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REVISÃO PARA A PROVA
Cristina Alves de S. Cardoso
CONJUNTOS NUMÉRICOS
   Um dos principais objetos de que se ocupa a
    Matemática são os números e as figuras
    geométricas. O objetivo desta revisão é recordar e
    aprofundar o que você já estudou. Vejamos então
    os conjuntos numéricos abaixo.
NÚMEROS NATURAIS (IN)
   O conjunto dos números naturais é representado
    por:


    IN             0 ,1, 2 ,3, 4 ,5 , 6 ,...
   Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*,
    obtido excluindo o zero de IN.


    IN *             1, 2 ,3, 4 ,5 , 6 ,...
NÚMEROS INTEIROS (Z)
   O conjunto dos números inteiros é representado por:


Z          ..., 4 , 3, 2 , 1, 0 ,1, 2 ,3, 4 ,...
   Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
   IN, pois IN é subconjunto de Z, ou seja, IN, está
   contido em Z.
   Z* = Z – {0} ou Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos
  homens.” Leopold Kronecker
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
 Quando pensamos , por exemplo no cálculo de:
(-7) : (2) = ?, logo percebemos que esse resultado
não faz parte do conjunto dos números naturais e
tão pouco dos números inteiros. Daí a necessidade
de acrescentarmos as frações não aparentes, ou
seja aquela fração que indica um número inteiro.
 Assim por exemplo, são números racionais:


             3                1          5
     2, -        , - 1,   -       , 0,       , e 2.
             2                2          3
 Desse modo escrevemos que todo número racional
é um número x, tal que x, é igual a sobre b, com a e
b pertencente ao inteiros e b diferente de zero.
  Matematicamente, temos:
Q = { x/x = a , com a Z, b Z e b 0}.
            b
Mas se os números racionais são números na forma
de fração como podemos dizer que -2 é um número
racional?
                     6                    0
Simples, pois,  2 - assim como:
                      3                0
                                            3
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS
RACIONAIS
                              a
 Dado um número racional      , a representação
  decimal desse número é      b obtida dividindo-se a
  por b , podendo resultar em:
 Decimais exatas, finitas:

    1               4
         0,25   e       0,8
    4               5

   Decimais ou dízimas periódicas, infinitas:
2                                 177
        0,6666...   0, 6      e         0,1787878. ..   0 , 178
3                                 990
FRAÇÃO GERATRIZ
  O decimal exato ou periódico que também pode
ser escrito na forma de fração, recebe o nome de
fração geratriz. Existem formas de se obter a fração
geratriz de uma dízima periódica: Veja os exemplos:
     I           X = 0,222... .(10)
    II       10 X = 2,222... Resolvendo: II – I, temos:
               9X= 2
                 X= 2
                       9
     I          X = 0,17171717... .(10)
     II      10 X = 1,71717171... .(10)
     III    100 X = 17,171717..... Resolvendo: III – I, temos:
              99 X = 17
                 X = 17
                       99
   Mas vejamos uma dica:
                                     Escreve-se o número sem a
                                     vírgula no numerador e no
   0,171717... = 017      17        denominador tantos “nove”,
                                     de acordo com a quantidade
                   99      99
                                     de algarismos que há no
Período = 17                         período.
Antiperíodo = não há.
 0, 178787878... E agora?
 0, 178787878... = 0178        178     01   177
                      990         990        990

Observe que houve algumas mudanças:
Período: 78           Novamente escreve-se o número sem
                      a vírgula no numerador e no
Antiperíodo: 1
                      denominador tantos “nove”, de acordo
Parte que não         com a quantidade de algarismos que
repete: 01            há no período. Porém devemos
                        também subtrair a parte que não
                        repete no numerador e acrescentar
                        um zero para cada algarismo do
                        antiperíodo.
VAMOS EXERCITAR?
     1) Determine a fração geratriz das dízimas periódicas:
a)     0,666...
b)     5,121212...
c)     2,1909090...
     2) Assinale a afirmação verdadeira.
a)     0,313131... é um número natural.
b)     5,47 é um número inteiro.
c)     3,1415926335... é um número real.
d)     5,171717... é um número racional.



