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SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
Docente: Ive Pina 2º Bimestre
SEQUÊNCIAS
O que são sequências?
Sequências são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou
regra.
Exemplos:
Sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ....
Sequência de múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, ...
Sequência das potências de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Sequência de números triangulares:
Sequência de números quadrangulares:
Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...
Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro,
é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim
por diante.
2
Sequência qualquer: 111, 128, 146, 165, 185, ...
Exercício: Descubra os três termos seguintes de cada uma das sequências:
a. 4, 11, 18, 25,… g. 99, 88, 77,… m. 2, 4, 8, 16,…
b. 1, 2, 1, 2, 1, 2,… h. 0, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6, … n. ,...
24
1
,
12
1
,
6
1
,
3
1
c. 1,1 ; 3,3 ; 5,5; … i. 0, -1, -2, -3,… o. 4, 13, 40, 121, …
d. 2, 3, 5, 9, 17, … j. -1, -1, 1, -1, -1, … p. ,...
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
e. 0, -1, -2, -3, … k. 1, -2, 3, -4, 5, … q. 3, 5, 8, 12, 17, …
f. 4, -1, -6, …
Expressão geral de uma sequência:
A expressão geral da sequência de números ímpares é 2n – 1, pois:
Para n = 1, tem-se 2n – 1 = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 (1º termo da sequência)
Para n = 2, tem-se 2n – 1 = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3 (2° termo da sequência)
Para n = 3, tem-se 2n – 1 = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5 (3º termo da sequência)
Para n = 4, tem-se 2n – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7 (4° termo da sequência)
...
E, assim por diante, teremos todos os números ímpares representados pela expressão
2n – 1.
A sequência de múltiplos de 3, tem expressão geral de 3n, pois:
Para n = 1, tem-se 3n = 3.1 = 3 (1º termo da sequência)
Para n = 2, tem-se 3n = 3.2 = 6 (2º termo da sequência)
Para n = 3, tem-se 3n = 3.3 = 9 (3º termo da sequência)
Para n = 4, tem-se 3n = 3.4 = 12 (4º termo da sequência)
...
E, assim por diante, teremos todos os múltiplos de 3 representados pela expressão 3n.
3
Assim, quando se é dada a expressão geral de uma sequência, é fácil de calcular
qualquer um de seus termos. Por exemplo, é possível achar os 5 primeiros termos da
sequência n² + 5n, assim como é possível encontrar o 100º termo da mesma. Veja:
Para n = 1, tem-se n² + 5n = 1² + 5.1 = 1 + 5 = 6
Para n = 2, tem-se n² + 5n = 2² + 5.2 = 4 + 10 = 14
Para n = 3, tem-se n² + 5n = 3² + 5.3 = 9 + 15 = 24
Para n = 4, tem-se n² + 5n = 4² + 5.4 = 16 + 20 = 36
Para n = 5, tem-se n² + 5n = 5² + 5.5 = 25 + 25 = 50
....
Para n = 100, tem-se n² + 5n = 100² + 5.100 = 10.000 + 500 = 10.500
Exercícios:
1) Verifique se as expressões gerais dadas abaixo representam suas sequências.
a) Sequência das potências de 2: {1,2,4,8,16,...} – termo geral: 2n-1
b) Sequência de números triangulares: {1,3,6,10,...} – termo geral:
2
)1( nn
c) Sequência de números quadrangulares: {1,4,9,16,...} – termo geral: n²
2) Escreva os cinco primeiros termos de uma sequência dada pelo termo geral:
a. n² - 1
b. n – 2
c. 2n²
d.
n
n 1
Exercícios resolvidos:
1) (SAERJ– 2013)
Resposta: E
n (n + 1) n (n + 1)
n = 1 => 1 (1 + 1) = 1.2 = 2
n = 2 => 2 (2 + 1) = 2.3 = 6
n = 3 => 3 (3 + 1) = 3.4 = 12
n = 4 => 4 (4 + 1) = 4.5 = 20
n = 5 => 5 (5 + 1) = 5.6 = 30
2) (SAERJ-2013) Observe no quadro abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência
numérica que segue um padrão. Nesse quadro, n indica a posição do termo p.
Qual é a expressão algébrica que permite
calcular o n-ésimo termo dessa
sequência?
A) n – 2 B) 2n2
– 3 C) n2
– 2 D) 3n – 4 E) 5n – 8
Resposta: C
n² - 2 n² - 2
n = 1 => 1² - 2 = 1 - 2 = - 1
n = 2 => 2² - 2 = 4 - 2 = 2
n = 3 => 3² - 2 = 9 – 2 = 7
n = 4 => 4² - 2 = 16 - 2 = 14
n = 5 => 5² - 2 = 25 - 2 = 23
3) (SAERJ-2015) A sequência numérica abaixo foi criada obedecendo a um padrão de
regularidade.
0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
4
A expressão algébrica que descreve o valor do termo da sequência, em função de sua
posição n na sequência, é
A) 3n B) 9n C) 2n – 1 D) n2
– 1 E) 3n2
Resposta: D
n² - 1 n² - 1
n = 1 => 1² - 1 = 1 - 1 = 0
n = 2 => 2² - 1 = 4 - 1 = 3
n = 3 => 3² - 1 = 9 – 1 = 8
n = 4 => 4² - 1 = 16 - 1 = 15
n = 5 => 5² - 1 = 25 - 1 = 24
n = 6 => 6² - 1 = 36 – 1 = 35
4) (SAERJ–2012)
Resposta: B
n = 1 =>
n = 3 =>
n = 5 =>
n = 7 =>
5) (SAERJ-2013) O desenho abaixo representa uma sequência de figuras formadas
por quadrados. A quantidade de quadrados em cada figura segue um padrão de
acordo com a posição que essa figura ocupa nessa sequência.
Qual é a expressão
algébrica que
relaciona o número
de quadrados dessa
figura de acordo
com a sua
posição n na
sequência?
A) n2
+ n B) 4n – 2 C) 8n – 12 D) n + 4 E) 6n – 6
Resposta: A
n² + n n² + n
n = 1 => 1² + 1 = 1 + 1 = 2
n = 2 => 2² + 2 = 4 + 2 = 6
n = 3 => 3² + 3 = 9 + 3 = 12
n = 4 => 4² + 4 = 16 + 4 = 20
6) (SAERJ-2014) Os desenhos abaixo ilustram geometricamente uma sequência na
qual o número Q de quadrados pode ser calculado de acordo com a posição n que
esses quadrados ocupam na sequência, com n IN*. Nessa sequência são
desconsiderados os quadrados formados pela justaposição de quadrados menores.
5
Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número Q de quadrados, de
acordo com a posição n desses quadrados na sequência?
A) Q = 4n – 1
B) Q = 2n
– 1 C) Q = n2
D) Q = 2.n – 1 E) Q = 4.n – 3
Resposta: A
Q = 4n – 1
Q = 4n – 1
n = 1 => 41 – 1
= 40
= 1
n = 2 => 42 – 1
= 4¹ = 4
n = 3 => 43 – 1
= 4² = 16
n = 4 => 44 – 1
= 4³ = 64
Exercícios:
1) (SAERJ–2012)
2) (SAERJ–2012)
3) (SAERJ–2012)
4) (SAERJ–2012)
6
5) (SAERJ-2013) Observe abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência numérica
que segue um padrão.
(2, 6, 12, 20, 30, ...)
Qual é a expressão que permite calcular o n-ésimo termo dessa sequência?
A) n + 2 B) n + 4 C) 2n D) n (n – 1) E) n (n + 1)
6) (SAERJ-2014) Observe no quadro abaixo os 6 primeiros termos de uma sequência
numérica que segue um padrão.
Nesse quadro, s indica a posição do termo t na sequência. A expressão algébrica que
permite calcular um termo dessa sequência em função de sua posição é
A) t = s + 4 B) t = s + 6 C) t = 5s D) t = s2
+ 1 E) t = s2
+ 4
7) (SAERJ-2013)
8) (SAERJ-2015) Na malha quadriculada abaixo há uma sequência de figuras
geométricas, formadas por quadradinhos cinza escuro, que seguem um padrão de
formação.
Uma expressão algébrica
que descreve o número
de quadrados de cor
cinza empregados na
formação de cada figura,
em função de sua
posição n na sequência, é
A) 2n
+ 2
B) (2 + n)n
C) (n + 1)2
D) (n – 1)2
E) (n + 1)2
– (n – 1)2
7
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Progressão aritmética é uma sequência especial, na qual, dado um primeiro termo,
obtemos todos os outros, acrescentando-se sempre a mesma quantidade.
Por exemplo, a partir do número 7 acrescentamos 3 diversas vezes e vamos obter a
P.A.: 7, 10, 13, 16, 19, 22 ...
O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, chama-se razão (r).
Exercício: Escreva os seis primeiros termos de uma sequência em que o primeiro
termo é 3 e cada termo seguinte seja a soma do anterior com 6.
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Consideremos a sequência genérica a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an e sua razão r. Onde a1 é
o primeiro termo, a2 é o segundo termo, a3 é o terceiro termo e, assim por diante, até
encontrar an como o n-ésimo termo de uma P.A.
Observamos então que a partir de a1, para chegar em a2 soma-se uma vez a razão R,
partindo de a1 novamente, para chegar a a3, 2R foram somados, de a1 para a4, 3R e
assim sucessivamente. Observe que a quantidade de R somados é sempre (n - 1)
vezes a posição que o termo ocupa. Por exemplo, o termo a2 está na segunda
posição, mas teve (2 – 1)R somado. O a3 ocupa a terceira posição, mas teve (3 – 1)R
somado. O a4 está na quarta posição e teve (4 – 1)R somado. Desta forma, para
encontrar o 10º termo de uma P.A. basta somar (10 - 1)R ao primeiro termo. E, assim,
também obtemos a fórmula do termo geral, veja o esquema abaixo:
Retornando a primeira P.A. 7, 10, 13, 16, 19, 22, ... para saber o 100° termo da
mesma, não é mais necessário escrever 100 números. Basta usar a fórmula do termo
geral para achá-lo.
a1 = 7
r = 3
n = 100
an = a100 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a100 = 7 + (100 – 1).3
a100 = 7 + 99.3
a100 = 7 + 297
a100 = 304
Logo, o 100° termo da P.A. acima é 304.
Exemplos:
1) Qual é o trigésimo termo da progressão aritmética: 10,17, 24, 31, 38, ...?
a1 = 10
r = 17 – 10 = 7
n = 30
an = a30 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a30 = 10 + (30 – 1).7 = 10 + 29.7 = 10 + 203 = 213
8
2) Qual o décimo quinto termo da PA (4, 10, ...)?
a1 = 4
r = 10 – 4 = 6
n = 15
an = a15 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a15 = 4 + (15 – 1).6 = 4 + 14.6 = 4 + 84 = 88
3) Qual é o 21º termo da P.A. 





