1. • Matemática – Progressões
pg. 02
• Matemática – Trigonometria no
triângulo
pg. 04
Casas de farinha representam • Física – Movimentos de projéteis
fonte de renda para o homem sustento familiar e
do interior pg. 06
• Física – Trabalho e Energia
pg. 08
• Literatura – Realismo e
Naturalismo I
pg. 10
o ecânica
d e Ferr em energia m
strada do
r da Eor transforma
vapo cal
aa
Máquin a Mamoré :
Madeir –

2. Acervo de Matemática
Suponhamos que se queira calcular a soma dos
termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10
bibliotecas registra
termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18, 20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou
Professor CLÍCIO seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110.
Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou
crescimento
1000 termos? Manualmente seria muito
demorado. Por isso, precisamos de um modo
mais prático para somarmos os termos de uma
Progressões PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
de 700%
observe:
1. Progressão aritmética ( P .A.) a1+a10 = 2 + 20 = 22
Definição a2+a9 = 4 + 18 = 22
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, a3+a8 = 6 + 16 = 22
14, 16). a4+a7 =8 + 14 = 22
Ao ingressar na Universidade do Estado do Observamos que, a partir do segundo termo, a a5+a6 = 10 + 12 = 22
Amazonas, o aluno tem acesso a um rico diferença entre qualquer termo e seu antecessor Note que a soma dos termos eqüidistantes é
é sempre a mesma: constante (sempre 22) e apareceu exatamente 5
acervo bibliográfico. Em cinco anos, o 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 vezes (metade do número de termos da PA,
número de títulos disponíveis cresceu mais Seqüências como esta são denominadas progres- porque somamos os termos dois a dois). Logo,
de 700%. Em 2001, eram 3.661 títulos e sões aritméticas (PA). A diferença constante é devemos, em vez de somarmos termo a termo,
8.235 exemplares. Em 2006, já são 29.058 chamada de razão da progressão e costuma ser fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim,
títulos e 95.180 exemplares. representada por r. Na PA dada temos r = 2. determinamos S10 = 110 (soma dos 10 termos).
Podemos, então, dizer que: E agora, se fosse uma progressão de 100 termos,
A esse acervo, soma-se o material didático Progressão aritmética é a seqüência numérica como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faríamos?
disponível em todos os 61 municípios do onde, a partir do primeiro termo, todos são Procederemos do mesmo modo. A soma do a1
interior do Amazonas disponível para os obtidos somando uma constante chamada razão. com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50
alunos dos cursos ministrados pela UEA Notação vezes (metade de 100), portanto
pelo Sistema Presencial Mediado (Proformar, Considere a P ( a1, a2, a3, a4, ...., an)
.A. S100 = 101x50 = 5050.
Onde: Então, para calcular a soma dos n termos de
Ciência Política e Licenciatura em a1= primeiro termo uma PA, somamos o primeiro com o último
Matemática). an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes.
A rede de serviços é composta por uma termo Assim, podemos escrever:
Biblioteca Central, nove bibliotecas setoriais, n = número de termos(se for uma PA finita) n
Sn = (a1 + an) ––––
nove bibliotecas de núcleos e 37 mini- r = razão 2
bibliotecas. Classificação
A Biblioteca da UEA é informatizada e utiliza Quanto à razão:
• (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão Aplicações
o sistema Pergamun, que permite ao aluno
r = 5. Toda PA de razão positiva (r > 0) é
pesquisar e fazer reservas e renovações de crescente. 01. (FGV) Verifique se 31/20 é termo da
títulos via Internet. O Pergamun já é utilizado • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3. sucessão.
em cerca de 48 instituições de nível superior Toda PA de razão negativa (r < 0) é 1+3n
an = ––––––
2n
do País, o que possibilita aos alunos da UEA decrescente.
a) décimo termo; b) quarto termo;
consulta ao acervo dessas instituições. Todo • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0.
c) sexto termo; d) oitavo termo;
Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ou
esse sistema de informatização utiliza 68 estacionária.
e) n.d.a.
computadores. Quanto ao número de termos: Solução:
Além disso, professores, pesquisadores, • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e 1+3n 31
an = –––––– e an = –––
alunos e funcionários da UEA têm acesso à razão r = 10. Toda PA de n.° de termos finito é 2n 20
limitada. 31 1+3n
produção científica mundial atualizada por ––– = ––––– e ⇒ 62n = 20 + 60n
• (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos 20 2n
meio do Portal de Periódicos da Capes. termos e razão r = -2. Toda PA de n.° de 2n = 20 ⇒ n = 10 (n ∈ IN)
Trata-se de uma biblioteca virtual, de fácil termos infinito é ilimitada. 02. (MACK) Determine o valor de x para que os
acesso, oferecida pelo governo federal e Propriedades: números log28, log2(x+9) e log2(x+7)
mantida pela Capes. O acervo do Portal estejam, nessa ordem, em PA
• Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo,
compreende mais de 9,5 mil periódicos é a média aritmética do seu antecessor e do a) x = 5 b) x = 3 c) x = -3
completos, 507 revistas científicas e bases seu sucessor. d) x = -5 e) n.d.a.
de dados brasileiros de acesso gratuito, 105 • Numa PA qualquer de número ímpar de Solução:
bases de dados referenciais e, ainda, seis termos, o termo do meio (médio) é a média (log28, log2(x+9) e log2(x+7)) PA
aritmética do primeiro termo e do último termo. 2log2(x+9) = log28 + log2(x+7)
bases de dados de patentes com cobertura 2 2
internacional e outras fontes de informações Exemplo: log2(x+9) =log28(x+7)⇒ x +18x+81= 8x+56
2
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o x + 10x+25 = 0 ⇒ x = –5
acadêmicas.
termo médio é 12. Observemos que o termo 03. (UFAM) Quantos são os números naturais
O foco da coleção do Portal são as publi-
médio é sempre a média aritmética do primeiro menores que 98 e divisíveis por 5?
cações periódicas. Completando essa e do último, ou seja: a) 15 números b) 20 números
coleção, estão incluídos importantes sítios 3 + 21 c) 25 números d) 30 números
––––––– = 12
com textos completos, destacando-se: 2 e) n.d.a.
