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ÍNDICE




Introdução                                                                                                              2
A Função Y = Ax + B ......................................................................................              3
Equação de 2º Grau ...........................................................................................          6
A Matemática e o Dinheiro ................................................................................              16
A Trigonometria do Triângulo Retângulo ..........................................................                       17
O Coeficiente Angular ......................................................................................            21
Resolvendo Problemas com Logarítomo ............................................................                        26
Progressão Aritmética .......................................................................................           36
Somando os Temos de uma Progressão Aritmética ............................................                              41
Progressão geométrica                                                                                                   43
.......................................................................................
Matrizes............................................................................................................    47
Combinação.......................................................................................................       59
Equação exponencial .........................................................................................           60
Matemática Comercial e Financeira                                                                                       63
....................................................................
Bibliografia ........................................................................................................   69




                                                                             1
INTRODUÇÃO


         Por que estudar matemática? Para que ela serve? Certamente você já se fez essa pergunta. A
matemática está muito mais presente em sua vida, no seu dia-a-dia, do que você pensa. Em todas as
atividades humanas, das mais simples às mais sofisticadas, usa-se matemática.

         Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao
receber o troco, estamos fazendo matemática. Quando lemos no pacote de macarrão: Cozinhar em 1 litro
de água fervente para cada 100 gramas de massa, estamos lidando com uma informação que contém
matemática.

        Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer
contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer
contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema.
Portanto, em matemática o mais importante é o raciocínio.

         Esta apostila foi feita para que você se prepare para os exames do provão. E o resultado que
esperamos é a sua aprovação. Mas lembre-se, muito mais que o certificado de conclusão do ensino médio,
vai valer o que você realmente aprendeu. É isto, e não um diploma, que vai lhe ajudar a passar num
concurso para emprego e a resolver muitas outras situações do cotidiano.




                                                  2
A FUNÇÃO (Y = AX + B)

   Sendo a forma equacionada da função de 1° grau a equação y = ax + b e que o seu gráfico é sempre
uma reta, temos que observar alguns valores que modificam o sentido desta reta é o que iremos descobrir
logo a seguir.

   1) Se a = 0, a nossa equação fica com a forma y = b e passaremos a chamá – la de função constante.
      Seu gráfico é uma reta horizontal. Veja :

              y



               b                            y=b




                                            x


         Se a ≠ 0, a expressão y = ax + b chama – se função do primeiro grau, Ainda, se a>0 ( a positivo )
ela é uma função crescente ; se a < 0 ( a negativo ) , ela é uma função decrescente, como mostram os
gráficos :


       Y                                        y



            a>0                                            a<0


                             x                                              x


                                           FUNÇÕES DO 1º GRAU

        Vamos aprender agora um pouco mais sobre a função do 1º grau, que é a única cujo gráfico é
uma reta.
        Inicialmente precisamos rever o gráfico da função do 1ºgrau.Como construí–lo ?

                                                Y=1x+1
                                                  2



                                                    3
Atribuímos a x dois valores quaisquer e calculamos os valores correspondentes de y. Na tabela a
seguir, fizemos x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados, os pontos marcados no plano cartesiano e
o gráfico construído .


                                          y
           x   y
       0       1                   3 -                    *
       4       3


                                    1*-


                                                          4

        Agora, precisamos fazer o contrário. Dados dois pontos de uma função do 1º grau, como
proceder para descobrir uma fórmula que a represente ? Acompanhe o exemplo a seguir.


EXEMPLO
Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos (3,9 ) e (5,13) .
Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados.

Substituindo ( 3,9 ) ⇒ 9 = a . 3 + b
Substituindo (5 , 13 ) ⇒ 13 = a . 5 + b

Organizando essas equações, temos um sistema :
                3a + b = 9
                5a + b = 13
Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar :

                1) -3a – b = - 9
                2) 5a + b = 13
                    2a = 4 ⇒ a = 2
Substituindo a = 2 na primeira equação temos
                    - 3 . 2 + b = -9
                          b= -9+6
                          b=3
Logo a função procurada e y = 2.x + 3

A RAIZ DA FUNÇÃO
     A raiz da função y = ax + b é o valor de x que torna y igual a zero. Por isso esse valor de x também e
chamado de zero da função. Vamos calcular, por exemplo a raiz ( ou o zero ) da função y = 2x – 3
Fazendo y = 0 , temos

                          2x – 3 = 0
                          2x     =3
                               x= 3

                                                    4
2
O valor x = 3 é a raiz ( ou o zero ) função y = 2x – 3 Como você vê no gráfico abaixo, a
             2
raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo dos x.

                y
                                        y = 2x - 3

                              3                 x
                              2
               -3                     raiz


EXEMPLO

        No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas são medidas
em outra escala : em graus Farenheit. Um técnico está trabalhando com um motor americano e as
temperaturas de funcionamento estão nesta escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma fórmula
que permite relacionar a escala americana com a que usamos aqui:

         Y = 5x – 160
                9

onde:        y é a temperatura em graus Celsius ( ºC )
             x é a temperatura em graus Farenheit ( º F )

Como e o gráfico dessa função ?
Solução : Para fazer o gráfico de uma função do 1º grau, necessitamos de dois pontos quaisquer . Vamos
escolher y = 0, que é a temperatura em que a água congela, e y = 100, que é a temperatura em que a água
ferve:

               y=0                ⇒                  5x – 160 = 0
                                                         9
                                                     5x – 160 = 0
                                                     5x = 160
                                                     x = 160 = 32
                                                           5

               y = 100            ⇒                   5x – 160 = 100
                                                          9
                                                     5x – 160 = 900
                                                     5x = 1.060
                                                     1.060 = 212
                                                       5
Observe então a tabela e o gráfico

x    y              y(º C )

32       0                      •
                              100                                      •
                                                            5
212   100


                                        •                     •
                                         32                   212 x (ºF)
veja que o zero ( ou raiz ) de função y = 5x - 160 é x = 32:
Observe que, na escala Farenheit, a água congela a 32ºF e ferve a 212 ºF.

EXERCÍCIO 1
Faça o gráfico da função y = 0,4x + 2

EXERCÍCIO 2
Determine a função do 1ª grau que contém os pontos :
a) ( 1, -3 ) e ( 6, 7 );
b) (1, 3 ) e ( 5, - 1).

EXERCÍCIO 3
Na função da temperatura que mostramos no Exemplo acima, qual é o coeficiente angular ?

EXERCÍCIO 4
O taxímetro determina o preço da corrida em unidades taximétricas ( Uts). Estas são depois convertidas
em reais e a tabela de conversão é diferente em cada cidade. O taxímetro parte de um valor de UTs para
casa quilômetro rodado.
Vicente fez várias corridas de táxi. Verificou que, percorridos 3 Km, o taxímetro marcou 3 UTs;
percorridos 8 Km, o taxímetro marcou 5 UTs. Seja x o número de quilômetros percorridos e y o número
de UTs marcado, determine:
a) y em função de x,
b) quantas UTs o taxímetro marca em uma corrida de 20 Km.


                                    EQUAÇÕES DE 2º GRAU

         Chama-se equação de 2º grau com uma variável toda equação que pode ser colocada na forma :
ax2 + bx + c = 0 , onde x é variável e a, b e c são coeficientes.
A equação ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , é chamada equação incompleta quando b = 0 ou c = 0 , ou ambos são
nulos .

   1) 2x2 – 5x = 0      (c=0)
   2) x2 – 9 = 0        (b=0)
   3) 3x2 = 0           (b=0ec=0)

1º Caso : Equações da forma ax2 + bx = 0
Exemplo: Resolver fatorando
X2 – 4x = 0
X (x – 4 ) = 0
X = 0 ou X – 4 = 0
V = {0,4}

Nesse caso, uma das raízes é sempre zero.
2º Caso : Equações da forma ax2 + c = 0
                                                   6
Exemplo :
Resolver as equações:
   1) x2 – 81 = 0
           x2 = 81
               √
               x = ± 81        => x = ± 9       v{-9,9}

   2) 7x2 – 28 =0
           7x2 = 28
             x2 = 28
                           7
               2
              x =4
              x = + √4
              x=+2
              x = { -2 , 2 }

   3) x2 + 16 = 0
            x2 = - 16
                x = + √-16        x ∉ R



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS

        A resolução de uma equação completa do 2ºgrau pode ser obtida pela fórmula de Báskara.
∆= b – 4ac discriminante da equação.
    2



Se ∆ ≥0 , podemos escrever : x= -b ± √ ∆
                                   2a

Se ∆ < 0 , a equação não admite raízes reais.

Exemplo:

Resolver as equações:
   1) x2 + 8x +12 = 0
   Solução:
   Temos a = 1 , b = 8 e c= 12
   Calculando o valor de ∆:
   ∆ = b2 – 4ac
   ∆ = (8)2 – 4 .1 . 12
   ∆ = 64 – 48
   ∆ = 16

   x = -b ± √∆
          2a
                                            x1 = - 8 + 4 = -2
   x = - 8 ± 4 = -8 ± 4                               2
         2.1        2
                                            x2 = - 8 – 4 = - 6
                                                      2
                                                    7
As raízes da equação são x1 = -2 e x2 = - 6
V={-6,-2}

2 ) (x – 1 )2 = x + 5
    x2 – 2x + 1 = x + 5
    x2 – 2x – x + 1 – 5 = 0
    x2 – 3x – 4 = 0
    a = 1, b = - 3 c = - 4

∆ = b2 – 4 a c
∆ = ( - 3 ) 2 – 4 . 1 . (-4 )
∆ = 9 + 16
∆= 25

Substituindo na fórmula :

X = - b ±√∆
        2a

x = - ( - 3 )± √25 = 3 ±5                       x1 = 3 + 5 = 8 = 4
         2     1     2                                 2     2

                                                x2 = 3 – 5 = - 2 = - 1
                                                        2      2
V= {-1,4}


                                      EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

Exemplo :
Resolver a equação:
 2 + 2 + 5 = 0                  (x≠0 ex≠1)
3x x – 1 3

2 ( x – 1 ) + 6x + 5x( x – 1 ) = 0 .
3x(x–1)           3x(x–1) 3x(x–1)

2x – 2 + 6x + 5x2 – 5x = 0

5 x2 + 3x – 2 = 0

∆ = ( + 3 )2 – 4 . 5 . ( - 2 )
∆ = 9 + 40
∆ = 49
x=-3± 7             x1 = - 3 + 7 = 4 = 2 .
       10                      10  10 5



                                                8
x2 = - 3 – 7 = - 10 = - 1
                              10      10
V={-1,2}
      5

EXERCÍCIOS:

1 ) 5x2 – 3x = 0                                 Resp.: {0, 3 }
                                                            5

2) x2 – x = 0                                    Resp.: { 0 , 1 }

3) – 4x2 – 12x = 0                               Resp.: { - 3 ,0 }

4) (x + 5 )2 = 25                                Resp.: {0, - 10}

5) x(x – 3 )2 = 25                               Resp.: {0, 5 }

6) x2 – 49 =0                                    Resp.: { -7, 7 }

7) 16 = 9x2                                      Resp.: {- 4 , 4 }
                                                           3 3

8) 5x2 – 15                                      Resp.: {√ 3 , -√ 3 }

9) x2 + 8x + 12 = 0                              Resp.: {1, 3 }
                                                            4

10) ( x + 4 ) . ( x – 1 ) = 5x + 20              Resp.: V = { - 4 , 6 }

11) x +     1 = 7                                Resp.: { 6 }

          x–5

12) 4x2 – 4x + 2 = 0                                      Resp.:     ø
13) x2 – 2x + 1 = 0                                       Resp.: {1}

14)   x–1= x                                              Resp.: {2}

        x       4

15)    x - 2 = x–5                               Resp.: {3 }
      x+1 x–1  x2 – 1

16) x2 - x = 5 – x + 4                           Resp.: {- 11 , 2 }
         2         3                                        6

17) x2 - 1 = 3x + 1                              Resp.: { 5, - 1 }
      3        2                                              2

18) x + 10 = 4x – 2                              Resp.: {- 4 , 4 }
                                                         9
2        x–2

DISCUSSÃO DAS RAÍZES

Se ∆ > 0 , a equação tem duas raízes reais e diferentes.
Se ∆ = 0 , a equação tem duas raízes reais e iguais
Se ∆ < 0, a equação não tem raízes ( reais )
Através do ∆ ( discriminante ) podemos discutir a existência das raízes.

Exemplo :
Determine o valor de K na equação 2x2 – 3x + 4K = 0, para que as raízes.
        a) sejam reais e diferentes.
        b) sejam reais e iguais .
        c) não sejam reais.

Cálculo do discriminante;
        ∆ = b2 – 4ac
        ∆ = (-3)2 – 4 .2.4K
        ∆ = 9 – 32K

a) raízes são reais e diferentes : ∆ > 0
          9 – 32K >0
            -32K > -9
             32K < 9
             k < 9 .
                  32

b) raízes são reais e iguais : ∆ = 0
   9 – 32K = 0
   - 32K = -9
   32K = 9
   k= 9 .
        32

c) raízes não são reais: ∆ < 0
   9 – 32K < 0
   -32K < -9
   32K > 9
   K> 9 .
        32



Propriedade das Raízes (Relações de Girard )

         Existem, entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a , b, c, importantes relações conhecidas como
relações de Girard.

Soma da Raízes

x1 + x2 = - b ou s = - b .
                                                     10
a            a

Produto das Raízes

x1 . x2 = c ou p = c .
          a        a

Exemplos:

1) Calcular a soma e o produto das raízes das equações :
a) x2 + 7x + 12 = 0
   S = x1 + x2 = - b .                     P = x1 . x2 = c .
                    a                                       a
   S = x1 + x2 = -7                        P = x1 . x2 = 12

b) x2 - 2ax + a2 < 0
   S = x1 + x2 = - b = + 2a
                   a
c) P = x1 . x2 = c = a2

2) Determinar o valor de K na equação 4x2 – ( K – 2 ) x + 3 para que a soma das raízes seja ¾.

Temos : x1 + x2 = - b = k – 2
                    a     4

k - 2 = 3 .
        4

k - 2 = 3 .
  4     4

k–2=3
k=5

Composição de uma Equação

Podemos compor uma equação do 2º grau a partir das relações de soma e de produto de suas raízes .

Como x1 + x2 = - b e x1 . x2 = c, temos :
                 a

x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0   ou
          S              P

X2 – Sx + p = 0 em que S é a soma e P é o produto das raízes.

Exemplo:
Compor a equação do 2º grau cujas raízes são 2 e 5 :
x1 + x2 = 2 + 5 = 7
x1 . x2 = 2 . 5 = 10

Substituindo a soma e o produto das raízes em x2 - Sx + P = 0 , obteremos :
                                                   11
x2 – 7x + 10 = 0

   a) y2 + 3y – 4 = 0                     Resp.: S = -3 e P = -4
   b) x2 + 9x – 20 = 0                    Resp.: S = -9 e P = -20
   c) 2x2 + 5x + 2 = 0                    Resp.: S = - 5 e P = 1
                                                       2
   d) x2 - 7x + 10 = 0                    Resp.: S = 7 e P = 10

       Antes de construir o gráfico da função y = ax2 + b + c . é possível saber como será a sua
concavidade . Basta observar o sinal do coeficiente a:

   •       Se a > 0 ( a positivo ), a concavidade estará voltada para cima:




                              a > 0 concavidade voltada para cima

   •       Se a < 0 ( a negativo ) , a concavidade estará voltada para baixo




                              a < 0 concavidade voltada para baixo

AS RAÍZES

        As raízes de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo dos x na função do 2º grau
y = ax + b + c , se y = 0 obtemos a equação ax2 + bx + c =0. Podemos, então , ter três casos:
       2



   •       A equação tem duas raízes diferentes. A parábola, então, corta o eixo dos x em dois pontos
           distintos.




                                     x1                   x2

                              Fig A : a função tem duas raízes: x1 e x2

                                                          12
•   A equação tem apenas uma raiz. A parábola é, então, tangente ao eixo dos x.




                            Fig B: a função tem uma única raiz:

   •   A equação não tem raiz . A parábola, então, não corta o eixo dos x.




                                                x

                            Fig C: a função não tem raízes

EXEMPLO

Tomemos como exemplo a função:

                                      Y = x2 – 6x + 8

        Para construir seu gráfico assinalando poucos pontos, devemos inicialmente verificar se a função
possui raízes. Vamos então resolver a equação x2 – 6x + 8 = 0 usando a fórmula que aprendemos:

       X = - ( - 6 ) ± √ ( - 6 )2 - 4 . 1 . 8
                         2.1

x = 6 ± √ 36 – 32 = 6 ± √ 4 = 6 ± 2
          2             2       2

As raízes da nossa função são, portanto :
x1 = 6 - 2 = 4 = 2 ⇒ x1 = 2
      2             2

x2 = 6 + 2 = 8 = 4 ⇒ x2 = 4
       2     2

        Descobrimos que o gráfico da nossa função corta o eixo dos x nos pontos x1 = 2 e x2 = a e
sabemos também que a parábola terá concavidade voltada para cima porque a = 1 (positivo). Basta, então,
para construir a tabela, atribuir a x outros valores próximos aos que já temos. É muito importante atribuir
a x o valor x1 + x2 , porque ele fica bem no meio das raízes e vai determinar o ponto mais baixo
da parábola :    2

          X    Y

          1    3

       x1= 2   0                        3


                                                        13
(x1+x2)/2 = 3 -1
                                                  1       2    3    4   5
   x2 = 4   0                       -1
        5   3




       O VÉRTICE
       No gráfico que acabamos de construir, ponto V = ( 3, -1 ) é o vértice da parábola. Ele é o ponto
mais baixo da parábola quando a > 0.




                                     2        3       4

                            -1
                                         Vértice          (a > 0)

        No gráfico da função y = - x2 + 6x, que voce viu no início dêste assunto, o ponto ( 3 ,9) é também
o vértice da parábola, que fica no ponto mais alto do gráfico, porque a < 0 .