,...3,
3
5
,
3
1
?
a1 = 1/3
r = 5/3 – 1/3 = 4/3
n = 21
an = a21 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a21 = 1/3 + (21 – 1).4/3 = 1/3 + 20.4/3 = 1/3 + 80/3 = 81/3 = 27
4) Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão
prometeu aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará
ganhando em dezembro do ano seguinte?
(270,278,286,294,...)
a1 = 270
r = 8
n = 24
an = a24 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a24 = 270 + (24 – 1).8 = 270 + 23.8 = 270 + 184 = 454
5) Um corpo, caindo livremente, percorre 4,9 m durante o 1° segundo; no segundo
seguinte, percorre 14,7m; no 3° segundo, 24,5m. Continuando assim, quanto
percorrerá no 11° segundo?
(4,9;14,7;24,5;...)
a1 = 4,9
r = 14,7 – 4,9 = 9,8
n = 11
an = a11 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a11 = 4,9 + (11 – 1).(9,8) = 4,9 + 10.(9,8) = 4,9 + 98 = 102,9
6) Um pintor consegue pintar uma área de 5 m² no primeiro dia de serviço e, a cada
dia, ele pinta 2 m² a mais que pintou no dia anterior. Quantos metros quadrados ele
pintará no 9° dia?
(5,7,9,...)
a1 = 5
r = 2
n = 9
an = a9 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a9 = 5 + (9 – 1).2 = 5 + 8.2 = 5 + 16 = 21
7) (SAERJ-2014) A gerente de uma loja de eletrodomésticos observou o número de
vendas realizadas por um de seus melhores funcionários ao longo dos vinte dias úteis
de um mês. No primeiro dia útil, esse funcionário vendeu 20 eletrodomésticos; no
segundo dia, 26 eletrodomésticos e, assim por diante, sempre aumentando sua venda
em seis eletrodomésticos em relação ao dia anterior. Quantos eletrodomésticos esse
funcionário vendeu no 18º dia útil desse mês?
A) 20 B) 44 C) 122 D) 134 E) 222
(20,26,...)
a1 = 20
r = 26 – 20 = 6
n = 18
an = a18 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a18 = 20 + (18 – 1).6 = 20 + 17.6 = 20 + 102 = 122
Resposta: C
9
8) Em uma estrada são instalados telefones SOS a cada 2,8 km. Calcule o número de
telefones instalados no trecho que vai do quilômetro 5 ao quilômetro 61, sabendo que
nessas duas marcas há telefones instalados. Considere inclusive esses dois telefones.
(5; 7,8; 10,6; 13,4; ...; 61)
a1 = 5
r = 2,8
n = ?
an = 61
an = a1 + (n – 1).r
61 = 5 + (n – 1).(2,8)
61 = 5 + 2,8n – 2,8
61 – 5 + 2,8 = 2,8n
53,2 = 2,8n
n = 53,2/2,8 = 19
9) SAERJ – 4° BIM – 2011 (3° ANO)
(300,350,400,...,2000)
a1 = 300
r = 50
n = ?
an = 2000
an = a1 + (n – 1).r
2000 = 300 + (n – 1).50
2000 = 300 + 50n – 50
2000 – 300 + 50 = 50n
1750 = 50 n
n = 1750/50 = 35
Resposta: C
10) (SAERJ-2014) Observe no quadro abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência
numérica que segue um padrão. Nesse quadro, g indica a posição do termo x na
sequência.
A expressão algébrica que
permite calcular um termo dessa
sequência em função de sua
posição é
A) x = g + 8 B) x = g + 9 C) x = 8g + 2 D) x = 10g E) x = 10g + 8
a1 = 10
r = 18 – 10 = 8
n = ?
an = ?
an = a1 + (n – 1).r
an = 10 + (n – 1).8 = 10 + 8n - 8 = 2 + 8n
Resposta: C
11) (SAERJ–2012)
a1 = 7
r = 12 – 7 = 5
n = ?
an = ?
an = a1 + (n – 1).r
an = 7 + (n – 1).5 = 7 + 5n - 5 = 2 + 5n
Resposta: C
10
12) (SAERJ–2012)
Resposta: C
13) (SAERJ–2012)
(5,9,13,17,...)
a1 = 5
r = 9 – 5 = 4
n = ?
an = ?
an = a1 + (n – 1).r
an = 5 + (n – 1).4 = 5 + 4n - 4 = 1 + 4n
Resposta: C
14) (SAERJ–2011)
(4,6,8,...)
a1 = 4
r = 6 – 4 = 2
n = ?
an = ?
an = a1 + (n – 1).r
an = 4 + (n – 1).2 = 4 + 2n - 2 = 2 + 2n
Resposta: C
11
15) (SAERJ-2014) A sequência abaixo é formada por conjuntos de estrelas. Essa
sequência pode ser gerada por meio de uma expressão algébrica que relaciona o
número T de estrelas em cada conjunto, de acordo com a posição n que cada conjunto
ocupa na sequência, com n {1,2,3,4,5,...}.
Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número T de estrelas, de acordo
com a posição n de cada conjunto na sequência?
A) T = n + 1 B) T = n + 2 C) T = 2.n + 1 D) T = 2.n – 1 E) T = 3.n – 2
(1,3,5,7,9,...)
a1 = 1
r = 3 – 1 = 2
n = ?
an = ?
an = a1 + (n – 1).r
an = 1 + (n – 1).2 = 1 + 2n - 2 = -1 + 2n
Resposta: D
Exercícios:
1) Qual o vigésimo termo da progressão aritmética (-8, -3, 2, 7, ...)?
2) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16m durante o primeiro segundo,
48m durante o segundo, 80m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no
15º segundo.
3) Em uma P.A. o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502.
Qual o valor do décimo termo dessa progressão?
4) (SAERJ-2013) Em uma fazenda, foram colhidas 5 toneladas de café no seu
primeiro ano de colheita. A partir do segundo ano, foram colhidas sempre 3 toneladas
de café a mais em relação à quantidade colhida no ano anterior. Quantas toneladas de
café foram colhidas nessa fazenda no 10º ano de colheita?
A) 27 B) 29 C) 32 D) 35 E) 42
5) (SAERJ-2014) Após a contagem dos pontos de um jogador titular de basquete em
um campeonato, foi verificado que ele marcou 20 pontos no primeiro jogo, 22 no
segundo jogo, 24 no terceiro jogo e assim sucessivamente, ou seja, ele sempre
marcava 2 pontos a mais que no jogo anterior. Dessa forma, quantos pontos esse
jogador marcou no 15º jogo desse campeonato?
A) 26 B) 35 C) 48 D) 50 E) 60
6) (SAERJ–2012)
7) (SAERJ–2011)
12
8) (SAERJ–2011)
9) (SAERJ–2012)
10) (SAERJ–2012)
11) (SAERJ–2012)
12) (SAERJ-2013) A sequência numérica a seguir pode ser definida por uma
expressão algébrica, que relaciona o valor de cada termo de acordo com a sua
posição (n) ocupada nessa sequência.
Qual é a expressão algébrica que
determina o n-ésimo termo dessa
sequência?
A) n – 3 B) n + 1 C) n + 3 D) 2n E) 3n – 2
13) (SAERJ-2014) A sequência abaixo pode ser representada por uma expressão
algébrica, que relaciona cada termo da sequência de acordo com a sua posição n,
com n IN*.
Qual é a expressão
algébrica que permite
calcular o n-ésimo
13
termo dessa sequência?
A) T = 2.n B) T = 1 + 3.n C) T = 1 + 2.n D) T = –3 + 5.n E) T = –4 + 6.n
14) (SAERJ-2013) A sequência numérica abaixo possui uma regularidade e pode ser
representada por uma expressão algébrica que relaciona cada termo da sequência de
acordo com a sua posição n, com nєIN*.
(5, 9, 13, 17, 21, ...)
Qual é a expressão algébrica que permite calcular o n-ésimo termo dessa sequência?
A) pn = 4.n – 4 B) pn = 4.n + 1 C) pn = 4.n + 5 D) pn = 5.n – 1 E) pn = 5.n + 4
15) (SAERJ-2013) A sequência numérica abaixo pode ser definida por uma expressão
algébrica, que relaciona o valor de cada termo com sua posição n na sequência.
(7, 18, 29, 40, 51, ...)
A expressão algébrica que determina o n-ésimo termo dessa sequência é
A) 11n – 4 B) 10n – 4 C) 7n + 4 D) 4n + 3 E) n + 11
16) (SAERJ-2012)
17) (SAERJ–2011)
18) (SAERJ-2013) O desenho abaixo representa uma sequência de figuras formadas
por quadrados. Essa sequência segue um padrão que relaciona a quantidade de
quadrados em cada figura, de acordo com a posição (n) que cada figura ocupa nessa
sequência.
Qual é a expressão algébrica que
determina o número de quadrados
da figura de acordo com a sua
posição n nessa sequência?
A) 4n + 1 B) 4n C) n + 4 D) n + 3 E) n + 1
19) (SAERJ-2013) A sequência abaixo possui uma regularidade e pode ser
representada por uma expressão algébrica que relaciona a quantidade de círculos em
cada conjunto de acordo com a posição n que cada conjunto ocupa na sequência.
14
Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número de círculos do n-ésimo
conjunto dessa sequência?
A) Q(n) = n + 1
2
B) Q(n) = n + 1 C) Q(n) = 2.n – 1 D) Q(n) = 2.n E) Q(n) = 2.n + 1
20) (SAERJ-2014) A organização das pilhas de livros representadas abaixo segue um
padrão e forma uma sequência na qual a quantidade de livros de cada pilha está
relacionada com a posição que ela ocupa na sequência.
De acordo com esse padrão, a expressão algébrica que permite encontrar a
quantidade L de livros da n-ésima pilha é
A) L = n + 1 B) L = n + 2 C) L = 2n D) L = 2n + 1 E) L = 3n
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nos
mostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança,
conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A.
Logo, chegamos finalmente a,
2
).( 1 naa
S n
 .
15
Exercícios resolvidos:
1) (SAERJ–2012)
(18, ..., 60)
a1 = 18
r = ?
n = 7
an = 60
Sn = (a1 + an).n = (18 + 60).7 = 78.7 = 546 = 273
2 2 2 2
Resposta: C
2) Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4,9,14,19,...).
a1 = 4
r = 9 – 4 = 5
n = 30
an = a30 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a30 = 4 + (30 – 1).5 = 4 + 29.5 = 4 + 145 = 149
Sn = (a1 + an).n = (4 + 149).30 = 154.30 = 4620 = 2310
2 2 2 2
3) Obtenha a soma dos 51 primeiros termos da P.A. (-15,-11,-7,-3,1,...).
a1 = -15
r = -11 – (-15) = -11 + 15 = 4
n = 51
an = a51 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a51 = -15 + (51 – 1).4 = -15 + 50.4 = -15 + 200 = 185
Sn = (a1 + an).n = (-15 + 185).51 = 170.51 = 8670 = 4335
2 2 2 2
4) Um agricultor colhe laranjas durante 12 dias da seguinte maneira: no 1º dia são
colhidas dez (10) dúzias; no 2º dia 16 dúzias; no 3º dia 22 dúzias; e assim por
diante. Quantas laranjas ele colherá ao final dos doze dias?
(10, 16, 22, ...)
a1 = 10
r = 16 – 10 = 6
n = 12
an = a12 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a12 = 10 + (12 – 1).6 = 10 + 11.6 = 10 + 66 = 76
Sn = (a1 + an).n = (10 + 76).12 = 86.12 = 1032 = 516
2 2 2 2
5) Em 1995, uma fábrica produziu três mil peças de um certo equipamento. A
partir daí, ela vem diminuindo sua produção, ano a ano, em 100 peças.
Mantido esse ritmo de decrescimento, qual será a produção total da fábrica
no período de 1995 a 2010?
(3000,2900,2800,...)
16
a1 = 3000
r = 2900 – 3000 = - 100
n = 16
an = a16 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a16 = 3000 + (16 – 1).(-100) = 3000 + 15.(-100) = 3000 – 1500 = 1500
Sn = (a1 + an).n = (3000 + 1500).16 = 4500.16 = 72000 = 32000
2 2 2 2
6) Um cinema tem 15 poltronas na primeira fila, 20 na segunda, 25 na terceira
e assim por diante, até a décima sétima e última fila. Qual o número total de
poltronas desse cinema?
(15,20,25,...)
a1 = 15
r = 20 – 15 = 5
n = 17
an = a17 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a17 = 15 + (17 – 1).5 = 15 + 16.5 = 15 + 80 = 95
Sn = (a1 + an).n = (15 + 95).17 = 110.17 = 1870 = 935
2 2 2 2
7) (SAERJ-2014) Luiz comprou um celular juntando mensalmente o dinheiro de
sua mesada durante cinco meses. No primeiro mês ele reservou 120 reais para
essa compra, no segundo mês 150 reais e assim sucessivamente, sempre
reservando 30 reais a mais que no mês anterior. Qual foi o valor que Luiz
juntou nesses 5 meses para comprar o celular?
A) R$ 900,00 B) R$ 660,00 C) R$ 450,00 D) R$ 300,00 E) R$ 240,00
(120, 150, 180, ...)
a1 = 120
r = 30
n = 5
an = a5 = ?
an = a1 + (n – 1).r
a5 = 120 + (5 – 1).30 = 120 + 4.30 = 120 + 120 = 240
Sn = (a1 + an).n = (120 + 240).5 = 360.5 = 1800 = 900
2 2 2 2
Resposta: A
Exercícios:
1) (SAERJ–2011)
2) Calcule a soma dos 80 primeiros termos da P.A. (6,9,12,15,18,...).
3) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (52, 48, 44, ...).
4) (PUCCAMP) Um pai resolve depositar todos os meses certa quantia na
caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e
17
aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês,
R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto
depósito, a quantia total depositada por ele será de:
(A) R$150,00 B) R$250,00 (C) R$400,00 (D) R$520,00 (E) R$600,00
5) (SAERJ–2011)
6) (SAERJ-2011)
7) (SAERJ-2013) Para compensar a emissão de gás carbônico na atmosfera,
uma indústria arrendou um terreno para o plantio de árvores. Nesse terreno, as
árvores foram plantadas em fileiras, de forma que a fileira posterior possui 8
árvores a mais que a anterior. Na primeira fila, foram plantadas 580 árvores.
Para o plantio em todo o terreno, essas árvores foram dispostas em 25 fileiras.
Quantas árvores ao todo foram plantadas nesse terreno?
A) 755 B) 772 C) 1 352 D) 16 900 E) 33 800
8) (SAERJ-2013) João começou a economizar dinheiro no início de 2013. Em
janeiro, ele guardou R$ 100,00, em fevereiro, R$ 110,00, em março, R$ 120,00
e assim por diante, sempre acrescentando R$10,00 a cada mês. Se mantiver
esse padrão, quanto terá economizado até dezembro de 2013?
A) R$ 210,00 B) R$ 220,00 C) R$ 1 200,00 D) R$ 1 860,00 E) R$ 1 920,00
9) (SAERJ-2014) Um vendedor de água de coco verificou que vendeu todos os
cocos que havia levado para a praia durante as 8 horas completas de um dia
que trabalhou. Ele vendeu 10 cocos na primeira hora que trabalhou nesse dia,
14 na segunda hora, 18 na terceira hora e assim sucessivamente, ou seja, a
cada hora a quantidade de cocos vendidos aumentava 4 unidades em relação
à quantidade vendida na hora anterior. Dessa forma, quantos cocos ele vendeu
nesse dia?
A) 22 B) 38 C) 96 D) 112 E) 192
10) (SAERJ-2014) Um quiosque que serve açaí ficou aberto durante 10 horas
consecutivas. Na primeira hora foram vendidos 15 açaís, na segunda hora
foram vendidos 19 açaís, na terceira hora 23 açaís e assim sucessivamente, ou
seja, a cada hora o número de açaís vendidos aumentava em 4 unidades em
relação ao número de açaís vendidos na hora anterior. Dessa forma, quantos
açaís, no total, foram vendidos nessas 10 horas que o quiosque permaneceu
aberto nesse dia?
A) 51 B) 55 C) 210 D) 330 E) 350
18
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
Entenderemos por Progressão Geométrica - PG - como qualquer sequência de
números, onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por
uma constante denominada razão.
Exemplo:
Exercício: Escreva os 5 primeiros termos de uma P.G., cujo primeiro termo é 5 e a
razão é 2.
Podemos ainda afirmar que: a razão da P.G. é igual a qualquer termo dividido pelo
anterior.
Exemplos:
1) (2, 4, 8, 16,...)
2) 





,...
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1
Exercício: Descubra qual a razão de cada P.G. abaixo:
a) (3, 6, 12, 24, 48, 96)
b) (2, -6, 18, -54, 162, ...)
c) (10.000,12.000,14.400,17.820,20.736)
d) Determine a razão da P.G. tal que a38 = 15 e a39 = 5.
e) 





,...
27
1
,
9
1
,
3
1
,1,3
f) 





2
9
,3,2
Fórmula do termo geral de uma P.G.
Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas.
Observamos então que a partir de a1, para chegar em a2 multiplica-se uma vez a razão
q, partindo de a1 novamente, para chegar a a3, 2q’s foram multiplicados (q.q=q²), de a1
para a4, 3q’s (q.q.q = q³) e assim sucessivamente. Observe que a quantidade de q
multiplicado é sempre (n - 1) vezes a posição que o termo ocupa. Por exemplo, o
termo a2 está na segunda posição, mas teve (2 – 1)q multiplicado. O a3 ocupa a
terceira posição, mas teve (3 – 1)q multiplicado. O a4 está na quarta posição e teve (4
– 1)q multiplicado. Desta forma, para encontrar o 10º termo de uma P.G. basta
multiplicar (10 - 1)q’s ao primeiro termo. E, assim, também obtemos a fórmula do
termo geral, veja o esquema abaixo:
19
Vejamos nosso exemplo inicial, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 2, pela fórmula do
termo geral acharíamos com facilidade o 10° termo, sem precisar escrever todos os
demais:
an = a1.qn – 1
a10 = 3 . 29
= 3 . 512 = 1.536
Exercícios resolvidos:
1) Determinar o 12° termo da P.G. 7, 14, 28, ...
a1 = 7
q = = 2
n = 12
an = a12 = ?
an = a1.qn – 1
a12 = 7 . 212-1
= 7 . 211
= 7 . 2048 = 14336
2) Determinar o 13º termo da P.G. (64, 32, 16, ...).
a1 = 64
q =
n = 13
an = a13 = ?
an = a1.qn – 1
a13 = 64 . (½) 13-1
= 26
. (½)12
= ( )
3) Qual o 6º termo da progressão geométrica (512, 256, ...).
a1 = 512
q =
n = 6
an = a6 = ?
an = a1.qn – 1
a6 = 512 . (½)6-1
= 29
. (½)5
= = 29 - 5
= 24
= 16
4) Qual o 5º termo da P.G. 





...
4
1
,
8
1
?
a1 = 1/8
q = = 2
n = 5
an = a5 = ?
an = a1.qn – 1
a5 = 1/8 . 25-1
= (½)³ . 24
= 2 4 - 3
= 2¹
= 2
5) Qual é o 8º termo da progressão geométrica 





...4,1,
4
1
?
a1 = 1/4
q = = 4
n = 8
an = a8 = ?
an = a1.qn – 1
a8 = 1/4 . 48-1
= (1/4)¹ . 47
= 4 7 - 1
= 46
= 4096
20
6) (SAERJ-2013) Um sistema de transmissão de internet é composto por pontos
de distribuição de forma que o número de cabos que partem de um ponto é
sempre o triplo do número de cabos que partem do ponto anterior. Nesse
sistema, o primeiro ponto possui 3 cabos e, do último ponto de distribuição,
partem 2 187 cabos. Quantos pontos de distribuição há nesse sistema de
transmissão de internet?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 729 E) 6 561
(3, 9, 27, ...., 2187)
a1 = 3
q = 3
n = ?
an = 2187
an = a1.qn – 1
2187 = 3 . 3n-1
37
= 31+n-1
7 = n
Resposta: B
Exercícios:
1) Determine o 10º termo da P.G. (3, 6, 12, ...).
2) Obtenha o 11º termo da P.G. 





...
3
1
,
9
1
,
27
1
.
3) Determinar o 14º termo da P.G. (1.536,768,384,192,...).
4) SAERJ – 2° BIM – 2012 (2° ANO)
5) SAERJ – 2° BIM – 2011 (3° ANO)
6) (SAERJ-2014) Uma erva daninha proliferou em um terreno baldio de modo que a
área ocupada por ela aumentava mensalmente de acordo com uma progressão
21
geométrica. No primeiro mês, a partir do início da infestação, essa erva daninha tinha
ocupado 3m2
do terreno, no segundo mês 6 m2
, no terceiro mês 12 m2
e assim
sucessivamente. Dessa forma, a área do terreno ocupada por essa erva daninha no
nono mês a partir do início da infestação foi
A) 24 m2
B) 768 m2
C) 1 536 m2
D) 13 122 m2
E) 19 683 m2
7) (SAERJ-2014) Gabriel pagou a 1ª parcela no valor de R$ 16 000,00 pela compra de
um terreno e outras 4 parcelas cujos valores correspondem sempre à metade do valor
pago pela parcela anterior. Qual foi o valor da última parcela paga por Gabriel na
compra desse terreno?
A) R$ 31 000,00 B) R$ 16 000,00 C) R$ 8 000,00 D) R$ 2 000,00 E) R$ 1 000,00
8) (SAERJ-2013) Em 2000, a população de uma determinada região era de 10 000
habitantes. Pesquisas indicavam que o número de habitantes a partir de 2001 seria
igual ao número de habitantes do ano anterior multiplicado por 1,01. De acordo com
essa estimativa de crescimento, o número de habitantes dessa região em 2030 será
de, aproximadamente,
A) 10 000 + 29 x 1,01
B) 10 000 + 30 x 1,01
C) 10 000 + 1,0130
D) 10 000 x 1,0130
E) 10 000 x 1,0131
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
Fórmula da soma dos termos da P.G. (finita):
1
)1(1



q
qa
S
n
.
Exemplos:
1) Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2,4,8,...).
a1 = 2
n = 10
q =
2) Calcule a soma dos onze primeiros termos da P.G. 





...4,2,1,
2
1
,
4
1
.
a1 = 1/4
n = 11 q =
3) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (1,3,9,27,...).
a1 = 1
n = 7
q =
4) Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2.000, 4.000, ...).
a1 = 2000
n = 5
q =
22
Exercícios:
1) Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. 





...9,3,1,
3
1
,
9
1
.
2) Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,2,4,8,16,...).
3) (SAERJ–2011)
4) (SAERJ–2012)
5) (SAERJ-2013) Um alpinista, ao escalar uma parede rochosa, percorreu 243 metros
na primeira hora, 81 metros na segunda hora, e assim sucessivamente, percorrendo
sempre 1/3 da trajetória realizada anteriormente. Quanto tempo esse alpinista levou
para percorrer 360 metros?
A) 8 h B) 6 h C) 4 h D) 3 h E) 2 h
6) (SAERJ-2014) Um determinado produto chegou a um supermercado e sua venda
cresceu diariamente de acordo com uma progressão geométrica. No primeiro dia de
venda, foram vendidos 2 desses produtos, no segundo dia 4 produtos, no terceiro dia
8 produtos e assim sucessivamente. Quantos produtos, no total, foram vendidos nos 7
primeiros dias de venda desse produto nesse supermercado?
A) 16 B) 26 C) 128 D) 254 E) 256
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Quando uma P.G. é decrescente, quanto maior o número de termos, mais os últimos
termos se aproximam de zero.
Exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0,09375; 0,046875; 0,0234375;
0,01171875, 0,005859375; ...)
Assim, a soma tenderá a um limite.
23
Fórmula da soma dos termos da P.G. (infinita):
q
a
S


1
1
.
Exercícios resolvidos:
1) Calcular a soma dos termos da P.G. (16,8,4,2,1,...).
a1 = 16 q =
2) Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. 