Biblioteca Nacional; Escola Paulista de • A soma de dois termos eqüidistantes dos Solução:
extremos de uma PA finita é igual à soma dos (0, 5, 10,..................., 95) PA
Medicina; Domínio Público (Ministério da extremos.
Educação), entre outros. a1 = 0; an = 95; r = 5
Exemplo: an = a1 + (n–1).r ⇒ 95 = 0 + (n–1).5
Os usuários autorizados para o acesso às 95 = (n–1).5 ⇒ 19 = n – 1 ⇒ n = 20
Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).
coleções são professores permanentes, Portanto a quantidade de termos é igual a 20.
temporários e visitantes, estudantes de 04. (UNIP) Numa PA crescente de 6 termos, a
graduação, pós-graduação e extensão, soma dos termos de ordem ímpar é 27, e a
funcionários permanentes e temporários soma dos termos de ordem par é 36.
vinculados oficialmente às instituições Escreva essa PA
participantes do Portal. Solução:
Com o objetivo de qualificar equipes (x–5r, x–3r, x–r, x+r, x+3r, x+5r) P .A.
Termo Geral x–5r + x–r + x+3r=27 ⇒ 3x–3r=27 ⇒ x–r=9
técnicas para o usos e a divulgação do
Uma PA de razão r pode ser escrita assim: x–3r + x+r + x+5r=36 ⇒ 3x+3r=36 ⇒ x+r=12
Portal, são desenvolvidos treinamentos em PA(a1, a2, a3, a4, ...., an–1 an)
todas as Unidades Acadêmicas da UEA, por Portanto, o termo geral será:
meio de bibliotecárias capacitadas pela an = a1 + (n – 1)r, para n ∈ N*
Capes, bem como treinamento por Logo a PA é dada por: (3, 6, 9, 12, 15, 18) P.A.
Soma dos Termos de uma PA finita
representantes das editoras credenciadas. 05. (UEA) O perímetro de um triângulo retângulo
Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12,
mede 24cm. Calcule as medidas dos lados,
14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2.
sabendo-se que elas estão em P .A.
2

3. a) 5cm, 9cm e 10cm b) 4cm, 6cm e 10cm Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .
Desafio
c) 4cm, 5cm e 15cm d) 5cm, 6cm e 13cm Logo, conforme a definição de PG, podemos
e) n.d.a. reescrever a expressão acima como:
Solução: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
(x–r, x, x+r)P .A. Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1.
x–r + x + x+r = 24 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8 Logo, substituindo, vem:
Matemát ico
8–r, 8, 8+r representam os lados de um triângulo Sn . q = Sn – a1 + an . q
retângulo. Daí, simplificando convenientemente,
2 2 2
(8–r) + 8 = (8+r) chegaremos à seguinte fórmula da soma:
2 2
64 –16r + r + 64 = 64 + 16r + r
32r = 64 ⇒ r = 2 an . q – a1
Logo os lados são 6cm, 8cm e 10cm. Sn = ––––––––––
q–1
n-1
06. (FGV) Ache a progressão aritmética em que Se substituirmos an = a1 . q , obteremos uma
S10 = –65 e S20 = 170. nova apresentação para a fórmula da soma, ou
seja:
a) (-20, -17, -14,..........) 01. Se numa seqüência temos que f(1) =
b) (-20, -15, -10,..........) qn – a1
Sn = a1 ––––––– 3 e f (n + 1) = 2.f(n) + 1, então o valor
q–1
c) (-10, -17, -24,..........) de f(4) é:
d) (-20, -17, -14,..........) Soma dos termos de uma PG decrescente e
e) n.d.a ilimitada a) 4 b) 7 c) 15
Solução: Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) d) 31 e) 42
(a1 + a10).10 e decrescente. Nestas condições, podemos
S10=–65 ⇒ –––––––––––– = –65 ⇒ a1+a10=–13
2 considerar que no limite teremos an = 0. 02. O trigésimo primeiro termo de uma P .
(a1 + a20).10 Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: A. de 1.° termo igual a 2 e razão 3 é:
S20=170 ⇒ –––––––––––– = 170 ⇒ a1+a20=17
2
a1
Logo a P é dada por (-20, -17, -14,..........)
.A. S∞ = –––––– a) 63 b) 65 c) 92
q–1
2. Progressão geométrica( PG) d) 95 e) 102
Definição 03. O primeiro termo de uma progressão
Entenderemos por progressão geométrica – PG Aplicações aritmética, com a7 = 12 e razão igual a
– como qualquer seqüência de números reais
ou complexos, onde cada termo, a partir do 01. (UFMG) Dados os números 1, 3 e 4, nesta 5 é:
segundo, é igual ao anterior, multiplicado por ordem, determine o número que se deve
a) –18 b) 18 c) 42
uma constante denominada razão. somar a cada um deles para que se tenha
uma progressão geométrica. d) –42 e) 2
Exemplos:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG de razão 2 a) –5 b) –6 c) –7 04. Três números positivos estão em
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) PG de razão 1 d) –8 e) n.d.a.
(100, 50, 25, ... ) PG de razão 1/2 progressão aritmética. A soma deles é
Solução: 12 e o produto 18. O termo do meio é:
(2, –6, 18, –54, 162, ...) PG de razão –3
(x+1, x+3, x+4) P.G.
Fórmula do termo geral 2
(x+3) = (x+1).(x+4) a) 2 b) 6 c) 5
2 2
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , x + 6x + 9 = x + 5x + 4 ⇒ x = –5 d) 4 e) 3
onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo
02. (UEA) Numa P .G., o primeiro termo é 4 e o 05. A soma dos múltiplos de 3
termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a
razão da PG, da definição podemos escrever: quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa compreendidos entre 100 e 200 é:
a2= a1 . q P.G.
