
cos(a − b) = cos a.cos b + sen a.sen b
As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida.
cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b
Demonstração:
Substituindo b por –b tem-se:
cos (a − (−b) ) = cos a.cos(−b) + sen a.sen (−b) [2]
Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo, tem-se:
sen (−b) = − sen b .
cos(−b) = cos b .
Substituindo em [2] tem-se:
cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b .
Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e do
seno da soma:
Seno da diferença: sen (a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b .
Demonstração:
Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar:
Para todo x real, tem-se:
π
cos − x = senx
2
π
sen − x = cos x.
2
166](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-166-2048.jpg)
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Dessa forma:
sen(a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b
π
sen (a − b ) = cos − (a − b )
2
π
sen (a − b ) = cos − a + b
2
π π
sen (a − b ) = cos − a .cos b − sen − a .senb
2 2
sen (a − b ) = sena.cos b − cos a.senb.
Seno da soma: sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b .
Demonstração:
Substituindo b por –b, tem-se:
sen (a + b) = sen (a − (−b) ) = sen a.cos (−b) − cos a.sen (−b) [3]
Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo:
sen(−b) = − senb .
cos(−b) = cos b .
Substituindo em [3], tem-se:
sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b .
Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e da
diferença de dois arcos.
tga − tgb
tg (a − b) = .
1 + tga.tgb
Demonstração:
senx
Você já conhece a relação fundamental tgx = .
cos x
Na demonstração a seguir, ela será utilizada.
Unidade 4 167](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-167-2048.jpg)
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As diferentes equações possuem nomes específicos em função
de suas características específicas. Por exemplo: 2 x − 4 = 9 é
denominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob
o radical.
Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas que
recebem este nome porque são equações em que figuram as
funções trigonométricas com um arco desconhecido.
Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizar
artifícios e transformações que nos permitam chegar a equações
básicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma,
podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a.
Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas:
a ) sen x = 0
b) 1 − cos 2 x + sen x = 0
c) sen 2 x = 2.cos x
Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o
conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem a
equação dada.
Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equações
trigonométricas:
1
1) Resolver a equação sen x = no intervalo [0,2π ].
2
Solução:
Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundo
quadrante.
1 π
O arco cujo seno corresponde a é no primeiro quadrante e,
2 6
utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo
quadrante: π − π = 5π .
6 6
Observe a representação da solução na figura 4.5.
176](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-176-2048.jpg)
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1
Figura 4.5: sen x = ; [0; 2π ]
2
π 5π
Logo, a solução desta equação é S = , .
6 6
1
2) Resolver a equação sen x = , com x ∈ 0, π .
2 2
Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com
intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa a
situação do problema.
1 π
Figura 4.6: sen x = ;x ∈ 0, 2
2
π 1 π
Logo, como sen = , então a solução é S = .
6 2 6
Unidade 4 177](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-177-2048.jpg)
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5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [0; 2π ].
Solução:
Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se:
sen 2 x = 2 cos x
2.sen x.cos x = 2 cos x
Resolvendo a equação:
2.sen x.cos x − 2.cos x = 0
2.cos x.( sen x − 1) = 0.
Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quando
um dos fatores for zero. Dessa forma:
2.cos x = 0 ou sen x − 1 = 0.
Assim, tem-se duas equações para resolver:
2.cos x = 0 sen x − 1 = 0
ou
cos x = 0 sen x = 1
Encontrando a solução para cos x = 0, no intervalo dado tem-se:
π 3π
x= ou x = .
2 2
Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se:
π
x= .
2
Logo, a solução da equação sen 2 x = 2 cos x no intervalo [0, 2π ] é
S = π , 3π .
2 2
180](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-180-2048.jpg)
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2
Figura 4.9: cos x < −
2
Logo, a solução será:
3π 5π
S = x ∈ IR | <x< .
4 4
3) Qual é a solução da inequação tg x > 3 no intervalo [0, 2π ]?
Solução:
Figura 4.10: tgx > 3
Unidade 4 183](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-183-2048.jpg)
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18) Qual o valor de (tg 10º + cot g 10º ).sen 20º ?
19) Se tg x + cot g x = 4 , quanto vale sen 2 x ?
2
20) Sendo a + b = 45º e tg a = , calcule tg b .
3
21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π .
22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 .
Unidade 4 189](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-189-2048.jpg)
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1) Considere os números complexos z1 = 2-2i e z2 = 1+3i e efetue
as seguintes operações:
a) (z1+z2)2
Solução:
(z1+z2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2
(z1+z2)2 = (3+i) 2
(z1+z2)2 = 32+2.3.i+i2
(z1+z2)2 = 9+6i+(-1)
(z1+z2)2 = 8+6i
b) (z2 ) .z1
2
Solução:
(z2 ) .z1 = (1 + 3i ) . (2 + 2i )
2 2
(z2 ) .z1 = (1 + 6i + 9i 2 ). (2 + 2i )
2
(z2 ) .z1 = (1 + 6i-9) . (2 + 2i )
2
(z2 ) .z1 = (−8 + 6i ). (2 + 2i )
2
(z2 ) .z1 = −16 − 16i + 12i + 12i
2 2
(z2 ) .z1 = −16 − 4i + 12.(−1)
2
(z2 ) .z1 = −28 − 4i
2
2) Determine o número complexo z, tal que i.z + (z + z) = 1 + 2i .
Solução:
Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade
i.z + (z + z) = 1 + 2i temos:
208](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-208-2048.jpg)
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i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i
ai+bi2+2a = 1+2i
2a - b +ai = 1+2i
Utilizando-se a igualdade entre dois números complexos
obtém-se:
2a − b = 1
a=2
Substituindo, tem-se:
Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i.
3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja um
imaginário puro.
Solução:
Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i)2 tem-se:
(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi +9i2
(2x+3i)2 = 4x2 + 12xi - 9
(2x+3i)2 = (4x2 -9) + 12xi
Você já sabe que para que um número complexo seja imaginário
puro deve ter Re(z)=0 e Im(z) ≠ 0.
Unidade 5 209](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-209-2048.jpg)
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π
Logo, θ = rad ou θ = 45o .
4
Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é:
z = ρ .(cos θ + isen θ )
π π
z = 2 2 . cos + isen
4 4
2) Escreva na forma algébrica o número complexo
z=5.(cos270º + i sen270º).
Solução:
Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º.
cos270º = 0 e sen270º = -1
Agora se substitui esses valores no complexo
z = 5.(cos 270º +i.sen 270º )
z = 5.[0 + i.(−1)]
z = 5.(0 − i )
z = −5i
Portanto, a forma algébrica de z = 5.(cos 270º +isen270º ) é z=-5i.
Operações na forma trigonométrica ou polar
Multiplicação
Sejam os números complexos
z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e
z2 = ρ2(cosθ2 + isenθ2)
Efetuando a multiplicação entre z1 e z2 , tem-se:
z1. z2 = ρ1 (cosθ1 + isenθ1) . ρ2 (cosθ2 + isenθ2)
z1. z2=ρ1. ρ2 (cosθ1. cosθ2 + icosθ1. senθ2+ isenθ1. cosθ2+ i2senθ1.senθ2)
z1. z2=ρ1. ρ2 [(cosθ1.cosθ2-senθ1.senθ2) + i(cosθ1.senθ2+ senθ1.cosθ2)]
222](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-222-2048.jpg)
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Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade
4, tem-se:
z1. z2 =ρ1. ρ2 [cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]
Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos e
somar os argumentos dos complexos.
Exemplo:
π π
Efetue z1. z2 , sendo z1 = 3. cos + i.sen e
3 3
2π 2π
z2 = 2.(cos + i.sen ) .
3 3
Solução:
Dos complexos retira-se os seguintes dados:
π
ρ1 = 3 e θ1 = 3
ρ = 2 e θ = 2π
2
2
3
Substituindo-se esses dados em z1. z2 =ρ1. ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]
tem-se:
π 2π π 2π
z1 .z2 = 3.2. cos + + isen +
3 3 3 3
3π 3π
z1 .z2 = 6. cos + isen
3 3
z1 .z2 = 6. (cos π + isenπ )
Divisão
Sejam os números complexos
z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2 (cosθ2 + isenθ2) com z2 ≠ 0
Unidade 5 223](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-223-2048.jpg)
![Trigonometria e Números Complexos
8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.
9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o
produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
10) Calcule a e b reais de modo que i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi .
11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*.
(2 + i )101.(2 − i )50
12) Simplificando , obtém-se:
(−2 − i )100 .(i − 2) 49
Unidade 5 241](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-241-2048.jpg)
![Trigonometria e Números Complexos
a) y = sen 2 x D=R
y = 2 + cos x D=R
x
y = tg D = { x ∈ R / x ≠ π + k 2π }
2
b) y = sen 2 x Im = [ −1,1 ]
y = 2 + cos x Im = [ 1,3 ]
x
y = tg Im = ] − ∞ , ∞ [
2
π 3π
c) 2 ;π e 2 , 2π
d ) [0; 2π ]
e ) P = 2π
7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7.
Sabe-se que −1 ≤ sen x ≤ 1 , tem-se:
−1 ≤ senx ≤ 1
−1 ≤ 3k − 7 ≤ 1
7 − 1 ≤ 3k − 7 + 7 ≤ 1 + 7
6 ≤ 3k ≤ 8 (÷3)
6 3k 8
≤ ≤
3 3 3
8
2≤k ≤
3
8
Logo: k ∈ R | 2 ≤ k ≤
3
8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x?
f ( x) = 5 + cos x
a=5
b =1
a − b = 5 −1 = 4
a + b = 5 +1 = 6
Im = [4, 6]
281](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-281-2048.jpg)
![Trigonometria e Números Complexos
21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π .
sen 2 x + senx − 2 = 0 0 ≤ x ≤ 2π
Observe que esta equação representa uma equação do 2o grau cuja a incógnita é sen x,
portanto pode - se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação :
∆ = 12 − 4.1.(−2 )
∆ = 1+ 8 = 9
−1 ± 9
senx =
2.1
−1 ± 3
senx =
2
4 2
sen x = − = −2 e sen x = = 1
2 2
Como −1 ≤ senx ≤ 1 então senx = 1
π
Portanto, x=
2
π
S =
2
22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 .
301](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-301-2048.jpg)
![Trigonometria e Números Complexos
5) Efetue:
a) (2 – i).(1 + 3i)
(2 − i ).(1 + 3i ) = 2 + 6i − i − 3i 2 = 2 + 6i − i + 3 = 5 + 5i .
1 1
b) + i . − i
2 2
1 1 1 1 1 2 1 1+ 4 5 .
− i . + i = − i + i − i = + 1 = =
2 2 4 2 2 4 4 4
c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)
(1 + i ).(2 − i ) .(1 + 2i ) = 2 − i + 2i − i 2 .(1 + 2i ) = [2 − i + 2i + 1].(1 + 2i ) = (3 + i ).(1 + 2i ) =
3 + 6i + i + 2i 2 = 3 + 6i + i − 2 = 1 + 7i.
6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:
−2 + i (−2 + i ) −2i 4i − 2i 2 4i + 2 1 + 2i
a) = . = = = .
2i 2i −2i −4i 2 4 2
2i (4 + 2i ) (2 + 2i ) 8 + 4 ( 2) i
2
2
4+ 2i + 2 2i + 8 + 6 2i − 2 6 + 6 2i
b) = . = = = = 1 + 2i.
2i (2 − 2i ) (2 + 2i ) ( 2i )
2
2− 4− 4+2 6
(1 + i )
2
1 + 2i + i 2 1 + 2i − 1 2i (2 + i ) 4i + 2i 2 4i − 2 2 4
c) = = = . = 2
= = − + i.
2−i 2−i 2−i (2 − i ) (2 + i ) 4−i 4 +1 5 5
3
7) Qual o conjugado do número complexo z = ?
1 + 2i
Inicialmente coloca-se z na forma a + bi:
z=
3
.
(1 − 2i ) = 3 − 6i = 3 − 6i = 3 − 6 i
(1 + 2i ) (1 − 2i ) 1 − 4i 2 1 + 4 5 5
3 6 3 6
Como z = − i ⇒ z = + i.
5 5 5 5
309](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-309-2048.jpg)
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8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real.
Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi:
(12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12i.( x − 2) − 36i − 2i 2 . (x − 2 )
(12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12 xi − 24i − 36i + 2 x − 4
(12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 212 + (12 x − 60)i
Dessa forma tem-se:
Im( z ) = 0 ⇒ 12 x − 60 = 0
12 x = 60
60
x=
12
x=5
9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o
produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se:
z + z = 18
z.z = 145
Se z = a + bi, tem − se que z = a − bi. Substituindo no sistema, tem-se:
z + z = 18
a + bi + a − bi = 18
2a = 18
a=9
z.z = 145
(a + bi ).(a − bi ) = 145
a 2 − (bi ) = 145
2
92 − b 2i 2 = 145
81 + b 2 = 145
b 2 = 145 − 81
b 2 = 64
b = ± 64
b = ±8
Portanto, o módulo de a.b = 9.( ± 8) = 72.
310](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-310-2048.jpg)
![Universidade do Sul de Santa Catarina
19) Calcule:
a) (1 – i) 6
3 3
(1 − i ) = (1 − i ) = 1 − 2i + i 2 = [1 − 2i − 1] = (−2i ) = −8i 3 = −8.(−i ) = 8i
6 2 3 3
b) 100
1 3
2 2 i
− +
1 3
z = − +i
2 2
1 3
n = 100 , a = − , b =
2 2
ρ = a 2 + b2
2 2
1 3 1 3
ρ = − + = + =1
2 2
4 4
1
−
a 1
cos θ = ⇒ cos θ = 2 = −
ρ 1 2
3
b 3
sen θ = ⇒ sen θ = 2 =
ρ 1 2
θ = 120o
z n = ρ n .[cos( nθ ) + i.sen( nθ )]
( )
z100 = 1100 . cos 100.120o + i.sen( 100.120o )
z100 = cos 12000o + i.sen12000o
Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 o :
z100 = cos 120o + i.sen120o
Faz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120 o
z100 = − cos 60o + i.sen60o
1 3
z100 = − + i.
2 2
316](https://image.slidesharecdn.com/aptrigonometrianumeroscomplexo-111212024552-phpapp01/75/Ap-trigonometria-numeros-complexo-316-2048.jpg)
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Ap trigonometria numeros complexo
Este documento fornece informações sobre o curso de Trigonometria e Números Complexos oferecido pela Universidade do Sul de Santa Catarina (Unisul). Ele apresenta os créditos do curso, a ementa, os objetivos gerais e específicos, a carga horária e a equipe responsável pelo curso.
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Ap trigonometria numeros complexo
- 1. Universidade do Sulde Santa Catarina Trigonometria e Números Complexos Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2007
- 2. Créditos Unisul - Universidadedo Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Diva Marília Flemming Monitoria e Suporte Equipe Didático- Rua João Pereira dos Santos, 303 Itamar Pedro Bevilaqua Rafael da Cunha Lara pedagógica Palhoça - SC - 88130-475 Janete Elza Felisbino (Coordenador) Fone/fax: (48) 3279-1541 e Jucimara Roesler Adriana Silveira Capacitação e Apoio 3279-1542 Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Caroline Mendonça Pedagógico à Tutoria E-mail: cursovirtual@unisul.br Lauro José Ballock Dyego Rachadel Angelita Marçal Flores Site: www.virtual.unisul.br Luiz Guilherme Buchmann Edison Rodrigo Valim (Coordenadora) Figueiredo Francielle Arruda Caroline Batista Reitor Unisul Luiz Otávio Botelho Lento Gabriela Malinverni Barbieri Enzo de Oliveira Moreira Marcelo Cavalcanti Josiane Conceição Leal Patrícia Meneghel Gerson Luiz Joner da Silveira Mauri Luiz Heerdt Maria Eugênia Ferreira Celeghin Vanessa Francine Corrêa Mauro Faccioni Filho Rachel Lopes C. Pinto Vice-Reitor e Pró-Reitor Michelle Denise Durieux Lopes Acadêmico Simone Andréa de Castilho Design Instrucional Destri Tatiane Silva Sebastião Salésio Heerdt Moacir Heerdt Daniela Erani Monteiro Will Vinícius Maycot Serafim (Coordenadora) Nélio Herzmann Chefe de Gabinete da Reitoria Onei Tadeu Dutra Carmen Maria Cipriani Pandini Produção Industrial e Carolina Hoeller da Silva Boeing Fabian Martins de Castro Patrícia Alberton Suporte Patrícia Pozza Dênia Falcão de Bittencourt Raulino Jacó Brüning Arthur Emmanuel F. Silveira Flávia Lumi Matuzawa Pró-Reitor Administrativo (Coordenador) Rose Clér E. Beche Karla Leonora Dahse Nunes Marcus Vinícius Anátoles da Silva Francisco Asp Leandro Kingeski Pacheco Ferreira Tade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância) Ligia Maria Soufen Tumolo Projetos Corporativos Márcia Loch Campus Sul Diane Dal Mago Viviane Bastos Design Gráfico Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Vanderlei Brasil Viviani Poyer Diretora adjunta: Alexandra Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Núcleo de Avaliação da Orsoni Secretaria de Ensino a Aprendizagem Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Distância Márcia Loch (Coordenadora) Campus Norte Karine Augusta Zanoni Evandro Guedes Machado Cristina Klipp de Oliveira Diretor: Ailton Nazareno Soares Fernando Roberto Dias (Secretária de Ensino) Silvana Denise Guimarães Diretora adjunta: Cibele Schuelter Zimmermann Ana Luísa Mittelztatt Higor Ghisi Luciano Ana Paula Pereira Pesquisa e Desenvolvimento Campus UnisulVirtual Pedro Paulo Alves Teixeira Djeime Sammer Bortolotti Dênia Falcão de Bittencourt Diretor: João Vianney Rafael Pessi Carla Cristina Sbardella (Coordenadora) Diretora adjunta: Jucimara Vilson Martins Filho Franciele da Silva Bruchado Roesler Grasiela Martins Núcleo de Acessibilidade Gerência de Relacionamento James Marcel Silva Ribeiro Vanessa de Andrade Manuel com o Mercado Lamuniê Souza Equipe UnisulVirtual Walter Félix Cardoso Júnior Liana Pamplona Marcelo Pereira Administração Logística de Encontros Marcos Alcides Medeiros Junior Renato André Luz Presenciais Maria Isabel Aragon Valmir Venício Inácio Olavo Lajús Marcia Luz de Oliveira Priscilla Geovana Pagani (Coordenadora) Silvana Henrique Silva Bibliotecária Aracelli Araldi Vilmar Isaurino Vidal Soraya Arruda Waltrick Graciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. Pereira Secretária Executiva Cerimonial de Formatura José Carlos Teixeira Letícia Cristina Barbosa Viviane Schalata Martins Jackson Schuelter Wiggers Kênia Alexandra Costa Hermann Priscila Santos Alves Tecnologia Coordenação dos Cursos Osmar de Oliveira Braz Júnior Adriano Sérgio da Cunha Logística de Materiais (Coordenador) Aloísio José Rodrigues Ricardo Alexandre Bianchini Ana Luisa Mülbert Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Rodrigo de Barcelos Martins Ana Paula Reusing Pacheco Cátia Melissa S. Rodrigues Eduardo Kraus (Auxiliar) Charles Cesconetto
- 3. Apresentação Este livro didáticocorresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância. Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual.
- 5. Rosana Camilo daRosa Eliane Darela Paulo Henrique Rufino Trigonometria e Números Complexos Livro didático Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes 2ª edição revista e atualizada Palhoça UnisulVirtual 2007
- 6. Copyright © UnisulVirtual2007 Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição. Edição - Livr Didático - o Pr essor Conteudistas of es Rosana Cam ilo da Rosa ElianeDarela Paulo HenriqueRu. no Design I ucional nstr Karla Leonora DahseNunes I 978-85-60694-32-7 SBN Pr eto Gr ico e Capa oj áf EquipeUnisulVirtual Diagr ação am Fernando Roberto Dias Zim m erm ann Revisão Or áf togr ica B2B 516.24 R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. Fi catal cha ográfca el i aborada pel Bi i a bloteca U ni versi a da U ni tári sul
- 7. Sumário Apresentação . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17 UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95 UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
- 9. Palavras dos professores Estamosapresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura. É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá- lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos. Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades. Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos. Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco. Profª. Eliane Darela, Msc. Prof . Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
- 11. Plano de estudo Oplano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos deste processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais). Carga Horária 60 horas – 4 créditos. Ementa Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos.
