Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
1. O documento contém uma lista de exercícios sobre radicais. Inclui cálculos, simplificações e operações com radicais.
2. São propostos problemas envolvendo extração de raiz quadrada, cubica e outras potências de radicais, representação em forma de potência fracionária, multiplicação, divisão e outras operações.
3. Também inclui questões sobre perímetro de figuras e valor numérico de expressões algébricas envolvendo radicais.
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre o Teorema de Tales, incluindo exemplos resolvidos e exercícios propostos para o leitor. O Teorema de Tales estabelece que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os segmentos correspondentes são proporcionais. A lista apresenta vários problemas geométricos envolvendo razões e proporções para serem resolvidos usando este teorema.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
Lista carinhosamente preparada aos colegas com cerca de 70 exercícios e grande diversidade. Através dela é possível preparar várias sequências didáticas em diversos níveis.
O documento apresenta o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos determinados em uma reta transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra reta transversal, quando cortadas por um feixe de retas paralelas. Exemplos e exercícios ilustram a aplicação do teorema na resolução de problemas geométricos.
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
1) O documento apresenta 8 questões sobre funções lineares. As questões fornecem gráficos de funções lineares e pedem a representação algébrica correspondente.
2) As questões abordam conceitos como função linear, coeficiente angular, interseção com o eixo y e representação algébrica y=ax+b.
3) O documento é um teste sobre funções lineares, com ênfase na interpretação gráfica e correspondência com a representação algébrica.
1. O documento contém uma lista de exercícios sobre radicais. Inclui cálculos, simplificações e operações com radicais.
2. São propostos problemas envolvendo extração de raiz quadrada, cubica e outras potências de radicais, representação em forma de potência fracionária, multiplicação, divisão e outras operações.
3. Também inclui questões sobre perímetro de figuras e valor numérico de expressões algébricas envolvendo radicais.
Este documento fornece uma lista de exercícios sobre o Teorema de Tales, incluindo exemplos resolvidos e exercícios propostos para o leitor. O Teorema de Tales estabelece que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os segmentos correspondentes são proporcionais. A lista apresenta vários problemas geométricos envolvendo razões e proporções para serem resolvidos usando este teorema.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego do século VII a.C. que observou que os raios solares chegavam paralelos à Terra e desenvolveu o Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal é igual à razão dos segmentos correspondentes na outra reta. Tales aplicou esse princípio para medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé, formando triângulos semelhantes com a sombra projetada. O Teorema de Tales tem
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
O documento ensina sobre equações do 1o grau usando exemplos de pesagem de alimentos. Mostra como equilibrar os lados de uma equação para determinar o peso desconhecido de cada item, como 150g para cada pote de mel e 4g para cada bloco de manteiga. Explica que operações feitas em um lado devem ser feitas no outro para manter a igualdade da equação.
Lista de exercícios equações fracionárias e sistema de inequaçõesluisresponde
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações e sistemas de inequações fracionárias. Inclui resolução de equações, determinação de conjuntos-solução e valores de expressões.
2) A segunda questão pede para calcular o valor de uma expressão dada a solução de uma equação fracionária.
3) A última questão é um desafio que pede para calcular o tempo restante para encher um tanque dado o tempo de enchimento de 4 torneiras.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de trigonometria para o 1o ano do ensino médio.
2. Os exercícios envolvem aplicações da lei dos seno, lei dos cossenos e fórmula trigonométrica da área em problemas geométricos.
3. Os problemas incluem cálculos de comprimentos, ângulos e áreas de triângulos dados os lados ou ângulos.
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosEverton Moraes
Este documento apresenta questões sobre geometria espacial, incluindo conceitos como retas, planos, paralelismo, perpendicularidade e suas relações. As questões abordam a determinação de retas e planos a partir de pontos, as propriedades geométricas de figuras no espaço como cubos, e identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre os conceitos apresentados.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
1. O documento contém vários exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos regulares. Inclui cálculos de medidas de ângulos, classificação de triângulos, casos de congruência e propriedades de polígonos.
Este documento apresenta os conceitos básicos de quadriláteros. Define quadriláteros como formados por quatro segmentos de reta que se interceptam apenas nas extremidades. Classifica-os em paralelogramos, que possuem dois pares de lados paralelos, e trapézios, que possuem um par de lados paralelos. Detalha propriedades e tipos notáveis de cada, como retângulos, losangos e quadrados para paralelogramos, e trapézios isósceles, escalenos e retângulos para trap
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
O documento apresenta vários exemplos de identificação de pontos em um plano cartesiano através de suas coordenadas. As questões descrevem cidades, pontos turísticos, hospitais e outros locais e pedem para identificar as coordenadas correspondentes a esses pontos no plano cartesiano.
1. O documento apresenta exercícios sobre círculos e circunferências, incluindo identificar segmentos de círculos, pontos internos e externos, calcular diâmetros, circunferências e distâncias percorridas.
2. Um dos exercícios calcula o valor de x para um diâmetro de 5x + 4 e raio de x + 12, encontrando x = 20/3.
3. É calculada a circunferência percorrida por uma pessoa em 6 voltas em uma roda gigante de 125m de diâmetro, que é de
Este documento apresenta os conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Discute os quatro casos de congruência de triângulos e como determinar se triângulos são congruentes ou semelhantes. Também introduz o Teorema de Tales sobre proporcionalidade de segmentos cortados por retas paralelas.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
1. A média das idades de um time de basquete é 28,2 anos. Quando o pivô de 23 anos é substituído por um jogador de 17 anos, a nova média passa a ser menor que a original.
2. A altura média de 4 ocupantes de um carro era Y. Quando 2 pessoas de altura total 2,25m saíram, a média remanescente foi 1,6m, ou seja, 0,2m menor que Y.
3. A média aritmética de 40 números era 48. Após remover os números 46 e 23,
O documento descreve conceitos fundamentais de geometria plana relacionados a circunferências, círculos e suas partes. Entre os tópicos abordados estão: definição de circunferência e seus elementos como raio, diâmetro e centro; propriedades dos ângulos centrais e inscritos; posições relativas de retas em relação a circunferências; e relações entre circunferências.
O documento ensina sobre equações do 1o grau usando exemplos de pesagem de alimentos. Mostra como equilibrar os lados de uma equação para determinar o peso desconhecido de cada item, como 150g para cada pote de mel e 4g para cada bloco de manteiga. Explica que operações feitas em um lado devem ser feitas no outro para manter a igualdade da equação.
Lista de exercícios equações fracionárias e sistema de inequaçõesluisresponde
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações e sistemas de inequações fracionárias. Inclui resolução de equações, determinação de conjuntos-solução e valores de expressões.
