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M AT E M Á T I C A
37 d
Em certa região árida prevê-se construir um açude,
cuja superfície tem aproximadamente a forma de um
losango, conforme a vista superior apresentada.




A capacidade do açude em litros pode ser estimada
multiplicando-se a área de sua superfície pela profun-
didade, lembrando que 1m3 corresponde a 103 litros.
Se a profundidade média do açude é 2m e ele estiver
completamente cheio, aproximadamente quantas
famílias com consumo mensal de 2 x 104 litros de água
cada uma poderiam ser atendidas em um mês? A res-
posta correta é
a) 640           b) 1 600          c) 6 400
d) 16 000        e) 64 000
Resolução




A área S da superfície do açude é tal que
           AC . BD    800 . 400
       S = –––––––– = –––––––– = 160 000m2
              2           2

A capacidade V do açude é tal que
V = 160 000m2 . 2m = 320 000m3 = 32 . 104 . 103                    ⇒
⇒ V = 32 . 107
O número n de famílias atendidas é tal que

         V      32 . 107
 n = –––––––– = ––––––––– = 16 . 103 = 16 000
     2 . 104     2 . 104

38 d
Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número
complexo z, no plano de Argand-Gauss.
OBJETIVO               F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
Se – é o complexo conjugado de z, então
   z

a) z = – 2 + 2 3 i    b) – = – 2 + 2 3 i
                         z
                                    2 3
c) z = – 2 + 3 i      d) – = – 2 + ––––– i
                         z
                                     3

               3
e) z = – 2 + –––– i
               3
Resolução




              3    |b|            2 3
1) tg 30° = ––– = –––– ⇒ | b | = ––––– ⇒
             3    | –2 |           3


           2 3
  ⇒ b = – ––––– , pois b < 0
            3


              2 3      –          2 3
2) z = – 2 – ––––– i ⇒ z = – 2 + ––––– i
               3                   3


39 c
Um auditório foi construído de acordo com o esquema
abaixo:




OBJETIVO               F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4
lugares a mais que a anterior.
Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um
evento e todas comparecerem,
a) ficarão vagos 140 lugares.
b) ficarão vagos 64 lugares.
c) faltarão 44 lugares.
d) faltarão 120 lugares.
e) não sobrarão nem faltarão lugares.
Resolução
1) O décimo oitavo termo da progressão aritmética
     (8; 12; 16; ...), de razão 4, é a18 = 8 + 17 . 4 = 76.

2) A soma dos 18 primeiros termos da progressão é
                     8 + 76
              S18 = ––––––– . 18 = 756
                       2

3) O auditório tem capacidade para acomodar 756
   pessoas e, portanto, faltarão (800 – 756) lugares,
   ou seja, 44 lugares.


40 e
Uma das raízes da equação x3 + 3x2 + 2x – 120 = 0 é
um número inteiro positivo menor do que 5. Outra das
raízes é
    71                    71                        7i
a) ––––              b) –––––                 c) – –––
    13                   13                        13

    – 7 – 71             – 7 – i 71
d) –––––––––––       e) –––––––––––
        2                     2
Resolução
De acordo com o enunciado, verificamos, por subs-
tituição, que 4 é raiz da equação.
Na divisão do polinômio P(x) = x3 + 3x2 + 2x – 120 por
x – 4, o quociente é x2 + 7x + 30 e o resto é nulo.

    1            3             2                  –120                 4
    1            7             30                   0

Portanto, P(x) = (x – 4) (x2 + 7x + 30)
                         –7 ± i 71
P(x) = 0 ⇔ x = 4 ou x = ––––––––––– ⇔
                             2

OBJETIVO                  F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
{–7 + i 71
              2
                        –7 – i 71
⇔ V = 4; ––––––––––– ; –––––––––––
                             2                           }
41 b
Com uma letra A, uma letra C, uma letra E, uma letra
F e uma letra T, é possível formar 5! = 120 “palavras”
distintas (anagramas, com ou sem sentido).
Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética,
a posição ocupada pela palavra FATEC será a
a) 77ª     b) 78ª    c) 80ª     d) 88ª    e) 96ª
Resolução
Na lista das 120 palavras escritas em ordem alfabética,
antes da palavra FATEC estão as “palavras” que se ini-
ciam por A, C, E, FAC, FAE e FATC.
Assim sendo, tem-se:
1) iniciando-se com A, C ou E, existem 3 . P4 = 72
   “palavras”.
2) iniciando-se com FAC ou FAE, existem 2 . P2 = 4
   “palavras”.
3) iniciando-se com FATC, existe apenas uma “pala-
   vra”.
Desta forma, existem 72 + 4 + 1 = 77 “palavras” ante-
cedendo a “palavra” FATEC e, portanto, FATEC é a 78ª
“palavra”.