- 12. Universidade do Sulde Santa Catarina Objetivo(s) Geral A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade. Específicos Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Introduzir o conceito das funções circulares. Reduzir arco ao 1º quadrante. Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas. Resolver equações e inequações trigonométricas. Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo. Compreender o conceito de números complexos. Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. 12
- 13. Trigonometria e NúmerosComplexos Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Conteúdo programático/objetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 5 Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais. Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas. 13
- 14. Universidade do Sulde Santa Catarina Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas. Unidade 5 - Números Complexos Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número. Agenda de atividades/ Cronograma Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina. 14
- 15. Trigonometria e NúmerosComplexos Atividades Avaliação a Distância Avaliação Presencial Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal) 15
- 17. 1 UNIDADE 1 Estudando aTrigonometria nos Triângulos Objetivos de aprendizagem Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Seções de estudo Seção 1 Introdução à Trigonometria Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
- 18. Universidade do Sulde Santa Catarina Para início de conversa Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto. A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia. Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades. SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria O que é trigonometria? Tri = três gonos = ângulos metria = medição Logo, trigonometria significa medição de três ângulos. 18
- 19. Trigonometria e NúmerosComplexos Você sabia... Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º). O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi Para compreender, acesse um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, o site sugerido na seção a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos ‘saiba mais’ ao final desta lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. unidade. Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Unidade 1 19
- 20. Universidade do Sulde Santa Catarina SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo: Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros; Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros; Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros. Figura 1.1: Representação da situação problema Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados. 20
- 21. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU BS CT DU 30 45 60 Logo: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 6 (valor constante). Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α. Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados. Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal AB AC AD 40 60 80 Temos: AS = AT = AU → = = 50 75 100 = 0, 8 (valor constante). Unidade 1 21
- 22. Universidade do Sulde Santa Catarina Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α. Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal. Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal BS CT DU 30 45 60 Temos: AB = AC = AD → = = 40 60 80 = 0, 75 (valor constante). Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α. Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo. 22
- 23. Trigonometria e NúmerosComplexos Generalizando, tem-se: Figura 1.5: Triângulo retângulo Na figura, 1.5 tem-se: O triângulo ABC é retângulo em A; O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a); Os lados b e c denominam-se catetos; O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ; O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. Você lembra do Teorema de Pitágoras? O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2=b2+c2 Unidade 1 23
- 24. Universidade do Sulde Santa Catarina Desta forma, tem-se: cateto oposto b senβ = = hipotenusa a cateto adjacente c cos β = = hipotenusa a cateto oposto b tg β = = cateto adjacente c De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática? Retrospectiva histórica Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática. 24
- 25. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 1.6 – Pitágoras Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op- ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006 Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas. O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia. Saiba mais Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática. Ângulos notáveis Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade. Unidade 1 25
- 26. Universidade do Sulde Santa Catarina Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela: 26
- 27. Trigonometria e NúmerosComplexos Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º. Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos. Você sabia... Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan. Unidade 1 27
- 28. Universidade do Sulde Santa Catarina Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento. 1) Calcule o valor de x: Figura 1.7: Triângulo retângulo Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente. cateto oposto tg 55º = cateto adjacente x tg 55º = 3 x 1, 428 = 3 x = 4, 284cm 2) Determine o valor de x: Figura 1.8: Triângulo retângulo 28
- 29. Trigonometria e NúmerosComplexos Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x. cateto oposto sen 30º = hipotenusa x sen 30º = 16 1 x = 2 16 2 x = 16 x = 8cmm 3) Encontre o valor de x: Figura 1.9: Triângulo retângulo Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x. cateto adjacente cos 60º = hipotenusa 10 cos 60º = x 1 10 = 2 x x = 20 cm Unidade 1 29
- 30. Universidade do Sulde Santa Catarina E então? Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos? Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem). Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo: P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m. Modelo real Modelo matemático Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1 Solução: A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste. 30
- 31. Trigonometria e NúmerosComplexos cateto oposto tg 68º = cateto adjacente x tg 68º = 2, 4 x 2, 475 = 2, 4 x = 5, 94 m Lembre-se: A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica. Resposta: A altura do poste é de 5,94 m. P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará? Modelo real Modelo matemático Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2 Solução: Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros. Unidade 1 31
- 32. Universidade do Sulde Santa Catarina cateto oposto sen 36º = hipotenusa x sen 36º = 80 x 0, 588 = 80 x = 47, 04 m Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros. P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3 Solução: A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros. cateto oposto tg 20º = cateto adjacente x tg 20º = 50 x 0, 364 = 50 x = 18, 20 m 32
- 33. Trigonometria e NúmerosComplexos Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 1,50 = 19,70 metros. Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros. Você sabia... Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais. Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática. Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco... Retrospectiva Histórica Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica. Unidade 1 33
- 34. Universidade do Sulde Santa Catarina Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste. Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria. Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores. SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade. Você sabia... Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º. 34
- 35. Trigonometria e NúmerosComplexos Lei dos senos Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio. Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo. Teorema Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Unidade 1 35
- 36. Universidade do Sulde Santa Catarina Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14: Figura 1.14: Lei dos senos Agora observe a resolução do problema! 100 d = sen 45º sen120º 100 d = 2 3 2 2 d 2 100 3 = 2 2 100 3 d= 2 100 3 2 d= . 2 2 100 6 d= 4 100 6 d= 2 d = 50 6 d = 122, 47 m Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. 36
- 37. Trigonometria e NúmerosComplexos Existem três casos a considerar: O triângulo ABC é retângulo; O triângulo ABC é obtusângulo; O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.15: Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC respectivamente. No triângulo retângulo AH1C, temos que ^ h1 ^ sen C = ⇒ h1 = b.sen C . [1] b No triângulo retângulo AH1B, temos que ^ h1 ^ sen B = ⇒ h1 = c.sen B . [2] c Comparando [1] e [2], temos: ^ ^ b c b.sen C = c.sen B ⇒ ^ = ^ [A] sen B sen C Unidade 1 37
- 38. Universidade do Sulde Santa Catarina No triângulo retângulo BH2C, temos que ^ h2 ^ sen C = ⇒ h2 = a.sen C . [3] a No triângulo retângulo AH2B, temos que ^ h2 ^ sen A = ⇒ h2 = c.sen A . [4] c Comparando [3] e [4], temos: ^ ^ a c a.sen C = c.sen A ⇒ ^ = ^ [B] sen A sen C De [A] e [B] podemos concluir que: a b c ^ = ^ = ^ sen A sen B sen C Lei dos cossenos Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte. Modelo real Modelo matemático Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo. 38
- 39. Trigonometria e NúmerosComplexos Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o teorema: Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A ^ b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B ^ c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C Figura 1.17: lei do cossenos Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120º d 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5) d 2 = 900 + 2500 + 1500 d 2 = 4900 d = 4900 d = 70m Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. Unidade 1 39
- 40. Universidade do Sulde Santa Catarina Existem três casos a considerar: O triângulo ABC é retângulo; O triângulo ABC é obtusângulo; O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  é reto e  é obtuso respectivamente. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18: Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração Demonstração: O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB. Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19. 40
- 41. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração. Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, temos: b2 = m2 + h2 a 2 = h2 +(c-m)2 h2 = b2 - m2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2] Substituindo [1] em [2], temos: a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2 a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3] ^ ^ m Note no triângulo A H C que temos: cos A = b Logo m = b.cos [4] Substituindo [4] em [3], temos: a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cos De forma análoga, você demonstra que: ^ b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B . ^ c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C . Unidade 1 41
- 42. Universidade do Sulde Santa Catarina Retrospectiva Histórica Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele. Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg. Capturado em 16/04/06. Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria Você poderá encontrar o software acessando o site: O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da http://www.unifra.br/cursos/ trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito downloads.asp?curs=25&grad=M à visualização de vários conceitos explorados no triângulo atem%C3%A1tica&endereco=ma retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos tematica o software Thales. Síntese Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os 42
- 43. Trigonometria e NúmerosComplexos exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência. Atividades de auto-avaliação 1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º. 2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC? 3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo: a) Unidade 1 43
- 44. Universidade do Sulde Santa Catarina b) 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a; 44
- 45. Trigonometria e NúmerosComplexos b) O valor de b; c) A medida do segmento AD. 6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo: 7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Unidade 1 45
- 46. Universidade do Sulde Santa Catarina 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? 10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. 12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm . 46
- 47. Trigonometria e NúmerosComplexos 13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º. 14) Determine o valor de x na figura abaixo: 15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD? 16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Unidade 1 47
- 48. Universidade do Sulde Santa Catarina 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. Desafios na Trigonometria 1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c? 48
- 49. Trigonometria e NúmerosComplexos 2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? Saiba mais Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, Mecânica, etc. Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site: http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua e também a aplicação da trigonometria na construção de um túnel. Unidade 1 49
- 51. 2 UNIDADE 2 Conceitos Básicosda Trigonometria Objetivos de aprendizagem Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º. Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º. Reduzir arco ao 1º quadrante. Seções de estudo Seção 1 Arcos e Ângulos Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Seção 4 Simetrias Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
- 52. Universidade do Sulde Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária. Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática. SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos Considere a circunferência na figura 2.1. Figura 2.1: Arco de circunferência Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência. 52
- 53. Trigonometria e NúmerosComplexos Temos: O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco; o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco. Você sabia... Arco nulo é o ponto; Arco de uma volta é a circunferência. Ângulo Central Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Observe a figura 2.2: Figura 2.2: Ângulo Central A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α. A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α. Unidade 2 53
- 54. Universidade do Sulde Santa Catarina Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Observe a figura 2.3: Figura 2.3: Arcos de circunferência Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente. Unidades de medida de arcos e ângulos Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano. Grau Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes: 1 1º = da circunferência. 360 54
- 55. Trigonometria e NúmerosComplexos Você sabia... Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 1 1`= do grau. 60 1 1``= do minuto. 60 Radiano Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 2.4: Figura 2.4: Radiano Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido será igual à do raio. Unidade 2 55
- 56. Universidade do Sulde Santa Catarina Relação entre grau e radiano Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da circunferência. Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação: 360º → 2π rad ou 180º → π rad É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades: Desenho Grau 90 180 270 360 Grado 100 200 300 400 Radiano π/2 π 3π/2 2π Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano: 1) Vamos converter 300º em radianos. 180 → π rad 300 → x 180 π rad = 300 x 18 π rad = 30 x 3 π rad = 5 x 3 x = 5π rad 5π x= rad 3 56
- 57. Trigonometria e NúmerosComplexos Note que você deverá usar a simplificação até transformar a fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma de fração e não em forma decimal. 3π 2) Transforme rad em graus. 4 Como já se viu que π rad → 180º, tem-se: 3π 3.180 540 rad = = = 135 4 4 4 3) Vamos transformar 15º 30’ em radianos. Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos: 1º = 60’ 15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’ Agora, transforma-se 180º também em minutos: 180º = 180.60’ = 10800’ Então, tem-se: 10800' → π rad 930' → x 10800' π rad = 930' x 1080 π rad = 93 x 360 π rad = 31 x 360 x = 31π rad 31π x= rad 360 Unidade 2 57
- 58. Universidade do Sulde Santa Catarina Tudo com você! Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto. Comprimento de arco de circunferência Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido. Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco 2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio. Então, tem-se: Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de comprimento , pode-se estabelecer: Comprimento do arco Medida do arco r _________________________ 1 rad _________________________ α rad que fornece a relação =α . r Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos. 58
- 59. Trigonometria e NúmerosComplexos Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de arco de circunferência. 1) Considere a circunferência representada na figura 2.5: Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo que α =3 rad. Resolução: =α.r =3.6 =18 cm 2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros? = α .r 4,5 = α .3 4 ,5 α= 3 α = 1,5 rad 3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade do pêndulo. Use π=3,14. Unidade 2 59
- 60. Universidade do Sulde Santa Catarina Figura 2.6: Pêndulo Resolução: O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. O ângulo α =2.35º = 70º. Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus. 180º → π rad 70º → x 180º π rad = 70º x 18 π rad = 7 x 18 x = 7π rad 7π x= rad 18 Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco . =α.r 7π = .25 18 175 π = 18 175.3,14 = 18 = 30 ,53 cm 60
- 61. Trigonometria e NúmerosComplexos Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente. SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma circunferência que conhecemos, só que com características específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a figura 2.7: Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico O centro da circunferência é O(0,0). O raio da circunferência é unitário, r = 1. O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A. O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes. Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade. Unidade 2 61
- 62. Universidade do Sulde Santa Catarina Veja alguns exemplos: 1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são: a) 130º Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. b) -120º Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. 62
- 63. Trigonometria e NúmerosComplexos 5π c)) c rad 3 Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu 3 do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. Arcos Côngruos Observe as circunferências representadas na figura 2.8: Figura 2.8: Arcos Côngruos Você pode observar que o arco permanece com a mesma extremidade, independentemente do número de voltas completas na circunferência. Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como: Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência. Unidade 2 63
- 64. Universidade do Sulde Santa Catarina Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º. Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência. Dessa forma, podemos escrever: 60º = 60º + 0.360º 420º = 60º + 1.360º 780º = 60º + 2.360º Assim: Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α + k. 360º, k ∈ Z Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α +2kπ, k ∈ Z É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas. 64
- 65. Trigonometria e NúmerosComplexos Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário. Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad. Acompanhe alguns exemplos: 1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 1240º. Solução: Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a sua primeira determinação positiva. Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o número de voltas completas. A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será: β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z 2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a -1352º. Solução: Daí, -272º + 360º = 88º. Unidade 2 65
- 66. Universidade do Sulde Santa Catarina Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º. A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será: β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z 3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão 11π geral dos arcos côngruos a rad . 3 Solução: Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente: Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par. 5π 11π Logo, rad é a primeira determinação positiva de rad . 3 3 11π A expressão geral dos arcos côngruos a rad será: 3 5π β= + 2kπ ,, k ∈ Z. 3 66
- 67. Trigonometria e NúmerosComplexos 4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante onde está a extremidade dos seguintes arcos: a) 1720º Solução: Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º. Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 270º < 280º < 360º. b) 19π 4 Solução: Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação 3π positiva do arco, que é rad . 4 19π Como você percebe, este arco é côngruo a rad e, portanto, ambos possuem a mesma extremidade. 4 19π Logo, o arco de rad está é no 2º quadrante. 4 3π Para entender melhor, note que rad é equivalente a 135º. 4 Unidade 2 67
- 68. Universidade do Sulde Santa Catarina Você sabia... Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1. (Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004) SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos π apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < . 2 Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou π ângulos maiores que rad, algo impensável quando se trabalhava 2 com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!! Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Considere a figura 2.10: 68
- 69. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência Então: Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”; Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’. Veja por que: Figura 2.11: Seno e Cosseno Unidade 2 69
- 70. Universidade do Sulde Santa Catarina Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1. Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12: Figura 2.12: Triângulo Retângulo Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se: cateto oposto cateto adjacente sen x = cos x = hipotenusa hipotenusa MM ' OM ' sen x = cos x = OM OM MM ' OM ' sen x = cos x = 1 1 sen x = MM ' cos x = OM ' sen x = OM '' Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”. Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto. Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos. 70
- 71. Trigonometria e NúmerosComplexos Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas, π π π são eles: 30º ou rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a 6 4 3 representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles: π 1 sen = 6 2 π 3 cos = 6 2 π 2 sen = 4 2 π 2 cos = 4 2 π 3 sen = 3 2 π 1 cos = 3 2 Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser π considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad, 2 3π 270º ou rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um 2 deles, representa o seno e o cosseno. Observe: Unidade 2 71
- 72. Universidade do Sulde Santa Catarina 72
- 73. Trigonometria e NúmerosComplexos Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e cosseno representados geometricamente. Tabela 2.1: Valores Notáveis π π π π 3π x (30º) 0 (45º) (60º) (90º) π (180º) (270º) 2π (360º) 6 4 3 2 2 1 2 3 senx 0 1 0 -1 0 2 2 2 3 2 1 cosx 1 0 -1 0 1 2 2 2 Você sabia... Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia. Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e cossenos de arcos maiores que 360º. Unidade 2 73
- 74. Universidade do Sulde Santa Catarina 1) Calcule o valor de sen1845º. Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva: 2 Então, sen1845º = sen45º = . 2 2 Logo, sen1845º = . 2 2) Calcule o valor de cos(-900º). Solução: Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º). Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa- se da primeira determinação positiva. Assim: -180º + 360º = 180º. Logo, a primeira determinação positiva é 180º. Tem-se, então, que: cos(-900º)=cos180º=-1 Logo, cos(-900º)=-1 19π 3) Calcule o valor de sen . . 3 Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva. 19π 18π π π = + = 6π + 3 3 3 3 π 19π Assim, temos que 3 é a primeira determinação positiva de . 3 74
- 75. Trigonometria e NúmerosComplexos 19π π 3 Dessa forma, sen = sen = . 3 3 2 19π 3 Logo, sen = . 3 2 Que tal conhecer mais sobre a história do seno? Retrospectiva histórica Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a “Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o x comprimento da corda subtendida por um ângulo x é 2sen . 2 Observe a figura 2.13: Figura 2.13: Meia corda Unidade 2 75
- 76. Universidade do Sulde Santa Catarina OB = r ^ AO B = x AB x sen = 2 2 r x AB sen = 2 2r Os hindus chamaram esta meia corda de jiva. O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de seno. Não é incrível? Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpg Acesso em 28/06/06. Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o Almagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno. 76