2) A segunda questão pede para calcular o valor de uma expressão dada a solução de uma equação fracionária.
3) A última questão é um desafio que pede para calcular o tempo restante para encher um tanque dado o tempo de enchimento de 4 torneiras.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de trigonometria para o 1o ano do ensino médio.
2. Os exercícios envolvem aplicações da lei dos seno, lei dos cossenos e fórmula trigonométrica da área em problemas geométricos.
3. Os problemas incluem cálculos de comprimentos, ângulos e áreas de triângulos dados os lados ou ângulos.
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
Geometria de Posição e Métrica - ExercíciosEverton Moraes
Este documento apresenta questões sobre geometria espacial, incluindo conceitos como retas, planos, paralelismo, perpendicularidade e suas relações. As questões abordam a determinação de retas e planos a partir de pontos, as propriedades geométricas de figuras no espaço como cubos, e identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre os conceitos apresentados.
Este documento contém 20 questões sobre polígonos convexos regulares e suas propriedades, como número de lados, diagonais, medidas de ângulos internos e externos. As questões abordam cálculos e raciocínios para identificar características de diferentes polígonos a partir de informações fornecidas.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
O documento descreve a evolução histórica dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais usados para contar e evoluindo para os números inteiros, racionais e reais. Os conjuntos numéricos são representados graficamente em uma reta real.
O documento apresenta 12 questões sobre polígonos regulares, incluindo questões sobre o número de lados, diagonais e medidas de ângulos internos e externos de polígonos como hexágono, heptágono, decágono e dodecágono. O gabarito no final fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 12 exercícios sobre cálculo de áreas, volumes e diagonais de paralelepípedos retângulos e cubos. Os exercícios envolvem determinar medidas como diagonais, áreas totais e volumes a partir de informações como dimensões das arestas, diagonais ou áreas das faces.
1. O documento contém vários exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos regulares. Inclui cálculos de medidas de ângulos, classificação de triângulos, casos de congruência e propriedades de polígonos.
Este documento apresenta os conceitos básicos de quadriláteros. Define quadriláteros como formados por quatro segmentos de reta que se interceptam apenas nas extremidades. Classifica-os em paralelogramos, que possuem dois pares de lados paralelos, e trapézios, que possuem um par de lados paralelos. Detalha propriedades e tipos notáveis de cada, como retângulos, losangos e quadrados para paralelogramos, e trapézios isósceles, escalenos e retângulos para trap
O documento apresenta uma lista de 18 exercícios sobre funções quadráticas. Os exercícios incluem calcular raízes, determinar valores de funções para valores específicos de x, identificar gráficos e vértices de funções quadráticas, e resolver problemas envolvendo máximos e mínimos. Há também um gabarito no final com as respostas para os exercícios.
Este documento apresenta 30 exercícios de aplicação do Teorema de Pitágoras para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos e não retângulos. Os exercícios envolvem cálculos de lados, alturas, distâncias e comprimentos relacionados a situações geométricas e arquitetônicas.
O documento apresenta vários exemplos de identificação de pontos em um plano cartesiano através de suas coordenadas. As questões descrevem cidades, pontos turísticos, hospitais e outros locais e pedem para identificar as coordenadas correspondentes a esses pontos no plano cartesiano.
1. O documento apresenta exercícios sobre círculos e circunferências, incluindo identificar segmentos de círculos, pontos internos e externos, calcular diâmetros, circunferências e distâncias percorridas.
2. Um dos exercícios calcula o valor de x para um diâmetro de 5x + 4 e raio de x + 12, encontrando x = 20/3.
3. É calculada a circunferência percorrida por uma pessoa em 6 voltas em uma roda gigante de 125m de diâmetro, que é de
Este documento apresenta os conceitos de congruência e semelhança de triângulos. Discute os quatro casos de congruência de triângulos e como determinar se triângulos são congruentes ou semelhantes. Também introduz o Teorema de Tales sobre proporcionalidade de segmentos cortados por retas paralelas.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
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O documento apresenta conceitos de semelhança de triângulos e suas aplicações, incluindo:
1) A definição de semelhança de triângulos e a razão de semelhança;
2) O Teorema Fundamental da Semelhança e seus exemplos;
3) Casos especiais de semelhança de triângulos.
Este documento fornece informações sobre um plano de aula de matemática do 7o ano. Contém sete temas: 1) Posições relativas de retas e planos, 2) Triângulos, 3) Critérios de igualdade de triângulos, 4) Ângulos, 5) Paralelogramos, 6) Paralelogramos particulares, 7) Áreas e volumes de sólidos. Fornece definições-chave, atividades e exercícios para cada tema.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria plana como pontos, retas, segmentos, ângulos e suas propriedades.
2. São definidos ângulos, ângulos congruentes, bissetriz de um ângulo, retas perpendiculares, medidas de ângulos, tipos de ângulos e pares de ângulos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal.
3. Propriedades importantes de pares de ângulos são apresentadas como ângulos de lados paralelos e perpendiculares, e
2ª prova gab 8ano unid2_geometria_2011Joelson Lima
1) O documento apresenta um gabarito de uma prova de geometria com 10 questões sobre conceitos geométricos como retas paralelas e perpendiculares, ângulos, translações, simetrias, congruência de triângulos e quadriláteros, e circunferências.
2) As questões abordam identificação e classificação de elementos geométricos, cálculo de ângulos, relacionamento entre figuras geométricas e propriedades dos quadriláteros.
3) O aluno deverá saber reconhe
O documento discute propriedades geométricas de triângulos e quadrilateros. Apresenta definições de elementos notáveis de triângulos como circuncentro, baricentro, incentro e ortocentro. Também define trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados. Por fim, aborda a divisão da circunferência em partes iguais e a construção de polígonos regulares.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
Este documento é uma apostila de geometria que resume os principais tópicos de geometria plana e noções básicas de geometria espacial. A apostila contém 10 seções que abordam ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculos, áreas de figuras planas e noções de geometria espacial, além de questões objetivas e discursivas com respostas. O documento é assinado pelo professor Paulo Soares Batista.
Este documento apresenta definições e propriedades de figuras geométricas no espaço como diedros, triedros, poliedros convexos e prisma. Inclui conceitos como natureza, elementos e seções destas figuras tridimensionais.
1) O documento discute os fundamentos da geometria vetorial e introduz o conceito de vetor no plano, definindo segmentos orientados e a relação de equipolência entre eles.
2) É apresentada a história do desenvolvimento da noção de vetor, desde os trabalhos iniciais de Bernard Bolzano no século XIX até as publicações de Giusto Bellavitis e a definição formal de vetor.