...
4
5
,
2
5
,5 .
a1 = 5
q =
3) Calcule a soma dos infinitos termos da P.G. (45,15,5,...).
a1 = 45 q =
Exercícios:
1) Calcule a soma dos infinitos termos das P.G.’s:
a) 





...
5
1
,1,5
b) (20,10,5,...)
c) 





 ...
3
10
,10,30
24
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Docente: Ive Pina 3º Bimestre
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
 A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$ 100,00 houve um acréscimo de R$ 15,00.
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$ 100,00 foi dado um desconto de R$ 10,00.
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Para entender o significado dessa expressão, vamos considerar um grupo de 100
pessoas em que 47 são mulheres. A razão entre o número de mulheres e a quantidade de
pessoas do grupo pode ser expressa pela razão centesimal
100
47 . Essa razão também pode ser
representada assim: 47% e, nesse caso, a razão centesimal recebe também o nome de
porcentagem. Portanto, 47% =
100
47 = 0,47.
Assim, toda a razão que tem no denominador o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
100
210
,
100
125
,
100
16
,
100
7
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
1) João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de
cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
25
Exemplos:
1) Calcular 10% de 300.
2) Calcular 25% de 200kg.
3) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
4) (SAERJ-2013) João investiu R$ 3 000,00 na compra de sacas de café. Ao vender esse
produto, ele obteve um lucro de 30% sobre o valor investido. Qual é o valor referente
ao lucro de João nessa venda?
A) R$ 30,00 B) R$ 300,00 C) R$ 900,00 D) R$ 2 100,00 E) R$ 3 900,00
Resposta: C
5) (SAERJ–2011) Na escola de Jaime, havia 650 alunos no ano passado. Este ano, o
número de alunos aumentou em 2%. Quantos alunos há na escola de Jaime neste
ano?
A) 652 B) 662 C) 663 D) 780
650 + 13 = 663 alunos
Resposta: C
6) (SAERJ-2013) A mensalidade da escola onde estuda Alberto sofrerá um aumento de
4% no próximo ano. Neste ano, ele paga R$ 420,00 de mensalidade. De quanto será a
mensalidade da escola de Alberto no próximo ano?
A) R$ 420,00 B) R$ 424,00 C) R$ 436,80 D) R$ 460,00 E) R$ 588,00
Resposta: C
7) (SAERJ-2011) João comprou uma camisa branca a R$ 87,00. Seu irmão aproveitou as
promoções e comprou a mesma camisa com uma economia de 25%. Quanto o irmão
de João pagou pela camisa?
A) R$ 21,75 B) R$ 25,00 C) R$ 62,00 D) R$ 65,25 E) R$ 108,75
87 – 21,75 = 65,25
Resposta: D
8) (SAERJ-2012) A taxa de condomínio do edifício Veneza é de R$ 300,00 com
vencimento no dia 10 de cada mês. Se o condômino pagar até o dia 5 do mês do
vencimento, recebe um desconto de 8%. Pedro mora nesse edifício e pagou o
condomínio com vencimento para o dia 10 de setembro no dia 3 de setembro. Qual é o
valor do condomínio pago por Pedro nesse mês?
A) R$ 24,00 B) R$ 60,00 C) R$ 240,00 D) R$ 276,00 E) R$ 324,00
Resposta: D
26
9) (SAERJ-2014) Ruan comprou um carro por R$ 33 000,00 e o vendeu após alguns anos
de uso por um valor 30% menor do que havia comprado. Por qual valor Ruan vendeu
esse carro?
A) R$ 9 900,00 B) R$ 23 100,00 C) R$ 29 700,00 D) R$ 32 930,00 E) R$ 32 970,00
33000 – 100%
x -- 70%
100x = 33000.70
x = 2310000 = 23100
100
Resposta: B
10) (SAERJ-2014) Em uma exposição de artes, 88% dos 200 quadros foram vendidos. Um
colecionador comprou 25% desses quadros que foram vendidos. Quantos quadros
esse colecionador comprou nessa exposição?
A) 22 B) 25 C) 44 D) 50 E) 176
Resposta: C
11) (SAERJ–2011) Regina comprou um fogão à vista com um desconto de 20% sobre o
preço de tabela. Ela pagou R$ 320,00 por esse fogão. Qual era o preço de tabela
desse fogão?
A) R$ 256,00 B) R$ 340,00 C) R$ 384,00 D) R$ 400,00 E) R$ 640,00
320 – 80%
x -- 100%
80x = 320.100
x = 32000 = 400
80
Resposta: D
12) (SAERJ-2013) Ivo vendeu uma televisão por R$ 540,00 e obteve um lucro de 20%
nessa venda. Se ele tivesse vendido essa mesma televisão por R$ 585,00, de quanto
seria o seu lucro?
A) R$ 63,00 B) R$ 65,00 C) R$ 117,00 D) R$ 135,00 E) R$ 153,00
540 – 120%
x -- 100%
120x =540.100
x = 54000 = 450
120
585 – 450 = 135
Resposta: D
13) (SAERJ-2013) Cecília aproveitou uma promoção de celulares em uma loja e comprou
um celular com 35% desconto. Ela pagou R$ 578,50 por esse celular. Qual foi o valor
do desconto conseguido por Cecília na compra desse celular?
A) R$ 202,47 B) R$ 311,50 C) R$ 376,02 D) R$ 890,00 E) R$ 1 074,35
x – 35%
578,50 -- 65%
65x = 578,50.35
x = 20247,5 = 311,50
65
Resposta: B
14) (SAERJ-2013) Segundo as recomendações do rótulo de um produto de limpeza, deve-
se diluí-lo em água de forma que o produto represente 5% do volume da mistura.
Antônio diluiu 10 ml desse produto em 100 ml de água. Quantos mililitros de água
Antônio deve acrescentar a essa mistura para atender as recomendações do Rótulo
desse produto?
A) 10 B) 20 C) 90 D) 100 E) 200
10 --- 5%
x ---- 100%
5x = 1000
x = 1000 = 200
5
Já possui 100 + 10 = 110 ml de solução, para chegar a 200, falta 90.
Resposta: C
15) (SAERJ-2012) Em um aquário, há 60 peixes, sendo 5% deles de cor azul e o restante
de cor preta. Retira-se desse aquário uma determinada quantidade de peixes pretos,
27
de modo que os peixes de cor azul passem a representar 10% de todos os peixes
desse aquário. Quantos peixes da cor preta foram retirados?
A) 3 B) 6 C) 10 D) 27 E) 30
3 peixes da cor azul e 57 de cor preta.
3 – 10%
x – 100%
10x = 3.100
x = 300 = 30
10
Se tem que ter 30 peixes no aquário e 3 são de cor azul, 27 são de cor preta. Retirou-se,
portanto, 30 peixes pretos do aquário.
Resposta: E
16) (SAERJ-2013) Fernando comprou um carro que funciona a álcool e a gasolina. Ao
passar por um posto, ele verificou que o preço do litro da gasolina era de R$ 3,20 e do
álcool, R$ 2,40 o litro. Nesse posto, o preço do álcool corresponde a quantos por cento
do preço da gasolina?
A) 25% B) 33% C) 43% D) 75% E) 80%
3,20 – 100%
2,40 – x
3,20x = 2,40.100
x = 240 = 75%
3,20
Resposta: D
17) (SAERJ-2013) Juliana comprou uma barra de chocolate e a repartiu em dois pedaços,
conforme mostra o desenho abaixo. Ela ficou com a maior parte e deu a menor para a
sua irmã.
O pedaço que Juliana deu para sua irmã
representa qual porcentagem da barra toda?
A) 67%
B) 50%
C) 40%
D) 6%
E) 4%
15 – 100%
6 -- x
15x = 6.100
x = 600 = 40%
15
Resposta: C
18) (SAERJ-2012) Sônia encomendou alguns salgadinhos para a festa de sua filha. Do
total de salgadinhos encomendados, ¼ eram de queijo. Qual foi a porcentagem de
salgadinhos de queijo em relação ao total de salgadinhos encomendados pela Sônia?
A) 10% B) 20% C) 25% D) 50% E) 75%
¼ = 0,25 . 100% = 25%
Resposta: C
19) (SAERJ–2011) A mensalidade de um curso de informática é de 80 reais, mas se for
paga antes do dia 5 de cada mês ela tem um desconto, caindo para 68 reais. Qual o
percentual de desconto para quem paga antes do dia 5?
A) 16% B) 15% C) 12% D) 8% E) 5%
O desconto é de 80 – 68 = 12
80 – 100%
12 – x
80x = 12.100
x = 1200 = 15%
80
Resposta: B
20) (SAERJ-2013) Em um supermercado, o preço do saco de carvão foi reajustado de R$
4,80 para R$ 5,85. O percentual de aumento do preço do saco de carvão foi de,
aproximadamente,
A) 1,05% B) 21,87% C) 31,62% D) 38,54% E) 82,05%
O aumento é de 5,85 – 4,80 = 1,05
28
4,80 – 100%
1,05 – x
4,80x = 1,05.100
x = 105 = 21,875%
4,80
Resposta: B
21) (SAERJ-2012) Uma família gastou em janeiro R$ 1 000,00 em compras no
supermercado. Desse total, 50% foram gastos em gêneros alimentícios, 25% em
material de limpeza e 25% em artigos de higiene pessoal. No mês seguinte, essa
mesma família gastou R$ 1 250,00 em compras no supermercado, dos quais 60%
foram gastos em gêneros alimentícios, 20% em material de limpeza e 20% em artigos
de higiene pessoal. O aumento percentual no gasto com gêneros alimentícios no mês
de fevereiro, em relação ao mês anterior, foi de
A) 10% B) 20% C) 30% D) 40% E) 50%
O aumento com o gasto de gêneros alimentícios foi de 750 – 500 = 250
500 – 100%
250 – x
500x = 250.100
x = 25000 = 50%
500
Resposta: E
22) (SAERJ-2013) Uma loja promoveu uma liquidação, concedendo 20% de desconto nos
preços de todos os seus produtos. Além disso, como forma de estimular o pagamento
à vista, essa loja ofereceu um desconto de 10% sobre os preços promocionais para os
clientes que optassem por essa forma de pagamento. Qual é o desconto percentual
obtido na compra à vista de um produto nessa loja, em relação ao seu preço fora da
liquidação?
A) 10% B) 20% C) 22% D) 28% E) 30%
Supondo que o valor de um produto é 100. Se o desconto foi de 20%, o preço final ficou
reduzido a 80%. Um desconto de 10% foi dado em cima no novo valor, ou seja, 90% sobrou do
novo valor.
Logo, o desconto foi de 100 – 72 = 28%.
Resposta: D
23) (SAERJ-2012) Antônio investe 60% de seu capital em ações da empresa X e os 40%
restante em ações da empresa Y, ambos pelo prazo de um ano. Ao final desse
período, as ações da empresa X se valorizaram 30%, enquanto as da empresa Y
desvalorizaram 25%. Nesse período, o rendimento total obtido por Antônio nesses dois
investimentos feitos foi
A) 5% B) 8% C) 25% D) 48% E) 75%
Supondo que Antônio investiu 100 reais.
Ações empresa X:
Ações empresa Y:
Investimento total: 78 + 30 = 108
Rendimento %: 108 – 100 = 8%
Resposta: B
24) (SAERJ-2013) Um produto sofreu um aumento de 25% em uma loja. Um cliente dessa
loja, ciente desse aumento, decidiu negociar um desconto no preço desse produto,
afim de que o preço retornasse ao valor original, antes desse aumento. Qual é o
percentual de desconto que esse cliente deve negociar?
A) 20% B) 25% C) 50% D) 75% E) 80%
125 – 100%
25 -- x
125x = 25.100
x = 2500 = 20%
125
Resposta: A
29
Exercícios:
1) (SAERJ-2013) Aparecida recebeu uma indenização no valor de R$ 12 000,00 em um
processo judicial. Ela usou 20% desse valor para pagar seu advogado. Qual foi a parcela
dessa indenização que Aparecida utilizou para pagar o advogado?
A) R$ 150,00 B) R$ 300,00 C) R$ 600,00 D) R$ 2 400,00 E) R$ 9 600,00
2) (SAERJ-2013) Em uma sala de aula, há 80 alunos. Desse total, 65% são mulheres. Quantos
homens há nessa sala de aula?
A) 15 B) 28 C) 35 D) 52 E) 65
3) (SAERJ–2011) Um comerciante aumentou o preço de um produto que custava R$ 150,00
em 30%. O valor do aumento, em reais, deste produto foi igual a
A) 195,00 B) 180,00 C) 105,00 D) 45,00 E) 30,00
4) (SAERJ-2011) Veja abaixo o anúncio da venda de um computador.
O valor desse computador com esse desconto é
A) R$ 595,00
B) R$ 630,00
C) R$ 685,00
D) R$ 700,00
5) (SAERJ–2011) Todo ano, Cícero viaja para casa de sua mãe. No ano passado, o preço da
passagem foi de R$ 245,00 mas, neste ano, a passagem custará 20% a mais que a passagem
do ano passado. O valor, em reais, da passagem deste ano é de
A) R$ 196,00 B) R$ 225,00 C) R$ 249,90 D) R$ 265,00 E) R$ 294,00
6) (SAERJ-2014) Em uma promoção de inverno de uma loja, um tipo de ar condicionado foi
vendido com 25% de desconto. Antes da promoção, esse ar condicionado custava R$ 1
200,00. Por qual valor esse ar condicionado foi vendido nessa promoção de inverno?
A) R$ 300,00 B) R$ 900,00 C) R$ 1 152,00 D) R$ 1 175,00 E) R$ 1 500,00
7) (SAERJ-2014) Em uma lanchonete, o custo para a fabricação de um sanduíche é de R$
2,80. Para que o lucro sobre a venda desse sanduíche seja de 65%, ele deve ser vendido por
A) R$ 1,82 B) R$ 3,45 C) R$ 3,70 D) R$ 4,62 E) R$ 9,30
8) (SAERJ-2014) Márcia fabrica doces profissionalmente em uma cooperativa. Todos os meses
ela compra 130 litros de leite para usar em seus produtos. Em um determinado mês, devido a
uma grande encomenda, ela teve que aumentar sua compra em 46%. Quantos litros de leite
Márcia comprou nesse mês?
A) 84 B) 70,2 C) 176 D) 189,8 E) 195
9) (SAERJ-2014) O Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) é utilizado como referência
para a correção de valores de contratos, como os de energia elétrica e aluguel de imóveis.
Esse índice chegou ao fim de 2013 com uma alta acumulada de 5,53%. O proprietário de um
imóvel resolveu reajustar o aluguel de R$ 1 200,00 com base nesse percentual. Qual é o novo
valor desse aluguel após o reajuste?
A) R$ 66,36 B) R$ 663,60 C) R$ 1 205,53 D) R$ 1 266,36 E) R$ 1 863,60
10) (SAERJ-2014) Uma loja de eletrodomésticos realizou uma queima de mostruário,
oferecendo um desconto de 10% em todos os produtos independente da forma de pagamento.
Além desse desconto, a loja oferecia ainda outro desconto de 15% para os produtos pagos à
vista. Jonas aproveitou essa promoção e comprou uma televisão, que antes da queima de
mostruário custava R$ 1 100,00. Quanto Jonas pagou ao comprar essa televisão, à vista,
durante a queima de mostruário?
A) R$ 990,00 B) R$ 935,00 C) R$ 841,50 D) R$ 825,00 E) R$ 258,50
30
11) (SAERJ-2011) Gabriel após um mês de férias no sítio de sua avó percebeu que ganhou
uns “quilinhos”. Seu peso atual é 80,5 kg, o que corresponde a 15% a mais do que pesava no
início das férias. Qual era o peso de Gabriel antes dele entrar de férias?
A) 80 kg B) 70 kg C) 68,4 kg D) 65,5 kg E) 53,6 kg
12) (SAERJ–2011) Num treino classificatório para uma competição de atletismo, sete atletas
foram eliminados, ou seja, foram eliminados 20% do total desses atletas. Quantos atletas
participaram desse treino classificatório?
A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) 42
13) (SAERJ-2014) Aloísio observou em uma pesquisa feita em lojas virtuais que o preço de um
mesmo eletrodoméstico é de R$ 1 650,00 na loja X e de R$ 1 450,00 na loja Y. Ele comprou
esse eletrodoméstico na loja Y. Por ter comprado na loja Y, quantos por cento,
aproximadamente, Aloísio pagou a menos em relação ao preço da loja X?
A) 0,12% B) 0,13% C) 12,12% D) 13,8% E) 87,87%
14) (SAERJ-2014) João tem um plano de saúde na modalidade de coparticipação que cobre
parte dos procedimentos médicos realizados por ele e seus dependentes. No mês de janeiro
de 2014, João pagou R$ 450,00 de mensalidade e no mês de fevereiro de 2014 pagou R$
585,00. Qual foi o percentual de aumento na mensalidade do plano de saúde de João no mês
de fevereiro de 2014 em relação ao mês de janeiro de 2014?
A) 23% B) 30% C) 76,9% D) 130% E) 135%
15) (SAERJ-2014) O Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro, que representa a soma (em valores
monetários) de todos os bens e serviços finais produzidos no ano de 2009, foi de 1,62 trilhões
de dólares, enquanto, no ano de 2012, o PIB foi de 2,253 trilhões de dólares. Qual foi,
aproximadamente, o aumento percentual entre os PIB’s dos anos de 2009 e 2012?
A) 28,10% B) 39,07% C) 60,93% D) 71,90% E) 139,07%
16) (SAERJ–2011) Numa loja, o preço de uma camisa, que era R$ 25,00, passou para R$
32,00. O percentual de aumento do preço dessa camisa foi de
A) 7% B) 25% C) 28% D) 32% E) 57%
17) (SAERJ-2013) Observe abaixo a oferta relâmpago feita em uma loja virtual.
Qual foi o percentual de desconto concedido
sobre o preço original desse fogão durante
essa oferta?
A) 30%
B) 70%
C) 42,85%
D) 142,85%
E) 299,70%
18) (SAERJ-2012) Uma gráfica cobra R$ 1,50 por cada cópia colorida. Como Mara mandou
fazer um grande volume de cópias coloridas, ela ganhou um desconto e pagou R$ 1,20 por
cada uma delas. Qual foi o desconto obtido por Mara?
A) 3% B) 5% C) 20% D) 30% E) 80%
19) (SAERJ-2014) Evandro recebia um salário bruto de R$ 2 500,00. Ele foi promovido e seu
salário bruto passou a ser de R$ 4 200,00. O percentual de aumento de salário que Evandro
recebeu nessa promoção foi de
A) 168% B) 147,05% C) 68% D) 59,52% E) 40,47%
20) (SAERJ-2014) Ao receber o IPTU do ano de 2014, Fabrício observou que poderia realizar o
pagamento de R$ 680,00 à vista ou a prazo, em 8 parcelas iguais a R$ 97,75. Qual é o
percentual de acréscimo para o pagamento a prazo desse imposto?
A) 1,15% B) 15% C) 85% D) 86,9% E) 102%
31
21) (SAERJ–2011) Para verificar a qualidade do combustível, o fiscal verificou que, na amostra,
havia 900 mL de gasolina e 300 mL de álcool. Qual é o percentual de álcool nesse
combustível?
A) 25% B) 27% C) 30% D) 33% E) 60%
Matemática Financeira
Conceitos básicos
O preço de uma geladeira é R$ 950,00. Bruno comprou essa geladeira em três
prestações mensais e iguais. Nessas condições, a loja cobrou uma taxa mensal de juro de 8%.
Quanto Bruno pagou de juro e qual o preço final da geladeira?
Ao comprar a geladeira a prazo, Bruno pagou um acréscimo chamado de juro, que
corresponde a uma porcentagem do valor da compra efetuada e depende do número de
prestações mensais.
Assim, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a
maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto.
Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu
desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente,
deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação
envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos
definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando falamos em juros, devemos considerar:
Capital (c): É o valor aplicado através de alguma operação financeira. Ou seja, o
dinheiro que se empresta ou se pega emprestado.
Taxa de juros (i): A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro
emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma
percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
0,5% a.b. – (a.b. significa ao bimestre).
12,75% a.s. – (a.s. significa ao semestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa
percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).
0,01 a.d. – (a.d. significa ao dia).
Prazo ou tempo (t): é o tempo que passa desde o inicio até o final de uma operação
financeira. Pode ser prazo exato ou comercial.
Prazo exato: é aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias (ano bissexto), em
que os dias são contados pelo calendário. Assim, o mês pode ter: 28 ou 29 dias, 30 dias ou 31
dias.
Prazo comercial: é aquele que usa o ano comercial, no qual o mês tem sempre 30 dias
e o ano, 360 dias.
OBS: A taxa e o tempo devem ter sempre a mesma unidade de medida. Por exemplo,
se i for uma taxa diária, t deverá ser em dias; se a taxa for mensal, t deverá ser em meses, e
assim por diante.
Montante (M): É o total que se paga no final de uma operação financeira (capital +
juros).
Juros (J): Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
32
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre
o capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do
saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de
tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão
incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos
bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em
fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o
caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Exemplos que diferenciam juros simples e compostos:
1) Mariana pediu R$ 800,00 emprestados a Vinícius para pagar depois de 3
meses, à taxa de 5% ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim desse
tempo?
1º modo: Pelo regime de juros simples ou capitalização simples.
Tempo Dívida no início do
mês
Juro do mês Dívida no fim do mês (montante)
1º mês 800,00 5% de 800,00 = 40,00 800,00 + 40,00 = 840,00
2º mês 840,00 5% de 800,00 = 40,00 840,00 + 40,00 = 880,00
3º mês 880,00 5% de 800,00 = 40,00 880,00 + 40,00 = 920,00
A dívida ao fim de 3 meses será de R$ 920,00. Esse regime é chamado de juros
simples porque a taxa é aplicada sempre em relação ao capital inicial.
2º modo: Pelo regime de juro composto ou capitalização composta.
Tempo Dívida no início do
mês
Juro do mês Dívida no fim do mês (montante)
1º mês 800,00 5% de 800,00 = 40,00 800,00 + 40,00 = 840,00
2º mês 840,00 5% de 840,00 = 42,00 840,00 + 42,00 = 882,00
3º mês 882,00 5% de 802,00 = 44,10 880,00 + 44,10 = 926,10
A dívida ao fim de três meses será de R$ 926,10. Observe que no regime de juro
composto a dívida, após 3 meses é maior que a dívida no regime de juros simples. Esse
regime é conhecido como juro sobre juro.
JUROS SIMPLES
Tomando o exemplo anterior, no regime de juro simples, podemos observar que o juro
de cada mês é sempre igual a R$ 40,00. Assim, existe a possibilidade de se calcular a dívida
final diretamente.
Se eu pegar R$ 40,00 (5% de 800,00) e multiplicar por 3 (número de meses), eu terei o
juro total igual a R$ 120,00. Como meu empréstimo inicial foi de R$ 800,00. Temos 800,00 +
120,00 = 920,00 que é a dívida final.
Formalizando, teremos que o juro total seria:
5% de 800 = 800 .
100
5 = 40 (como vimos em porcentagem).
J = 800 .
100
5 . 3 = 120
Logo, Juro = capital x taxa unitária x tempo. Que nos dá a fórmula: J = c.i.t
O valor da dívida final é chamado de montante, onde M = C + J. Logo, M = 800 + 120 =
920.
33
Exemplos:
1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo
de 1 ano e meio, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
J = ? Ou
c = 3200
t = 1 ano e meio = 18 meses
i = 3% a.m
J = c.i.t
J =
3200 – 100%
x -- 3%
100 x = 3200.3
x = 9600 = 96 em 1 mês
100
18 meses => 18.96 = 1728
2) Encontre o juro obtido na aplicação de um capital de R$ 200.000,00, à taxa simples
de 1% a.m., durante 2 anos.
J = ?
c = 200000
t = 2 anos
i = 1% a.m. = 12% a.a.
J = c.i.t =
3) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 2% a.m,
durante sete meses.
J = ?
c = 60000
t = 7 meses
i = 2% a.m
J = c.i.t =
4) Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto
receberá de juro se o regime for de juro simples? Que montante terá ao final dessa
aplicação?
J = ?
M = c + J = ?
c = 3000
t = 5 meses
i = 2% a.m.
J = c.i.t =
M = 3000 + 300 = 3300
5) Qual o valor futuro correspondente a um empréstimo de R $30.000,00 feito pelo
prazo de 3 meses, a taxa de juro simples de 2% a.m.?
J = ?
M = c + J = ?
c = 30000
t = 3 meses
i = 2% a.m.
J = c.i.t = 3
M = 30000 + 1800 = 31800
6) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$
11.200,00. Determinar a taxa mensal.
J = 11200
c = 28000
t = 8 meses
i = ?
J = c.i.t Ou
11200 = 28000
11200 = 2240i
% a.m.
28000 – 100%
11200 – x
28000x = 11200.100
x = 1120000 = 40% em 8 meses
A cada mês => 40/8 = 5% a.m.
7) A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses?
J = 1080
c = 24000
t = 6 meses
i = ?
J = c.i.t
1080 = 24000
1080 = 1440i
a.m.
34
8) Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito
ao fim de 03 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve
aquele capital?
M = 22575
J = 22575 – 21000 = 1575
c = 21000
t = 3 meses
i = ?
J = c.i.t
1575 = 21000
1575 = 630i
a.m.
9) Sabendo que um capital de R$ 10.000,00 foi duplicado em 8 anos a juro simples, a
que taxa foi empregado esse capital?
M = 2.10000 = 20000
J = 20 000 – 10 000 = 10 000
c = 10 000
t = 8 anos
i = ?
J = c.i.t
10000 = 10000
10000 = 800i
a.a.
10) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi
empregado esse capital?
M = 2.c = 2c
J = 2c – c = c
c = c
t = 8 anos
i = ?
J = c.i.t
c = c
c = 0,08ci
a.a.
11) Encontre o capital que, aplicado à taxa de 2,5% a.m., durante 5 anos, rendeu juro
simples de R$ 78.000,00.
J = 78000
c = ?
t = 5 anos = 60 meses
i = 2,5% a.m.
J = c.i.t
78000 = c
78000 = 1,5c
12) Qual o capital que à taxa de 30% ao ano, rende juro de R$ 126.000,00 em 36
meses?
J = 126000
c = ?
t = 36 meses = 3 anos
i = 30% a.a.
J = c.i.t
126000 = c
126000 = 0,9c
13) Quanto tempo um capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 3% ao bimestre, leva
para produzir R$ 8.400,00 de juro simples?
J = 8400
c = 40000
t = ?
i = 3% a.b.
J = c.i.t Ou
8400 = 40000
8400 = 1200t
40000 – 100%
x -- 3%
100x = 3.40000
x = 120000 = 1200 em 1 bimestre
100
8400/1200 = 7 bimestres
14) Um capital de é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%.
Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
c = 100
M = 200
J = 200 – 100 = 100
t = ?
i = 5% a.m.
J = c.i.t
100 = 100
100 = 5t
35
15) Um capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%.
Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
c = 100
M = 300
J = 300 – 100 = 200
t = ?
i = 10% a.a.
J = c.i.t
200 = 100
200 = 10t
16) Um artigo de preço à vista de R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20%
mais um pagamento para 1 mês e meio. Se o vendedor cobra juros simples de 8%
a.m., qual o valor do pagamento devido?
Preço à vista: 700
Entrada: 20% de 700 = 140
c = 700 – 140 = 560
J = ?
M =?
t = 1,5 meses
i = 8% a.m.
J = c.i.t
J = 560
M = 560 + 67,20 = 627,20
17) (FGV-SP) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores dando uma entrada de R$
200,00 e duas parcelas mensais, com juros simples de 8% ao mês. Sabendo-se
que o preço à vista do aparelho foi de R$ 600,00. E que ele pagou R$ 200,00 pela
segunda prestação, quanto falta Carlos pagar na 3ª prestação?
Preço à vista: 600
Entrada: 200
c = 600 – 200 = 400
J = ?
M =?
t = 2 meses
i = 8% a.m.
J = c.i.t
J = 400
M = 400 + 64 = 464 – 200 = 264
18) (SAERJ-2014) Júlia aplicou em uma poupança todo o seu décimo terceiro salário
durante cinco meses a uma taxa de 1,3% ao mês no regime de capitalização
simples. Ao final desse período, ela retirou do banco o montante de R$ 3 195,00. O
valor do décimo terceiro salário que Júlia recebeu e aplicou foi de
A) R$ 207,67 B) R$ 2 995,18 C) R$ 3 000,00 D) R$ 3 402,67 E) R$ 49 153,84
M = c + J => J = M – c = 3195 – c
c = ?
t = 5 meses
i = 1,3% a.m.
J = c.i.t
3195 - c = c
3195 – c = 0,065c
3195 = 0,065c + c
3195 = 1,065c
c =
Exercícios:
1) (SAERJ–2012)
2) (SAERJ–2011)
36
3) (SAERJ–2011)
4) (SAERJ–2013)
5) (SAERJ–2012)
6) (SAERJ–2012)
7) (TRE-PE, FCC - Técnico Judiciário - 2004) Um capital de R$ 20 000,00 foi aplicado a
juro simples e, ao final de 20 meses, produziu o montante de R$ 25 600,00. A taxa mensal
dessa aplicação era de
A) 1,2% B) 1,4% C) 1,5% D) 1,8% E) 2,1%
8) (SAERJ-2014) Luiza aplicou R$ 60 000,00 durante 5 anos sob o regime de capitalização
simples. Ao completar esse período, ela resgatou o montante de R$ 88 800,00. A taxa
mensal na qual ela aplicou esse dinheiro é
A) 0,008% B) 0,096% C) 0,8% D) 2,46% E) 9,6%
9) (SAERJ-2014) Sérgio comprou uma motocicleta e financiou todo o valor em 12 meses no
sistema de capitalização simples. O preço dessa motocicleta nas compras à vista era de
R$ 15 000,00, mas, por conta do financiamento, Sérgio pagou um valor total de R$ 16
620,00 por essa motocicleta. Qual foi a taxa mensal aplicada nesse financiamento que
Sérgio fez?
A) 0,008% a.m. B) 0,009% a.m. C) 0,09% a.m. D) 0,8% a.m. E) 0,9% a.m.
10) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a taxa anual for de:
A) 30% B) 40% C) 50% D) 75% E) 100%
11) (SAERJ-2012)
12) (SAERJ–2012)
13) (SAERJ–2013)
37
14) (FCC - 2013 - Sergipe Gás S.A. - Assistente Técnico - Administrativo – RH) Um
capital no valor de R$ 16.000,00 é aplicado a juros simples, a uma taxa de 0,75% ao mês. Se
no final do período de aplicação o valor dos juros apresentou um valor igual a R$ 1.920,00,
então este capital ficou aplicado, em meses, por um período igual a:
A) 16 B) 8 C) 12 D) 10 E) 14
15) (SAERJ–2012)
16) (CONSULPLAN/2008 - Correios - Agente de Correios - Atendente Comercial) Altair
aplicou um capital, a juros simples, à taxa de 4% a.m. Quanto tempo, no mínimo, esse capital
deverá ficar aplicado para que Altair resgate o triplo da quantia que aplicou?
A) 30 meses B) 50 meses C) 25 meses D) 40 meses E) 15 meses
17) (SAERJ-2014) Pedro comprou uma casa no valor de R$ 150 000,00. Ele financiou todo
o valor dessa casa a uma taxa de 0,7% ao mês sob o regime de capitalização simples e, por
isso, ao final do financiamento, ele pagou um total de R$ 200 400,00. Sabendo que Pedro
nunca atrasou o pagamento das parcelas, em quantos meses ele pagou todo o financiamento
dessa casa?
A) 36 B) 48 C) 334 D) 353 E) 426
18) (SAERJ-2014) Luiza aplicou R$ 40 000,00 a uma taxa de 0,8% a.m. no regime de
capitalização simples. No momento da retirada, ela verificou que esse capital gerou R$ 19
200,00 de juros. Por quanto tempo, ao todo, ela deixou o capital aplicado para gerar esses R$
19 200,00 de juros?
A) 40 meses. B) 60 meses. C) 185 meses. D) 260 meses. E) 320 meses.
19) (SAERJ–2012)
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais
útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados
ao capital anterior para o cálculo dos juros do período seguinte.
Exemplo: Um capital de R$ 50.000 é aplicado, a juros compostos, por um prazo de 4
meses, à taxa de 3% ao mês. Calcule o montante obtido no final.
Solução:
Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 50.000
100
3
50000
1.500 51.500
2 51.500
100
3
51500
1.545 53.045
3 53.045
100
3
53045
1.591,35 54.636,35
4 54.636,35
100
3
54636,35
1639,09 56.275,44
38
Exemplos:
1) Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juro composto de 2% ao mês. Quantos reais
ele terá após 4 meses de aplicação?
Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 14.000 280 14280
2 14280 285,60 14565,60
3 14565,60 291,31 14856,91
4 14856,91 1297,15 15154,05
2) Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao
ano, durante 3 anos.
Ano Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 25000 6250 31250
2 31250 7812,50 39062,50
3 39062,50 9765,63 48828,13
23828,13
3) Cláudio aplicou R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Que montante
esse capital irá gerar, se o regime for de juro composto? Quantos reais de juro ele
obterá nessa operação?
Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 5000 150 5150
2 5150 154,50 5304,50
3 5304,50 159,14 5463,64
4 5463,64 163,91 5627,55
5 5627,55 168,83 5796,38
796,38
4) Celina aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a.,
capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos?
Ano Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 40000 6400 46400
2 46400 7424 53824
13824
5) Qual o montante que um capital de R$ 4.000,00 produz quando aplicado durante 3
meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro composto?
Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 4000 160 4160
2 4160 166,40 4326,40
3 4326,40 173,06 4499,46
39
6) César aplicou R$ 12.000,00 a juro composto de 6% a.b. Que quantia terá após 2
bimestres de aplicação?
Bim Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante
1 12000 720 12720
2 12720 763,20 13483,20
7) (SAERJ-2012) André aplicou um capital de R$ 1 000,00 por dois meses, sob regime
de juros compostos, a uma determinada taxa mensal e obteve um rendimento igual a
R$ 210,00, proveniente dos juros. A taxa mensal de juros nessa aplicação foi igual a
A) 2,1% B) 10% C) 10,5% D) 12,1% E) 21%
M = c + J = 1000 + 210 = 1210
M = c (1 + i)
t
1210 = 1000 (1 + i)²
1210 = (1 + i)²
1000
1,21 = (1 + i)²
(1,1)² = (1 + i)²
1 + i = 1,1
i = 1,1 – 1 = 0,1 . 100% = 10%
Resposta: B
8) (SAERJ-2014) Daniel depositou um capital em uma conta no regime de capitalização
composta por 2 anos a uma taxa de 8,4% ao ano. Ao final desses dois 2 anos, ele
retirou o montante de R$ 14 100,68. Sabendo que essa conta foi utilizada somente
para fazer essa transação bancária, qual foi o valor total do capital que Daniel
depositou nessa conta?
A) R$ 159,58 B) R$ 839,32 C) R$ 2 368,91 D) R$ 12 000,00 E) R$ 16 569,08
M = c (1 + i)
t
14100,68 = c (1 + 0,084)²
14100,68 = c (1,084)²
14100,68 = c . 1,175056
c =
Resposta: D
Exercícios:
1) (SAERJ-2011)
2) (SAERJ–2012)
3) (SAERJ–2013)
40
4) (SAERJ–2013)
5) (SAERJ–2013)
6) (SAERJ-2014) Davi deixou um débito de R$ 13,00 em sua conta corrente por 2 meses, e o
banco cobrou juros sob uma taxa de 15,9% a. m. sobre esse valor no regime de capitalização
composta. Qual foi, aproximadamente, o valor total de juros gerado por esse débito?
A) R$ 2,06 B) R$ 4,13 C) R$ 4,46 D) R$ 17,13 E) R$ 17,46
7) (SAERJ-2014) Tereza abriu uma conta bancária e depositou R$ 5 000,00 na poupança sob
uma taxa de 6,5% a.a. no regime de capitalização composta. Ela não mexeu nessa poupança
durante 2 anos e, após esse tempo, Tereza retirou todo o montante gerado. Qual foi,
aproximadamente, esse montante retirado por ela?
A) R$ 5 671,12 B) R$ 5 650,00 C) R$ 5 325,00 D) R$ 671,12 E) R$ 650,00
8) (SAERJ-2014) Cheque especial é uma modalidade de empréstimo pessoal onde cada
cliente retira diretamente de sua conta uma quantia que o banco lhe deixa disponível. Rita
retirou R$ 1 000,00 de seu cheque especial para realizar o pagamento de algumas contas
emergenciais. O banco que gerencia essa conta cobra uma taxa de 7% ao mês no regime de
juros compostos pelo dinheiro usado do cheque especial. Ela realizou o pagamento dessa
quantia dois meses após a retirada. Qual foi o valor dos juros pago por Rita por essa retirada
do cheque especial?
A) R$ 140,00 B) R$ 144,90 C) R$ 940,90 D) R$ 1 140,00 E) R$ 1 144,90
9) (SAERJ-2014) Joana depositou R$ 10 000,00 em um fundo de investimento para garantir a
faculdade de sua filha que tinha, nessa época, 8 anos de idade. Esse fundo de investimento
rendeu 5% ao ano no regime de capitalização composta e, durante o período aplicado, ela não
fez nenhuma movimentação. Joana deixou esse capital aplicado por exatamente 10 anos,
quando sua filha completou 18 anos e pode começar a usufruir da quantia com seus estudos.
Qual foi o montante gerado, aproximadamente, nesse fundo de investimento durante esse
período?
A) R$ 5 000,00 B) R$ 6 288,95 C) R$ 15 000,00 D) R$ 16 288,95 E) R$ 24 066,19

