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ESCOLA SECUNDÁRIA D. INÊS DE CASTRO ALCOBAÇA

                                  Teste de Avaliação de Matemática – 11º Ano



Duração: 90 minutos                                                                                   28/11/2005
Nome:____________________________________ N.º______                               Turma: ________

                                                   Parte I
   - As cinco questões desta primeira parte são de escolha múltipla.
   - Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
   - Para cada questão, escreve na folha de resposta a letra correspondente à alternativa correcta.
   - Se apresentares mais do que uma resposta, a questão será anulada.
   - Cada resposta certa vale 9 (nove) pontos e cada questão não respondida ou anulada vale 0 ( zero) pontos.



  1. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD].
     O lado [CD] está contido no eixo das abcissas.
     Os vértices A e B pertencem à circunferência
     Seja α a amplitude do ângulo BOC.


      A área do rectângulo [ABCD] é:


     (A) 2 ⋅ sen α ⋅ cos α                (B) 2 ⋅ sen α ⋅ tg α


     (C) 2 ⋅ sen α                       (D) 2 ⋅ tg α


  2. As bases de um trapézio rectângulo medem 8 e 2 centímetros. Se a amplitude do menor
     dos seus ângulos internos for 30º, a sua área, em cm2 é:

          (A) 10 3              (B) 16             (C) 8               (D) 16 3


  3. Um ciclista andou cerca de 447,68 m, numa pista circular de raio 10 m.

      O seno do ângulo α que descreveu é:

          (A) sen α ≈ 0, 7       (B) sen α = 0              (C) sen α ≈ 0,8660           (D) sen α = 1



  4. Considera um vector AB tal que AB = 4. Qual é o valor do produto escalar AB i BA ?



          (A) -16                (B) 0             (C) 8               (D) 16




                                                                                                                   1
5. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

          (A) No 3º quadrante existe um ângulo cujo co-seno é igual ao seno.

          (B) Existe um ângulo no 4º quadrante cujo seno é 0,5.
                 3π
          (C) Se     ≤ x ≤ π , o seno de x é menor do que o co-seno de x .
                  4
                        0,5
          (D) Se tg x =     , então sen x = 0, 5 e cos x = 0, 6
                        0,6

  6. Os lados extremidades dos ângulos de amplitudes −240º + k .180º , k ∈      , situam-se:

       (A) apenas no 2º quadrante                 (C) nos 1º e 3º quadrantes


       (B) apenas no 3º quadrante                 (D) nos 2º e 4º quadrantes



                                                Segunda Parte

Nas questões desta segunda parte, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos que tiveres de efectuar e todas as justificações necessárias.

  1. Num Na figura

          •   [ABCD] é um quadrado de lado 2.

          •   [AHB], [BGC], [CFD] e [DEA]
              são triângulos rectângulos iguais.

          •    x designa a amplitude do ângulo HBA.




  1.1 Mostra que a área da superfície sombreada é dada, em função de x , por

                                                 ⎛ ⎤ π ⎤⎞
               f ( x ) = 4 (1−2 sen x cos x )    ⎜ x∈⎥ 0, ⎥ ⎟
                                                 ⎝ ⎦ 4 ⎦⎠

                ⎛π ⎞
  1.2 Calcula f ⎜ ⎟ e interpreta geometricamente o valor obtido ( deves incluir, na tua
                ⎝4⎠
                                                         π
      interpretação, a figura que se obtém para x =          ).
                                                         4

  1.3 Recorre à calculadora para determinar graficamente as solução da equação que te permite
      resolver o seguinte problema:

      Quais são os valores de x para os quais a área do quadrado [EFGH] é 1,5.

      Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico,
      ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de alguns pontos. Apresenta os valores pedidos
      na forma de dizima arredondados às décimas.




                                                                                                      2
2.   Considera a equação 1 + 2 sen ( 2 x ) = 0 .



                                 11π
        2.1 Mostra que x =             é solução da equação dada.
                                 12

        2.2 Determina, no sistema circular, uma expressão geral das soluções da equação.

        2.3 Determina as soluções da equação dada no intervalo −π , 0 .[      ]


                              4 sen (π − θ )
        Seja A (θ ) =
                                                                                                                  C
   3.                                                e considera o triângulo [ABC]
                                         ⎛ 3π    ⎞
                        cos ( −θ ) − sen ⎜    +θ ⎟
                                         ⎝ 2     ⎠


                                                                                                       θ
        3.1 Mostra que A (θ ) = 2tgθ e que A (θ ) representa a área                              A                    B
                                                                                                       2 cm
                                               ⎤ π⎡
            do triângulo [ABC] para θ ∈ ⎥ 0;        .
                                               ⎦ 2⎢
                                                  ⎣


        3.2 Determina o valor de θ para o qual a área do triângulo [ABC] é 2 3 cm .
                                                                                           2




                                                        FIM

                                                                                               Bom trabalho!