3) O documento inclui objetivos, conceitos e uma proposição para determinar quando dois segmentos orientados são equipolentes com base em seus pontos
O documento discute a introdução à demonstração em geometria, incluindo:
1) A importância de desenvolver a visão espacial dos alunos através da geometria.
2) Ensinar demonstrações para preparar os alunos para raciocínio dedutivo.
3) Uma série de atividades para os alunos praticarem conceitos geométricos e desenvolver habilidades de demonstração.
1. O documento discute o conceito de semelhança em geometria, explicando que figuras são semelhantes quando têm a mesma forma e ângulos correspondentes iguais, com lados correspondentes proporcionais.
2. Polígonos e triângulos semelhantes são definidos e discutidas propriedades como perímetros e lados proporcionais.
3. O teorema fundamental da semelhança é apresentado, estabelecendo que uma reta paralela a um lado de um triângulo determina um triângulo semel
O documento apresenta vários teoremas geométricos, incluindo: 1) Teorema de Tales, que estabelece que a razão entre segmentos de retas transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes de outra reta paralela; 2) Teorema da bissetriz interna, que divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes; 3) Semelhança de triângulos quando possuem ângulos correspondentes congruentes ou lados proporcionais.
O documento discute propriedades de quadriláteros, incluindo: 1) Trapézios têm ângulos opostos que somam 180° e diagonais congruentes em trapézios isósceles; 2) Paralelogramos têm ângulos opostos congruentes e lados opostos congruentes; 3) Retângulos são paralelogramos com diagonais congruentes; 4) Losangos são paralelogramos com diagonais perpendiculares; 5) Quadrados têm lados e ângulos congruentes.
1) O documento apresenta as informações iniciais sobre a disciplina de Geometria Analítica, incluindo horários, ementa e bibliografia.
2) A Geometria Analítica foi inicialmente desenvolvida por Descartes e Fermat e relaciona equações algébricas a objetos geométricos.
3) Vetores são representados geometricamente por segmentos orientados no plano ou espaço e possuem módulo, direção e sentido.
1) O documento contém uma série de exercícios de matemática sobre geometria e álgebra. Inclui questões sobre triângulos congruentes, proporcionalidade, polígonos regulares e suas propriedades.
2) Pede para completar tabelas relacionando o tamanho do lado de um quadrado com seu perímetro e área, identificando situações de proporcionalidade direta.
3) Apresenta um gráfico relacionando comprimentos reais e ampliados de objetos sob microscópio, pedindo para identificar imag
1) O documento apresenta vários problemas de geometria que envolvem conceitos como triângulos congruentes, ângulos, proporcionalidade direta e indireta, polígonos regulares e suas propriedades.
2) É pedido para completar tabelas que relacionam o tamanho de um lado de um quadrado com seu perímetro e área, identificando situações de proporcionalidade direta.
3) A função h(x) representada no gráfico relaciona comprimentos reais e ampliados de forma proporcional direta, com const
1) O documento apresenta vários problemas de geometria que envolvem conceitos como triângulos congruentes, ângulos, proporcionalidade direta e indireta, e polígonos regulares.
2) É pedido para completar tabelas sobre perímetro e área de quadrados em função da medida do lado, e identificar situações de proporcionalidade.
3) A função h(x) representada no gráfico relaciona comprimentos reais e ampliados de amostras de sangue sob microscópio.
Este documento apresenta o terceiro fascículo do Procefet-2008, que contém questões comentadas e resolvidas do Exame de Seleção Técnico de Nível Médio de 2006, além de um simulado com questões de Português, Matemática, Cidadania e uma proposta de produção textual. O fascículo destaca a importância de organizar o tempo de estudo e buscar ajuda quando tiver dúvidas.
O documento discute o problema do lixo eletrônico e como ele é gerenciado. Em três frases:
O lixo eletrônico está se acumulando em grandes quantidades e pode ser reutilizado, exportado ilegalmente para países em desenvolvimento ou incinerado, liberando substâncias tóxicas. A melhor solução é promover o design verde e a produção de eletrônicos livres de substâncias tóxicas.
O documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de matemática, dividido em duas partes:
1) Aritmética em N, que inclui tópicos como sistema de numeração decimal e não decimal, operações algébricas e funções;
2) Geometria Plana, abordando conceitos geométricos como ângulos, polígonos, círculos e suas propriedades.
Este documento apresenta um número especial da Revista do Professor de Matemática destinado ao Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Contém vários artigos e atividades sobre tópicos matemáticos do ensino fundamental e médio, incluindo problemas, jogos e demonstrações. As atividades propostas no início visam trabalhar operações aritméticas e visualização espacial de figuras para que os alunos possam "fazer matemática".
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
O documento fornece informações sobre diversos tópicos relacionados ao vestibular. Resume os principais pontos sobre eletroquímica, biologia, matemática, corrupção na educação, cotas raciais e organização do ENEM.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo:
1) Sistema de coordenadas cartesianas e localização de pontos no plano.
2) Noções de quadrantes, bissetrizes e distância entre pontos.
3) Condições para alinhamento de três pontos no plano.
O texto é acompanhado por exemplos resolvidos e exercícios propostos sobre os tópicos apresentados.
O documento é um jornal que discute assuntos relacionados ao vestibular, incluindo literatura, português, redação e ciências. Ele fornece informações sobre professores que ensinam esses assuntos e sobre um estudo que mostra que aumentar a carga horária de aulas melhora o aprendizado dos alunos.
1) O documento apresenta os principais conceitos da lógica matemática, incluindo noções de proposições, tabela verdade, operações lógicas e conectivos.
2) São definidos proposições simples e compostas, valores lógicos verdadeiro e falso, e apresentadas as regras para construção de tabelas verdade.
3) São explicados os principais conectivos lógicos - negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional - e suas respectivas tabelas verdade.
Este documento fornece informações sobre o curso de Trigonometria e Números Complexos oferecido pela Universidade do Sul de Santa Catarina (Unisul). Ele apresenta os créditos do curso, a ementa, os objetivos gerais e específicos, a carga horária e a equipe responsável pelo curso.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento fornece informações sobre:
1) O professor Avelino discutirá projeções cartográficas;
2) O professor Bruno Balbino descreverá o imperialismo;
3) O professor Blênio Marcos definirá fontes de energia.
Trigonometria estuda o cálculo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo. Explica como a trigonometria permite medir distâncias que não são diretamente acessíveis, como a distância da Terra à Lua, e é usada em engenharia, cartografia e outras áreas. Apresenta as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente e cotangente, e descreve suas características e como representá-las graficamente.
O documento é um jornal que discute diversos tópicos relacionados a vestibulares e educação, incluindo: 1) Uma professora de inglês que simplifica a língua; 2) Um professor de espanhol que faz interpretação de textos; 3) Mudanças propostas no Enem de 2009 para evitar vazamentos; 4) O programa de distribuição de computadores para professores.