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Sequencias e mf 2016

  • 1. 1 SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES Docente: Ive Pina 2º Bimestre SEQUÊNCIAS O que são sequências? Sequências são listas ordenadas de números que verificam uma dada propriedade ou regra. Exemplos: Sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, .... Sequência de múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, ... Sequência das potências de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Sequência de números triangulares: Sequência de números quadrangulares: Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante.
  • 2. 2 Sequência qualquer: 111, 128, 146, 165, 185, ... Exercício: Descubra os três termos seguintes de cada uma das sequências: a. 4, 11, 18, 25,… g. 99, 88, 77,… m. 2, 4, 8, 16,… b. 1, 2, 1, 2, 1, 2,… h. 0, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6, … n. ,... 24 1 , 12 1 , 6 1 , 3 1 c. 1,1 ; 3,3 ; 5,5; … i. 0, -1, -2, -3,… o. 4, 13, 40, 121, … d. 2, 3, 5, 9, 17, … j. -1, -1, 1, -1, -1, … p. ,... 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 e. 0, -1, -2, -3, … k. 1, -2, 3, -4, 5, … q. 3, 5, 8, 12, 17, … f. 4, -1, -6, … Expressão geral de uma sequência: A expressão geral da sequência de números ímpares é 2n – 1, pois: Para n = 1, tem-se 2n – 1 = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 (1º termo da sequência) Para n = 2, tem-se 2n – 1 = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3 (2° termo da sequência) Para n = 3, tem-se 2n – 1 = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5 (3º termo da sequência) Para n = 4, tem-se 2n – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7 (4° termo da sequência) ... E, assim por diante, teremos todos os números ímpares representados pela expressão 2n – 1. A sequência de múltiplos de 3, tem expressão geral de 3n, pois: Para n = 1, tem-se 3n = 3.1 = 3 (1º termo da sequência) Para n = 2, tem-se 3n = 3.2 = 6 (2º termo da sequência) Para n = 3, tem-se 3n = 3.3 = 9 (3º termo da sequência) Para n = 4, tem-se 3n = 3.4 = 12 (4º termo da sequência) ... E, assim por diante, teremos todos os múltiplos de 3 representados pela expressão 3n.
  • 3. 3 Assim, quando se é dada a expressão geral de uma sequência, é fácil de calcular qualquer um de seus termos. Por exemplo, é possível achar os 5 primeiros termos da sequência n² + 5n, assim como é possível encontrar o 100º termo da mesma. Veja: Para n = 1, tem-se n² + 5n = 1² + 5.1 = 1 + 5 = 6 Para n = 2, tem-se n² + 5n = 2² + 5.2 = 4 + 10 = 14 Para n = 3, tem-se n² + 5n = 3² + 5.3 = 9 + 15 = 24 Para n = 4, tem-se n² + 5n = 4² + 5.4 = 16 + 20 = 36 Para n = 5, tem-se n² + 5n = 5² + 5.5 = 25 + 25 = 50 .... Para n = 100, tem-se n² + 5n = 100² + 5.100 = 10.000 + 500 = 10.500 Exercícios: 1) Verifique se as expressões gerais dadas abaixo representam suas sequências. a) Sequência das potências de 2: {1,2,4,8,16,...} – termo geral: 2n-1 b) Sequência de números triangulares: {1,3,6,10,...} – termo geral: 2 )1( nn c) Sequência de números quadrangulares: {1,4,9,16,...} – termo geral: n² 2) Escreva os cinco primeiros termos de uma sequência dada pelo termo geral: a. n² - 1 b. n – 2 c. 2n² d. n n 1 Exercícios resolvidos: 1) (SAERJ– 2013) Resposta: E n (n + 1) n (n + 1) n = 1 => 1 (1 + 1) = 1.2 = 2 n = 2 => 2 (2 + 1) = 2.3 = 6 n = 3 => 3 (3 + 1) = 3.4 = 12 n = 4 => 4 (4 + 1) = 4.5 = 20 n = 5 => 5 (5 + 1) = 5.6 = 30 2) (SAERJ-2013) Observe no quadro abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência numérica que segue um padrão. Nesse quadro, n indica a posição do termo p. Qual é a expressão algébrica que permite calcular o n-ésimo termo dessa sequência? A) n – 2 B) 2n2 – 3 C) n2 – 2 D) 3n – 4 E) 5n – 8 Resposta: C n² - 2 n² - 2 n = 1 => 1² - 2 = 1 - 2 = - 1 n = 2 => 2² - 2 = 4 - 2 = 2 n = 3 => 3² - 2 = 9 – 2 = 7 n = 4 => 4² - 2 = 16 - 2 = 14 n = 5 => 5² - 2 = 25 - 2 = 23 3) (SAERJ-2015) A sequência numérica abaixo foi criada obedecendo a um padrão de regularidade. 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...
  • 4. 4 A expressão algébrica que descreve o valor do termo da sequência, em função de sua posição n na sequência, é A) 3n B) 9n C) 2n – 1 D) n2 – 1 E) 3n2 Resposta: D n² - 1 n² - 1 n = 1 => 1² - 1 = 1 - 1 = 0 n = 2 => 2² - 1 = 4 - 1 = 3 n = 3 => 3² - 1 = 9 – 1 = 8 n = 4 => 4² - 1 = 16 - 1 = 15 n = 5 => 5² - 1 = 25 - 1 = 24 n = 6 => 6² - 1 = 36 – 1 = 35 4) (SAERJ–2012) Resposta: B n = 1 => n = 3 => n = 5 => n = 7 => 5) (SAERJ-2013) O desenho abaixo representa uma sequência de figuras formadas por quadrados. A quantidade de quadrados em cada figura segue um padrão de acordo com a posição que essa figura ocupa nessa sequência. Qual é a expressão algébrica que relaciona o número de quadrados dessa figura de acordo com a sua posição n na sequência? A) n2 + n B) 4n – 2 C) 8n – 12 D) n + 4 E) 6n – 6 Resposta: A n² + n n² + n n = 1 => 1² + 1 = 1 + 1 = 2 n = 2 => 2² + 2 = 4 + 2 = 6 n = 3 => 3² + 3 = 9 + 3 = 12 n = 4 => 4² + 4 = 16 + 4 = 20 6) (SAERJ-2014) Os desenhos abaixo ilustram geometricamente uma sequência na qual o número Q de quadrados pode ser calculado de acordo com a posição n que esses quadrados ocupam na sequência, com n IN*. Nessa sequência são desconsiderados os quadrados formados pela justaposição de quadrados menores.
  • 5. 5 Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número Q de quadrados, de acordo com a posição n desses quadrados na sequência? A) Q = 4n – 1 B) Q = 2n – 1 C) Q = n2 D) Q = 2.n – 1 E) Q = 4.n – 3 Resposta: A Q = 4n – 1 Q = 4n – 1 n = 1 => 41 – 1 = 40 = 1 n = 2 => 42 – 1 = 4¹ = 4 n = 3 => 43 – 1 = 4² = 16 n = 4 => 44 – 1 = 4³ = 64 Exercícios: 1) (SAERJ–2012) 2) (SAERJ–2012) 3) (SAERJ–2012) 4) (SAERJ–2012)
  • 6. 6 5) (SAERJ-2013) Observe abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência numérica que segue um padrão. (2, 6, 12, 20, 30, ...) Qual é a expressão que permite calcular o n-ésimo termo dessa sequência? A) n + 2 B) n + 4 C) 2n D) n (n – 1) E) n (n + 1) 6) (SAERJ-2014) Observe no quadro abaixo os 6 primeiros termos de uma sequência numérica que segue um padrão. Nesse quadro, s indica a posição do termo t na sequência. A expressão algébrica que permite calcular um termo dessa sequência em função de sua posição é A) t = s + 4 B) t = s + 6 C) t = 5s D) t = s2 + 1 E) t = s2 + 4 7) (SAERJ-2013) 8) (SAERJ-2015) Na malha quadriculada abaixo há uma sequência de figuras geométricas, formadas por quadradinhos cinza escuro, que seguem um padrão de formação. Uma expressão algébrica que descreve o número de quadrados de cor cinza empregados na formação de cada figura, em função de sua posição n na sequência, é A) 2n + 2 B) (2 + n)n C) (n + 1)2 D) (n – 1)2 E) (n + 1)2 – (n – 1)2
  • 7. 7 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Progressão aritmética é uma sequência especial, na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros, acrescentando-se sempre a mesma quantidade. Por exemplo, a partir do número 7 acrescentamos 3 diversas vezes e vamos obter a P.A.: 7, 10, 13, 16, 19, 22 ... O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, chama-se razão (r). Exercício: Escreva os seis primeiros termos de uma sequência em que o primeiro termo é 3 e cada termo seguinte seja a soma do anterior com 6. Fórmula do termo geral de uma P.A. Consideremos a sequência genérica a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an e sua razão r. Onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, a3 é o terceiro termo e, assim por diante, até encontrar an como o n-ésimo termo de uma P.A. Observamos então que a partir de a1, para chegar em a2 soma-se uma vez a razão R, partindo de a1 novamente, para chegar a a3, 2R foram somados, de a1 para a4, 3R e assim sucessivamente. Observe que a quantidade de R somados é sempre (n - 1) vezes a posição que o termo ocupa. Por exemplo, o termo a2 está na segunda posição, mas teve (2 – 1)R somado. O a3 ocupa a terceira posição, mas teve (3 – 1)R somado. O a4 está na quarta posição e teve (4 – 1)R somado. Desta forma, para encontrar o 10º termo de uma P.A. basta somar (10 - 1)R ao primeiro termo. E, assim, também obtemos a fórmula do termo geral, veja o esquema abaixo: Retornando a primeira P.A. 7, 10, 13, 16, 19, 22, ... para saber o 100° termo da mesma, não é mais necessário escrever 100 números. Basta usar a fórmula do termo geral para achá-lo. a1 = 7 r = 3 n = 100 an = a100 = ? an = a1 + (n – 1).r a100 = 7 + (100 – 1).3 a100 = 7 + 99.3 a100 = 7 + 297 a100 = 304 Logo, o 100° termo da P.A. acima é 304. Exemplos: 1) Qual é o trigésimo termo da progressão aritmética: 10,17, 24, 31, 38, ...? a1 = 10 r = 17 – 10 = 7 n = 30 an = a30 = ? an = a1 + (n – 1).r a30 = 10 + (30 – 1).7 = 10 + 29.7 = 10 + 203 = 213
  • 8. 8 2) Qual o décimo quinto termo da PA (4, 10, ...)? a1 = 4 r = 10 – 4 = 6 n = 15 an = a15 = ? an = a1 + (n – 1).r a15 = 4 + (15 – 1).6 = 4 + 14.6 = 4 + 84 = 88 3) Qual é o 21º termo da P.A.       ,...3, 3 5 , 3 1 ? a1 = 1/3 r = 5/3 – 1/3 = 4/3 n = 21 an = a21 = ? an = a1 + (n – 1).r a21 = 1/3 + (21 – 1).4/3 = 1/3 + 20.4/3 = 1/3 + 80/3 = 81/3 = 27 4) Em janeiro, de certo ano, Lídia estava ganhando R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Lídia estará ganhando em dezembro do ano seguinte? (270,278,286,294,...) a1 = 270 r = 8 n = 24 an = a24 = ? an = a1 + (n – 1).r a24 = 270 + (24 – 1).8 = 270 + 23.8 = 270 + 184 = 454 5) Um corpo, caindo livremente, percorre 4,9 m durante o 1° segundo; no segundo seguinte, percorre 14,7m; no 3° segundo, 24,5m. Continuando assim, quanto percorrerá no 11° segundo? (4,9;14,7;24,5;...) a1 = 4,9 r = 14,7 – 4,9 = 9,8 n = 11 an = a11 = ? an = a1 + (n – 1).r a11 = 4,9 + (11 – 1).(9,8) = 4,9 + 10.(9,8) = 4,9 + 98 = 102,9 6) Um pintor consegue pintar uma área de 5 m² no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m² a mais que pintou no dia anterior. Quantos metros quadrados ele pintará no 9° dia? (5,7,9,...) a1 = 5 r = 2 n = 9 an = a9 = ? an = a1 + (n – 1).r a9 = 5 + (9 – 1).2 = 5 + 8.2 = 5 + 16 = 21 7) (SAERJ-2014) A gerente de uma loja de eletrodomésticos observou o número de vendas realizadas por um de seus melhores funcionários ao longo dos vinte dias úteis de um mês. No primeiro dia útil, esse funcionário vendeu 20 eletrodomésticos; no segundo dia, 26 eletrodomésticos e, assim por diante, sempre aumentando sua venda em seis eletrodomésticos em relação ao dia anterior. Quantos eletrodomésticos esse funcionário vendeu no 18º dia útil desse mês? A) 20 B) 44 C) 122 D) 134 E) 222 (20,26,...) a1 = 20 r = 26 – 20 = 6 n = 18 an = a18 = ? an = a1 + (n – 1).r a18 = 20 + (18 – 1).6 = 20 + 17.6 = 20 + 102 = 122 Resposta: C
  • 9. 9 8) Em uma estrada são instalados telefones SOS a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones instalados no trecho que vai do quilômetro 5 ao quilômetro 61, sabendo que nessas duas marcas há telefones instalados. Considere inclusive esses dois telefones. (5; 7,8; 10,6; 13,4; ...; 61) a1 = 5 r = 2,8 n = ? an = 61 an = a1 + (n – 1).r 61 = 5 + (n – 1).(2,8) 61 = 5 + 2,8n – 2,8 61 – 5 + 2,8 = 2,8n 53,2 = 2,8n n = 53,2/2,8 = 19 9) SAERJ – 4° BIM – 2011 (3° ANO) (300,350,400,...,2000) a1 = 300 r = 50 n = ? an = 2000 an = a1 + (n – 1).r 2000 = 300 + (n – 1).50 2000 = 300 + 50n – 50 2000 – 300 + 50 = 50n 1750 = 50 n n = 1750/50 = 35 Resposta: C 10) (SAERJ-2014) Observe no quadro abaixo os 5 primeiros termos de uma sequência numérica que segue um padrão. Nesse quadro, g indica a posição do termo x na sequência. A expressão algébrica que permite calcular um termo dessa sequência em função de sua posição é A) x = g + 8 B) x = g + 9 C) x = 8g + 2 D) x = 10g E) x = 10g + 8 a1 = 10 r = 18 – 10 = 8 n = ? an = ? an = a1 + (n – 1).r an = 10 + (n – 1).8 = 10 + 8n - 8 = 2 + 8n Resposta: C 11) (SAERJ–2012) a1 = 7 r = 12 – 7 = 5 n = ? an = ? an = a1 + (n – 1).r an = 7 + (n – 1).5 = 7 + 5n - 5 = 2 + 5n Resposta: C
  • 10. 10 12) (SAERJ–2012) Resposta: C 13) (SAERJ–2012) (5,9,13,17,...) a1 = 5 r = 9 – 5 = 4 n = ? an = ? an = a1 + (n – 1).r an = 5 + (n – 1).4 = 5 + 4n - 4 = 1 + 4n Resposta: C 14) (SAERJ–2011) (4,6,8,...) a1 = 4 r = 6 – 4 = 2 n = ? an = ? an = a1 + (n – 1).r an = 4 + (n – 1).2 = 4 + 2n - 2 = 2 + 2n Resposta: C
  • 11. 11 15) (SAERJ-2014) A sequência abaixo é formada por conjuntos de estrelas. Essa sequência pode ser gerada por meio de uma expressão algébrica que relaciona o número T de estrelas em cada conjunto, de acordo com a posição n que cada conjunto ocupa na sequência, com n {1,2,3,4,5,...}. Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número T de estrelas, de acordo com a posição n de cada conjunto na sequência? A) T = n + 1 B) T = n + 2 C) T = 2.n + 1 D) T = 2.n – 1 E) T = 3.n – 2 (1,3,5,7,9,...) a1 = 1 r = 3 – 1 = 2 n = ? an = ? an = a1 + (n – 1).r an = 1 + (n – 1).2 = 1 + 2n - 2 = -1 + 2n Resposta: D Exercícios: 1) Qual o vigésimo termo da progressão aritmética (-8, -3, 2, 7, ...)? 2) Um corpo em queda livre, partindo do repouso, cai 16m durante o primeiro segundo, 48m durante o segundo, 80m durante o terceiro, etc. Calcular a distância que cai no 15º segundo. 3) Em uma P.A. o primeiro termo é igual a 0,402 e o segundo termo é igual a 0,502. Qual o valor do décimo termo dessa progressão? 4) (SAERJ-2013) Em uma fazenda, foram colhidas 5 toneladas de café no seu primeiro ano de colheita. A partir do segundo ano, foram colhidas sempre 3 toneladas de café a mais em relação à quantidade colhida no ano anterior. Quantas toneladas de café foram colhidas nessa fazenda no 10º ano de colheita? A) 27 B) 29 C) 32 D) 35 E) 42 5) (SAERJ-2014) Após a contagem dos pontos de um jogador titular de basquete em um campeonato, foi verificado que ele marcou 20 pontos no primeiro jogo, 22 no segundo jogo, 24 no terceiro jogo e assim sucessivamente, ou seja, ele sempre marcava 2 pontos a mais que no jogo anterior. Dessa forma, quantos pontos esse jogador marcou no 15º jogo desse campeonato? A) 26 B) 35 C) 48 D) 50 E) 60 6) (SAERJ–2012) 7) (SAERJ–2011)
  • 12. 12 8) (SAERJ–2011) 9) (SAERJ–2012) 10) (SAERJ–2012) 11) (SAERJ–2012) 12) (SAERJ-2013) A sequência numérica a seguir pode ser definida por uma expressão algébrica, que relaciona o valor de cada termo de acordo com a sua posição (n) ocupada nessa sequência. Qual é a expressão algébrica que determina o n-ésimo termo dessa sequência? A) n – 3 B) n + 1 C) n + 3 D) 2n E) 3n – 2 13) (SAERJ-2014) A sequência abaixo pode ser representada por uma expressão algébrica, que relaciona cada termo da sequência de acordo com a sua posição n, com n IN*. Qual é a expressão algébrica que permite calcular o n-ésimo
