1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
1) O documento apresenta 10 exercícios de matemática envolvendo números complexos.
2) No exercício 8, pede-se para determinar a hora de um jantar secreto a partir da representação dos ponteiros do relógio como números complexos.
3) No exercício 9, é solicitado calcular o módulo, argumento e representar graficamente o número complexo 2 + 2(√3)i.
Este documento contém 10 questões sobre círculos e circunferências no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como pontos de tangência, cordas, centros e raios de circunferências, regiões determinadas por condições geométricas e sistemas de equações.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre polinômios e suas raízes. A primeira questão pede para completar lacunas sobre as raízes de uma equação quarto grau. A segunda pergunta trata de polinômios de terceiro grau com raízes em progressão aritmética. A terceira questão aborda valores que fazem com que as raízes de um polinômio quarto grau estejam em progressão aritmética.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
O documento apresenta 10 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas. As questões envolvem tópicos como geometria, álgebra, números e funções.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1) O documento fornece resumos sobre conceitos e fórmulas relacionadas a circunferências, incluindo definição, equações reduzida e geral, determinação de centro e raio, reconhecimento e existência.
2) São apresentados tópicos de ajuda para resolução de exercícios envolvendo posições relativas entre retas e circunferências, entre duas circunferências, e interseção entre curvas.
3) Exemplos de exercícios de revisão são fornecidos para teste dos conceitos aprendidos
Resolução da prova do colégio naval de 20072marrow
1) A soma das raízes da equação do 2o grau é 6 + 2√2.
2) O produto xy dos termos da equação é igual a 11.
3) O perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência é igual a 54,4.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de uma prova de matemática do Colégio Naval de 2010. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos relacionados a áreas de figuras, sistemas de equações, raízes de equações e propriedades de triângulos. As respostas variam de letras a, b, c, etc.
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...Josie Michelle Soares
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre expressões algébricas para o 8o ano do ensino fundamental. Inclui instruções sobre como realizar os exercícios e lembranças sobre a importância dos estudos.
2) A lista contém 22 questões sobre expressões algébricas, incluindo representar situações matemáticas com letras, calcular valores numéricos de expressões e identificar sequências numéricas.
3) Os alunos devem realizar os exercícios de forma organizada para avaliações futuras.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre função exponencial de um curso de licenciatura em matemática.
2) Inclui 18 questões resolvidas sobre equações e funções exponenciais retiradas de vestibulares brasileiros.
3) As resoluções visam mostrar os principais tipos de problemas e a abordagem para solucioná-los, servindo de apoio para professores e estudantes.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
[1] O documento apresenta 20 questões sobre polinômios, incluindo divisão de polinômios, raízes de polinômios, e propriedades algébricas de polinômios. [2] As questões cobrem tópicos como restos de divisão, quocientes, fatores e coeficientes de polinômios. [3] As respostas são fornecidas no final.
O documento fornece 5 questões de matemática sobre porcentagem, conjuntos, probabilidade e outras operações matemáticas. As questões variam de nível de dificuldade e abordam tópicos como porcentagem de conjuntos, probabilidade, consumo de combustível, entre outros.
O documento descreve um experimento sobre funções matemáticas utilizando sensores de posição. O objetivo era estabelecer uma relação entre a quantidade de capas de CD e a altura da pilha formada através da medição da distância do sensor. Os resultados mostraram uma função crescente bijetora entre essas grandezas.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
1) O documento fornece resumos sobre conceitos e fórmulas relacionadas a circunferências, incluindo definição, equações reduzida e geral, determinação de centro e raio, reconhecimento e existência.
2) São apresentados tópicos de ajuda para resolução de exercícios envolvendo posições relativas entre retas e circunferências, entre duas circunferências, e interseção entre curvas.
3) Exemplos de exercícios de revisão são fornecidos para teste dos conceitos aprendidos
Resolução da prova do colégio naval de 20072marrow
1) A soma das raízes da equação do 2o grau é 6 + 2√2.
2) O produto xy dos termos da equação é igual a 11.
3) O perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência é igual a 54,4.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
O documento contém 51 questões de matemática básica com múltipla escolha. As questões abordam tópicos como cálculo de expressões numéricas, operações com frações e radiciais, propriedades de números reais e racionais.
Este documento fornece resumos de conteúdos matemáticos, incluindo:
1) Funções exponenciais, suas propriedades, gráficos e equações/inequações exponenciais.
2) Logaritmos, suas propriedades, mudança de base e equações logarítmicas.
3) Geometria espacial com definições de prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1) O documento descreve sequências e progressões aritméticas, definindo-as como listas ordenadas de números que seguem uma regra. 2) Ele fornece exemplos de sequências comuns e explica como encontrar a expressão geral de uma sequência e calcular termos específicos. 3) O documento também explica o que é uma progressão aritmética e fornece a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética.
Este documento contém 35 questões sobre logaritmos e exponenciais. As questões abordam tópicos como propriedades dos logaritmos, equações exponenciais e logaritmicas, funções logaritmicas e exponenciais, e interpretação e uso de logaritmos na resolução de problemas.
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de uma prova de matemática do Colégio Naval de 2010. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos relacionados a áreas de figuras, sistemas de equações, raízes de equações e propriedades de triângulos. As respostas variam de letras a, b, c, etc.
3ª lista de exercícios complementares de matemática (expressões algébricas) p...Josie Michelle Soares
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática sobre expressões algébricas para o 8o ano do ensino fundamental. Inclui instruções sobre como realizar os exercícios e lembranças sobre a importância dos estudos.
2) A lista contém 22 questões sobre expressões algébricas, incluindo representar situações matemáticas com letras, calcular valores numéricos de expressões e identificar sequências numéricas.