- 77. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06) A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno. O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. SEÇÃO 4 - Simetrias Considere a circunferência trigonométrica representada na figura 2.16: Figura 2.16: Simetria Unidade 2 77
- 78. Universidade do Sulde Santa Catarina Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retângulo M1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A. Os pontos M 2, M3 e M4, são ditos simétricos de M1, no 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medida α, em grau ou radiano. Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria existente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e 2.18. Em Grau: Figura 2.17: Simetria em graus Em Radiano: Figura 2.18: Simetria em radianos 78
- 79. Trigonometria e NúmerosComplexos Utilizando as unidades indicadas em cada circunferência trigonométrica, determine as medidas dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta positiva: a) Solução: Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , ,e são congruentes de medida 60º. Logo, os arcos , e , serão determinados do seguinte modo: =180º - 60º =120º. = 180º + 60º = 240º. = 360º - 60º = 300º. Unidade 2 79
- 80. Universidade do Sulde Santa Catarina b) Solução: 17π Veja que o arco é 12 rad, e que os pontos B, C e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e 17π são congruentes de medida rad. 12 Logo, os arcos , e serão determinados do seguinte modo: 80
- 81. Trigonometria e NúmerosComplexos SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria estudada, poderá determinar os valores do seno e cosseno de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro quadrante. Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e 2.20: Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno Observe a tabela 2.2: Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno Quadrante cos α sen α 1º + + 2º - + 3º - - 4º + - Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem do quadrante a que pertence a extremidade do arco. Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo seno e o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do arco dado. Unidade 2 81
- 82. Universidade do Sulde Santa Catarina Observe como se faz esta redução: Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.21: 2º Quadrante Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos. Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.22: 3º Quadrante Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e cossenos simétricos. 82
- 83. Trigonometria e NúmerosComplexos Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.23: 4º Quadrante Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos simétricos e cossenos iguais. De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos. Acompanhe os exemplos a seguir: 1) Calcule sen150º e cos150º. Solução: O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeiro caso da redução: x = 180º - 150º x = 30º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: 1 sen 150º = sen 30º = 2 3 cos150º = − cos 30º = − 2 Unidade 2 83
- 84. Universidade do Sulde Santa Catarina 1 3 Logo, sen150º = e cos150º = − 2 2 2) Obtenha sen 240º e cos 240º. Solução: O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo caso da redução: x = 240º - 180º x = 60º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: 3 sen 240º = − sen 60º = − 2 1 cos 240º = − cos 60º = − 2 Logo, 3 1 sen 240º = − e cos 240º = − .. 2 2 3) Determine sen 315º e cos 315º. Solução: O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução: x = 360º - 315º x = 45º. Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. 84
- 85. Trigonometria e NúmerosComplexos Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: 2 sen 315º = − sen 45º = − 2 2 cos 315º = cos 45º = 2 2 2 Logo, sen 315º = − e cos 315º = .. 2 2 7π 7π 4) Determine sen e cos . 6 6 Solução: O arco de 7π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo 6 caso da redução: 7π x= − π 6 7π − 6π x= 6 π. x= . 6 Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados. 7π Como é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do 6 seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, temos: 7π π 1 sen = − sen = − 6 6 2 7π π 3 cos = − cos = − 6 6 2 7π 1 7π 3 Logo: sen = − e cos =− . 6 2 6 2 Unidade 2 85
- 86. Universidade do Sulde Santa Catarina 5) Determine sen 2460º e cos 2460º. . Solução: É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º. O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução: x = 360º - 300º x = 60º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, temos: 3 sen 2460º = sen 300º = − sen 60º = − 2 1 cos 2460º = cos 300º = cos 60º = 2 3 1 Logo, sen 2460º = − e cos 2460º = . 2 2 86
- 87. Trigonometria e NúmerosComplexos sen 45º + sen 90º + sen 135º 6) Calcule o valor de M = . sen 270º +2.sen 315º Solução: Calcula-se, separadamente, cada um dos senos. 2 sen 45º = 2 sen 90º = 1 2 sen 135º = sen 45º = 2 sen 270º = −1 2. sen 315º = − sen 45º = − 2 Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se: 2 2 2 2 +1+ +1 2 +1 M= 2 2 = 2 = . 2 −1 − 2 −1 − 2 −1 + 2. − 2 Racionalizando o denominador, tem-se: 2 + 1 −1 + 2 − 2 + 2 − 1 + 2 1 M= . = = = −1 . −1 − 2 −1 + 2 1− 2 −1 Unidade 2 87
- 88. Universidade do Sulde Santa Catarina Atividades de auto-avaliação 1) Expresse em graus (º): 5π a) rad 3 4π b) rad 3 7π c) rad 6 d) π rad 9 2) Expresse em radianos (rad): a) 20º 88
- 89. Trigonometria e NúmerosComplexos b) 315º c) 120º d) 67º30´ 3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14. 4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 14,13 km. Unidade 2 89
- 90. Universidade do Sulde Santa Catarina 5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é: 6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco: a) 1550º 95π b) rad 6 65π c) – rad 6 7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) -760º 90
- 91. Trigonometria e NúmerosComplexos b) 3120º 15π c) rad 2 25π d) rad 4 8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa. 15π 9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a rad. 2 10) Identifique quais pares de arcos são côngruos: π 30π a) rad e rad 3 3 b) – 30º e 330º Unidade 2 91
- 92. Universidade do Sulde Santa Catarina c) 2º e 1082º 11) Determine: a ) sen 390º = b) cos 1845º = 5π c) sen = 3 d ) sen 600º = e) cos 480º = 12) Determine o valor da expressão: a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º π b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= . 2 7π sen − cos 3π 3 c) C = 13π sen 6 92
- 93. Trigonometria e NúmerosComplexos Desafio na Trigonometria Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia? Síntese Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maiores que 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triângulo retângulo. Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano, que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, você estudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhados terão que estar inseridos no radiano. Você poderá encontrar o software Thales acessando o site: http://www.unifra. Saiba mais br/cursos/downloads. asp?curs=25&grad=Mat em%C3%A1tica&endere Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, co=matematica com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na circunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos. Unidade 2 93
- 95. 3 UNIDADE 3 Estudando asFunções Trigonométricas Objetivos de aprendizagem Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes situações problemas. Construir o gráfico das funções trigonométricas. Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas. Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para a construção dos gráficos das funções trigonométricas. Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções trigonométricas inversas. Seções de estudo Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas
- 96. Universidade do Sulde Santa Catarina Para início de conversa Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que as funções circulares são periódicas e que elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc. Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los. Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais funções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno, bem como das funções trigonométricas inversas. O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidade na construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade. É importante que você reconheça a tecnologia, tão presente no nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia no desenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficos e cálculos sistemáticos. SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno na circunferência trigonométrica. Estas funções são periódicas de variáveis reais, por isso, são adequadas para descreverem fenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória. As aplicações destas funções não se restringem apenas aos estudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramos da Física que analisam os movimentos, são utilizadas na decomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicar movimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimento do corpo num plano inclinado, entre outros. 96
- 97. Trigonometria e NúmerosComplexos Você sabia... Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditos periódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado. Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar as ondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas. Função Seno Observe a figura 3.1: Figura 3.1: Função Seno A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco de medida x∈IR, associa a ordenada y do ponto P. f(x) = senx O domínio da função seno é D(f)=IR A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1]. Unidade 3 97
- 98. Universidade do Sulde Santa Catarina Função Cosseno Observe a figura 3.2: Figura 3.2: Função Cosseno A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arco de medida x∈IR associa a abscissa x do ponto P. f(x) = cos x O domínio da função cosseno é D(f)=IR. A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1]. Gráfico da Função Seno: Senóide Seja f(x) = sen x Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.1: Valores do seno 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 98
- 99. Trigonometria e NúmerosComplexos Observe o gráfico na figura 3.3: Figura 3.3: f(x) = senx Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo [-2 π ,2 π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja, toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1]. O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2 π ,2 π ]. Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0; π [ , a função f(x)=sen x assume valores positivos. Unidade 3 99
- 100. Universidade do Sulde Santa Catarina Nos intervalos ]−π , 0[ e ]π ; 2π [ , a função f(x)=sen x assume valores negativos. A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos −3π π π 3π −2π ; 2 , − 2 , 2 e 2 ; 2π . A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos −3π −π π 3π 2 ; e ; . 2 2 2 A função f(x)=sen x é ímpar pois f(x) = -f(-x). A função f(x)=sen x possui valor máximo quando −3π rad e x = π rad. x= 2 2 −π A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando x = 2 3π rad e x = rad. 2 Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se: O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a senóide ao longo do eixo x. O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1]. A função f(x)= sen x possui valor máximo para π x ∈ IR | x = + 2kπ , k ∈ Z . 2 A função f(x)= sen x possui valor mínimo para 3π x ∈ IR | x = + 2 kπ , k ∈ Z . 2 100
- 101. Trigonometria e NúmerosComplexos Você lembra? Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da Matemática Elementar I’ cada uma das características das funções y=sen x e y=cos x, citadas. Assim, você deve lembrar das definições formais de função periódica, função par e ímpar. Então: Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo x ∈D(f). Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x no seu domínio temos f(x)=f(-x). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f(x)=-f(-x). Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide Seja f(x) = cos x Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.2: Valores do cosseno 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 Unidade 3 101
- 102. Universidade do Sulde Santa Catarina Agora observe o gráfico na figura 3.4: Figura 3.4: f(x) = cos x Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo [-2 π ,2 π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja, toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o mesmo valor. O estudo da variação nos mostra que f(x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1]. O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2 π ,2 π ]. 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π a 2 2 2 2 função f(x)=cos x assume valores positivos. 3π π π 3π Nos intervalos − ,− e ; , a função 2 2 2 2 f(x)=cosx assume valores negativos. 102
- 103. Trigonometria e NúmerosComplexos A função f(x)=cos x é crescente nos intervalos [−π ;0] e [π , 2π ]. A função f(x)=cos x é decrescente nos intervalos [−2π ; −π ] e [0;π ]. A função f(x)=cos x é par, pois, f(x) = f(-x). A função f(x)=cos x possui valor máximo quando x = 0 rad . A função f(x)=cos x possui valor mínimo quando x = −π rad e x = π rad. Generalizando algumas características da função f(x)= cos x tem-se: O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a cossenóide ao longo do eixo x. O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1]. A função f(x)= cos x possui valor máximo para {x ∈ IR | x = 2kπ , k ∈ Z }. A função f(x)= cos x possui valor mínimo para {x ∈ IR | x = π + 2kπ , k ∈ Z }. 1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período. a ) f ( x) = 2 + sen x b) f ( x) = sen x − 1 a) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração do gráfico: Unidade 3 103
- 104. Universidade do Sulde Santa Catarina Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x x sen x y=2+sen x y 0 sen0=0 y=2+0 2 π sen π =1 y=2+1 3 2 2 π sen π =0 y=2+0 2 3π sen 3π =-1 y=2+(-1) 1 2 2 2π sen 2π =0 y=2+0 2 Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.5. Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x D=IR; Im=[1,3]; P=2 π . b) Solução: Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico: 104
- 105. Trigonometria e NúmerosComplexos Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1 x senx y=senx - 1 y 0 sen0=0 y=0-1 -1 π π sen =1 y=1-1 0 2 2 π sen π =0 y=0-1 -1 3π sen 3π =-1 y=-1-1 -2 2 2 2π sen 2π =0 y=0-1 -1 Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.6. Figura 3.6: f(x) = sen x -1 D=IR; Im=[-2,0]; P=2 π . Unidade 3 105
- 106. Universidade do Sulde Santa Catarina Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.3 no intervalo [0, 2 π ], você poderá observar que f(x)=2+sen x pode ser obtida transladando-se o gráfico de y=sen x em duas unidades no sentido positivo de Oy. Quando se compara o gráfico de f(x) = sen x-1, observa-se que ele pode ser obtido fazendo a translação de uma unidade do gráfico f(x)=sen x, no sentido negativo de Oy. x 2) Construa o gráfico da função f(x)=sen , dê o domínio, a 2 imagem e o período. Você sabia... Multiplicando o valor de x da função y=senx por um número real, vamos observar que o período da função fica 2 π dividido por este número. Por exemplo, y=sen(kx) o período é P= . Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.5 para a elaboração do gráfico. Para isso, calcula-se o período desta função, pois se nota que o mesmo será diferente de 2 π . Observe: P= Como k = 1 , temos: 2 P= Como o seno é uma função periódica de período 2 π , basta variar o argumento x num intervalo de amplitude 2 π . Atribuindo 2 x a valores adequados e pertencentes ao intervalo [0, 2π ] e 2 calculando x e y, temos: 106
- 107. Trigonometria e NúmerosComplexos x Tabela 3.5: Valores de f ( x) = sen 2 x x x y 2 y=sen 2 0 0 y=sen0 0 π π π 1 2 y=sen 2 π 2π y=sen π 0 3π 3π 3π -1 2 y=sen 2 2π 4π y=sen 2π 0 Note como é calculado o valor de x: x x π x x 3π x =0 = =π = = 2π 2 2 2 2 2 2 2 x = 2.0 2 x = 2.π x = 2.π 2 x = 2.3π x = 2.2π x=0 x =π x = 2π x = 3π x = 4π Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7. x Figura 3.7: f ( x) = sen 2 Unidade 3 107
- 108. Universidade do Sulde Santa Catarina 3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período. a ) y = cos 2 x b) y = cos 4 x a) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração do gráfico. De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função y= cos 2x. Nesta função k=2, logo: 2π 2π P= = =π k 2 Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x 2x x y=cos 2x y 0 0 y=cos 0 1 π π π y=cos 0 2 4 2 π π y=cos π -1 2 3π 3π 3π y=cos 0 2 4 2 2π π y=cos 2π 1 108
- 109. Trigonometria e NúmerosComplexos Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano, representado na figura 3.8. Figura 3.8: f(x) = cos 2x D = IR; Im = [-1,1]; P = π. b) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração do gráfico. Calculando o período da função y= cos4x, tem-se: Nesta função k=4, logo: 2π 2π π P= = = . 4 4 2 Unidade 3 109
- 110. Universidade do Sulde Santa Catarina Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x 4x x y=cos4x y 0 0 y=cos0 1 π π π y=cos 0 2 8 2 π π y=cos π -1 4 3π 3π 3π 0 2 8 y=cos 2 π 2π y=cos 2π 1 2 Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.9. Figura 3.9: f(x) = cos 4x D = IR; Im = [-1,1]; π P= . 2 110
- 111. Trigonometria e NúmerosComplexos Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidas sobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes. Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, o coeficiente de x, menor é o período da função. 4) Determine apenas o sinal de cos 34π . 5 Solução: 34π 4π 4π cos = cos pois, é a primeira determinação positiva de 5 5 5 34π , que é um arco do segundo quadrante. 5 Logo, o sinal de cos 34π será negativo. 5 5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que esta igualdade seja verdadeira? Solução: Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter −1 ≤ sen x ≤ 1 . Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequação simultânea: -1 ≤ 5k +1 ≤ 1 -1-1 ≤ 5k ≤ 1-1 -2 ≤ 5k ≤ 0 2 0 - ≤ k ≤ 5 5 2 - ≤ k ≤ 0 5 2 Logo, a solução desse problema será S = k ∈ IR | − ≤ k ≤ 0 . 5 Fique de olho nas aplicações As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideais para descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam o tempo como variável independente. Unidade 3 111
- 112. Universidade do Sulde Santa Catarina As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritos por senóides. O movimento harmônico simples é um tipo de movimento periódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento de um corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de um ponto de equilíbrio. Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funções Alguns exemplos foram extraídos trigonométricas nestes fenômenos. e adaptados do livro ‘Quanta Matemática em fascículos para o 1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita ensino médio’. Fascículo 4. Autores: Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi π π pela função h(t ) = 0,9 + 0, 7 sen t + , cuja representação Filho. Editora Saraiva. Ano 2000. 6 6 gráfica é mostrada na figura 3.10: Figura 3.10: Altitude do mar Pergunta-se: a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas? b) Na maré alta, qual a altitude do mar? c) Na maré baixa, qual a altitude do mar? 112
- 113. Trigonometria e NúmerosComplexos d) Qual é a amplitude da onda? e) Qual o período dessa senóide? Solução: Analisando o gráfico, pode-se concluir que: a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marés baixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas. b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros. c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marés baixas. d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros. 1, 6 − 0, 2 1, 4 A amplitude foi calculada da seguinte forma: = = 0, 7 . 2 2 Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é π π identificar o coeficiente do seno na função h(t ) = 0,9 + 0, 7 sen t + . 6 6 e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maiores altitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é: P = 14 - 2 P = 12 horas 2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, um garoto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por: π y (t ) = 80 + 20.cos π .t − em que y é o deslocamento vertical da onda 2 em cm e t é o tempo em segundos. Unidade 3 113
- 114. Universidade do Sulde Santa Catarina De posse desses dados, responda: a) Qual o gráfico da função? b) Qual é o período da função? c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função? d) Qual é a amplitude do movimento? Solução: a) Figura 3.11: Movimento da corda 114
- 115. Trigonometria e NúmerosComplexos b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assim sendo, o período dessa cossenóide é: P = 2,5 - 0,5 P = 2 horas c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo é P(1,5;60). d) A amplitude é de 20 centímetros. A amplitude foi calculada da seguinte forma: 100 − 60 = 40 = 20 . 2 2 Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóide é identificar o coeficiente do cosseno na função π y (t ) = 80 + 20.cos π .t − . 2 3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo, tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmões de um adulto, em condições físicas normais e em repouso, pode ser descrito por: 2π y(t) = 2,5 + 0,5.cos t. em que y é o volume em litros para um 3 ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos. A partir dos dados, determine: a) A representação gráfica desta situação; b) O volume médio do pulmão desse adulto; c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude; d) O período de um ciclo inspiração/expiração. Unidade 3 115
- 116. Universidade do Sulde Santa Catarina Solução: a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12: Figura 3.12: Respiração pulmonar b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando o gráfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros. Fazendo a média, tem-se 2,5 litros. c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros ou 500 ml, pois, 3 − 2 = 1 = 0,5 litros = 500 ml . 2 2 d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontrado fazendo a diferença entre as duas cristas. SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente, secante e cossecante Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas decorrentes do seno e cosseno. São elas: 116
- 117. Trigonometria e NúmerosComplexos Tangente; Cotangente; Secante e cossecante. Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir. Função Tangente Observe a figura 3.13: Figura 3.13: Função tangente Geometricamente, definimos tangente do arco a ordenada do ponto T, ou seja: tgx=AT. Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, na disciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆ OM´M. Unidade 3 117
- 118. Universidade do Sulde Santa Catarina Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os lados correspondentes, o que permite escrever: AT OM" = OA OM' tgx senx = 1 cos x tgx. cos x = senx senx tgx = ; ( cos x ≠ 0 ) cos x Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulos notáveis. Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada um desses valores. Observe as figuras 3.14 e 3.15: π π π Figura 3.14: Tangente dos arcos de rad , rad e rad . 6 4 3 π 3π Figura 3.15: Tangente de 0 rad , rad , π rad , rad e 2π rad . 2 2 118
- 119. Trigonometria e NúmerosComplexos Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela 3.8 com os valores notáveis da tangente. Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente π π π π 3π x 0 π 2π 6 4 3 2 2 3 Não Não tgx 0 1 3 existe 0 existe 0 3 Gráfico da Função Tangente: Tangentóide Seja f(x) = tg x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.9: Valores da tangente 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 Não Não Não Não 0 tg x 0 0 0 0 existe existe existe existe Figura 3.16: f(x)=tg x Unidade 3 119
- 120. Universidade do Sulde Santa Catarina Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.16, tem-se que: A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [ π ,2 π ], ou seja, toda vez que somarmos π a um determinado valor de x, a função tangente assume o mesmo valor. Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráfico da tangente tende ao infinito positivo ou negativo. O estudo da variação nos mostra que, no intervalo [-2 π ,2 π ], f(x)=tg x é sempre crescente. O domínio da função f(x)=tg x é: 3π 3π π π π π 3π 3π D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π 2 2 2 2 2 2 2 2 A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR. 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , −π , − 2 , 0, 2 e π , 2 , a 2 função f(x)=tg x assume valores positivos. 3π π π 3π No intervalo − , −π , − , 0 , , π e , 2π , a 2 2 2 2 função f(x)=tg x assume valores negativos. A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.) Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=tgx é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z . 2 A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR. 120