...
  3) Em relação aos números racionais, todas as
   alternativas são verdadeiras, exceto:
a)   o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos
    números racionais.
b) o conjunto dos números inteiros pertence ao conjunto
    dos números racionais.
c) 13 ; 0, 777...; 0; 4; ¾; -2; - 1/5; 0,3 são exemplos de
    números racionais.
d) Todos os números racionais podem ser escritos na
    forma de fração.
NÚMEROS IRRACIONAIS
COORDENADAS CARTESIANAS
 A notação (a, b) é usada para indicar o par
ordenado de números reais a e b, no qual a é a
primeira coordenada e o número b é a segunda
coordenada.
 O plano cartesiano é composto por um sistema de

eixos ortogonais, Ox e Oy, que tem a mesma origem
O. O eixo x é o das abscissas e y das ordenadas.
Dado um ponto P desse plano, dizemos que os
números a e b são as coordenadas cartesianas
  desse
plano. Observe a seguir:
Revisão para a prova
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

 Como calcular a
distancia entre dois
pontos quaisquer?
Observe os pontos A
e B, no plano
cartesiano,vamos
calcular a distancia
entre eles.
   A distância de A até B pode ser calculada através
    da fórmula da distância abaixo.

                                 2              2
             d AB =   x 2 - x1       y 2 - y1


Agora marque os pontos A( 1, -4) e B( -3, 2) no
plano cartesiano e depois calcule a distância entre
eles.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

   A circunferência é o
    conjunto de todos os
    pontos de um plano
    equidistantes de um
    ponto fixo que é o
    centro dela. Veja ao
    lado. E podemos
    defini-la pela fórmula
    da distância entre os
    pontos Q e P.
2                  2
    d PQ =   x 2 - x1             y 2 - y1



 x2 = x
                                                     2                 2
                  d PQ =              x 2 - x1           y 2 - y1
 x1 = a

 y2 = y              r       =
                                                 2             2
                                      x-a                y-b
 y1= b               2                              2         2           2
                  ( r) =          (     x-a              y-b           )

                                                 2                 2
                      2       =       x -a               y-b
                  r
 Exemplo: Determine a equação da circunferência com
  centro o(1, 4) e raio 2.
a=1 e b=4,r=2

 r2 = (x – a)2 + (y – b)2

 22 = (x – 1)2 + (y – 4)2

 4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 logo a equação é:

 4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 ou x² + y² - 2x - 8y +12 = 0 .

 Observação: Quando o centro da circunferência estiver
  na origem, ou seja, O(0,0), a equação simplificada é
  esta:


                   r² = x² + y²
GEOMETRIA: TEOREMA DE TALES
   Se duas transversais
    intersectam um feixe
    de paralelas, então a
    razão entre dois
    segmentos qualquer de
    uma transversal é igual
    á razão dos segmentos
    correspondentes da
    outra.
EXEMPLO
    Pedro está construindo uma
     fogueira, representada pela
     figura abaixo. Ele sabe que
     a soma de x e y é igual 42
     e que as retas r, s e t são  8   x
     paralelas. Então x – y é:
a)     2                         6    y
b)     4
c)     6
d)     10
e)     12
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

  Toda reta paralela a um lado de um triângulo que
   intersecta os outros dois lados em pontos distintos
   determina outro triângulo semelhante ao primeiro.
  Observe a atividade. (MACKENZIE - SP) Na figura
   ao abaixo, MNPQ é um losango. Se MT = 12 e MS
   = 6, quanto mede cada lado do losango?
 MN = MQ= PQ= NP = X
 Como o triângulo MTS é semelhante ao triângulo NTP,
  então:

           12       6
      12        x   x
    6 12 - x        12 x
                              12
    - 6x    72      12 x                 X              6
                                                  X
    6 x - 12 x      - 72
                            12 -X
           18 x     - 72             X
                                              X
                x   4
Só posso




                       MENSAGEM FINAL
ATÉ AQUI ME AJUDOU O
                                          desejar a
SENHOR!!!!!!!!!!!                        vocês bons
Pense nisso.                              estudos e
                                            ótimos
                                        resultados. A
                                           vida nos
                                          apresenta
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                                             papel
                                          em nossa
                                          vida. Mas
                                        cabe a nós o
                                             papel
                                        principal.Boa
                                        prova a todos

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Revisão para a prova

  • 1. REVISÃO PARA A PROVA Cristina Alves de S. Cardoso
  • 2. CONJUNTOS NUMÉRICOS  Um dos principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O objetivo desta revisão é recordar e aprofundar o que você já estudou. Vejamos então os conjuntos numéricos abaixo.
  • 3. NÚMEROS NATURAIS (IN)  O conjunto dos números naturais é representado por: IN 0 ,1, 2 ,3, 4 ,5 , 6 ,...  Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*, obtido excluindo o zero de IN. IN * 1, 2 ,3, 4 ,5 , 6 ,...
  • 4. NÚMEROS INTEIROS (Z)  O conjunto dos números inteiros é representado por: Z ..., 4 , 3, 2 , 1, 0 ,1, 2 ,3, 4 ,...  Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:  IN, pois IN é subconjunto de Z, ou seja, IN, está  contido em Z.  Z* = Z – {0} ou Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} “Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker
  • 5. NÚMEROS RACIONAIS (Q)  Quando pensamos , por exemplo no cálculo de: (-7) : (2) = ?, logo percebemos que esse resultado não faz parte do conjunto dos números naturais e tão pouco dos números inteiros. Daí a necessidade de acrescentarmos as frações não aparentes, ou seja aquela fração que indica um número inteiro.  Assim por exemplo, são números racionais: 3 1 5 2, - , - 1, - , 0, , e 2. 2 2 3
  • 6.  Desse modo escrevemos que todo número racional é um número x, tal que x, é igual a sobre b, com a e b pertencente ao inteiros e b diferente de zero. Matematicamente, temos: Q = { x/x = a , com a Z, b Z e b 0}. b Mas se os números racionais são números na forma de fração como podemos dizer que -2 é um número racional? 6 0 Simples, pois, 2 - assim como: 3 0 3
  • 7. REPRESENTAÇÃO DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS a  Dado um número racional , a representação decimal desse número é b obtida dividindo-se a por b , podendo resultar em:  Decimais exatas, finitas: 1 4 0,25 e 0,8 4 5  Decimais ou dízimas periódicas, infinitas: 2 177 0,6666... 0, 6 e 0,1787878. .. 0 , 178 3 990
  • 8. FRAÇÃO GERATRIZ  O decimal exato ou periódico que também pode ser escrito na forma de fração, recebe o nome de fração geratriz. Existem formas de se obter a fração geratriz de uma dízima periódica: Veja os exemplos:  I X = 0,222... .(10)  II 10 X = 2,222... Resolvendo: II – I, temos:  9X= 2  X= 2 9
  • 9. I X = 0,17171717... .(10)  II 10 X = 1,71717171... .(10)  III 100 X = 17,171717..... Resolvendo: III – I, temos:  99 X = 17  X = 17 99  Mas vejamos uma dica: Escreve-se o número sem a vírgula no numerador e no  0,171717... = 017 17 denominador tantos “nove”, de acordo com a quantidade 99 99 de algarismos que há no Período = 17 período. Antiperíodo = não há.
