Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
1. A prova de matemática do 1o ano seriado de 2005 cobriu os assuntos do conteúdo programático, mas com maior grau de dificuldade do que em provas anteriores, exigindo mais cautela e raciocínio dos estudantes.
2. As questões abordaram tópicos como números naturais, funções, geometria plana e trigonometria, requerendo que os alunos analisassem com atenção cada problema proposto.
3. A característica fundamental cobrada foi a capacidade de raci
1) O documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2012, com as respostas detalhadas de 6 questões de matemática.
2) A primeira questão trata de pontos de uma parábola e retas perpendiculares. A segunda questão envolve função inversa. A terceira questão lida com progressão geométrica e progressão aritmética.
3) A quarta questão calcula determinantes. A quinta questão envolve cálculo de centro de circunferência, rotação e ângulo. A sexta questão calcula volume
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
Cmg(x) = 3 + 0,1x
a) A função custo marginal Cmg(x).
b) O custo marginal quando x = 50 unidades.
Cmg(50) = 3 + 0,1.50 = 3 + 5 = $8
O custo marginal quando x = 50 unidades é $8.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) O aluno realizou uma prova de matemática com 10 questões sobre equações de 1o e 2o grau, sistemas de equações e teorema de Pitágoras.
2) Todas as questões foram respondidas corretamente com os cálculos apresentados de forma organizada.
3) O aluno mostrou domínio dos conceitos cobrados na prova.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
[1] O documento apresenta 20 questões sobre polinômios, incluindo divisão de polinômios, raízes de polinômios, e propriedades algébricas de polinômios. [2] As questões cobrem tópicos como restos de divisão, quocientes, fatores e coeficientes de polinômios. [3] As respostas são fornecidas no final.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
1) A mediana de uma série de números é 1,5 e a probabilidade de um produto ser par é 2/3.
2) A média de idades de 80 alunos é 14,5 anos e a probabilidade de um aluno ter 13 anos é 5/45.
3) O conjunto correto é o intervalo entre -3 e 2.
1) Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para as 20 questões aplicadas e as respectivas soluções.
2) Uma questão foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto por ela.
3) As soluções explicam passo a passo o raciocínio matemático para chegar às respostas corretas de cada questão.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
1. A prova de matemática do 1o ano seriado de 2005 cobriu os assuntos do conteúdo programático, mas com maior grau de dificuldade do que em provas anteriores, exigindo mais cautela e raciocínio dos estudantes.
2. As questões abordaram tópicos como números naturais, funções, geometria plana e trigonometria, requerendo que os alunos analisassem com atenção cada problema proposto.
3. A característica fundamental cobrada foi a capacidade de raci
1) O documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2012, com as respostas detalhadas de 6 questões de matemática.
2) A primeira questão trata de pontos de uma parábola e retas perpendiculares. A segunda questão envolve função inversa. A terceira questão lida com progressão geométrica e progressão aritmética.
3) A quarta questão calcula determinantes. A quinta questão envolve cálculo de centro de circunferência, rotação e ângulo. A sexta questão calcula volume
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
Cmg(x) = 3 + 0,1x
a) A função custo marginal Cmg(x).
b) O custo marginal quando x = 50 unidades.
Cmg(50) = 3 + 0,1.50 = 3 + 5 = $8
O custo marginal quando x = 50 unidades é $8.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) O aluno realizou uma prova de matemática com 10 questões sobre equações de 1o e 2o grau, sistemas de equações e teorema de Pitágoras.
2) Todas as questões foram respondidas corretamente com os cálculos apresentados de forma organizada.
3) O aluno mostrou domínio dos conceitos cobrados na prova.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
O documento apresenta um teste de Números Complexos com 12 questões. A questão 10 pede para calcular o valor numérico de uma expressão, sabendo que z7 = 1. A solução mostra que, nesse caso, z = 1 e todos os termos da expressão são iguais a 1, resultando em um valor numérico igual a zero. A questão 11 pede para calcular (3 + i)12 e a soma de 1 + z + z2 + ... + z15, onde z = √2 + i√2. A solução encontra que (3 + i)12 = 4096 e que a soma
[1] O documento apresenta 20 questões sobre polinômios, incluindo divisão de polinômios, raízes de polinômios, e propriedades algébricas de polinômios. [2] As questões cobrem tópicos como restos de divisão, quocientes, fatores e coeficientes de polinômios. [3] As respostas são fornecidas no final.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
1) O documento apresenta um livro do professor de matemática para pré-vestibular, contendo explicações sobre conceitos básicos de aritmética como potenciação, radiciação e sistemas de numeração.