- 121. Trigonometria e NúmerosComplexos Veja alguns exemplos: 11π 1) Determine o valor de tg . 3 Solução: 11π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de . 3 11π 5π π Então, tg = tg = −tg = − 3. 3 3 3 5π Lembre-se que rad é um arco do 4º quadrante. Tem-se, 3 então, que fazer a redução ao primeiro quadrante. Logo, tg 11π = − 3. 3 13π 2) Determine o valor de tg . 4 Solução: 13π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de . 4 13π 5π π Então, tg = tg = tg = 1. 4 4 4 Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiro quadrante. 13π Logo, tg = 1. 4 3) Encontre o valor de tg 11π . Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π . Então, tg 11π = tgπ = 0. Logo, tg 11π = 0. Unidade 3 121
- 122. Universidade do Sulde Santa Catarina 25π 4) Calcule o valor de tg . 3 Solução: 25π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de rad. 3 25π 24π π = + . 3 3 3 π Assim, a primeira determinação positiva é rad. 3 Temos, então, que tg 25π =tg π = 3 . 3 3 25π Logo, tg = 3. 3 π 5) Qual é o domínio da função y = tg 2 x − ? 3 Como o domínio da função y=tgx é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z , tem-se: 2 π x≠ + kπ 2 π π 2x- ≠ + kπ 3 2 π π 2 x ≠ + + kπ 2 3 5π 2x ≠ + kπ 6 5π kπ x≠ + 12 2 π Logo, o domínio da função y = tg 2 x − é 3 5π kπ D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + , k ∈ Z . 12 2 122
- 123. Trigonometria e NúmerosComplexos Função Cotangente Observe a figura 3.17: Figura 3.17: Função Cotangente Geometricamente, definimos cotangente do arco a abscissa do ponto C, ou seja: cotg x=BC. Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M é semelhante ao ∆ OBC. Assim, pode-se escrever: OM ' MM ' = BC OB OM ' OM " = BC OB cos x sen x = BC 1 cos x BC = , sen x ≠ 0 sen x cos x Logo, tem-se cot g x = , ( sen x ≠ 0) . sen x Uma outra relação que representa a cotangente é: 1 cot gx = , (tgx ≠ 0 ) . tgx Unidade 3 123
- 124. Universidade do Sulde Santa Catarina Gráfico da Função Cotangente Seja f(x) = cotg x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relação cos x cot g x = , ( sen x ≠ 0) , com x variando [-2π, 2π]. sen x Tabela 3.10: Valores da cotangente 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 Não Não Não Não Não cotgx 0 0 0 0 existe existe existe existe existe Figura 3.18: f(x)=cotg x Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.18, tem-se que: 124
- 125. Trigonometria e NúmerosComplexos A função é periódica de período π . Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe, o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ou negativo. O estudo da variação nos mostra que no intervalo [-2 π ,2 π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente. O domínio da função f(x)=cotg x é D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ . A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR. 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , −π , − , 0; e π ; , 2 2 2 2 a função f(x)=cotg x assume valores positivos. 3π π No intervalo − , −π , − 0 , π ; π e 3π ; 2π a 2 2 2 2 função f(x)=cotg x assume valores negativos. A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x). Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=cotg x é D( f ) = {x ∈ IR|x ≠ kπ , k ∈ Z}. A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR . Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente. 1) Determine o valor de cot g 37π . 6 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 37π : 6 37π 36π π = + 6 6 6 37π Temos que π rad é a primeira determinação positiva de . 6 6 π 3 cos 37π π 6 = 2 = 3 .2 = 3 Então: cot g = cot g = 6 6 sen π 1 2 1 6 2 Unidade 3 125
- 126. Universidade do Sulde Santa Catarina 37π Logo, cot g = 3. 6 13π 2) Calcule o valor de cot g . 4 Solução: 13π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de rad. 4 13π 8π 5π . = + 4 4 4 5π Assim, a primeira determinação positiva é rad. 4 π 2 cos 13π 5π π 4 = 2 =1. Tem-se, então, que cot g = cot g = cot g = 4 4 4 sen π 2 Observe que: 4 2 Fizemos a redução ao primeiro quadrante. 5π O arco rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a 4 cotangente é positiva. 13π Logo, cot g = 1. 4 7π 3) Determine o valor de cot g . 4 Solução: Lembre-se que 7π é um arco do 4º quadrante e, neste, a 4 cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se: 7π π 2π − = 4 4 π 2 cos 7π π 4 =− 2 = −1 cot g = − cot g = − 4 4 π 2 sen 4 2 126
- 127. Trigonometria e NúmerosComplexos 7π Logo, cot g = −1. 4 π 4) Qual é o domínio da função y = cot g 2 x + ? 4 Como o domínio da função y = cot gx é D( f ) = {x ∈ IR|x ≠ kπ , k ∈ Z }, tem-se: x ≠ kπ π Nesta função, o arco é 2x + ,logo: 4 π 2 x + ≠ k .π 4 π 2 x ≠ − + k .π 4 π − + k .π x≠ 4 2 π kπ x≠− + 8 2 π kπ D = x ∈ IR|x ≠ - + , k ∈Z 8 2 Conheça a origem da tangente e da cotangente. Unidade 3 127
- 128. Universidade do Sulde Santa Catarina Retrospectiva histórica A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho da sombra. Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente, associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança de triângulos. As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi, primeiramente, usado por Edmund Gunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino “cotangente de A”, que significa “tangente do complementar de A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” para cotangente. 128
- 129. Trigonometria e NúmerosComplexos Função Secante e Função Cossecante Observe a figura 3.19: Figura 3.19: Secante e Cossecante Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência, interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. Geometricamente, define-se: secante do arco o segmento OS, ou seja, sec x=OS; cossecante do arco o segmento OD, ou seja, cosec x=OD. Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS é semelhante ao ∆ OM´M. Dessa forma: OM ' OM = OM OS cos x 1 = 1 OS OS . cos x = 1 1 OS = cos x Unidade 3 129
- 130. Universidade do Sulde Santa Catarina Logo: 1 sec x = , (cos x ≠ 0) cos x Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o ∆OM’M é semelhante ao ∆OMD. OD OM = OM MM' OD 1 = 1 sen x OD . sen x = 1 1 OD = sen x Logo: 1 cos ec x = , ( sen x ≠ 0) sen x Gráfico da Função Secante Seja f(x) = sec x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação 1 sec x = , com x variando [−2π , 2π ]. cos x Tabela 3.11: Valores da secante 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 Não Não Não Não secx 1 -1 1 -1 1 existe existe existe existe 130
- 131. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 3.20: f(x)=sec x Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura 3.20, no intervalo [−2π , 2π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π . O domínio da função f(x)=secx é: 3π 3π π π π π 3π 3π D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π 2 2 2 2 2 2 2 2 A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos 3π 3π π π −2π , − 2 , − 2 , −π , 0, 2 e 2 , π . A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos π π 3π 3π −π , − , − , 0 , π , e , 2π . 2 2 2 2 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π , temos 2 2 2 2 sec x ≥ 1. Nos intervalos − 3π , − π e π ; 3π , sec x ≤ -1. 2 2 2 2 A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x). Unidade 3 131
- 132. Universidade do Sulde Santa Catarina Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=sec x é π D( f ) = x ∈ IR | x ≠ + kπ , k ∈ Z . 2 A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. Gráfico da Função Cossecante Seja f(x) = cosec x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação 1 cos ecx = , com x variando [-2π, 2π]. senx Tabela 3.12: Valores da cossecante 3π π π 3π x -2π − -π − 0 π 2π 2 2 2 2 Não Não Não Não Não cosecx 1 -1 1 -1 existe existe existe existe existe 132
- 133. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 3.21: f(x)=cosec x Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.21’, temos que: A função é periódica de período 2 π . O domínio da função f(x)=cosec x é: D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ . A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos 3π π π 3π − 2 , −π , −π , − 2 , 2 ,π e π , 2 . A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos 3π π π 3π −2π , − 2 , − 2 , 0 , 0, 2 e 2 , 2π . Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0, π [ , temos cosecx ≥ 1. Nos intervalos ]−π ;0[ e ]π , 2π [, cosecx ≤ -1. A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x. Unidade 3 133
- 134. Universidade do Sulde Santa Catarina Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=cosec x é D(f) = {x ∈ IR | x ≠ kπ , k ∈ Z }. A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante e cossecante. 9π 1) Determine o valor de sec . 2 Solução: 9π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de rad . 2 9π 8π π = + 2 2 2 9π π A primeira determinação positiva de rad é rad . 2 2 9π π Então: sec = sec → não existe 2 2 9π Logo, sec → não existe . 2 59π 2) Determine o valor de cos ec . 4 Solução: 59π Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de . 4 3π Tem-se que rad é a primeira determinação positiva de 4 59π rad . 4 59π 3π π Assim, cos ec = cos ec = cos ec = 2 . 4 4 4 59π Logo: cos ec = 2. 4 134
- 135. Trigonometria e NúmerosComplexos π 3) Qual é o domínio da função y = sec x − ? 2 Como o domínio da função y = sec x é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z , tem-se: 2 π x≠ + kπ 2 π Nesta função, o arco é x − ,logo: 2 π π x − ≠ + k .π 2 2 π π x ≠ + + k .π 2 2 2π x≠ + kπ 2 x ≠ π + kπ D( f ) = {x ∈ IR | π + kπ , k ∈ Z }. π 4) Qual é o domínio da função y = cos ec 3x − ? 2 π Nesta função, o arco é 3x − , logo: 2 π 3x − ≠ kπ 2 π 3 x ≠ + kπ 2 π π x ≠ +k 6 3 π π Logo, D( f ) = x ∈ IR | x ≠ + k ,k ∈Z . 6 3 Unidade 3 135
- 136. Universidade do Sulde Santa Catarina Retrospectiva Histórica Acredita-se que, por volta do final do século IX, as seis funções trigonométricas comuns já estavam bem estabelecidas e as identidades que as relacionavam estavam em plena aplicação. O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998), figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicando- se à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas, usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente, bem como as funções secante e cossecante, estas últimas inventadas por ele próprio. Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomiean- tique/arabe.htm (acesso em 28/06/06). SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricas inversas Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar a função inversa para as funções trigonométricas, pois, como são funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não são inversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos gerar uma nova função que possua uma inversa. Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funções trigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversa para cada caso. 136
- 137. Trigonometria e NúmerosComplexos Função Arco Seno π π Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio − , e, 2 2 tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, e somente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1] π π corresponde y ∈ − , . 2 2 Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura 3.23: Figura 3.23 : Função y = arc sen x A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintes características da função y = arc sen x: o domínio da função é D = [-1,1]; π π a imagem da função é − , ; 2 2 é crescente em todo seu domínio. Unidade 3 137
- 138. Universidade do Sulde Santa Catarina Função Arco Cosseno Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o domínio [0,π]. A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1] corresponde y ∈ [0, π ] . Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura 3.24: Figura 3.24: Função y = arc cos x A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintes características da função y = arc cos x: o domínio da função é D = [-1,1]; a imagem da função é [0,π ]; é decrescente em todo seu domínio. 138
- 139. Trigonometria e NúmerosComplexos Função Arco Tangente A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x, se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde π π y ∈ − , . 2 2 Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura 3.25: Figura 3.25: Função y = arc tg x A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintes características da função y = arc tg x: o domínio da função é D = IR; π π a imagem da função é − ; ; 2 2 é crescente em todo seu domínio. Unidade 3 139
- 140. Universidade do Sulde Santa Catarina Função Arco Cotangente A função inversa da função cotangente é definida como π y = arc cotg x = − arc tgx , onde, para cada x real, corresponde 2 y ∈ ]0, π [ . Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura 3.26: Figura 3.26: Função y = arc cotg x A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintes características da função y = arc cotg x: o domínio da função é D = IR; a imagem da função ∈ ]0, π [ ; yé é decrescente em todo seu domínio. Função Arco Secante A função inversa da função secante é definida como 1 y = arc sec x = ar cos , onde, para cada x real, tal que x ≥ 1 , x corresponde y = [0, π ] com y ≠ π . 140 2
- 141. Trigonometria e NúmerosComplexos Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura 3.27: Figura 3.27: Função y = arc sec x A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintes características da função y = arc sec x: o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1}; π a imagem da função é [0, π ] e y ≠ ; 2 é crescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[. Função Arco Cosecante A função inversa da função cossecante é definida como 1 y = arccos x = arsen , onde, para cada x real, tal que, x ≥ 1 , x π π corresponde y = − , com y ≠ 0. 2 2 Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura 3.28: Unidade 3 141
- 142. Universidade do Sulde Santa Catarina Figura 3.28: Função y = arc cosec x A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintes características da função y = arc cosec x: o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1}; a imagem da função é − π , π e y ≠ 0; 2 2 é decrescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[. Que tal alguns exemplos? Exemplos: 1 1) Qual o valor de y = sec 2 arcsen ? 2 Solução: 1 y = sec 2 arcsen . 2 1 Fazendo x = arcsen , deve-se procurar um arco cujo seno é igual 2 142
- 143. Trigonometria e NúmerosComplexos a 1. 2 π Então, o arco procurado deve ser x = rad , pois, de acordo com 6 π π a definição, o arco deve pertencer ao intervalo − , . 2 2 1 Dessa forma, substituindo x em y = sec 2 arcsen , pode-se 2 escrever: 1 π π 1 1 sec 2 arcsen = sec 2 = sec = = = 2. 2 6 3 cos π 1 3 2 1 Logo, o valor de y = sec 2 arcsen é 2. 2 − 2 2) Qual o valor de E = 10. sen arccos ? 2 Solução: − 2 E = 10. sen arccos 2 − 2 Fazendo x = ar cos , deve-se procurar um arco cujo cosseno é 2 igual a − 2 . 2 3π Então, o arco procurado deve ser x = rad , pois, de acordo com 4 a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [0,π ]. − 2 Dessa forma, substituindo x em E = 10. sen arccos , pode- 2 se escrever: − 2 E = 10. sen arccos 2 3π E = 10. sen 4 2 E = 10. 2 E = 5 2. Unidade 3 143
- 144. Universidade do Sulde Santa Catarina 3π Lembre-se que rad é um arco do 2º quadrante e foi necessário 4 fazer redução ao primeiro quadrante. − 2 Logo, o valor de E = 10. sen arccos é 5 2 . 2 3) Sabendo que tgθ = 0,125 , determine o valor de θ . Solução: Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica. Veja: Tem-se que: tgθ = 0,125 . Pode-se escrever: θ = arctg 0,125 . Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125. Você deverá programar sua calculadora no modo rad. Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora, tecle tan-1. Você obtém: θ = 0,124 Logo, o ângulo procurado é θ = 0,124 rad. 144
- 145. Trigonometria e NúmerosComplexos Pesquise Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria No ensino da Trigonometria, o uso de softwares matemáticos pode ser muito interessante para auxiliar na construção dos gráficos das funções circulares. Nesta unidade, os gráficos foram construídos no software GRAPH 4.1, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/graph/. Você conheceu e aprendeu a utilizar esse software na disciplina ‘Informática Aplicada à Educação Matemática’. Como sugestão, indicamos novamente o software Thales, que possui um ambiente de trabalho bastante interessante, no estudo das funções trigonométricas. Com ele, é possível visualizar simultaneamente o comportamento das funções no ciclo trigonométrico e no plano cartesiano. Atividades de auto-avaliação 1) Determine: 37π a ) tg = 6 7π b) cot g = 2 5π c) sec − = 4 31π d ) cos ec = 6 5π e) tg = 3 Unidade 3 145
- 146. Universidade do Sulde Santa Catarina π 3π tg.tg − tg 0 2) Qual o sinal da expressão: y = 3 4 . π 5π tg − .tg − 3 6 3) Determine o valor da expressão: π a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= . 2 7π sen − cos 3π b) B = 3 . 13π tg 6 3π 5π 4) Que número é maior: tg ou tg ? 4 6 146
- 147. Trigonometria e NúmerosComplexos 5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções: a ) y = −2 + sen x x b) y = 2.cos 4 c) y = 3 − sen 2 x 6) Analisando os gráficos: a ) y = sen 2 x Unidade 3 147
- 148. Universidade do Sulde Santa Catarina b) y = 2 + cos x x c) y = tg 2 148
- 149. Trigonometria e NúmerosComplexos Responda os itens a seguir: a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas? b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas? c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa? d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva? e) Qual o período da função y= tg(x/2)? 7) Determine o valor de k, sabendo-se que sen x = 3k - 7. Unidade 3 149
- 150. Universidade do Sulde Santa Catarina 8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x? 9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação π horária y(t) = 4 + 3.cos t + π , em que t é o tempo transcorrido, 4 em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir: a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH; b) Qual o ponto de partida do corpo? c) Qual o seu período de oscilação? d) Qual a amplitude do movimento? 150
- 151. Trigonometria e NúmerosComplexos 10) Determine o domínio de cada uma das funções: π a ) y = tg 5 x − 4 π b) y = cot g x + 2 c) y = sec (3 x − π ) π d ) y = cos ec 2 x + 3 1 11) Qual o valor de y = tg 2. arccos ? 2 3 12) Encontre o valor de y = tg 2. arcsen . 2 Unidade 3 151
- 152. Universidade do Sulde Santa Catarina 3 13) Determine o valor de y = arctg 3 + arctg . 3 Desafios na Trigonometria 1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função π 3π y(t) = 15 + 5sen t + , onde t indica o tempo (em horas) 12 2 decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) no instante t. Determine: a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH); b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu, no primeiro dia de observação. 152
- 153. Trigonometria e NúmerosComplexos 2) (Mack-SP) O valor de tg 5arctg 3 − 1 arcsen 3 pode ser dado por: 3 4 2 a) 0 b) 1 c) 1 2 d) -1 1 e) − 2 1 1 3) O valor de 2arctg 3 + arcsen + arccos é: 2 2 5π a) 6 π b) 2 π c) 6 d) 7π 6 e) π Unidade 3 153
- 154. Universidade do Sulde Santa Catarina Síntese Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôde conhecer suas características, bem como perceber suas várias aplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nos fenômenos que envolvem periodicidade. Você constatou que as funções trigonométricas podem ter seus domínios restringidos, de modo que gerem uma função inversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções resultantes tornam-se parte de suas definições. Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguir modelar situações práticas que as envolvem. Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequações trigonométricas, que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática. Saiba mais Para que você aprofunde seu conhecimento na história da trigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor é Edward Kennedy. Com relação à periodicidade das funções, característica bastante importante das funções circulares, uma boa idéia é acessar um site de busca e analisar textos referentes a esse assunto na Internet. 154
- 155. 4 UNIDADE 4 Estudando asRelações, Equações e Inequações Trigonométricas Objetivos de aprendizagem Reconhecer as relações trigonométricas. Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo. Resolver equações e inequações trigonométricas. Seções de estudo Seção 1 Relações Trigonométricas Seção 2 Adição e Subtração de Arcos Seção 3 Arco Duplo Seção 4 Equações Trigonométricas Seção 5 Inequações Trigonométricas
- 156. Universidade do Sulde Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar com as relações entre os valores das funções trigonométricas, denominadas relações trigonométricas. As transformações trigonométricas serão abordadas e você também irá resolver, ainda nesta unidade, as equações e inequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, torna- se necessário o uso das relações e transformações trigonométricas na resolução dessas equações. São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentos dentro da Trigonometria. SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o 1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricas fundamentais. Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricas fundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funções trigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seção anterior. É importante saber que as relações trigonométricas fundamentais recebem este nome por serem distintas e completamente independentes umas das outras. Elas também permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de um arco qualquer, encontremos, se existirem, os valores das demais funções circulares do mesmo arco. Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação de expressões. As cinco relações trigonométricas fundamentais mais importantes são: 156
- 157. Trigonometria e NúmerosComplexos 1ª Relação Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental Observando a figura 4.1, tem-se: OM = 1 OM' = cos x MM' = OM" = senx Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M, tem-se: (OM ) = (OM' ) + (OM" ) 2 2 2 (1) = (cos x ) + (senx ) 2 2 2 sen 2 x + cos 2 x = 1 2ª Relação senx tgx = cos x π Esta relação só será válida para todo x ≠ + kπ e k é um número inteiro. 2 Unidade 4 157
- 158. Universidade do Sulde Santa Catarina 3ª Relação cos x cot gx = senx Esta relação só será válida para todo x ≠ kπ e k é um número inteiro. 4ª Relação 1 sec x = cos x π Esta relação só será válida para todo x ≠ + kπ e k é um número inteiro. 2 5ª Relação 1 cos sec x = senx Esta relação só será válida para todo x ≠ kπ e k é um número inteiro. Existem outras relações trigonométricas derivadas das relações fundamentais, importantes para simplificar a resolução de alguns problemas. Acompanhe: 1ª relação sen x cos x Como tgx = e cot gx = , pode-se obter a seguinte cos x sen x 1 relação cot gx = , válida para todo x ≠ kπ . tgx 2ª relação Você já viu que sen2x + cos2x = 1. Assim, se dividir a equação por cos2x, tem-se: sen 2 x cos 2 x 1 sen x 1 + = , como tgx = e sec x = . cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos x cos x 158
- 159. Trigonometria e NúmerosComplexos π Logo, sec 2 x = tg 2 x + 1 , válida para todo x ≠ + kπ . 2 3ª relação Sabe-se que sen2x + cos2x = 1. Assim, dividindo a equação por sen2x, tem-se: sen 2 x cos 2 x 1 + = . sen x sen x sen 2 x 2 2 cos x 1 Como cot gx = e cos sec x = . senx sen x Logo, 1 + cot g 2 x = cos ec 2 x , válida para todo x ≠ kπ . Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir. 1 3π 1) Sabendo que senx = e que < x < 2π , determine o valor do 3 2 cosx. Solução: Aplicando-se a relação sen2x+cos2x=1, tem-se: sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 2 + cos x = 1 3 1 + cos 2 x = 1 9 1 cos 2 x = 1 − 9 9 −1 cos 2 x = 9 8 cos 2 x = 9 8 cos x = ± 9 2 2 cos x = ± . 3 Unidade 4 159
- 160. Universidade do Sulde Santa Catarina Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante, tem-se que o cosseno é positivo. 2 2 Logo, cos x = . 3 π 2) Se secx= 4, com 0 ≤ x ≤ , qual o valor da tgx? 2 Solução: 1 Sabendo que sec x = , então: cos x sec x = 4 1 =4 cos x 4 cos x = 1 1 cos x = 4 1 Substituindo cos x = na relação sen 2 x + cos 2 x = 1 , tem-se: 4 sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 sen 2 x + = 1 4 1 sen 2 x + = 1 16 1 sen 2 x = 1 − 16 16 − 1 sen 2 x = 16 15 sen 2 x = 16 15 senx = ± 16 15 senx = ± 4 160
- 161. Trigonometria e NúmerosComplexos Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno é positivo. 15 Logo, sen x = . 4 Seguindo ao valor da tangente: senx tgx = cos x 15 tgx = 4 1 4 15 4 tgx = . 4 1 tgx = 15. 3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente k +1 as equações senx = e cosx=-k, determine o valor de k. 3 Solução: Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1 tem-se: sen 2 x + cos 2 x = 1 3 k +1 + (−k ) = 1 2 3 k 2 + 2k + 1 2 + k =1 9 k 2 + 2k + 1 + 9k 2 9 = 9 9 2 2 k + 2k + 1 + 9k = 9 10k 2 + 2k − 8 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se: 4 k’ = -1 e k” = 5 Unidade 4 161
- 162. Universidade do Sulde Santa Catarina Como k é um número real positivo, a solução do problema será: k= 4. 5 cot g 2 x 4) Simplifique a expressão 2 + sen 2 x . 1 + cot g x Solução: Fazem-se as seguintes substituições na expressão: 1 + cot g 2 x por cos ec 2 x. cos 2 x cot g 2 x por . sen 2 x cot g 2 x 2 + sen 2 x 1 + cot g x cot g 2 x + sen 2 x cos ec 2 x cos 2 x sen 2 x + sen 2 x 1 sen 2 x cos 2 x sen 2 x . + sen 2 x sen 2 x 1 cos 2 x + sen 2 x = 1. cot g 2 x A forma simplificada da expressão 2 + sen 2 x é 1. 1 + cot g x SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo que sen 60º+sen 30º. 162