O documento apresenta técnicas algébricas como fatoração, frações algébricas e racionalização para resolver equações. Inclui exemplos de fatoração de expressões, diferença de quadrados, trinômio perfeito e exercícios para praticar estas técnicas.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
O documento apresenta o planejamento de uma recuperação final de Matemática para alunos do 8o ano do Colégio Visconde de Porto Seguro. O planejamento inclui um roteiro de estudos, listas de exercícios, revisão dos principais conteúdos, aulas para tirar dúvidas e uma prova de recuperação.
1) O documento apresenta exemplos de cálculos matemáticos elementares como frações, porcentagem e regra de três utilizados em operações comuns na engenharia civil, como cálculo de materiais para construção.
2) São fornecidos cinco exemplos de problemas para serem resolvidos utilizando os conceitos apresentados, incluindo cálculo de quantidade de tijolos e custo de obra, áreas de piso e grama, fabricação de escadas e dosagem de concreto.
3) A tabela de Custo Unitário
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Atividade - Letra da música "Tem Que Sorrir" - Jorge e MateusMary Alvarenga
A música 'Tem Que Sorrir', da dupla sertaneja Jorge & Mateus, é um apelo à reflexão sobre a simplicidade e a importância dos sentimentos positivos na vida. A letra transmite uma mensagem de superação, esperança e otimismo. Ela destaca a importância de enfrentar as adversidades da vida com um sorriso no rosto, mesmo quando a jornada é difícil.
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
livro para professor da educação de jovens e adultos analisarem- do 4º ao 5º ano.
Livro integrado para professores da eja analisarem, como sugestão para ser adotado nas escolas que oferecem a educação de jovens e adultos.
livro em pdf para professores da educação de jovens e adultos dos anos iniciais ( alfabetização e 1º ano)- material excelente para quem trabalha com turmas de eja. Material para quem dar aula na educação de jovens e adultos . excelente material para professores
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Ap geometria plana resolvidos
1. Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas
Apostila de Matemática # 3
Assunto:
Geometria Plana
Organização: PET-CT
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2. 1 - INTRODUÇÃO
Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-ExaCTa, projeto que foi idealizado
pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O
projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,
física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o
projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-
las.
Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se
tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor
aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em
capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e
exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é
extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que
forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos
professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida. Na nossa apostila,
trataremos de assuntos bem interessantes, como tudo na matemática. Estudaremos retas,
ângulos, polígonos, etc. São conteúdos que servem de base para toda a geometria. É
fundamental que todos se esforcem (e se divirtam!) para que cada conteúdo seja fixado
corretamente.
2 - SEGMENTO DE RETA
2.1- Noções Primitivas e Conceitos
Ponto: Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. A marca de uma
ponta de lápis no papel dá a idéia do que é um ponto.
Reta: Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
Pontos colineares:São pontos que pertencem a uma mesma reta.
Plano: Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Pontos coplanares: São pontos que pertencem ao um mesmo plano.
Os pontos A,B e C são coplanares pois todos pertencem
ao mesmo plano α.
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3. Exercício Resolvido
Classifique como verdadeiras(V) ou falsas(F) as sentenças abaixo:
a)Por um ponto passam infinitas retas
b)Por dois pontos distintos passa uma reta
c)Uma reta contém dois pontos distintos
d)Dois pontos distintos determinam uma só reta
e)Por três pontos dados passa uma só reta
Solução: V/V/V/V/F
2.2- Segmentos de reta – Conceitos.
Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião desses dois pontos com o conjunto
dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Sendo assim, o segmento de reta
é limitado por dois pontos da reta.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se a extremidade de
um deles é também extremidade do outro.
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se
possuem em comum apenas uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internos
comuns.
AD e DB são consecutivos, colineares e adjacentes.
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.
Obs:"~" é o símbolo de congruência( AB~CD).
Ponto médio de um segmento: Um ponto M é o ponto médio do segmento AB somente
se M está entre A e B e AM=MB.
Semirreta: A semirreta possui origem, mas é ilimitada no outro sentido, isso é, possui
início, mas não tem fim.
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4. Exercício Resolvido
Determine x, sendo M ponto médio de AB.
Solução
2x-3=x+4
2x-x=4+3
x=7
3- ÂNGULOS
3.1- Definições
Definição: Denomina-se ângulo a figura geométrica constituída por duas semi-retas de
mesma origem.
Indica-se: AÔB = α ou Ô = α .
A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (1º).
Bissetriz de um ângulo
Uma semi-reta OB interna a um ângulo AÔC é bissetriz do ângulo AÔC se, e somente
se:
AÔB=BÔC
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5. Exercício Resolvido
Se OP é bissetriz de AÔB, determine x:
Solução
3x-5=2x+10
3x-2x=10+5
x=15°
3.2- Tipos de Ângulos
3.2 a) Ângulos Consecutivos
Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados.
AÔB e AÔC são consecutivos. OA é o lado comum.
AÔC e BÔC são consecutivos. OC é o lado comum.
AÔB e BÔC são consecutivos. OB é o lado comum.
3.2 b) Ângulos Adjacentes
Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retas
opostas. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos
internos comuns.
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
3.2 c) Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)
Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um dele são as
respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Note que duas retas concorrentes
determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.
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6. 3.2 d) Ângulos Complementares
Dois Ângulos cujas medidas somam 90°.
3.2 e) Ângulos Suplementares
Dois Ângulos cujas medidas somam 180°.
3.2 f) Ângulos Replementares
Dois Ângulos cujas medidas somam 360°.
OBS.: Se indicarmos a medida de um ângulo por x, então:
90°-x é a medida do seu complemento
180°-x é a medida do seu suplemento
360°-x é a medida do seu replemento
Exercício Resolvido
Ao resolver um problema em que se pedia a medida do complemento de um certo ângulo,
um aluno calculou a medida do suplemento, encontrado, assim, um valor sete vezes
maior que o solicitado. Se indicarmos a medida do ângulo por x, então x é igual a:
180°-x=7(90°-x)
180-x=630-7x
6x=450°
x=75°
3.2 g)Ângulo reto
3.2 h)Ângulo agudo
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7. 3.2 i)Ângulo obtuso
Exercício Resolvido
Calcule o valor de x sabendo que o ângulo SÔR é reto.
Solução
4x+3x+2x=90°
9x=90°
x=10°
Exercícios
1)Classifique em V ou F:
a)Três pontos distintos são sempre colineares
b)Três pontos distintos são sempre coplanares
c)Quatro pontos todos distintos determinam duas retas
d)Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta
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8. e)Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares
2)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:
a)100°
b)144°
c)36°
d)80°
3)Determine AB sendo M o ponto médio.