2) Inclui tópicos como propriedades de potenciação e radiciação, raiz quadrada aproximada, racionalização de expressões e transformação de radicais duplos.
3) Foi produzido pela IESDE Brasil S.A. e contém autores de diversas disciplinas para preparação de vestibulares.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
1) A mediana de uma série de números é 1,5 e a probabilidade de um produto ser par é 2/3.
2) A média de idades de 80 alunos é 14,5 anos e a probabilidade de um aluno ter 13 anos é 5/45.
3) O conjunto correto é o intervalo entre -3 e 2.
1) Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para as 20 questões aplicadas e as respectivas soluções.
2) Uma questão foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto por ela.
3) As soluções explicam passo a passo o raciocínio matemático para chegar às respostas corretas de cada questão.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
O documento apresenta 5 questões resolvidas de um gabarito de prova. A primeira questão resolve uma equação de segundo grau para encontrar as raízes e determinar o 6° termo de uma progressão geométrica. A segunda questão determina o valor de X para que três números formem uma progressão geométrica. A terceira questão calcula o montante total de depósitos em uma poupança ao longo de 21 anos.
1) O documento fornece resumos de problemas de matemática com soluções.
2) O problema 7 calcula o volume de uma caixa feita a partir de uma lâmina retangular com recortes, sendo a resposta 140x - 48x2 + 4x3.
3) O problema 8 determina o valor de um parâmetro a a partir de uma relação entre variáveis proporcionais, sendo a igual a 2.
4) O problema 11 calcula o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h15min, porém a resposta não é fornec
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
1) A questão calcula a probabilidade de um número de 5 algarismos distintos pertencer ao conjunto M, que contém números menores que 58.931. A probabilidade é igual a 65/120.
2) A questão analisa o movimento de duas partículas e encontra o momento em que a distância entre elas é mínima. A distância mínima ocorre quando as partículas estão nas posições (8,0) e (0,4), unidas pela reta x+2y=8.
3) A questão resolve uma equação polinomial de 5o grau
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
Este documento contém resoluções de questões de matemática do 3o ano do ensino médio. As questões abordam tópicos como geometria plana e espacial, funções, porcentagem, estatística e probabilidade. As resoluções variam de uma a três frases e fornecem as etapas essenciais para chegar à resposta correta de cada questão.
1) O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009 e as alterações feitas para a nova edição de 2010 com base em sugestões de professores e especialistas.
2) Os professores contribuíram para aperfeiçoar os Cadernos do Aluno de 2009, analisando o material e postando sugestões. Alguns dados também foram atualizados.
3) A nova edição dos Cadernos do Aluno de 2010 inclui orientações para as atividades propostas, com informações e
O documento apresenta:
1) Uma P.A. de 8 termos com a1=6 e R=-4 e o cálculo de seus termos.
2) O cálculo do 6o termo da P.A. (2,4,...) sendo este igual a 12.
3) A explicação de como calcular o índice de gestão descentralizada de um município a partir dos dados fornecidos.
1) Resume os principais conceitos de progressões geométricas e apresenta alguns exemplos numéricos; 2) Explica a redução do tempo em função da velocidade inicial e final; 3) Apresenta a fórmula para calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica.
1) O documento apresenta 15 questões de matemática sobre diversos assuntos como funções, geometria, porcentagem e estatística.
2) A questão 1 trata de salário em função de vendas e a questão 6 trata de crescimento populacional exponencial.
3) Outras questões envolvem sistemas de equações lineares, áreas de figuras planas, porcentagem, progressão aritmética e trigonometria.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
1. O documento apresenta uma proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A, incluindo vários problemas resolvidos.
2. São apresentados dois grupos de questões, a primeira com cálculos algébricos e trigonométricos e a segunda com probabilidades e estatística.