  • 10.  0, 178787878... E agora?  0, 178787878... = 0178 178 01 177 990 990 990 Observe que houve algumas mudanças: Período: 78 Novamente escreve-se o número sem a vírgula no numerador e no Antiperíodo: 1 denominador tantos “nove”, de acordo Parte que não com a quantidade de algarismos que repete: 01 há no período. Porém devemos também subtrair a parte que não repete no numerador e acrescentar um zero para cada algarismo do antiperíodo.
  • 11. VAMOS EXERCITAR?  1) Determine a fração geratriz das dízimas periódicas: a) 0,666... b) 5,121212... c) 2,1909090...  2) Assinale a afirmação verdadeira. a) 0,313131... é um número natural. b) 5,47 é um número inteiro. c) 3,1415926335... é um número real. d) 5,171717... é um número racional. ...
  • 12.  3) Em relação aos números racionais, todas as alternativas são verdadeiras, exceto: a) o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos números racionais. b) o conjunto dos números inteiros pertence ao conjunto dos números racionais. c) 13 ; 0, 777...; 0; 4; ¾; -2; - 1/5; 0,3 são exemplos de números racionais. d) Todos os números racionais podem ser escritos na forma de fração.
  • 14. COORDENADAS CARTESIANAS  A notação (a, b) é usada para indicar o par ordenado de números reais a e b, no qual a é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada.  O plano cartesiano é composto por um sistema de eixos ortogonais, Ox e Oy, que tem a mesma origem O. O eixo x é o das abscissas e y das ordenadas. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas desse plano. Observe a seguir:
  • 16. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS  Como calcular a distancia entre dois pontos quaisquer? Observe os pontos A e B, no plano cartesiano,vamos calcular a distancia entre eles.
  • 17. A distância de A até B pode ser calculada através da fórmula da distância abaixo. 2 2 d AB = x 2 - x1 y 2 - y1 Agora marque os pontos A( 1, -4) e B( -3, 2) no plano cartesiano e depois calcule a distância entre eles.
  • 18. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA  A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo que é o centro dela. Veja ao lado. E podemos defini-la pela fórmula da distância entre os pontos Q e P.
  • 19. 2 2 d PQ = x 2 - x1 y 2 - y1  x2 = x 2 2 d PQ = x 2 - x1 y 2 - y1  x1 = a  y2 = y r = 2 2 x-a y-b  y1= b 2 2 2 2 ( r) = ( x-a y-b ) 2 2 2 = x -a y-b r
  • 20.  Exemplo: Determine a equação da circunferência com centro o(1, 4) e raio 2. a=1 e b=4,r=2  r2 = (x – a)2 + (y – b)2  22 = (x – 1)2 + (y – 4)2  4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 logo a equação é:  4 = (x – 1)2 + (y – 4)2 ou x² + y² - 2x - 8y +12 = 0 .  Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem, ou seja, O(0,0), a equação simplificada é esta: r² = x² + y²
  • 21. GEOMETRIA: TEOREMA DE TALES  Se duas transversais intersectam um feixe de paralelas, então a razão entre dois segmentos qualquer de uma transversal é igual á razão dos segmentos correspondentes da outra.
  • 22. EXEMPLO  Pedro está construindo uma fogueira, representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x e y é igual 42 e que as retas r, s e t são 8 x paralelas. Então x – y é: a) 2 6 y b) 4 c) 6 d) 10 e) 12
  • 23. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS  Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro.  Observe a atividade. (MACKENZIE - SP) Na figura ao abaixo, MNPQ é um losango. Se MT = 12 e MS = 6, quanto mede cada lado do losango?
  • 24.  MN = MQ= PQ= NP = X  Como o triângulo MTS é semelhante ao triângulo NTP, então: 12 6 12 x x 6 12 - x 12 x 12 - 6x 72 12 x X 6 X 6 x - 12 x - 72 12 -X 18 x - 72 X X x 4
  • 25. Só posso MENSAGEM FINAL ATÉ AQUI ME AJUDOU O desejar a SENHOR!!!!!!!!!!! vocês bons Pense nisso. estudos e ótimos resultados. A vida nos apresenta milhares de pessoas. E cada uma delas vem cumprir um papel em nossa vida. Mas cabe a nós o papel principal.Boa prova a todos