- 163. Trigonometria e NúmerosComplexos Tem-se que: sen (60º +30º ) = sen 90º = 1 e 3 1 3 +1 . sen 60º + sen 30º = + = 2 2 2 Vê-se então que esses valores são diferentes. Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir: • sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a • sen (a − b) = sen a.cos b − sen b.cos a • cos(a + b) = cos a.cos b − sen b.sen a • cos(a − b) = cos a.cos b + sen b.sen a tga + tgb • tg (a + b) = 1 − tga.tgb tga − tgb • tg (a − b) = 1 + tga.tgb Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja: cos(a − b) = cos a.cos b + sen b.sen a. Demonstração: Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre dois pontos A(x A, yA) e B(xB, yB), do plano, é dada por: Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano Unidade 4 163
- 164. Universidade do Sulde Santa Catarina d 2 ( A, B ) = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 d ( A, B ) = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 . Seja a figura 4.3: Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos Na circunferência trigonométrica tem-se: os arcos a e b; o arco a-b; M representa a extremidade do arco a; N representa a extremidade do arco b; P representa a extremidade do arco a-b; A representa a extremidade do arco nulo. Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontos P e A, M e N são iguais. Escreve-se então: d 2 ( P, A) = d 2 ( M , N ) ( X P − X A ) + (YP − YA ) = ( X M − X N ) + (YM − YN ) 2 2 2 2 [1] 164
- 165. Trigonometria e NúmerosComplexos Note que: as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b)); as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena); as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb); as coordenadas do ponto A são: A(1,0). Assim substituindo em [1] tem-se: [cos(a − b) − 1] + [sen(a − b) − 0] = [cos a − cos b] + [sena − senb] 2 2 2 2 Desenvolvendo a equação e sabendo que: sen 2 (a − b) + cos 2 (a − b) = 1 ; sen 2 a + cos 2 a = 1 ; sen 2b + cos 2 b = 1 . Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membros A e B, então: A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0 e B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ] . 2 2 2 2 Desenvolvendo A, tem-se: 2 2 A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0 A = cos 2 (a − b ) − 2 cos (a − b ) + 1 + sen 2 (a − b ) A = 2 − 2 cos (a − b ) Desenvolvendo B, tem-se: B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ] 2 2 B = cos 2 a − 2.cos a.cos b + cos 2 b + sen 2 a − 2.sen a.sen b + sen 2b B = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b ) Como A=B, tem-se: 2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b ) Unidade 4 165
- 166. Universidade do Sulde Santa Catarina Para simplificar a equação, divide-se por (-2): −1 + 1cos(a − b) = −1 + (cos a.cos b + sen a.sen b) Logo : cos(a − b) = cos a.cos b + sen a.sen b As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida. cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b Demonstração: Substituindo b por –b tem-se: cos (a − (−b) ) = cos a.cos(−b) + sen a.sen (−b) [2] Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par. Logo, tem-se: sen (−b) = − sen b . cos(−b) = cos b . Substituindo em [2] tem-se: cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b . Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e do seno da soma: Seno da diferença: sen (a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b . Demonstração: Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar: Para todo x real, tem-se: π cos − x = senx 2 π sen − x = cos x. 2 166
- 167. Trigonometria e NúmerosComplexos Dessa forma: sen(a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b π sen (a − b ) = cos − (a − b ) 2 π sen (a − b ) = cos − a + b 2 π π sen (a − b ) = cos − a .cos b − sen − a .senb 2 2 sen (a − b ) = sena.cos b − cos a.senb. Seno da soma: sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b . Demonstração: Substituindo b por –b, tem-se: sen (a + b) = sen (a − (−b) ) = sen a.cos (−b) − cos a.sen (−b) [3] Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par. Logo: sen(−b) = − senb . cos(−b) = cos b . Substituindo em [3], tem-se: sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b . Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e da diferença de dois arcos. tga − tgb tg (a − b) = . 1 + tga.tgb Demonstração: senx Você já conhece a relação fundamental tgx = . cos x Na demonstração a seguir, ela será utilizada. Unidade 4 167
- 168. Universidade do Sulde Santa Catarina sen(a − b) sena.cos b − cos a.senb Então, tem-se que: tg (a − b ) = = . cos(a − b) cos a.cos b + sena.senb Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo diferente de zero, encontra-se: sen(a − b) tg (a − b) = cos(a − b) sena.cos b − cos a.senb tg (a − b) = cos a.cos b cos a.cos b + sena.senb cos a.cos b sena senb − tg (a − b) = cos a cos b sena.senb 1+ cos a.cos b tga − tgb tg (a − b) = . 1 + tga.tgb tga + tgb De forma análoga, demonstra-se que: tg(a + b) = . 1 − tga.tgb Retrospectiva Histórica Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm (acesso em 28/06/06). 168
- 169. Trigonometria e NúmerosComplexos Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental sen 2 x + cos 2 x = 1 . Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são: • sen ( x + y ) = sen x.cos y + sen y.cos x • sen ( x − y ) = sen x.cos y − sen y.cos x • cos( x + y ) = cos x.cos y − sen y.sen x • cos( x − y ) = cos x.cos y + sen y.sen x Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos. 1) Calcule cos75º. Solução: Para calcular cos 75º pode-se escrever 75º = 30º +45º . cos 75º = cos(30º +45º ) cos 75º = cos 30º.cos 45º − sen30º.sen 45º 3 2 1 2 cos 75º = . − . 2 2 2 2 6 2 cos 75º = − 4 4 6− 2 cos 75º = . 4 2) Determine sen15º . Solução: Faz-se 15º = 45º - 30º. sen 15º = sen (45º −30º ) sen 15º = sen 45º.cos 30º − sen 30º.cos 45º 2 3 1 2 sen 15º = . − . 2 2 2 2 6 2 sen 15º = − 4 4 Unidade 4 169
- 170. Universidade do Sulde Santa Catarina 6− 2 sen15º = . 4 Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Isso se deve ao fato de serem arcos complementares. 3) Escreva na forma simplificada a expressão π A = sen (π + x ) + cos − x , para todo x∈IR. 2 Solução: π A = sen (π + x ) + cos − x 2 π π A = sen π . cos x + senx. cos π + cos .cos x + sen .senx 2 2 A = 0. cos x + senx.( −1 ) + 0. cos x + 1.senx A = − senx + senx A = 0. 4) Qual o valor da tg15º? Solução: Pode-se fazer 15º=60º-45º. 170
- 171. Trigonometria e NúmerosComplexos tga − tgb tg(a − b) = 1 + tga.tgb tg 60º −tg 45º tg( 60º −45º ) = 1 + tg 60º .tg 45º 3 −1 tg15º = 1 + 3 .1 3 −1 1− 3 tg15º = . 1+ 3 1− 3 3 − 9 −1+ 3 tg15º = 1− 9 2 3−4 tg15º = 1− 3 −4 + 2 3 tg15º = −2 tg15º = 2 − 3. SEÇÃO 3 - Arco duplo Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funções trigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas. Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem ser utilizadas as seguintes identidades: sen 2 x = 2 sen x.cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando as fórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadas na seção anterior. sen 2 x = 2 sen x.cos x Unidade 4 171
- 172. Universidade do Sulde Santa Catarina Demonstração: sen 2 x = sen ( x + x) sen 2 x = sen x.cos x + sen x.cos x sen 2 x = 2. sen x.cos x. cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x Demonstração: cos 2 x = cos( x + x) cos 2 x = cos x.cos x − sen x.sen x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x. 2 tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x Demonstração: 2 tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x tg 2 x = tg(x + x) tgx + tgx tg 2 x = 1 − tgx.tgx 2tgx tg 2 x = . 1 − tg 2 x Retrospectiva Histórica Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: sen 2 x = 2 sen x . cos x , embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x , fazendo x = y. Acompanhe os exemplos!!! 172
- 173. Trigonometria e NúmerosComplexos 1 π 1) Sendo senx= e 0 < x < , calcule: 3 2 a) sen 2x b) cos 2x Solução: Inicia-se calculando o valor do cos x, utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1. sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 2 + cos x = 1 3 1 + cos 2 x = 1 9 1 cos 2 x = 1 − 9 9 −1 cos 2 x = 9 8 cos 2 x = 9 8 cos x = ± 9 2 2 cos x = ± 3 2 2 cos x = . 3 Já sabendo o valor do cosx, resolve-se o problema proposto: a) sen 2 x = 2 sen x. cos x 1 2 2 sen 2 x = 2. . 3 3 4 2 sen 2 x = . 9 Unidade 4 173
- 174. Universidade do Sulde Santa Catarina b) cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2 2 2 1 2 cos 2 x = 3 − 3 4.2 1 cos 2 x = − 9 9 7 cos 2 x = . 9 3 π 2) Dado senx = , com < x < π , determine a tg 2x. 2 2 Solução: Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x para descobrir o valor da tg x. Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1, tendo então: sen 2 x + cos 2 x = 1 2 3 2 2 + cos x = 1 3 + cos 2 x = 1 4 3 cos 2 x = 1 − 4 4−3 cos 2 x = 4 1 cos 2 x = 4 1 cos x = ± 4 1 cos x = ± 2 1 cos x = − . 2 174
- 175. Trigonometria e NúmerosComplexos Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, pois se está trabalhando com um arco do 2º quadrante. Calculando o valor da tg x, tem-se: senx tgx = cos x 3 tgx = 2 1 − 2 3 2 tgx = . − 2 1 tgx = − 3 Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema proposto utilizando-se a identidade tg2x. tg 2 x = ( ) 2. − 3 1 − (− 3 ) 2 −2 3 tg 2 x = 1− 3 −2 3 tg 2 x = −2 tg 2 x = 3 Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e, para isso, será necessária a utilização de todas as transformações trigonométricas estudadas nesta unidade. SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como sua importância na resolução de vários problemas. Unidade 4 175
- 176. Universidade do Sulde Santa Catarina As diferentes equações possuem nomes específicos em função de suas características específicas. Por exemplo: 2 x − 4 = 9 é denominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob o radical. Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas que recebem este nome porque são equações em que figuram as funções trigonométricas com um arco desconhecido. Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizar artifícios e transformações que nos permitam chegar a equações básicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma, podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a. Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas: a ) sen x = 0 b) 1 − cos 2 x + sen x = 0 c) sen 2 x = 2.cos x Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem a equação dada. Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equações trigonométricas: 1 1) Resolver a equação sen x = no intervalo [0,2π ]. 2 Solução: Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrante. 1 π O arco cujo seno corresponde a é no primeiro quadrante e, 2 6 utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo quadrante: π − π = 5π . 6 6 Observe a representação da solução na figura 4.5. 176
- 177. Trigonometria e NúmerosComplexos 1 Figura 4.5: sen x = ; [0; 2π ] 2 π 5π Logo, a solução desta equação é S = , . 6 6 1 2) Resolver a equação sen x = , com x ∈ 0, π . 2 2 Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa a situação do problema. 1 π Figura 4.6: sen x = ;x ∈ 0, 2 2 π 1 π Logo, como sen = , então a solução é S = . 6 2 6 Unidade 4 177
- 178. Universidade do Sulde Santa Catarina 1 3) Resolver a equação senx = . 2 Solução: Note que, novamente, é a mesma equação que está sendo trabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe a figura 4.7: 1 Figura 4.7: sen x = 2 Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerar todas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, a congruência de arcos. Logo, a solução geral será: π 5π S = x ∈ IR|x = + 2kπ ou x = + 2kπ , k ∈ Z . 6 6 Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou a expressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seu tutor. 178
- 179. Trigonometria e NúmerosComplexos 4) Resolver a equação 2 sen2x – 5 senx + 2 = 0, com x ∈ 0, π . 2 Solução: Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do 2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva. Os coeficientes da equação são: a=2 b=-5 c=2 O discriminante da equação é: ∆ = b 2 − 4ac ∆ = (−5) 2 − 4.2.2 ∆=9 Assim: −b ± ∆ senx = 2a −(−5) ± 9 senx = 2.2 5±3 senx = 4 Obtemos, portanto, que: senx = 2 1 senx = . 2 Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2. 1 Logo, busca-se a solução para sen x = . 2 Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2. π π Portanto, x = e se escreve a solução S = . 6 6 Unidade 4 179
- 180. Universidade do Sulde Santa Catarina 5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [0; 2π ]. Solução: Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se: sen 2 x = 2 cos x 2.sen x.cos x = 2 cos x Resolvendo a equação: 2.sen x.cos x − 2.cos x = 0 2.cos x.( sen x − 1) = 0. Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quando um dos fatores for zero. Dessa forma: 2.cos x = 0 ou sen x − 1 = 0. Assim, tem-se duas equações para resolver: 2.cos x = 0 sen x − 1 = 0 ou cos x = 0 sen x = 1 Encontrando a solução para cos x = 0, no intervalo dado tem-se: π 3π x= ou x = . 2 2 Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se: π x= . 2 Logo, a solução da equação sen 2 x = 2 cos x no intervalo [0, 2π ] é S = π , 3π . 2 2 180
- 181. Trigonometria e NúmerosComplexos SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações também possuem nomes específicos em função de suas características. Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas que recebem este nome por serem desigualdades nas quais figuram funções trigonométricas com arcos desconhecidos. Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma forma que nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações que permitam chegar a inequações básicas do tipo sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR. É importante observar que as desigualdades > e < podem ser ≥ e ≤, não interferindo no método de resolução. Por exemplo, são inequações trigonométricas: 1 1) sen x > 2 3 2) cos x ≤ 2 3) tg x > 1 Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental a construção da circunferência trigonométrica representando a situação do problema. Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequações trigonométricas: 1 1) Resolver a inequação sen x ≥ , com 0 < x < 2π. 2 Solução: Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto cuja distância do centro é 1 . 2 Faz-se a análise para valores acima de 1 tendo em vista que 2 1 sen x ≥ . 2 Unidade 4 181
- 182. Universidade do Sulde Santa Catarina Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 1 . 2 Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que compõem a solução desta inequação estão entre π e 5π (parte destacada na circunferência). 6 6 1 Figura 4.8: sen x ≥ 2 Logo, a solução será: π 5π S = x ∈ IR | ≤ x ≤ . 6 6 2 2) Resolver a inequação cos x < - , com 0 < x < 2π. 2 Solução: Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto cuja distância do centro é - 2 . 2 Faz-se a análise para valores menores que - 2 tendo em vista 2 que cos x < - 2 . 2 Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 2 . 2 Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que compõem a solução desta inequação estão entre 3π e 5π (parte destacada na circunferência). 4 4 182
- 183. Trigonometria e NúmerosComplexos 2 Figura 4.9: cos x < − 2 Logo, a solução será: 3π 5π S = x ∈ IR | <x< . 4 4 3) Qual é a solução da inequação tg x > 3 no intervalo [0, 2π ]? Solução: Figura 4.10: tgx > 3 Unidade 4 183
- 184. Universidade do Sulde Santa Catarina Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe: π 3π Para os valores reais de x tais que x ≠ e x≠ a tg x existe. 2 2 Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a tg π . 3 Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o arco 4π para o qual a tangente também é 3 . 3 Tem-se que: tg x > 3 . Logo, a solução será: π π 4π 3π . S = x ∈ IR | < x < ou <x< 3 2 3 2 Síntese Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações trigonométricas que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática. Você pôde observar que não existe um modo único de resolver equações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equações do tipo sen x = a , cos x = b ou tg x. Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, para encontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-se das equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos que satisfazem a desigualdade do problema. Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos, mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades de auto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor. 184
- 185. Trigonometria e NúmerosComplexos Atividades de auto-avaliação 1 3π 1) Sabendo que sen x = e que π < x < , determine o valor de cos x. 2 2 3 3π 2) Sabe-se que sen x = − e < x < 2π . Qual o valor da cotg x? 5 2 3 π 3) Sabendo que sen x = e < x < π , determine o valor da expressão 2 2 sec 2 x + cos 2 x. 4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que sen x = −2 cos x e que π < x <π? 2 Unidade 4 185
- 186. Universidade do Sulde Santa Catarina 5 5) Se sec x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 ( ) A = 16 cot g 2 x + cos ec 2 x . 1 π 6) Se sen x = , com 0 ≤ x ≤ , calcule o valor da expressão 3 2 tgx + cot gx y= . sec x − cos x cos ec 2 x − cos sec x.sec x 1 7) Calcule o valor de y = , dado sen x = . 1 − tgx 4 5 8) Se sec x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x. 186
- 187. Trigonometria e NúmerosComplexos 9) Determine: a ) sen 105º = b) tg 75º = c) cos15º = 3 π 10) Sabendo que sen x = e que < x < π , calcule o valor de 5 2 π cos + x . 3 11) Calcule o valor numérico da expressão cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) y= . cos( x + 30º ) + sen(30º − x) 12) Simplifique a expressão: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) . Unidade 4 187
- 188. Universidade do Sulde Santa Catarina 13) Sendo tg x = 5 , calcular tg 2 x. 1 14) Sabendo que cos x = , calcular cos 2 x. 3 1 15) Se sen x − cos x = , calcule o valor de sen 2 x. 2 1 16) Sendo cot g x = , calcule tg 2 x. 2 17) Sendo E = 1 − cos 2 x + 2.cos 2 x , calcular E + E 2 + E 3 . 188
- 189. Trigonometria e NúmerosComplexos 18) Qual o valor de (tg 10º + cot g 10º ).sen 20º ? 19) Se tg x + cot g x = 4 , quanto vale sen 2 x ? 2 20) Sendo a + b = 45º e tg a = , calcule tg b . 3 21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π . 22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 . Unidade 4 189
- 190. Universidade do Sulde Santa Catarina 23) Determine o conjunto solução da equação sen 2 x − sen x = 0 sendo 0 ≤ x ≤π. 24) Resolva em IR a equação: π π 2. sen x + + sen x − = 3 3 2 25) Sendo x ∈ [0, 2π [ encontre o conjunto solução das seguintes inequações: 1 a) sen x < − 2 2 b) cos x ≥ − 2 c) tg x ≤ 1 3 d) cos x < 2 190
- 191. Trigonometria e NúmerosComplexos Desafios na Trigonometria 1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π , tais que (sen x + cos x ) = 1 é: 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) maior que 5 cos 2 x 2) No intervalo 0 ≤ x < 2π , a equação = sen x , apresenta exatamente: 1 + sen x a) Uma única solução. b) Duas soluções. c) Três soluções. d) Quatro soluções. e) Cinco soluções. Unidade 4 191
- 192. Universidade do Sulde Santa Catarina Saiba mais Se você ficou interessado em conhecer outras equações trigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet. Como sugestão, acesse o site: http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Ti tulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es %20Trigonom%C3%A9tricas%5D 192
- 193. 5 UNIDADE 5 Números complexos Objetivos de aprendizagem Compreender o conceito de números complexos. Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z, bem como a sua representação geométrica. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 A álgebra dos números complexos Seção 3 A forma trigonométrica dos números complexos
- 194. Universidade do Sulde Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seus conhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudados por você. Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicados e também possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo. Com esta característica (extração da raiz quadrada de número negativo) é possível resolver equações que não possuem solução dentro do conjunto dos reais. Os números complexos são da forma a+bi, sendo a e b reais e i a chamada unidade imaginária, para qual i2 =-1. O papel desses números é de fundamental importância nos diversos ramos da matemática além de ser instrumentos necessários em campos da ciência e da tecnologia. SEÇÃO 1 - Introdução Os números complexos se originaram no século XVII, quando Descartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativo que o matemático italiano Cardano utilizava na resolução de equações de 3º grau. Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza desses novos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu que equações do tipo x2 + a = 0, só poderiam ser resolvidas com essas raízes. Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com uma notação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dos Números Complexos representado por . A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande história na área de matemática, tem inúmeras aplicações na engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a 194
- 195. Trigonometria e NúmerosComplexos descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, a representação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação também se estende em áreas próprias da matemática, da computação gráfica e da topologia. SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexos e, para isso, deve conhecer de que forma são expressos esses números. i Conhecendo o “ ” Inicia-se este estudo com a resolução da equação x2+1=0 tendo como universo o conjunto dos reais: x2 + 1 = 0 x 2 = −1 x = ± −1 Logo, o conjunto solução é S = ∅. Você sabia... Quem utilizou o símbolo i para −1 pela primeira vez foi Leonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso por Gauss em 1801. Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual se admita a existência da −1 , que será substituída por i, a equação passará a ter solução não vazia. Veja que a solução da equação será: x2 + 1 = 0 x 2 = −1 x = ± −1 x = ±i Unidade 5 195
- 196. Universidade do Sulde Santa Catarina Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação. Dessa forma, o conjunto solução será: S = {−i, i}. Vejamos, agora, outro exemplo: x2 - 6x +13=0. Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação: x2 - 6x +13=0 ∆ = b 2 − 4.a.c ∆ = (−6 ) − 4.1.13 2 ∆ = −16 Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente. Então vamos considerar como universo um conjunto no qual se admita a existência −1 , que será substituída por i . −b ± ∆ x= 2.a 6 ± −16 x= 2 6 ± 16. (−1) x= 2 6 ± 4 −1 x= 2 6 ± 4i x= 2 x ' = 3 − 2i x " = 3 + 2i Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação. Dessa forma, o conjunto solução será: S = {3 − 2i;3 + 2i}. Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados números complexos. 196
- 197. Trigonometria e NúmerosComplexos Você sabia... A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friderich Gauss em 1832. Figura 5.1: Gauss www.corrosion-doctors.org/.../GaussBio.htm Capturado em 23/07/06 Definindo o número complexo Número complexo é todo par ordenado (a,b) que pode ser escrito na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = −1 . Veja alguns exemplos: a) z = 2+3i, temos: a = 2 e b = 3 b) z = -3 +i, temos: a =-3 e b = 1 c) z = -2i, temos: a = 0 e b =-2 Definindo o conjunto dos números complexos O Conjunto dos Números Complexos é todo conjunto cujos elementos são da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = −1 : = {z = a+bi | a ∈IR, b ∈ IR, i = −1 }. Unidade 5 197
- 198. Universidade do Sulde Santa Catarina Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébrica de um número complexo, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i2 =-1 ou i= −1 . Observe o diagrama representado na figura 5.2: Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos Como todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo número real é um número complexo em que b=0 na forma a+bi. Note que, como um número complexo é dividido em parte real e parte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi, podemos considerar as seguintes situações: z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 e b ≠ 0; z é real quando z = a, onde b=0. Você sabia... Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637. 198
- 199. Trigonometria e NúmerosComplexos Exemplos: a) z= -5+7i Note que: -5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5; 7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7; 3i b) z = 4 Re(z) = 0 3 Im(z)= 4 Pode-se concluir que z é um imaginário puro. c) z = -4,6 Re(z) = -4,6 Im(z) = 0 Pode-se concluir que z é um número real. d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4)i seja um número real? Solução: Note que para que z seja um número real é necessário que sua parte imaginária seja igual a zero, assim tem-se: Im(z) = 0 k+4 = 0 k=-4 Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4. e) Determine o valor de x de modo que z = (x2 - 25) + (2y - 8)i seja imaginário puro. Unidade 5 199
- 200. Universidade do Sulde Santa Catarina Solução: Você já sabe que para que z seja imaginário puro deve ter: Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0, assim tem-se: Re(z) = 0 x2 - 25 = 0 x2 = 25 x=±5 Im(z) ≠ 0 2y - 8 ≠ 0 2y ≠ 8 y≠4 Igualdade de números complexos A igualdade entre dois números complexos se estabelece quando apresentam, simultaneamente, partes reais iguais e partes imaginárias iguais. Dessa forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1 = z2 quando a = c e b = d. Exemplos: 1) Sejam os números complexos z1= -3 + xi e z2 = 6y- 8i, determine os valores reais de x e y de modo que z1= z2. Solução: Como z1= z2 tem-se que: 200
