Complexos 12 ano

1. ESCOLA SECUNDÁRIA C/ 3º CICLO DE PEDRO NUNES
FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A
COMPLEXOS
O conjunto dos números complexos. Forma algébrica e forma trigonométrica de um
número complexo. Operações com números complexos: adição, subtracção,
multiplicação e divisão. Raízes de índice n de um número complexo. Conjuntos
definidos por condições em C .
Escolha Múltipla
1. A igualdade ( ) ( )ziz ImRe −= :
(A)Nunca é verdadeira. (B) É verdadeira para qualquer número complexo.
(C) É verdadeira se e só se z é um imaginário puro (D) Só falsa se z é real.
2. Seja w um número complexo. Qual dos pontos P , Q , R ou S poderá ser a imagem
geométrica de ww − ?
(A) P (B) Q
(C) R (D) S
3. No conjunto dos números complexos, seja w um número real negativo. As representações
geométricas das raízes quadradas de w pertencem:
(A) Ao eixo real. (B) Às bissectrizes dos quadrantes impares.
(C) Ao eixo imaginário. (D) Às bissectrizes dos quadrantes pares.
4. O ponto P é a imagem geométrica de zi5
. Qual pode ser a imagem geométrica de z ?
(A) P (B) Q
(C) R (D) S
5. O número 





+=
3
2
π
αcisz é um número real negativo se α é:
(A) π2 (B)
3
π
− (C) π (D)
3
2π

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6. Se θ é o argumento de z , qual das afirmações seguintes é necessariamente
verdadeira, para um argumento de z3 ?
(A) ( ) θ33arg =z (B) ( )
3
3arg
θ
=z (C) ( ) θ=z3arg (D)
( ) 3
3arg θ=z
7. Se o inverso e o conjugado de um número complexo z ( )0≠z são iguais, então:
(A) z é um número real. (B) 1=z (C) z é um imaginário puro (D)
zz ImRe = .
8. Em C o conjunto dos números complexos, considere 





−=
5
2
3
π
cisz O argumento
mínimo positivo de
z
w
1
= é:
(A)
2
π
(B)
7
5π
(C)
5
8π
(D)
5
3π
9. Sejam θciszz = um número complexo e A e B as imagens de z e de 2
z num referencial
de origem O . Uma medida da amplitude do ângulo AOB é:
(A) θ (B) θ2 (C) θ3 (D) πθ +
10. Seja iz 21+= um número complexo e seja α um seu argumento. A representação
trigonométrica do número 2
iz pode ser :
(A) ( )icis 2
5 α (B) 





+
2
25
π
αcis (C) 





+
2
5
π
αcis (D)
( )α25 −cis
11. No plano complexo , os afixos de 





=
7
21
π
cisz e 





=
14
9
22
π
cisz são dois vértices
consecutivos de um polígono regular centrado na origem. O número de lados desse
polígono é:

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(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6.
12. Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento α . Então, n
n
z
z
1
+ é igual a :
(A) ( )αncos2 (B) ( )αnsen2 (C) 0cis (D) ( )12 +αncis
13. Sejam iz +=11 e 22 iz = dois números complexos. Sendo
( )3
1
2
z
z
w = , qual das
afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 





=
42
1 π
cisw (B) 





=
42
1 π
cisw (C) 





=
4
7
2
1 π
cisw (D)
3
2
2
1 π
cisw =
14. Se a imagem da raiz cúbica de um complexo z pertence à
região assinalada na figura ao lado, a qual das regiões pode
garantir que pertence a imagem do número complexo z ?
15. 





=
3
21
π
cisz e 





=
12
7
22
π
cisz são duas raízes de índice n de um número complexo w .
As suas imagens são os vértices consecutivos do polígono cujos vértices são as imagens das
raízes de índice n desse número complexo w . Então, w é igual a:
(A) 





3
4
4
π
cis (B) 





3
2
16
π
cis (C)
4
3
16 




π
cis (D) 





6
5
2
π
cis
16. Seja 





=
3
π
cisw um número complexo. Então, 5432
1 wwwww +++++ é igual a:

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(A)
3
16π
cis (B) 0 (C) ( )π6cis (D)