                                         Vértice ( a < 0 )

                           9




                           0              3


       Para a construção do gráfico de uma função do 2º grau, o vértice é seu ponto mais importante. É
possível encontra-lo de forma bastante simples. Chamando de xv a abscissa do vértice da parábola y = ax2
+ bx + c, temos :

                                    Xv = -            b .
                                                      2a


        Além disso, se a função possui raízes x1 e x2 podemos encontrar a abscissa do vértice
determinando o seu ponto médio, ou seja :

                                                       Xv = x1 + x2
                                                              2



                                                              14
A IMAGEM
         Como você já sabe, a imagem de uma função é o conjunto dos valores de y que correspondem
aos valores de x no domínio. Recorde essa noção observando o gráfico :

          y2

                                             Gráfico da função

          y1
               imagem y1≤ y ≤ y2

          Para determinar a imagem de uma função do 2º grau (cujo domínio é o conjunto de todos os
números reais ), precisamos conhecer seu vértice. Se a > 0, então o vértice é o ponto mais baixo de seu
gráfico, e neste caso, a imagem da função fica assim:
          Observando o gráfico anterior e chamando de yv a ordenada do vértice da parábola, a imagem
será o conjunto de todos os valores de y tais que y > = yv. Se a< 0, ocorre o contrário: a concavidade
estará voltada para baixo e a imagem será o conjunto dos números reais tais que y < = yv .
                         y



                                                          gráfico da função
      imagem

                                                      x
                    yv
EXEMPLO

Consideremos a função y = x2 – 4x + 5 .

Sabendo que ela tem concavidade votada para cima, pois a= 1 .

Para fazer um esboço de seu gráfico, determinamos seu vértice. Primeiro, precisamos encontrar sua
abscissa :

                                             Xv = - b = - ( - 4 ) = 2
                                                    2a     2.1

Substituímos então esse valor de x na função para encontrar a ordenada do vértice :

                                             Yv = 22 – 4 . 2 + 5 = 1

Portanto, o vértice é o ponto ( 2 , 1 ) e, como a concavidade está voltada para cima, o gráfico tem este
aspecto:




               imagem                                    vértice
                              1
                                       2
                                                    15
                                                            x
A imagem da função é então o conjunto dos valores de y tais que y ≥1.


EXERCÍCIO 1

Faça o gráfico da função y = x2
Sugestão : Organize uma tabela atribuindo a x os valores - 2 , -1 , 0 , 1 e 2
EXERCÍCIO 2

         Observe o exemplo e faça um pequeno esboço do gráfico das funções calculando o vértice da
parábola e verificando sua concavidade.

Exemplo:      Y = x2 – 6x + 7


Vértice
          {      xv = - b = - ( -6 ) = 3
                        2a
                         2
                                2.1
                 yv = = 3 – 6 . 3 + 7 = 9 – 18 + 7 = - 2



                                A MATEMÁTICA E O DINHEIRO
         Muita Gente pensa que a Matemática, em relação ao dinheiro, só serve para fazer troco e para
calcular o total a pagar no caixa. Não é bem assim. Sem a matemática, não conseguiríamos entender
nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, perceber os produtos que aumentaram
demasiadamente de preço etc...

         Nesta aula, vamos conhecer as porcentagens, os juros compostos e diversas outra coisas que
fazem parte do nosso dia-a-dia , como aumentos de descontos, Aconselhamos que você confira os cálculos
desta aula usando uma calculadora, a qual também deverá ser usada para a resolução dos exercícios.



                                               PORCENTAGEM

Vamos começar com um exemplo.

        Se o preço de um artigo era de R$ 4,00 e passou a ser de R$ 5,00, o aumento de preço foi de R$
1,00 sobre um preço de R$ 4,00, e a fração que representa o aumento do preço, chamada de taca de
aumento, é ¼ . comumente preferimos representar essas frações em centésimos, que são chamados de
porcentos e representados por % . Como ¼ = 0,25 ou seja , 25 centésimos, a taxa de aumento do preço foi
de 25%.

Vejamos mais alguns exemplos.

EXEMPLO 1

          O preço de um artigo era de R$ 36,00 e sofreu uma diminuição de 15% . Para quanto passou ?

                                                     16
Solução : Como 15% = 0,15, a diminuição de preço foi de 0,15 . 36 = 5,40 = R$ 30,60

EXEMPLO 2

         Uma loja oferece um desconto de 20% nos preços, para pagamento à vista . Quanto custa, à
vista, um artigo cujo preço é de R$ 45,00 ?

Solução : O desconto é de 0,20 . 45 = 9 . O preço para pagamento à vista é R$ 45,00 – R$ 9,00 = R$
36,00.

AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS

         Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e um de 20% no mês seguinte,
Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o preço do produto nesses dois meses ?

         Essa é uma pergunta interessante, porque a maioria das pessoas pensam, erroneamente, que a
taxa de aumento total foi de 30% + 20% = 50% . Se o preço do produto era de 100 (sempre podemos
tomar o preço do produto) , o primeiro aumento to de 30% de 100, isto é, de 0,30 .100 = 30 o que elevou
o preço do produto para 100 + 30 = 130, isto é , de 0,20 . 130 = 26, o que elevou o preço do produto para
130 + 26 = 156. O aumento total foi de 156 – 100 = 56 sobre o preço de 100. A taxa total de aumento foi
de

                                 56 = 0,56 = 56%
                                100

Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplo 3

        O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20% . Qual foi a taxa total
de desconto ?

Solução: Se preço do artigo era 100, o primeiro desconto foi de 0,30 . 100 = 30, o que baixou o preço
para 100 – 30 = 70 ; o segundo desconto foi de 0,20 . 70 = 14 o que mudou o preço para 70 – 14 = 56. A
redução total do preço foi de 100 – 56 = 44 sobre um preço de 100. A taxa total de desconto foi de .

                                44 = 0,44 = 44%
                                100



                A TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
        Neste capítulo vamos estudar os triângulos retângulos. Você já sabe que triângulo retângulo é
qualquer triângulo que possua um ângulo reto e que , para este tipo de triângulo, há várias propriedades
importantes.




                                                   17
•   Dois de seus lados são perpendiculares entre si e são , portanto, alturas do triângulo, que facilita o
       cálculo de sua área:

                               A = cateto . cateto
                                        2

   •   Teorema de Pitágoras :         ( hipotenusa ) 2 = ( cateto ) 2 + ( cateto ) 2

   •   Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180º, num triângulo retângulo um dos ângulos é
       reto (90 º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma = 90º ) .

       vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre ângulos de um triângulo (ângulos
   agudos) e seus lados. “ será que existem tais ralações ?” É essa nossa primeira preocupação. A seguir,
   caso existam, serão respondidas perguntas naturais como : “ valem sempre ?” ; “como enuncia-las ?”
   etc.

CONSTRUINDO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS SEMELHANTES
        Dado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar um triângulo retângulo ?




                                      X


Sim. Podemos desenhar, na verdade , uma infinidade de triângulos retângulos.




                                  x
Vamos anotar algumas observações sobre esses triângulos retângulos:

   •   Para todos eles, um dos ângulos mede x.
   •   O outro ângulo agudo mede 90º - x, pois é o complemento de x .
   •   O terceiro ângulo, como não poderia deixar de ser, é reto.
   •   Então todos eles possuem os mesmos ângulos.
   •   Lembrando a aula anterior, podemos concluir que : todos estes Triângulos retângulos são
       semelhantes
   •   Se são semelhantes , então seus lados são proporcionais .

         Podemos então afirmar que, ficando um ângulo agudo, todos os triângulos retângulos,
construídos com esse ângulo serão semelhantes e, portanto, terão lados proporcionais. Observe que
acabamos de descobrir que há uma relação entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo .
         Precisamos agora verificar como podemos enunciar esse relação mais claramente, usando
linguagem matemática.
                                                 a
                           c
                                      h                18



                                                b
bc = ah

       Podemos compreender essa propriedade lembrando como se calcula a área de um triângulo. No
caso do triângulo retângulo da figura acima, ela é igual a bc e também igual a ab . Portanto, é claro que
bc = ah .                                                  2                   2

RELACIONANDO LADOS E ÂNGULOS
         Você já sabe que, em todo triângulo retângulo. Os lados são chamados hipotenusa (o maior lado )
e catetos ( lados perpendiculares ) . Precisamos, em função dos ângulo, diferenciar a nomenclatura dos
catetos. Veja a figura abaixo.
        O cateto que fica “ em frente” ao ângulo agudo que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e o
cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente.



                            hipotenusa


                                                        Cateto oposto


                             Cateto adjacente

Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e
adjacente troca de posição (veja a figura ao lado), pois depende do ângulo utilizado.


                         hipotenusa          y

                                                   Cateto adjacente



                           Cateto oposto


Vamos então reescrever as proporções obtidas na figura 1 usando essa nomenclatura . Em relação ao
ângulo x , temos :




                                                   19
Relações Trigonométricas

        As relações que acabamos de generalizar são chamadas relações trigonométricas e recebem
nomes especiais.

A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se :

              Sen x = cateto oposto .
                        Hipotenusa


A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escreve-se :

              Cos x = cateto adjacente .
                         Hipotenusa



A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se:

              tg x = cateto oposto
                    cateto adjacente


EXEMPLO 1

Você já conhece o triângulo pitagórico. Vamos obter as relações trigonométricas para um de seus ângulo
agudos.
                                                          Sen x= 3/5 . 0,6




Observe agora que, para qualquer outro triângulo semelhante a este, obtemos o mesmo resultado.




                                                  20
EXEMPLO 2

         Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45º Forma-se,
portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada ?




Representando a vista lateral geometricamente, podemos construir o triângulo retângulo a seguir.
         Usando o co-seno do ângulo de 45º que a escada forma com o muro , descobrimos o valor de x ,
que será o comprimento da escada.




                                  O COEFICIENTE ÂNGULAR

         Neste assunto iremos estudar a equação da reta que é ax + by + c =0, chamada equação geral da
reta, e aprendemos a construí-la quando são dados dois de seus pontos. Seja P = ( 5 , 4 ) o ponto dado.
Vamos começar fazendo um desenho da reta x + 2y – 9 = 0 . Para isso, precisamos conhecer dois de seus
pontos. Como as coordenadas de P são x = 5 e y = 4, vamos aproveitar esses valores para determinar os
pontos de reta que possuem essa abcissa e essa ordenada. Substituindo esses valores, um de cada vez, na
equação da reta, temos:

X = 5 ⇒ 5 + 2y – 9 = 0 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2
Y=4⇒x+2.4–9 =0⇒x=9-⇒8 x=1

Conseguimos então, dois pontos da reta: A = ( 5 , 2 ) e B = ( 1, 4 )
O desenho fica assim :




                                                    21
y

                                             P

                   4    B              d




                    2
                                                 A         Reta x + 2y . 9 = 0



                        1                    5       x



       No triângulo retângulo PAB da figura acima, conhecemos os comprimentos dos catetos: AP = 2 e
BP = 4 . Para calcular a hipotenusa, aplicamos o Teorema de Pitágoras :

AB2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20

AB = √20 = √ 4 . 5 = 2 √ 5

Representando por d a distância do ponto à reta temos, pela relação que mostramos anteriormente:

2 . 4 = 2√ 5 . d            d = 4 = 4 . √5 = 4 √5 = 1,79
                               √5 √5 √5       5

Finalmente, vamos apresentar uma fórmula que faz o mesmo cálculo que acabamos de realizar. O ponto
dado será representado por P = ( Xn ,Yn ) e a reta por ax + by + c = 0.

P = ( x0 , y0 )
d
ax + by + c = 0
d = ax0 + by0 + c
     √a2 + b2

Observe o cálculo da distância do ponto P = (5 ,4 ) a reta x + 2y – 9 = 0 , agora usando a fórmula :

d = |5+2.4–9| =|5+8–9| =4 = 4√5
     √12 + 22     √5   √5    5

O resultado, como era de se esperar, é o mesmo, e essa fórmula, que não é indispensável, mostra-se
bastante prática.
                                                 Q
Observe a figura a seguir :
                                        C



                              X
                A
Os triângulos ABC e APQ são semelhantes.B        P
                                         Como seus lados são proporcionais, podemos escrever :

                                                     22
AB = AP ou BC = PQ ou BC = PQ
AC AQ      AC   AQ    AB   AP

E se aumentarmos o ângulo x ou diminuirmos P, essas proporções se alteram .Teríamos agora:


                                                    F
                                          E
                                                       Q
                                      C

                            x
               A                        B          P



AB = AP ou BE = PF ou BE = PE
AE   AF    AE   AF    AB   AP

        Essas proporções – que se alteram conforme o ângulo varia - confirmam nossa suspeita de que há
uma relação entre lados e ângulos agudos de um triângulo retângulo tais relações recebem nomes especiais
como veremos ainda nesta aula.
        Repare inicialmente que essa equação pode ser escrita de outra forma deixando a letra Y isolada do
lado esquerdo da equação. Quando fazemos isso obtemos uma expressão chamada equação reduzida da
reta, que nada mais é do que a nossa conhecida função do 1º grua . Observe o exemplo a seguir.

EXEMPLO 1

Escrever a equação 2x – 3y + 3 = 0 na forma reduzida.

Solução:

Vamos trabalhar a equação dada para deixar a letra Y sozinha do lado esquerdo:

   2x – 3y + 3 = 0

   -3y = - 2x – 3

   3y = 2x + 3

   y = 2x + 3 .
       3    3

   y = 2x + 1
        3

Aí esta . Essa é a equação reduzida da reta. Ela tem a forma y = mx + p , onde, no nosso exemplo,
m = 2/3 e p = 1

Observe o significado desses números m e p diretamente na equação que serviu de exemplo . Repare que.

Y = 2x + 1
                                                   23
3

se x = 0 então y = 1

se x = 3 então y = 3

com esses dois pontos, podemos fazer o gráfico da reta.




       Veja que a reta corta o eixo dos y no ponto y = 1 e que a tangente do ângulo que ela faz com a
direção horizontal é 2/1 (cateto oposto sobre cateto adjacente)

         De forma geral, na equação y = mx = p, o número p, chamado coeficiente linear, e o ponto onde
a reta corta o eixo dos y.

         O número m, chamado do coeficiente angular é a tangente do ângulo que a reta forma com a
direção horizontal.

         Se o coeficiente angular for positivo, a reta representará uma função crescente. Se for negativo,
representará uma função decrescente.




GRÁFICOS DE y = mx + p

       Observe, nos exemplos seguintes, que podemos determinar a equação reduzida da reta quando
conhecemos os coeficientes angular e linear.



M= 4 .                 (coeficiente angular)
                                                   24
3



p = -2              ( coeficiente linear )




Equação reduzida da reta :

Y = 4x - 2
     3

m= - 2 .              ( coeficiente angular )
     5

p=7                   (coeficiente linear)



Equação reduzida da reta

Y = - 2x + 7
      5
         Devemos enfatizar que o coeficiente angular representa o valor que a função cresce 9 (ou
decresce ) quando x aumenta uma unidade. No gráfico a seguir, representamos a função y = mx + p .
Nele, você pode notar que, quando x assume valores inteiros, os valores de y formam uma progressão
aritmética de razão m.

Quando x aumenta uma unidade, y aumenta m unidade .




A FÓRMULA DO COEFICIENTE ANGULAR



                                                25
Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois quaisquer de
seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos pontos (x1, y1 ) e ( x2 , Y 2 ). O
triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 – y 1 e o cateto horizontal igual a x2 – x1 .
Dividindo o cateto vertical pelo horizontal, obtemos a fórmula do coeficiente angular.



                                                                                  Tga = m = y2-y1
                                                                                           x2 – x1




                  RESOLVENDO PROBLEMAS COM LOGARITMOS
         Vamos lembrar que quando escrevemos, por exemplo, log2=0,301, significa que 100,301 = 2 .
         Usamos aqui sempre a base 10 e, por isso, os nossos logaritmos são chamados decimais. Existem
também logaritmos em outras bases. Por exemplo, a igualdade 25=32 significa que o logaritmo de 32 na
base 2 é igual a 5. como a teoria básica dos logaritmos é a mesma em qualquer base, continuaremos nosso
estudo tratando apenas do logaritmos decimais . São eles que aparecem nas tábuas dos livros didáticos e
nas calculadoras cientificas.

        EXEMPLO 1

        Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que,
caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$2,00 que dobraria a cada dia de atraso.
Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais ?

Solução : A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena , se o atraso no pagamento for de pouco
dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande.

Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x . Veja;

1 dia de atraso ⇒ x = 1 ⇒ multa = 21 = 2

2 dias de atraso ⇒ x = 2 ⇒ multa = 22 = 4

3 dias de atraso ⇒ x = 3 ⇒ multa = 23 = 8 e assim por diante.

       Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica, Devemos calcular em que dia essa
multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação:
                                                    26
2x = 1.000.000

para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log2x = log 1.000.000

log 2x = log 106

Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência:

X . log 2 = 6 . log 10

Como log 10 = 1 e sabendo que log 2 = 0,301, temos :

X . 0,301 = 6

X = 6 = 19,93
   0,301

Assim, concluímos que no 20º dias de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

Veja outro exemplo que necessita do cálculo pela tábua de logaritmos.

EXEMPLO 2

Se log x= 1,6395, determine x.

Solução:

         Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a característica e a
mantissa . A característica é o número que está antes da virgular e a mantissa é o número que aparece
depois da vírgula. A tábua de logaritmos apresentada na aula passada nos dá apenas as mantissas , mas a
característica nos dá a seguinte informação :



                                 Números          Característica

                          Entre 1 e 9                    0

                          Entre 1 e 9                    1

                          Entre 1000 e 999               2

                          Entre 1000 e 999               3



Como log x = 1,6395 tem característica 1 . Então, sabemos que o número x está entre 10 e 99 . Assim,
procuramos a mantissa 6395 na tábua.

TÁBUA DE LOGARÍTMOS

                                                    27
0         1       2       3      4        5      6      7      8      9

         40         6021     6021    6042     6053   6064     6075   6085   6096   6107   6117

         41         6128     6128    6149     6163   6170     6180   6291   6201   6212   6222

         42         6232     6243    6253     6263   6274     6284   6294   6304   6314   6325

         43         6335     6345    6355     6365   6345     6385   6395   6405   6415   6425

         44         6435     6444    6454     6464   6474     6484   6193   6503   6513   6522

        Uma vez encontrada a mantissa, vamos que na coluna da esquerda está o número 43 e na linha de
cima o número 6. Juntando esse números, formamos o número 436, faltando apenas colocar a vírgula no
lugar certo. Como o nosso número está entre 10 e 9+9 , então x = 43,6.

EXEMPLO 3
        Um construtor deseja fazer um reservatório de água para conter 5000 litros e que tenha a forma
de um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo?