4)Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66° ?
5)Determine o valor de α:
6)Determine PQ, sendo AB=31
7)Determine o valor de x:
8)Determine o valor de x:
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9. Respostas
1) a)F b)V c)F d)V e)F
2)A
3)42
4)123°
5)60°
6)11
7)55°
8)30°
4 – TRIÂNGULOS
4.1 – Conceitos, elementos e classificação
Conceito
No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três
linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e
três ângulos internos que somam 180°. Dados três pontos A, B e C não colineares, a
reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC.
Também representado por: Triângulo ABC = ΔABC, ΔABC = AB U AC U BC
Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do Δ ABC.
Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os
lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A C ou e A B ou são os ângulos do Δ ABC (ou
ângulos internos do Δ ABC).
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10. Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos Â, e são, respectivamente, opostos.
Classificação
a) Quanto aos lados
ΔABC Equilátero ΔRST Isósceles ΔMNP Escaleno
Equilátero ( 3 lados iguais) Isósceles (2 lados iguais) Escaleno (3 lados diferentes)
b) Quanto aos ângulos
ΔABC Retângulo em A ΔDEF Acutângulo ΔMNP Obtusângulo em S
1 ângulo reto (=90°) 3 ângulos agudos(>0°;<90°) 1 ângulo obtuso (>90°;<180°)
4.2 – Congruência de triângulos
Um triângulo é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices de modo que:
Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro;
Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
≈ Â≈Â
≈ ≈ ΔABC ≈ ΔA B C
≈ ≈
1º Caso: L.A.L. (Lado - Ângulo - Lado)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo
compreendido, então eles são congruentes.”
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11. Exemplo:
≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // ≈
2º Caso: A.L.A. (Ângulo – Lado - Ângulo)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a eles
adjacentes, então esses são congruentes.”
Exemplo:
≈ ≈
≈ ΔABC ≈ ΔA B C
3º Caso: L.L.L. (Lado - Lado – Lado)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses são
triângulos são congruentes.”
Exemplo:
≈ // ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C
4º Caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto)
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o
ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:
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12. ≈ // ≈ ΔABC ≈ ΔA B C // Â≈Â
5º Caso: Caso especial de congruência no triângulo retângulo.
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,
então esses triângulos são congruentes.
Exemplo:
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13. Exercício Resolvido
1) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. AB = 2x – 7 // AC= x + 5
Resposta: Como o triângulo é isósceles e, pela definição possui os lados
AB e AC iguais, podemos fazer:
2x – 7 = x + 5
2x – x = 7 + 5
x = 13 u.c
2) Se o ΔABC é isósceles de base , determine x. = 2x -10° // = 30º
Respostas: Sabendo que o triângulo isósceles possui os ângulos da
base com valor semelhante, temos: 2x – 10° = 30° 2x = 30° + 10°
2x = 40° x = 20°
3)
Respostas: Como o triângulo equilátero possui os 3 lados iguais, fazemos:
3x = 75
x = 25 cm
4)
a) b) c) d)
Resposta: a) LAL b)LLL c) LAA d) Caso especial de congruência no triângulo retângulo
4.2.2 – Observação – Desigualdades nos triângulos
a) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não
são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
b) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não
são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
c) A desigualdade triangular
Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois
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14. 4.3 – Pontos notáveis dos triângulos
4.3.1 – Baricentro – (ponto de encontro das medianas)
As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto que
divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o
vértice é o dobro da outra.
4.3.2 – Incentro – (ponto de encontro das bissetrizes internas)
As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto que está a
igual distância dos lados do triângulo.
OBS: O incentro é o centro da circunferência inscrita no ΔABC.
4.3.3 – Circuncentro (ponto de encontro das mediatrizes)
As mediatrizes de um triângulo concorrem para um mesmo ponto
que está a igual distância dos vértices do triângulo.
4.3.4 – Ortocentro - (ponto de encontro das alturas)
As três alturas de um triângulo concorrem para um mesmo ponto.
Exercícios Resolvidos
1)
Respostas: a)V b)V c)V d)V e)F f)F g)F
2) Respostas: a) equilátero b) equilátero
c) retângulo d) obtusângulo
e) obtusângulo f) retângulo
h) acutângulo
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15. 4.4 – Semelhança de triângulos
Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em
pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
Exemplo:
OBSERVAÇÕES:
“Se dois triângulos possuem dois
ângulos ordenadamente congruentes, então
eles são semelhantes”
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16. Se dois lados de um triângulo são
proporcionais aos homólogos de
outro triângulo e os ângulo
compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes"
“Se dois triângulo têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes”
4.5 – Triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras
4.5.1 Diagonal do quadrado
Dado um quadrado de lado a, calcular sua diagonal d.
Sendo ABCD o quadrado de lado a, aplicando o
teorema de Pitágoras no ΔABC, temos?
d² = a² + a² d² = 2 a² d =
4.5.2 Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática,
mostrada a baixo, entre os três lados de qualquer
triângulo retângulo.
a² = b² + c²
Exercícios Resolvidos!
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos
rectângulos:
a) b)
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17. Resolução
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
x² = 12² + 5²
x² = 144 + 25
x² = 169
x=
x = 13
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
7,5² = 4,5² + x²
56,25 = 20,25 + x²
x² = 56,25 – 20,25
x² = 36
x=
x=6
Exercícios
1) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABS é eqüilátero.
2) Se o perímetro de um triangulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, quanto
mede cada um dos outros lados?
3) Determine o valor de x nos casos:
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18. 4) Determine o valor de x nos casos:
5) Determine os valores de x e y nos casos:
6) Considerando congruentes os segmentos com “ marcas iguais”, determine os
valores das incógnitas nos casos:
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19. 5) PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE
5.1) Paralelismo
Duas retas distintas r e s serão ditas paralelas (r//s) quando estiverem no mesmo
plano (coplanares) e não possuírem ponto de interseção, de maneira que, se colocarmos
uma em cima da outra, irão se tornar uma única reta (coincidentes). Veja, a seguir:
Exercício Resolvido
1) Se a reta r é paralela a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes afirmações
são verdadeiras ou falsas:
a) r e s se cortam
b) r e w se cortam
c) s e w se cortam
d) s é paralela a w
e) As três são paralelas entre si
Resposta: F, F, F, V, V
5.2) Perpendicularidade
Duas retas distintas r e s são ditas perpendiculares quando elas são concorrentes,
ou seja, cruzam-se e o ângulo de interseção é um ângulo reto (90º). Veja, a seguir:
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20. Exercício Resolvido
2) Se a reta r é perpendicular a s e a reta r é paralela a w, diga se as seguintes
afirmações são verdadeiras ou falsas:
a) s e w são paralelas
b) r e s se cortam e o ângulo de interseção é 90º
c) s e w se cortam e o ângulo de interseção é 60º
d) r e w não se cortam
e) As três retas se cortam
Resposta: V, V, F, V, F
5.3) Teorema de Tales e Teoremas das Bissetrizes
5.3.1) Teorema de Tales
O Teorema de Tales afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe
de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são
proporcionais. Veja, a seguir:
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21. De acordo com o teorema, teremos a seguinte proporção: o segmento AD está
para o segmento AB, assim como AE está para AC. De maneira que,
Exercícios Resolvidos
1) De acordo com a figura abaixo, calcule o valor de x:
De acordo com o teorema, teremos:
2) Na figura, as retas r, s e t são paralelas, de acordo com Teorema de Tales
determine p valor de x.