2
a) 10 b) 20 c) 30 a) 5000 b) 3950 c) 4000
a3= a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q
2
a4= a3 . q = (a1 . q ).q = a1 . q
3
d) 40 e) n.d.a. d) 4950 e) 4500
................................................ Solução:
................................................
06. Um cinema possui 20 poltronas na
a1 = 4 e a4 = 4000
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q , que é
n-1
3 3 primeira fila, 24 poltronas na Segunda
a4 = a1.q ⇒ 4000 = 4. q
denominada fórmula do termo geral da PG. 3
q = 1000 ⇒ q = 10 fila, 28 na terceira fila, 32 na quarta fila
Genericamente, poderemos escrever: e as demais fileiras se compõem na
j-k
aj = a k . q 03. (UFPA) Numa progressão geométrica, a mesma seqüência. Quantas filas são
Exemplos: diferença entre o 2.° e o 1.° termo é 9 e a
diferença entre o 5.° e o 4.° termo é 576. necessárias para a casa ter 800
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o Calcule o primeiro termo dessa progressão. lugares?
décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para a) 3 b) 4 c) 5 a) 13 b) 14 c) 15
calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem d) 6 e) n.d.a. d) 16 e) 17
pela fórmula: Solução:
9 9
a10 = a1 . q = 2 . 2 = 2. 512 = 1024 07. Se a razão de uma P é maior que 1
.G.
b)Sabe-se que o quarto termo de uma PG e o primeiro termo é negativo, a P é
.G.
crescente é igual a 20, e o oitavo termo é chamada:
igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos a) decrescente b) crescente
8–4
escrever: a8 = a4 . q . Daí, vem: c) constante d) alternante
4
320 = 20.q e) singular
4
Então q =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser 04. (UFAM) Inserindo- se quatro meios 08. Em uma progressão geométrica, o
expressa como: geométricos entre a e 486, obtém-se uma
quinto termo é 24 e o oitavo termo é 3.
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. P de razão igual a 3. Qual o valor de a?
.G.
A razão entre o sexto termo e o
Propriedades principais a) a = –2 b) a = 2 c) a = –3
d) a = 3 e) n.d.a.
décimo é:
• Em toda PG, um termo é a média geométrica
Solução: a) 4 b) 8 c) 1/8
dos termos imediatamente anterior e posterior.
(a,................, 486) P.G. d) 16 e) 1/16
Exemplo:
q=3
PG (A, B, C, D, E, F, G) 5 5
2
Temos então: B = A . C ; C = B . D ;
2 a6 = a1.q ⇒ 486 = a. 3 ⇒ a = 2 09. Sabendo que a sucessão
2 2
D = C . E ; E = D . F, etc. 05. (FGV) Resolva a equação: (x – 2, x + 2, 3x – 2,...) é uma P.G.
• O produto dos termos eqüidistantes dos 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = crescente, então o quarto termo é :
extremos de uma PG é constante. 7650, sabendo que os termos do 1.° a) 27 b) 64 c) 32
Exemplo: membro estão em P .G.
PG (A, B, C, D, E, F, G) d) 16 e) 54
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D
2 a) x = -3 b) x = 3 c) x = 4
d) x = -4 e) n.d.a. 10. Dada a progressão geométrica
Soma dos n primeiros termos de uma PG Solução: 1, 3, 9, 27,..., se a sua soma é 3280,
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o (10x, 20x, ................, 1280x) P.G. então ela apresenta:
n–1
cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , 1280x = 10x.2
vamos considerar o que segue: 128 = 2n-1 ⇒ n = 8 a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650 d) 6 termos e) 5 termos
Multiplicando ambos os membros pela razão q, 10x.(28 – 1)
––––––––––– = 7650 ⇒ x = 3
vem: 2–1
3

4. Desafio Matemática
Matemát ico
Professor CLÍCIO
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo
com a sua posição em relação ao ângulo sob
Trigonometria no triângulo análise. Se estivermos operando com o ângulo
C, então o lado oposto, indicado por c, é o
1. Trigonometria: cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao
Trigonometria do Triângulo Retângulo ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente
A trigonometria possui uma infinidade de ao ângulo C.
aplicações práticas. Desde a antiguidade, já se
01. Considere o triângulo retângulo usava da trigonometria para obter distâncias
representado na figura abaixo, onde impossíveis de serem calculadas por métodos
AB = 3 e AC = 4. comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
Determinação da altura de um certo prédio. Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a
utilidade do conceitos matemáticos no nosso
cotidiano. Iniciaremos estudando as proprieda-
des geométricas e trigonométricas no triângulo
retângulo. O estudo da trigonometria é extenso
O valor de cos ^ é:
C e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
a) 4/5 b) 3/5 c) 5/3
Ângulos: Um triângulo retângulo possui um
d) 5/4 e) 3/4
ângulo reto e dois ângulos agudos complemen-
02. Se um cateto e a hipotenusa de um tares.
Lados: Um triângulo retângulo é formado por
triângulo medem a e 3a, respectiva-
três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros
mente, então o cosseno do ângulo dois lados que são os catetos.
Os gregos determinaram a medida do raio da
oposto ao menor lado é: Altura: A altura de um triângulo é um segmento
Terra, por um processo muito simples.
a) b) c) Seria impossível se medir a distância da Terra à que tem uma extremidade num vértice e a outra
Lua, porém com a trigonometria isso torna extremidade no lado oposto ao vértice, sendo
simples. que este segmento é perpendicular ao lado
d) e) oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio
para construir uma ponte, o trabalho dele é mais retângulo, sendo que duas delas são os catetos.