Solução:

          Um cubo é uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais.
          O volume de uma caixa é o produto de suas dimensões: comprimento x largura x altura. Logo, se
o lado do cubo mede a, seu volume será a . a . a = a3. Por outro lado, sabemos que 1m3 é igual a 1000
litros . Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume será 5m3. Devemos então resolver a
equação:

                                                     a3 = 5

        O valor de a será a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e,
em seguida, a propriedade da potência temos :

Log a3 = log 5

3 . log a = log 5

Na tábua de logaritmos encontramos log 5 = 0,699. Logo:

3 . log a = 0,699

3 . log a = 0,699 .        => log a = 0,233
              3

                                                      28
Como agora sabemos que o logaritmo de a é igual a 0,233, vamos procurar na tábua de
logaritmos a mantissa 233.
         Encontrando a mantissa 2330, verificamos que à esquerda existe o número 17 e acima o número
1. Juntando esses algarismos formamos o número 171. Falta apenas colocar a virgula no lugar correto.
Repare que calculamos log a = 0,233. Esse número possui característica 0, ou seja , o valor de a está entre
1 e 9 . Portanto , o valor do lado do cubo é 1,71 m.
         Dessa forma, o construtor saberá que construindo um reservatório de água com a forma de um
cubo de 1,71 m de lado, ele terá a capacidade de conter 5000 litros de água.



LOGARITMOS

        Considere um número a ( positivo e diferente de 1 ) , e um número b na base a ao expoente x
que se deve dar à base a de tal modo que a potência obtida seja igual a b :

b = ax                 ⇔           log a b = x

forma exponencial                  forma logarítmica

onde:

b é o logaritmando

a é a base

x é o logaritmo

Exemplos:

* log10 100 = 2 , pois 102 = 100

* log 327 = 3 , pois 33 = 27

* log31= 0 , pois 30 = 1

Observação : Não existe, por exemplo, log2( -4 ) . Lembre-se de que a equação 2x = - 4 não tem solução
para X E R.

Conseqüência da definição:

Loga1 = 0

Logaa = 1

Log aam = m

Log ba = log ca   ⇔b=c




                                                       29
Aplicação:

1. Calcular log41, log55,log5125

   a) log41 = 0

   b) log55 = 1

   c) log5125 = log553 = 3

2. Sabendo que loga12 = log ax + 3 , calcule x :

Usando a propriedade de logaritmos, teremos:

X + 3 = 12

X = 12 – 3

X=9

3. Determine o logaritmo de √ 8 na base 2 :

Solução:

Log2 √ 8 = log2 √ 23 = log 223/2 = 3/2

4. Resolva a equação log23x – 2 = 3

Solução :

log23x – 2 = 3 ⇒ 3x – 2 = 23 ⇒ 3x – 2 = 8 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3

5. Calcule loga9 = 2

Solução :

Loga9=2

a2 = 9

a= ± 3

note que a = -3 também é solução de a2 = 9 , mas como a base tem que ser sempre positiva, só serve o
valor a = 3 como resposta .

6 . Para que valores de x exista , o logaritmando deve ser sempre positivo. Neste caso o logaritmando é 3x
+2.

Logo ;

3x + 2 > 0

3x > - 2
x > - 2/3
                                                   30
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

* 1ª Propriedade:

Consideremos por exemplo, log24.8

                                              Log24 = 2

Sabemos que :

                                              Log28 = 3

Teremos, então :

Log24.8 = log24 + log28 = 2 + 3 = 5

Podemos concluir que :

Logab.c = logab + logac

Observe os seguintes exercícios aplicado a propriedade:
1 . Se a soma dos logaritmos de dois números , na base 2 , é 5, determine o produto desses números.

Solução:

Sejam x e y esses números temos então :
Log2x + log2y = 5
Log 2x.y = log 2x + log 2 y
Logo : log 2x . y = 5
x . y = 25
x . y = 32

O produto dos números é 32.

2. Resolva a equação:

log2( x + 2 ) 9+ log2 ( x – 2 ) = 5

C.E. x + 2 > 0 ⇒ x - 2 > 0

Solução :

log2 ( x + 2 ).( x – 2 ) = 25

x2 – 4 = 32

x 2 = 36

x±6

verificando : para x = 6        para x= - 6
x+2>0         6+2>0(v) -6+2>0(f)
x–2>0         6–2>0(v) -6–2>0(f)                     =>      s={6}
                                                    31
*2ª Propriedade :

Consideremos

log2 2/16
log22 = 1

sabemos que log216 = 4 teremos, então : log2 2/16 = log22 – log216 = 1 – 4 ( 4 ) = -3
podemos concluir que : loga b/c = log b – log c

Exemplos:

1. sendo log ab = 2 e logac = 3, determine loga b/c

solução :

logab/c = log ab - logac = 2 – 3 = -1

loga b/c = - 1



2. Resolva a equação : log2x2 + 1 – log2 x = 1 .

Solução :




                                                      32
3ª Propriedade :

Consideramos o seguinte exemplo :




MUDANÇA DE BASE :

Efetuamos a mudança de um logaritmo de base a para um logaritmo de base c, através da fórmula :

Logab = logcb .
        log ca




                                                 33
EXEMPLO :

1)mudar para base 2 os logaritmos :




EXERCÍCIO

   1.) Calcule, aplicando a definição de logaritmo :




   2.) Dê o valor de:




                                                       34
3.) Resolva as equações :




    4.) Sendo logba = 4 e logbc = 1 , encontre o valor de :




    5.) Determine o conjunto solução das equações :




    6.) Sendo log2 = 0,3 , log3 = 0,4 e log5 = 0,7 , calcule :




                                     SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA
SUCESSÃO NUMÉRICA

        Sucessão ou seqüência é todo conjunto em que consideramos os elementos dispostos em certa
ordem. Uma seqüência numérica pode ser finita ou infinita.

EXEMPLO:

(1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) ú uma seqüência finita.

(-2, 4, 6 , ... ) é uma seqüência infinita




                                      PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

                                                     35
Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que chamamos
de seqüência. As seqüências são , freqüentemente, resultado da observação de um determinado fato ou
fenômeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa da cidade de Magé ( Rio de Janeiro ) tenha anotado as
temperaturas máximas em cada dia do mês de abril de 1995. O resultado pode ser visto na seguinte tabela :



        DIA                            1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...
        TEMPERATURA                    31 32 32 29 31 34 33 34 26 25 28 27 30 29 ...
        MÁXIMA ( ºC )

          Na linha de cima, temos a seqüência dos dias e, na de baixo, a seqüência das temperaturas. Nessa
seqüência, dizemos que o primeiro termo é 31, o segundo termo é 32, o sexto termo é 34.
          É conveniente representar cada termo de uma seqüência pela letra a , seguida de um índice que
indica a sua ordem.
          Assim, na seqüência das temperaturas, temos:
                                                  a1 = 31
                                                  a2 = 32
                                                  a6 = 34
                                                a9 = 26 etc

        Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos an. Assim, no
exemplo que acabamos de dar, an representa a temperatura máxima registrada no dia n.
        Para que você entenda bem o significado desta última frase, e de outras do mesmo tipo, substitua
n por números naturais: 1 , 2 , 3 etc . Fazendo isso, você obtém as seguintes frases :

   •   a1 representa a temperatura máxima registrada no dia 1 :

   •   a2 representa a temperatura máxima registrada no dia 2 ; e assim por diante.

      Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica
em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa de inflação mensal, etc.

       Nesta aula e nas próximas, vamos estudar certas seqüências muito especiais. Por sua regularidade,
conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se progressão
aritmética.
         Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os
outros acrescentado sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3,
diversas vezes :

                              7        10     13        16     19        22

                                  +3         +3     +3         +3      +3

         O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão ( R) portanto,
nesse exemplo, temos:

                                              a1 = 7 e R = 3

       Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação :

                                                   36
•   3,7,11,15,19,23...

       temos R = 4.

       É uma progressão crescente.

   •   9,7,5,3,1,-1,-3,-5,...

       temos R = -2

       é uma progressão decrescente.

   •   4,4,4,4,4,4,4,...

       temos R = 0 .

       é uma progressão estacionária.

         Dada uma progressão aritmética, como calculamos sua razão ? Pense ! Não é difícil. Como a
razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que :

“A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo e o anterior.”

        Assim, retomando os três últimos exemplos, temos

        Na 1º progressão : R = 7 – 3 = 7
                           R = 11 – 7 = 4
                           R = 15 – 11 = 4 etc.
        Na 2º progressão : R = 7 – 9 = - 2
                           R = 5 – 7 = - 2 etc.
        Na 3º progressão : R = 4 - 4 = 0

         Passamos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão
aritmética ( de agora em diante representada por PA ) de razão R :

                            a1    a2       a3        a4        a5    a6       an

                           +R    +R       +R        +R         +R    +R       +R

        Suponha que você conheça o primeiro termo ( a1 ), e a razão ( R ) . Como faremos para calcular
qualquer outro termo ? Observe as igualdades.



                                                 a2 = a1 + r
                                                a3 = a1 + 2r
                                                a4 = a1 + 3r
                                                a5 = a1 + 4r


 Vemos então que, para calcular um termo qualquer ( an ) é preciso somar ao 1º termo . n – 1 vezes a
razão. Ou seja :

                                                    37
Fórmula do Termo Geral

                                             an = a1 + ( n – 1 ) r



         Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma escada e
deseja chegar ao 10º Quantos degraus deve subir ? É claro que são 9. Se você está no 1º degrau e deseja
chegar ao 25º quantos deve subir ? Deve subir 24, lógico. Então, para chegar ao degrau número n.
devemos subir n – 1 degraus.

          Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes:

Exemplo

Qual é o trigésimo ( 30º ) termo da progressão aritmética : 10,17,24,31,38,...?

Solução. A razão da progressão é R = 17 – 10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10 . Desejamos calcular o
trigésimo termo, ou seja a30. A partir da fórmula do termo geral :

an = a1 – ( n – 1 ) r

Substituindo a letra n por 30, obtemos :

Daí,      a30 = a1 + ( 30 – 1 )r

          a30 = 10 + 29 . 7

          a30 = 213

Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213.

EXEMPLO

Um aluno escreveu todos o número ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu ?

Solução. A progressão desse exemplo é a seguinte:

17,19,21,23,...63.

O primeiro termo é 17. o último termo pe 63 e a razão e 2. Escrevemos então:

a1 = 17
an =63
r=2

Substituindo esse valores na fórmula do termo geral calcularmos n que é o número de termos da
progressão :

an = a1 + (n – 1) r
63 = 17 + (n – 1) 2

                                                      38
46 . 17 = 2n - 2
46 = 2n - 2
48 = 2n
n = 24
A progressão tem, portanto, 24 termos

EXEMPLO
         Em janeiro de certo ano, João estava ganhando R$ 70,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar
seu salário em R$ 4,00 todos os meses. Quanto João estará ganhando em dezembro do ano seguinte ?

Solução: se o salário de João aumenta R$ 4,00 todos os meses, então a seqüência dos salários é uma
progressão aritmética de razão 4.

Vamos organizá-la assim:




Usando a fórmula do termo geral, temos :
a24 = a1 + 23r
a24 = 70 + 23 . 4
a24 = 70 + 92
a24 = 162

Portanto, com esses pequenos aumentos mensais , João estará ganhando, em dezembro do ano seguinte,
R$ 162,00.

ALGUMAS PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
O GRÁFICO
         Podemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico com este:
         Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho de uma
escada . Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética.




UMA OUTRA FÓRMULA


                                                  39
Se você está no 6º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º, quantos degraus deve subir ? A
resposta é simples : 4 degraus . Podemos escrever isso em linguagem matemática.a10 = a6 + 4r

         De modo geral , se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m,
devemos subir m – n degraus. A nossa nova fórmula, que relaciona dois termos quaisquer, é então a
seguinte:

am = na + ( m – n ) r

EXEMPLO
        Todos os anos, uma fábrica aumenta a produção, em uma quantidade constante. No 5º ano de
funcionamento, ela produziu 1.460 e no 8º ano, 1940. Quantas peças ela produziu no primeiro ano de
funcionamento? Devemos calcular a1 ou seja, a produção inicial. Tememos então nossa última fórmula:

         am = na + (m- n ) r

e façamos m = 8 e n = 5. ela fica assim:

         a8 = a5 + ( 8 – 5 ) r

substituindo os valores conhecidos, temos :

         1.940 = 1.460 + 3r

         1.940 – 1.460 = 3r

         r = 160

        Sabemos agora que a razão é 160, ou seja, a produção da fábrica aumenta em 160 peças a cada
ano. Para calcular o primeiro termo da progressão . façamos m = 5 e n = 1 na fórmula que estamos
usando. Ela fica assim:

         a5 = a1 + (5 – 1 ) r ou

         a5 = a1 + 4r

como os valores de a5 e R são conhecidos, podemos fazer às substituições

         1.460 = a1 + 4 . 160

          1.460 = a1 + 640

         1.460 – 640 = a1

         a1 = 820

concluímos então que, no primeiro ano de funcionamento, essa fábrica produziu 820 peças.

       Para terminar, repare que temos duas fórmulas, muito parecidas, para relacionar dois termos de
uma progressão aritmética e sua razão. A segundo é mais geral. Ela é capaz de calcular qualquer termo de
uma PA se você conhece a razão e, também, um outro termo qualquer.

                        SOMANDO OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA
                                                  40
No assunto anterior, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se
conhecemos um de seus termos e a razão. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquer
quantidade de termos de uma PA. Deduziremos a fórmula da soma dos termos de uma progressão
aritmética usando a mesma idéia que um menino de 10 anos teve no ano de 1787. Esse menino, que se
tornou um dos maiores matemáticos de todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e uma
pequena parte de sua história é a que relatamos a seguir.

         O menino Gauss era alemão e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos 10 anos, freqüentava a
escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todos
os números de 1 a 100. Mas para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quase
imediatamente : “Dá 5.050”,

         Vamos mostrar como ele calculou “ de cabeça” a soma :

         1 + 2 + 3 + ... + 100

         primeiro vamos representar por S essa soma.
Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida , somamos as duas, termos a termo.

         S=    1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

         S = 100 + 99 + 98 + .... + 3   +2    + 1

         2S=101 + 101 + 101 + ....+101 + 101 + 101

assim, duas vezes S é igual à soma de 100 parcelas, todas iguais a 101 . logo:

         2S = 100 . 101

         2S = 10.100

         S = 5.050

        Não há dúvida de que esse episódio da vida do menino Gauss nos mostra uma idéia brilhante .
Vamos aproveita-la para deduzir a fórmula da soma dos termos de qualquer progressão aritmética.
        Como vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma progressão aritmética como
os degraus de uma escada . Veja uma de sete degraus , por exemplo.

Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os degraus ?




                                                    41
Podemos usar a idéia do menino Gauss. Vamos considerar duas escadas iguais e encaixar uma na outra,
como mostra o desenho a seguir




         Observando o desenho, vemos que a1 + a7 é igual a a2 + a8 que é igual a a3 + a9 e assim por
diante. Temos então:

          S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
          S = a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1

Somando as duas igualdades, obtemos , do lado esquerdo, 2S e, do lado direito, 7 vezes a1 + a ... Logo :

          2S = (a1 + a7 ) . 7
          S = (a1 . a 7 ) 7
                    2

        O raciocino utilizado para obter a soma dos 7 temos da progressão que nos serviu de exemplo
pode ser aplicado a qualquer outra. Portanto, se uma progressão tiver n termos, a soma de todos eles
será :

                                      Sn = ( a1 + an ) . n
                                                 2

          Nesta fórmula , é bom lembrar que : a1 é o primeiro termo,

                                      an = é o último termo,

                                      n = é o número de termos.

EXEMPLO

Calcule a soma dos 30 primeiros números impares.

Solução : Os números ímpares são :

1 , 3 ,5 , 7, 9 , 11 , ...



                                                      42
Eles formam uma progressão aritmética de razão 2. Para calcular o trigésimo ( 30º ) termo dessa
progressão, precisamos usar a fórmula an = a1 + ( n – 1 ) r que aprendemos na aula passada. Substituindo
então n por 30. obtemos :

         a30 = a1 + ( 30 – 1 ) r

         a30 = 1 + 29 . 2

         a30 = 59

vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética fazendo também n = 30

         S = ( a1 + a30 ) 30
                   2

Substituindo os valores do primeiro e do último termo, temos:

         S = ( 1 + 59 ) . 30 = 60 . 30 = 900
                    2             2

concluímos então que a soma dos 30 primeiros números ímpares é :1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .... + 59 =
900



                                   PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
         Neste assunto, vamos abordar outra importante seqüência: a progressão geométrica. É possível
que você já tenha ouvido alguém preocupado com o número de habitantes do nosso planeta dizer a
seguinte frase: “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população mundial
cresce em progressão geométrica”.

O que essa frase significa ?

         A primeira parte da frase diz que o aumento da produção de alimentos é constante, ou seja, a
cada ano aumenta do mesmo valor. A segunda parte da frase fala de uma seqüência cujo crescimento é
cada vez mais rápido.
         Para que você tenha uma primeira idéia do que vamos estudar, mostramos, no desenho seguinte,
alguns termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica, situados sobre uma régua.
Observe o crescimento, cada vez mais rápido , da progressão geométrica.




         Progressão geométrica (ou simplesmente PG ) é uma seqüência de números não nulos em que
cada um deles, multiplicado por um número fixo. Fornece o próximo elemento da seqüência. Esse número
fixo chama-se razão, e os elementos da seqüência são os termos da progressão geométrica.



                                                   43
Por exemplo, vamos obter os termos de uma progressão geométrica de razão 2, partindo do
número 3 .

              3         6          12           24     48             96   192   384   768    1.536...

              x2        x2         x2           x2     x2             x2    x2   x2      x2      x2 ...

         Observe como o crescimento é rápido.

             Os termos da progressão geométrica são representados, como em qualquer seqüência, por a1, a2 ,
a3 , ......, an e a razão será representada pela letra q . Assim, no exemplo anterior , temos a 1 = 3 , a2 = 6, a3
= 12 etc. e q = 2 .

         Se cada termo da PG multiplicado pela razão dá o termo seguinte, então podemos afirmar que :

                        A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior.

       No nosso estudo, vamos considerar apenas progressões geométricas de termos positivos. São as
que têm interesse prático e ocorrem em diversos fenômenos naturais.

         Observe três exemplos que mostram a classificação das progressões geométricas:

         a1 = 2 , q = 5

         PG : 2, 10 ,50 ,250, 1.250, ...

         É uma progressão crescente.

         a1 = 8 , q =1/2

         PG : 8, 4 , 2 , 1 , ½ , ¼ ...

         É uma progressão decrescente .

         a1 = 3, q = 1

         PG : 3, 3 , 3 , 3 , 3 , 3, ....

         É uma progressão estacionária.

         Pelo que vimos acima, concluímos que, se a razão for maior que 1, a progressão geométrica é
crescente e, se a razão for um numero entre 0 e 1 , a progressão é decrescente .
         Vamos agora obter uma fórmula para determinar qualquer termo de uma PG a partir do primeiro
termo e da razão. Observe então uma progressão geométrica qualquer:

         a1        a2         a3           a4        a5......    an

         xq        xq         xq           xq        xq ....