3
40π
cis
17. Considera o número complexo iz
4
cos2
π
+= . A imagem geométrica de z pertence à
região do plano complexo definida pela condição:
(A) 2=z (B)
2
5
>z (C)
2
arg
4
ππ
≤≤ z (D)
4
arg0
π
≤≤ z
18. Qual das seguintes condições define no plano complexo uma recta perpendicular à
recta definida por izz −=+1 ?
(A)
4
Re
π
=z (B)
4
Im
π
=z (C) izz +=−1 (D)
izz +−= 1
19. No plano complexo está representado o triângulo
equilátero [ ]ABC . Sabe-se que M é o ponto médio de
[ ]AB e que o vértice A é a representação geométrica do
complexo θciszA 3= , 



∈
2
;0
π
θ .
O número complexo Mz cujo afixo é o ponto M , pode ser representado, na forma
trigonométrica, em função de θ por:
(A) 





+
62
33 π
θcis (B) 





+
6
3
π
θcis (C) 





+
3
3
π
θcis (D) 





+
62
53 π
θcis
20. A condição ( )
4
1arg043
π
≤+≤∧≥+ ziz , definida em C , pode ser representada
graficamente por:

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21. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica no plano complexo da
condição 10arg1 +≥−∧≤≤−∧≥ zizzz π ?
22. Considere os números complexos 





=
4
2
π
ciszA e
izB 32 +−= , que têm como representações geométricas,
no plano complexo, os pontos A e B pertencentes a uma
circunferência de centro na origem. A área da região
sombreada é:
(A) π3 (B) π4 (C) π5 (D)
π21
Questões de resposta aberta.
23. Sendo iz 221 +−= e iz 262 −−= , represente na forma trigonométrica:
a) 1z b) 2z c) 2z d) 1z− e) 2iz

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24. Sejam iz 311 +−= e iz −−= 12 . Represente na forma trigonométrica os números
complexos:
a) 21 zz × b)
2
1
z
z
c)
4
2
3
1 zz × d)
2
1
z
z−
25. Seja 





=
3
4
2
π
cisz um número complexo.
a) Escreva
2+z
z
na forma trigonométrica.
b) Indique um número complexo w de modo que
w
z
seja um número imaginário puro.
c) Seja A a imagem de z e B a imagem de z− num referencial de origem O .
Determine a área do triângulo [ ]AOB .
26. Seja
3
1
π
cisz = e iz +=12 dois números complexos.
a) Escreva o número
2
13
z
iz
na forma algébrica e na forma trigonométrica.
b) Use a alínea anterior para indicar os valores exactos do seno e do cosseno de
12
7π
.
27.Seja iz −= 2 um número complexo e seja α um seu argumento. Determine o valor exacto
de:
a) ( )α2cos b) 





+α
π
4
tg
28. Sendo θo argumento de iz 21+= , determine o valor exacto de:
a) θsen b) θcos c) ( )θ2sen d)






+
3
π
θsen

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29. Escreva na forma trigonométrica o número:
( )isensen
isen
απ
π
α
αα
−+





−
−
2
cos
30. Prove que
( )






−=
+
−
α
π
αα
αα
2
2
3
cos
cos
3
cis
isen
isen
31.a) Prove que
21
1 πn
cis
i
i
n
=





−
+
, INn ∈∀ e interprete este resultado em termos
geométricos.
b) Determine o menor número natural n para o qual ( ) ( )nn
ii −=+ 11
32. Seja
3
2
π
cisw = um número complexo.
a) Resolva, em C , a equação: 03
=+ wz .
b) Determine os valores de INn ∈ para os quais n
w é um número real negativo.
33. Na figura está representado um triângulo equilátero [ ]ABC
.Um dos vértices é a imagem geométrica do número complexo:
8
7
2
π
cisz = .
a) Determine os números complexos cujas imagens
geométricas são os outros vértices.
b) O número z é uma das raízes de índice 6 do número w . Determine w e escreva-o na
forma algébrica.
34. Considere os números complexos iw 431 −= e
5
22
π
cisw = .
a) Sendo θ um argumento de 1w , represente na forma trigonométrica, em função de θ
, o número complexo i34 − .
b) Calcule as raízes quadradas de 1w e apresente-as na forma algébrica.