3) Os alunos devem realizar os exercícios de forma organizada para avaliações futuras.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre função exponencial de um curso de licenciatura em matemática.
2) Inclui 18 questões resolvidas sobre equações e funções exponenciais retiradas de vestibulares brasileiros.
3) As resoluções visam mostrar os principais tipos de problemas e a abordagem para solucioná-los, servindo de apoio para professores e estudantes.
Este documento contém 14 exercícios resolvidos sobre funções polinomiais do segundo grau e logarítmica. Os exercícios abordam tópicos como gráficos de funções, raízes, máximos e mínimos, equações e inequações do segundo grau. O último exercício trata sobre juros compostos e tempo para que um capital inicial duplique de valor.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento apresenta os principais tópicos sobre operações algébricas de primeiro grau: (1) Discute expressões algébricas, incluindo monômios, adição, subtração, multiplicação e divisão de monômios e polinômios; (2) Apresenta produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas; (3) Define equações do primeiro grau e sua resolução; (4) Discutem sistemas de equações do primeiro grau.
[1] O documento apresenta 20 questões sobre polinômios, incluindo divisão de polinômios, raízes de polinômios, e propriedades algébricas de polinômios. [2] As questões cobrem tópicos como restos de divisão, quocientes, fatores e coeficientes de polinômios. [3] As respostas são fornecidas no final.
O documento fornece 5 questões de matemática sobre porcentagem, conjuntos, probabilidade e outras operações matemáticas. As questões variam de nível de dificuldade e abordam tópicos como porcentagem de conjuntos, probabilidade, consumo de combustível, entre outros.
O documento descreve um experimento sobre funções matemáticas utilizando sensores de posição. O objetivo era estabelecer uma relação entre a quantidade de capas de CD e a altura da pilha formada através da medição da distância do sensor. Os resultados mostraram uma função crescente bijetora entre essas grandezas.
Este documento contém 20 questões de matemática sobre álgebra, geometria, trigonometria e cálculo. As questões abordam tópicos como logaritmos, conjuntos, progressões aritméticas e geométricas, funções trigonométricas, limites e matrizes.
O documento apresenta 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como funções, probabilidades, progressões geométricas e trigonometria. As questões são resolvidas detalhadamente com os cálculos necessários para chegar às respostas corretas.
1) Documento contendo 13 questões de matemática para vestibulares do Colégio Naval e EPCAr. As questões abrangem tópicos como álgebra, aritmética e geometria.
2) O documento fornece os contatos de uma equipe de professores de matemática para tirar dúvidas sobre os assuntos cobrados nas questões.
3) É apresentada uma lista de 13 questões com múltipla escolha para testar os conhecimentos dos candidatos.
Resumo do assunto baseado em diversos livros de matemática do Ensino Médio. Após o resumo encontra-se uma série de exercícios de livros e de vestibulares do Brasil todo. Todos os exercícios possuem gabarito, presente na última página do PDF.
Reformas protestantes e contrarreformaRennan Ramos
As reformas protestantes surgiram devido à insatisfação com a Igreja Católica, especialmente a venda de indulgências. Martinho Lutero pregou a salvação pela fé e a Bíblia como única autoridade, levando à separação do catolicismo. João Calvino adotou ideias similares com a ênfase na predestinação. A reforma anglicana separou a Igreja inglesa do Papa. A contrarreforma católica reafirmou os dogmas da fé no Concílio de Trento
O documento apresenta 12 questões sobre diversos tópicos de física, como eletromagnetismo, termodinâmica, mecânica e eletricidade. As questões abordam conceitos como força magnética, expansão de gás, equilíbrio mecânico, movimento harmônico simples e circuitos elétricos. O documento também fornece as alternativas de resposta e o gabarito correto para cada questão.
1) Para que um bloco de 2 kg atinja uma velocidade de 1 m/s após ser comprimido contra uma mola de constante elástica de 200 N/m, é necessário comprimir a mola em 0,9 cm.
2) Quando um corpo é abandonado do alto de um plano inclinado com aceleração da gravidade de 10 m/s2, velocidade do ar nula e superfícies polidas, a velocidade com que atinge o solo é aproximadamente 10 m/s.
3) Quando um barco reboca um paraqued
1) O documento discute movimentos periódicos e oscilatórios, incluindo o movimento harmônico simples.
2) Um movimento periódico é caracterizado pela repetição de posição, velocidade e aceleração em intervalos de tempo iguais. O período é o intervalo de tempo entre repetições.
3) No movimento harmônico simples, a força é proporcional à elongação, resultando em funções horárias senoidais para posição, velocidade e aceleração.
Física - VideoAulas Sobre Exercícios ResolvidosDinâmica dos Movimentos Curvos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.ApoioAulasParticulares.Com.Br
O documento aborda conceitos fundamentais de física, incluindo cinemática, dinâmica, hidrostática, termodinâmica, eletrostática, eletrodinâmica, indução magnética e transformadores. Os tópicos são apresentados de forma sistemática, começando pelos conceitos básicos e evoluindo para aplicações e leis mais complexas.
O documento trata de um simulado sobre questões ambientais e de recursos naturais do Brasil. As perguntas abordam tópicos como biomas brasileiros, história do petróleo no país, desafios de hidrelétricas na Amazônia, instalação de montadoras de veículos, revolução industrial, distribuição populacional, demografia, recursos minerais e impactos de usinas hidrelétricas.
Este documento apresenta resumos de conteúdos de Matemática, Física e Literatura. Inclui tópicos como progressões aritméticas, trigonometria, movimentos de projéteis, trabalho e energia, e realismo e naturalismo. Também descreve o acervo e serviços de bibliotecas da Universidade do Estado do Amazonas.