42 d
Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga
de certo material, obteve os seguintes dados:

       Peso (em N)                      Deformação
                                  (no ponto médio, em mm)
             0                                       0
             6                                       9
             18                                     45

O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser
dada em função do peso x por uma expressão do tipo
D(x) = ax2 + bx + c. Usando os dados da tabela, ele
escreve um sistema de equações lineares e determina
os valores dos coeficentes a, b, c. O valor de a é
                        1             1           1
a) 9     b) 3       c) –––        d) –––     e) –––
                        3            12          36
Resolução
A deformação D pode ser calculada em função do pe-
so x por uma expressão do tipo D(x) = ax2 + bx + c.
Pelos dados da tabela, temos:



{                     {
    D(0) = 0              a.0+b.0+c=0
    D(6) = 9      ⇒       a . 62 + b . 6 + c = 9                     ⇔
    D(18) = 45            a . 182 + b . 18 + c = 45


OBJETIVO                     F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
{                             {
          c=0                           c=0
⇔         36a + 6b = 9      ⇔           108a + 18b = 27                ⇔
          324a + 18b = 45               324a + 18b = 45




      {
          c=0
⇔         108a + 18b = 27
                           18         1
          216a = 18 ⇒ a = –––– ⇔ a = –––
                          216        12



43 c
Seja r a reta que passa pelos pontos (3,2) e (5,1). A
reta s é a simétrica de r em relação à reta de equa-
ção y = 3. A equação de s é
a) x + 2y – 7 = 0         b) x + 2y – 5 = 0
c) x – 2y + 5 = 0         d) x – 2y – 11 = 0
e) 2x – y + 5 = 0
Resolução
A reta s, simétrica de r em relação à reta de equação
y = 3, passa pelos pontos (3; 4) e (5; 5).
A equação da reta s é:
  x         y    1


| |
  5
  3
            5
            4
                 1
                 1
                     = 0 ⇔ x – 2y + 5 = 0




44 a
Um pai dividiu a quantia de R$ 750,00 entre seus três
filhos. A quantia recebida por Carlos correspondeu a
 10                                               7
 ––– da recebida por André e esta correspondeu a –––
   7                                              8
da recebida por Bruno. É verdade que
a) Carlos recebeu R$ 60,00 a mais que Bruno.
b) André recebeu R$ 100,00 a menos que Carlos.
c) Bruno recebeu R$ 70,00 a menos que Carlos.
d) Carlos recebeu R$ 100,00 a mais que André.
e) André recebeu R$ 40,00 a menos que Bruno.
Resolução
OBJETIVO                    F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
Sendo a, b e c as quantias recebidas, respectivamen-
te, por André, Bruno e Carlos, temos:




{
        10
    c = ––– a




                                  {
         7                               a = 210

         7               ⇒               b = 240
    a = ––– b
         8
                                         c = 300
    a + b + c = 750

Portanto, Carlos recebeu R$ 60,00 a mais que Bruno.



45 b
No início de uma temporada de calor, já havia em certo
lago uma formação de algas. Observações anteriores
indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas
algas cresce 5% a cada dia, em relação à área do dia
anterior.
Nessas condições, se, em certo dia denominado dia
zero, as algas ocupam 1 000 m2, aproximadamente
em quantos dias elas cobririam toda a superfície de
16 000 m2 do lago?
(Use em seus cálculos: log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30.)
a) 20     b) 60     c) 80      d) 100        e) 120
Resolução
A partir do enunciado, temos:
dia “zero”: 1000m 2
dia “um”: 1000 . 1,05m 2

dia “dois”: 1000 . (1,05) 2m 2
    .             .
    .             .
    .             .
    .             .

dia “n”: 1000 . (1,05) n m 2 = 16.000m 2

Então: 1000 . (1,05) n = 16.000 ⇔ (1,05) n = 16 ⇔
⇔ log (1,05) n = log16 ⇔ n . log (1,05) = log2 4 ⇔

      4 . log 2      4 . 0,30
⇔ n = –––––––– ⇔ n = ––––––– ⇔ n = 60
      log 1,05         0,02

Portanto, em 60 dias, as algas cobririam toda a super-
fície de 16 000 m 2 do lago.