         A partir da definição de PG, temos que a2 = a1 . q

          O terceiro termo é a3 = a2 . q = a1 . q = a1 . q . q = a1 . q2. O quarto termo é a4 = a3 . q = a1 . q2 .
q = a1 . q3 e assim por diante.
                                                                44
a2 = a1 . q               a4 = a1 . q3
          a3 = a1 . q2              a5 = a1 . q4

         Para obter então o termo de ordem n, devemos multiplicar o primeiro termo pela razão n – 1
vezes, ou seja:

                                         Fórmula do termo geral
                                             an = a1 . qn-1

EXEMPLO

Determinar o 12º termo da PG 7, 14 , 28 ....

          Como a razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior, temos que:

q = 14 = 2
     7

        para calcular o 12º termo dessa progressão, substituímos n por 12 na fórmula do termo geral .
Temos então:

a12 = a1 . q11

Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos:

a12 = 7 . 211

a12 = 7 . 2.048 = 14.336

EXEMPLO

         Existem bactéria que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria
que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 8 iguais no período de
1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas ela serão 12 horas depois, supondo
que nenhuma delas tenha morrido?

Solução: A população de bactéria forma uma progressão geométrica:

Momento inicial ⇒ a1 = 1
1 hora depois ⇒ a2 = 8
2 horas depois ⇒ a3 = 34

          Vemos então que, 12 horas depois, devemos calcular o 13º termo da progressão geométrica com
a1 = 1 e q = 8 . Aplicando novamente a fórmula do termo geral, com n=13, temos:

a13 = a1 . q12

substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos :

a13 = 1. 812

Esse resultado dá o incrível número 68.719.476.736, ou seja, mais de 68 bilhões de bactérias !

                                                    45
Resolva a equação com que o primeiro membro representa a soma dos termos e uma PG infinita
: 80x + 40x + 20x + .... = 320 .

Solução : a1 = 80x

q = 40x =      1 .
    80x        2

S = a1 .
   1- q

   320 = 80x                160 = 8x ⇒ x = 2     S{2 }
         1/2

1. Encontre o termo geral da P.G.(1.5,...)

Resp.: an =5

2. Determine o número de termos da P.G. (1,2,....,256).
Resp.: 9

3. Numa P.G. de razão 4, os termos extremos são 3 e 768. Calcule o número de termos .
Resp.: n = 5

4.Interpole três meios geométricos entre 4 e 324.
Resp.: (4,12,36,106,324)

5. Interpole quatro meios geométricos entre 1/18 e 432.
Resp.: (1/18, 1/3 , 2, 12, 72, 432 )

6. Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G.

(√3, √3, √3,....)
Resp.: 5√3

7. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,3,9,27...)

Resp.: S10 = 29524

8. Calcule a soma dos termos da P.G. (2,1,1/2 ,1/4,...)
Resp.: S = 4

9. Resolva as equações :

a) x + x + x + ... = 81                                             S = {54 }
       3   9
                                                     46
b) x2 - x2 + x2 - x2 .... = 6                                         S = {-3, 3 }
        2     4 8

                                                   MATRIZES
Matrizes são tabelas de números dispostos em linhas e colunas.

MATRIZ DO TIPO ( m x n ):

Denominamos matriz do tipo ( m x n) à matriz que tem m linhas e n colunas.




        ()
Exemplo: -1         2

               3     4

               0     3      3x2

a matriz é do tipo 3x2, pois tem 3 linhas e 2 colunas.

As matrizes podem ser representadas das seguintes formas:

    •     Através de parênteses ( ).

    •     Através de colchetes [ ] .

    •     Através de barras duplas || ||.

    Para dar nome às matrizes usamos letra maiúsculas. Os elementos de uma matriz são representados por
letras minúsculas, acompanhada por índices, i e j , que indicam a linha e a coluna, respectivamente, onde
se encontra o elemento da matriz:

a   i j              coluna

 linha

EXEMPLO:


          ( )
Á matriz -1 0 3

             2 1 4
                         vamos associar a matriz




                                              (
                                            A =    a11 a12 a13
                                                              )
                                                    a21 a22 a23

então : a11 = -1, a12 = 0 , a13 = 3, a21 = 2 , a22 = 1 e a23 = 4

Uma matriz pode ser genericamente representada :



                                                        47
lei de formação: A = (aij ) m x n



Exemplos : escreva a matriz A = (aij ) 3x2 tal que aij = 2i – j.

Solução: a matriz 3 x 2 é do tipo




                                    ( )
                                            a11 a12

                                            a21 a22

                                            a31 a32

        para obtermos o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores de i e j na lei de
formação aij = 2 i – j.

           Desta forma, teremos :

a11 = 2 . 1 – 1= 1          a21 = 2 . 2 – 1 = 3   a31 = 2 . 3 – 1 = 5

a12 = 2 . 1 – 2 = 0         a22 = 2 . 2 – 2 = 2   a32 = 2 . 3 – 2 = 4




                   ()
portanto,                1 0

                 A=     3    2

                         5 4

MATRIZ LINHA :

É a matriz que possui apenas uma linha.

EXEMPLO:

A = ( 3 -1 2 ) é a matriz linha ( 1 x 3 )

MATRIZ COLUNA:

E a matriz que possui apenas uma coluna.

Exemplos:

A=
     ()   3

          -2
                 é a matriz coluna ( 2 x 1 )



MATRIZ QUADRADA :

É a matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, isto é , m = n.



( )
a)    2 4

     -1   3    2x2 matriz quadrada de ordem 2
                                                         48
( )
b)     1 3 0

       2 1 5

       4 3 2     3x3 matriz quadra de ordem 3



DIAGONAL PRINCIPAL




DIAGONAL SECUNDÁRIA

Diagonal principal: formada pelos elementos ( a11, a22, a23 ) com i = j

Diagonal secundária: formada pelos elementos ( a13,a22,a31).



         É toda matriz cujos elementos da diagonal principal são iguais à unidade, Será indicada por In,
onde n é a ordem da matriz.

EXEMPLO:




     ( )
          1 0 0

In =      0 1 0

          0 0    1



1 – Sabendo que a matriz C abaixo é nula, determine os valores de a e b .




 ( )
C=      2a + 4

         0
                      0

                     3-y

Solução: para matriz C dada seja nula, devemos ter:

2a + 4 = 0 ⇒ -4 ⇒ a = -2

3 – y = 0 ⇒ - y = -3 ⇒ y = 3

duas matrizes A e B de mesma ordem, são iguais se seus elementos correspondentes forem iguais .
                                                      49
EXEMPLOS:
1) sejam as matrizes



( )
A= 3
       2 3 -4

           1    5       e

Determine x, y e z para que A = B.
                                  B=   ( ) 3x

                                           3 + 3z
                                                    3

                                                        1
                                                            -y

                                                             5



Solução:

3x = 2 ⇒ x = 2/3

-y = - 4 ⇒ y = 4

3 + 3z = 3 ⇒ 3z = 0 ⇒ z = 0

2) Dadas as matrizes A = 2



Solução :
                              ()() 3
                                       x -y

                                           6
                                                e B=        2

                                                            3
                                                                   2

                                                                  x+y
                                                                        , determine x e y para A = B




x–y = 2

x+y = 6

2x = 8

x=4

Substituindo x = 4 em x – y = 2, obtemos y = 2. Portanto x = 4 e y = 2.

SOMA
        Considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, denominamos matriz soma de A e B à matriz
C = A + B, do mesmo tipo que A e B, de tal forma que cada um de seus elementos seja igual à soma dos
elementos correspondentes nas matrizes A e B.

EXEMPLO:



   () ()
Se A = -2 4

           3    2
                        e      B =     3 -1

                                       5   -3




   ( ) ()
A+ B=          -2 + 3

               3+5
                            4–1

                            2 – 3 , portanto , A + B= 1            3

                                                                 8 -1


                                                                  50
SUBTRAÇÃO:

 Matriz Oposta: dada a matriz A, denomina-se matriz oposta de A a matriz –A, cujo elemento da linha i e
 da coluna j é o oposto do elemento que está na linha i e na coluna j da matriz A.

 EXEMPLO:




        ( )                                                    ( )
              4 -3       2                                           -4 3 -2

 Se A =      0        1 -5        , então sua oposta é –A=              0 -1 5

              3       -1 2                                              3 1 -2

         considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, subtrai-se a matriz B da matriz A que equivale
 à soma da matriz A com a matriz oposta a B , isto é: A – B = A + ( - B ).

 EXEMPLO:


                      ( ) ()
 Dada a matriz A = -1 4

                             3 -2
                                         e B=    5 2 , determine A – B .

                                                -1 4

 Solução :


( ) ( )( )
 -1 4

 3 -2
            + -5 -2

                  1    -4
                              = -6 2

                                    4    -6     -B

           considerando um número real K e uma matriz A (m x n ), multiplicar o número K pela matriz A
 significa multiplicar todos os elementos da matriz A pelo número K.

 EXEMPLO :

 Considere a matriz A = - 2 4
                              ( )        1 -3
                                                     e o número real K = 3



 solução:



     ( )( )
 3A =3. -2 4

             1 -3
                       ⇒ -6

                              3
                                    12

                                    -9

         A operação de multiplicação é efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto é,cada elemento de
 uma linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em seguida, os produtos são
 adicionados.

          Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de
 linhas de B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.

 A m x n . Bn x p = A . Bm x p.


                                                                   51
EXEMPLO:

 Dadas as matrizes A=
                       ( ) ( )  2 -1

                                 0       3
                                                e B = -1 3 0

                                                          1 2 -1

 determine AxB.

 Solução:




         Seja A uma matriz quadrada de ordem n, Se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I ,
 dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A, e indicamos por A-1.

 EXEMPLO:

 Determinar a inversa da matriz A=
                                               ( )    3

                                                      1
                                                          4

                                                          0

 Solução :

 seja A –1 = I2

 sabemos que A-1 = a b
                      ()   c d


( )( )
 3

 1 0
     4      a

            c
                  b = 1

                  d    0    1
                             0 ⇒
                                     (         3a + 4c

                                                 a
                                                              )( )
                                                          3b + 4d =

                                                              b
                                                                        1

                                                                        0
                                                                            0

                                                                            1

 pela igualdade de matrizes, teremos os sistemas:

         3a + 4c = 1                              3b + 4d = 0

         a=0                                      b=1

         3 . 0 + 4c = 1 ⇒ 4c = 1 ⇒ c = 1/4

         3 . 1 + 4d = 0 ⇒ 4d = 3 ⇒ d = - 3 /4


                       ( )
         Portanto : A –1=            0

                                         1/4
                                                  1

                                                 -3/4



                      ( )
 1. Dada a matriz A = 1

                            -1 -4
                                     2       , determinar a oposta de A



                                                                   52
2. classificar as matrizes dadas quanto ao tipo e à ordem:


     ( )                                              ( )
a) A = 1           3                                   b)      -2           1

           0       0                                            0           3

                                                                4       -1




                                                       ()
c) ( 2 4 5 )                                            d) A=           2

                                                                        3

                                                                    -1

3. sendo A =
               ( )( )  -4
                           1 0

                                1
                                    2

                                        3
                                                e B= 3 0

                                                         4     2 -1
                                                                    1           , calcule:



a) A + B                    b) A - B                         c) B - A

4. Dadas as matrizes A=
                                    () ( )      1 2

                                                0 3
                                                         e b= 4 -1 , determinar :

                                                                    0       2

a) 1/3                      b) –3B                           c)2A - 3B                        d)2At + 3Bt

5. Dada a matriz A= -2
                            ( )     4
                                                5

                                                -1
                                                      , calcule o produto A . At


6. Efetue os produtos :




( )( )                                                       ( )( )
a)   5      1          .    4       2        3                d)        1         3       .         4

     2     -3               1       1           1                       2         4                 3

                                                                        3        5


( )( )
b)   1

     3      4
               2       .

                            2
                             5              4

                                            3
                                                             () (
                                                               e)       1

                                                                        4
                                                                                 3

                                                                                  2
                                                                                      .         1

                                                                                                2
                                                                                                          0

                                                                                                          6   )
                                                                                                              5

                                                                                                              3

                                                                        6 -1




                       ()
c)   (1 5 8 ) .                     0

                                    1

                                    3

Seja A matriz quadrada de segunda ordem A =
                                                                                (      a11

                                                                                              a21
                                                                                                    a12
                                                                                                        )
                                                                                                        a22
                                                                                          53
Denomina-se determinante associado à matriz A o número obtido pela diferença entre os
    produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária..

    Representa-se em determinante de segunda ordem por: det




        | |
    A = a11 a12 = a11 . a22 - a21 . a12

             a21 a22

    EXEMPLOS:

    1) Dê o valor do determinante -2
                                        | |  3
                                                 1

                                                 4

    Solução :


| | -2

    3
             1 = ( -2 ) . 4 – 3

             4
                                     1 = - 8 - 3 = - 11




    2)
        |    x- 2

                 4
                         |
                         -1

                         3
                              = 0



    Solução :


|   X–2

         4
                     |
                     1

                     3
                         = 0



    3(x–2)–4(-1) = 0

    3x – 6 + 4 = 0

    3x - 6 + 4 = 0

    3x = 2

    x= 2/3

    S + 2/3

    Regra de Sarrus:




                          | |
    Seja a matriz A = a11 a12 a13

                               a21 a22 a23

                               a31 a32 a33
                                                          54
anota-se a matriz dada e repete-se, à direita , a primeira e a segunda colunas, conforme o esquema abaixo:

                                                                   a11     a12    a13   a11 a12

                                                                   a21     a22    a23   a21 a22

                                                                   a31     a32 a33      a31 a32

                                                              -      -        -         +   +     +

    multiplicando os elementos segundo cada diagonal e associando aos produtos o sinal indicado, teremos :

    det A= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 -
    a12 . a21 . a33

          EXEMPLO :

    Calcular o determinante da matriz A , sendo




          |                          |
    A=           1          -1       0

                 2           3   1

                 -2          0       4

    Solução

    A= 1 -1                 0    1       -1

           2          3     1    2        3

          -2          0      4 -2         0

    MENOR COMPLEMENTAR:

            Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij da matriz A o determinante
    associado à matriz quadrada de segunda ordem, obtida em A, e que se obtém eliminando, em A, a linha e a
    coluna em que se encontra o elemento considerado.

    EXEMPLO:




                             | |
    Seja a matriz A = a11 a12 a13

                                 a21 a22 a23

                                 a31 a32 a33




|                            | |                                   |
    a11 – a12 – a13                           D11 =   a22    a23         eliminando a 1ª linha a 1º coluna

    a21    a23        a23                              a32    a33         eliminando a 2ª linha a 3ª coluna

    a31    a32        a33                     D23 =   a11    a12

                                                       a21    a32
                                                                                  55
COFATOR

 Chama-se cofator de aij o número real que se obtém multiplicando ( - 1 ) ij pelo menor complementar de
aij

Aij = ( - 1 ) i + j . Dij em que Aij é cofator

Da matriz anterior temos :

              1ª linha 1ª coluna

A11 = ( - 1 ) i + j . D11 = a22             a23

                                      a32    a33

A23 = ( - 1 ) 2 + 3 . D 23 = a11             a12

                                      a31     a32

Dada a matriz A = - 1 0 2

                        3 -1 1 , calcule :

                        4      -2 1

a) A11                b)A32



Solução :

a) A = -1     0   2

         3 -1     1

         4 -2     1

a) Aij = ( - 1 ) i + j . Dij

A11 = ( - 1 ) 1 + 1 . D 11

A11 = 1 .    -1 1

              -2 1

A11 = 1

Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir:

b) A = -1 0 2

         3 -1 1

         4 -2 1
                                                     56
A32 = ( - 1 ) 3 + 2 . - 1 2

                           3 1

Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir

a11   a12 ... an

a21   a22 ... a2n

a31 a32 ... a3n



am1 am2 amn

o determinante desta matriz é dado por :

det = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ... ainAin

EXEMPLO :

Calcular o determinante da matriz A, sendo :



A= 2      -1   3

      0    4       5

      6   -2       1



Solução:

Para se aplicar esse método escolhe-se uma linha ou uma coluna.

Pelos elementos da primeira linha:

Det A= a11.A11 + a12 . a13 . A13 .

Det A = 2 (14 ) + ( - 1 ) . (+30 ) = 3 . ( - 24 )

Det A = 28 - 30 - 72

Det A = - 74

1 . Calcule o valor de :




                                                    57
2. Resolva as equações:




3. Calcule o valor dos determinantes:




4. Sendo a= -1 1 -1 e B = 3 0 1 , calcule 3a + 2b .

                     -2 3 -3             -1 6 2

                         2 0   4         -2 1 4

5. Resolva as seguintes equações em R :




6. Dada a matriz A = -3 2 , calcule cofatores A12 e A 22 .

                                   4 0



7. Calcule os cofatores A21, A23,A31 e A33 da matriz

         0 -2             1

A=       3       2        4

         -1      6       -3

8. Calcule os seguintes determinantes, aplicando o teorema de Laplace:

     1       2       3                              0   1 -2

a) 4         5       6                            b) 3 -2    1

     7       8       9                              0   1    0




                                                        58
AS COMBINAÇÕES
UMA FÓRMULA PARA O CÁLCULO DAS COMBINAÇÕES

          Vamos supor que temos n objetos disponíveis para escolha e que, destes , vamos escolher p
objetos ( p < n ). O número de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combinação e representa-se
por Cpn . Portanto, o número de combinações de n elementos p a p é calculado por :

                                               Cpn =      n!       .
                                                       (n – p )!p!

Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3 . Aplicando a fórmula , obtemos :

C35 =        5!    = 5! = 5 . 4 . 3! = 5! . 4 = 10
        (5 – 3 )!3! 2! 3!   2! 3!         2

         Vamos resolver mais alguns problemas nos próximos exemplos. Leia com atenção o enunciado,
interprete-o e tente resolver cada exemplo sozinho.

           Assim você poderá verificar se realmente compreende o problema e sua solução.

EXEMPLO

          Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emergência. Dez acidentados de um ônibus
chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em macas, no corredor do
hospital. De quantas formas poderíamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos ?

Solução:
         Na realidade, os responsáveis pela emergência estudariam cada caso e escolheriam os mais
graves, mas imagine que todos tenham a mesma gravidade.