03. Duas rodovias A e B encontram-se em A outra altura (ver gráfico acima) é obtida
O, formando um ângulo de 30°. Na fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa tomando a base como a hipotenusa, a altura
rodovia A existe um posto de gasolina saber a altura de uma montanha, o comprimento relativa a este lado será o segmento AD,
que dista 5km de O. O posto dista da de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria denotado por h e perpendicular à base.
rodovia B: anos para desenhar um mapa. Funções trigonométricas básicas
Tudo isto é possível calcular com o uso da As Funções trigonométricas básicas são
a) 5Km b) 10Km c) 2,5Km
trigonometria do triângulo retângulo. relações entre as medidas dos lados do
d) 15Km e) 1,25Km
Triângulo Retângulo triângulo retângulo e seus ângulos. As três
04. Um retângulo com lados adjacentes É um triângulo que possui um ângulo reto, isto funções básicas mais importantes da
é, um dos seus ângulos mede noventa graus, trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O
medindo sen α e cos α, com 0<α<π/2,
daí o nome triângulo retângulo. Como a soma ângulo é indicado pela letra x.
tem perímetro igual a . A área desse
das medidas dos ângulos internos de um
retângulo é: triângulo é igual a 180°, então os outros dois
a) 1/4 b) 3/5 c) 4/5 ângulos medirão 90°.
d) 5/4 e) 4 Observação: Se a soma de dois ângulos mede
90°, estes ângulos são denominados
05. Sendo sen a + cos a = m, então complementares, portanto podemos dizer que o
sen a . cos a é igual a: triângulo retângulo possui dois ângulos
2 2
complementares.
m–1 m –1 m +1 Tomando um triângulo retângulo ABC, com
a) ––––– b) –––––– c) –––––– Lados de um triângulo retângulo hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno
2 2 2
Os lados de um triângulo retângulo recebem do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO
m+1 m nomes especiais. Estes nomes são dados de e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente
d) ––––– e) ––––
2 2 acordo com a posição em relação ao ângulo CA. Portanto a tangente do ângulo analisado
reto. O lado oposto ao ângulo reto é a será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
06. Sabendo-se que cos x = 1/4 e que x é hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto 2. Relações Trigonométricas
um arco do 4.° quadrante, pode-se (adjacentes a ele) são os catetos.
afirmar que o valor real positivo de Relação fundamental
y= [sec2x – secx . cos secx].[1 – Para todo ângulo x (medido em radianos), vale
cotgx]–1é: a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1
Fórmulas derivadas das fundamentais
a) 132 b) 16 c) 49
d) 1253 e) 43 Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da
Trigonometria, a saber:
07. Se um ângulo é igual ao seu comple- Dado um arco trigonométrico x, temos:
mento, então o seno deste ângulo é Fórmula I – Relação Fundamental da
igual a: Trigonometria.
2 2
sen x + cos x = 1
a) b) c) 2 2
[o mesmo que (senx) + (cosx) = 1]
Fórmula II – Tangente.
d) 1 e) Para padronizar o estudo da Trigonometria, senx 1
adotaremos as seguintes notações: tgx = ––––– = –––––– , com cosx ≠ 0
cosx cotgx
08. O valor de k que verifica simultanea- Fórmula III – Co-tangente.
mente sec x = k/2 e tgx= é: cosx 1
cotgx = ––––– = ––––, com senx ≠ 0
senx tgx
a) 1 b) 2 c) 3 Fórmula IV – Secante.
d) 4 e) 5 1
secx = ––––––, com cosx ≠ 0
cosx
4

5. Fórmula V – Co-secante. AH = diâmetro da circunferência = 2R
Desafio
1 (R = raio)
cosecx = ––––––, com senx ≠ 0
senx AO = OH = raio da circunferência = R
Nota – Considere, nas fórmulas acima, a Medidas dos lados do triângulo ABC:
impossibilidade absoluta da divisão por ZERO. AB = c, BC = a e AC = b.
Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar
Matemát ico
secante de x; se sen x = 0, não existe a cosec x. observando que os ângulos H e B são
Para deduzir duas outras fórmulas muito congruentes, ou seja, possuem a mesma
importantes da Trigonometria, vamos partir da medida, pois ambos estão inscritos no mesmo
fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos arco CA. Além disso, podemos afirmar que o
2
os membros por cos x ≠ 0. Teremos: ângulo ACH é reto (90°), pois AH é um diâmetro.
2
sen x
2
cos x 1 Portanto o triângulo ACH é um triângulo
––––––– + –––––– = ––––––
2 2 2 retângulo.
cos x cos x cos x Podemos então escrever:
Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavel- sen H = sen B = cateto oposto/hipotenusa =
mente a seguinte fórmula que relaciona a tan- AC / AH = b/2R. 01. Sendo O o centro da circunferência de
gente e a secante de um arco trigonométrico x: Logo, fica: senB = b/2R e, portanto, b/senB=2R. raio unitário, então x = BC vale:
2 2
tg x + 1 = sec x Analogamente, chegaríamos às igualdades
2
Se em vez de dividirmos por cos x, dividíssemos c/senC = 2R e a/senA = 2R
2
ambos os membros por sen x, chegaríamos a: Como essas três expressões são todas iguais a
2 2 2R, poderemos escrever finalmente:
cotg x + 1 = cosec x A B C
–––––– = –––––– = ––––– = 2R
As duas fórmulas anteriores são muito senA senB senC
importantes para a solução de exercícios que Essa expressão mostra que as medidas dos
comparecem nos vestibulares; merecem, por lados de um triângulo qualquer são
isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas proporcionais aos senos dos ângulos opostos a
anteriores têm necessariamente de ser esses lados, sendo a constante de
memorizadas, e isso é apenas o início! A proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da
Trigonometria, infelizmente, depende de circunferência circunscrita ao triângulo ABC. a) 1 b) 0,8 c) 0,6
memorizações de fórmulas, mas, se você 5. Lei dos Co-senos d) 0,5 e) 0,4
souber deduzi-las, como estamos tentando Considere o triângulo ABC na figura abaixo:
mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais 02. O valor de k, para o qual
fáceis! Portanto fique tranqüilo(a). (cosx + senx)2 + k .senx. cos x – 1=0
é uma identidade , é:
a) –1 b) –2 c) 0
Arapuca
d) 1 e) 2
(UEA) Sendo sena + cosa = m, então sena.cosa
é igual a: 03. Simplificando a expressão
a) (m-1)/2 b) (m + 1)/2 c) m/2
AH = altura do triângulo em relação à base CB. , encontramos:
d) (2m-1)/2 e) n.d.a.