46 e
Sobre as sentenças
I. sen 40° < sen 50°
II. cos 190° > cos 200°
III. tg 60° = tg 240°
é correto afirmar que somente
a) I é verdadeira.         b) II é verdadeira.
OBJETIVO                 F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
c) III é verdadeira.          d) I e II são verdadeiras.
e) I e III são verdadeiras.
Resolução
I) sen 40° < sen 50° (verdadeira)
      No 1º quadrante, a função seno é estritamente
      crescente, portanto 40° < 50° ⇒ sen 40° < sen 50°

II) cos 190° > cos 200° (falsa)
    No 3º quadrante, a função cosseno é estritamente
    crescente, portanto
         190° < 200° ⇒ cos 190° < cos 200°

III) tg 60° = tg 240° (verdadeira)
     tg 240° = tg (60° + 180°) = tg 60° =             3

47 a
Em um motor há duas polias ligadas por uma correia,
de acordo com o esquema abaixo.




Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre
seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais
se aproxima do comprimento da correia?
a) 122,8 cm      b) 102,4 cm     c) 92,8 cm
d) 50 cm         e) 32,4 cm
Resolução




De acordo com o enunciado, o comprimento da cor-
reia, em centímetros, é:

AD + AB + BC + CD = π . 10 + 30 + π . 10 + 30 =
= 60 + 20π     122,8

48 b
Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão
inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco,
como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera
tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do
paralelepípedo.




OBJETIVO                F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
O espaço entre as esferas e o
                     paralelepípedo está preenchido
                     com um líquido. Se a aresta da
                     base do paralelepípedo mede
                     6 cm, o volume do líquido nele
                     contido, em litros, é aproxima-
                     damente igual a
                     a) 0,144 b) 0,206 c) 1,44
                     d) 2,06    e) 20,6

Resolução
                         Sejam R e h, respectiva-
                         mente, as medidas, em cen-
                         tímetros, do raio da esfera e
                         da altura do paralelepípedo.
                         Assim,
                                  6
                         a) R = ––– = 3
                                  2
                         b) h = 4R = 4 . 3 = 12



Sendo VL o volume do líquido, VP o volume do parale-
lepípedo e VE o volume da esfera, em centímetros
cúbicos, temos:
                                  4
VL = VP – 2 . VE = 62 . 12 – 2 . ––– π . 33 =
                                  3

= 432 – 72π    205,92

Logo, o volume do líquido é aproximadamente
0,206 litro.

                   Comentário

    Com um predomínio de questões de Álgebra, a
prova de Matemática do vestibular da Fatec teve
enunciados claros e precisos. Algumas questões pro-
curaram relacionar assuntos do cotidiano, mas de uma
forma tradicional.