- 201. Trigonometria e NúmerosComplexos Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2) -3 = 6y x = -8 3 y= − 6 y= −1 2 Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e − 1 . 2 2) Dados os números complexos z1 = (3x + y) + 5i e z2 = 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z1 seja igual a z2. Solução: Como z1= z2 tem-se que: Re(z1) = Re(z2) e Im(z2)= Im(z1) 3x + y = 8 e x - 2y = 5 Note que há um sistema de duas equações para resolver: Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistema pelo método da adição. O sistema equivalente será: 6 x + 2 y = 16 x − 2y = 5 Somando as equações tem-se: 7 x = 21 x=3 Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1. Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1. Você sabia... No conjunto dos números complexos não existe relação de ordem, isto é, um número complexo não é maior nem menor que outro. Unidade 5 201
- 202. Universidade do Sulde Santa Catarina Operações entre números complexos Adição A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1= a + bi e z2= c + di, z1+z2 = (a+c) + (b+d)i Exemplo: Sendo z1=3+5i e z2=-4+10i, determine z1+z2 . Solução: Sendo z1= a + bi e z2= c + di, z1+z2 = (a+c) + (b+d)i z1+z2=(3+5i)+(-4+10i) z1+z2 = 3+5i-4+10i z1+z2 = (3-4)+(5+10)i z1+z2 = -1+15i Logo, z1+z2 = -1+15i. Subtração A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1-z2 = (a-b) + (b-d)i Exemplo: 1 2 1 Considere z1 = − 7i e z 2 = + i e calcule z1- z2 . 2 3 4 202
- 203. Trigonometria e NúmerosComplexos Solução: 1 2 1 z1 − z2 = − 7i − + i 2 3 4 1 2 1 z1 − z2 = − 7i − − i 2 3 4 1 2 1 z1 − z2 = − + −7 − i 2 3 4 3 − 4 −28 − 1 z1 − z2 = + i 6 4 1 29i z1 − z2 = − − 6 4 1 29i Logo, z1 − z2 = − − . 6 4 Multiplicação O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1.z2 = (ac-bd) + (ad+bc)i Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicação de binômios no conjunto dos reais e considerando que i2 = -1. z1.z2 = (a+bi).(c+di) z1.z2 = ac+adi+bci+bdi2 z1.z2 = ac+adi+bci+bd(-1) z1.z2 = ac+adi+bci-bd z1.z2 = ac-bd+adi+bci z1.z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i Unidade 5 203
- 204. Universidade do Sulde Santa Catarina Exemplo: Sendo z1 = 1+5i e z2 = 6-3i, determine z1.z2 . Solução: z1.z2=(1+5i).(6-3i) z1.z2 = 6-3i+30i-15i2 z1.z2 = 6+27i-15.(-1) z1.z2 = 21+27i Logo, z1.z2 = 21+27i. Você sabia... O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo. Conjugado Sendo z = a +bi , o número z = a - bi representa o conjugado de z. Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z. Exemplo: Dê o conjugado dos seguintes números complexos: 204
- 205. Trigonometria e NúmerosComplexos Vale ressaltar que, sendo {z, z1, z2} ⊂ , tem-se as seguintes propriedades: 1) z ∈ IR ∴ z = z 2) z1 + z2 = z1 + z2 3) z1 − z2 = z1 − z2 4) z1 . z2 = z1 . z2 5) z1 = z1 , z 2 ≠ 0 z2 z2 () 6) (z n )= z ,n ∈ Z n Divisão A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor desde que o divisor seja diferente de zero. Pode-se escrever da seguinte forma: z1 z1 z 2 = . , z2 ≠ 0 z2 z2 z 2 Exemplo: Sendo z1 = 1+i e z2 = 4-3i, calcule: z1 a) z2 Solução: z1 (1 + i ) (4 + 3i ) = . z2 (4 − 3i ) (4 + 3i ) z1 4 + 3i + 4i + 3i 2 = z2 16 + 12i − 12i − 9i 2 z1 4 + 7i + 3.(−1) = z2 16 − 9.(−1) z1 4 + 7i − 3 = z2 16 + 9 z1 1 + 7i = z2 25 Unidade 5 205
- 206. Universidade do Sulde Santa Catarina z2 b) z1 Solução: z2 (4 − 3i ) (1 − i ) = . z1 (1 + i ) (1 − i ) z2 4 − 4i − 3i + 3i 2 = z1 1 − i2 z2 4 − 7i + 3.(−1) = z1 1 − (−1) z 2 4 − 7i − 3 = z1 1+1 z 2 1 − 7i = z1 2 Potências de i Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-se obter um critério. Observe a tabela 5.1: Tabela 5.1: Potências de i Expoente (n) Potências de i (in) 0 i0 = 1 1 i1= i 2 i2= -1 3 i3= i2.i=(-1).i=-i 4 i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 5 i5= i4.i=1.i=i 6 i6= i5.i=i.i=i2=-1 7 i7= i6.i=(-1).i=-i 8 i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 9 i9= i8.i=1.i=i Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um número natural n ≥ 4, dividindo n por 4 temos: 206
- 207. Trigonometria e NúmerosComplexos Logo, pode-se escrever n = 4.q + r, com r∈ {0,1,2,3}. Dessa forma, in = i4q+r=(i4)q.ir=1q.ir=ir . Veja que para calcular as potências de i (in) cujo o expoente é maior ou igual a 4, basta dividir o expoente n por 4 e elevar i ao valor que corresponde ao resto da divisão, ou seja, o valor de r. Exemplo: Calcular o valor de: a) i27 Solução: Agora se escreve: i27= i3=-i b) i529 Solução: Logo: i529 = i1=i Que tal resolver alguns exercícios para reforçar a aprendizagem das operações estudadas até o momento? Unidade 5 207
- 208. Universidade do Sulde Santa Catarina 1) Considere os números complexos z1 = 2-2i e z2 = 1+3i e efetue as seguintes operações: a) (z1+z2)2 Solução: (z1+z2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2 (z1+z2)2 = (3+i) 2 (z1+z2)2 = 32+2.3.i+i2 (z1+z2)2 = 9+6i+(-1) (z1+z2)2 = 8+6i b) (z2 ) .z1 2 Solução: (z2 ) .z1 = (1 + 3i ) . (2 + 2i ) 2 2 (z2 ) .z1 = (1 + 6i + 9i 2 ). (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = (1 + 6i-9) . (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = (−8 + 6i ). (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = −16 − 16i + 12i + 12i 2 2 (z2 ) .z1 = −16 − 4i + 12.(−1) 2 (z2 ) .z1 = −28 − 4i 2 2) Determine o número complexo z, tal que i.z + (z + z) = 1 + 2i . Solução: Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade i.z + (z + z) = 1 + 2i temos: 208
- 209. Trigonometria e NúmerosComplexos i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i ai+bi2+2a = 1+2i 2a - b +ai = 1+2i Utilizando-se a igualdade entre dois números complexos obtém-se: 2a − b = 1 a=2 Substituindo, tem-se: Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i. 3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja um imaginário puro. Solução: Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i)2 tem-se: (2x+3i)2 = 4x2 + 12xi +9i2 (2x+3i)2 = 4x2 + 12xi - 9 (2x+3i)2 = (4x2 -9) + 12xi Você já sabe que para que um número complexo seja imaginário puro deve ter Re(z)=0 e Im(z) ≠ 0. Unidade 5 209
- 210. Universidade do Sulde Santa Catarina Logo: Re(z)=0 Im(z) ≠ 0 4x2 -9 = 0 12x ≠ 0 4x2 = 9 x≠0 9 x2 = 4 3 x= ± 2 Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja 3 imaginário puro deve ter x = ± . 2 92 + 45 4) Determine o valor de i 311i . i Solução: i92 + i 45 i 0 + i1 1 + i . = 3 = i311 i −i Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão. Agora será feita a divisão de 1 + i , multiplicando a expressão pelo −i conjugado do denominador. Observe: 1 + i i i + i 2 −1 + i . = = = −1 + i −i i −i 2 1 92 + 45 Portanto, a expressão i 311i corresponde a −1 + i . i −1 5) Determine o conjugado do complexo 1 − i . 1+ i Solução: Lembre que, uma potência de expoente negativo equivale ao inverso da base com o expoente positivo, desde que o denominador seja diferente de zero. 210
- 211. Trigonometria e NúmerosComplexos −1 1− i Assim, o número complexo pode ser escrito da seguinte 1+ i forma 1 + i . 1− i Efetuando a divisão do número complexo temos: 2 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i + i + i 1 + 2i − 1 2i = . = 2 = = =i 1− i 1− i 1+ i 1− i 1+1 2 Logo, z = i e z = −i . SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos números complexos O Plano de Argand-Gauss Você já estudou que qualquer número real está associado a um ponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjunto numérico que também tem sua representação geométrica. Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi está associado a um par de números reais (a,b). Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto do plano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b). Unidade 5 211
- 212. Universidade do Sulde Santa Catarina Observe a figura 5.3: Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesiano ortogonal para representar o conjunto dos números complexos. O plano em que são representados os elementos de é chamado plano de Argand-Gauss. Que tal conhecer um pouco da história do plano de Argand- Gauss? 212
- 213. Trigonometria e NúmerosComplexos Retrospectiva Histórica Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticos Caspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand, descobriram que os números complexos admitiam uma representação geométrica. Gauss imaginava essa representação por meio dos pontos de um plano enquanto que Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetores coplanares. Como Wessel e Argand tinham pouca representatividade seus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na época. Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses números no plano cartesiano. Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais (a,b) e reescreveu as definições geométricas de Gauss na forma algébrica. Figura 5.4: Hamilton www.at-mix.de/hamilton.htm Capturado em 23/07/06 Unidade 5 213
- 214. Universidade do Sulde Santa Catarina Módulo e Argumento Agora que você já sabe que um número complexo pode ser representado no plano, estudará a seguir o significado desta representação. Observe a figura 5.5: Figura 5.5: Módulo e argumento A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada de módulo do número complexo z=a+bi, que se denota por |z|=ρ. Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula: ρ = a 2 + b2 . Demonstração: No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras, pois, trata-se de um triângulo retângulo: (OP ) = (OA) + ( AP ) 2 2 2 ρ 2 = a 2 + b2 ρ = a 2 + b2 Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações: a b cosθ = e sen θ = . ρ ρ 214
- 215. Trigonometria e NúmerosComplexos A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-se argumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z). O argumento θ pertence ao intervalo de [0; 2π [. Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de alguns exercícios envolvendo módulo e argumento. 1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos e represente-os geometricamente. a) z=1+i Solução: Inicialmente, identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=1 e Im(z)=b=1. Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Agora, calcula-se o argumento θ: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 1 2 1 2 cos θ = . sen θ = . 2 2 2 2 2 2 cos θ = sen θ = 2 2 Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem 2 é π rad ou 45o . 2 4 Logo, θ = π rad ou θ = 45o . 4 Unidade 5 215
- 216. Universidade do Sulde Santa Catarina Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é π θ= rad e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica. 4 b) z=3i Solução: Identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=0 e Im(z)=b=3 Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ = 02 + 32 ρ = 0+9 ρ= 9 ρ =3 Calcula-se o argumento θ: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 0 3 cos θ = sen θ = 3 3 cos θ = 0 sen θ = 1 216
- 217. Trigonometria e NúmerosComplexos Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é π rad ou 90o . 2 π Logo, θ = rad ou θ = 90o . 2 Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é π θ= rad e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica. 2 c) z=-3 Solução: Inicialmente, identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=-3 e Im(z)=b=0 Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 (−3) 2 ρ= + 02 ρ = 9+0 ρ= 9 ρ =3 Unidade 5 217
- 218. Universidade do Sulde Santa Catarina Agora, calcula-se o argumento θ: a b cos θ = sen θ = ρ ρ -3 0 cos θ = sen θ = 3 3 cos θ = −1 sen θ = 0 Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é π rad ou 180o . Logo, θ = π rad ou θ = 180o . Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3 Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento é θ = π rad e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica. d) z= − 3 + i Solução: Identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=- 3 e Im(z)=b=1. 218
- 219. Trigonometria e NúmerosComplexos Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 (− 3 ) + 1 2 2 ρ= ρ = 3 +1 ρ= 4 ρ =2 Agora, calcula-se o argumento θ: a b cos θ = sen θ = ρ ρ - 3 1 cos θ = sen θ = 2 2 3 1 O ângulo cujo cosseno é − e o seno pertence ao 2o 2 2 π quadrante, cujo arco simétrico no 1 quadrante é x= rad , logo, º 6 deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante. Você deve lembrar que já Fazendo a redução tem-se: estudou esta redução na Unidade 2. θ =π −x π θ =π - 6 5π θ= rad 6 5π Desta forma θ = rad . 6 Figura 5.9: Representação geométrica de z= − 3 +i Unidade 5 219
- 220. Universidade do Sulde Santa Catarina Portanto, sendo z= − 3 + i , seu módulo ρ = 2, o argumento é 5π θ= rad e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica. 6 5π 2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento θ = rad determine 3 o número complexo na forma a+bi. Solução: Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores do seno e cosseno do argumento: 5π 3 sen θ = sen =− 3 2 5π 1 cos θ = cos = 3 2 Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco 5π θ= rad ao primeiro quadrante. 3 Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 1 a 3 b = − = 2 3 2 3 2a = 3 2b = −3 3 3 a= b=− 2 2 3 3 Logo: z = − i. 2 2 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo Agora que você já conhece o módulo e o argumento de um número complexo, poderá representá-lo numa forma denominada trigonométrica ou polar. Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo ponto P(a,b). 220
- 221. Trigonometria e NúmerosComplexos a b Você já sabe que cosθ = e sen θ = . ρ ρ Isolando a e b nas respectivas relações tem-se: a = ρ cos θ e b = ρ .sen θ Substituindo em z=a+bi: z = ρ cos θ + ρ sen θ .i z = ρ .(cos θ + isen θ ) Portanto, z = ρ .(cos θ + isen θ ) é a forma trigonométrica ou polar do complexo z. Exemplos: 1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i. Solução: Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular o módulo e o argumento do complexo. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 22 + 22 ρ = 4+4 ρ= 8 ρ =2 2 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 2 2 cos θ = sen θ = 2 2 2 2 1 1 cos θ = sen θ = 2 2 2 2 cos θ = sen θ = 2 2 Unidade 5 221
- 222. Universidade do Sulde Santa Catarina π Logo, θ = rad ou θ = 45o . 4 Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é: z = ρ .(cos θ + isen θ ) π π z = 2 2 . cos + isen 4 4 2) Escreva na forma algébrica o número complexo z=5.(cos270º + i sen270º). Solução: Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º. cos270º = 0 e sen270º = -1 Agora se substitui esses valores no complexo z = 5.(cos 270º +i.sen 270º ) z = 5.[0 + i.(−1)] z = 5.(0 − i ) z = −5i Portanto, a forma algébrica de z = 5.(cos 270º +isen270º ) é z=-5i. Operações na forma trigonométrica ou polar Multiplicação Sejam os números complexos z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2(cosθ2 + isenθ2) Efetuando a multiplicação entre z1 e z2 , tem-se: z1. z2 = ρ1 (cosθ1 + isenθ1) . ρ2 (cosθ2 + isenθ2) z1. z2=ρ1. ρ2 (cosθ1. cosθ2 + icosθ1. senθ2+ isenθ1. cosθ2+ i2senθ1.senθ2) z1. z2=ρ1. ρ2 [(cosθ1.cosθ2-senθ1.senθ2) + i(cosθ1.senθ2+ senθ1.cosθ2)] 222
- 223. Trigonometria e NúmerosComplexos Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade 4, tem-se: z1. z2 =ρ1. ρ2 [cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)] Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos e somar os argumentos dos complexos. Exemplo: π π Efetue z1. z2 , sendo z1 = 3. cos + i.sen e 3 3 2π 2π z2 = 2.(cos + i.sen ) . 3 3 Solução: Dos complexos retira-se os seguintes dados: π ρ1 = 3 e θ1 = 3 ρ = 2 e θ = 2π 2 2 3 Substituindo-se esses dados em z1. z2 =ρ1. ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)] tem-se: π 2π π 2π z1 .z2 = 3.2. cos + + isen + 3 3 3 3 3π 3π z1 .z2 = 6. cos + isen 3 3 z1 .z2 = 6. (cos π + isenπ ) Divisão Sejam os números complexos z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2 (cosθ2 + isenθ2) com z2 ≠ 0 Unidade 5 223
- 224. Universidade do Sulde Santa Catarina Efetuando a divisão entre z1 e z2, tem-se: z1 z1 z2 ρ1 .(cos θ1 + isenθ1 ) ρ 2 (cos θ 2 − isenθ 2 ) = . = . z2 z2 z2 ρ 2 (cos θ 2 + isenθ 2 ) ρ 2 (cos θ 2 − isenθ 2 ) ( 2 z1 ρ1 .ρ 2 . cos θ1 .cos θ 2 − cos θ1 .isenθ 2 + isenθ1 cos θ 2 − i senθ1senθ 2 = ) z2 ( ) ρ 2 .ρ 2 . cos 2 θ 2 − i 2 .sen 2θ 2 z1 ρ1 . cos θ1 .cos θ 2 + senθ1senθ 2 + i (senθ1 cos θ 2 − cos θ1 .senθ 2 ) = z2 ρ2 z1 ρ1 = . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) z2 ρ 2 Como você observa, novamente utilizam-se as transformações trigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que: z1 ρ1 = . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) z2 ρ 2 Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrair os argumentos dos complexos. Exemplo: Sendo z1 = 12(cos40º+isen40º) e z2 = 2(cos10º+isen10º), calcule z1 . z2 Solução: Dos complexos retira-se os seguintes dados: ρ1 = 12 e θ1 = 40º ρ 2 = 2 e θ 2 = 10º z ρ Substituindo esses dados em 1 = 1 . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) , tem-se: z2 ρ 2 z1 12 = . cos (40º −10º ) + i.sen (40º −10º ) z2 2 z1 = 6 (cos 30º +isen30º ) z2 224
- 225. Trigonometria e NúmerosComplexos Potenciação Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ). Tem-se que: z2 = z.z z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ) Lembre-se que na multiplicação de números complexos, na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos. Então, se escreve: z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) Para z3 pode-se escrever: z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ) z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ) Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado ao expoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente. É possível generalizar estes resultados por meio do teorema demonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre: Teorema: Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ). Unidade 5 225
- 226. Universidade do Sulde Santa Catarina Retrospectiva Histórica Figura 5.10: Moivre www.swlearning.com/.../bio8.2.html Acesso em 25/07/06. Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667 em Vitry-le-François, em Champagne na França. Era um matemático famoso pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria e pelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em 1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreu em 27 de novembro de 1754 em Londres. Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre” Acesso em 25/07/06. Exemplos: 1) Determine (1+i) 8. Solução: Inicialmente devemos escrever o complexo na forma trigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e o argumento. 226
- 227. Trigonometria e NúmerosComplexos Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 1 1 cos θ = sen θ = 2 2 2 2 cos θ = sen θ = 2 2 π Logo, θ = 45º ou θ = rad . 4 Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica: ( z = 2 . cos 45 + i sen 45 ) Logo: ( 2 ) .(cos 8.45º +i sen 8.45º ) 8 z8 = z 8 = 24 .(cos 360º + i sen 360º ) z 8 = 16 . (1 + i.0 ) z 8 = 16 Dessa forma, (1+i) 8 = 16. ( 3 − i) ? 10 2) Qual é o valor de Solução: Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se o módulo e o argumento. Unidade 5 227
- 228. Universidade do Sulde Santa Catarina Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ( 3 ) + (−1) 2 2 ρ= ρ = 3 +1 ρ= 4 ρ =2 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 3 -1 cos θ = sen θ = 2 2 11π Logo, θ = 330º ou θ = rad pois, como você observa, fez-se a 6 redução ao primeiro quadrante. Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica: ( z = 2. cos 330 + i sen 330 . ) Logo: z10 = 210 .(cos10.330º +i sen 10.330º ) z10 = 1024.(cos 3300º + i sen 3300º ) z10 = 1024.(cos 60º +i sen60º ) 1 3 z10 = 1024 + i 2 2 z10 = 512 + 512 3 i ( 3 − i ) = 512 + 512 10 Dessa forma, 3 i. 228
- 229. Trigonometria e NúmerosComplexos Radiciação Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo, tal que: (zk) n = z. Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z. Veja alguns exemplos: 1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4. Solução: Deve-se mostrar que (zk) 4 = z. Tem-se que: (zk) 4 = (1+i) 4 Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência. Para isso, calcula-se o módulo e o argumento. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 1 1 cos θ = sen θ = 2 2 2 2 cos θ = sen θ = 2 2 π Logo, θ = 45º ou θ = rad . 4 Unidade 5 229
- 230. Universidade do Sulde Santa Catarina Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica: ( zk = 2 . cos 45 + i sen 45 ) Logo: ( 2 ) .(cos 4.45º +i sen 4.45º ) 4 (zk ) 4 = (zk ) = 22.(cos180º + i sen 180º ) 4 (zk ) = 4 . (-1 + i.0 ) 4 (zk ) = -4 4 Então, 1+i é a raiz quarta de -4. 2) Encontre as raízes quadradas de z = 4 + 4 3 i . Solução: Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica. Para isso, calcula-se o módulo e o argumento. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ( ) 2 ρ = 42 + 4 3 ρ = 16 + 16.3 ρ = 64 ρ =8 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 4 4 3 cos θ = sen θ = 8 8 1 3 cos θ = sen θ = 2 2 230
- 231. Trigonometria e NúmerosComplexos π Logo, θ = 60º ou θ = rad . 3 Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica: π π z = 8. cos + i sen 3 3 Note que o problema é encontrar zk ∈ tal que (zk) 2 = z. Escrevendo-se zk=ρ.(cosθ + i senθ). Logo: (zk) 2 = z 2 π π ρ . (cos θ + i sen θ ) = 8. cos + i sen 3 3 Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem: π π ρ 2 .(cos 2θ + i sen 2θ ) = 8. cos + i sen 3 3 Essa igualdade se estabelece quando: ρ2 = 8 e 2θ = π + k.2π , k ∈ Z 3 ρ =2 2 π θ= + k.π , k ∈ Z 6 Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros para k: π π π Se k=0, θ = , pois temos θ = + 0.π = . 6 6 6 Logo: π π z0 = 2 2 cos + isen 6 6 3 1 z0 = 2 2 2 + i. 2 z0 = 6 + 2 i 7π π π 7π Se k=1, θ = , pois θ = + 1.π = + π = . 6 6 6 6 Unidade 5 231
- 232. Universidade do Sulde Santa Catarina Logo: 7π 7π z1 = 2 2 cos + isen 6 6 − 3 1 z1 = 2 2 2 − i. 2 z1 = − 6 − 2 i Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fez- se redução ao primeiro quadrante. π 13π Se k=2, temos que θ = + 2.π = . 6 6 13π Perceba que é um arco côngruo a π e, dessa forma, o 6 6 número complexo que seria encontrado coincidiria com o complexo z0, a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessário atribuir outros valores para k. Finalizando, as duas raízes quadradas de z = 4 + 4 3 i são z0 = 6 + 2 i e z1 = − 6 − 2 i . Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula: θ + k .2π θ + k .2π , onde n é o índice da raiz zk = n ρ cos + i.sen n n procurada. Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre. Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão. Note o exemplo a seguir: 3) Determinar as raízes cúbicas de z=8. Solução: Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é: θ + k .2π θ + k .2π zk = n ρ cos + i.sen n n 232
- 233. Trigonometria e NúmerosComplexos Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 82 + 0 2 ρ = 64 ρ =8 Cálculo do argumento: a b cos θ = sen θ = ρ ρ 8 0 cos θ = sen θ = 8 8 cos θ = 1 sen θ = 0 Logo θ = 0 . Portanto a forma trigonométrica do complexo é z = 8(cos 0 + isen0) . Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma: θ + k .2π θ + k .2π zk = n ρ cos + i.sen n n 0 + 2 kπ 0 + 2 kπ zk = 3 8 cos + i.sen 3 3 2 kπ 2 kπ zk = 2. cos + i.sen 3 3 O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe: k = 0 ⇒ z0 = 2. (cos 0 + isen0 ) = 2. (1 + i.0 ) = 2 2π 2π 1 3 k = 1 ⇒ z1 = 2. cos + isen = 2. − + i = −1 + 3i 3 3 2 2 4π 4π 1 3 k = 2 ⇒ z2 = 2. cos + isen = 2. − − i 2 = −1 − 3i 3 3 2 Unidade 5 233
- 234. Universidade do Sulde Santa Catarina Representação geométrica: Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8 Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre uma circunferência, pois temos que as imagens das n raízes de um número complexo, para n ≥ 3, são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos numa circunferência de centro na origem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que r = 38 =2. A Física com os Números Complexos Os números complexos são muito úteis para realizar operações geométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha com grandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, a correspondência entre as operações com os números complexos e as transformações geométricas são muito úteis. Representação Vetorial Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo do número complexo z=a+bi. Este ponto individualiza um vetor com origem em z = 0. 234
- 235. Trigonometria e NúmerosComplexos Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi O número complexo z pode ser concebido como o segmento orientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pela translação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i. Figura 5.13: Representação do complexo z = 3+3i Unidade 5 235
- 236. Universidade do Sulde Santa Catarina As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais. Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7). Figura 5.14: Adição de números complexos Multiplicar um número complexo por i, corresponde a girar 90º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem desse complexo. Acompanhe o exemplo: (5+2i).i = 5i + 2i2 = -2 +5i Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15: Figura 5.15: Representação do complexo z = -2+5i 236
- 237. Trigonometria e NúmerosComplexos Conheça agora como surgiram os números complexos. Retrospectiva Histórica Os números complexos surgiram em meados do século XVI com o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando a fórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações do tipo x 3 + ax + b = 0. A equação resolvida foi x 3 − 15 x − 4 = 0 , que aplicando a fórmula de b a3 b2 3 b a3 b2 Cardano x = 3 − + + + − − + ele 2 27 4 2 27 4 obteve o seguinte resultado: x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121 . A existência de um radicando negativo era um sinal de que o problema que gerou essa equação não teria solução. Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação x3 − 15 x − 4 = 0 , que x=4 era uma solução. Embora considerando impossível a existência de −121 , Bombelli teve que admitir a utilidade desse número como ferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever −121 de outra forma: −121 = 121. (−1) = 11. −1 . Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízes quadradas de números negativos; fazendo ( −1 ) =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardano 2 funcionava perfeitamente em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus resultados. Assim, passou a desenvolver regras para operar com esses novos entes matemáticos, chamando-os de “números fictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou “números imaginários”. Foi Euler, mais tarde, que substituiu −1 pela letra i, dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto numérico: O conjunto dos números complexos. Unidade 5 237