De acordo com o teorema, teremos:
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22. 5.3.2) Teorema das Bissetrizes
O Teorema das Bissetrizes é dividido em dois, o das internas e o das externas. O
primeiro diz que, em qualquer triângulo, a bissetriz de um triângulo interno estabelece
no seu lado oposto dois segmentos proporcionais aos lados desse mesmo ângulo.
De acordo com o Teorema da Bissetriz Interna, teremos que o segmento AB está
para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:
Exercícios Resolvidos
1) Seja AG a bissetriz do ângulo CÂB, calcule AB:
De acordo com o teorema, teremos:
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23. 2) Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do
ângulo BÂC.
De acordo com o teorema, teremos:
3) Dado o triangulo ABC, descubra se AD é bissetriz:
Para AD ser bissetriz, é preciso que:
Logo, AD não é bissetriz.
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24. O Teorema da Bissetriz Externa diz que sempre que a bissetriz de um ângulo
externo de certo triângulo cortar a reta que possui o lado oposto, ficará estabelecido
nesta mesma reta dois segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.
De acordo com o Teorema da Bissetriz Externa, teremos que o segmento AB
está para BE, assim como AC está para CE, de maneira que:
Exercícios Resolvidos
4) Seja AE uma bissetriz externa, calcule o valor de BE:
De acordo com o teorema, teremos que:
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25. Logo,
.
5) De acordo com o Teorema das Bissetrizes Externas, determine se o segmento
AD é uma bissetriz externa ou não.
Para que AD seja bissetriz externa, temos que:
5/10 = 3/6 -> 30 = 30
Logo, AD é bissetriz externa.
Exercícios Propostos
1) Seja a reta r perpendicular a s e também perpendicular a w, diga quais as
afirmações são verdadeiras e falsas:
a) r e s não se cortam
b) r e w não se cortam
c) w e s se cortam
d) O ângulo de interseção entre r e w é 90º
e) O ângulo de interseção entre s e w é 90º
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26. 2) Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As
divisas laterais são perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a
rua "B" de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m?
3) Determine x e y, sendo r, s, t e u retas paralelas:
4) A figura ao lado indica três lotes de terreno com frente para a rua A e para rua
B. as divisas dos lotes são perpendiculares à rua A. As frentes dos lotes 1, 2 e 3
para a rua A, medem, respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. A frente do lote 2
para a rua B mede 28 m. Qual é a medida da frente para a rua B dos lotes 1 e 3?
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27. 5) No triângulo ABC da figura, sabe – se que DE // BC . Calcule as medidas dos
lados AB e AC do triângulo.
6) Usando os Teoremas da Bissetriz Interna e Externa, determine o valor de x:
7) Num triângulo ABC, as medidas de AB e BC são, respectivamente, 20cm e
12cm. A bissetriz BP do ângulo B divide o lado AC em dois segmentos, sendo
um deles igual a 15cm. Qual a medida do outro segmento do lado AC?
8) Na figura abaixo, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa
do triangulo ABC. Se BQ = 8m e QC = 6m, então a medida QP, em metro é:
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28. 6-POLÍGONOS
A partir da definição de polígonos pode-se compreendê-los e identificá-los com mais
facilidade. Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha
poligonal fechada, onde os segmentos de retas são consecutivos e não-colineares. Dessa
forma são exemplos de polígonos as figuras abaixos:
E não são exemplo de polígonos, para n = 5, os dois casos abaixo:
Os polígonos são classificados de acordo com o número n de lados, recebendo a
seguinte denominação:
Número de lados Denominação Número de lados Denominação
n=3 Triângulo ou trilátero n=9 Eneágono
n=4 Quadrâgulo ou quadrilátero n = 10 Decágono
n= 5 Pentágono n = 11 Undecágono
n=6 Hexágono n = 12 Dodecágono
n=7 Heptágono n = 15 Pentadecágono
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29. n=8 Octógono n = 20 Icoságono
POLÍGONO REGULAR
Um polígono que possui os lados congruentes é eqüilátero e se possui os ângulos
congruentes é eqüiângulo.
DIAGONAL
É o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. No
exemplo abaixo ABCD é um quadrilátero e AB e CD são suas diagonais.
Para a compreensão de cálculo das diagonais, ângulos externos e internos, é necessário
entender as expressões abaixo, onde n é o número de lados do polígono:
Sendo d o número de diagonais de um polígono convexo, temos que:
Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, temos que:
Sendo Se a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, tem-se:
Sendo Ai o ângulo interno de um polígono regular, temos que:
Cada ângulo externo de um polígono regular pode ser calculado através de:
Podemos dizer, então que: Ai + Ae = 180
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30. Dica: Para se calcular a medida do ângulo interno (Ai) de um polígono regular é mais
prático se obter, em primeiro lugar, a medida do ângulo externo (Ae) e, pelo
suplemento, se encontra a medida do ângulo interno.
EXEMPLO RESOLVIDO:
Quantas diagonais podem ser traçadas em um polígono convexo de 15 lados?
Aplicando a fórmula acima tem-se:
E portanto, d = 90 diagonais.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Determine o ângulo interno e externo de um triângulo equilátero.
2) Determine o ângulo interno e externo de um quadrado.
3) Determine o ângulo interno e externo de um pentágono regular.
4) Determine o ângulo interno e externo de um hexágono regular.
5) Determine o valor de x no caso:
6) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.
7) Calcule o número de diagonais de um decágono.
8) Calcule o número de diagonais de um icoságono.
9) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
10) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de
lados.