1. O documento é um encarte do jornal de Fato sobre vestibular, contendo artigos sobre literatura, redação e português, além de notícias sobre Enem e universidades.
2. A professora Luana Maia resume o romance "Vidas Secas", de Graciliano Ramos, obra indicada para o vestibular da UFRN.
3. O Enem é adiado e o MEC estuda novas datas para a prova. Universidades como UERN e UFERSA adiam seus processos seletivos à espera do Enem.
Este documento discute equações do primeiro grau, definindo equações, regras para resolvê-las e tipos de equações como literais e com denominadores. Exemplos demonstram como resolver equações para encontrar valores desconhecidos.
1) O documento contém uma prova de matemática com 10 questões.
2) A prova aborda tópicos como divisão de quantias, funções, geometria, conversão de unidades e composição de funções.
3) O aluno demonstrou habilidade em resolver problemas envolvendo esses diferentes tópicos matemáticos.
Vigas inclinadas exemplo - viga engastada e livre submetida a uma forca ver...Charles Lima
1) O documento apresenta um exemplo de cálculo de esforços internos em uma viga inclinada submetida a uma força vertical uniformemente distribuída e um momento.
2) São mostrados os cálculos das reações de apoio e dos esforços internos (momento fletor, cortante e axial) ao longo da viga.
3) São apresentados os diagramas dos esforços internos solicitantes da viga inclinada.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
O documento apresenta 29 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e resolução de sistemas lineares. Os exercícios abordam conceitos como matriz identidade, matriz nula, matriz idempotente e matriz periódica.
1) O documento apresenta técnicas de fatoração de expressões algébricas, incluindo casos de fator comum, diferença de quadrados e trinômio quadrado perfeito.
2) São fornecidos exemplos e exercícios para cada caso de fatoração.
3) O documento aborda também equações algébricas e identificação de circunferências através de equações cartesianas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
1) O documento fornece resumos de problemas de matemática com soluções.
2) O problema 7 calcula o volume de uma caixa feita a partir de uma lâmina retangular com recortes, sendo a resposta 140x - 48x2 + 4x3.
3) O problema 8 determina o valor de um parâmetro a a partir de uma relação entre variáveis proporcionais, sendo a igual a 2.
4) O problema 11 calcula o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 2h15min, porém a resposta não é fornec
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
O documento discute a Geometria Analítica, que estabelece relações entre álgebra e geometria por meio de equações e inequações, permitindo transformar questões geométricas em questões algébricas e vice-versa. A Geometria Analítica pode representar fenômenos físicos usando coordenadas cartesianas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática básica sobre equações e funções do 1o e 2o graus. Os exercícios 1-9 tratam de equações do 1o grau, os exercícios 10-17 tratam de equações do 2o grau. Os exercícios complementares tratam de funções do 1o grau nos exercícios 1-7 e de funções do 2o grau nos exercícios 8-18.
(1) A função quadrática tem concavidade voltada para cima, com vértice em (3,-4) e raízes em 1 e 5.
(2) O gráfico representa uma função quadrática com Δ = 0.
(3) A altura máxima alcançada pela bola é 6 metros.
(1) A função quadrática tem concavidade voltada para cima, com vértice em (3,-4) e raízes em 1 e 5.
(2) O gráfico representa uma função quadrática com Δ = 0.
(3) A altura máxima alcançada pela bola é 6 metros.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
1) O documento fornece resumos de questões de trigonometria com suas respectivas soluções.
2) São apresentadas 18 questões sobre conceitos básicos de trigonometria como seno, cosseno, tangente e suas aplicações em triângulos retângulos e relações trigonométricas.
3) O documento é assinado pelo professor Homero e contém seu e-mail de contato no cabeçalho.
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
1) O documento apresenta 7 exercícios e 1 desafio de álgebra envolvendo logaritmos e funções trigonométricas.
2) Fornece as alternativas de resposta para cada questão com uma letra de a-e.
3) Abaixo das questões, há um "Gabarito" que indica a resposta correta para cada uma delas.
O documento contém:
1) Um texto de apresentação de um professor de matemática e uma citação;
2) Dez questões de matemática resolvidas, com explicações passo a passo;
3) O nome do professor e a nota final de 6/10.
Semelhante a Fisica exercicios resolvidos 011 (20)
O documento apresenta 10 questões de um exercício de matemática. As questões envolvem cálculos de velocidade, volume de água, números naturais, capacidade de tanque de gasolina, área de terreno e lado de cerâmica. A última questão propõe encontrar um valor para p dias com base no vazamento de uma torneira.
O documento apresenta 10 questões de matemática financeira e porcentagem. Na questão 1, calcula-se juros compostos e tempo para duplicação de capital. Na questão 2, calcula-se um valor inicial emprestado. Nas questões 3-4 resolvem-se exercícios de índice de variação de preços. Nas questões 5-8 analisam-se situações envolvendo descontos e porcentagens. Nas questões 9-10 calculam-se preços com descontos e composição de custos.
O documento apresenta 10 questões sobre sistemas lineares, equações matriciais e problemas de matemática financeira. As questões abordam tópicos como determinação de sistemas lineares, solução de equações matriciais, cálculo de custos de transporte e consumo de combustível.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre diversos temas como porcentagem, sistemas de equações, velocidade e outras. A questão 5 pede para calcular o número estimado de brasileiros analfabetos absolutos em matemática usando dados de uma pesquisa. A questão 9 fornece informações sobre códigos de barras e pede para determinar um dígito ausente. A questão 10 apresenta um sistema de equações para calcular o consumo de combustível de um carro em diferentes situações.