3. Inclui também resoluções de problemas de cálculo que envolvem derivadas, integrais, máximos e mínimos.
Este documento apresenta a resolução de questões de matemática de uma prova da Petrobrás realizada pelo CESGRANRIO em 2017. São resolvidas sete questões que envolvem lógica, probabilidade, geometria e álgebra. O professor Arthur Lima explica detalhadamente cada passo para chegar à resposta correta de cada questão.
O documento apresenta a resolução de 5 questões de matemática. Na primeira questão, o autor resolve uma equação de segundo grau para encontrar o valor de x em uma progressão aritmética. Na segunda questão, ele calcula os termos de uma outra progressão aritmética. E na terceira questão, resolve um problema envolvendo descontos em eletrodomésticos.
O documento fornece informações sobre sentenças matemáticas, equações do 1o e 2o grau, resolução de equações e áreas de polígonos. Explica que sentenças podem ser verdadeiras ou falsas e abertas ou fechadas, define conjuntos universo e verdade. Apresenta a fórmula geral para resolução de equações do 2o grau e fórmulas para cálculo de áreas de retângulo, quadrado, triângulo, losango e trapézio.
Semelhante a Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012 (20)
[1] O documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 contendo as respostas corretas para 20 questões e informações sobre a pontuação e uma questão anulada.
[2] As soluções para duas das questões são apresentadas, mostrando os raciocínios matemáticos utilizados para chegar às respostas corretas.
[3] A questão 9 traz o desenho de um eneágono regular com informações angulares que permitem identificar qual tipo de triângulo é
Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 para o nível lambda. Ele lista as respostas corretas para cada uma das 20 questões aplicadas, anulando a questão 15 e dando 1 ponto a todos os alunos nessa questão.
O documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 para o nível K, com as respostas corretas para cada uma das 20 questões, sendo que a questão 12 foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto nela.
A prova da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 continha 20 questões valendo 1 ponto cada. A questão 20 foi anulada e todos os alunos receberam 1 ponto nessa questão. O gabarito traz as respostas corretas de A a E para as questões de 1 a 19.
Este documento fornece o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para cada uma das 20 questões, indicando as alternativas A, B, C ou D. A questão 20 teve a alternativa C anulada.
1) O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática do nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. As questões abordam tópicos como números naturais, operações, porcentagem, geometria e probabilidade.
2) A maioria das questões requer apenas cálculos ou raciocínios matemáticos simples para chegar à resposta correta.
3) As questões 1 a 20 apresentam alternativas de respostas para que o participante selecione a opção correta para cada
(1) Este documento é um teste de matemática para alunos do 6o e 7o ano do ensino fundamental. Contém 20 questões sobre assuntos como números naturais, porcentagem, área e perímetro de figuras geométricas.
(2) As questões abordam tópicos como codificação de nomes, probabilidade, potenciação e outros conceitos básicos de matemática.
(3) O teste tem como objetivo avaliar os conhecimentos dos estudantes nessa faixa etária em diferentes habilidades numéricas e algébric
1) O documento apresenta 6 problemas matemáticos de um exame de Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. 2) Os problemas envolvem operações com matrizes, lista de números não primos, propriedades de hexágonos regulares e triângulos de Pascal. 3) Também determinam o número de divisores de inteiros, anos considerados "hiper-olímpicos" e a soma dos termos em linhas do triângulo de Pascal.
1) O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática, destinadas a estudantes do ensino médio. As questões abordam tópicos como números, geometria, probabilidade e séries numéricas.
2) O objetivo é testar os conhecimentos dos estudantes em diferentes conceitos matemáticos por meio de exercícios curtos de múltipla escolha.
3) As respostas corretas para cada questão devem ser assinaladas entre as opções fornecidas de A a E.
O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática para a 1a fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011 destinada aos estudantes do Ensino Médio. As questões abordam tópicos como números naturais, geometria, álgebra, lógica e raciocínio matemático.
1) O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática para alunos de 8 e 9 anos. As questões abordam tópicos como números hexagonais, áreas de polígonos, divisibilidade, codificação de letras e números, sequências numéricas, geometria espacial e probabilidade.