Solução: Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.
sena + cosa = m a) E = 1 + senx
Podemos escrever no triângulo AHB:
2
(sena + cosa) = m
2
2 2 2 b) 1
2 2 2 AH + HB = c (Teorema de Pitágoras). 2 2
sen a + 2sena.cos.a + cos a = m c) E = sen x – cos x
(sen2a + cos a) + 2sena.cos.a = m
2 2 Analogamente, podemos aplicar o teorema de
2
2 2
Pitágoras no triângulo AHC: b = CH + AH
2 d) E = 1 – senx
1 + 2sena.cos.a = m cosx
2
sena.cosa = (m – 1)/2 Mas CH = CB – HB = a – HB e) E = –––––––––
2 2 2
Portanto: b = (a - HB) + AH
2 2 2 2
1+senx
(FGV) Simplificar a expressão: b = a – 2.a.HB + HB + AH
senx cosx
–––––––––– + –––––––– .
2 2
Observe que HB + AH = AB = c
2 2 04. Na figura abaixo, determinar o valor de
1 + cotgx 1 + tgx 2 2 2 AB.
Então fica: b = a + c – 2.a.HB
1
a) –––––––––––– No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
senx + cosx
1 cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
b) –––––––––––– Daí, HB = c.cosB
senx – cosx
1 Substituindo, fica:
c) –––––– 2 2 2
senx b = a + c – 2.a.c. cosB
1 Da fórmula acima, concluímos que num
c) ––––––
cosx triângulo qualquer, o quadrado da medida de
e) n.d.a. um lado é igual à soma dos quadrados das
Solução: medidas dos outros dois lados, menos o dobro
do produto das medidas desses lados pelo co-
seno do ângulo que eles formam.
Analogamente, poderemos escrever:
2 2 2
a = b + c – 2.b.c.cosA
2 2 2 a) 65 b) 45 c) 75
c = a + b – 2.a.b.cosC
d) 25 e) 67
Em resumo:
2 2 2
a = b + c – 2.b.c.cosA 05. Na figura abaixo, tem-se representado
2 2 2
b = a + c – 2.a.c.cosB o losango ABCD, cuja diagonal menor
2 2 2
c = a + b – 2.a.b.cosC
mede 4 cm.
4. Lei dos Senos
Considere a figura abaixo, em que se vê um Caiu no vestibular
triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio
R. Observe que também podemos dizer que a (UEA) Num triângulo dois lados de
circunferência está circunscrita ao triângulo ABC. medidas 4cm e 8cm formam entre si
um angulo de 60°. Qual a medida do
outro lado?
a) b) c)
d) e) n.d.a.
Solução: A medida do lado desse losango, em
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
2 2 2
x = 4 + 8 – 2.4.cos60° = 16 + 64 – 8.(1/2), já
cm, é:
que cos60° = 1/2. a) b) 6 c)
2
x = 16 + 64 – 4 = 76
d) 4 e)
Na figura acima, temos: x= cm
5

6. Desafio Física
o móvel percorre em 1s, 2s, 3s e 4s,
respectivamente: d, 3d, 5d e 7d. Então:
x = d + 3d = 4d
Professor CARLOS Jennings y = 5d + 7d = 12d
Físico
x
A razão ––– vale:
y
x 4d 1
Movimentos de projéteis ––– = –––– = ––––
y 12d 3
Corpos que se movimentam nas imediações da 2. LANÇAMENTO VERTICAL
superfície terrestre, sem contato com o solo e
sujeitos apenas à atração gravitacional (força Equações: origem no ponto de lançamento (S0 =
peso), estão submetidos à mesma aceleração: a 0); trajetória orientada no sentido do movimento.
01. (UFSC) Duas bolinhas, A e B, partem da gravidade (g).
ao mesmo tempo de uma certa altura H 1. QUEDA LIVRE (MUV acelerado em trajetória
acima do solo, sendo que A em queda vertical).
livre e B com velocidade vo na direção Equações: origem no ponto inicial (S0 = 0);
horizontal. Podemos afirmar que: velocidade inicial nula (v0 = 0); resistência do ar
a) A chega primeiro ao solo. nula.
b) B chega primeiro ao solo.
c) A ou B chega primeiro, dependendo da
altura.
d) A ou B chega primeiro, dependendo da
velocidade inicial vo de B.
e) As duas chegam juntas.
Caiu no vestibular
02. (UFPR) Uma bola rola sobre uma mesa
horizontal de 1,225m de altura e vai As proporções de Galileu (UEA) Se uma pedra é lançada verticalmente
cair num ponto situado à distância de A área de cada triângulo da figura abaixo é para cima, a partir do solo, com velocidade
2,5m, medida horizontalmente a partir numericamente igual ao deslocamento d. inicial vo = 30m/s, ela atingirá uma altura
da beirada da mesa. Qual a velocidade máxima h, antes de voltar ao solo. Desprezando
da bola, em m/s, no instante em que o atrito com o ar e fazendo g = 10m/s2, o valor
ela abandonou a mesa? (g = 9,8m/s2).