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31. GABARITO:
1) 60º e 120º
2) 90º e 90º
3) 108º e 72º
4) 120º e 60º
5) 70º
6) 3240º
7) 35
8) 170
9) Eneágono
10) Undecágono
7-QUADRILÁTEROS
Os quadriláteros são todos os polígonos que possuem 4 lados. Sejam A, B, C e D quatro
pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos AB,
BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro
segmentos é um quadrilátero. Observe as figuras abaixo:
Um quadrilátero possui duas diagonais (d = 2), a soma dos ângulos internos igual a 360°
e a soma dos ângulos externos também igual a 360°.
Os quadriláteros notáveis são os triângulos, paralelogramos, retângulo, losango e
quadrado.
TRAPÉZIO:
É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. ABCD é trapézio, sendo AB//CD
ou AD//BC. Os lados paralelos são as bases do trapézio.
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32. Os trapézios são classificados em:
- Trapézio isósceles: é aquele que possui dois lados congruentes.
- Trapézio escaleno: é aquele que possui todos os lados com medidas diferentes.
- Trapézio retângulo: é aquele que possui dois ângulos retos.
Em qualquer trapézio ABCD de bases AB e CD, temos:
Â+ = + = 180°
E para os trapézios isósceles os ângulos de cada base são congruentes e as diagonais
também são congruentes.
- AB e CD são as bases do trapézio isósceles, logo ≡ eÂ≡
- ABCD é trapézio de bases AB e CD e AD ≡ BC. Logo as diagonais são congruentes
AC ≡ BD.
PARALELOGRAMO:
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos.
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33. ABCD é paralelogramo e AB // CD e DA // BC.
Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Assim, todo
retângulo é paralelogramo. Na figura, percebe-se que ≡Âe ≡ .
Em todo paralelogramos dois lados opostos quaisquer são congruentes. Logo, todo
losango é paralelogramo. Observe na figura abaixo, AD ≡ CB e AB ≡ CD.
Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.
Observe na figura que AM ≡ CM e BM ≡ DM.
RETÂNGULO:
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro
ângulos congruentes. ABCD é um retângulo, logo  ≡ ≡
Em todo retângulo as diagonais são congruentes. ABCD é um retângulo AC ≡ DA.
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34. LOSANGO:
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados
congruentes. ABCD é um losango, portanto AB ≡ BC≡ CD ≡ DA.
Todo losango tem diagonais perpendiculares. ABCD é um losango, então AC┴ BD.
QUADRADO:
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro lados
congruentes e os quatro ângulos congruentes. ABCD é um quadrado, assim AB ≡ BC≡
CD ≡ DA e  ≡ ≡ .
Todo quadrado é também retângulo e losango. ABCD é quadrado, logo AC ≡ DA e
AC┴ BD.
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35. BASES MÉDIAS:
- Base média de um triângulo:
Num triângulo, a reta que contém o ponto médio de um lado e é paralela a outro lado,
divide o terceiro lado ao meio e é tal que o segmento compreendido pelos pontos
médios, é igual à metade do lado ao qual é paralelo.
Seja ABC o triângulo se MN // BC, AM ≡ MB e AN ≡ NC.
- Base média de um trapézio:
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio então ele é paralelo às bases e ele é igual a semi-soma das bases.
Seja ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD.
Se AM ≡ DM e BN ≡ CN, logo MN // AB // CD e
EXEMPLO RESOLVIDO:
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
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36. a) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) Todo paralelogramo é retângulo.
c) Todo quadrado é retângulo
d) Todo retângulo é quadrado.
e) Todo paralelogramo é losango.
f) Todo quadrado é losango.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Solução: a) V b) F c) V d) F e) F f) V
GABARITOS:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Determine o valor de x:
2) Determine o valor de x:
3) Determine o valor de x:
4) Se ABCD é trapézio de bases AB e CD, determine x e y.
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37. 5) Se o trapézio ABCD é isósceles de base AB e CD, determine Â.
6) Se ABCD é um paralelogramo e  = 2x e = x + 70º, determine .
7) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F):
a) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado.
b) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes é losango.
c) Se um paralelogramo tem dois ângulos consecutivos congruentes, então ele é
um retângulo.
d) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um
paralelogramo.
8) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F):
a) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, então ele é paralelogramo.
b) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um
paralelogramo.
c) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então
ele é um paralelogramo.
9) Classifique em (V) verdadeiro ou falso (F):
a) As diagonais de um losango são congruentes.
b) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
c) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
10) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40 cm, sabendo que a base
excede a altura em 4 cm.
GABARITO:
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38. 1) 120º
2) 75º
3) 70º
4) 80º e 105º
5) 115º
6) 40º
7) a) F b) V c) V d) V
8) a) F b) F c) V
9) a) F b) F c) F
10) 12 cm e 8 cm
8 – Circunferência
8.1 Definições e elementos
Circunferência é o conjunto de pontos cuja distância até certo ponto O é a
mesma para todos eles. Essa distância é indicada na figura ao lado como r.
Pontos internos à circunferência (lambda) são aqueles cuja distância até o centro O é
maior que r. Analogamente, pontos extenos são aqueles cuja distancia até o centro O é
menor que r. Os pontos indicados ao lado são: I (interno) e E (externo). Abaixo, a figura
mostra as regiões externa e interna à circunferência.
Devem-se definir alguns elementos da circunferência:
Corda é um segmento interno cujas extremidades pertencem à circunferência. A
reta AB indicada na figura abaixo é uma corda.
Diâmetro é uma corda que passa pelo centro. Ele mede sempre o dobro do raio r.
A reta CD indicada na figura é um diâmetro.
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39. Raio é um seguimento que tem como extremidades o centro O e um ponto
pertencente à circunferência. A reta OP indicada na figura é um raio.
Arco de circunferência ou semicircunferência:
O arco AB representa a reunião do conjunto de pontos que
estão no exterior do ângulo AÔB. Podem ser traçados dois
arcos a partir dos pontos A e B da circunferência: o arco
maior AB e o arco menor AB. O ponto X indicado na
figura ao lado pertence ao arco maior AB.
Círculo (ou disco) é o conjunto de pontos cuja distancia até o centro é menor que
a distancia r. A diferença entre círculo e circunferência é que a circunferência é
uma “linha”, já o círculo é uma “área”, um conjunto de pontos. Na figura ao
lado, são mostrados dois pontos que pertencem ao circulo.
Setor circular é a região delimitada de um círculo por dois raios. Na
figura ao lado, os raios que delimitam os setores indicados são AO
e OB. Assim como nos arcos, podem-se delimitar dois setores com
os raios AO e OB: um setor com maior área e um com menor área.
A diferença em relação a um arco e um setor é semelhante à
diferença entre circunferencia e circulo: os primeiros representam
linhas, já setores e círculos representam áreas.