1) O documento apresenta 6 problemas matemáticos da 2a Fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. Os problemas envolvem álgebra, geometria e teoria dos números.
2) O primeiro problema pede para mostrar a existência de um número cujo quadrado pode ser expresso como soma dos quadrados de 11 números inteiros consecutivos. O segundo problema define uma nova operação entre números reais e pede para calcular e provar propriedades dessa operação.
3) O terceiro problema envolve divisão inteira e soma dos algarismos
1) O documento apresenta 6 problemas matemáticos relacionados à 2a Fase - Nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011.
2) Os problemas envolvem determinar anos hiper-olímpicos, calcular a altura de torres formadas por cubos de cores diferentes, e contar números que deixam resto 12 quando divididos pela soma de seus algarismos.
3) Os demais problemas tratam de números felizes e medianos de três algarismos, além de calcular áreas de figuras geométricas formadas a partir de
1) O documento descreve 6 problemas matemáticos da 2a Fase - Nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. Os problemas envolvem determinar anos hiper-olímpicos, construir torres com cubos de cores diferentes, números que deixam resto 12 ao serem divididos por sua soma de algarismos, números felizes e medianos, e calcular áreas e perímetro de figuras geométricas formadas a partir de um hexágono regular.
(1) O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática do nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. As questões abordam tópicos como números naturais, operações, porcentagem, geometria e probabilidade.
1) O documento apresenta 20 questões de múltipla escolha sobre matemática do nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. As questões abordam tópicos como números naturais, operações, porcentagem, geometria e probabilidade.
2) A maioria das questões requer apenas cálculos ou raciocínios matemáticos simples para escolher a alternativa correta. Algumas questões envolvem interpretação de enunciados ou figuras.
3) As questões foram elaboradas para avaliar conhec
1. OIM 2012 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012
201
ível 3
Gabarito
Questão A B C D E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 Anulada
16
17
18
19
20
Obs.:
• Cada questão da 1ª Fase vale 1 ponto (o total é de 20 pontos).
• a questão A ULADA, todos os alunos devem receber 1 ponto.
2. Soluções dos problemas
1) Alternativa (D): A fim de podermos descobrir um padrão, calculemos iteradamente os valores iniciais
de f ( x) . Temos:
f ( 0) = 1
f (1) = 1
f ( 2) = 1 + f (0) = 2
f ( 3) = 1 + f (1) = 2
f ( 4) = 1 + f ( 2) = 3
f ( 5 ) = 1 + f ( 3) = 3
f ( 6) = 1 + f ( 4) = 4
f ( 7 ) = 1 + f ( 5) = 4
Daí, inferimos que f ( 2k ) = k + 1 e f ( 2k + 1) = k + 1 ; equivalentemente:
x (x − 1)
f ( x) = 1 + , quando x for par e f ( x) = 1 + , quando x for ímpar.
2 2
Para provarmos rigorosamente essa afirmação, basta mostrar que a validade das expressões acima para
um dado x (par ou ímpar) implica na validade do valor seguinte de x que tenha a mesma paridade. Para
isso, usaremos a recorrência. Vejamos:
No caso de x par, temos:
x x (x + 2)
f ( x + 2) = 1 + f ( x ) = 1 + 1 + = 2 + = 1 + .
2 2 2
No caso de x ímpar:
(x - 1) (x - 1) (x + 1)
f ( x + 2) = 1 + f ( x ) = 1 + 1 + = 2 + = 1+ .
2 2 2
2012
Logo, f (2012) = 1 + = 1007 .
2
2) Alternativa (B): Devemos na verdade procurar os números que não são múltiplos de 3 ∙ 8 = 24. O
maior múltiplo de 24 com 2 algarismos é 96 (4 ∙ 24) e o maior múltiplo de 24 com 3 algarismos é
975 (39 ∙ 24). Logo existem 39 − 4 + 2 = 37 múltiplos de 24 com 3 algarismos.Como existem
999 − 100 + 1 = 900 números de 3 algarismos, temos 900 − 37 = 863 números que não são múltiplos
nem de 3 nem de 8.