de h será:
a) 5m/s b) 10m/s
a) 45m b) 35m
c) 15m/s d) 20m/s e) 25m/s
c) 20m d) 10m e) 5m
03. Um corpo de 2kg deve ser lançado Solução:
horizontalmente do alto de uma rampa Na altura máxima, o móvel pára (v = 0). Então:
de altura 45m, devendo atingir um v = vo + gt ∴ 0 = 30 + 10 . t ∴ t = 3s
buraco a 20m do pé da rampa. Qual
A altura máxima atingida:
deve ser o valor da velocidade de 2 2
Conclusão: gt 10.3
lançamento? Em tempos iguais e consecutivos, um móvel em S= vo.t – ––– ∴ S= 30.3 – –––––– ∴ S=45m
a) 12m/s b) 10,5m/s c) 8m/s queda livre percorre distâncias cada vez maiores, 2 2
d) 7,6m/s e) 6,6m/s na proporção dos ímpares consecutivos: no
primeiro segundo, o móvel cai uma distância d;
04. Um jogador chuta uma bola com uma no segundo seguinte, percorre 3d; no terceiro Arapuca
velocidade inicial de 20m/s, sob um segundo, 5d, e assim por diante. Um objeto de 2kg é lançado verticalmente para
ângulo de 60° com a horizontal. Calcule baixo, com velocidade inicial de 20m/s. Atinge o
a altura máxima que a bola irá atingir.
solo 4s após o lançamento. De que altura o
a) 5m b) 10m Caiu no vestibular corpo foi lançado? Com que velocidade ele
c) 15m d) 20m e) 25m (UEA) A expressão popular que afirma que o atinge o solo?
gato tem “sete vidas” justifica-se pelo fato de
05. (Fuvest-SP) Um gato, de um quilograma, eles conseguirem se sair bem de algumas
Solução:
dá um pulo, atingindo uma altura de situações difíceis. No caso de uma queda, por A altura do lançamento:
1,25m e caindo a uma distância de 1,5m exemplo, eles podem atingir o chão, sem se gt
2
10.16
do local do pulo (g = 10m/s2). A machucar, se a velocidade final for cerca de S= vo.t – ––– ∴ S= 20.4 – –––––– ∴ S=160m
2 2
componente vertical da velocidade inicial 8m/s. De que altura máxima eles podem cair,
A velocidade ao chegar ao solo:
e a velocidade horizontal do gato valem, sem o perigo de perder uma de suas “vidas”?
respectivamente. v = vo + gt ∴ 20 + 10 . 4 ∴ v = 60m/s
a) 2,0m b) 2,5m
Importante: observe que a massa do corpo
a) 5m/s e 1,5m/s b) 1,5m/s e 5m/s c) 3,2m d) 4,0m e) 4,5m
(2kg) não interferiu na resposta.
c) 5m/s e 15m/s d) 0,5m/s e 1,5m/s Solução:
e) 5,5m/s e 1m/s Procuremos o tempo: 3. LANÇAMENTO HORIZONTAL
v = vo + gt ∴ 8 = 0 + 10t ∴ t = 0,8s
06. Uma bola rola sobre uma mesa de A partir de um ponto situado a uma altura h,
Consideremos g = 10m/s2 e calculemos a altura:
80cm de altura, com velocidade cons- gt
2
10.(0,8)
2 acima do solo, o móvel é lançado
tante de 5m/s. Ao abandonar a mesa S= –––– ∴ S= –––––––– ∴ S=3,2m horizontalmente e percorre uma trajetória
2 2
(g = 10m/s2), a bola cai, tocando o parabólica, que pode ser construída utilizando-
solo no ponto situado, em relação à se a composição de dois movimentos
mesa: Arapuca independentes:
a) 3m b) 2m c)1m (UEA) Um corpo é abandonado em queda livre a) Movimento horizontal – Nesse movimento, o
d) 0,5m e) 1,5m de uma determinada altura. Observa-se que, nos
corpo percorre espaços iguais (designados
dois primeiros segundos de seu movimento, ele
07. Uma pedra de 4kg é lançada cai x metros. Já nos dois segundos seguintes, o por L, na Figura 2) em tempos iguais:
verticalmente de baixo para cima, com corpo desloca-se y metros. A razão x/y vale, movimento uniforme (velocidade constante).
uma velocidade inicial de 80m/s. qual a portanto: b) Movimento vertical – Nessa direção, o móvel
altura máxima alcançada pela pedra? a) 1 b) 1/2 está em queda livre (MUV acelerado) a partir
c) 1/3 d) 2 e) 3 do repouso. Os deslocamentos verticais
a) 320m b) 220m c) 120m
Solução:
d) 20m e) Nenhuma é correta. obedecem às Proporções de Galileu: 1d, 3d,
O intervalo é de 4s. Pelas proporções de Galileu,
5d, ..., (2n – 1)d.
6

7. Desafio
Importante: o alcance é o mesmo para
diferentes corpos, lançados com a mesma
velocidade inicial e com ângulos de lançamento
complementares (aqueles cuja soma vale 90°).
Físico
01. (PUC–SP) Você atira um corpo de
200g verticalmente para cima, a partir
do solo, e ele atinge uma altura de 3m
antes de começar a cair. Considerando
Arapuca a aceleração da gravidade 9,8m/s2 e
Importante: para corpos lançados da mesma
altura, o tempo de queda é o mesmo, Um objeto é lançado obliquamente com uma nula a resistência do ar, a velocidade
independente das massas dos corpos e de suas velocidade inicial de 100m/s, que forma com a de lançamento foi de:
velocidades horizontais de lançamento horizontal um ângulo de 60°. Calcule a altura a) 7,67m/s b) 8,76m/s c) 6,76m/s
(desprezando-se os efeitos do ar). máxima atingida pelo móvel e a distância do d) 7m/s e) 6m/s
ponto de lançamento ao ponto em que o móvel
toca o solo. 02. Um pára-quedista, quando a 120m do
Aplicação Solução: solo, deixa cair uma bomba, que leva
Uma bolinha rola por toda a extensão de uma As componentes da velocidade valem: 4s para atingir o solo. Qual a veloci-
mesa horizontal de 5m de altura e a abandona vox=vo . cos θ =100 . cos 60°=100.0,5 =50 m/s dade de descida do pára-quesdista?