  • 13. 13 termo dessa sequência? A) T = 2.n B) T = 1 + 3.n C) T = 1 + 2.n D) T = –3 + 5.n E) T = –4 + 6.n 14) (SAERJ-2013) A sequência numérica abaixo possui uma regularidade e pode ser representada por uma expressão algébrica que relaciona cada termo da sequência de acordo com a sua posição n, com nєIN*. (5, 9, 13, 17, 21, ...) Qual é a expressão algébrica que permite calcular o n-ésimo termo dessa sequência? A) pn = 4.n – 4 B) pn = 4.n + 1 C) pn = 4.n + 5 D) pn = 5.n – 1 E) pn = 5.n + 4 15) (SAERJ-2013) A sequência numérica abaixo pode ser definida por uma expressão algébrica, que relaciona o valor de cada termo com sua posição n na sequência. (7, 18, 29, 40, 51, ...) A expressão algébrica que determina o n-ésimo termo dessa sequência é A) 11n – 4 B) 10n – 4 C) 7n + 4 D) 4n + 3 E) n + 11 16) (SAERJ-2012) 17) (SAERJ–2011) 18) (SAERJ-2013) O desenho abaixo representa uma sequência de figuras formadas por quadrados. Essa sequência segue um padrão que relaciona a quantidade de quadrados em cada figura, de acordo com a posição (n) que cada figura ocupa nessa sequência. Qual é a expressão algébrica que determina o número de quadrados da figura de acordo com a sua posição n nessa sequência? A) 4n + 1 B) 4n C) n + 4 D) n + 3 E) n + 1 19) (SAERJ-2013) A sequência abaixo possui uma regularidade e pode ser representada por uma expressão algébrica que relaciona a quantidade de círculos em cada conjunto de acordo com a posição n que cada conjunto ocupa na sequência.
  • 14. 14 Qual é a expressão algébrica que permite calcular o número de círculos do n-ésimo conjunto dessa sequência? A) Q(n) = n + 1 2 B) Q(n) = n + 1 C) Q(n) = 2.n – 1 D) Q(n) = 2.n E) Q(n) = 2.n + 1 20) (SAERJ-2014) A organização das pilhas de livros representadas abaixo segue um padrão e forma uma sequência na qual a quantidade de livros de cada pilha está relacionada com a posição que ela ocupa na sequência. De acordo com esse padrão, a expressão algébrica que permite encontrar a quantidade L de livros da n-ésima pilha é A) L = n + 1 B) L = n + 2 C) L = 2n D) L = 2n + 1 E) L = 3n SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. O texto anterior, extraído da revista Galileu Especial (Eureca), de abril de 2003, nos mostra de uma forma simples como que o matemático alemão, Gauss, ainda criança, conseguiu de forma genial uma prova para a soma dos termos de uma P.A. Logo, chegamos finalmente a, 2 ).( 1 naa S n  .
  • 15. 15 Exercícios resolvidos: 1) (SAERJ–2012) (18, ..., 60) a1 = 18 r = ? n = 7 an = 60 Sn = (a1 + an).n = (18 + 60).7 = 78.7 = 546 = 273 2 2 2 2 Resposta: C 2) Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4,9,14,19,...). a1 = 4 r = 9 – 4 = 5 n = 30 an = a30 = ? an = a1 + (n – 1).r a30 = 4 + (30 – 1).5 = 4 + 29.5 = 4 + 145 = 149 Sn = (a1 + an).n = (4 + 149).30 = 154.30 = 4620 = 2310 2 2 2 2 3) Obtenha a soma dos 51 primeiros termos da P.A. (-15,-11,-7,-3,1,...). a1 = -15 r = -11 – (-15) = -11 + 15 = 4 n = 51 an = a51 = ? an = a1 + (n – 1).r a51 = -15 + (51 – 1).4 = -15 + 50.4 = -15 + 200 = 185 Sn = (a1 + an).n = (-15 + 185).51 = 170.51 = 8670 = 4335 2 2 2 2 4) Um agricultor colhe laranjas durante 12 dias da seguinte maneira: no 1º dia são colhidas dez (10) dúzias; no 2º dia 16 dúzias; no 3º dia 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele colherá ao final dos doze dias? (10, 16, 22, ...) a1 = 10 r = 16 – 10 = 6 n = 12 an = a12 = ? an = a1 + (n – 1).r a12 = 10 + (12 – 1).6 = 10 + 11.6 = 10 + 66 = 76 Sn = (a1 + an).n = (10 + 76).12 = 86.12 = 1032 = 516 2 2 2 2 5) Em 1995, uma fábrica produziu três mil peças de um certo equipamento. A partir daí, ela vem diminuindo sua produção, ano a ano, em 100 peças. Mantido esse ritmo de decrescimento, qual será a produção total da fábrica no período de 1995 a 2010? (3000,2900,2800,...)
  • 16. 16 a1 = 3000 r = 2900 – 3000 = - 100 n = 16 an = a16 = ? an = a1 + (n – 1).r a16 = 3000 + (16 – 1).(-100) = 3000 + 15.(-100) = 3000 – 1500 = 1500 Sn = (a1 + an).n = (3000 + 1500).16 = 4500.16 = 72000 = 32000 2 2 2 2 6) Um cinema tem 15 poltronas na primeira fila, 20 na segunda, 25 na terceira e assim por diante, até a décima sétima e última fila. Qual o número total de poltronas desse cinema? (15,20,25,...) a1 = 15 r = 20 – 15 = 5 n = 17 an = a17 = ? an = a1 + (n – 1).r a17 = 15 + (17 – 1).5 = 15 + 16.5 = 15 + 80 = 95 Sn = (a1 + an).n = (15 + 95).17 = 110.17 = 1870 = 935 2 2 2 2 7) (SAERJ-2014) Luiz comprou um celular juntando mensalmente o dinheiro de sua mesada durante cinco meses. No primeiro mês ele reservou 120 reais para essa compra, no segundo mês 150 reais e assim sucessivamente, sempre reservando 30 reais a mais que no mês anterior. Qual foi o valor que Luiz juntou nesses 5 meses para comprar o celular? A) R$ 900,00 B) R$ 660,00 C) R$ 450,00 D) R$ 300,00 E) R$ 240,00 (120, 150, 180, ...) a1 = 120 r = 30 n = 5 an = a5 = ? an = a1 + (n – 1).r a5 = 120 + (5 – 1).30 = 120 + 4.30 = 120 + 120 = 240 Sn = (a1 + an).n = (120 + 240).5 = 360.5 = 1800 = 900 2 2 2 2 Resposta: A Exercícios: 1) (SAERJ–2011) 2) Calcule a soma dos 80 primeiros termos da P.A. (6,9,12,15,18,...). 3) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (52, 48, 44, ...). 4) (PUCCAMP) Um pai resolve depositar todos os meses certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e
  • 17. 17 aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de: (A) R$150,00 B) R$250,00 (C) R$400,00 (D) R$520,00 (E) R$600,00 5) (SAERJ–2011) 6) (SAERJ-2011) 7) (SAERJ-2013) Para compensar a emissão de gás carbônico na atmosfera, uma indústria arrendou um terreno para o plantio de árvores. Nesse terreno, as árvores foram plantadas em fileiras, de forma que a fileira posterior possui 8 árvores a mais que a anterior. Na primeira fila, foram plantadas 580 árvores. Para o plantio em todo o terreno, essas árvores foram dispostas em 25 fileiras. Quantas árvores ao todo foram plantadas nesse terreno? A) 755 B) 772 C) 1 352 D) 16 900 E) 33 800 8) (SAERJ-2013) João começou a economizar dinheiro no início de 2013. Em janeiro, ele guardou R$ 100,00, em fevereiro, R$ 110,00, em março, R$ 120,00 e assim por diante, sempre acrescentando R$10,00 a cada mês. Se mantiver esse padrão, quanto terá economizado até dezembro de 2013? A) R$ 210,00 B) R$ 220,00 C) R$ 1 200,00 D) R$ 1 860,00 E) R$ 1 920,00 9) (SAERJ-2014) Um vendedor de água de coco verificou que vendeu todos os cocos que havia levado para a praia durante as 8 horas completas de um dia que trabalhou. Ele vendeu 10 cocos na primeira hora que trabalhou nesse dia, 14 na segunda hora, 18 na terceira hora e assim sucessivamente, ou seja, a cada hora a quantidade de cocos vendidos aumentava 4 unidades em relação à quantidade vendida na hora anterior. Dessa forma, quantos cocos ele vendeu nesse dia? A) 22 B) 38 C) 96 D) 112 E) 192 10) (SAERJ-2014) Um quiosque que serve açaí ficou aberto durante 10 horas consecutivas. Na primeira hora foram vendidos 15 açaís, na segunda hora foram vendidos 19 açaís, na terceira hora 23 açaís e assim sucessivamente, ou seja, a cada hora o número de açaís vendidos aumentava em 4 unidades em relação ao número de açaís vendidos na hora anterior. Dessa forma, quantos açaís, no total, foram vendidos nessas 10 horas que o quiosque permaneceu aberto nesse dia? A) 51 B) 55 C) 210 D) 330 E) 350
  • 18. 18 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.) Entenderemos por Progressão Geométrica - PG - como qualquer sequência de números, onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada razão. Exemplo: Exercício: Escreva os 5 primeiros termos de uma P.G., cujo primeiro termo é 5 e a razão é 2. Podemos ainda afirmar que: a razão da P.G. é igual a qualquer termo dividido pelo anterior. Exemplos: 1) (2, 4, 8, 16,...) 2)       ,... 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 ,1 Exercício: Descubra qual a razão de cada P.G. abaixo: a) (3, 6, 12, 24, 48, 96) b) (2, -6, 18, -54, 162, ...) c) (10.000,12.000,14.400,17.820,20.736) d) Determine a razão da P.G. tal que a38 = 15 e a39 = 5. e)       ,... 27 1 , 9 1 , 3 1 ,1,3 f)       2 9 ,3,2 Fórmula do termo geral de uma P.G. Vamos usar um raciocínio semelhante ao que vimos para as progressões aritméticas. Observamos então que a partir de a1, para chegar em a2 multiplica-se uma vez a razão q, partindo de a1 novamente, para chegar a a3, 2q’s foram multiplicados (q.q=q²), de a1 para a4, 3q’s (q.q.q = q³) e assim sucessivamente. Observe que a quantidade de q multiplicado é sempre (n - 1) vezes a posição que o termo ocupa. Por exemplo, o termo a2 está na segunda posição, mas teve (2 – 1)q multiplicado. O a3 ocupa a terceira posição, mas teve (3 – 1)q multiplicado. O a4 está na quarta posição e teve (4 – 1)q multiplicado. Desta forma, para encontrar o 10º termo de uma P.G. basta multiplicar (10 - 1)q’s ao primeiro termo. E, assim, também obtemos a fórmula do termo geral, veja o esquema abaixo:
  • 19. 19 Vejamos nosso exemplo inicial, cujo primeiro termo é 3 e a razão é 2, pela fórmula do termo geral acharíamos com facilidade o 10° termo, sem precisar escrever todos os demais: an = a1.qn – 1 a10 = 3 . 29 = 3 . 512 = 1.536 Exercícios resolvidos: 1) Determinar o 12° termo da P.G. 7, 14, 28, ... a1 = 7 q = = 2 n = 12 an = a12 = ? an = a1.qn – 1 a12 = 7 . 212-1 = 7 . 211 = 7 . 2048 = 14336 2) Determinar o 13º termo da P.G. (64, 32, 16, ...). a1 = 64 q = n = 13 an = a13 = ? an = a1.qn – 1 a13 = 64 . (½) 13-1 = 26 . (½)12 = ( ) 3) Qual o 6º termo da progressão geométrica (512, 256, ...). a1 = 512 q = n = 6 an = a6 = ? an = a1.qn – 1 a6 = 512 . (½)6-1 = 29 . (½)5 = = 29 - 5 = 24 = 16 4) Qual o 5º termo da P.G.       ... 4 1 , 8 1 ? a1 = 1/8 q = = 2 n = 5 an = a5 = ? an = a1.qn – 1 a5 = 1/8 . 25-1 = (½)³ . 24 = 2 4 - 3 = 2¹ = 2 5) Qual é o 8º termo da progressão geométrica       ...4,1, 4 1 ? a1 = 1/4 q = = 4 n = 8 an = a8 = ? an = a1.qn – 1 a8 = 1/4 . 48-1 = (1/4)¹ . 47 = 4 7 - 1 = 46 = 4096
  • 20. 20 6) (SAERJ-2013) Um sistema de transmissão de internet é composto por pontos de distribuição de forma que o número de cabos que partem de um ponto é sempre o triplo do número de cabos que partem do ponto anterior. Nesse sistema, o primeiro ponto possui 3 cabos e, do último ponto de distribuição, partem 2 187 cabos. Quantos pontos de distribuição há nesse sistema de transmissão de internet? A) 6 B) 7 C) 8 D) 729 E) 6 561 (3, 9, 27, ...., 2187) a1 = 3 q = 3 n = ? an = 2187 an = a1.qn – 1 2187 = 3 . 3n-1 37 = 31+n-1 7 = n Resposta: B Exercícios: 1) Determine o 10º termo da P.G. (3, 6, 12, ...). 2) Obtenha o 11º termo da P.G.       ... 3 1 , 9 1 , 27 1 . 3) Determinar o 14º termo da P.G. (1.536,768,384,192,...). 4) SAERJ – 2° BIM – 2012 (2° ANO) 5) SAERJ – 2° BIM – 2011 (3° ANO) 6) (SAERJ-2014) Uma erva daninha proliferou em um terreno baldio de modo que a área ocupada por ela aumentava mensalmente de acordo com uma progressão
  • 21. 21 geométrica. No primeiro mês, a partir do início da infestação, essa erva daninha tinha ocupado 3m2 do terreno, no segundo mês 6 m2 , no terceiro mês 12 m2 e assim sucessivamente. Dessa forma, a área do terreno ocupada por essa erva daninha no nono mês a partir do início da infestação foi A) 24 m2 B) 768 m2 C) 1 536 m2 D) 13 122 m2 E) 19 683 m2 7) (SAERJ-2014) Gabriel pagou a 1ª parcela no valor de R$ 16 000,00 pela compra de um terreno e outras 4 parcelas cujos valores correspondem sempre à metade do valor pago pela parcela anterior. Qual foi o valor da última parcela paga por Gabriel na compra desse terreno? A) R$ 31 000,00 B) R$ 16 000,00 C) R$ 8 000,00 D) R$ 2 000,00 E) R$ 1 000,00 8) (SAERJ-2013) Em 2000, a população de uma determinada região era de 10 000 habitantes. Pesquisas indicavam que o número de habitantes a partir de 2001 seria igual ao número de habitantes do ano anterior multiplicado por 1,01. De acordo com essa estimativa de crescimento, o número de habitantes dessa região em 2030 será de, aproximadamente, A) 10 000 + 29 x 1,01 B) 10 000 + 30 x 1,01 C) 10 000 + 1,0130 D) 10 000 x 1,0130 E) 10 000 x 1,0131 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Fórmula da soma dos termos da P.G. (finita): 1 )1(1    q qa S n . Exemplos: 1) Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2,4,8,...). a1 = 2 n = 10 q = 2) Calcule a soma dos onze primeiros termos da P.G.       ...4,2,1, 2 1 , 4 1 . a1 = 1/4 n = 11 q = 3) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (1,3,9,27,...). a1 = 1 n = 7 q = 4) Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2.000, 4.000, ...). a1 = 2000 n = 5 q =
  • 22. 22 Exercícios: 1) Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G.       ...9,3,1, 3 1 , 9 1 . 2) Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,2,4,8,16,...). 3) (SAERJ–2011) 4) (SAERJ–2012) 5) (SAERJ-2013) Um alpinista, ao escalar uma parede rochosa, percorreu 243 metros na primeira hora, 81 metros na segunda hora, e assim sucessivamente, percorrendo sempre 1/3 da trajetória realizada anteriormente. Quanto tempo esse alpinista levou para percorrer 360 metros? A) 8 h B) 6 h C) 4 h D) 3 h E) 2 h 6) (SAERJ-2014) Um determinado produto chegou a um supermercado e sua venda cresceu diariamente de acordo com uma progressão geométrica. No primeiro dia de venda, foram vendidos 2 desses produtos, no segundo dia 4 produtos, no terceiro dia 8 produtos e assim sucessivamente. Quantos produtos, no total, foram vendidos nos 7 primeiros dias de venda desse produto nesse supermercado? A) 16 B) 26 C) 128 D) 254 E) 256 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Quando uma P.G. é decrescente, quanto maior o número de termos, mais os últimos termos se aproximam de zero. Exemplo: (12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; 0,1875; 0,09375; 0,046875; 0,0234375; 0,01171875, 0,005859375; ...) Assim, a soma tenderá a um limite.
  • 23. 23 Fórmula da soma dos termos da P.G. (infinita): q a S   1 1 . Exercícios resolvidos: 1) Calcular a soma dos termos da P.G. (16,8,4,2,1,...). a1 = 16 q = 2) Calcular a soma dos infinitos termos da P.G.       ... 4 5 , 2 5 ,5 . a1 = 5 q = 3) Calcule a soma dos infinitos termos da P.G. (45,15,5,...). a1 = 45 q = Exercícios: 1) Calcule a soma dos infinitos termos das P.G.’s: a)       ... 5 1 ,1,5 b) (20,10,5,...) c)        ... 3 10 ,10,30
  • 24. 24 MATEMÁTICA FINANCEIRA Docente: Ive Pina 3º Bimestre Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:  A gasolina teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$ 100,00 houve um acréscimo de R$ 15,00.  O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$ 100,00 foi dado um desconto de R$ 10,00.  Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Para entender o significado dessa expressão, vamos considerar um grupo de 100 pessoas em que 47 são mulheres. A razão entre o número de mulheres e a quantidade de pessoas do grupo pode ser expressa pela razão centesimal 100 47 . Essa razão também pode ser representada assim: 47% e, nesse caso, a razão centesimal recebe também o nome de porcentagem. Portanto, 47% = 100 47 = 0,47. Assim, toda a razão que tem no denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 100 210 , 100 125 , 100 16 , 100 7 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: 1) João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