8.2 Posições relativas de reta e Circunferência
Secantes:
Uma reta secante a uma circunferência é aquela que
intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Diz-
se que a reta e a circunferência são secantes. Ao lado, um
exemplo de reta secante AB à circunferência (lambda).
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40. Propriedade da secante:
Se a secante intercepta a circunferência sem passar pelo ponto
O, e o ponto M é ponto médio da reta AB, então o segmento
OM é perpendicular à reta AB, ou à secante s. Além disso,
AM = MB.
Tangentes:
Uma reta tangente a uma circunferência é aquela que
intercepta a circunferência em apenas um ponto, o ponto de
tangencia. Na figura, este ponto é indicado como T. Ele é
comum à circunferência e à reta tangente t. Diz-se que a
circunferência (lambda) e a reta t são tangentes.
Propriedade da tangente:
Se T é ponto de tangência entre a circunferência e a reta t,
então o raio OT é perpendicular à reta t. Analogamente, para
um certo raio OT, a reta que tangencia a circunferência no
ponto T é perpendicular a este raio.
Exteriores:
Uma reta exterior a uma circunferência é aquela que não
intercepta a circunferência em nenhum ponto. Não há
interseções de pontos entre a reta e a tangente. Diz-se que a reta
e indicada na figura é exterior à circunferência (lambda).
8.3 Posições relativas de duas Circunferências
Definições:
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41. Interna: uma circunferência é interna a outra quanto todos
os seus pontos são internos à outra. Não á nenhum interseção
entre elas.
Tangente interna: uma circunferência é tangente interna à
outra se têm um único ponto de interseção e o resto dos pontos
de uma são internos em relação à outra
Secante: uma circunferência é secante a outra se elas
tem dois pontos distintos em comum.
Tangente externa: uma circunferência é tangente externa
à outra se têm um único ponto de interseção e o resto
dos pontos de uma são externos em relação à outra.
Externa: uma circunferência é externa a outra se todos os pontos
de uma são externos a outra. Não há interseção entre elas.
8.4 Segmentos tangentes – Quadriláteros circunscritíveis
Se de um ponto P traçarmos duas retas tangentes à
circunferência (lambda), então os dois segmentos pertencentes
a essa retas (PA e PB) são iguais. PA = PB.
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42. Quando um quadrilátero convexo é circunscrito a uma
circunferência, isso indica que todos os lados desse quadrilátero
são tangentes à circunferência. Além disso,
vale a seguinte relação:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) A circunferência ao lado tem raio de 16 cm e o ponto P dista 7
cm do centro. Determine a distância entre P e a circunferência.
2) As circunferências da figura ao lado são tangentes
externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a
diferença entre os raios é de 8 cm, determine os raios.
3) Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos
raios é 30 cm. Se a distancia entre os centros é de 6 cm,
determine os raios.
4) Na figura, as circunferências são tangentes duas a duas e os
centros são os vértices do trianculgo ABC. Sendo AB = 7
cm, AC = 5 cm e BC = 6 cm, determine os raios das
circunferências.
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43. 5) Na figura, determine a medida do segmento BD, sabendo que a
circunferência de centro O está inscrita no triangulo ABD, e que os
lados AB, BC e AC medem respectivamente 6 cm, 8 cm e 10 cm.
6) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritivel, da
figura.
7) Determine a medida do diâmetro de um circulo inscrito emum triangulo
retângulo cujos lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.
8.5 Ângulos da circunferência
Circunferencias congruentes: são aquelas que tem o mesmo raio.
Arcos congruentes: Dois arcos AB e CD são congruentes
se, e somente se, os arcos CÔD e AÔB forem congruentes.
Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o
vértice no centro O da circunferência e extremidades na linha da
mesma. AB é o arco correspondente ao ângulo central AÔB.
OBS.: Para simplificar, chamaremos o ângulo AÔB de (beta).
Ângulo inscrito a uma circunferência é aquele ângulo que possui vértice (V) e
extremidades (A e B) pertencentes à circunferência, como mostra a figura.
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44. PROPRIEDADE 1:
alfa = beta/2
PROPRIEDADE 2:
Se o arco do ângulo inscrito for 180º, isso implica que o ângulo
inscrito terá valor 90º. Daí, O triangulo formado pelas
extremidades e pelo vértice do ângulo é um triangulo retângulo.
PROPRIEDADE 3:
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência,
isso implica que os anglos opostos são complementares (somam
180º).
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito a uma circunferência é
um ângulo que tem vértice na circunferência (ponto A), um lado
secante (linha t) e o outro lado tangente à circunferência (linha AB).,
como indicado na figura ao lado.
PROPRIEDADE 1: Medida do ângulo de segmento
PROPRIEDADE 2: Arco capaz
Seja AÔB um ângulo central (beta) = 2(alfa). Os
vértices dos ângulos inscritos ou semi-inscritos
relativos à circunferência que tem lados passando por
A e B formarão ângulos (alfa), que medem a metade
do ângulo central (beta).
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45. PROPRIEDADE 3: Ângulos excêntricos
Em caso de excentricidade interior,
Em caso de excentricidade exterior,
há três possíveis casos. Em
qualquer um deles,
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Determine o valor do ângulo x nos casos:
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46. 2) Determine o valor do arco x nos casos:
3) Na figura, o arco CMD é igual a 100º e o arco
ANB mede 30º. Calcule o valor de x.
4) Determine a medida do ângulo α, sabendo que, na
figura abaixo, CD = R.
5) Calcule x nas figuras:
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47. 6) Nas figuras, calcule o valor de x.
7) N
a
s
f
i
g
u
r
as, calcule o valor de α.
8) Nas figuras, calcule o valor do arco ABC.
9) Nas figuras, calcule x.
10) Na figura ao lado, sendo ABC =
260º, calcule o valor de α.
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48. 8.6 – Comprimento da circunferência
Depois de vários estudos sobre o comprimento da circunferência, chegou-se a
um resultado:
Percebeu-se que o comprimento da uma cirunferencia é diretamente
proporcional ao dobro do raio, e que a constante de proporcionalidade é (PI).
Proporcionalidade entre secções circulares:
Pode-se calcular o comprimento l (menor que o comprimento total C) através da
medida do ângulo central referente a ele e do comprimento do raio R da
circunferência.
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49. EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Determine o comprimento da circunferência nos casos:
2) Determine o comprimento do arco menor AB, dado o raio de 90 cm e o
ângulo central correspondente, nos casos:
3) Determine o comprimento da linha cheia nos casos (os arcos são
centrados em O1, O2, e O3)
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50. 4) Determine o perímetro da figura sombreada:
(a) Os arcos tem raios de 12 cm e são centrados em
A, B e C.
(b) ABCD é um quadrado de 48 cm de lado e os
arcos são centrados em A, B, C e D.
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