- 238. Universidade do Sulde Santa Catarina Síntese Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece um novo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos. É importante que você tenha percebido que, no conjunto estudado, os números apresentam duas representações: algébrica e trigonométrica. Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidas são adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adição e subtração, mas trabalha-se com a radiciação. Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, com certeza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão para o desenvolvimento de suas atividades como profissional da educação. É importante que você verifique, no EVA, se suas atividades estão todas prontas e revisadas. Atividades de auto-avaliação 1) Resolva as equações no universo dos números complexos: a) x2 + 4 = 0 b) x2 – 4 x + 5 = 0 238
- 239. Trigonometria e NúmerosComplexos 2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ . 3) Determine x e y, para que o número complexo z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja: a) um número real. b) Um número imaginário puro. 4) Calcule: a) (2 + 3i) + (2 – i) b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) 2 1 c) + i − − i + (4 − 2i ) 3 2 Unidade 5 239
- 240. Universidade do Sulde Santa Catarina 5) Efetue: a) (2 – i).(1 + 3i) 1 1 b) + i . − i 2 2 c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i) 6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi: −2 + i a) 2i 4 + 2i b) 2 − 2i (1 + i ) 2 c) 2−i 3 7) Qual o conjugado do número complexo z = ? 1 + 2i 240
- 241. Trigonometria e NúmerosComplexos 8) Determine o valor real de x para que o produto (12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real. 9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab. 10) Calcule a e b reais de modo que i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi . 11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*. (2 + i )101.(2 − i )50 12) Simplificando , obtém-se: (−2 − i )100 .(i − 2) 49 Unidade 5 241
- 242. Universidade do Sulde Santa Catarina i 38 + (10 − i ).i 3 13) Se z = , determine ρ 2 . (1 − i ) 2 k + 2i 14) Se k é um número real e o argumento de z = é 45º, então calcule |z|. 3 − 2i 15) Seja o número complexo z = (x – 2i) 2, no qual x é um número real. Se o argumento de z é 270º, então calcule 1 . z 16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1. 242
- 243. Trigonometria e NúmerosComplexos 17) Sendo z1= 4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2. 18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor de z2 ? z1 19) Calcule: a) (1 – i) 6 100 1 3 2 2 i b) − + Unidade 5 243
- 244. Universidade do Sulde Santa Catarina 20) Calcule: a) As raízes quadradas de z = 2 + 3i . b) As raízes quartas de z=-4. Desafios em números complexos 1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i) 2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: 2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i) 200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é: 244
- 245. Trigonometria e NúmerosComplexos 3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono? Saiba mais Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre os conteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa na Internet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Para isso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações de Números Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações. Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meio da ferramenta Exposição. Unidade 5 245
- 247. Para concluir oestudo Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar uma mensagem para você, futuro professor de Matemática, realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados, no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula. O exercício de sua futura profissão requer o conhecimento de todos os conteúdos de Matemática estudados no seu curso, porém, você deve ir além dos conteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereça ao aluno oportunidades para uma educação de qualidade. Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégias metodológicas, relacionadas com o uso de diferentes mídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessa disciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modo geral, em especial softwares educacionais. O uso de softwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma, inova o ensino da Matemática. Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para sua formação. Sucesso!!!
- 249. Sobre os professoresconteudistas Eliane Darela Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Administração e Matemática. É, também, professora de Matemática do Ensino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989. Paulo Henrique Rufino Especialista em Matemática Superior pela Fundação Educacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos da Matemática, Licenciatura em Química, Administração, Tecnologia em Gestão de Agronegócios e Gestão Estratégica das Organizações. É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplina Matemática Financeira. Atua, também, como professor de Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede Pública Estadual, desde 1991. Rosana Camilo da Rosa Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Química Industrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência da Computação e Matemática. É professora do Ensino Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISUL e, também, atua como professora de Matemática no Ensino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989.
- 251. Respostas e comentáriosdas atividades de auto-avaliação Unidade 1 1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º. Solução: Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é o a retângulo, tem-se  = 30 , , AC = a , HC = e AH = h . 2 No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras para obtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º. 2 2 2 a a = h + 2 2 a a2 − = h2 4 2 3a = h2 4 a 3 h= 2
- 252. Universidade do Sulde Santa Catarina a cat.oposto 2 1 sen 30º = = = hipotenusa a 2 a 3 cat.adj 3 cos 30º = = 2 = hipotenusa a 2 a cat.oposto 1 1 3 3 tg 30º = = 2 = = . = cat.adj a 3 3 3 3 3 2 a 3 cat.oposto 2 = 3 sen 60º = = hipotenusa a 2 a cat.adj 1 cos 60º = = 2 = hipotenusa a 2 a 3 cat.oposto 2 = 3 tg 60º = = cat.adj a 2 2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC? Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se: ∧ B = 30o , cat.oposto = 18 , cat.adj. = c e hipotenusa = a . 252
- 253. Trigonometria e NúmerosComplexos Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidas solicitadas no problema. 18 1 18 sen 30º = ⇒ = ⇒ a = 36 a 2 a c 3 c cos 30º = ⇒ = ⇒ 2c = 36 3 ⇒ c = 18 3 36 2 36 3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo: a) Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidas solicitadas x e y, tem-se: 9 cos 60º = x 1 9 = 2 x x = 18 y sen 60º = x 3 y = 2 18 y=9 3 b) 253
- 254. Universidade do Sulde Santa Catarina Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidas solicitadas x e y, dessa forma, tem-se: 2 3 sen 60º = y 3 2 3 = 2 y y=4 2 3 tg 60º = x 2 3 3= x x=2 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: Reescrevendo o trapézio, tem-se: Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe: 13 cos 45º = x 2 13 = 2 x 26 2 x= . 2 2 x = 13 2 254
- 255. Trigonometria e NúmerosComplexos Agora, para encontrar o valor de y tem-se: y tg 45º = 13 y 1= 13 y = 13 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a; b) O valor de b; c) A medida do segmento AD. a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja: a tg 25º = 100 a 0, 466 = 100 a = 46, 6 b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente: 46, 6 tg 70º = b 46, 6 2, 75 = b 46, 6 b= 2, 75 b = 17 255
- 256. Universidade do Sulde Santa Catarina c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma: AD = AB – DB AD = 100 - b AD = 100 – 17 AD = 83 6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo: Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão cosseno no ∆ADB: 4 cos 45º = DB 2 4 = 2 DB DB 2 = 8 8 2 DB = . 2 2 DB = 4 2 Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC. 2 2 x tg 30º = sen30º = y 4 2 1 x 3 2 2 = = 2 4 2 3 y 2x = 4 2 y 3=6 2 x=2 2 6 2 3 y= . 3 3 y=2 6 256
- 257. Trigonometria e NúmerosComplexos 7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Observando a figura, tem-se que: ∧ ∧ A D C = 120º , logo C = 30º dessa forma o ∆ADC é isósceles. Assim, pode-se escrever que AD = DC = 40cm . Logo, o ∆BDC é retângulo retângulo. Portanto, x sen 60º = 40 3 x = 2 40 x = 20 3 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa a largura do rio: 257
- 258. Universidade do Sulde Santa Catarina O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos: 60 3 tg 60º = d 60 3 3= d d = 60m Logo, a largura do rio é de 60 metros. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? Note que, de acordo com a figura para resolver este problema, usaremos a razão tangente: h tg 64º = 30 h 2, 05 = 30 h = 30.2, 05 h = 61,50m Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros. 10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 258
- 259. Trigonometria e NúmerosComplexos De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representa a distância procurada: Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para a resolução do problema: x sen 45º = 4 2 x = 2 4 2x = 4 2 x = 2 2km A distância procurada é de 2 2 km . 11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura do prédio e x a distância do estudante ao prédio: Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se: ∧ B D C = 120º log o ^ B = 30º 259
- 260. Universidade do Sulde Santa Catarina Dessa forma, CD = DB = 20m . O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno para o cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x: h x sen60º = cos 60º = 20 20 3 h 1 x = = 2 20 2 20 2h = 20 3 x = 10 h = 10 3 Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m de distância do prédio. 12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm . Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC é um triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e a medida de um de seus lados. x 3 3 = sen 45º sen 60º x.sen 60º = 3 3.sen 45º 3 3 3. 2 x. = 2 2 x=3 2 13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que: ^ ^ MP= 10 2 cm; med( M )=60º e med( P )=75º. 260
- 261. Trigonometria e NúmerosComplexos Usando o teorema angular de Tales, temos: ^ ^ ^ ^ ^ R + M + P = 180º ⇒ R + 60º +75º = 180º ⇒ R = 45º Aplicando a Lei dos Senos, temos: 10 2 x = sen 45º sen 60º x.sen 45º = 10 2.sen 60º 2 3 x. = 10 2. 2 2 x = 10 3 14) Determine o valor de x na figura abaixo: Usando o teorema angular de Tales, temos: ^ ^ ^ A+ B + C = 180º ^ 105º + B + 30º = 180º ^ B = 180º −135º ^ B = 45º Aplicando a Lei dos Senos, temos: x 5 2 = sen 45º sen 30º x.sen 30º = 5 2.sen 45º 1 2 x. = 5 2. 2 2 x = 10 261
- 262. Universidade do Sulde Santa Catarina 15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD? No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer, onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo. x 2 = 12 + 22 − 2.1.2.cos 60º 1 x 2 = 1 + 4 − 4. 2 2 x = 5−2 x2 = 3 x= 3 No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC, para podermos calcular o perímetro. a tg 30º = 3 3 a = 3 3 3a = 9 a =1 3 cos 30º = b 3 3 = 2 b b=2 P = AD + DC + CB + BA P = 1+ 2 +1+ 2 P=6 262
- 263. Trigonometria e NúmerosComplexos 16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Usando o teorema angular de Tales, temos: ∧ ∧ ∧ A+ B + C = 180º ∧ 60º +75º + C = 180º ∧ C = 45º Aplicando a Lei dos senos, temos: x 18 2 = sen60º sen 45º x.sen 45º = 18 2.sen60º 2 3 x. = 18 2. 2 2 x = 18 3 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menor ângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 263
- 264. Universidade do Sulde Santa Catarina Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos: x 2 = 82 + 82 − 2.8.8.cos 60º 1 x 2 = 64 + 64 − 128. 2 x 2 = 64 + 64 − 64 x 2 = 64 x = 8cm 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto Demonstração b) o ângulo  for obtuso Demonstração 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto Demonstração b) o ângulo  for obtuso Demonstração Desafios na Trigonometria 1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c? 7c 3a = 7c ⇒ a = 3 3b = 8c ⇒ b = 8c 3 264
- 265. Trigonometria e NúmerosComplexos Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A 2 2 7c 8c 2 8c ∧ = + c − 2. .c.cos A 3 3 3 ∧ 49c 2 64c 2 16c 2 .cos A = + c2 − 9 9 3 ∧ 49c 2 = 64c 2 + 9c 2 − 48c 2 .cos A ∧ 49c 2 − 73c 2 = −48c 2 .cos A ∧ −24c 2 = −48c 2 .cos A ∧ 24 cos A = 48 ∧ 1 cos A = 2 ∧ A = 60º 2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? De acordo com o enunciado do problema, temos: 265
- 266. Universidade do Sulde Santa Catarina Aplicando a Lei dos cossenos, temos: x 2 = 502 + 802 − 2.50.80.cos 60º 1 x 2 = 2500 + 6400 − 8000. 2 x 2 = 8900 − 4000 x 2 = 4900 x = 70m Unidade 2 1) Expresse em graus (º): a) 5π rad 3 b) 4π rad 3 c) 7π rad 6 π d) rad 9 Solução: Para transformar de radiano para graus, basta substituir π rad por 180º . 1.a) 5π rad 3 5.180º = 5.60º = 300º 3 1.b) 4π 4.180º rad = = 4.60º = 240º 3 3 1.c) 7π 7.180º rad = = 7.30º = 210º 6 6 1.d) π 180º rad = = 20º 9 9 266
- 267. Trigonometria e NúmerosComplexos 2) Expresse em radianos(rad): a) 20º b) 315º c) 120º d) 67º30´ Solução: π Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por rad . 180º 2.a) 20º π π 20º. rad = rad 180º 9 2.b) 315º π 35π 7π 315º. rad = rad = rad 180º 20 4 2.c) 120º π 2π 120º. rad = rad 180º 3 2.d) 67º 30´ 1º → 60´ 67º → x 67º.60′´ x= = 4020′ 1º Logo, 67º 30´= 4020´+30´= 4050´ . 1º → 60´ 180º → y 180º.60′ y= = 10800′ 1º 267
- 268. Universidade do Sulde Santa Catarina Portanto, 10800´→ π rad 4050´→ z 4050′.π z= rad 10800′ 81π z= rad 216 9π z= rad 24 3π z= rad 8 3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14. r = 10cm π = 3,14 C = 2π r C = 2.3,14.10 C = 62,8cm 4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km. Como o diâmetro vale: d= 100cm Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m A distância a ser percorrida é de 14,13km = 14130m e o comprimento de uma roda de bicicleta é igual a C = 2.π . r ⇒ C = 2.3,14.0,5 ⇒ C = 3,14m . Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e o comprimento da roda. 14130 Número de voltas = = 4500 . 3,14 268
- 269. Trigonometria e NúmerosComplexos 5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é: Dados do problema: r = 3cm α = 60º l =? Aplicando a fórmula, temos : 2.π . r.α l= 360º π .α .r l= 180º 3,14.60º.3 l= 180º l = 3,14cm 6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco: a) 1550º Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550º é 110º, que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que a extremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante. b) 95π rad 6 Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: 95π 84π 11π 11π = + = 14π + 6 6 6 6 269
- 270. Universidade do Sulde Santa Catarina Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 95π 11π rad é rad que é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se 6 6 95π concluir que a extremidade do arco de rad está no 4o quadrante. 6 65π c) - rad 6 Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: 65π 60π 5π 4π - =− − = −10π − 6 6 6 6 2π Tem-se que − rad é a primeira determinação negativa do arco e 3 devemos achar a primeira determinação positiva: 2π 4π 2π − = rad 3 3 Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 65π 4π − rad é rad que é um arco do 3o quadrante, logo pode- 6 3 65π se concluir que a extremidade do arco de − rad está no 3o quadrante. 6 7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) -760º Vamos dividir − 760º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim a primeira determinação positiva é 360º-40º=320º. Logo, a expressão geral será: EG=320º+k.360º, k∈Z b) 3120º Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva 270
- 271. Trigonometria e NúmerosComplexos Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º. Logo, a expressão geral será: EG=240º+k.360º, k∈Z 15π c) rad 2 15π 15π 3π Vamos representar o número rad por = 6π + 2 2 2 3π é 1ªdeterminação positiva 2 3π EG = + 2 kπ , k ∈ Z . 2 25π d) - rad 4 25π 25π π Vamos representar o número − por − = −6π − 4 4 4 π Como - rad é a primeira determinação negativa, vamos encontar a1ª determinação positiva: 4 π 8π − π 7π 2π − = = . 4 4 4 7π 25π Logo rad é 1ªdeterminação positiva de − rad 4 4 Assim, a expressão geral será: 7π EG = + 2kπ , k ∈ Z. 4 8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa. Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva. Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa. Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º. 271
- 272. Universidade do Sulde Santa Catarina 9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15π rad. 2 15π 15π 3π Vamos representar o número por = 6π + 2 2 2 3π rad é a primeira determinação positiva . 2 Logo a expressão geral é: 3π EG = + 2kπ ,k ∈ Z. 2 10) Identifique quais pares de arcos são côngruos? π 30π a) rad e rad 3 3 30π Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de rad que é 0 rad, pois . 3 30π rad = 10π + 0 . 3 Logo, esse par de arcos não é côngruo. b) – 30º e 330º Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é 360º-30º=330º. Logo, esse par de arcos é côngruo. c) 2º e 1082º Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, que é 2º, pois, Logo, esse par de arcos é côngruo. 11) Determine: 1 a ) sen 390º = sen(360º +30º ) = sen 30º = 2 2 b) cos 1845º = cos(1800º +45º ) = cos 45º = 2 5π 5π π 3 c) sen = sen 2π − = − sen = − 3 3 3 2 3 d ) sen 600º = sen(360º +240º ) = sen 240º = sen(240º −180º ) = sen 60º = 2 1 e) cos 480º = cos(360º +120º ) = cos120º = cos(180º −120º ) = cos 60º = 2 272
- 273. Trigonometria e NúmerosComplexos Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcos côngruos e a redução ao 1º quadrante. 12) Determine o valor da expressão: a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º A = sen330º −2.cos 0º + sen60º A = sen (360º −330º ) − 2.cos 0º + sen60º A = − sen30º −2.cos 0º + sen60º 1 3 A = − − 2.1 + 2 2 −5 + 3 A= . 2 π b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= . π 2 Substituindo x por , tem-se: 2 π B = sen3 x + cos8 x − cos 2 x para x= 2 π π π B = sen3. + cos8. − cos 2. 2 2 2 3π B = sen + cos 4π − cos π 2 3π B = sen + cos 2π − cos π 2 B = −1 + 1 − (−1) B =1 7π c) C = sen − cos 3π 3 13π sen 6 273
- 274. Universidade do Sulde Santa Catarina Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcos côngruos. 6π π sen + − cos (2π + π ) C= 3 3 12π π sen + 6 6 π sen − cos π C= 3 π sen 6 3 3+2 − (−1) C= 2 = 2 = 3 + 2. 1 1 2 2 Desafios na Trigonometria Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia? Dados do problema: r1=9cm r2=2cm Calcula-se o comprimento da circunferência C2: C2 = 2.π . r C2 = 2.π .2 = 4π cm Observe a figura: 274
- 275. Trigonometria e NúmerosComplexos C1 = 2.π .r C1 = 2.π .9 = 18π Agora encontra-se o valor do arco x: 18π → 360º 4π → x 360º.4π 20º.4 x= = = 80º 18π 1 Logo, o valor do ângulo central é 80º. Unidade 3 1) Determine: 37π 36π π π 3 a ) tg = tg + = tg = 6 6 6 6 3 7π 4π 3π 3π b) cot g = cot g + = cot g =0 2 2 2 2 5π 5π 3π 3π π 1 c ) sec − = sec 2π − = sec = sec π − = − sec = − =− 2 4 4 4 4 4 2 2 31π 24π 7π 7π 7π π 1 d ) cos ec = cos ec + = cos ec = cos ec − π = − cos ec = − = −2 6 6 6 6 6 6 1 2 5π 5π π e ) tg = tg 2π − = −tg = − 3 3 3 3 275
- 276. Universidade do Sulde Santa Catarina π 3π tg .tg − tg 0 2) Qual o sinal da expressão: y = 3 4 . π 5π tg − .tg − 3 6 π 3π tg .tg − tg 0 y= 3 4 π 5π tg − .tg − 3 6 π π tg . −tg − tg 0 3 4 y= 5π 7π tg .tg 3 6 3 . (−1) − 0 y= 1 π π −tg .tg 3 6 − 3 y= 3 − 3. 3 y= 3 3) Determine o valor da expressão: a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= π. π , temos: 2 Substituindo x por 2 3π 8π 2π A = sen + cos − tg 2 2 2 3π A = sen + cos 4π − tgπ 2 A = −1 + 1 − 0 = 0 7π sen − cos 3π b) B = 3 13π tg 6 276
- 277. Trigonometria e NúmerosComplexos 6π π sen + − cos(2π + π ) B= 3 3 12π π tg + 6 6 π sen − cos π B= 3 π tg 6 3 3+2 B= 2 − (−1) = 2 = ( 3 + 2). 3 = ( 3 + 2). 3 . 3 3+ 2 3 = 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3π 5π 4) Que número é maior: tg ou tg ? 4 6 3π π tg = −tg = −1 4 4 5π π 3 tg = −tg = − 6 6 3 Esses valores foram obtidos utilizando redução ao primeiro quadrante. 5π 3π Logo, tg > tg . 6 4 5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções: a ) y = −2 + sen x x b) y = 2.cos 4 c) y = 3 − sen 2 x Neste exercício sugere-se a utilização do software GRAPH 4.1. Observe as análises feitas no exercício 6. 277
- 278. Universidade do Sulde Santa Catarina 6) Analisando os gráficos: y = sen 2 x 278
- 279. Trigonometria e NúmerosComplexos y = 2 + cos x 279
- 280. Universidade do Sulde Santa Catarina x y = tg 2 Responda os itens a seguir: a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas? b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas? c) Em que intervalo a função y = sen 2 x é negativa? d) Em que intervalo a função y = 2 + cos x é positiva? e) Qual o período da função y = tg x? 2 280
- 281. Trigonometria e NúmerosComplexos a) y = sen 2 x D=R y = 2 + cos x D=R x y = tg D = { x ∈ R / x ≠ π + k 2π } 2 b) y = sen 2 x Im = [ −1,1 ] y = 2 + cos x Im = [ 1,3 ] x y = tg Im = ] − ∞ , ∞ [ 2 π 3π c) 2 ;π e 2 , 2π d ) [0; 2π ] e ) P = 2π 7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7. Sabe-se que −1 ≤ sen x ≤ 1 , tem-se: −1 ≤ senx ≤ 1 −1 ≤ 3k − 7 ≤ 1 7 − 1 ≤ 3k − 7 + 7 ≤ 1 + 7 6 ≤ 3k ≤ 8 (÷3) 6 3k 8 ≤ ≤ 3 3 3 8 2≤k ≤ 3 8 Logo: k ∈ R | 2 ≤ k ≤ 3 8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x? f ( x) = 5 + cos x a=5 b =1 a − b = 5 −1 = 4 a + b = 5 +1 = 6 Im = [4, 6] 281
- 282. Universidade do Sulde Santa Catarina 9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação π horária y(t) = 4 + 3.cos t + π , em que t é o tempo transcorrido, 4 em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir: a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH; b) qual o ponto de partida do corpo? O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0: π y (0) = 4 + 3.cos .0 + π 4 y (0) = 4 + 3.cos π y (0) = 1 A extremidade a estava a 1cm da parede. 282
- 283. Trigonometria e NúmerosComplexos c) qual o seu período de oscilação? 2π 2π P= = = 8 segundos m π 4 d) Qual a amplitude do movimento? Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela função do valor mínimo: 7-1 = 6cm. 10) Determine o domínio de cada uma das funções: π a ) y = tg 5 x − 4 π π 5 x − ≠ + kπ 4 2 20 x − π 2π + 4kπ ≠ 4 4 20 x ≠ 3π + 4kπ 3π 4kπ x≠ + 20 20 3π π x≠ +k 20 5 3π π D = {x ∈ IR / x ≠ +k } 20 5 π b) y = cot g x + 2 π x + ≠ kπ 2 π x ≠ − + kπ 2 π D = {x ∈ IR / x ≠ − + kπ } 2 c) y = sec (3 x − π ) π 3x − π ≠ + kπ 2 6 x − 2π π + 2kπ ≠ 2 2 6 x ≠ 3π + 2kπ π π π π x ≠ +k D = {x ∈ IR / x ≠ + k } 2 3 2 3 π d ) y = cos ec 2 x + 3 π 283 2 x + ≠ kπ 3
- 284. Universidade do Sulde Santa Catarina 1 11) Qual o valor de y = tg 2. arccos ? 2 Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar 1 arccos = x e usar a definição. 2 Logo, o arco cujo cosseno vale 1 é x = π rad . 2 3 Portanto, y = tg 2 π 2π = tg =− 3. 3 3 3 12) Encontre o valor de y = tg 2. arcsen . 2 Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar 3 arcsen = x e usar a definição. 2 Logo, o arco cujo seno vale 3 é x = π rad . 2 3 π 2π 2π π Portanto, y = tg 2 = tg = tg π − = −tg = − 3 . 3 3 3 3 3 13) Determine o valor de y = arctg 3 + arctg . 3 Para calcular o valor de y, vamos considerar: 3 arctg 3 = a e arctg =b 3 3 tg a = 3 e tg b = . 3 π π Logo, a = e b = . 3 6 284
- 285. Trigonometria e NúmerosComplexos π π π Portanto, y = + = . 3 6 2 Desafios na Trigonometria 1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função π 3π y(t) = 15 + 5sen t + onde t indica o tempo (em horas) 12 2 decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) no instante t. Detemine: a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH); 285
- 286. Universidade do Sulde Santa Catarina b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperatura ocorreu no primeiro dia de observação. A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se: π 3π y(t) = 15 + 5sen t + 12 2 π 3π y( 12 ) = 15 + 5sen .12 + 12 2 5π y( 12 ) = 15 + 5.sen 2 y( 12 ) = 15 + 5.1 y( 12 ) = 20 A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-se às 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15. 3 1 3 2) (Mack-SP) O valor de tg 5arctg − arcsen pode ser dado 3 4 2 por: a) 0 b) 1 1 c) 2 d) -1 1 e) − 2 3 3 Vamos considerar arctg = a e arcsen = b e aplicando a definição das funções circulares 3 2 3 3 inversas teremos tg a = e senb = . 3 2 π π Logo, a = e b = . 6 3 π 1 π 5π π 3π 3π π Portanto, tg 5. − . = tg − = tg = tg π - = − tg = −1. 6 4 3 6 12 4 4 4 1 1 3) O valor de 2arctg 3 + arcsen + arccos é: 2 2 a) 5π 6 286