  • 25. 25 Exemplos: 1) Calcular 10% de 300. 2) Calcular 25% de 200kg. 3) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 4) (SAERJ-2013) João investiu R$ 3 000,00 na compra de sacas de café. Ao vender esse produto, ele obteve um lucro de 30% sobre o valor investido. Qual é o valor referente ao lucro de João nessa venda? A) R$ 30,00 B) R$ 300,00 C) R$ 900,00 D) R$ 2 100,00 E) R$ 3 900,00 Resposta: C 5) (SAERJ–2011) Na escola de Jaime, havia 650 alunos no ano passado. Este ano, o número de alunos aumentou em 2%. Quantos alunos há na escola de Jaime neste ano? A) 652 B) 662 C) 663 D) 780 650 + 13 = 663 alunos Resposta: C 6) (SAERJ-2013) A mensalidade da escola onde estuda Alberto sofrerá um aumento de 4% no próximo ano. Neste ano, ele paga R$ 420,00 de mensalidade. De quanto será a mensalidade da escola de Alberto no próximo ano? A) R$ 420,00 B) R$ 424,00 C) R$ 436,80 D) R$ 460,00 E) R$ 588,00 Resposta: C 7) (SAERJ-2011) João comprou uma camisa branca a R$ 87,00. Seu irmão aproveitou as promoções e comprou a mesma camisa com uma economia de 25%. Quanto o irmão de João pagou pela camisa? A) R$ 21,75 B) R$ 25,00 C) R$ 62,00 D) R$ 65,25 E) R$ 108,75 87 – 21,75 = 65,25 Resposta: D 8) (SAERJ-2012) A taxa de condomínio do edifício Veneza é de R$ 300,00 com vencimento no dia 10 de cada mês. Se o condômino pagar até o dia 5 do mês do vencimento, recebe um desconto de 8%. Pedro mora nesse edifício e pagou o condomínio com vencimento para o dia 10 de setembro no dia 3 de setembro. Qual é o valor do condomínio pago por Pedro nesse mês? A) R$ 24,00 B) R$ 60,00 C) R$ 240,00 D) R$ 276,00 E) R$ 324,00 Resposta: D
  • 26. 26 9) (SAERJ-2014) Ruan comprou um carro por R$ 33 000,00 e o vendeu após alguns anos de uso por um valor 30% menor do que havia comprado. Por qual valor Ruan vendeu esse carro? A) R$ 9 900,00 B) R$ 23 100,00 C) R$ 29 700,00 D) R$ 32 930,00 E) R$ 32 970,00 33000 – 100% x -- 70% 100x = 33000.70 x = 2310000 = 23100 100 Resposta: B 10) (SAERJ-2014) Em uma exposição de artes, 88% dos 200 quadros foram vendidos. Um colecionador comprou 25% desses quadros que foram vendidos. Quantos quadros esse colecionador comprou nessa exposição? A) 22 B) 25 C) 44 D) 50 E) 176 Resposta: C 11) (SAERJ–2011) Regina comprou um fogão à vista com um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Ela pagou R$ 320,00 por esse fogão. Qual era o preço de tabela desse fogão? A) R$ 256,00 B) R$ 340,00 C) R$ 384,00 D) R$ 400,00 E) R$ 640,00 320 – 80% x -- 100% 80x = 320.100 x = 32000 = 400 80 Resposta: D 12) (SAERJ-2013) Ivo vendeu uma televisão por R$ 540,00 e obteve um lucro de 20% nessa venda. Se ele tivesse vendido essa mesma televisão por R$ 585,00, de quanto seria o seu lucro? A) R$ 63,00 B) R$ 65,00 C) R$ 117,00 D) R$ 135,00 E) R$ 153,00 540 – 120% x -- 100% 120x =540.100 x = 54000 = 450 120 585 – 450 = 135 Resposta: D 13) (SAERJ-2013) Cecília aproveitou uma promoção de celulares em uma loja e comprou um celular com 35% desconto. Ela pagou R$ 578,50 por esse celular. Qual foi o valor do desconto conseguido por Cecília na compra desse celular? A) R$ 202,47 B) R$ 311,50 C) R$ 376,02 D) R$ 890,00 E) R$ 1 074,35 x – 35% 578,50 -- 65% 65x = 578,50.35 x = 20247,5 = 311,50 65 Resposta: B 14) (SAERJ-2013) Segundo as recomendações do rótulo de um produto de limpeza, deve- se diluí-lo em água de forma que o produto represente 5% do volume da mistura. Antônio diluiu 10 ml desse produto em 100 ml de água. Quantos mililitros de água Antônio deve acrescentar a essa mistura para atender as recomendações do Rótulo desse produto? A) 10 B) 20 C) 90 D) 100 E) 200 10 --- 5% x ---- 100% 5x = 1000 x = 1000 = 200 5 Já possui 100 + 10 = 110 ml de solução, para chegar a 200, falta 90. Resposta: C 15) (SAERJ-2012) Em um aquário, há 60 peixes, sendo 5% deles de cor azul e o restante de cor preta. Retira-se desse aquário uma determinada quantidade de peixes pretos,
  • 27. 27 de modo que os peixes de cor azul passem a representar 10% de todos os peixes desse aquário. Quantos peixes da cor preta foram retirados? A) 3 B) 6 C) 10 D) 27 E) 30 3 peixes da cor azul e 57 de cor preta. 3 – 10% x – 100% 10x = 3.100 x = 300 = 30 10 Se tem que ter 30 peixes no aquário e 3 são de cor azul, 27 são de cor preta. Retirou-se, portanto, 30 peixes pretos do aquário. Resposta: E 16) (SAERJ-2013) Fernando comprou um carro que funciona a álcool e a gasolina. Ao passar por um posto, ele verificou que o preço do litro da gasolina era de R$ 3,20 e do álcool, R$ 2,40 o litro. Nesse posto, o preço do álcool corresponde a quantos por cento do preço da gasolina? A) 25% B) 33% C) 43% D) 75% E) 80% 3,20 – 100% 2,40 – x 3,20x = 2,40.100 x = 240 = 75% 3,20 Resposta: D 17) (SAERJ-2013) Juliana comprou uma barra de chocolate e a repartiu em dois pedaços, conforme mostra o desenho abaixo. Ela ficou com a maior parte e deu a menor para a sua irmã. O pedaço que Juliana deu para sua irmã representa qual porcentagem da barra toda? A) 67% B) 50% C) 40% D) 6% E) 4% 15 – 100% 6 -- x 15x = 6.100 x = 600 = 40% 15 Resposta: C 18) (SAERJ-2012) Sônia encomendou alguns salgadinhos para a festa de sua filha. Do total de salgadinhos encomendados, ¼ eram de queijo. Qual foi a porcentagem de salgadinhos de queijo em relação ao total de salgadinhos encomendados pela Sônia? A) 10% B) 20% C) 25% D) 50% E) 75% ¼ = 0,25 . 100% = 25% Resposta: C 19) (SAERJ–2011) A mensalidade de um curso de informática é de 80 reais, mas se for paga antes do dia 5 de cada mês ela tem um desconto, caindo para 68 reais. Qual o percentual de desconto para quem paga antes do dia 5? A) 16% B) 15% C) 12% D) 8% E) 5% O desconto é de 80 – 68 = 12 80 – 100% 12 – x 80x = 12.100 x = 1200 = 15% 80 Resposta: B 20) (SAERJ-2013) Em um supermercado, o preço do saco de carvão foi reajustado de R$ 4,80 para R$ 5,85. O percentual de aumento do preço do saco de carvão foi de, aproximadamente, A) 1,05% B) 21,87% C) 31,62% D) 38,54% E) 82,05% O aumento é de 5,85 – 4,80 = 1,05
  • 28. 28 4,80 – 100% 1,05 – x 4,80x = 1,05.100 x = 105 = 21,875% 4,80 Resposta: B 21) (SAERJ-2012) Uma família gastou em janeiro R$ 1 000,00 em compras no supermercado. Desse total, 50% foram gastos em gêneros alimentícios, 25% em material de limpeza e 25% em artigos de higiene pessoal. No mês seguinte, essa mesma família gastou R$ 1 250,00 em compras no supermercado, dos quais 60% foram gastos em gêneros alimentícios, 20% em material de limpeza e 20% em artigos de higiene pessoal. O aumento percentual no gasto com gêneros alimentícios no mês de fevereiro, em relação ao mês anterior, foi de A) 10% B) 20% C) 30% D) 40% E) 50% O aumento com o gasto de gêneros alimentícios foi de 750 – 500 = 250 500 – 100% 250 – x 500x = 250.100 x = 25000 = 50% 500 Resposta: E 22) (SAERJ-2013) Uma loja promoveu uma liquidação, concedendo 20% de desconto nos preços de todos os seus produtos. Além disso, como forma de estimular o pagamento à vista, essa loja ofereceu um desconto de 10% sobre os preços promocionais para os clientes que optassem por essa forma de pagamento. Qual é o desconto percentual obtido na compra à vista de um produto nessa loja, em relação ao seu preço fora da liquidação? A) 10% B) 20% C) 22% D) 28% E) 30% Supondo que o valor de um produto é 100. Se o desconto foi de 20%, o preço final ficou reduzido a 80%. Um desconto de 10% foi dado em cima no novo valor, ou seja, 90% sobrou do novo valor. Logo, o desconto foi de 100 – 72 = 28%. Resposta: D 23) (SAERJ-2012) Antônio investe 60% de seu capital em ações da empresa X e os 40% restante em ações da empresa Y, ambos pelo prazo de um ano. Ao final desse período, as ações da empresa X se valorizaram 30%, enquanto as da empresa Y desvalorizaram 25%. Nesse período, o rendimento total obtido por Antônio nesses dois investimentos feitos foi A) 5% B) 8% C) 25% D) 48% E) 75% Supondo que Antônio investiu 100 reais. Ações empresa X: Ações empresa Y: Investimento total: 78 + 30 = 108 Rendimento %: 108 – 100 = 8% Resposta: B 24) (SAERJ-2013) Um produto sofreu um aumento de 25% em uma loja. Um cliente dessa loja, ciente desse aumento, decidiu negociar um desconto no preço desse produto, afim de que o preço retornasse ao valor original, antes desse aumento. Qual é o percentual de desconto que esse cliente deve negociar? A) 20% B) 25% C) 50% D) 75% E) 80% 125 – 100% 25 -- x 125x = 25.100 x = 2500 = 20% 125 Resposta: A
  • 29. 29 Exercícios: 1) (SAERJ-2013) Aparecida recebeu uma indenização no valor de R$ 12 000,00 em um processo judicial. Ela usou 20% desse valor para pagar seu advogado. Qual foi a parcela dessa indenização que Aparecida utilizou para pagar o advogado? A) R$ 150,00 B) R$ 300,00 C) R$ 600,00 D) R$ 2 400,00 E) R$ 9 600,00 2) (SAERJ-2013) Em uma sala de aula, há 80 alunos. Desse total, 65% são mulheres. Quantos homens há nessa sala de aula? A) 15 B) 28 C) 35 D) 52 E) 65 3) (SAERJ–2011) Um comerciante aumentou o preço de um produto que custava R$ 150,00 em 30%. O valor do aumento, em reais, deste produto foi igual a A) 195,00 B) 180,00 C) 105,00 D) 45,00 E) 30,00 4) (SAERJ-2011) Veja abaixo o anúncio da venda de um computador. O valor desse computador com esse desconto é A) R$ 595,00 B) R$ 630,00 C) R$ 685,00 D) R$ 700,00 5) (SAERJ–2011) Todo ano, Cícero viaja para casa de sua mãe. No ano passado, o preço da passagem foi de R$ 245,00 mas, neste ano, a passagem custará 20% a mais que a passagem do ano passado. O valor, em reais, da passagem deste ano é de A) R$ 196,00 B) R$ 225,00 C) R$ 249,90 D) R$ 265,00 E) R$ 294,00 6) (SAERJ-2014) Em uma promoção de inverno de uma loja, um tipo de ar condicionado foi vendido com 25% de desconto. Antes da promoção, esse ar condicionado custava R$ 1 200,00. Por qual valor esse ar condicionado foi vendido nessa promoção de inverno? A) R$ 300,00 B) R$ 900,00 C) R$ 1 152,00 D) R$ 1 175,00 E) R$ 1 500,00 7) (SAERJ-2014) Em uma lanchonete, o custo para a fabricação de um sanduíche é de R$ 2,80. Para que o lucro sobre a venda desse sanduíche seja de 65%, ele deve ser vendido por A) R$ 1,82 B) R$ 3,45 C) R$ 3,70 D) R$ 4,62 E) R$ 9,30 8) (SAERJ-2014) Márcia fabrica doces profissionalmente em uma cooperativa. Todos os meses ela compra 130 litros de leite para usar em seus produtos. Em um determinado mês, devido a uma grande encomenda, ela teve que aumentar sua compra em 46%. Quantos litros de leite Márcia comprou nesse mês? A) 84 B) 70,2 C) 176 D) 189,8 E) 195 9) (SAERJ-2014) O Índice Geral de Preços do Mercado (IGP-M) é utilizado como referência para a correção de valores de contratos, como os de energia elétrica e aluguel de imóveis. Esse índice chegou ao fim de 2013 com uma alta acumulada de 5,53%. O proprietário de um imóvel resolveu reajustar o aluguel de R$ 1 200,00 com base nesse percentual. Qual é o novo valor desse aluguel após o reajuste? A) R$ 66,36 B) R$ 663,60 C) R$ 1 205,53 D) R$ 1 266,36 E) R$ 1 863,60 10) (SAERJ-2014) Uma loja de eletrodomésticos realizou uma queima de mostruário, oferecendo um desconto de 10% em todos os produtos independente da forma de pagamento. Além desse desconto, a loja oferecia ainda outro desconto de 15% para os produtos pagos à vista. Jonas aproveitou essa promoção e comprou uma televisão, que antes da queima de mostruário custava R$ 1 100,00. Quanto Jonas pagou ao comprar essa televisão, à vista, durante a queima de mostruário? A) R$ 990,00 B) R$ 935,00 C) R$ 841,50 D) R$ 825,00 E) R$ 258,50
  • 30. 30 11) (SAERJ-2011) Gabriel após um mês de férias no sítio de sua avó percebeu que ganhou uns “quilinhos”. Seu peso atual é 80,5 kg, o que corresponde a 15% a mais do que pesava no início das férias. Qual era o peso de Gabriel antes dele entrar de férias? A) 80 kg B) 70 kg C) 68,4 kg D) 65,5 kg E) 53,6 kg 12) (SAERJ–2011) Num treino classificatório para uma competição de atletismo, sete atletas foram eliminados, ou seja, foram eliminados 20% do total desses atletas. Quantos atletas participaram desse treino classificatório? A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 E) 42 13) (SAERJ-2014) Aloísio observou em uma pesquisa feita em lojas virtuais que o preço de um mesmo eletrodoméstico é de R$ 1 650,00 na loja X e de R$ 1 450,00 na loja Y. Ele comprou esse eletrodoméstico na loja Y. Por ter comprado na loja Y, quantos por cento, aproximadamente, Aloísio pagou a menos em relação ao preço da loja X? A) 0,12% B) 0,13% C) 12,12% D) 13,8% E) 87,87% 14) (SAERJ-2014) João tem um plano de saúde na modalidade de coparticipação que cobre parte dos procedimentos médicos realizados por ele e seus dependentes. No mês de janeiro de 2014, João pagou R$ 450,00 de mensalidade e no mês de fevereiro de 2014 pagou R$ 585,00. Qual foi o percentual de aumento na mensalidade do plano de saúde de João no mês de fevereiro de 2014 em relação ao mês de janeiro de 2014? A) 23% B) 30% C) 76,9% D) 130% E) 135% 15) (SAERJ-2014) O Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro, que representa a soma (em valores monetários) de todos os bens e serviços finais produzidos no ano de 2009, foi de 1,62 trilhões de dólares, enquanto, no ano de 2012, o PIB foi de 2,253 trilhões de dólares. Qual foi, aproximadamente, o aumento percentual entre os PIB’s dos anos de 2009 e 2012? A) 28,10% B) 39,07% C) 60,93% D) 71,90% E) 139,07% 16) (SAERJ–2011) Numa loja, o preço de uma camisa, que era R$ 25,00, passou para R$ 32,00. O percentual de aumento do preço dessa camisa foi de A) 7% B) 25% C) 28% D) 32% E) 57% 17) (SAERJ-2013) Observe abaixo a oferta relâmpago feita em uma loja virtual. Qual foi o percentual de desconto concedido sobre o preço original desse fogão durante essa oferta? A) 30% B) 70% C) 42,85% D) 142,85% E) 299,70% 18) (SAERJ-2012) Uma gráfica cobra R$ 1,50 por cada cópia colorida. Como Mara mandou fazer um grande volume de cópias coloridas, ela ganhou um desconto e pagou R$ 1,20 por cada uma delas. Qual foi o desconto obtido por Mara? A) 3% B) 5% C) 20% D) 30% E) 80% 19) (SAERJ-2014) Evandro recebia um salário bruto de R$ 2 500,00. Ele foi promovido e seu salário bruto passou a ser de R$ 4 200,00. O percentual de aumento de salário que Evandro recebeu nessa promoção foi de A) 168% B) 147,05% C) 68% D) 59,52% E) 40,47% 20) (SAERJ-2014) Ao receber o IPTU do ano de 2014, Fabrício observou que poderia realizar o pagamento de R$ 680,00 à vista ou a prazo, em 8 parcelas iguais a R$ 97,75. Qual é o percentual de acréscimo para o pagamento a prazo desse imposto? A) 1,15% B) 15% C) 85% D) 86,9% E) 102%
  • 31. 31 21) (SAERJ–2011) Para verificar a qualidade do combustível, o fiscal verificou que, na amostra, havia 900 mL de gasolina e 300 mL de álcool. Qual é o percentual de álcool nesse combustível? A) 25% B) 27% C) 30% D) 33% E) 60% Matemática Financeira Conceitos básicos O preço de uma geladeira é R$ 950,00. Bruno comprou essa geladeira em três prestações mensais e iguais. Nessas condições, a loja cobrou uma taxa mensal de juro de 8%. Quanto Bruno pagou de juro e qual o preço final da geladeira? Ao comprar a geladeira a prazo, Bruno pagou um acréscimo chamado de juro, que corresponde a uma porcentagem do valor da compra efetuada e depende do número de prestações mensais. Assim, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Quando falamos em juros, devemos considerar: Capital (c): É o valor aplicado através de alguma operação financeira. Ou seja, o dinheiro que se empresta ou se pega emprestado. Taxa de juros (i): A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 0,5% a.b. – (a.b. significa ao bimestre). 12,75% a.s. – (a.s. significa ao semestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre). 0,01 a.d. – (a.d. significa ao dia). Prazo ou tempo (t): é o tempo que passa desde o inicio até o final de uma operação financeira. Pode ser prazo exato ou comercial. Prazo exato: é aquele que usa o ano civil de 365 dias ou 366 dias (ano bissexto), em que os dias são contados pelo calendário. Assim, o mês pode ter: 28 ou 29 dias, 30 dias ou 31 dias. Prazo comercial: é aquele que usa o ano comercial, no qual o mês tem sempre 30 dias e o ano, 360 dias. OBS: A taxa e o tempo devem ter sempre a mesma unidade de medida. Por exemplo, se i for uma taxa diária, t deverá ser em dias; se a taxa for mensal, t deverá ser em meses, e assim por diante. Montante (M): É o total que se paga no final de uma operação financeira (capital + juros). Juros (J): Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