OBJETIVO                F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2

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  • 1. M AT E M Á T I C A 37 d Em certa região árida prevê-se construir um açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de um losango, conforme a vista superior apresentada. A capacidade do açude em litros pode ser estimada multiplicando-se a área de sua superfície pela profun- didade, lembrando que 1m3 corresponde a 103 litros. Se a profundidade média do açude é 2m e ele estiver completamente cheio, aproximadamente quantas famílias com consumo mensal de 2 x 104 litros de água cada uma poderiam ser atendidas em um mês? A res- posta correta é a) 640 b) 1 600 c) 6 400 d) 16 000 e) 64 000 Resolução A área S da superfície do açude é tal que AC . BD 800 . 400 S = –––––––– = –––––––– = 160 000m2 2 2 A capacidade V do açude é tal que V = 160 000m2 . 2m = 320 000m3 = 32 . 104 . 103 ⇒ ⇒ V = 32 . 107 O número n de famílias atendidas é tal que V 32 . 107 n = –––––––– = ––––––––– = 16 . 103 = 16 000 2 . 104 2 . 104 38 d Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 2. Se – é o complexo conjugado de z, então z a) z = – 2 + 2 3 i b) – = – 2 + 2 3 i z 2 3 c) z = – 2 + 3 i d) – = – 2 + ––––– i z 3 3 e) z = – 2 + –––– i 3 Resolução 3 |b| 2 3 1) tg 30° = ––– = –––– ⇒ | b | = ––––– ⇒ 3 | –2 | 3 2 3 ⇒ b = – ––––– , pois b < 0 3 2 3 – 2 3 2) z = – 2 – ––––– i ⇒ z = – 2 + ––––– i 3 3 39 c Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo: OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 3. A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um evento e todas comparecerem, a) ficarão vagos 140 lugares. b) ficarão vagos 64 lugares. c) faltarão 44 lugares. d) faltarão 120 lugares. e) não sobrarão nem faltarão lugares. Resolução 1) O décimo oitavo termo da progressão aritmética (8; 12; 16; ...), de razão 4, é a18 = 8 + 17 . 4 = 76. 2) A soma dos 18 primeiros termos da progressão é 8 + 76 S18 = ––––––– . 18 = 756 2 3) O auditório tem capacidade para acomodar 756 pessoas e, portanto, faltarão (800 – 756) lugares, ou seja, 44 lugares. 40 e Uma das raízes da equação x3 + 3x2 + 2x – 120 = 0 é um número inteiro positivo menor do que 5. Outra das raízes é 71 71 7i a) –––– b) ––––– c) – ––– 13 13 13 – 7 – 71 – 7 – i 71 d) ––––––––––– e) ––––––––––– 2 2 Resolução De acordo com o enunciado, verificamos, por subs- tituição, que 4 é raiz da equação. Na divisão do polinômio P(x) = x3 + 3x2 + 2x – 120 por x – 4, o quociente é x2 + 7x + 30 e o resto é nulo. 1 3 2 –120 4 1 7 30 0 Portanto, P(x) = (x – 4) (x2 + 7x + 30) –7 ± i 71 P(x) = 0 ⇔ x = 4 ou x = ––––––––––– ⇔ 2 OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 4. {–7 + i 71 2 –7 – i 71 ⇔ V = 4; ––––––––––– ; ––––––––––– 2 } 41 b Com uma letra A, uma letra C, uma letra E, uma letra F e uma letra T, é possível formar 5! = 120 “palavras” distintas (anagramas, com ou sem sentido). Colocando-se essas “palavras” em ordem alfabética, a posição ocupada pela palavra FATEC será a a) 77ª b) 78ª c) 80ª d) 88ª e) 96ª Resolução Na lista das 120 palavras escritas em ordem alfabética, antes da palavra FATEC estão as “palavras” que se ini- ciam por A, C, E, FAC, FAE e FATC. Assim sendo, tem-se: 1) iniciando-se com A, C ou E, existem 3 . P4 = 72 “palavras”. 2) iniciando-se com FAC ou FAE, existem 2 . P2 = 4 “palavras”. 3) iniciando-se com FATC, existe apenas uma “pala- vra”. Desta forma, existem 72 + 4 + 1 = 77 “palavras” ante- cedendo a “palavra” FATEC e, portanto, FATEC é a 78ª “palavra”. 42 d Um engenheiro, estudando a resistência de uma viga de certo material, obteve os seguintes dados: Peso (em N) Deformação (no ponto médio, em mm) 0 0 6 9 18 45 O engenheiro suspeita que a deformação D pode ser dada em função do peso x por uma expressão do tipo D(x) = ax2 + bx + c. Usando os dados da tabela, ele escreve um sistema de equações lineares e determina os valores dos coeficentes a, b, c. O valor de a é 1 1 1 a) 9 b) 3 c) ––– d) ––– e) ––– 3 12 36 Resolução A deformação D pode ser calculada em função do pe- so x por uma expressão do tipo D(x) = ax2 + bx + c. Pelos dados da tabela, temos: { { D(0) = 0 a.0+b.0+c=0 D(6) = 9 ⇒ a . 62 + b . 6 + c = 9 ⇔ D(18) = 45 a . 182 + b . 