Cotações:
1ª Parte:       Total 54 pontos

2ª Parte:

                1.1        1.2         1.3       2.1       2.2       2.3      3.1    3.2       Total
                20         16          17        15        20        20       20     18        146




                                                                                                              3

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  • 1. ESCOLA SECUNDÁRIA D. INÊS DE CASTRO ALCOBAÇA Teste de Avaliação de Matemática – 11º Ano Duração: 90 minutos 28/11/2005 Nome:____________________________________ N.º______ Turma: ________ Parte I - As cinco questões desta primeira parte são de escolha múltipla. - Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. - Para cada questão, escreve na folha de resposta a letra correspondente à alternativa correcta. - Se apresentares mais do que uma resposta, a questão será anulada. - Cada resposta certa vale 9 (nove) pontos e cada questão não respondida ou anulada vale 0 ( zero) pontos. 1. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. O lado [CD] está contido no eixo das abcissas. Os vértices A e B pertencem à circunferência Seja α a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é: (A) 2 ⋅ sen α ⋅ cos α (B) 2 ⋅ sen α ⋅ tg α (C) 2 ⋅ sen α (D) 2 ⋅ tg α 2. As bases de um trapézio rectângulo medem 8 e 2 centímetros. Se a amplitude do menor dos seus ângulos internos for 30º, a sua área, em cm2 é: (A) 10 3 (B) 16 (C) 8 (D) 16 3 3. Um ciclista andou cerca de 447,68 m, numa pista circular de raio 10 m. O seno do ângulo α que descreveu é: (A) sen α ≈ 0, 7 (B) sen α = 0 (C) sen α ≈ 0,8660 (D) sen α = 1 4. Considera um vector AB tal que AB = 4. Qual é o valor do produto escalar AB i BA ? (A) -16 (B) 0 (C) 8 (D) 16 1
  • 2. 5. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) No 3º quadrante existe um ângulo cujo co-seno é igual ao seno. (B) Existe um ângulo no 4º quadrante cujo seno é 0,5. 3π (C) Se ≤ x ≤ π , o seno de x é menor do que o co-seno de x . 4 0,5 (D) Se tg x = , então sen x = 0, 5 e cos x = 0, 6 0,6 6. Os lados extremidades dos ângulos de amplitudes −240º + k .180º , k ∈ , situam-se: (A) apenas no 2º quadrante (C) nos 1º e 3º quadrantes (B) apenas no 3º quadrante (D) nos 2º e 4º quadrantes Segunda Parte Nas questões desta segunda parte, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiveres de efectuar e todas as justificações necessárias. 1. Num Na figura • [ABCD] é um quadrado de lado 2. • [AHB], [BGC], [CFD] e [DEA] são triângulos rectângulos iguais. • x designa a amplitude do ângulo HBA. 1.1 Mostra que a área da superfície sombreada é dada, em função de x , por ⎛ ⎤ π ⎤⎞ f ( x ) = 4 (1−2 sen x cos x ) ⎜ x∈⎥ 0, ⎥ ⎟ ⎝ ⎦ 4 ⎦⎠ ⎛π ⎞ 1.2 Calcula f ⎜ ⎟ e interpreta geometricamente o valor obtido ( deves incluir, na tua ⎝4⎠ π interpretação, a figura que se obtém para x = ). 4 1.3 Recorre à calculadora para determinar graficamente as solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de x para os quais a área do quadrado [EFGH] é 1,5. Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de alguns pontos. Apresenta os valores pedidos na forma de dizima arredondados às décimas. 2
  • 3. 2. Considera a equação 1 + 2 sen ( 2 x ) = 0 . 11π 2.1 Mostra que x = é solução da equação dada. 12 2.2 Determina, no sistema circular, uma expressão geral das soluções da equação. 2.3 Determina as soluções da equação dada no intervalo −π , 0 .[ ] 4 sen (π − θ ) Seja A (θ ) = C 3. e considera o triângulo [ABC] ⎛ 3π ⎞ cos ( −θ ) − sen ⎜ +θ ⎟ ⎝ 2 ⎠ θ 3.1 Mostra que A (θ ) = 2tgθ e que A (θ ) representa a área A B 2 cm ⎤ π⎡ do triângulo [ABC] para θ ∈ ⎥ 0; . ⎦ 2⎢ ⎣ 3.2 Determina o valor de θ para o qual a área do triângulo [ABC] é 2 3 cm . 2 FIM Bom trabalho! Cotações: 1ª Parte: Total 54 pontos 2ª Parte: 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 Total 20 16 17 15 20 20 20 18 146 3