  • 32. 32 JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Exemplos que diferenciam juros simples e compostos: 1) Mariana pediu R$ 800,00 emprestados a Vinícius para pagar depois de 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim desse tempo? 1º modo: Pelo regime de juros simples ou capitalização simples. Tempo Dívida no início do mês Juro do mês Dívida no fim do mês (montante) 1º mês 800,00 5% de 800,00 = 40,00 800,00 + 40,00 = 840,00 2º mês 840,00 5% de 800,00 = 40,00 840,00 + 40,00 = 880,00 3º mês 880,00 5% de 800,00 = 40,00 880,00 + 40,00 = 920,00 A dívida ao fim de 3 meses será de R$ 920,00. Esse regime é chamado de juros simples porque a taxa é aplicada sempre em relação ao capital inicial. 2º modo: Pelo regime de juro composto ou capitalização composta. Tempo Dívida no início do mês Juro do mês Dívida no fim do mês (montante) 1º mês 800,00 5% de 800,00 = 40,00 800,00 + 40,00 = 840,00 2º mês 840,00 5% de 840,00 = 42,00 840,00 + 42,00 = 882,00 3º mês 882,00 5% de 802,00 = 44,10 880,00 + 44,10 = 926,10 A dívida ao fim de três meses será de R$ 926,10. Observe que no regime de juro composto a dívida, após 3 meses é maior que a dívida no regime de juros simples. Esse regime é conhecido como juro sobre juro. JUROS SIMPLES Tomando o exemplo anterior, no regime de juro simples, podemos observar que o juro de cada mês é sempre igual a R$ 40,00. Assim, existe a possibilidade de se calcular a dívida final diretamente. Se eu pegar R$ 40,00 (5% de 800,00) e multiplicar por 3 (número de meses), eu terei o juro total igual a R$ 120,00. Como meu empréstimo inicial foi de R$ 800,00. Temos 800,00 + 120,00 = 920,00 que é a dívida final. Formalizando, teremos que o juro total seria: 5% de 800 = 800 . 100 5 = 40 (como vimos em porcentagem). J = 800 . 100 5 . 3 = 120 Logo, Juro = capital x taxa unitária x tempo. Que nos dá a fórmula: J = c.i.t O valor da dívida final é chamado de montante, onde M = C + J. Logo, M = 800 + 120 = 920.
  • 33. 33 Exemplos: 1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 1 ano e meio, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? J = ? Ou c = 3200 t = 1 ano e meio = 18 meses i = 3% a.m J = c.i.t J = 3200 – 100% x -- 3% 100 x = 3200.3 x = 9600 = 96 em 1 mês 100 18 meses => 18.96 = 1728 2) Encontre o juro obtido na aplicação de um capital de R$ 200.000,00, à taxa simples de 1% a.m., durante 2 anos. J = ? c = 200000 t = 2 anos i = 1% a.m. = 12% a.a. J = c.i.t = 3) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 2% a.m, durante sete meses. J = ? c = 60000 t = 7 meses i = 2% a.m J = c.i.t = 4) Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juro se o regime for de juro simples? Que montante terá ao final dessa aplicação? J = ? M = c + J = ? c = 3000 t = 5 meses i = 2% a.m. J = c.i.t = M = 3000 + 300 = 3300 5) Qual o valor futuro correspondente a um empréstimo de R $30.000,00 feito pelo prazo de 3 meses, a taxa de juro simples de 2% a.m.? J = ? M = c + J = ? c = 30000 t = 3 meses i = 2% a.m. J = c.i.t = 3 M = 30000 + 1800 = 31800 6) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a taxa mensal. J = 11200 c = 28000 t = 8 meses i = ? J = c.i.t Ou 11200 = 28000 11200 = 2240i % a.m. 28000 – 100% 11200 – x 28000x = 11200.100 x = 1120000 = 40% em 8 meses A cada mês => 40/8 = 5% a.m. 7) A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? J = 1080 c = 24000 t = 6 meses i = ? J = c.i.t 1080 = 24000 1080 = 1440i a.m.
  • 34. 34 8) Uma pessoa sacou R$ 21.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de 03 meses e pagar ao todo R$ 22.575,00. A que taxa de juro obteve aquele capital? M = 22575 J = 22575 – 21000 = 1575 c = 21000 t = 3 meses i = ? J = c.i.t 1575 = 21000 1575 = 630i a.m. 9) Sabendo que um capital de R$ 10.000,00 foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital? M = 2.10000 = 20000 J = 20 000 – 10 000 = 10 000 c = 10 000 t = 8 anos i = ? J = c.i.t 10000 = 10000 10000 = 800i a.a. 10) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital? M = 2.c = 2c J = 2c – c = c c = c t = 8 anos i = ? J = c.i.t c = c c = 0,08ci a.a. 11) Encontre o capital que, aplicado à taxa de 2,5% a.m., durante 5 anos, rendeu juro simples de R$ 78.000,00. J = 78000 c = ? t = 5 anos = 60 meses i = 2,5% a.m. J = c.i.t 78000 = c 78000 = 1,5c 12) Qual o capital que à taxa de 30% ao ano, rende juro de R$ 126.000,00 em 36 meses? J = 126000 c = ? t = 36 meses = 3 anos i = 30% a.a. J = c.i.t 126000 = c 126000 = 0,9c 13) Quanto tempo um capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 3% ao bimestre, leva para produzir R$ 8.400,00 de juro simples? J = 8400 c = 40000 t = ? i = 3% a.b. J = c.i.t Ou 8400 = 40000 8400 = 1200t 40000 – 100% x -- 3% 100x = 3.40000 x = 120000 = 1200 em 1 bimestre 100 8400/1200 = 7 bimestres 14) Um capital de é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? c = 100 M = 200 J = 200 – 100 = 100 t = ? i = 5% a.m. J = c.i.t 100 = 100 100 = 5t
  • 35. 35 15) Um capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? c = 100 M = 300 J = 300 – 100 = 200 t = ? i = 10% a.a. J = c.i.t 200 = 100 200 = 10t 16) Um artigo de preço à vista de R$ 700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um pagamento para 1 mês e meio. Se o vendedor cobra juros simples de 8% a.m., qual o valor do pagamento devido? Preço à vista: 700 Entrada: 20% de 700 = 140 c = 700 – 140 = 560 J = ? M =? t = 1,5 meses i = 8% a.m. J = c.i.t J = 560 M = 560 + 67,20 = 627,20 17) (FGV-SP) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores dando uma entrada de R$ 200,00 e duas parcelas mensais, com juros simples de 8% ao mês. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho foi de R$ 600,00. E que ele pagou R$ 200,00 pela segunda prestação, quanto falta Carlos pagar na 3ª prestação? Preço à vista: 600 Entrada: 200 c = 600 – 200 = 400 J = ? M =? t = 2 meses i = 8% a.m. J = c.i.t J = 400 M = 400 + 64 = 464 – 200 = 264 18) (SAERJ-2014) Júlia aplicou em uma poupança todo o seu décimo terceiro salário durante cinco meses a uma taxa de 1,3% ao mês no regime de capitalização simples. Ao final desse período, ela retirou do banco o montante de R$ 3 195,00. O valor do décimo terceiro salário que Júlia recebeu e aplicou foi de A) R$ 207,67 B) R$ 2 995,18 C) R$ 3 000,00 D) R$ 3 402,67 E) R$ 49 153,84 M = c + J => J = M – c = 3195 – c c = ? t = 5 meses i = 1,3% a.m. J = c.i.t 3195 - c = c 3195 – c = 0,065c 3195 = 0,065c + c 3195 = 1,065c c = Exercícios: 1) (SAERJ–2012) 2) (SAERJ–2011)
  • 36. 36 3) (SAERJ–2011) 4) (SAERJ–2013) 5) (SAERJ–2012) 6) (SAERJ–2012) 7) (TRE-PE, FCC - Técnico Judiciário - 2004) Um capital de R$ 20 000,00 foi aplicado a juro simples e, ao final de 20 meses, produziu o montante de R$ 25 600,00. A taxa mensal dessa aplicação era de A) 1,2% B) 1,4% C) 1,5% D) 1,8% E) 2,1% 8) (SAERJ-2014) Luiza aplicou R$ 60 000,00 durante 5 anos sob o regime de capitalização simples. Ao completar esse período, ela resgatou o montante de R$ 88 800,00. A taxa mensal na qual ela aplicou esse dinheiro é A) 0,008% B) 0,096% C) 0,8% D) 2,46% E) 9,6% 9) (SAERJ-2014) Sérgio comprou uma motocicleta e financiou todo o valor em 12 meses no sistema de capitalização simples. O preço dessa motocicleta nas compras à vista era de R$ 15 000,00, mas, por conta do financiamento, Sérgio pagou um valor total de R$ 16 620,00 por essa motocicleta. Qual foi a taxa mensal aplicada nesse financiamento que Sérgio fez? A) 0,008% a.m. B) 0,009% a.m. C) 0,09% a.m. D) 0,8% a.m. E) 0,9% a.m. 10) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a taxa anual for de: A) 30% B) 40% C) 50% D) 75% E) 100% 11) (SAERJ-2012) 12) (SAERJ–2012) 13) (SAERJ–2013)
  • 37. 37 14) (FCC - 2013 - Sergipe Gás S.A. - Assistente Técnico - Administrativo – RH) Um capital no valor de R$ 16.000,00 é aplicado a juros simples, a uma taxa de 0,75% ao mês. Se no final do período de aplicação o valor dos juros apresentou um valor igual a R$ 1.920,00, então este capital ficou aplicado, em meses, por um período igual a: A) 16 B) 8 C) 12 D) 10 E) 14 15) (SAERJ–2012) 16) (CONSULPLAN/2008 - Correios - Agente de Correios - Atendente Comercial) Altair aplicou um capital, a juros simples, à taxa de 4% a.m. Quanto tempo, no mínimo, esse capital deverá ficar aplicado para que Altair resgate o triplo da quantia que aplicou? A) 30 meses B) 50 meses C) 25 meses D) 40 meses E) 15 meses 17) (SAERJ-2014) Pedro comprou uma casa no valor de R$ 150 000,00. Ele financiou todo o valor dessa casa a uma taxa de 0,7% ao mês sob o regime de capitalização simples e, por isso, ao final do financiamento, ele pagou um total de R$ 200 400,00. Sabendo que Pedro nunca atrasou o pagamento das parcelas, em quantos meses ele pagou todo o financiamento dessa casa? A) 36 B) 48 C) 334 D) 353 E) 426 18) (SAERJ-2014) Luiza aplicou R$ 40 000,00 a uma taxa de 0,8% a.m. no regime de capitalização simples. No momento da retirada, ela verificou que esse capital gerou R$ 19 200,00 de juros. Por quanto tempo, ao todo, ela deixou o capital aplicado para gerar esses R$ 19 200,00 de juros? A) 40 meses. B) 60 meses. C) 185 meses. D) 260 meses. E) 320 meses. 19) (SAERJ–2012) JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital anterior para o cálculo dos juros do período seguinte. Exemplo: Um capital de R$ 50.000 é aplicado, a juros compostos, por um prazo de 4 meses, à taxa de 3% ao mês. Calcule o montante obtido no final. Solução: Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 50.000 100 3 50000 1.500 51.500 2 51.500 100 3 51500 1.545 53.045 3 53.045 100 3 53045 1.591,35 54.636,35 4 54.636,35 100 3 54636,35 1639,09 56.275,44
  • 38. 38 Exemplos: 1) Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juro composto de 2% ao mês. Quantos reais ele terá após 4 meses de aplicação? Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 14.000 280 14280 2 14280 285,60 14565,60 3 14565,60 291,31 14856,91 4 14856,91 1297,15 15154,05 2) Calcule o juro composto que será obtido na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao ano, durante 3 anos. Ano Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 25000 6250 31250 2 31250 7812,50 39062,50 3 39062,50 9765,63 48828,13 23828,13 3) Cláudio aplicou R$ 5.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juro composto? Quantos reais de juro ele obterá nessa operação? Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 5000 150 5150 2 5150 154,50 5304,50 3 5304,50 159,14 5463,64 4 5463,64 163,91 5627,55 5 5627,55 168,83 5796,38 796,38 4) Celina aplicou R$ 40.000,00 em um banco, a juro composto de 16% a.a., capitalizados anualmente. Qual o juro obtido ao final de 2 anos? Ano Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 40000 6400 46400 2 46400 7424 53824 13824 5) Qual o montante que um capital de R$ 4.000,00 produz quando aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 4% a.m. de juro composto? Mês Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 4000 160 4160 2 4160 166,40 4326,40 3 4326,40 173,06 4499,46
  • 39. 39 6) César aplicou R$ 12.000,00 a juro composto de 6% a.b. Que quantia terá após 2 bimestres de aplicação? Bim Capital Cálculo do Juro Juros do período Montante 1 12000 720 12720 2 12720 763,20 13483,20 7) (SAERJ-2012) André aplicou um capital de R$ 1 000,00 por dois meses, sob regime de juros compostos, a uma determinada taxa mensal e obteve um rendimento igual a R$ 210,00, proveniente dos juros. A taxa mensal de juros nessa aplicação foi igual a A) 2,1% B) 10% C) 10,5% D) 12,1% E) 21% M = c + J = 1000 + 210 = 1210 M = c (1 + i) t 1210 = 1000 (1 + i)² 1210 = (1 + i)² 1000 1,21 = (1 + i)² (1,1)² = (1 + i)² 1 + i = 1,1 i = 1,1 – 1 = 0,1 . 100% = 10% Resposta: B 8) (SAERJ-2014) Daniel depositou um capital em uma conta no regime de capitalização composta por 2 anos a uma taxa de 8,4% ao ano. Ao final desses dois 2 anos, ele retirou o montante de R$ 14 100,68. Sabendo que essa conta foi utilizada somente para fazer essa transação bancária, qual foi o valor total do capital que Daniel depositou nessa conta? A) R$ 159,58 B) R$ 839,32 C) R$ 2 368,91 D) R$ 12 000,00 E) R$ 16 569,08 M = c (1 + i) t 14100,68 = c (1 + 0,084)² 14100,68 = c (1,084)² 14100,68 = c . 1,175056 c = Resposta: D Exercícios: 1) (SAERJ-2011) 2) (SAERJ–2012) 3) (SAERJ–2013)
  • 40. 40 4) (SAERJ–2013) 5) (SAERJ–2013) 6) (SAERJ-2014) Davi deixou um débito de R$ 13,00 em sua conta corrente por 2 meses, e o banco cobrou juros sob uma taxa de 15,9% a. m. sobre esse valor no regime de capitalização composta. Qual foi, aproximadamente, o valor total de juros gerado por esse débito? A) R$ 2,06 B) R$ 4,13 C) R$ 4,46 D) R$ 17,13 E) R$ 17,46 7) (SAERJ-2014) Tereza abriu uma conta bancária e depositou R$ 5 000,00 na poupança sob uma taxa de 6,5% a.a. no regime de capitalização composta. Ela não mexeu nessa poupança durante 2 anos e, após esse tempo, Tereza retirou todo o montante gerado. Qual foi, aproximadamente, esse montante retirado por ela? A) R$ 5 671,12 B) R$ 5 650,00 C) R$ 5 325,00 D) R$ 671,12 E) R$ 650,00 8) (SAERJ-2014) Cheque especial é uma modalidade de empréstimo pessoal onde cada cliente retira diretamente de sua conta uma quantia que o banco lhe deixa disponível. Rita retirou R$ 1 000,00 de seu cheque especial para realizar o pagamento de algumas contas emergenciais. O banco que gerencia essa conta cobra uma taxa de 7% ao mês no regime de juros compostos pelo dinheiro usado do cheque especial. Ela realizou o pagamento dessa quantia dois meses após a retirada. Qual foi o valor dos juros pago por Rita por essa retirada do cheque especial? A) R$ 140,00 B) R$ 144,90 C) R$ 940,90 D) R$ 1 140,00 E) R$ 1 144,90 9) (SAERJ-2014) Joana depositou R$ 10 000,00 em um fundo de investimento para garantir a faculdade de sua filha que tinha, nessa época, 8 anos de idade. Esse fundo de investimento rendeu 5% ao ano no regime de capitalização composta e, durante o período aplicado, ela não fez nenhuma movimentação. Joana deixou esse capital aplicado por exatamente 10 anos, quando sua filha completou 18 anos e pode começar a usufruir da quantia com seus estudos. Qual foi o montante gerado, aproximadamente, nesse fundo de investimento durante esse período? A) R$ 5 000,00 B) R$ 6 288,95 C) R$ 15 000,00 D) R$ 16 288,95 E) R$ 24 066,19