com uma velocidade horizontal de 12m/s. Calcule voy = vo . sen θ = 100 . sen 60°= 100 . 0,866 = a) 1m/s b) 2m/s c) 5m/s
o tempo de queda e a distância do pé da mesa 86,6m/s d) 8m/s e) 10m/s
ao ponto onde cairá a bolinha (g = 10m/s2). Calculemos o tempo de subida, usando a
Solução: expressão da velocidade vertical. No ponto mais 03. Um buriti cai do alto de um buritizeiro
Calculemos, inicialmente, o tempo de queda, alto, vy = 0: e, entre 1s e 2s, percorre 4,5m. As
2
considerando apenas o movimento vertical gt distâncias percorridas durante o
(queda livre – MUV acelerado): vy = voy – –––– ∴ 0 = 86,6 – 10t ∴ t= 8,66s
2
2 terceiro e o quarto segundos de
gt 10 2 2 A altura atingida pelo móvel (MUV retardado): queda são, respectivamente:
H = ––– ∴ 5= ––– t ∴ 5= 5t ∴ t=1s 2
2 2 gt 10 . (8,66)2
h = voy – ––– = 86,6 . 8,66 – ––––––––– = 375m a) 5,5m e 6,5m b) 6,5m e 7,5m
Considerando agora o movimento horizontal 2 2
(uniforme), teremos: c) 7,5 e 10m d) 7m e 10,5m
Calculemos o alcance (distância horizontal
SH e) 7,5m e 10,5m
vH = ––– ∴ SH = vH.t = 12 . 1 =12m percorrida em MU). O tempo é o de subida mais
t o de descida (8,66s + 8,66s): 04. Um corpo em queda livre sujeita-se à
(o corpo cairá a 12m do pé da mesa). Sh = vox . t = 50 . 17,32 = 866m aceleração gravitacional de 10m/s2.
4. LANÇAMENTO OBLÍQUO Ele passa por um ponto A com
A velocidade de lançamento forma com a velocidade de 10m/s e por um ponto
horizontal um ângulo distinto de 0° e de 90°. Exercícios B com velocidade de 50m/s. A
distância entre os pontos A e B é de:
01. (PUC-RJ) Uma pedra é lançada
a) 100m b) 120m c) 140m
verticalmente para cima. No ponto
mais alto da trajetória, pode-se dizer d) 160m e) 240m
que a sua velocidade v e a sua 05. (FESP–PE) Do alto de um edifício,
aceleração a têm os seguintes valores, abandona-se uma bola de ferro que
em módulo: durante o último segundo percorre
a) v = 0 e a = 0 b) v = g e a = 0 25m. A altura do edifício vale, em
A velocidade Vo pode ser decomposta em duas c) v = a d) v = 0 e a = g metros:
componentes: Vox (componente da velocidade e) v = 0 e a = g/2
no eixo dos x) e Voy (componente da velocidade a) 45 b) 40
no eixo dos y): 02. De um ponto a 20m do solo, lança-se, c) 35 d) 80 e) 125
Vox = vo . cos θ verticalmente para cima, um objeto
com velocidade inicial de 10m/s. 06. Um ouriço de castanha desprendeu-se
Voy = vo . sen θ
Despreze a resistência do ar e do alto de uma castanheira de 20m. O
O lançamento oblíquo resulta da composição de
considere g = 10m/s2. Considere as tempo de queda e a velocidade do
dois movimentos independentes:
a) Movimento horizontal – Esse movimento é afirmativas: ouriço ao chegar ao solo são,
uniforme, uma vez que Vox é constante I. A altura máxima atingida é de 25m, em respectivamente:
(desprezando-se a resistência do ar). relação ao solo. a) 2s e 20m/s b) 20s e 2m/s
b) Movimento vertical – Nesse movimento, a II. O objeto atinge o solo com velocidade
c) 3s e 30m/s d) 4s e 40m/s
velocidade é variável, pois o corpo está de 10m/s, em módulo.
e) 5s e 50m/s
sujeito à aceleração da gravidade: na subida, III. O tempo, do lançamento até o retorno
o movimento é retardado (velocidade e ao solo, é de 2s. 07. Do alto de uma torre, um garoto deixa
aceleração têm sentidos contrários); na São corretas: cair uma pedra, que demora 2s para
descida, o movimento é acelerado a) Apenas a I. b) Apenas a II. chegar ao solo. Qual a altura dessa
(velocidade e aceleração têm sentidos iguais). c) Apenas a III. d) I e II. e) II e III. torre?
03. (Udesc-SC) Um jogador de basquete a) 10m b) 20m
arremessa uma bola verticalmente c) 30m d) 40m e) 50m
para cima, com velocidade inicial de
15m/s. Sabendo-se que a bola subiu 08. Uma pedra é arremessada
durante 1,5s, calcule, em metros, a verticalmente para cima, com
altura máxima que ela atingiu a partir velocidade inicial de 30m/s. Calcule a
do seu ponto de lançamento, altura máxima que ela atinge?
desprezando a resistência do ar.
a) 15m b) 25m
a) 10,5m b) 11,25m c) 12,5m c) 35m d) 45m e) 55m
d) 13m e) 14,4m
7

8. Física
→
c) Trabalho de Fat (θ = 180°):
Anota
τ Fat = Fat.d.cos180° = 10.10.(−1) = −100J
(trabalho resistente).