I. O documento apresenta uma questão sobre três irmãs: Ana, Beatriz e Clara, onde uma diz a verdade e as outras duas mentem.
II. Ana responde que se perguntarem para cada irmã se a outra mente ou fala a verdade, Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que Beatriz mente.
III. O documento também contém outras questões sobre jogos matemáticos e lógica.
Este documento apresenta 10 questões de matemática. A questão 7 pede para calcular a quantidade mínima de metros de barbante necessária para embalar um pacote em forma de prisma retangular. As dimensões do pacote são dadas e 20 cm devem ser reservados para o laço.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo polinômios, raízes e funções quadráticas.
2) A questão 5 pede para identificar qual afirmação é correta sobre o número 2 ser uma raiz dupla de um determinado polinômio.
3) A questão 10 pede para esboçar o gráfico do produto de duas funções quadráticas dadas e calcular o quociente de dois polinômios.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo álgebra, incluindo polinômios, raízes e divisibilidade. A questão 5 pede para determinar o valor de k para que 2 seja raiz de um polinômio, as outras raízes e os intervalos onde o polinômio é positivo. A questão 8 pede para calcular os valores de p e q sabendo que um polinômio é divisível por x-2 e seu valor em 1.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo vetores e suas operações. As questões 1-5 tratam de cálculos com vetores dados. As questões 6-8 envolvem representações gráficas de rotações de vetores. As questões 9-10 tratam de planos e suas interseções.
Este documento contém 10 questões sobre funções trigonométricas, análise de funções e cálculo de Produto Interno Bruto (PIB). A questão 1 calcula o valor de uma expressão trigonométrica. A questão 7 explicita uma função composta e determina seu valor máximo. E a questão 9 calcula o valor do PIB de um país em 2004.
Este documento contém 10 questões sobre cálculo e funções matemáticas. As questões incluem determinar soluções de equações trigonométricas, sistemas de equações, áreas de regiões delimitadas por funções e valores de variáveis que satisfaçam equações envolvendo funções compostas. Há também uma questão sobre interpretar medidas em uma planta de residência.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo trigonometria e geometria.
2) As questões incluem cálculos de seno, cosseno, tangente e áreas para diferentes figuras geométricas como circunferências e trapézios.
3) São solicitados também cálculos como distância entre cidades e determinação de ângulos e alturas de torres.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vários tópicos como geometria, trigonometria e física. As questões envolvem cálculos para determinar alturas, distâncias, áreas e tempos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento contém 10 questões sobre geometria analítica no plano cartesiano. As questões envolvem cálculo de coordenadas de pontos, equações de retas e parábolas, áreas de polígonos e condições para que retas sejam concorrentes.
1) O documento apresenta 10 questões sobre geometria analítica envolvendo pontos, retas e triângulos no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como cálculo de distâncias, determinação de coordenadas de pontos e vértices, representação geométrica de retas, e propriedades de figuras planas.
3) São solicitadas determinações de pontos, cálculos de áreas e afirmações corretas sobre sistemas de coordenadas e propriedades geométricas.
1) O documento discute probabilidades em diferentes situações, incluindo o lançamento de dados e a seleção aleatória de pessoas e números.
2) É mostrado que se p é um número primo maior que 3, então p2 - 1 é múltiplo de 12.
3) A probabilidade de dois números aleatórios menores que 37 serem primos maiores que 3 é 35/37.
1) O documento apresenta 9 questões sobre probabilidade envolvendo situações como pesquisas, sorteios e classificações.
2) A questão 8 calcula a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso em um grupo ser uma criança do sexo feminino.
3) A questão 9 calcula a probabilidade de três vértices escolhidos ao acaso em um poliedro pertencerem à mesma face.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática sobre diferentes tópicos como numeração, combinatória e probabilidade.
2) A questão 8 trata de um campeonato entre 3 times onde cada time joga 2 vezes contra os outros e o time que somou 3 pontos em casa foi o campeão.
3) A questão 9 calcula que há 256 códigos binários possíveis com exatamente 9 algarismos tendo o primeiro como 1.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
LIVRO MPARADIDATICO SOBRE BULLYING PARA TRABALHAR COM ALUNOS EM SALA DE AULA OU LEITURA EXTRA CLASSE, COM FOCO NUM PROBLEMA CRUCIAL E QUE ESTÁ TÃO PRESENTE NAS ESCOLAS BRASILEIRAS. OS ALUNOS PODEM LER EM SALA DE AULA. MATERIAL EXCELENTE PARA SER ADOTADO NAS ESCOLAS
1. RESOLUÇÃO COMENTADA
AULÃO GRÁTIS EsPCEx
EsPCEx 2011|2012
Matemática 1º dia
TERÇA 20/09 e QUINTA 22/09
19 às 22h
Equipe de Resolução
euRico dias
GuilheRme caldeRano
Jaime BaRizon
makeRley aRimatéia
Rômulo machado
Equipe de diaGRamação
Jacqueline aleixo
leonaRdo pRotta
PARTICIPE DO AULÃO GRÁTIS EsPCEx
TERÇA 20/09 e QUINTA 22/09
19 às 22h
2. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 01
As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da
3 2
equação polinomial x -14x + 64x -96 = 0. Denominando-se r, s e t essas medidas, se
for construído um novo bloco retangular, com arestas medindo (r-1), (s-1) e (t-1), ou
seja, cada aresta medindo 1 cm a menos que a do bloco anterior, a medida do
volume desse novo bloco será:
3 3
a) 36 cm b) 45 cm
3 3
c) 54 cm d) 60 cm
3
e) 80 cm
Resolução
Vamos encontrar as raízes da equação:
3 2
x – 14x + 64x – 96 = 0
Os candidatos as raízes racionais são os divisores de 96, então:
4 1 -14 64 -96
1 -10 24 0
Por Bhaskara, temos:
2
x – 10x + 24 = 0
= 100 – 96 = 4
10 2
x
2
x’ = 4 x’’ = 6
As raízes são:
(4, 4, 6)
Então o volume é:
3
(4 - 1).(4 - 1).(6 - 1) = 3 . 3 . 5 = 45cm
QUESTÃO 02
Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na
cónica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas
indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela
equação x 2 y 2 1 . Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados
362 602 y
do retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é: Q P
a) 48m
b) 68m
x
c) 84m
d) 92m
e) 96m
M N
1 - www.colegioapogeu.com.br
3. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Resolução
A distância entre as retas MN e PQ é a distância focal = 2C, pois os focos estão em
PQ e MN. Com isso, segue:
x2 y2
2 1
362 60
2
b a2
a = b + c 60 = 36 + c
2 2 2 2 2 2
c = 2304 c = 48 2c + 96
2
Logo, a distância é 96 cm.