          Neste caso, há duas coisa a observar : 10 pessoas, 5 serão escolhidas e a ordem em que a escolha
é feita não importa. Trata-se, então , de uma combinação onde:

N = 10 ( números de “ objetos” disponíveis )

P = 5 ( número de “objetos” a serem escolhidos )

Usando a fórmula , temos :

C510 =    10!     = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 3 . 2 . 7 . 6 = 252
      (10 – 5 )! 5! 5! 5!          5! 5!             5 4 3 2 1

Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos.

Exemplo

         Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 15 funcionários se inscreveram, dizendo
que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolhe os 11 jogadores do time ?

Solução:
        De 15 operários , 11 serão escolhidos e a ordem de escolha não importa, pois queremos escolher
apenas os jogadores sem determinar as posições campo .
                                                   59
Temos, então, as características de uma combinação de 15 pessoas (n = 15) para formar grupos
de 11 (p = 11).

Usando a fórmula:

C1115 =       15      = 15 . 14 . 13 . 12 . 11! = 15 . 14 . 13 . 12 = 15 . 7 . 13 = 1365

          (15 –11 )! 11!      4!    11!           4.3.2.1

Assim , os jogadores podem ser escolhidos de 1365 formas diferentes.




                                   EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
        Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. No
caso da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas
potências de mesma base, pois sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus
expoentes também são iguais. Por exemplo, para resolver a equação 3x = 243, podemos decompor o
número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de potência, assim:

3x=35

logo, x = 5

A solução da equação é x = 5 .

           Você verá, agora, vários outros exemplos de resolução de equações exponenciais.

EXEMPLO

Resolver a equação 2x = 2.

           Como já sabemos, todo número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo. Então podemos escrever:

2x = 21

logo , x = 1

A solução da equação é x = 1

EXEMPLO

Resolver a equação 5 2x = 1

          Lembrando que um número diferente de zero, elevado a zero, é igual a um, a equação pode ser
escrita assim:

52x = 5n ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

A solução da equação é x = 0
                                                       60
EXEMPLO

Resolver a equação 33x = 1/9

         Uma fração, cujo numerador é 1 (um), pode ser escrita na forma de uma potência de expoente
negativo.

         Decompondo o denominador da fração em fatores primos, temos :

33x = 1/32 ⇒ 33x = 3-2

3x = -2 ⇒ x = - 2/3

A solução da equação é x = - 2 .
                             3

EXEMPLO

Resolva a equação 10 x-1 = 0,001

O número 0,001 pode ser escrito com uma potência de expoente negativo, logo :

10 x–1 = 10 3 ⇒ x – 1 = -3 ⇒ x = -3 + 1 ⇒ x = -2

 A solução da equação é x = - 2

EXEMPLO

Resolver a equação 5 2x + 1 = √5

Vamos escrever a raiz na forma de potência de expoente fracionário, como vimos na aula anterior :

5 2x + 1 = 5 ½ ⇒ 2x + 1 = ½

                            2x = ½ -1

                            2x = 1 – 2 ⇒ 2x = - ½ ⇒ x = - ¼
                                   2

A solução da equação é x = - ¼

EXEMPLO

Resolva a equação 4 3x – 5 = 4 x – 1

Neste exemplo, as potências já estão com as base iguais, portanto, podemos igualar diretamente seus
expoentes.

3x – 5 = x – 1
3x – x = -1 + 5
2x = 4
x=2

                                                   61
A solução da equação é x = 2 .

EXEMPLO

Resolva a equação 16 x + 3 = 2 x + 3

Vamos decompor 16 e escrevê-lo em forma de potência de base 2 . Temos que 16 = 24, logo:

( 24 ) x + 3 = 2 x + 3 ( vamos aplicar a propriedade da potenciação de potência )

24(x + 3 ) = 2 x + 3

2 4x + 12 = 2 x + 3 ⇒ 4x - 12 = x + 3

                           4x – x = 12 + 3

                           3x = 15

                            x=5

A solução da equação é x = 5 .

         Em todos os exemplos apresentados até agora, poderíamos ter conferido a resposta, substituindo
a solução encontrada na equação dada.

EXEMPLO
                                                   x
Resolva e confira a solução da equação ( 1 )           = 10 x – 3
                                       (100)

Vamos substituir na equação 1/100 por 10 –2

(10 –2) = 10 x – 3

10 – 2x = 10 x – 3 ⇒ - 2x = x – 3

                       - 2x – x = -3

                       - 3x = - 3

                          x= 1

Vamos agora fazer a verificação. Substituindo x, na equação por 1, temos :

 1 = 10 1 – 3
100

 1 = 10 –2 , que é uma sentença verdadeira.
100

logo, a solução da equação é, de fato, x = 1.



                                                        62
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
      Duas grandezas são diretamente proporcionais quando , aumentado uma dela, a outra aumenta na
mesma ração da primeira.

EXEMPLO:

                                   1 hora percorre 80 km

Um automóvel em                    2 horas percorre 160 km

                                   3 horas percorre 240 km

As rações entre os elementos correspondente são iguais.

 1 = 2 = 3 .
80 160 240

As grandezas “tempo” e “ distância” são diretamente proporcionais.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
       Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui
na mesma ração da primeira.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

         É um processo prático para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais
e inversamente proporcionais.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

       Para resolver problemas envolvendo regra de três deve-se proceder da seguinte maneira :

-   Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido.

-   Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário.

    EXEMPLO

    1 ) Com 14 litro de tinta, podemos pintar, uma parede de 35m2.Quando litros são necessários para uma
    parede de 15m2.

    Solução: Litros           m2

                14                          35

                x                  15

 14 = 35 ⇒ 35x = 210 ⇒ x = 210 ⇒ x = 6
 x      15                  35
Resp.: 6 litros
                                                   63
2) com 12 operários podemos construir uma muro em 3 dias. Quantos dias levarão 4 operários para fazer
o mesmo muro ?

solução :

Operários                    dias
                                      Operários e dias são grandezas inversamente
     14                      3        proporcionais. Então, devemos inverter a
                                      grandeza”operário”
      4                      x

 4 = 3 . ⇒ 4x = 12 . 3 ⇒ 4x = 36 ⇒ x = 9
12   x

Resp.: 9 dias

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

           É um processo prático que envolve problemas com mais de duas grandezas.

EXEMPLO:

         Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.Quantos quilômetros
percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia ?

Solução:

Km         dias    horas
                                    Para colocar as setas, compara-se
2232       6       12               cada grandeza com aquela que
                                    contém a incógnita “x”
x          10      14



    2232 = 6 .     12   .
      x    10      14                 Igual à razão que contém “x” com
                                      o produto das outras razões

2232 = 72 .
  x    140

72 x = 2232 . 140

x = 312480        Resp.: 4340 km
       72

Resolva os problemas, aplicando as regras de três simples e composta.

     1) Se oito metros de tecido custam R$ 156,00 qual o preço de 12m de tecidos?