8. ESCOLA SECUNDÁRIA C/ 3º CICLO DE PEDRO NUNES
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c) Resolva, em C , a equação:
2
3
w
z
z =
35. Relativamente à figura sabe-se que:
- A circunferência tem centro na origem e raio 2;
- A reta r é a bissetriz dos quadrantes impares;
- O ponto A é a imagem geométrica de uma das
raízes cúbicas de i8 .
a) Mostre que a imagem geométrica do número
( )






−
+
=
4
32
1
4
π
cis
i
w
se situa no interior da
circunferência e sobre a reta r .
b) Defina, por meio de uma condição em C , a zona sombreada, incluindo a fronteira.
36. Considere no plano complexo, o quadrado [ ]ABCD . Os
pontos A , B , C e D encontram-se à distância de uma
unidade da origem do referencial.
a) Sejam iw −=1 e 





=
2
3
2
π
cisz dois números complexos...
Mostre que as raízes quartas do número complexo
z
w2
têm por imagens geométricas os
pontos A , B , C e D .
b) Defina, por uma condição em C , a região sombreada incluindo o contorno.
37. Represente no plano complexo as imagens dos números que satisfazem a condição:
( )
4
3
arg022
π
≤≤∧≥++− iziz

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38. Sejam 29
1 3iz = e 





=
4
5
22
π
cisz dois números complexos.
a) Escreva ( )2
21 zz + na forma algébrica.
b) Determine o menor natural n tal que ( )n
zz 21 × é um número real.
c) Identifique o lugar geométrico das imagens dos números complexos w tais que
12 zzw =− .
39. Considere os números complexos iz +=11 e 





=
3
5
222
π
cisz .
a) Mostre que a imagem do número complexo que é solução da equação ( )3
21 zwz = se situa
na bissectriz dos quadrantes pares.
b) Na figura os pontos A e B são imagens,
respetivamente, dos complexos 1z e 2z . Os arcos
desenhados são arcos de circunferência de centro
na origem. Defina por meio de um condição em C
a zona sombreada incluindo a fronteira.
40. Indique uma condição em C que defina as regiões sombreadas:
______________________________________________BOM TRABALHO__________
Soluções: 1. (B) 2. (D) 3. (C) 4. (D) 5. (D) 6. (C) 7. (B) 8.(D)
9.(A) 10.(B) 11. (B) 12. (A) 13. (C) 14. (B) 15.(B) 16. (B)

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17.(D) 18.(D) 19.(D) 20.(D) 21. (A) 22.(A) 23.a)
4
3
2
π
cis
23.b) 





6
7
22
π
cis 23.c) 





6
5
22
π
cis 23.d) 





4
7
2
π
cis 23.e)






3
5
22
π
cis
24.a) 





12
23
22
π
cis 24.b) 





12
17
2
π
cis 24.c) 32 πcis 24.d)






12
11
2
π
cis
25.a) πcis 25.b) 





=
6
5
2
π
cisw 25. c) 3 26.a) 





12
7
2
23 π
cis
26.b)
22
13
12
7
cos
+−
=
π
;
22
13
12
7 +
=
π
sen 27.a) ( )
5
3
2cos =α 27.b)
3
1
4
=





+α
π
tg
28.a)
5
2
; 28.b)
5
1
; 28.c)
5
4
28.d)
52
32 +
29. πcis 31.a) O
número
dado tem a imagem sobre os eixos, INn ∈∀ 31.b) 4=n 32.a)
∨





=
9
2
23 π
cisz
∨





=
9
8
23 π
cisz 





=
9
14
23 π
cisz 32.b) 0,63 INkkn ∈+= 33.a)
24
5
2
π
cisB = ;
24
37
2
π
cisC = ; 33.b) iw 232232 −−= ; 34.a) 





−=×=− θ
π
2
3
534 1 cisiwi
34.b) i−2 , i+− 2 ; 34c) 





+−=∨=
2202
2
0
ππ k
ciszz , { }3,2,1,0∈k

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35.a)
4
5
3
32 π
cisw = ; O módulo de w é menor do que o raio da circunferência e o
seu argumento é
4
π
π + 35.b) 





≤≤∨≤≤∧≤
4
5
arg
6
5
4
arg02
πππ
zzz
36. a) 1
2
=
z
w
logo as raízes são 1,-1,i e –i 37.
36.b) ( ) ( ) 





≤+≤−∧





≤−≤∧≥
4
1arg
44
5
1arg
4
3
2
2 ππππ
zzz ;
38.a) i43 −− 38.b) 





=×
4
7
2321
π
ciszz , 4=n 38.c) Circunferência de
centro
em ( )1;1 −− e raio 3. 39. a)
4
3
16
π
cisw = tem imagem na bissectriz do
segundo
quadrante; 39b)
3
5
arg
4
222
ππ
≤≤∧≤≤ zz
40.