QUESTÃO 03
2 2
O ponto da cirdunferência x + y + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada máxima é:
a) (0,-6) b) (-1, -3)
c) (-1,0) d) (2, 3)
e) (2,-3)
Resolução
2 2
x + y + 2x + 6y + 1 = 0
2 2
x + 2x + 1 + y + 6y + 9 = - 1 + 1 + 9
2 2
(x + 1) + (y + 3) = 9
centro: c (-1, -3)
raio: R = 3
ponto de ordenada máxima: c (-1, -3 + 3) c (-1, 0)
QUESTÃO 04
3 x.27 y 9
O conjunto solução do sistema é formado por dois pontos, cuja
3 2 2
y xy 0
3
localização no plano cartesiano é:
a) Ambos no primeiro quadrante.
b) Um no quarto quadrante e o outro eixo X.
c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante.
d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y.
e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.
Resolução
3 x.27 y 9 3 x.33y 32
3 2 2 ~ 2 2x ~
y xy 0 y y 3 0
3
x 3y 2 x 2 3y (I)
2 2
y y 3 x 0 (II)
2 - www.colegioapogeu.com.br
4. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Substituindo (I) em (II):
2
y 2 y 2 3y 0
3
2 4
y y 2y 0
3
y2 0
4 4
y 0 y
3 3
Sendo y = 0, temos:
x = 2 A(2,0)
4
Sendo y = , temos:
3
B 2, 4
3
Então:
y
B 4
3
A x
-2 2
QUESTÃO 05
3 2
Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A(x) = B(x) + 3x + 2x + x + 1 . Sabendo-se
que -1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) - B(-1) é igual a:
a) 98 b) 100
c) 102 d) 103
e)105
Resolução
3 2
A(x) = B(x) + 3x + 2x + x + 1
-1 é raiz de A(x) A (-1) = 0
3 é raiz de B(x) B (3) = 0
Para x = -1, segue:
3 2
A(-1) = B(-1) + 3.(-1) + 2.(-1) + (-1) + 1
A(-1) = B(-1) – 3 + 2 – 1 + 1 Como A(-1) = 0, vem:
0 = B(-1) – 1 B(-1) = 1
Para x = 3, segue:
3 2
A(3) = B(3) + 3.(3) + 2.(3) + (3) + 1
A(3) = B(3) + 81 + 18 + 3 + 1 Como B(3) = 0, vem:
A(3) = 0 + 103 A(3) = 103
Assim, vem:
A(3) – B(-1) = 103 - 1 = 102
3 - www.colegioapogeu.com.br
5. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 06
Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função real
g(x), definida por g(x) = f(x-1) + 1.
y
O valor de g - 1 é:
2 2
a) -3
b) -2
c) 0 -3 0 x
d) 2
e) 3
Resolução
Queremos e como g(x) = g(x-1)+1, vem que g 1 f 3 1 .
1
2
g
2 2
De acordo com o gráfico, a lei de formação de f(x) é dada por:
x y 2x
1 2x 3y 6 y 2
3 2 3
Com isso, segue que f 3 2 . 3 2 1 .
2 3 2
Logo, 1
g 2 .
2
QUESTÃO 07
x x+1 x+2 x+3 x+4
A inequação 10 + 10 + 10 + 10 + 10 < 11111, em que x é um número real:
a) não tem solução. b) tem apenas uma solução.
c) tem apenas soluções positivas. d) tem apenas soluções negativas.
e) tem soluções positivas e negativas.
Resolução
x x+1 x+2 x+3 x+4
10 + 10 + 10 + 10 + 10 < 11111
x x 1 x 2 x 3 x 4
10 + 10 . 10 + 10 .10 + 10 .10 + 10 .10 < 11111
x
10 (1+10+100+1000+10000) < 11111
x
10 .11111 < 11111
x
10 < 1
x 0
10 < 10
x<0
S x IR / x 0
QUESTÃO 08
Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são
diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região.
Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja
diabética é:
a) 4% b) 5%
c) 5,4% d) 7,2%
e) 8,2%
4 - www.colegioapogeu.com.br
6. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Resolução
HOMENS MULHERES
DIABÉTICOS 12 70
NÃO DIABÉTICOS 288 630
300 700
82
P(D) 8,2%
1000
QUESTÃO 09
Considere as funções Reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9].
Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) pode assumir são, respectivamente:
g(y)
2 1
a) e 1
b) e 1
3 2 3
4 1
c) e d) 3 e 1
3 3 4 3
e) 1 e 1
3
Resolução
Como f(x) g(y) são funções contínuas e crescentes em seus domínios, então:
f(x) max(f(x)) 3.8
i) max 1
g(y) min(g(y)) 4.6
f(x) min(f(x)) 3.4 1
ii) min
g(y) max(g(y)) 4.9 3
QUESTÃO 10
Seja o número complexo z
x yi , com x e y reais e i 2 = -1.Se x2 + y2 = 20 , então o
3 4i
módulo de z é igual a:
a) 0 b) 5
c) 2 5 d) 4
5
e) 10
Resolução
2 2
Dado: x +y =20
x yi , efetuando a divisão do complexo temos:
z
3 4i
5 - www.colegioapogeu.com.br
7. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
z
x yi 3 4i 3x 4ix 3yi 4y
32 42 25
z
3x 4y i 3y 4x
25
então:
3x 4y 3y 4x
2 2
z
252
z
9x 2
24xy 16y 2 9y 2 24xy 16x 2
252
25x 2 25y 2
z
252
x2 y2 20
z
25 25
2 5
z
5
QUESTÃO 11
O domínio da função real f(x) 2x é:
x 8x 12
2
a) ] 2 , [ b ) ]2, 6[
c) ] , 6] d) ]-2, 2]
e) ] , 2]
Resolução
Seja:
2x
f(x)
x 2 8x 12
2
O domínio dessa função é dado por 2 – x > 0 e x - 8x + 12, ou seja, devemos ter
x < 2, x ≠ 2 e x ≠ 4. Logo, D(f) = ]-∞,2[
QUESTÃO 12
Na Física, as leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol.
Define-se como período de um planeta o intervalo de tempo necessário para que este
realize uma volta completa ao redor do Sol. Segundo a terceira lei de Kepler, "Os
quadrados dos períodos de revolução (T) são proporcionais aos cubos das distâncias
2 3
médias (R) do Sol aos planetas", ou seja, T = kR , em que k é a constante de
proporcionalidade.
Sabe-se que a distância do Sol a Júpiter é 5 vezes a distância Terra-Sol; assim, se
denominarmos T ao tempo necessário para que a Terra realize uma volta em torno do Sol,
ou seja, ao ano terrestre, a duração do "ano" de Júpiter será:
6 - www.colegioapogeu.com.br
8. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
a) 3 5 b) 5 3
c) 3 15.T d) 5 5.T
e) 3 3.T
Resolução
Sabendo que na 3ª Lei de Kepler a constante de proporcionalidade k não se altera,
temos:
T 2Terra T 2Jupiter
R3 Terra R3Jupiter
Como RJúpiter = 5.RTerra, então:
T2Jupiter T2Terra
3
53. R3 Terra R Terra
2 2 2
T Júpiter = 5.5 . T Terra
TJupiter 5 5.T
QUESTÃO 13
Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o número real x, solução da equação
x-1
5 = 150, pertence ao intervalo:
a) ] , 0] b) [4,5[
c) ]1,3] d) [0,2[
e) [5, [
Resolução
x
= 150 5 150 5 = 750
x-1 x
5
5
Utilizando o operador logaritmo nessa identidade, temos:
x
log 5 = log 750
3
x.log 5 = log (2 . 3. 5 )
x.log 5 = log 2 + log 3 + 3.log 5
0,3 0, 48 3.0,7
x
0,7
2,88
x 4,11
0,7
QUESTÃO 14
Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em
C, em que BÂC = 30°. Nesse triângulo está B
representada uma sequência de segmentos
cujas medidas estão indicadas por L t, L2, L3,......
Ln, em que cada segmento é perpendicular a um L1 L2
dos lados do ângulo de vértice A. O valor L 9 é: L3 L4
L1
30º
C A
7 - www.colegioapogeu.com.br
9. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
a) 27 3 b) 1
128 128
c) 81 d) 27
256 64
e) 1
256
Resolução
Por semelhança, temos:
L 2 L3 L 4 L5
...
L1 L2 L3 L 4
Com isso, podemos observar que (L1, L2, L3, L4, ...) forma uma P.G. de razão L 2 .
L1
L9 8
Queremos e como L9 = L1 . q , vem:
L1
L9 L1.q8
q8
L1 L1
8
Como q L2 cos30º 3 , segue que q8 3 81 .
L1 2 2 256
QUESTÃO 15
A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices
e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos
conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do
triângulo é sempre 24. x
Assim, o valor numérico da expressão x-y-z é:
a) -2
b) -1
5 10
c) 2
d) 5
e) 10
y 15 z
Resolução
Soma dos valores do lado = 24
x 5 y 24 x y 19 (I)
y z 5 (I) (II)
x 10 z 24 x z 14 (II)
y 15 z 24 y z 9 (III) y z 9 (III)
Resolvendo o sistema:
x = 12, y = 7, z = 2
Logo: x – y . z = 12 – 7. 2 = -2
8 - www.colegioapogeu.com.br
10. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Aprovações 2010 | 2011
37 EsPCEx
28 EFOMM
19 AFA
12 COLÉGIO NAVAL
40 EPCAR
2 ESCOLA NAVAL
8 IME
4 ITA
PARTICIPE DO AULÃO GRÁTIS ESPCEX
TERÇA 20/09 E QUINTA 22/09
19 ÀS 22H
9 - www.colegioapogeu.com.br
11. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 16
Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a
palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição:
a) 144 b) 145
c) 206 d) 214
e)215
Resolução
E S P C E X
2 4 3 1 2 5
243125
Podemos analisar esse problema como sendo a posição ocupada pelo número
2 4 3 1 2 5 após permutar os algarismos do número 1 2 2 3 4 5 e colocá-los em
ordem crescente.