          Resp.: R$ 234,00

                                                   64
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  • 1. ÍNDICE Introdução 2 A Função Y = Ax + B ...................................................................................... 3 Equação de 2º Grau ........................................................................................... 6 A Matemática e o Dinheiro ................................................................................ 16 A Trigonometria do Triângulo Retângulo .......................................................... 17 O Coeficiente Angular ...................................................................................... 21 Resolvendo Problemas com Logarítomo ............................................................ 26 Progressão Aritmética ....................................................................................... 36 Somando os Temos de uma Progressão Aritmética ............................................ 41 Progressão geométrica 43 ....................................................................................... Matrizes............................................................................................................ 47 Combinação....................................................................................................... 59 Equação exponencial ......................................................................................... 60 Matemática Comercial e Financeira 63 .................................................................... Bibliografia ........................................................................................................ 69 1
  • 2. INTRODUÇÃO Por que estudar matemática? Para que ela serve? Certamente você já se fez essa pergunta. A matemática está muito mais presente em sua vida, no seu dia-a-dia, do que você pensa. Em todas as atividades humanas, das mais simples às mais sofisticadas, usa-se matemática. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Quando lemos no pacote de macarrão: Cozinhar em 1 litro de água fervente para cada 100 gramas de massa, estamos lidando com uma informação que contém matemática. Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática o mais importante é o raciocínio. Esta apostila foi feita para que você se prepare para os exames do provão. E o resultado que esperamos é a sua aprovação. Mas lembre-se, muito mais que o certificado de conclusão do ensino médio, vai valer o que você realmente aprendeu. É isto, e não um diploma, que vai lhe ajudar a passar num concurso para emprego e a resolver muitas outras situações do cotidiano. 2
  • 3. A FUNÇÃO (Y = AX + B) Sendo a forma equacionada da função de 1° grau a equação y = ax + b e que o seu gráfico é sempre uma reta, temos que observar alguns valores que modificam o sentido desta reta é o que iremos descobrir logo a seguir. 1) Se a = 0, a nossa equação fica com a forma y = b e passaremos a chamá – la de função constante. Seu gráfico é uma reta horizontal. Veja : y b y=b x Se a ≠ 0, a expressão y = ax + b chama – se função do primeiro grau, Ainda, se a>0 ( a positivo ) ela é uma função crescente ; se a < 0 ( a negativo ) , ela é uma função decrescente, como mostram os gráficos : Y y a>0 a<0 x x FUNÇÕES DO 1º GRAU Vamos aprender agora um pouco mais sobre a função do 1º grau, que é a única cujo gráfico é uma reta. Inicialmente precisamos rever o gráfico da função do 1ºgrau.Como construí–lo ? Y=1x+1 2 3
  • 4. Atribuímos a x dois valores quaisquer e calculamos os valores correspondentes de y. Na tabela a seguir, fizemos x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados, os pontos marcados no plano cartesiano e o gráfico construído . y x y 0 1 3 - * 4 3 1*- 4 Agora, precisamos fazer o contrário. Dados dois pontos de uma função do 1º grau, como proceder para descobrir uma fórmula que a represente ? Acompanhe o exemplo a seguir. EXEMPLO Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos (3,9 ) e (5,13) . Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados. Substituindo ( 3,9 ) ⇒ 9 = a . 3 + b Substituindo (5 , 13 ) ⇒ 13 = a . 5 + b Organizando essas equações, temos um sistema : 3a + b = 9 5a + b = 13 Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar : 1) -3a – b = - 9 2) 5a + b = 13 2a = 4 ⇒ a = 2 Substituindo a = 2 na primeira equação temos - 3 . 2 + b = -9 b= -9+6 b=3 Logo a função procurada e y = 2.x + 3 A RAIZ DA FUNÇÃO A raiz da função y = ax + b é o valor de x que torna y igual a zero. Por isso esse valor de x também e chamado de zero da função. Vamos calcular, por exemplo a raiz ( ou o zero ) da função y = 2x – 3 Fazendo y = 0 , temos 2x – 3 = 0 2x =3 x= 3 4
  • 5. 2 O valor x = 3 é a raiz ( ou o zero ) função y = 2x – 3 Como você vê no gráfico abaixo, a 2 raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo dos x. y y = 2x - 3 3 x 2 -3 raiz EXEMPLO No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas são medidas em outra escala : em graus Farenheit. Um técnico está trabalhando com um motor americano e as temperaturas de funcionamento estão nesta escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma fórmula que permite relacionar a escala americana com a que usamos aqui: Y = 5x – 160 9 onde: y é a temperatura em graus Celsius ( ºC ) x é a temperatura em graus Farenheit ( º F ) Como e o gráfico dessa função ? Solução : Para fazer o gráfico de uma função do 1º grau, necessitamos de dois pontos quaisquer . Vamos escolher y = 0, que é a temperatura em que a água congela, e y = 100, que é a temperatura em que a água ferve: y=0 ⇒ 5x – 160 = 0 9 5x – 160 = 0 5x = 160 x = 160 = 32 5 y = 100 ⇒ 5x – 160 = 100 9 5x – 160 = 900 5x = 1.060 1.060 = 212 5 Observe então a tabela e o gráfico x y y(º C ) 32 0 • 100 • 5
  • 6. 212 100 • • 32 212 x (ºF) veja que o zero ( ou raiz ) de função y = 5x - 160 é x = 32: Observe que, na escala Farenheit, a água congela a 32ºF e ferve a 212 ºF. EXERCÍCIO 1 Faça o gráfico da função y = 0,4x + 2 EXERCÍCIO 2 Determine a função do 1ª grau que contém os pontos : a) ( 1, -3 ) e ( 6, 7 ); b) (1, 3 ) e ( 5, - 1). EXERCÍCIO 3 Na função da temperatura que mostramos no Exemplo acima, qual é o coeficiente angular ? EXERCÍCIO 4 O taxímetro determina o preço da corrida em unidades taximétricas ( Uts). Estas são depois convertidas em reais e a tabela de conversão é diferente em cada cidade. O taxímetro parte de um valor de UTs para casa quilômetro rodado. Vicente fez várias corridas de táxi. Verificou que, percorridos 3 Km, o taxímetro marcou 3 UTs; percorridos 8 Km, o taxímetro marcou 5 UTs. Seja x o número de quilômetros percorridos e y o número de UTs marcado, determine: a) y em função de x, b) quantas UTs o taxímetro marca em uma corrida de 20 Km. EQUAÇÕES DE 2º GRAU Chama-se equação de 2º grau com uma variável toda equação que pode ser colocada na forma : ax2 + bx + c = 0 , onde x é variável e a, b e c são coeficientes. A equação ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , é chamada equação incompleta quando b = 0 ou c = 0 , ou ambos são nulos . 1) 2x2 – 5x = 0 (c=0) 2) x2 – 9 = 0 (b=0) 3) 3x2 = 0 (b=0ec=0) 1º Caso : Equações da forma ax2 + bx = 0 Exemplo: Resolver fatorando X2 – 4x = 0 X (x – 4 ) = 0 X = 0 ou X – 4 = 0 V = {0,4} Nesse caso, uma das raízes é sempre zero. 2º Caso : Equações da forma ax2 + c = 0 6
  • 7. Exemplo : Resolver as equações: 1) x2 – 81 = 0 x2 = 81 √ x = ± 81 => x = ± 9 v{-9,9} 2) 7x2 – 28 =0 7x2 = 28 x2 = 28 7 2 x =4 x = + √4 x=+2 x = { -2 , 2 } 3) x2 + 16 = 0 x2 = - 16 x = + √-16 x ∉ R RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS A resolução de uma equação completa do 2ºgrau pode ser obtida pela fórmula de Báskara. ∆= b – 4ac discriminante da equação. 2 Se ∆ ≥0 , podemos escrever : x= -b ± √ ∆ 2a Se ∆ < 0 , a equação não admite raízes reais. Exemplo: Resolver as equações: 1) x2 + 8x +12 = 0 Solução: Temos a = 1 , b = 8 e c= 12 Calculando o valor de ∆: ∆ = b2 – 4ac ∆ = (8)2 – 4 .1 . 12 ∆ = 64 – 48 ∆ = 16 x = -b ± √∆ 2a x1 = - 8 + 4 = -2 x = - 8 ± 4 = -8 ± 4 2 2.1 2 x2 = - 8 – 4 = - 6 2 7
  • 8. As raízes da equação são x1 = -2 e x2 = - 6 V={-6,-2} 2 ) (x – 1 )2 = x + 5 x2 – 2x + 1 = x + 5 x2 – 2x – x + 1 – 5 = 0 x2 – 3x – 4 = 0 a = 1, b = - 3 c = - 4 ∆ = b2 – 4 a c ∆ = ( - 3 ) 2 – 4 . 1 . (-4 ) ∆ = 9 + 16 ∆= 25 Substituindo na fórmula : X = - b ±√∆ 2a x = - ( - 3 )± √25 = 3 ±5 x1 = 3 + 5 = 8 = 4 2 1 2 2 2 x2 = 3 – 5 = - 2 = - 1 2 2 V= {-1,4} EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS Exemplo : Resolver a equação: 2 + 2 + 5 = 0 (x≠0 ex≠1) 3x x – 1 3 2 ( x – 1 ) + 6x + 5x( x – 1 ) = 0 . 3x(x–1) 3x(x–1) 3x(x–1) 2x – 2 + 6x + 5x2 – 5x = 0 5 x2 + 3x – 2 = 0 ∆ = ( + 3 )2 – 4 . 5 . ( - 2 ) ∆ = 9 + 40 ∆ = 49 x=-3± 7 x1 = - 3 + 7 = 4 = 2 . 10 10 10 5 8
  • 9. x2 = - 3 – 7 = - 10 = - 1 10 10 V={-1,2} 5 EXERCÍCIOS: 1 ) 5x2 – 3x = 0 Resp.: {0, 3 } 5 2) x2 – x = 0 Resp.: { 0 , 1 } 3) – 4x2 – 12x = 0 Resp.: { - 3 ,0 } 4) (x + 5 )2 = 25 Resp.: {0, - 10} 5) x(x – 3 )2 = 25 Resp.: {0, 5 } 6) x2 – 49 =0 Resp.: { -7, 7 } 7) 16 = 9x2 Resp.: {- 4 , 4 } 3 3 8) 5x2 – 15 Resp.: {√ 3 , -√ 3 } 9) x2 + 8x + 12 = 0 Resp.: {1, 3 } 4 10) ( x + 4 ) . ( x – 1 ) = 5x + 20 Resp.: V = { - 4 , 6 } 11) x + 1 = 7 Resp.: { 6 } x–5 12) 4x2 – 4x + 2 = 0 Resp.: ø 13) x2 – 2x + 1 = 0 Resp.: {1} 14) x–1= x Resp.: {2} x 4 15) x - 2 = x–5 Resp.: {3 } x+1 x–1 x2 – 1 16) x2 - x = 5 – x + 4 Resp.: {- 11 , 2 } 2 3 6 17) x2 - 1 = 3x + 1 Resp.: { 5, - 1 } 3 2 2 18) x + 10 = 4x – 2 Resp.: {- 4 , 4 } 9
  • 10. 2 x–2 DISCUSSÃO DAS RAÍZES Se ∆ > 0 , a equação tem duas raízes reais e diferentes. Se ∆ = 0 , a equação tem duas raízes reais e iguais Se ∆ < 0, a equação não tem raízes ( reais ) Através do ∆ ( discriminante ) podemos discutir a existência das raízes. Exemplo : Determine o valor de K na equação 2x2 – 3x + 4K = 0, para que as raízes. a) sejam reais e diferentes. b) sejam reais e iguais . c) não sejam reais. Cálculo do discriminante; ∆ = b2 – 4ac ∆ = (-3)2 – 4 .2.4K ∆ = 9 – 32K a) raízes são reais e diferentes : ∆ > 0 9 – 32K >0 -32K > -9 32K < 9 k < 9 . 32 b) raízes são reais e iguais : ∆ = 0 9 – 32K = 0 - 32K = -9 32K = 9 k= 9 . 32 c) raízes não são reais: ∆ < 0 9 – 32K < 0 -32K < -9 32K > 9 K> 9 . 32 Propriedade das Raízes (Relações de Girard ) Existem, entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a , b, c, importantes relações conhecidas como relações de Girard. Soma da Raízes x1 + x2 = - b ou s = - b . 10
  • 11. a a Produto das Raízes x1 . x2 = c ou p = c . a a Exemplos: 1) Calcular a soma e o produto das raízes das equações : a) x2 + 7x + 12 = 0 S = x1 + x2 = - b . P = x1 . x2 = c . a a S = x1 + x2 = -7 P = x1 . x2 = 12 b) x2 - 2ax + a2 < 0 S = x1 + x2 = - b = + 2a a c) P = x1 . x2 = c = a2 2) Determinar o valor de K na equação 4x2 – ( K – 2 ) x + 3 para que a soma das raízes seja ¾. Temos : x1 + x2 = - b = k – 2 a 4 k - 2 = 3 . 4 k - 2 = 3 . 4 4 k–2=3 k=5 Composição de uma Equação Podemos compor uma equação do 2º grau a partir das relações de soma e de produto de suas raízes . Como x1 + x2 = - b e x1 . x2 = c, temos : a x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 . x2 = 0 ou S P X2 – Sx + p = 0 em que S é a soma e P é o produto das raízes. Exemplo: Compor a equação do 2º grau cujas raízes são 2 e 5 : x1 + x2 = 2 + 5 = 7 x1 . x2 = 2 . 5 = 10 Substituindo a soma e o produto das raízes em x2 - Sx + P = 0 , obteremos : 11
  • 12. x2 – 7x + 10 = 0 a) y2 + 3y – 4 = 0 Resp.: S = -3 e P = -4 b) x2 + 9x – 20 = 0 Resp.: S = -9 e P = -20 c) 2x2 + 5x + 2 = 0 Resp.: S = - 5 e P = 1 2 d) x2 - 7x + 10 = 0 Resp.: S = 7 e P = 10 Antes de construir o gráfico da função y = ax2 + b + c . é possível saber como será a sua concavidade . Basta observar o sinal do coeficiente a: • Se a > 0 ( a positivo ), a concavidade estará voltada para cima: a > 0 concavidade voltada para cima • Se a < 0 ( a negativo ) , a concavidade estará voltada para baixo a < 0 concavidade voltada para baixo AS RAÍZES As raízes de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eixo dos x na função do 2º grau y = ax + b + c , se y = 0 obtemos a equação ax2 + bx + c =0. Podemos, então , ter três casos: 2 • A equação tem duas raízes diferentes. A parábola, então, corta o eixo dos x em dois pontos distintos. x1 x2 Fig A : a função tem duas raízes: x1 e x2 12
  • 13. A equação tem apenas uma raiz. A parábola é, então, tangente ao eixo dos x. Fig B: a função tem uma única raiz: • A equação não tem raiz . A parábola, então, não corta o eixo dos x. x Fig C: a função não tem raízes EXEMPLO Tomemos como exemplo a função: Y = x2 – 6x + 8 Para construir seu gráfico assinalando poucos pontos, devemos inicialmente verificar se a função possui raízes. Vamos então resolver a equação x2 – 6x + 8 = 0 usando a fórmula que aprendemos: X = - ( - 6 ) ± √ ( - 6 )2 - 4 . 1 . 8 2.1 x = 6 ± √ 36 – 32 = 6 ± √ 4 = 6 ± 2 2 2 2 As raízes da nossa função são, portanto : x1 = 6 - 2 = 4 = 2 ⇒ x1 = 2 2 2 x2 = 6 + 2 = 8 = 4 ⇒ x2 = 4 2 2 Descobrimos que o gráfico da nossa função corta o eixo dos x nos pontos x1 = 2 e x2 = a e sabemos também que a parábola terá concavidade voltada para cima porque a = 1 (positivo). Basta, então, para construir a tabela, atribuir a x outros valores próximos aos que já temos. É muito importante atribuir a x o valor x1 + x2 , porque ele fica bem no meio das raízes e vai determinar o ponto mais baixo da parábola : 2 X Y 1 3 x1= 2 0 3 13
  • 14. (x1+x2)/2 = 3 -1 1 2 3 4 5 x2 = 4 0 -1 5 3 O VÉRTICE No gráfico que acabamos de construir, ponto V = ( 3, -1 ) é o vértice da parábola. Ele é o ponto mais baixo da parábola quando a > 0. 2 3 4 -1 Vértice (a > 0) No gráfico da função y = - x2 + 6x, que voce viu no início dêste assunto, o ponto ( 3 ,9) é também o vértice da parábola, que fica no ponto mais alto do gráfico, porque a < 0 . Vértice ( a < 0 ) 9 0 3 Para a construção do gráfico de uma função do 2º grau, o vértice é seu ponto mais importante. É possível encontra-lo de forma bastante simples. Chamando de xv a abscissa do vértice da parábola y = ax2 + bx + c, temos : Xv = - b . 2a Além disso, se a função possui raízes x1 e x2 podemos encontrar a abscissa do vértice determinando o seu ponto médio, ou seja : Xv = x1 + x2 2 14
  • 15. A IMAGEM Como você já sabe, a imagem de uma função é o conjunto dos valores de y que correspondem aos valores de x no domínio. Recorde essa noção observando o gráfico : y2 Gráfico da função y1 imagem y1≤ y ≤ y2 Para determinar a imagem de uma função do 2º grau (cujo domínio é o conjunto de todos os números reais ), precisamos conhecer seu vértice. Se a > 0, então o vértice é o ponto mais baixo de seu gráfico, e neste caso, a imagem da função fica assim: Observando o gráfico anterior e chamando de yv a ordenada do vértice da parábola, a imagem será o conjunto de todos os valores de y tais que y > = yv. Se a< 0, ocorre o contrário: a concavidade estará voltada para baixo e a imagem será o conjunto dos números reais tais que y < = yv . y gráfico da função imagem x yv EXEMPLO Consideremos a função y = x2 – 4x + 5 . Sabendo que ela tem concavidade votada para cima, pois a= 1 . Para fazer um esboço de seu gráfico, determinamos seu vértice. Primeiro, precisamos encontrar sua abscissa : Xv = - b = - ( - 4 ) = 2 2a 2.1 Substituímos então esse valor de x na função para encontrar a ordenada do vértice : Yv = 22 – 4 . 2 + 5 = 1 Portanto, o vértice é o ponto ( 2 , 1 ) e, como a concavidade está voltada para cima, o gráfico tem este aspecto: imagem vértice 1 2 15 x
  • 16. A imagem da função é então o conjunto dos valores de y tais que y ≥1. EXERCÍCIO 1 Faça o gráfico da função y = x2 Sugestão : Organize uma tabela atribuindo a x os valores - 2 , -1 , 0 , 1 e 2 EXERCÍCIO 2 Observe o exemplo e faça um pequeno esboço do gráfico das funções calculando o vértice da parábola e verificando sua concavidade. Exemplo: Y = x2 – 6x + 7 Vértice { xv = - b = - ( -6 ) = 3 2a 2 2.1 yv = = 3 – 6 . 3 + 7 = 9 – 18 + 7 = - 2 A MATEMÁTICA E O DINHEIRO Muita Gente pensa que a Matemática, em relação ao dinheiro, só serve para fazer troco e para calcular o total a pagar no caixa. Não é bem assim. Sem a matemática, não conseguiríamos entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, perceber os produtos que aumentaram demasiadamente de preço etc... Nesta aula, vamos conhecer as porcentagens, os juros compostos e diversas outra coisas que fazem parte do nosso dia-a-dia , como aumentos de descontos, Aconselhamos que você confira os cálculos desta aula usando uma calculadora, a qual também deverá ser usada para a resolução dos exercícios. PORCENTAGEM Vamos começar com um exemplo. Se o preço de um artigo era de R$ 4,00 e passou a ser de R$ 5,00, o aumento de preço foi de R$ 1,00 sobre um preço de R$ 4,00, e a fração que representa o aumento do preço, chamada de taca de aumento, é ¼ . comumente preferimos representar essas frações em centésimos, que são chamados de porcentos e representados por % . Como ¼ = 0,25 ou seja , 25 centésimos, a taxa de aumento do preço foi de 25%. Vejamos mais alguns exemplos. EXEMPLO 1 O preço de um artigo era de R$ 36,00 e sofreu uma diminuição de 15% . Para quanto passou ? 16
  • 17. Solução : Como 15% = 0,15, a diminuição de preço foi de 0,15 . 36 = 5,40 = R$ 30,60 EXEMPLO 2 Uma loja oferece um desconto de 20% nos preços, para pagamento à vista . Quanto custa, à vista, um artigo cujo preço é de R$ 45,00 ? Solução : O desconto é de 0,20 . 45 = 9 . O preço para pagamento à vista é R$ 45,00 – R$ 9,00 = R$ 36,00. AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e um de 20% no mês seguinte, Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o preço do produto nesses dois meses ? Essa é uma pergunta interessante, porque a maioria das pessoas pensam, erroneamente, que a taxa de aumento total foi de 30% + 20% = 50% . Se o preço do produto era de 100 (sempre podemos tomar o preço do produto) , o primeiro aumento to de 30% de 100, isto é, de 0,30 .100 = 30 o que elevou o preço do produto para 100 + 30 = 130, isto é , de 0,20 . 130 = 26, o que elevou o preço do produto para 130 + 26 = 156. O aumento total foi de 156 – 100 = 56 sobre o preço de 100. A taxa total de aumento foi de 56 = 0,56 = 56% 100 Vejamos mais alguns exemplos: Exemplo 3 O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20% . Qual foi a taxa total de desconto ? Solução: Se preço do artigo era 100, o primeiro desconto foi de 0,30 . 100 = 30, o que baixou o preço para 100 – 30 = 70 ; o segundo desconto foi de 0,20 . 70 = 14 o que mudou o preço para 70 – 14 = 56. A redução total do preço foi de 100 – 56 = 44 sobre um preço de 100. A taxa total de desconto foi de . 44 = 0,44 = 44% 100 A TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Neste capítulo vamos estudar os triângulos retângulos. Você já sabe que triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto e que , para este tipo de triângulo, há várias propriedades importantes. 17
  • 18. Dois de seus lados são perpendiculares entre si e são , portanto, alturas do triângulo, que facilita o cálculo de sua área: A = cateto . cateto 2 • Teorema de Pitágoras : ( hipotenusa ) 2 = ( cateto ) 2 + ( cateto ) 2 • Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180º, num triângulo retângulo um dos ângulos é reto (90 º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma = 90º ) . vamos descobrir como podemos estabelecer relações entre ângulos de um triângulo (ângulos agudos) e seus lados. “ será que existem tais ralações ?” É essa nossa primeira preocupação. A seguir, caso existam, serão respondidas perguntas naturais como : “ valem sempre ?” ; “como enuncia-las ?” etc. CONSTRUINDO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS SEMELHANTES Dado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar um triângulo retângulo ? X Sim. Podemos desenhar, na verdade , uma infinidade de triângulos retângulos. x Vamos anotar algumas observações sobre esses triângulos retângulos: • Para todos eles, um dos ângulos mede x. • O outro ângulo agudo mede 90º - x, pois é o complemento de x . • O terceiro ângulo, como não poderia deixar de ser, é reto. • Então todos eles possuem os mesmos ângulos. • Lembrando a aula anterior, podemos concluir que : todos estes Triângulos retângulos são semelhantes • Se são semelhantes , então seus lados são proporcionais . Podemos então afirmar que, ficando um ângulo agudo, todos os triângulos retângulos, construídos com esse ângulo serão semelhantes e, portanto, terão lados proporcionais. Observe que acabamos de descobrir que há uma relação entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo . Precisamos agora verificar como podemos enunciar esse relação mais claramente, usando linguagem matemática. a c h 18 b