18 + c = 45 OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 5. { { c=0 c=0 ⇔ 36a + 6b = 9 ⇔ 108a + 18b = 27 ⇔ 324a + 18b = 45 324a + 18b = 45 { c=0 ⇔ 108a + 18b = 27 18 1 216a = 18 ⇒ a = –––– ⇔ a = ––– 216 12 43 c Seja r a reta que passa pelos pontos (3,2) e (5,1). A reta s é a simétrica de r em relação à reta de equa- ção y = 3. A equação de s é a) x + 2y – 7 = 0 b) x + 2y – 5 = 0 c) x – 2y + 5 = 0 d) x – 2y – 11 = 0 e) 2x – y + 5 = 0 Resolução A reta s, simétrica de r em relação à reta de equação y = 3, passa pelos pontos (3; 4) e (5; 5). A equação da reta s é: x y 1 | | 5 3 5 4 1 1 = 0 ⇔ x – 2y + 5 = 0 44 a Um pai dividiu a quantia de R$ 750,00 entre seus três filhos. A quantia recebida por Carlos correspondeu a 10 7 ––– da recebida por André e esta correspondeu a ––– 7 8 da recebida por Bruno. É verdade que a) Carlos recebeu R$ 60,00 a mais que Bruno. b) André recebeu R$ 100,00 a menos que Carlos. c) Bruno recebeu R$ 70,00 a menos que Carlos. d) Carlos recebeu R$ 100,00 a mais que André. e) André recebeu R$ 40,00 a menos que Bruno. Resolução OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 6. Sendo a, b e c as quantias recebidas, respectivamen- te, por André, Bruno e Carlos, temos: { 10 c = ––– a { 7 a = 210 7 ⇒ b = 240 a = ––– b 8 c = 300 a + b + c = 750 Portanto, Carlos recebeu R$ 60,00 a mais que Bruno. 45 b No início de uma temporada de calor, já havia em certo lago uma formação de algas. Observações anteriores indicam que, persistindo o calor, a área ocupada pelas algas cresce 5% a cada dia, em relação à área do dia anterior. Nessas condições, se, em certo dia denominado dia zero, as algas ocupam 1 000 m2, aproximadamente em quantos dias elas cobririam toda a superfície de 16 000 m2 do lago? (Use em seus cálculos: log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30.) a) 20 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 Resolução A partir do enunciado, temos: dia “zero”: 1000m 2 dia “um”: 1000 . 1,05m 2 dia “dois”: 1000 . (1,05) 2m 2 . . . . . . . . dia “n”: 1000 . (1,05) n m 2 = 16.000m 2 Então: 1000 . (1,05) n = 16.000 ⇔ (1,05) n = 16 ⇔ ⇔ log (1,05) n = log16 ⇔ n . log (1,05) = log2 4 ⇔ 4 . log 2 4 . 0,30 ⇔ n = –––––––– ⇔ n = ––––––– ⇔ n = 60 log 1,05 0,02 Portanto, em 60 dias, as algas cobririam toda a super- fície de 16 000 m 2 do lago. 46 e Sobre as sentenças I. sen 40° < sen 50° II. cos 190° > cos 200° III. tg 60° = tg 240° é correto afirmar que somente a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 7. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) I e III são verdadeiras. Resolução I) sen 40° < sen 50° (verdadeira) No 1º quadrante, a função seno é estritamente crescente, portanto 40° < 50° ⇒ sen 40° < sen 50° II) cos 190° > cos 200° (falsa) No 3º quadrante, a função cosseno é estritamente crescente, portanto 190° < 200° ⇒ cos 190° < cos 200° III) tg 60° = tg 240° (verdadeira) tg 240° = tg (60° + 180°) = tg 60° = 3 47 a Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia? a) 122,8 cm b) 102,4 cm c) 92,8 cm d) 50 cm e) 32,4 cm Resolução De acordo com o enunciado, o comprimento da cor- reia, em centímetros, é: AD + AB + BC + CD = π . 10 + 30 + π . 10 + 30 = = 60 + 20π 122,8 48 b Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do paralelepípedo. OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2
  • 8. O espaço entre as esferas e o paralelepípedo está preenchido com um líquido. Se a aresta da base do paralelepípedo mede 6 cm, o volume do líquido nele contido, em litros, é aproxima- damente igual a a) 0,144 b) 0,206 c) 1,44 d) 2,06 e) 20,6 Resolução Sejam R e h, respectiva- mente, as medidas, em cen- tímetros, do raio da esfera e da altura do paralelepípedo. Assim, 6 a) R = ––– = 3 2 b) h = 4R = 4 . 3 = 12 Sendo VL o volume do líquido, VP o volume do parale- lepípedo e VE o volume da esfera, em centímetros cúbicos, temos: 4 VL = VP – 2 . VE = 62 . 12 – 2 . ––– π . 33 = 3 = 432 – 72π 205,92 Logo, o volume do líquido é aproximadamente 0,206 litro. Comentário Com um predomínio de questões de Álgebra, a prova de Matemática do vestibular da Fatec teve enunciados claros e precisos. Algumas questões pro- curaram relacionar assuntos do cotidiano, mas de uma forma tradicional. OBJETIVO F A T E C ( 1 º D i a ) – D e z e m b r o /2 0 0 2