2
1 : P5 =60
2 2 3 4 5
2 1 : P4=24
2 3 4 5
2 2 : P4=24
1 3 4 5
2 3 : P4=24
1 2 4 5
2 4 1 : P3=6
2 3 5
2 4 2 : P3=6
1 3 5
Total: 144
2 4 3 1 2 5
Total: 145
QUESTÃO 17
Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas,
constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura
kt
pode ser descrita pela expressão N(t) = N0.2 sendo N0 a população no início do
tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que
descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de
aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com
estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é
igual a:
10 - www.colegioapogeu.com.br
12. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
-1 -1
a) 5 b) -5
-1
c) 10 d) 10
-1
e) -10
Resolução
Com base no enunciado temos:
N N
N(10) = 0 N0 . 2 = 0
K.10
4 4
1
2 = 2 10K = -2 K 51
10K -2
5
QUESTÃO 18
O valor numérico da expressão sec1320º 2.cos 53 tg 2220º 2 é:
3
2
a) -1 b) 0
c) 1 d) 1
2
e) 3
2
Resolução
sec1320º 53
tg 2220º
2
2.cos
2 3
Reduzindo para a primeira volta temos:
sec 240º
2cos300º tg 60º
2
2
Assim, temos
1 1 1 1
2 cos 300º tg 60º .
2
.
2 cos 240º 2
1 1 1 1 1
2 cos 60º tg 60º . 2. 3
2 2
.
2 cos 60º 2 1 2
2
3
2
-1 -1 + 1
QUESTÃO 19
A função real f(x) está representada no gráfico abaixo:
11 - www.colegioapogeu.com.br
13. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
A expressão algébrica de f(x) é:
sen x , se x 0 sen x , se x 0
a) f(x) d) f(x)
cos x , se x 0 cos x , se x 0
sen x, se x 0
b) f(x) cos x , se x 0
e) f(x)
sen x , se x 0
cos x, se x 0
cos x , se x 0
c) f(x)
sen x , se x 0
Resolução
Sabendo que o gráfico de f(x) = cos x para x > 0 é:
E que o gráfico de f(x) = sen x para x < 0 é:
Assim o gráfico de f(x) |cos x| para x não-negativo e f(x) = |sen x| para x negativo é
idêntico ao gráfico da função do problema.
QUESTÃO 20
A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada
por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente
do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida.
Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a
medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é
12 - www.colegioapogeu.com.br
14. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
a) 6 2 cm
b) 3 2 cm
c) 2 3 cm
d) 4 3 cm
e) 6 3 cm
Resolução
Seccionando o cubo maior, contendo a diagonal de uma face, obtêm-se uma secção
equivalente no cubo menor. Observe que em tal secção, as diagonais dos cubos
estão presentes. 8 2
A B
Vista frontal da secção:
AE = GC = x (aresta pedida) E 4 2
F
AE + EG + GC = AC
8 4 4 8
x+ 4 3+x= 8 3
G
2x = 4 3 H 4 2
x = 2 3 cm D C
QUESTÃO 21
Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontos
médios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm.
3
Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em cm , é:
a) 2 b)
4
S
3 3 T
c)
5 d) 16
R
3 3
e)
32
3
P Q
Resolução
Vide a figura:
S
T
1
R
2 2
1cm
P Q
2cm
13 - www.colegioapogeu.com.br
15. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Considerar o polígono plano TSRQ como a base da pirâmide de vértice P.
volume do sólido = volume da pirâmide
Então:
1
V AB .2
3
com AB = Área do quadrado que contém T, R e Q subtraído de dois triângulos:
1
T
R
2
1
Q
Q 2
Assim:
2
V 4 2
3
4
V
3
QUESTÃO 22
Se x é um número real positivo, então a sequência ( lo g 3 x, Iog3 3x, Iog3 9x) é:
a) Uma Progressão Aritmética de razão 1.
b) Uma Progressão Aritmética de razão 3.
c) Uma Progressão Geométrica de razão 3.
d) Uma Progressão Aritmética de razão log3 x.
e) Uma Progressão Geométrica de razão Iog3 x.
Resolução
(log3x, log33x, log39x)
3x
Como o log3 3x - log3 x = log3 log 3 3 1 e
x , segue que
9x
log 3 9x log 3 3x log log 3 3 1
3 3x
essa sequência é uma P.A. de razão 1.
QUESTÃO 23
Considere as seguintes afirmações:
I- Se dois planos α e β são paralelos distintos, então as retas r1 α e r2 β são
sempre paralelas.
II- Se α e β são planos não paralelos distintos, existem as retas r1 α e r2 β tal que
r1 e r2 são paralelas.
III- Se uma reta r é perpendicular a um plano α no ponto P, então qualquer reta de α
que passa por P é perpendicular a r.
14 - www.colegioapogeu.com.br
16. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s)
a) Somente II. b) I e II.
c) I e III. d) II e III.
e) I, II e III.
Resolução
I (F) Retas paralelas precisam estar num mesmo plano.
II (V) Podem existir paralelas em planos não paralelos.
III (V) Retas coplanares que se cruzam formando ângulo de 90º são perpendiculares.
Verdadeiras II e III.
QUESTÃO 24
Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que:
• O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α.
• O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular a AB.
• O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α.
Nessas condições, a medida do segmento CD é:
a) 26 cm. b) 28 cm.
c) 30 cm. d) 32 cm.
e) 34 cm
Resolução
D 2 2 2
2 CD AC AD
ÄC 62 242
8 2
2 CD 612 82
A ÄC 36 576 2
2 CD 612 82
ÄC 612 2
6
CD 612 64
2
B 24
CD 676
2
C CD 26
QUESTÃO 25
O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14 horas e 30
minutos vale:
a)
3 1 b) 2 1
2 2
c)
1 2 d) 6 2
4 4
e) 2 3
4
15 - www.colegioapogeu.com.br
17. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
Resolução
12
11 1
10 2
9 3
15º
8 4
7 5
6
14:30h
Nota-se que cada minuto equivale a 6º.