  • 19. bc = ah Podemos compreender essa propriedade lembrando como se calcula a área de um triângulo. No caso do triângulo retângulo da figura acima, ela é igual a bc e também igual a ab . Portanto, é claro que bc = ah . 2 2 RELACIONANDO LADOS E ÂNGULOS Você já sabe que, em todo triângulo retângulo. Os lados são chamados hipotenusa (o maior lado ) e catetos ( lados perpendiculares ) . Precisamos, em função dos ângulo, diferenciar a nomenclatura dos catetos. Veja a figura abaixo. O cateto que fica “ em frente” ao ângulo agudo que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e o cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente. hipotenusa Cateto oposto Cateto adjacente Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e adjacente troca de posição (veja a figura ao lado), pois depende do ângulo utilizado. hipotenusa y Cateto adjacente Cateto oposto Vamos então reescrever as proporções obtidas na figura 1 usando essa nomenclatura . Em relação ao ângulo x , temos : 19
  • 20. Relações Trigonométricas As relações que acabamos de generalizar são chamadas relações trigonométricas e recebem nomes especiais. A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se : Sen x = cateto oposto . Hipotenusa A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escreve-se : Cos x = cateto adjacente . Hipotenusa A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se: tg x = cateto oposto cateto adjacente EXEMPLO 1 Você já conhece o triângulo pitagórico. Vamos obter as relações trigonométricas para um de seus ângulo agudos. Sen x= 3/5 . 0,6 Observe agora que, para qualquer outro triângulo semelhante a este, obtemos o mesmo resultado. 20
  • 21. EXEMPLO 2 Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45º Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada ? Representando a vista lateral geometricamente, podemos construir o triângulo retângulo a seguir. Usando o co-seno do ângulo de 45º que a escada forma com o muro , descobrimos o valor de x , que será o comprimento da escada. O COEFICIENTE ÂNGULAR Neste assunto iremos estudar a equação da reta que é ax + by + c =0, chamada equação geral da reta, e aprendemos a construí-la quando são dados dois de seus pontos. Seja P = ( 5 , 4 ) o ponto dado. Vamos começar fazendo um desenho da reta x + 2y – 9 = 0 . Para isso, precisamos conhecer dois de seus pontos. Como as coordenadas de P são x = 5 e y = 4, vamos aproveitar esses valores para determinar os pontos de reta que possuem essa abcissa e essa ordenada. Substituindo esses valores, um de cada vez, na equação da reta, temos: X = 5 ⇒ 5 + 2y – 9 = 0 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2 Y=4⇒x+2.4–9 =0⇒x=9-⇒8 x=1 Conseguimos então, dois pontos da reta: A = ( 5 , 2 ) e B = ( 1, 4 ) O desenho fica assim : 21
  • 22. y P 4 B d 2 A Reta x + 2y . 9 = 0 1 5 x No triângulo retângulo PAB da figura acima, conhecemos os comprimentos dos catetos: AP = 2 e BP = 4 . Para calcular a hipotenusa, aplicamos o Teorema de Pitágoras : AB2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 AB = √20 = √ 4 . 5 = 2 √ 5 Representando por d a distância do ponto à reta temos, pela relação que mostramos anteriormente: 2 . 4 = 2√ 5 . d d = 4 = 4 . √5 = 4 √5 = 1,79 √5 √5 √5 5 Finalmente, vamos apresentar uma fórmula que faz o mesmo cálculo que acabamos de realizar. O ponto dado será representado por P = ( Xn ,Yn ) e a reta por ax + by + c = 0. P = ( x0 , y0 ) d ax + by + c = 0 d = ax0 + by0 + c √a2 + b2 Observe o cálculo da distância do ponto P = (5 ,4 ) a reta x + 2y – 9 = 0 , agora usando a fórmula : d = |5+2.4–9| =|5+8–9| =4 = 4√5 √12 + 22 √5 √5 5 O resultado, como era de se esperar, é o mesmo, e essa fórmula, que não é indispensável, mostra-se bastante prática. Q Observe a figura a seguir : C X A Os triângulos ABC e APQ são semelhantes.B P Como seus lados são proporcionais, podemos escrever : 22
  • 23. AB = AP ou BC = PQ ou BC = PQ AC AQ AC AQ AB AP E se aumentarmos o ângulo x ou diminuirmos P, essas proporções se alteram .Teríamos agora: F E Q C x A B P AB = AP ou BE = PF ou BE = PE AE AF AE AF AB AP Essas proporções – que se alteram conforme o ângulo varia - confirmam nossa suspeita de que há uma relação entre lados e ângulos agudos de um triângulo retângulo tais relações recebem nomes especiais como veremos ainda nesta aula. Repare inicialmente que essa equação pode ser escrita de outra forma deixando a letra Y isolada do lado esquerdo da equação. Quando fazemos isso obtemos uma expressão chamada equação reduzida da reta, que nada mais é do que a nossa conhecida função do 1º grua . Observe o exemplo a seguir. EXEMPLO 1 Escrever a equação 2x – 3y + 3 = 0 na forma reduzida. Solução: Vamos trabalhar a equação dada para deixar a letra Y sozinha do lado esquerdo: 2x – 3y + 3 = 0 -3y = - 2x – 3 3y = 2x + 3 y = 2x + 3 . 3 3 y = 2x + 1 3 Aí esta . Essa é a equação reduzida da reta. Ela tem a forma y = mx + p , onde, no nosso exemplo, m = 2/3 e p = 1 Observe o significado desses números m e p diretamente na equação que serviu de exemplo . Repare que. Y = 2x + 1 23
  • 24. 3 se x = 0 então y = 1 se x = 3 então y = 3 com esses dois pontos, podemos fazer o gráfico da reta. Veja que a reta corta o eixo dos y no ponto y = 1 e que a tangente do ângulo que ela faz com a direção horizontal é 2/1 (cateto oposto sobre cateto adjacente) De forma geral, na equação y = mx = p, o número p, chamado coeficiente linear, e o ponto onde a reta corta o eixo dos y. O número m, chamado do coeficiente angular é a tangente do ângulo que a reta forma com a direção horizontal. Se o coeficiente angular for positivo, a reta representará uma função crescente. Se for negativo, representará uma função decrescente. GRÁFICOS DE y = mx + p Observe, nos exemplos seguintes, que podemos determinar a equação reduzida da reta quando conhecemos os coeficientes angular e linear. M= 4 . (coeficiente angular) 24
  • 25. 3 p = -2 ( coeficiente linear ) Equação reduzida da reta : Y = 4x - 2 3 m= - 2 . ( coeficiente angular ) 5 p=7 (coeficiente linear) Equação reduzida da reta Y = - 2x + 7 5 Devemos enfatizar que o coeficiente angular representa o valor que a função cresce 9 (ou decresce ) quando x aumenta uma unidade. No gráfico a seguir, representamos a função y = mx + p . Nele, você pode notar que, quando x assume valores inteiros, os valores de y formam uma progressão aritmética de razão m. Quando x aumenta uma unidade, y aumenta m unidade . A FÓRMULA DO COEFICIENTE ANGULAR 25
  • 26. Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois quaisquer de seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos pontos (x1, y1 ) e ( x2 , Y 2 ). O triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 – y 1 e o cateto horizontal igual a x2 – x1 . Dividindo o cateto vertical pelo horizontal, obtemos a fórmula do coeficiente angular. Tga = m = y2-y1 x2 – x1 RESOLVENDO PROBLEMAS COM LOGARITMOS Vamos lembrar que quando escrevemos, por exemplo, log2=0,301, significa que 100,301 = 2 . Usamos aqui sempre a base 10 e, por isso, os nossos logaritmos são chamados decimais. Existem também logaritmos em outras bases. Por exemplo, a igualdade 25=32 significa que o logaritmo de 32 na base 2 é igual a 5. como a teoria básica dos logaritmos é a mesma em qualquer base, continuaremos nosso estudo tratando apenas do logaritmos decimais . São eles que aparecem nas tábuas dos livros didáticos e nas calculadoras cientificas. EXEMPLO 1 Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$2,00 que dobraria a cada dia de atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais ? Solução : A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena , se o atraso no pagamento for de pouco dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x . Veja; 1 dia de atraso ⇒ x = 1 ⇒ multa = 21 = 2 2 dias de atraso ⇒ x = 2 ⇒ multa = 22 = 4 3 dias de atraso ⇒ x = 3 ⇒ multa = 23 = 8 e assim por diante. Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica, Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação: 26
  • 27. 2x = 1.000.000 para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados: log2x = log 1.000.000 log 2x = log 106 Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência: X . log 2 = 6 . log 10 Como log 10 = 1 e sabendo que log 2 = 0,301, temos : X . 0,301 = 6 X = 6 = 19,93 0,301 Assim, concluímos que no 20º dias de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais. Veja outro exemplo que necessita do cálculo pela tábua de logaritmos. EXEMPLO 2 Se log x= 1,6395, determine x. Solução: Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a característica e a mantissa . A característica é o número que está antes da virgular e a mantissa é o número que aparece depois da vírgula. A tábua de logaritmos apresentada na aula passada nos dá apenas as mantissas , mas a característica nos dá a seguinte informação : Números Característica Entre 1 e 9 0 Entre 1 e 9 1 Entre 1000 e 999 2 Entre 1000 e 999 3 Como log x = 1,6395 tem característica 1 . Então, sabemos que o número x está entre 10 e 99 . Assim, procuramos a mantissa 6395 na tábua. TÁBUA DE LOGARÍTMOS 27
  • 28. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 6021 6021 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 41 6128 6128 6149 6163 6170 6180 6291 6201 6212 6222 42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 43 6335 6345 6355 6365 6345 6385 6395 6405 6415 6425 44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6193 6503 6513 6522 Uma vez encontrada a mantissa, vamos que na coluna da esquerda está o número 43 e na linha de cima o número 6. Juntando esse números, formamos o número 436, faltando apenas colocar a vírgula no lugar certo. Como o nosso número está entre 10 e 9+9 , então x = 43,6. EXEMPLO 3 Um construtor deseja fazer um reservatório de água para conter 5000 litros e que tenha a forma de um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo? Solução: Um cubo é uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais. O volume de uma caixa é o produto de suas dimensões: comprimento x largura x altura. Logo, se o lado do cubo mede a, seu volume será a . a . a = a3. Por outro lado, sabemos que 1m3 é igual a 1000 litros . Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume será 5m3. Devemos então resolver a equação: a3 = 5 O valor de a será a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e, em seguida, a propriedade da potência temos : Log a3 = log 5 3 . log a = log 5 Na tábua de logaritmos encontramos log 5 = 0,699. Logo: 3 . log a = 0,699 3 . log a = 0,699 . => log a = 0,233 3 28
  • 29. Como agora sabemos que o logaritmo de a é igual a 0,233, vamos procurar na tábua de logaritmos a mantissa 233. Encontrando a mantissa 2330, verificamos que à esquerda existe o número 17 e acima o número 1. Juntando esses algarismos formamos o número 171. Falta apenas colocar a virgula no lugar correto. Repare que calculamos log a = 0,233. Esse número possui característica 0, ou seja , o valor de a está entre 1 e 9 . Portanto , o valor do lado do cubo é 1,71 m. Dessa forma, o construtor saberá que construindo um reservatório de água com a forma de um cubo de 1,71 m de lado, ele terá a capacidade de conter 5000 litros de água. LOGARITMOS Considere um número a ( positivo e diferente de 1 ) , e um número b na base a ao expoente x que se deve dar à base a de tal modo que a potência obtida seja igual a b : b = ax ⇔ log a b = x forma exponencial forma logarítmica onde: b é o logaritmando a é a base x é o logaritmo Exemplos: * log10 100 = 2 , pois 102 = 100 * log 327 = 3 , pois 33 = 27 * log31= 0 , pois 30 = 1 Observação : Não existe, por exemplo, log2( -4 ) . Lembre-se de que a equação 2x = - 4 não tem solução para X E R. Conseqüência da definição: Loga1 = 0 Logaa = 1 Log aam = m Log ba = log ca ⇔b=c 29
  • 30. Aplicação: 1. Calcular log41, log55,log5125 a) log41 = 0 b) log55 = 1 c) log5125 = log553 = 3 2. Sabendo que loga12 = log ax + 3 , calcule x : Usando a propriedade de logaritmos, teremos: X + 3 = 12 X = 12 – 3 X=9 3. Determine o logaritmo de √ 8 na base 2 : Solução: Log2 √ 8 = log2 √ 23 = log 223/2 = 3/2 4. Resolva a equação log23x – 2 = 3 Solução : log23x – 2 = 3 ⇒ 3x – 2 = 23 ⇒ 3x – 2 = 8 ⇒ 3x = 10 ⇒ x = 10/3 5. Calcule loga9 = 2 Solução : Loga9=2 a2 = 9 a= ± 3 note que a = -3 também é solução de a2 = 9 , mas como a base tem que ser sempre positiva, só serve o valor a = 3 como resposta . 6 . Para que valores de x exista , o logaritmando deve ser sempre positivo. Neste caso o logaritmando é 3x +2. Logo ; 3x + 2 > 0 3x > - 2 x > - 2/3 30
  • 31. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS * 1ª Propriedade: Consideremos por exemplo, log24.8 Log24 = 2 Sabemos que : Log28 = 3 Teremos, então : Log24.8 = log24 + log28 = 2 + 3 = 5 Podemos concluir que : Logab.c = logab + logac Observe os seguintes exercícios aplicado a propriedade: 1 . Se a soma dos logaritmos de dois números , na base 2 , é 5, determine o produto desses números. Solução: Sejam x e y esses números temos então : Log2x + log2y = 5 Log 2x.y = log 2x + log 2 y Logo : log 2x . y = 5 x . y = 25 x . y = 32 O produto dos números é 32. 2. Resolva a equação: log2( x + 2 ) 9+ log2 ( x – 2 ) = 5 C.E. x + 2 > 0 ⇒ x - 2 > 0 Solução : log2 ( x + 2 ).( x – 2 ) = 25 x2 – 4 = 32 x 2 = 36 x±6 verificando : para x = 6 para x= - 6 x+2>0 6+2>0(v) -6+2>0(f) x–2>0 6–2>0(v) -6–2>0(f) => s={6} 31
  • 32. *2ª Propriedade : Consideremos log2 2/16 log22 = 1 sabemos que log216 = 4 teremos, então : log2 2/16 = log22 – log216 = 1 – 4 ( 4 ) = -3 podemos concluir que : loga b/c = log b – log c Exemplos: 1. sendo log ab = 2 e logac = 3, determine loga b/c solução : logab/c = log ab - logac = 2 – 3 = -1 loga b/c = - 1 2. Resolva a equação : log2x2 + 1 – log2 x = 1 . Solução : 32
  • 33. 3ª Propriedade : Consideramos o seguinte exemplo : MUDANÇA DE BASE : Efetuamos a mudança de um logaritmo de base a para um logaritmo de base c, através da fórmula : Logab = logcb . log ca 33
  • 34. EXEMPLO : 1)mudar para base 2 os logaritmos : EXERCÍCIO 1.) Calcule, aplicando a definição de logaritmo : 2.) Dê o valor de: 34
  • 35. 3.) Resolva as equações : 4.) Sendo logba = 4 e logbc = 1 , encontre o valor de : 5.) Determine o conjunto solução das equações : 6.) Sendo log2 = 0,3 , log3 = 0,4 e log5 = 0,7 , calcule : SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA SUCESSÃO NUMÉRICA Sucessão ou seqüência é todo conjunto em que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. Uma seqüência numérica pode ser finita ou infinita. EXEMPLO: (1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) ú uma seqüência finita. (-2, 4, 6 , ... ) é uma seqüência infinita PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 35
  • 36. Quando escrevemos qualquer quantidade de números, um após o outro, temos o que chamamos de seqüência. As seqüências são , freqüentemente, resultado da observação de um determinado fato ou fenômeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa da cidade de Magé ( Rio de Janeiro ) tenha anotado as temperaturas máximas em cada dia do mês de abril de 1995. O resultado pode ser visto na seguinte tabela : DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... TEMPERATURA 31 32 32 29 31 34 33 34 26 25 28 27 30 29 ... MÁXIMA ( ºC ) Na linha de cima, temos a seqüência dos dias e, na de baixo, a seqüência das temperaturas. Nessa seqüência, dizemos que o primeiro termo é 31, o segundo termo é 32, o sexto termo é 34. É conveniente representar cada termo de uma seqüência pela letra a , seguida de um índice que indica a sua ordem. Assim, na seqüência das temperaturas, temos: a1 = 31 a2 = 32 a6 = 34 a9 = 26 etc Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqüência, escrevemos an. Assim, no exemplo que acabamos de dar, an representa a temperatura máxima registrada no dia n. Para que você entenda bem o significado desta última frase, e de outras do mesmo tipo, substitua n por números naturais: 1 , 2 , 3 etc . Fazendo isso, você obtém as seguintes frases : • a1 representa a temperatura máxima registrada no dia 1 : • a2 representa a temperatura máxima registrada no dia 2 ; e assim por diante. Você pode usar as seqüências para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica em cada mês, o número de telefonemas que você dá por dia, a taxa de inflação mensal, etc. Nesta aula e nas próximas, vamos estudar certas seqüências muito especiais. Por sua regularidade, conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüência na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentado sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 7 e acrescentar 3, diversas vezes : 7 10 13 16 19 22 +3 +3 +3 +3 +3 O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão ( R) portanto, nesse exemplo, temos: a1 = 7 e R = 3 Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação : 36
  • 37. 3,7,11,15,19,23... temos R = 4. É uma progressão crescente. • 9,7,5,3,1,-1,-3,-5,... temos R = -2 é uma progressão decrescente. • 4,4,4,4,4,4,4,... temos R = 0 . é uma progressão estacionária. Dada uma progressão aritmética, como calculamos sua razão ? Pense ! Não é difícil. Como a razão é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que : “A razão de uma progressão aritmética é a diferença entre qualquer termo e o anterior.” Assim, retomando os três últimos exemplos, temos Na 1º progressão : R = 7 – 3 = 7 R = 11 – 7 = 4 R = 15 – 11 = 4 etc. Na 2º progressão : R = 7 – 9 = - 2 R = 5 – 7 = - 2 etc. Na 3º progressão : R = 4 - 4 = 0 Passamos então a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progressão aritmética ( de agora em diante representada por PA ) de razão R : a1 a2 a3 a4 a5 a6 an +R +R +R +R +R +R +R Suponha que você conheça o primeiro termo ( a1 ), e a razão ( R ) . Como faremos para calcular qualquer outro termo ? Observe as igualdades. a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r a5 = a1 + 4r Vemos então que, para calcular um termo qualquer ( an ) é preciso somar ao 1º termo . n – 1 vezes a razão. Ou seja : 37
  • 38. Fórmula do Termo Geral an = a1 + ( n – 1 ) r Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que você está no 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º Quantos degraus deve subir ? É claro que são 9. Se você está no 1º degrau e deseja chegar ao 25º quantos deve subir ? Deve subir 24, lógico. Então, para chegar ao degrau número n. devemos subir n – 1 degraus. Observe a aplicação dessa fórmula nos exemplos seguintes: Exemplo Qual é o trigésimo ( 30º ) termo da progressão aritmética : 10,17,24,31,38,...? Solução. A razão da progressão é R = 17 – 10 = 7 e o primeiro termo é a1 = 10 . Desejamos calcular o trigésimo termo, ou seja a30. A partir da fórmula do termo geral : an = a1 – ( n – 1 ) r Substituindo a letra n por 30, obtemos : Daí, a30 = a1 + ( 30 – 1 )r a30 = 10 + 29 . 7 a30 = 213 Portanto, o trigésimo termo da progressão dada é 213. EXEMPLO Um aluno escreveu todos o número ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu ? Solução. A progressão desse exemplo é a seguinte: 17,19,21,23,...63. O primeiro termo é 17. o último termo pe 63 e a razão e 2. Escrevemos então: a1 = 17 an =63 r=2 Substituindo esse valores na fórmula do termo geral calcularmos n que é o número de termos da progressão : an = a1 + (n – 1) r 63 = 17 + (n – 1) 2 38