Professor CARLOS Jennings Energia Mecânica – Chamamos de Energia
Mecânica a todas as formas de energia
Aí!
relacionadas com o movimento de corpos ou
com a capacidade de colocá-los em movimento
Trabalho e Energia ou deformá-los. É dada pela soma das energias
cinética e potencial: Em = Ec + Ep
O conceito científico de trabalho nem sempre
Energia Cinética – Energia associada ao movi-
coincide com o que se pensa vulgarmente
mento. É uma grandeza escalar que depende da
sobre trabalho (geralmente tido como “qualquer
massa e do quadrado da velocidade do corpo:
esforço do corpo ou da mente”).
mv2
Para a Física, Trabalho é a medida das transfor- Ec = ––––––
mações de energia causadas por uma força sobre 2
um sistema. Energia é um conceito muito abran- Energia Potencial Gravitacional – Energia
gente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícil armazenada associada à posição do corpo;
de ser definido de um modo preciso. Usando pode permanecer armazenada indefinidamente,
apenas a experiência do nosso cotidiano, podería- ou ser utilizada a qualquer momento na
mos conceituar energia como algo que é capaz produção de movimento, ou seja, pode ser
de originar mudanças no mundo. transformada, no todo ou em parte, em energia
Podemos dizer que a presença de energia num cinética: Ep = m.g.h
dado sistema físico encerra a possibilidade Energia Potencial Elástica
de que se produza movimento. Por exemplo: a
É a energia armazenada em uma mola
energia armazenada por uma pessoa, a partir
comprimida ou distendida. Matematicamente:
dos alimentos, permite que ela se movimente e
kx2
mova outros corpos. Epe = –––––, onde k é a constante elástica e x é
τ
Trabalho (τ) de uma força constante – Se uma 2
→
força F constante atua em uma partícula, a deformação da mola (quanto a mola foi compri-
→
produzindo um deslocamento d. O trabalho mida ou distendida).
realizado por essa força é dado por: Teorema da Energia Cinética – O trabalho da
τ =F.d.cos θ força resultante é igual à variação de energia
F = módulo da força aplicada ao corpo; cinética: τ = ∆Ec = Efinal − Einicial
d = módulo do deslocamento; Princípio da Conservação da Energia
→ →
θ = ângulo entre F e d. Mecânica – Uma força é chamada conservativa,
O Sol ocupa uma posição central no Unidade de trabalho (SI) – O joule: trabalho quando pode devolver o trabalho realizado para
mosaico energético da Terra. A energia realizado por uma força de 1 newton, ao vencê-la. Desse modo, o peso de um corpo e a
dele emanada induz a formação de todas deslocar um corpo por 1 metro (1J = 1N . 1m). força elástica são exemplos desse tipo de força.
as outras formas de energia, exceto a No entanto a força de atrito cinético, que não
nuclear. pode devolver o trabalho realizado para vencê-
A energia solar dá causa aos movimentos la, é uma força não-conservativa, ou dissipativa
dos ventos e das águas, que são formas
(degrada energia mecânica).
de energia mecânica. Essa energia
Em um sistema no qual só atuam forças conser-
alimenta as usinas e os moinhos para a Dependendo do valor de θ, o trabalho de uma
vativas (sistema conservativo), a energia mecânica
geração de energia elétrica que chega às força pode ser:
se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo
nossas casas, a qual, por seu turno, é a) Positivo (trabalho motor) – A força “contribui”
valor em qualquer momento, alternando-se nas
transformada em energia térmica (no com o deslocamento.
suas formas cinética e potencial (gravitacional ou
chuveiro), em energia mecânica (no b) Negativo (trabalho resistente) – A força atua
elástica).
movimento do liquidificador), em energia em oposição ao deslocamento.
luminosa (nas lâmpadas), etc. É pela c) Nulo – A força é perpendicular ao sentido do
energia de radiação provinda do Sol que deslocamento do corpo. Aplicação
se formam os ventos e se aquecem os Importante: o trabalho de uma força perpen-
rios, realizando-se, assim, o ciclo da Uma pedra de 2kg é abandonada de uma altura
dicular ao deslocamento é sempre nulo.
água, que vai propulsionar usinas as de 8m em relação ao solo. Calcule a energia
hidroelétricas. cinética e a velocidade de que estará dotada a
Como se não bastassem todas as formas Aplicação pedra ao atingir o solo? (Despreze a resistência
de energia que derivam do Sol, a energia Um corpo movimenta-se por 10m sobre uma do ar e considere g = 10m/s2).
de radiação ainda pode ser usada superfície horizontal sob a ação das forças Solução:
diretamente para produzir energia constantes indicadas na figura. Calcule o a) Ec = Ep ∴ Ec = mgh = 2.10.8 = 160J (ao
elétrica, por meio das células trabalho de cada uma das forças atuantes no atingir o solo, a pedra terá uma energia cinética
fotoelétricas, e também como energia corpo. Dados: P = 100N; F = 50N; Fat = 10N; que corresponde à energia potencial que tinha
termoelétrica, por meio do calor. cos 60° = 0,5; cos 90° = 0; cos 180° = −1. quando iniciou a queda).
Utilizar energia solar como fonte de
mv2 2.v2
energia elétrica pode resolver muitos b) Ec = –––– ∴ 160 = –––– ∴v = =12,6m/s
2 2
problemas da vida moderna, em que,
indiscriminadamente, fabricam-se IMPULSO E MOMENTO LINEAR
→
equipamentos e máquinas movidos a Um corpo recebe um impulso ( I ) quando é
eletricidade. Solução: solicitado por uma força durante um certo
→ →
A utilização de células fotoelétricas para a a) P e N são perpendiculares ao deslocamento intervalo de tempo.
produção de energia elétrica também (θ = 90º):
→
Impulso de uma força constante: I = F∆t
→
∆
pode representar uma alternativa em τP = P.d.cos90° = 100.10.0 = 0 – É uma grandeza vetorial (possui módulo,
regiões de difícil acesso como a τN = N.d.cos90° = 0 direção e sentido).
→
Amazônia, onde o fornecimento de b) Trabalho de F (θ = 60°): – Tem módulo proporcional ao módulo de F
→
energia solar é abundante o ano inteiro. τF = F.d.cos60° = 50. 10. 0,5 = 250J (trabalho (quanto maior a força, maior o impulso).
→
motor); – Tem sempre direção e sentido iguais aos de F.
8