3) Alternativa (D): Temos x3 + x 4 = x 2 ( x + x 2 ) . Como x² = 4 x − 3 , então
(4x − 3)(x + 4x − 3) = (4x − 3)(5x − 3) = 20x² − 27x + 9 = 20(4x − 3) − 27x + 9 = 53x − 51 = 108 ⇔ x = 3
Logo x3 + x 4 = 33 + 34 = 108.
2
3. 4) Alternativa (B): Como a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n − 2) ⋅ 180°
(n − 2) ⋅ 180° (n − 2) ⋅ 180° 180n − 360 360
então cada ângulo mede . Como = = 180 − ,
n n n n
podemos perceber que n é divisor de 360. Temos que 360 tem 24 divisores, a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,
10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360. Mas como no caso que estamos
considerando n ≥ 3 , então devemos desconsiderar os divisores 1 e 2. Logo há 24 - 2 = 22 polígonos
regulares cujos ângulos têm medidas inteiras.
5) Alternativa (E): Por cálculo direto, percebemos que os primeiros números pentagonais são 1, 5, 12 e
22. Percebemos que eles são soma dos n primeiros termos da PA 1, 4, 7, 10, 13, 16..., cuja razão é 3.
Logo, o 10° termo dessa PA deve ser 1 + 3 ⋅ 9 = 28 .
6) Alternativa (C): Analisando os resultados, percebemos que ao digitar a multiplicação ݕݔa calculadora
fornece na verdade o resultado de ሺ ݔଶ + ݕଶ ሻ − .ݕ2 − ݕݔRealmente, vemos que 4 ∙ 5 = ሺ4ଶ + 5ଶ ሻ −
4 ∙ 5 − 2ሺ5ሻ = 11 e 7 ∙ 3 = ሺ7ଶ + 3ଶ ሻ − 7 ∙ 3 − 2ሺ3ሻ = 31. Logo, se Gabriel digitar em sua
calculadora o valor 8 ∙ 7, sendo que, nesse caso, 8 = ݔe ,7 = ݕobterá como resultado ሺ8ଶ + 7ଶ ሻ − 8 ∙
7 − 2ሺ7ሻ = 43.
7) Alternativa (D): observado o último algarismo das potências de 2, 3 e 4 e sua periodicidade, podemos
constatar que o último algarismo de 22010 é 4, assim como o último algarismo de 32011 é 7 e o último
algarismo de 4
2012
é 6. Logo, o último algarismo de 22010 + 32011 + 42012 é 4 + 7 + 6 = 17, cujo último
algarismo é 7.
8) Alternativa (D): Analisando a figura, podemos ver que a palavra AMORA aparece num total de
25−1 = 16 vezes. Portanto, podemos obter a palavra AMORA de 16 maneiras diferentes.
9) Alternativa (A): H 1 = 1
H 2 = 2 + 4 = 6 = 2(1 + 2)
H 3 = 3 + 6 + 9 = 18 = 3(1 + 2 + 3)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
H10 = 10 + 20 + 30 + ... + 100 = 550 = 10(1 + 2 + 3 + ... + 10)
Logo, H1 + H 2 + H 3 + ... + H10 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)(31) = 55 × 31 = 1705
10) Alternativa (A): Primeiramente, vamos determinar quantos segundos existem em três meses. Cada
minuto tem 60 segundos, cada hora tem três meses. Como a torneira goteja a uma taxa de 3 gotas por
segundo, teremos um total de 3 ⋅ 7776000 = 23328000 gotas. Como cada gota tem uma massa de 0,1
gramas, teremos uma massa total de 2332,8 kg.
3
4. Já que cada litro de água tem uma massa de 1 kg, assim, uma massa de 2332,8 kg corresponde a um
volume de 2332,8 litros de água, ou aproximadamente 2334 litros.
11) Alternativa (C): A soma deve ser maior ou igual ao produto. Dos 5 ∙ 5 = 25 pares possíveis, 10
10 2
satisfazem a condição dada. Portanto, P= = = 40% .
25 5
12) Alternativa (C): Seja r o raio da esfera A.O volume da esfera B é 2r . Sabemos que o volume da
4πR ³
esfera é calculado pela seguinte fórmula: V = . Logo, temos que:
3
4π rA ³
VA = VB = 2rA
3
Pelo enunciado, sabemos que a razão entre os volumes das duas esferas é 216π ³ .