Enquanto o ponteiro dos “minutos” percorre 1 volta, o ponteiro das “horas” percorrerá a
2
metade da distância entre 2 e 3. Assim, o ângulo procurado é dado por 90º + 15º = 105º.
21 3 2
cos 105 = cos (45 + 60) =
2 2 2 2
cos 105º = 2 6
ou
6 2
4 4
QUESTÃO 26
O ponto P a, 1 pertence à parábola x y 3 . A equação da reta perpendicular à
2
3
3
bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é:
a) 27x + 27y – 37 = 0
b) 37x + 27y – 27 = 0
c) 27x + 37y – 27 = 0
d) 27x + 27y – 9 = 0
e) 27x + 37y – 9 = 0
Resolução
2
1
3 28
3
Como P a, 1 pertence à parábola x y 3 segue 2
a .
3 3 3 27
Seja r é a reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares. Com isso, vem que
mr = -1. Logo, a equação é dada por y 1 1 x 28 , isto é, 3y 1 27x 28 , ou
3 27 3 27
seja, 27x + 27y – 37 = 0.
16 - www.colegioapogeu.com.br
18. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 27
2 2
A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x - y = 36x + 8y- 11 é
dada por:
a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência.
c) uma elipse. d) uma parábola.
e) uma hipérbole.
Resolução
2 2
9x – y = 36x + 8y – 11
2 2
9x – 36x + 36 – y – 8y – 16 = - 11 + 36 – 16
2 2
9(x – 4x + 4) – (y + 8y + 16) = 9
2 2
9(x - 2) – (y + 4) = 9
2
(x - 2) -
y 4 2 1 Hipérbole
9
QUESTÃO 28
3 2
Seja a função complexa P(x) = 2x - 9x + 14x - 5. Sabendo-se que 2 + i é raiz de P, o
intervalo de números reais que faz P(x) < 0, para todo x I é:
a) , 1 b) 0,1
2
c) 1 ,2 d) 0,
4
e) 1 , 3
4 4
Resolução
Como x1 = 2 + i é raiz, segue que x2 = 2 - i também.
2 2
Com isso segue que p(x) é divisível por x - 4x + 5, pois 2+ i e 2 - i são raízes de x – 4x + 5.
2x 3 9x 2 14x 5 x 2 4x 5
2x 3 8x 2 10x 2x 1
x 4x 5
2
x 2 4x 5
0
Com isso, temos que 2x -1 =0, ou seja, x 1 também é raiz de P(x).
2
P(x) (x 2 -4x+5) (2x-1) 0
I II
+++++++++++
I
II - - - - - - + + + + + +
S x R | x
1
1 2
- 2 +
S
1
2
17 - www.colegioapogeu.com.br
19. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 29
A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, T1 e T2, ambos com altura h, e cujos
raios das bases medem R e R 2 respectivamente. Esses tanques são usados para
armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é
tal que seu nível corresponde a 2 da altura.
3
O tanque T1 contém gasolina pura e o tanque T2 contém uma mistura etanol-gasolina,
com 25% de etanol.
Deseja-se transferir gasolina pura do tanque T1 para T2 até que o teor de etanol na
mistura em T2 caia para 20%.
Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de T1 e T2,
será:
a) 1 h b) 1 h R R 2
2 3
c) 1 h d) 1 h
h
4 5
e) 1 h
6
T1 T2
Resolução
No tanque (T2): G
3 (Antes de colocar mais gasolina)
E
No tanque (T2): G V
4 (Depois de colocar mais gasolina)
E
Sabe-se que V = gasolina que sai de T1:
Então, G V 4 3 V 4 V E
E E E
2h
2
R . x R 2 .
2
25%
Assim: 3
2h 1 h
R 2 . x R 2 . 2 . . x
3 4 3
y
2h
2h
3
x 3
(T1) (T2)
(Volumes iguais)
2
R2. x R 2 . y
h h
R 2. 2R 2. y y
3 6
A diferença entre os níveis é: 2h h h h
3 6 3 2
18 - www.colegioapogeu.com.br
20. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
QUESTÃO 30
Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado
estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o y
gráfico da função real f(x) = logkx, com k>0 e k≠1.
2
Sabe-se que o trapézio sombreado tem 30 unidades de
área; assim, o valor de k+p-q é:
a) -20 1
b) -15
c) 10
d) 15
e) 20 p q x
Resolução
f(x) = logk x
1 = logk K = p
p
2 = logk K = q
q 2
2
Então, p = q
y
2
1
r
p h q x
Área = 30
(2 1)(q p)
30 q – p = 20
2
Assim, p = 20 + p p – p – 20 = 0
2 2
= 81
p = 5 ou p = - 4
De acordo com o gráfico, p > 0, p > 5.
Finalmente, p = 5, q = 25 e K = 5.
k + p – q = -15
19 - www.colegioapogeu.com.br
21. Resolução Comentada | EsPCEx 2011|2012
Matemática
ERRATA
Gabarito EsPCEx – Matemática 1º dia
Colégio Apogeu
Número
Prova A Prova B Prova C
da questão
01 E B D
02 C E A
03 E C E
04 D E C
05 B C D
06 E D D
07 B D B
08 D D B
09 D E E
10 D C C
11 D E A
12 A D B
13 C B E
14 A C E
15 B A C
16 A B E
17 E B D
18 D D B
19 A A A
20 C C D
21 B B C
22 A A A
23 B D C
24 C A B
25 C D A
26 A A B
27 E E D
28 E A A
29 B A E
30 A B A
1 - www.colegioapogeu.com.br