- 287. Trigonometria e NúmerosComplexos π b) 2 c) π 6 d) 7π 6 e) π 1 1 Vamos considerar arctg 3 = a,arcsen = b e arccos = c e aplicando a definição das funções 2 2 1 1 circulares inversas, tem - se : tg a = 3 ,senb = e cosc = . 2 2 π π π Logo, a = , b = e c = . 3 6 3 π π π 7π Portanto, 2. + + = rad 3 6 3 6 Unidade 4 1 3π 1) Sabendo que sen x = − e que π < x < , então determine o valor de cos x. 2 2 Para determinarmos o valor do cos x, vamos usar a 1ª relação fundamental da trigonometria. 1 3π senx = − com π <x< cos x = ? 2 2 2 1 1 sen x + cos x = 1 ⇒ cos x = 1 − sen x ⇒ cos x = 1 − − ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ 2 2 2 2 2 2 4 3 3 cos 2 x =⇒ cos x = ± 4 4 Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos: 3 cos x = − . 2 287
- 288. Universidade do Sulde Santa Catarina 3 3π 2) Sabe-se que sen x = − e < x < 2π . Qual o valor da cotg x? 5 2 Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relação fundamental da trigonometria: 3 3π senx = − com < x < 2π cot gx = ? 5 2 cos 2 x = 1 − sen 2 x 2 2 3 cos x = 1 − − 5 9 cos x x = 1 − 25 16 cos 2 x = 25 16 cos x = ± 25 4 cos x = 5 cos x Usaremos, agora, a relação cot gx = para encontrar o valor da cotg x : senx 4 cos x 4 5 4 cot gx = = 5 = . − = − . senx − 3 5 3 3 5 3 π 3) Sabendo que sen x = e < x < π , determine o valor da expressão 2 2 sec 2 x + cos 2 x. 288
- 289. Trigonometria e NúmerosComplexos 3 π senx = com < x <π sec 2 x + cos 2 x = ? 2 2 Calcularemos, primeiramente, o cos x : cos 2 x + sen 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sen 2 x 2 2 3 cos x = 1 − 2 3 cos 2 x = 1 − 4 1 cos 2 x = 4 1 cos x = ± 4 Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que: 1 cos x = − 2 1 Na seqüência, utilizando sec x = , tem − se: cos x 1 sec x = cos x 1 sec x = 1 − 2 sec x = −2 Substituindo os valores encontrados na expressão: 2 2 2 1 2 1 16 + 1 17 sec x + cos x = (−2) + − = 4 + = = . 2 4 4 4 289
- 290. Universidade do Sulde Santa Catarina 4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que sen x = −2 cos x e que π < x <π ? 2 senx = ? cos x = ? π senx = −2 cos x com < x <π 2 Substituindo -2cos x na relação trigonométrica fundamental tem-se: sen 2 x + cos 2 x = 1 (−2 cos x ) 2 + cos 2 x = 1 4 cos 2 x + cos 2 x = 1 5cos 2 x = 1 1 cos 2 x = 5 1 cos x = ± 5 Observando o quadrante do arco x tem-se: 5 cos x = − 5 5 senx = −2.cos x ⇒ senx = −2. − 5 2 5 senx = . 5 5 5) Se sec x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 ( A = 16 cot g 2 x + cos ec 2 x . ) 5 sec x = x ∈1º quadrante A = 16.(cot g 2 x + cos ec 2 x) = ? 3 1 Inicilamente calcula-se o valor do cos x utilizando a relação sec x = : cos x 5 sec x = 3 1 5 = cos x 3 5cos x = 3 3 cos x = 5 290 Agora, calcularemos o sen x: sen 2 x + cos 2 x = 1
- 291. 1 5 = cos x 3 Trigonometria e Números Complexos 5cos x = 3 3 cos x = 5 Agora, calcularemos o sen x: sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 2 3 sen x = 1 − 5 9 sen 2 x = 1 − 25 16 sen 2 x = 25 16 senx = ± 25 4 senx = 5 Conhecendo-se o valor do sen x e cos x, pode-se calcular a cotg x e a cossec x : cos x cot gx = senx 3 3 5 3 cot gx = 5 = . = 4 5 4 4 5 1 cos ecx = senx 1 5 cos ecx = = 4 4 5 Substituindo os valores encontrados na expressão tem-se: A = 16.(cot g 2 x + cos ec 2 x) 3 2 5 2 A = 16. + 4 4 9 25 A = 16. + 16 16 41 A = 16. 16 A = 41. 291
- 292. Universidade do Sulde Santa Catarina 1 π 6) Se sen x = , com 0 ≤ x ≤ , calcule o valor da expressão 3 2 tgx + cot gx y= . sec x − cos x tgx + cot gx Inicialmente, simplifica-se a expressão y = utilizando as relações trigonométricas estudadas: sec x − cos x sen x cos x + y = cos x sen x 1 − cos x cos x sen 2 x + cos 2 x y = sen x.cos x 1 − cos 2 x cos x 2 2 2 2 Como sen x + cos x = 1 e 1 − cos x = sen x , tem-se: 1 y = senx.cos x sen 2 x cos x 1 cos x y= . senx.cos x sen 2 x 1 y= sen3 x Substituindo o valor do sen x, tem-se: 1 1 y= = = 27. 1 3 1 27 3 cos ec 2 x − cos sec x.sec x 1 7) Calcule o valor de y = , dado sen x = . 1 − tgx 4 cos ec 2 x − cos ecx.sec x Inicialmente, simplifica-se a expressão y = 1 − tgx utilizando as relações trigonométricas estudadas: 292
- 293. Trigonometria e NúmerosComplexos cos ec 2 x − cos ecx.sec x y= 1 − tgx 1 1 1 2 − . y = sen x senx cos x senx 1− cos x cos x − senx 2 y = sen x.cos x cos x − senx cos x cos x − senx cos x y= 2 . sen x.cos x cos x − senx Substituindo o valor do sen x, tem-se: 1 1 1 y= = = = 16. 2 sen x 1 2 1 16 4 5 8) Se sec x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x. 5 sec x = x ∈1º quadrante A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x 3 1 Utilizando a relação secx = calcula-se o cosx: cosx 5 sec x = 3 1 5 = cos x 3 5cos x = 3 3 cos x = 5 Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen 2 x + cos 2 x = 1: sen 2 x + cos 2 x = 1 2 2 3 sen x + = 1 5 16 sen 2 x = 25 16 senx = ± 25 4 senx = 5 293 Obtêm-se o valor da cotgx: cos x
- 294. Universidade do Sulde Santa Catarina 9) Determine: a ) sen 105º 3 2 2 1 6+ 2 sen 105º = sen (60º +45º ) = sen 60º.cos 45º + sen 45º.cos 60º = . + . = . 2 2 2 2 4 b) tg 75º 3 3+ 3 1+ tg 45º +tg 30º 3 = 3 = 3 + 3 . 3 + 3 = 12 + 6 3 = 2 + 3. tg 75º = tg (45º +30º ) = = 1 − tg 45º.tg 30º 3 3− 3 3− 3 3+ 3 6 1 − 1. 3 3 c) cos15º 2 3 2 1 6+ 2 cos15º = cos (45º −30º ) = cos 45º.cos 30º + sen 45º.sen30º = . + . = . 2 2 2 2 4 294
- 295. Trigonometria e NúmerosComplexos 3 π 10) Sabendo que sen x = e que < x < π , calcule o valor de π 5 2 cos + x . 3 3 π π senx = com < x <π cos + x = ? 5 2 3 Inicialmente calcula-se o valor do cosx: sen 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sen 2 x 2 3 cos 2 x = 1 − 5 9 cos 2 x = 1 − 25 16 cos 2 x = 25 16 cos x = ± 25 4 cos x = − 5 Utilizando a fórmula da adição cos(a + b) = cos a.cos b - sen a.sen b : π π π cos + x = cos .cos x − sen .senx 3 3 3 π 1 4 3 3 cos + x = . − − . 3 2 5 2 5 π −4 − 3 3 cos + x = . 3 10 295
- 296. Universidade do Sulde Santa Catarina 11) Calcule o valor numérico da expressão cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) y= . cos( x − 60º ) + sen(30º − x) cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) y= cos( x − 60º ) + sen(30º − x) cos x.cos 30º − senx.sen30º + cos x.cos 30º + senx.sen30º y= cos x.cos 60º + senx.sen60º + sen30º.cos x − senx.cos 30º 2 cos x.cos 30º y= cos x.sen30º + cos x.sen30º 2 cos x.cos 30º y= 2 cos x.sen30º 3 y= 2 1 2 y = 3. 12) Simplifique a expressão: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) . Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) y = cos120º.cos x − sen120º senx + cos120º.cos x + sen120º.senx y = 2 cos120º.cos x Reduzindo 120º ao primeiro quadrante tem-se: y = 2. (− cos 60º ).cos x 1 y = −2. .cos x 2 y = − cos x 13) Sendo tg x = 5 , calcular tg 2 x. tgx = 5 tg 2 x = ? 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x 2.5 10 10 tg 2 x = 2 = = 1 − 5 1 − 25 −24 5 tg 2 x = − 12 296
- 297. Trigonometria e NúmerosComplexos 1 14) Sabendo que cos x = , calcular cos 2 x. 3 Calcula - se o valor do sen x utilizando relação trigonométrica : sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 2 1 sen x = 1 − 3 1 sen 2 x = 1 − 9 8 sen 2 x = 9 8 senx = ± 9 8 senx = 3 Utilizando a fórmula do arco duplo tem - se : cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2 2 1 8 cos 2 x = − 3 3 1 8 cos 2 x = − 9 9 7 cos 2 x = − . 9 297
- 298. Universidade do Sulde Santa Catarina 1 15) Se sen x − cos x = , calcule o valor de sen 2 x. 2 1 senx − cos x = sen 2 x = ? 2 Pode - se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe : 2 1 (senx − cos x ) 2 = 2 1 sen 2 x − 2 senx.cos x + cos 2 x = 4 1 sen 2 x + cos 2 x − 2 senx.cos x = 4 Pela relação fundamental tem - se : sen 2 x + cos 2 x = 1 e pela transformação do arco duplo tem - se 2senx.cosx = sen2x, logo pode - se escrever : 1 1 − sen 2 x = 4 1 1 − = sen 2 x 4 3 sen 2 x = 4 1 16) Sendo cot g x = , calcule tg 2 x. 2 1 cot gx = tg 2 x = ? 2 1 cot gx = 2 1 1 = tgx 2 tgx = 2 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x 2.2 tg 2 x = 1 − 22 4 tg 2 x = 1− 4 4 tg 2 x = − 3 298
- 299. Trigonometria e NúmerosComplexos 17) Sendo E = 1 − cos 2 x + 2.cos 2 x calcular E + E 2 + E 3 . E = 1 − cos 2 x + 2 cos 2 x E + E2 + E3 = ? Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se: ( ) E = 1 − cos 2 x − sen 2 x + 2 cos 2 x E = 1 − cos 2 x + sen 2 x + 2 cos 2 x E = 1 + sen 2 x + cos 2 x Pela relação fundamental, tem-se: E = 1+1 = 2 E + E 2 + E 3 = 2 + 22 + 23 = 2 + 4 + 8 = 14. 18) Qual o valor de (tg 10º + cot g 10º ).sen 20º ? Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas: (tg10º + cot g10º ).sen20º = sen10º cos10º (tg10º + cot g10º ).sen20º = + .sen (2.10º ) cos10º sen10º Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se: sen 210º + cos 2 10º (tg10º + cot g10º ).sen20º = .2 sen10º.cos10° sen10º.cos10º 1 (tg10º + cot g10º ).sen20º = .2.sen10º.cos10º sen10º.cos10º (tg10º + cot g10º ).sen20º = 1.2 (tg10º + cot g10º ).sen20º = 2. 299
- 300. Universidade do Sulde Santa Catarina 19) Se tg x + cot g x = 4 , então quanto vale sen 2 x ? Utilizando as relações trigonométricas tem-se: tgx + cot gx = 4 sen 2 x = ? senx cos x + =4 cos x senx sen 2 x + cos 2 x 4.senx.cos x = senx.cos x senx.cos x 2 2 sen x + cos x = 4.senx.cos x Pela relação trigonométrica tem-se: 1 = 4.senx.cos x 1 senx.cos x = 4 Sabendo que sen2 x = 2.senx.cos x , pode-se substituir o resultado obtido acima: 1 sen 2 x = 2. 4 1 sen 2 x = . 2 2 20) Sendo a + b = 45º e tg a = , calcule tg b . 3 Utilizando a fórmula tg(a + b), tem-se: tga + tgb tg (a + b ) = 1 − tga.tgb 2 + tgb tg 45º = 3 2 1 − .tgb 3 2 + tgb 1= 3 2 1 − .tgb 3 2 2 1 − .tgb = + tgb 3 3 3 − 2tgb 2 + 3tgb = 3 3 3 − 2tgb = 2 + 3tgb 3 − 2 = 3tgb + 2tgb 5tgb = 1 1 tgb = . 5 300
- 301. Trigonometria e NúmerosComplexos 21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π . sen 2 x + senx − 2 = 0 0 ≤ x ≤ 2π Observe que esta equação representa uma equação do 2o grau cuja a incógnita é sen x, portanto pode - se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação : ∆ = 12 − 4.1.(−2 ) ∆ = 1+ 8 = 9 −1 ± 9 senx = 2.1 −1 ± 3 senx = 2 4 2 sen x = − = −2 e sen x = = 1 2 2 Como −1 ≤ senx ≤ 1 então senx = 1 π Portanto, x= 2 π S = 2 22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 . 301
- 302. Universidade do Sulde Santa Catarina 23) Determine o conjunto solução da equação sen 2 x − sen x = 0 sendo 0 ≤ x ≤π. sen 2 x − senx = 0 0≤ x ≤π sen 2 x − senx = 0 Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se: 2 senx.cos x − senx = 0 Colocando-se senx em evidência, tem-se: senx. (2 cos x − 1) = 0 Aplicando a lei do anulamento,tem − se: senx = 0 1 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = 2 Observando o intervalo de definição, tem-se: senx = 0 ⇒ x = 0 ou x =π 1 π cos x = ⇒x= 2 3 π S = 0, , π . 3 24) Resolva em IR a equação: π π 2 sen x + + sen x − = 3 3 2 302
- 303. Trigonometria e NúmerosComplexos 25) Sendo x ∈ [0, 2π [ encontre o conjunto solução das seguintes inequações: 1 a) sen x < − 2 7π 11π S = {x ∈ IR / <x< } 6 6 2 b) cos x ≥ − 2 3π 5π S = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ ou ≤ x ≤ 2π } 4 4 303
- 304. Universidade do Sulde Santa Catarina c) tg x ≤ 1 π π 5π 3π S = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ ou < x ≤ ou < x < 2π } 4 2 4 2 3 d) cos x < 2 π 11π S = {x ∈ IR / <x< } 6 6 304
- 305. Trigonometria e NúmerosComplexos Desafios na Trigonometria 1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π , tais que (sen x + cos x ) = 1 é: 2 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Maior que 5 (senx + cos x ) 2 0 ≤ x ≤ 2π =1 Desenvolvendo o quadrado da soma, temos: sen 2 x + 2 senx.cos x + cos 2 x = 1 (sen x + cos x )+ 2.senx.cos x = 1 2 2 1 + 2 senx.cos x = 1 2 senx.cos x = 0 2 senx = 0 ou cos x = 0 senx = 0 onde tem-se x = 0, x = π e x = 2π cos x = 0 π 3π tem-se x = e x = 2 2 π 3π Logo a solução é S = 0, , π , , 2π . 2 2 Portanto o número de soluções é 5. cos 2 x 2) No intervalo 0 ≤ x < 2π , a equação = sen x , apresenta exatamente: 1 + sen x a) uma única solução. b) duas soluções. c) três soluções. d) quatro soluções. e) cinco soluções. 305
- 306. Universidade do Sulde Santa Catarina cos 2 x = sen x 1 + sen x Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se: 1 − sen 2 x = senx 1 + senx Como 1 − sen 2 x é uma diferença de dois quadrados, temos: (1 − senx ). (1 + senx ) (1 − senx ). (1 + senx ) = senx 1 + senx simplificando o fator comum temos : 1 − senx = senx 1 = 2 senx 1 senx = 2 π 5π Logo, os valores que satisfazem a igualdade são e . 6 6 Portanto, são duas soluções. Unidade 5 1) Resolva as equações no universo dos números complexos: a) x2 + 4 = 0 a = 1, b = 0, c = 4 ∆ = b 2 − 4.a.c ∆ = 02 − 4.1.4 ∆ = 0 − 16 = −16 −b ± ∆ x= 2.a −0 ± −16 x= 2.1 0 ± 16. (−1) x= 2 ± 16. −1 x= 2 ±4.i x= 2 306 x1 = +2i x2 = −2i
- 307. −0 ± −16 x= 2.1 0 ± 16. (−1) Trigonometria e Números Complexos x= 2 ± 16. −1 x= 2 ±4.i x= 2 x1 = +2i x2 = −2i S = {2i, −2i} b) x2 – 4 x + 5 = 0 a = 1, b = −4, c = 5 ∆ = (−4 ) − 4.1.5 2 ∆ = 16 − 20 ∆ = −4 −(−4) ± −4 x= 2.1 4 ± 4.(−1) x= 2 4 ± 4. −1 x= 2 4 ± 2.i x= 2 x = 2±i S = {2 + i, 2 − i} 2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ . z 2 - 3iz = 0 z ( z − 3i ) = 0 Ultizando a Lei do Anulamento, tem − se : z=0 ou z − 3i = 0 z = 3i S = {0, 3i} 307
- 308. Universidade do Sulde Santa Catarina 3) Determine x e y, para que o número complexo z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja: a) Um número real. Im( z ) = 0 y2 − 4 = 0 y2 = 4 y=± 4 y = ±2 b) Um número imaginário puro. Re( z ) = 0 e Im( z ) ≠ 0 4x − 2 = 0 4x = 2 2 x= 4 1 x= 2 2 y −4≠ 0 y2 ≠ 4 y≠± 4 y ≠ ±2 4) Calcule: a) (2 + 3i) + (2 – i) (2 + 3i) + (2- i) = 2 + 3i + 2 − i = 4 + 2i . b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) = 6 − i + 5 − 2i − 4 − 2i = 7 − 5i . c) 2 + i − 1 − i + 4 − 2i ( ) 3 2 2 1 + i − − i + (4 − 2i ) = 3 2 2 1 2 1 4 − 3 + 24 25 + i − + i + 4 − 2i = − + 4 = = . 3 2 3 2 6 6 308
- 309. Trigonometria e NúmerosComplexos 5) Efetue: a) (2 – i).(1 + 3i) (2 − i ).(1 + 3i ) = 2 + 6i − i − 3i 2 = 2 + 6i − i + 3 = 5 + 5i . 1 1 b) + i . − i 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1+ 4 5 . − i . + i = − i + i − i = + 1 = = 2 2 4 2 2 4 4 4 c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i) (1 + i ).(2 − i ) .(1 + 2i ) = 2 − i + 2i − i 2 .(1 + 2i ) = [2 − i + 2i + 1].(1 + 2i ) = (3 + i ).(1 + 2i ) = 3 + 6i + i + 2i 2 = 3 + 6i + i − 2 = 1 + 7i. 6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi: −2 + i (−2 + i ) −2i 4i − 2i 2 4i + 2 1 + 2i a) = . = = = . 2i 2i −2i −4i 2 4 2 2i (4 + 2i ) (2 + 2i ) 8 + 4 ( 2) i 2 2 4+ 2i + 2 2i + 8 + 6 2i − 2 6 + 6 2i b) = . = = = = 1 + 2i. 2i (2 − 2i ) (2 + 2i ) ( 2i ) 2 2− 4− 4+2 6 (1 + i ) 2 1 + 2i + i 2 1 + 2i − 1 2i (2 + i ) 4i + 2i 2 4i − 2 2 4 c) = = = . = 2 = = − + i. 2−i 2−i 2−i (2 − i ) (2 + i ) 4−i 4 +1 5 5 3 7) Qual o conjugado do número complexo z = ? 1 + 2i Inicialmente coloca-se z na forma a + bi: z= 3 . (1 − 2i ) = 3 − 6i = 3 − 6i = 3 − 6 i (1 + 2i ) (1 − 2i ) 1 − 4i 2 1 + 4 5 5 3 6 3 6 Como z = − i ⇒ z = + i. 5 5 5 5 309
- 310. Universidade do Sulde Santa Catarina 8) Determine o valor real de x para que o produto (12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real. Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi: (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12i.( x − 2) − 36i − 2i 2 . (x − 2 ) (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12 xi − 24i − 36i + 2 x − 4 (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 212 + (12 x − 60)i Dessa forma tem-se: Im( z ) = 0 ⇒ 12 x − 60 = 0 12 x = 60 60 x= 12 x=5 9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab. Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se: z + z = 18 z.z = 145 Se z = a + bi, tem − se que z = a − bi. Substituindo no sistema, tem-se: z + z = 18 a + bi + a − bi = 18 2a = 18 a=9 z.z = 145 (a + bi ).(a − bi ) = 145 a 2 − (bi ) = 145 2 92 − b 2i 2 = 145 81 + b 2 = 145 b 2 = 145 − 81 b 2 = 64 b = ± 64 b = ±8 Portanto, o módulo de a.b = 9.( ± 8) = 72. 310
- 311. Trigonometria e NúmerosComplexos 10) Calcule a e b reais de modo que i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi . i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi Aplicando propriedade de potência, tem-se: (i ) + (i ) 125 52 2 2 + 2i1 = a + bi Sabe-se que i 2 = −1, logo: (−1)125 + (−1)52 + 2i = a + bi −1 + 1 + 2i = a + bi 2i = a + bi Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se: a=0eb=2 11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*. Aplicando as propriedades de potência, tem-se: i 8n + 3 = i8 n .i 3 4n i 8n + 3 = (i ) .i 3 2 Sabe - se que i 2 = −1 e i 3 = −i, tem - se: i 8n + 3 = (−1) .( −i ) 4n Observe que (-1)4nsempre será positivo, pois 4n representa um número par . i 8n + 3 = 1.( −i ) i 8n + 3 = −i. 311
- 312. Universidade do Sulde Santa Catarina (2 + i )101.(2 − i )50 12) Simplificando , obtém-se: (−2 − i )100 .(i − 2) 49 Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência de mesma base: (2 + i ) . (2 − i ) 101 50 (2 + i )101.(2 − i )50 = (−1) . (2 + i ) . (−1) . (2 − i ) 100 49 100 100 49 49 (−2 − i ) .(i − 2) (2 + i ) . (2 − i ) 101 50 (2 + i )101.(2 − i )50 = (2 + i ) −1. (2 − i ) 100 49 100 49 (−2 − i ) .(i − 2) (2 + i ) . (2 − i ) 101−100 50 − 49 (2 + i )101.(2 − i )50 = (−2 − i )100 .(i − 2) 49 −1 101 50 (2 + i ) .(2 − i ) = − (2 + i ). (2 − i ) (−2 − i )100 .(i − 2) 49 (2 + i )101.(2 − i )50 100 49 = −(4 − 2i + 2i − i 2 ) (−2 − i ) .(i − 2) (2 + i )101.(2 − i )50 = −(4 + 1) (−2 − i )100 .(i − 2) 49 (2 + i )101.(2 − i )50 = −5. (−2 − i )100 .(i − 2) 49 i 38 + (10 − i ).i 3 13) Se z = 2 , determine ρ 2 . (1 − i ) Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa forma deve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi: i 38 + (10 − i ).i 3 z= (1 − i ) 2 i 2 + 10i 3 − i 4 z= ( 1 − 2i + i 2 ) −1 + 10.(−i ) − 1 z= 1 − 2i − 1 (−2 − 10i ) 2i z= . −2i 2i 2 −4i − 20i z= −4i 2 −4i + 20 z= 4 z = 5−i a = 5 e b = −1, logo: 312 z = 5-i 2 2 2
- 313. (−2 − 10i) 2i z= . −2i 2i 2 Trigonometria e Números Complexos −4i − 20i z= −4i 2 −4i + 20 z= 4 z = 5−i a = 5 e b = −1, logo: z = 5-i ρ 2 = a 2 + b2 ρ 2 = 52 + (−1) 2 ρ 2 = 25 + 1 = 26 Portanto, ρ 2 = 26. k + 2i 14) Se k é um número real e o argumento de z = é 45º, então calcule |z|. 3 − 2i Inicialmente escreve-se z na forma a + bi: z= (k + 2i ). (3 + 2i ) = 3k + 2ki + 6i + 4i 2 = (3k − 4) + (2k + 6)i (3 − 2i ) (3 + 2i ) 9 − 4i 2 9+4 3k − 4 2k + 6 z= + i 13 13 Como o argumento principal é 45° , tem − se : Re( z ) = Im( z ) 3k − 4 2k + 6 = 13 13 3k − 4 = 2k + 6 3k − 2k = 6 + 4 k = 10 Substituindo o valor de k em z, tem-se: z = 2 + 2i z = a 2 + b2 z = 22 + 22 z = 8=2 2 Portanto, z = 2 2 313
- 314. Universidade do Sulde Santa Catarina 15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se o 1 argumento de z é 270º, então calcule . z Inicialmente escreve-se z na forma a + bi: z = ( x − 2i )2 z = x 2 − 4 xi + 4i 2 z = ( x 2 − 4 ) − 4 xi Como o argumento principal é 270o , tem - se que z é um número imaginário puro e negativo. Logo , Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0 x2 − 4 = 0 x2 = 4 x=± 4 x = ±2 Para , x = 2, tem - se: z = (2 2 − 4 ) − 4.2i = ( 4 − 4 ) − 8i = −8i Para , x = -2, tem - se: z = ((-2)2 − 4 ) − 4.( −2 )i = ( 4 − 4 ) + 8i = 8i Portanto , z = −8i. Logo 1 1 8i 8i 8i i = . = 2 = = . z −8i 8i −64i 64 8 16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1. f ( z) = 2z 2 + 4z + 5 f (i − 1) = 2(i − 1) 2 + 4(i − 1) + 5 f (i − 1) = 2(i 2 − 2i + 1) + 4i − 4 + 5 f (i − 1) = 2(−1 − 2i + 1) + 4i + 1 f (i − 1) = 2.(−2i ) + 4i + 1 f (i − 1) = −4i + 4i + 1 f (i − 1) = 1. 314
- 315. Trigonometria e NúmerosComplexos 17) Sendo z1=4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2. z1 ⇒ ρ1 = 4 e θ1 = 10 z2 ⇒ ρ 2 = 2 e θ 2 = 20 z1.z2 = ρ1.ρ 2 cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 ) z1.z2 = 4.2 cos(10 + 20 ) + i.sen(10 + 20 ) z1.z2 = 8. cos 30 + i.sen30 3 1 z1.z2 = 8. + i. 2 2 8 3 8 z1.z2 = + i 2 2 z1.z2 = 4 3 + 4i. 18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor de z2 ? z1 z1 ⇒ ρ1 = 2 e θ1 = 30o z2 ⇒ ρ 2 = 4 e θ 2 = 60o z2 ρ 2 = . cos (θ 2 − θ1 ) + i.sen (θ 2 − θ1 ) z1 ρ1 z2 4 = . cos( 60o − 30o ) + i.sen( 60o − 30o ) z1 2 z2 = 2. cos 30o + i.sen30o z1 z2 3 1 = 2. + i. z1 2 2 z2 2 3 2 = + i z1 2 2 z2 = 3 + i. z1 315
- 316. Universidade do Sulde Santa Catarina 19) Calcule: a) (1 – i) 6 3 3 (1 − i ) = (1 − i ) = 1 − 2i + i 2 = [1 − 2i − 1] = (−2i ) = −8i 3 = −8.(−i ) = 8i 6 2 3 3 b) 100 1 3 2 2 i − + 1 3 z = − +i 2 2 1 3 n = 100 , a = − , b = 2 2 ρ = a 2 + b2 2 2 1 3 1 3 ρ = − + = + =1 2 2 4 4 1 − a 1 cos θ = ⇒ cos θ = 2 = − ρ 1 2 3 b 3 sen θ = ⇒ sen θ = 2 = ρ 1 2 θ = 120o z n = ρ n .[cos( nθ ) + i.sen( nθ )] ( ) z100 = 1100 . cos 100.120o + i.sen( 100.120o ) z100 = cos 12000o + i.sen12000o Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 o : z100 = cos 120o + i.sen120o Faz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120 o z100 = − cos 60o + i.sen60o 1 3 z100 = − + i. 2 2 316
- 317. Trigonometria e NúmerosComplexos 20) Calcule: a) As raízes quadradas de z = 1 + 3i . z = 1 + 3i a =1e b = 3 ρ = a 2 + b2 ( 3) 2 ρ = 12 + ρ = 1+ 3 = 4 = 2 a 1 cos θ = ⇒ cos θ = ρ 2 b 3 sen θ = ⇒ sen θ = ρ 2 π Logo, θ = 60o = rad 3 π π z = 2.(cos + i.sen ) 3 3 As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula: π π + 2 kπ + 2 kπ zk = 2 . cos 3 + i.sen 3 com k ∈ {0,1} 2 2 π π 3 1 6 2 k = 0 ⇒ z0 = 2 . cos + i.sen = 2 . + i. = + i. 6 6 2 2 2 2 7π 7π 3 1 6 2 k = 1 ⇒ z1 = 2 . cos + i.sen = 2 . − − i. = − − i. 6 6 2 2 2 2 317
- 318. Universidade do Sulde Santa Catarina b) As raízes quartas de z=-4. z = −4 a = −4 e b = 0 ρ = a 2 + b2 (−4 ) 2 ρ= + 02 ρ = 16 + 0 = 4 a −4 cos θ = ⇒ cos θ = = −1 ρ 4 b 0 senθ = ⇒ senθ = = 0 ρ 4 Logo, θ = π z = 4.(cos π + i.senπ ) As raízes quartas de z são dadas pela fórmula: π + 2 kπ π + 2 kπ z k = 4 4. cos + i.sen com k ∈ {0, 1, 2, 3} 4 4 π π 2 2 k = 0 ⇒ z 0 = 2 . cos + i.sen = 2. + i = 1+ i 4 4 2 2 3π 3π 2 2 k = 1 ⇒ z1 = 2. cos + i.sen = 2. − + i = −1 + i 4 4 2 2 5π 5π 2 2 k = 2 ⇒ z2 = 2. cos + i.sen = 2. − − i = −1 − i 4 4 2 2 7π 7π 2 2 k = 3 ⇒ z3 = 2. cos + i.sen = 2. − i = 1− i 4 4 2 2 318
- 319. Trigonometria e NúmerosComplexos Desafios em números complexos 1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: Aplicando as propriedades de potência: (2i ) n (1 + i ) 2 n = −16i n (2i ) + (1 + i ) = −16i n 2 ( ) = −16i n (2i ) n + 1 + 2i + i 2 (2i ) + (1 + 2i − 1) = −16i n n (2i ) + (2i ) = −16i n n 2. (2i ) = −16i n (2i ) = −8i n (2i ) = 23.(−i) n Lembrando que -i = i3 , tem-se: (2i ) = 23.i 3 n (2i ) = (2i)3 ⇒ n = 3 n 2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i) 200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é: 100 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = (−i ) 2 + ( 4 + 2i − 2i − i 2 ) + ( −i ) 100 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = i 2 + 4 +1− i (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = (−1) + 5 − i 100 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = 1 + 5 − i (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = 6 − i. 319
- 320. Universidade do Sulde Santa Catarina 3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono? z6 = 1 z = 61 z =1 Calcula-se o módulo e o argumento de z: ρ = 1 ⇒ θ = 0 Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se: kπ kπ zk = cos + i.sen 3 3 Então: k = 0 ⇒ z 0 = cos 0 + i.sen0 = 1 π π 1 3 k = 1 ⇒ z1 = cos + i.sen = + i 3 3 2 2 2π 2π 1 3 k = 2 ⇒ z2 = cos + i.sen =− + i 3 3 2 2 k = 3 ⇒ z3 = cos π + i.senπ = −1 4π 4π 1 3 k = 4 ⇒ z4 = cos + i.sen =− − i 3 3 2 2 5π 5π 1 3 k = 5 ⇒ z5 = cos + i.sen = − i 3 3 2 2 Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus: 1 3 1 3 1 3 1 3 (1,0); , ; − , ; (−1, 0 ); − , − 2 2 2 2 2 e ,− 2 2 2 Observe a figura: 320
- 321. Trigonometria e NúmerosComplexos Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular o lado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos no plano. Vamos escolher dois vértices consecutivos: (1,0) e 1 , 3 2 2 (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 d= 2 2 1 3 d = − 1 + − 0 2 2 2 2 1 3 d = + 2 2 1 3 d= + 4 4 d = 1. Cálculo da Área do hexágono: 3 2 3 A= 2 Tem-se que d = , onde é a medida do lado do hexágono, logo: 3.12 3 A= 2 3 3 A= u.a. 2 321
- 323. Referências BOYER, C. B.História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda. 1996. CARMO, Manfredo P. Trigonometria e Números Complexos. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, RJ. DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2004. FLEMMING, D.M. e GONÇALVES, M.B. - Cálculo A -Funções Limite Derivação Integração. São Paulo: Makron Books, 1992, 617 p. FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER, Christian – Tópicos de Matemática Elementar. Palhoça: Unisul Virtual, 2005, 246p. FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. , volume 1/ Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano; tradução Paulo Boschcov. Saão Paulo: Addison Wesley, 2002. GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José R., GIOVANNI Jr, José R. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002. GUELLI, O. Contando a História da Matemática: dando corda na trigonometria. Vol 6. São Paulo: Ática, 2003, 64p. IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: Trigonometria. Vol 3. São Paulo: Atual, 1993. IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: Complexos, polinômios e equações. Vol 6. São Paulo: Atual, 1993. HISIANG, W. Funções Trigonométricas e Leis da Trigonometria. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, nº 23, p. 23-24, 1993. KENNEDY, Edward S. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria. São Paulo: Atual, 1994. NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 4. São Paulo: Saraiva, 2000.
- 324. Universidade do Sulde Santa Catarina NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 9. São Paulo: Saraiva, 2000. PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2004, vol 2 e 3. ZAPIROLLO, Maria Jose Couto de Vasconcelos. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha. CANDIDO, Suzana Laino. Matemática – Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 324
- 325. Trigonometria e NúmerosComplexos Anexo – Tabela de Razões Trigonométricas 325