VA
Podemos afirmar que = 216π ³ → VA = 216π ³VB → VA = 216π ³(2rA ) → VA = 432π ³rA . E
VB
4π rA ³
= 432π ³rA → 4π rA ³ = 1296π ³rA → 4π rA ² = 1296π ³ → rA ² = 324π ² → rA = 18π
3
Substituindo:
4π rB ³
VB = 2(18π ) → VB = 36π → 36π = → 108π = 4π rB ³ → rB ³ = 27 → rB = 3
3
O raio da esfera B é 3.
8
13) Alternativa (D): A equação é equivalente a 2 x = 512 , uma equação incompleta do 8° grau. Segue
que ela possui 8 raízes reais e iguais.
14) Alternativa (A): Um dos cinco números é divisor da soma dos outros quatro se, e somente se, é divisor
da soma dos cinco números. Tal soma é 37 + 48 + 54 + 56 + 64 = 259 = 7 ⋅ 37, que é divisível por 37.
15) Questão Anulada.
16) Alternativa (B): Indicaremos o transformado de um número n por t(n ) . Observemos que um número
e a soma de seus algarismos deixam o mesmo resto quando divididos por 9. Partindo disso, podemos
afirmar que se Fernando transformar 201252 obterá o resto da divisão de 201252 por 9. Para descobrir
esse resto, iremos utilizar módulo 9:
20125² ≡ 1² ≡ 1(mod 9) ⇒ t(20125²) = 1
4
5. 17) Alternativa (E): 1ª Solução: Vamos dividir a figura em 5 triângulos:
A
E
d B
C
D
Podemos ver que 4 dos 5 triângulos são equiláteros e um deles é isósceles, mas eles têm áreas
equivalentes. Se traçarmos um segmento FG perpendicular à AD ligando os vértices dos dois triângulos
equiláteros centrais, como mostra a figura abaixo, perceberemos que AFG é igual a ECB, já que eles
possuem seus ângulos congruentes e seus lados iguais.
A
E
F G
d B
C
D
Logo, AE = EG = GB = 5 e AE = EG + GB = 10 cm.
2ª Solução: Baseando-se na figura mostrada acima, podemos mostrar que como os triângulos AEF, EFC e
FDC são iguais, AF = FD = 5, e AD = 10 cm. Pelos triângulos AFE, EFC e FDC serem semelhantes ao
triângulo AGD, então AD = AG = GD =10 cm e como o triângulo GCB é isósceles, então AB mede 10 +
5 = 15 cm. Logo, EB = AB - AE = 15 - 5 = 10 cm.
n . Podemos perceber que
18) Alternativa (B): Vamos considerar um jogo de dominó com peças de 0 a
esse jogo de dominó deverá ter um total de (n + 1) + n + (n − 1) + (n − 2) + ... + 1 peças, ou
(n + 1)(n + 2)
seja, NP =
2
Como no jogo de dominó inventado por Ricardo há um total de 136 peças, temos que
(n + 1)(n + 2) n² + 3n + 2
136 = → 136 = → n² + 3n + 2 = 272 → n² + 3n − 270 = 0
2 2
As soluções da equação do 2º grau n ² + 3n − 270 = 0 são n1 = 15 e n2 = −18 , donde devemos
desconsiderar a solução negativa, já que num jogo de dominó não existem peças com números negativos.
Então, o maior número presente no jogo de dominó criado por Ricardo é 15.
5
6. 19) Alternativa (B): João pode escolher 2 dos 4 números num total de 3 + 2 + 1 = 6 formas diferentes.
Destas, apenas 2 têm como soma 8 (I + IV e II + III). Logo, a probabilidade de que João escolha 2 números
ଶ
cuja soma seja 8 é = 33, 3%, mais próximo de 35%.
20) Alternativa (B): Se o complemento de ABC é 58°, temos que ABC = 90° - 58º = 32°. Como AB =
C = BAC = 32º. Percebemos que AB e
AC, então o triângulo ABC é isósceles e, consequentemente, AB
DE são paralelas e são cortadas pelo segmento AE. Temos que BAC = CED = 32°.
6