  • 39. 46 . 17 = 2n - 2 46 = 2n - 2 48 = 2n n = 24 A progressão tem, portanto, 24 termos EXEMPLO Em janeiro de certo ano, João estava ganhando R$ 70,00 por mês. Seu patrão prometeu aumentar seu salário em R$ 4,00 todos os meses. Quanto João estará ganhando em dezembro do ano seguinte ? Solução: se o salário de João aumenta R$ 4,00 todos os meses, então a seqüência dos salários é uma progressão aritmética de razão 4. Vamos organizá-la assim: Usando a fórmula do termo geral, temos : a24 = a1 + 23r a24 = 70 + 23 . 4 a24 = 70 + 92 a24 = 162 Portanto, com esses pequenos aumentos mensais , João estará ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 162,00. ALGUMAS PROPRIEDADES DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA O GRÁFICO Podemos visualizar os termos de uma progressão aritmética por meio de um gráfico com este: Os valores dos termos são representados pelas barras verticais que formam o desenho de uma escada . Nessa escada, a altura de cada degrau é a razão da progressão aritmética. UMA OUTRA FÓRMULA 39
  • 40. Se você está no 6º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º, quantos degraus deve subir ? A resposta é simples : 4 degraus . Podemos escrever isso em linguagem matemática.a10 = a6 + 4r De modo geral , se estamos no degrau de número n e desejamos chegar ao degrau de número m, devemos subir m – n degraus. A nossa nova fórmula, que relaciona dois termos quaisquer, é então a seguinte: am = na + ( m – n ) r EXEMPLO Todos os anos, uma fábrica aumenta a produção, em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1.460 e no 8º ano, 1940. Quantas peças ela produziu no primeiro ano de funcionamento? Devemos calcular a1 ou seja, a produção inicial. Tememos então nossa última fórmula: am = na + (m- n ) r e façamos m = 8 e n = 5. ela fica assim: a8 = a5 + ( 8 – 5 ) r substituindo os valores conhecidos, temos : 1.940 = 1.460 + 3r 1.940 – 1.460 = 3r r = 160 Sabemos agora que a razão é 160, ou seja, a produção da fábrica aumenta em 160 peças a cada ano. Para calcular o primeiro termo da progressão . façamos m = 5 e n = 1 na fórmula que estamos usando. Ela fica assim: a5 = a1 + (5 – 1 ) r ou a5 = a1 + 4r como os valores de a5 e R são conhecidos, podemos fazer às substituições 1.460 = a1 + 4 . 160 1.460 = a1 + 640 1.460 – 640 = a1 a1 = 820 concluímos então que, no primeiro ano de funcionamento, essa fábrica produziu 820 peças. Para terminar, repare que temos duas fórmulas, muito parecidas, para relacionar dois termos de uma progressão aritmética e sua razão. A segundo é mais geral. Ela é capaz de calcular qualquer termo de uma PA se você conhece a razão e, também, um outro termo qualquer. SOMANDO OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA 40
  • 41. No assunto anterior, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos e a razão. Nesta aula, vamos aprender a somar rapidamente qualquer quantidade de termos de uma PA. Deduziremos a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética usando a mesma idéia que um menino de 10 anos teve no ano de 1787. Esse menino, que se tornou um dos maiores matemáticos de todos os tempos, chamava-se Carl Friedrich Gauss, e uma pequena parte de sua história é a que relatamos a seguir. O menino Gauss era alemão e vivia na cidade de Brunswick, onde, aos 10 anos, freqüentava a escola local. Certo dia, para manter a classe ocupada, o professor mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100. Mas para sua enorme surpresa, o pequeno Gauss anunciou a resposta quase imediatamente : “Dá 5.050”, Vamos mostrar como ele calculou “ de cabeça” a soma : 1 + 2 + 3 + ... + 100 primeiro vamos representar por S essa soma. Depois, escrevemos a mesma soma na ordem inversa e, em seguida , somamos as duas, termos a termo. S= 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + .... + 3 +2 + 1 2S=101 + 101 + 101 + ....+101 + 101 + 101 assim, duas vezes S é igual à soma de 100 parcelas, todas iguais a 101 . logo: 2S = 100 . 101 2S = 10.100 S = 5.050 Não há dúvida de que esse episódio da vida do menino Gauss nos mostra uma idéia brilhante . Vamos aproveita-la para deduzir a fórmula da soma dos termos de qualquer progressão aritmética. Como vimos na aula passada, podemos imaginar os termos de uma progressão aritmética como os degraus de uma escada . Veja uma de sete degraus , por exemplo. Agora, como faremos para calcular a soma das alturas de todos os degraus ? 41
  • 42. Podemos usar a idéia do menino Gauss. Vamos considerar duas escadas iguais e encaixar uma na outra, como mostra o desenho a seguir Observando o desenho, vemos que a1 + a7 é igual a a2 + a8 que é igual a a3 + a9 e assim por diante. Temos então: S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 S = a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 Somando as duas igualdades, obtemos , do lado esquerdo, 2S e, do lado direito, 7 vezes a1 + a ... Logo : 2S = (a1 + a7 ) . 7 S = (a1 . a 7 ) 7 2 O raciocino utilizado para obter a soma dos 7 temos da progressão que nos serviu de exemplo pode ser aplicado a qualquer outra. Portanto, se uma progressão tiver n termos, a soma de todos eles será : Sn = ( a1 + an ) . n 2 Nesta fórmula , é bom lembrar que : a1 é o primeiro termo, an = é o último termo, n = é o número de termos. EXEMPLO Calcule a soma dos 30 primeiros números impares. Solução : Os números ímpares são : 1 , 3 ,5 , 7, 9 , 11 , ... 42
  • 43. Eles formam uma progressão aritmética de razão 2. Para calcular o trigésimo ( 30º ) termo dessa progressão, precisamos usar a fórmula an = a1 + ( n – 1 ) r que aprendemos na aula passada. Substituindo então n por 30. obtemos : a30 = a1 + ( 30 – 1 ) r a30 = 1 + 29 . 2 a30 = 59 vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética fazendo também n = 30 S = ( a1 + a30 ) 30 2 Substituindo os valores do primeiro e do último termo, temos: S = ( 1 + 59 ) . 30 = 60 . 30 = 900 2 2 concluímos então que a soma dos 30 primeiros números ímpares é :1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + .... + 59 = 900 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Neste assunto, vamos abordar outra importante seqüência: a progressão geométrica. É possível que você já tenha ouvido alguém preocupado com o número de habitantes do nosso planeta dizer a seguinte frase: “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população mundial cresce em progressão geométrica”. O que essa frase significa ? A primeira parte da frase diz que o aumento da produção de alimentos é constante, ou seja, a cada ano aumenta do mesmo valor. A segunda parte da frase fala de uma seqüência cujo crescimento é cada vez mais rápido. Para que você tenha uma primeira idéia do que vamos estudar, mostramos, no desenho seguinte, alguns termos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica, situados sobre uma régua. Observe o crescimento, cada vez mais rápido , da progressão geométrica. Progressão geométrica (ou simplesmente PG ) é uma seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo. Fornece o próximo elemento da seqüência. Esse número fixo chama-se razão, e os elementos da seqüência são os termos da progressão geométrica. 43
  • 44. Por exemplo, vamos obter os termos de uma progressão geométrica de razão 2, partindo do número 3 . 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1.536... x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 ... Observe como o crescimento é rápido. Os termos da progressão geométrica são representados, como em qualquer seqüência, por a1, a2 , a3 , ......, an e a razão será representada pela letra q . Assim, no exemplo anterior , temos a 1 = 3 , a2 = 6, a3 = 12 etc. e q = 2 . Se cada termo da PG multiplicado pela razão dá o termo seguinte, então podemos afirmar que : A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior. No nosso estudo, vamos considerar apenas progressões geométricas de termos positivos. São as que têm interesse prático e ocorrem em diversos fenômenos naturais. Observe três exemplos que mostram a classificação das progressões geométricas: a1 = 2 , q = 5 PG : 2, 10 ,50 ,250, 1.250, ... É uma progressão crescente. a1 = 8 , q =1/2 PG : 8, 4 , 2 , 1 , ½ , ¼ ... É uma progressão decrescente . a1 = 3, q = 1 PG : 3, 3 , 3 , 3 , 3 , 3, .... É uma progressão estacionária. Pelo que vimos acima, concluímos que, se a razão for maior que 1, a progressão geométrica é crescente e, se a razão for um numero entre 0 e 1 , a progressão é decrescente . Vamos agora obter uma fórmula para determinar qualquer termo de uma PG a partir do primeiro termo e da razão. Observe então uma progressão geométrica qualquer: a1 a2 a3 a4 a5...... an xq xq xq xq xq .... A partir da definição de PG, temos que a2 = a1 . q O terceiro termo é a3 = a2 . q = a1 . q = a1 . q . q = a1 . q2. O quarto termo é a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3 e assim por diante. 44
  • 45. a2 = a1 . q a4 = a1 . q3 a3 = a1 . q2 a5 = a1 . q4 Para obter então o termo de ordem n, devemos multiplicar o primeiro termo pela razão n – 1 vezes, ou seja: Fórmula do termo geral an = a1 . qn-1 EXEMPLO Determinar o 12º termo da PG 7, 14 , 28 .... Como a razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior, temos que: q = 14 = 2 7 para calcular o 12º termo dessa progressão, substituímos n por 12 na fórmula do termo geral . Temos então: a12 = a1 . q11 Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos: a12 = 7 . 211 a12 = 7 . 2.048 = 14.336 EXEMPLO Existem bactéria que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 8 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas ela serão 12 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido? Solução: A população de bactéria forma uma progressão geométrica: Momento inicial ⇒ a1 = 1 1 hora depois ⇒ a2 = 8 2 horas depois ⇒ a3 = 34 Vemos então que, 12 horas depois, devemos calcular o 13º termo da progressão geométrica com a1 = 1 e q = 8 . Aplicando novamente a fórmula do termo geral, com n=13, temos: a13 = a1 . q12 substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos : a13 = 1. 812 Esse resultado dá o incrível número 68.719.476.736, ou seja, mais de 68 bilhões de bactérias ! 45
  • 46. Resolva a equação com que o primeiro membro representa a soma dos termos e uma PG infinita : 80x + 40x + 20x + .... = 320 . Solução : a1 = 80x q = 40x = 1 . 80x 2 S = a1 . 1- q 320 = 80x 160 = 8x ⇒ x = 2 S{2 } 1/2 1. Encontre o termo geral da P.G.(1.5,...) Resp.: an =5 2. Determine o número de termos da P.G. (1,2,....,256). Resp.: 9 3. Numa P.G. de razão 4, os termos extremos são 3 e 768. Calcule o número de termos . Resp.: n = 5 4.Interpole três meios geométricos entre 4 e 324. Resp.: (4,12,36,106,324) 5. Interpole quatro meios geométricos entre 1/18 e 432. Resp.: (1/18, 1/3 , 2, 12, 72, 432 ) 6. Calcule a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (√3, √3, √3,....) Resp.: 5√3 7. Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,3,9,27...) Resp.: S10 = 29524 8. Calcule a soma dos termos da P.G. (2,1,1/2 ,1/4,...) Resp.: S = 4 9. Resolva as equações : a) x + x + x + ... = 81 S = {54 } 3 9 46
  • 47. b) x2 - x2 + x2 - x2 .... = 6 S = {-3, 3 } 2 4 8 MATRIZES Matrizes são tabelas de números dispostos em linhas e colunas. MATRIZ DO TIPO ( m x n ): Denominamos matriz do tipo ( m x n) à matriz que tem m linhas e n colunas. () Exemplo: -1 2 3 4 0 3 3x2 a matriz é do tipo 3x2, pois tem 3 linhas e 2 colunas. As matrizes podem ser representadas das seguintes formas: • Através de parênteses ( ). • Através de colchetes [ ] . • Através de barras duplas || ||. Para dar nome às matrizes usamos letra maiúsculas. Os elementos de uma matriz são representados por letras minúsculas, acompanhada por índices, i e j , que indicam a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento da matriz: a i j coluna linha EXEMPLO: ( ) Á matriz -1 0 3 2 1 4 vamos associar a matriz ( A = a11 a12 a13 ) a21 a22 a23 então : a11 = -1, a12 = 0 , a13 = 3, a21 = 2 , a22 = 1 e a23 = 4 Uma matriz pode ser genericamente representada : 47
  • 48. lei de formação: A = (aij ) m x n Exemplos : escreva a matriz A = (aij ) 3x2 tal que aij = 2i – j. Solução: a matriz 3 x 2 é do tipo ( ) a11 a12 a21 a22 a31 a32 para obtermos o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores de i e j na lei de formação aij = 2 i – j. Desta forma, teremos : a11 = 2 . 1 – 1= 1 a21 = 2 . 2 – 1 = 3 a31 = 2 . 3 – 1 = 5 a12 = 2 . 1 – 2 = 0 a22 = 2 . 2 – 2 = 2 a32 = 2 . 3 – 2 = 4 () portanto, 1 0 A= 3 2 5 4 MATRIZ LINHA : É a matriz que possui apenas uma linha. EXEMPLO: A = ( 3 -1 2 ) é a matriz linha ( 1 x 3 ) MATRIZ COLUNA: E a matriz que possui apenas uma coluna. Exemplos: A= () 3 -2 é a matriz coluna ( 2 x 1 ) MATRIZ QUADRADA : É a matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas, isto é , m = n. ( ) a) 2 4 -1 3 2x2 matriz quadrada de ordem 2 48
  • 49. ( ) b) 1 3 0 2 1 5 4 3 2 3x3 matriz quadra de ordem 3 DIAGONAL PRINCIPAL DIAGONAL SECUNDÁRIA Diagonal principal: formada pelos elementos ( a11, a22, a23 ) com i = j Diagonal secundária: formada pelos elementos ( a13,a22,a31). É toda matriz cujos elementos da diagonal principal são iguais à unidade, Será indicada por In, onde n é a ordem da matriz. EXEMPLO: ( ) 1 0 0 In = 0 1 0 0 0 1 1 – Sabendo que a matriz C abaixo é nula, determine os valores de a e b . ( ) C= 2a + 4 0 0 3-y Solução: para matriz C dada seja nula, devemos ter: 2a + 4 = 0 ⇒ -4 ⇒ a = -2 3 – y = 0 ⇒ - y = -3 ⇒ y = 3 duas matrizes A e B de mesma ordem, são iguais se seus elementos correspondentes forem iguais . 49
  • 50. EXEMPLOS: 1) sejam as matrizes ( ) A= 3 2 3 -4 1 5 e Determine x, y e z para que A = B. B= ( ) 3x 3 + 3z 3 1 -y 5 Solução: 3x = 2 ⇒ x = 2/3 -y = - 4 ⇒ y = 4 3 + 3z = 3 ⇒ 3z = 0 ⇒ z = 0 2) Dadas as matrizes A = 2 Solução : ()() 3 x -y 6 e B= 2 3 2 x+y , determine x e y para A = B x–y = 2 x+y = 6 2x = 8 x=4 Substituindo x = 4 em x – y = 2, obtemos y = 2. Portanto x = 4 e y = 2. SOMA Considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, denominamos matriz soma de A e B à matriz C = A + B, do mesmo tipo que A e B, de tal forma que cada um de seus elementos seja igual à soma dos elementos correspondentes nas matrizes A e B. EXEMPLO: () () Se A = -2 4 3 2 e B = 3 -1 5 -3 ( ) () A+ B= -2 + 3 3+5 4–1 2 – 3 , portanto , A + B= 1 3 8 -1 50
  • 51. SUBTRAÇÃO: Matriz Oposta: dada a matriz A, denomina-se matriz oposta de A a matriz –A, cujo elemento da linha i e da coluna j é o oposto do elemento que está na linha i e na coluna j da matriz A. EXEMPLO: ( ) ( ) 4 -3 2 -4 3 -2 Se A = 0 1 -5 , então sua oposta é –A= 0 -1 5 3 -1 2 3 1 -2 considerando duas matrizes A e B, do mesmo tipo, subtrai-se a matriz B da matriz A que equivale à soma da matriz A com a matriz oposta a B , isto é: A – B = A + ( - B ). EXEMPLO: ( ) () Dada a matriz A = -1 4 3 -2 e B= 5 2 , determine A – B . -1 4 Solução : ( ) ( )( ) -1 4 3 -2 + -5 -2 1 -4 = -6 2 4 -6 -B considerando um número real K e uma matriz A (m x n ), multiplicar o número K pela matriz A significa multiplicar todos os elementos da matriz A pelo número K. EXEMPLO : Considere a matriz A = - 2 4 ( ) 1 -3 e o número real K = 3 solução: ( )( ) 3A =3. -2 4 1 -3 ⇒ -6 3 12 -9 A operação de multiplicação é efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto é,cada elemento de uma linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em seguida, os produtos são adicionados. Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. A m x n . Bn x p = A . Bm x p. 51
  • 52. EXEMPLO: Dadas as matrizes A= ( ) ( ) 2 -1 0 3 e B = -1 3 0 1 2 -1 determine AxB. Solução: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, Se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I , dizemos que a matriz B é a matriz inversa de A, e indicamos por A-1. EXEMPLO: Determinar a inversa da matriz A= ( ) 3 1 4 0 Solução : seja A –1 = I2 sabemos que A-1 = a b () c d ( )( ) 3 1 0 4 a c b = 1 d 0 1 0 ⇒ ( 3a + 4c a )( ) 3b + 4d = b 1 0 0 1 pela igualdade de matrizes, teremos os sistemas: 3a + 4c = 1 3b + 4d = 0 a=0 b=1 3 . 0 + 4c = 1 ⇒ 4c = 1 ⇒ c = 1/4 3 . 1 + 4d = 0 ⇒ 4d = 3 ⇒ d = - 3 /4 ( ) Portanto : A –1= 0 1/4 1 -3/4 ( ) 1. Dada a matriz A = 1 -1 -4 2 , determinar a oposta de A 52
  • 53. 2. classificar as matrizes dadas quanto ao tipo e à ordem: ( ) ( ) a) A = 1 3 b) -2 1 0 0 0 3 4 -1 () c) ( 2 4 5 ) d) A= 2 3 -1 3. sendo A = ( )( ) -4 1 0 1 2 3 e B= 3 0 4 2 -1 1 , calcule: a) A + B b) A - B c) B - A 4. Dadas as matrizes A= () ( ) 1 2 0 3 e b= 4 -1 , determinar : 0 2 a) 1/3 b) –3B c)2A - 3B d)2At + 3Bt 5. Dada a matriz A= -2 ( ) 4 5 -1 , calcule o produto A . At 6. Efetue os produtos : ( )( ) ( )( ) a) 5 1 . 4 2 3 d) 1 3 . 4 2 -3 1 1 1 2 4 3 3 5 ( )( ) b) 1 3 4 2 . 2 5 4 3 () ( e) 1 4 3 2 . 1 2 0 6 ) 5 3 6 -1 () c) (1 5 8 ) . 0 1 3 Seja A matriz quadrada de segunda ordem A = ( a11 a21 a12 ) a22 53
  • 54. Denomina-se determinante associado à matriz A o número obtido pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.. Representa-se em determinante de segunda ordem por: det | | A = a11 a12 = a11 . a22 - a21 . a12 a21 a22 EXEMPLOS: 1) Dê o valor do determinante -2 | | 3 1 4 Solução : | | -2 3 1 = ( -2 ) . 4 – 3 4 1 = - 8 - 3 = - 11 2) | x- 2 4 | -1 3 = 0 Solução : | X–2 4 | 1 3 = 0 3(x–2)–4(-1) = 0 3x – 6 + 4 = 0 3x - 6 + 4 = 0 3x = 2 x= 2/3 S + 2/3 Regra de Sarrus: | | Seja a matriz A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 54
  • 55. anota-se a matriz dada e repete-se, à direita , a primeira e a segunda colunas, conforme o esquema abaixo: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 - - - + + + multiplicando os elementos segundo cada diagonal e associando aos produtos o sinal indicado, teremos : det A= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33 EXEMPLO : Calcular o determinante da matriz A , sendo | | A= 1 -1 0 2 3 1 -2 0 4 Solução A= 1 -1 0 1 -1 2 3 1 2 3 -2 0 4 -2 0 MENOR COMPLEMENTAR: Chama-se menor complementar Dij relativo a um elemento aij da matriz A o determinante associado à matriz quadrada de segunda ordem, obtida em A, e que se obtém eliminando, em A, a linha e a coluna em que se encontra o elemento considerado. EXEMPLO: | | Seja a matriz A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 | | | | a11 – a12 – a13 D11 = a22 a23 eliminando a 1ª linha a 1º coluna a21 a23 a23 a32 a33 eliminando a 2ª linha a 3ª coluna a31 a32 a33 D23 = a11 a12 a21 a32 55
  • 56. COFATOR Chama-se cofator de aij o número real que se obtém multiplicando ( - 1 ) ij pelo menor complementar de aij Aij = ( - 1 ) i + j . Dij em que Aij é cofator Da matriz anterior temos : 1ª linha 1ª coluna A11 = ( - 1 ) i + j . D11 = a22 a23 a32 a33 A23 = ( - 1 ) 2 + 3 . D 23 = a11 a12 a31 a32 Dada a matriz A = - 1 0 2 3 -1 1 , calcule : 4 -2 1 a) A11 b)A32 Solução : a) A = -1 0 2 3 -1 1 4 -2 1 a) Aij = ( - 1 ) i + j . Dij A11 = ( - 1 ) 1 + 1 . D 11 A11 = 1 . -1 1 -2 1 A11 = 1 Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir: b) A = -1 0 2 3 -1 1 4 -2 1 56
  • 57. A32 = ( - 1 ) 3 + 2 . - 1 2 3 1 Seja matriz quadrada de ordem n indicada a seguir a11 a12 ... an a21 a22 ... a2n a31 a32 ... a3n am1 am2 amn o determinante desta matriz é dado por : det = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ... ainAin EXEMPLO : Calcular o determinante da matriz A, sendo : A= 2 -1 3 0 4 5 6 -2 1 Solução: Para se aplicar esse método escolhe-se uma linha ou uma coluna. Pelos elementos da primeira linha: Det A= a11.A11 + a12 . a13 . A13 . Det A = 2 (14 ) + ( - 1 ) . (+30 ) = 3 . ( - 24 ) Det A = 28 - 30 - 72 Det A = - 74 1 . Calcule o valor de : 57
  • 58. 2. Resolva as equações: 3. Calcule o valor dos determinantes: 4. Sendo a= -1 1 -1 e B = 3 0 1 , calcule 3a + 2b . -2 3 -3 -1 6 2 2 0 4 -2 1 4 5. Resolva as seguintes equações em R : 6. Dada a matriz A = -3 2 , calcule cofatores A12 e A 22 . 4 0 7. Calcule os cofatores A21, A23,A31 e A33 da matriz 0 -2 1 A= 3 2 4 -1 6 -3 8. Calcule os seguintes determinantes, aplicando o teorema de Laplace: 1 2 3 0 1 -2 a) 4 5 6 b) 3 -2 1 7 8 9 0 1 0 58
  • 59. AS COMBINAÇÕES UMA FÓRMULA PARA O CÁLCULO DAS COMBINAÇÕES Vamos supor que temos n objetos disponíveis para escolha e que, destes , vamos escolher p objetos ( p < n ). O número de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combinação e representa-se por Cpn . Portanto, o número de combinações de n elementos p a p é calculado por : Cpn = n! . (n – p )!p! Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3 . Aplicando a fórmula , obtemos : C35 = 5! = 5! = 5 . 4 . 3! = 5! . 4 = 10 (5 – 3 )!3! 2! 3! 2! 3! 2 Vamos resolver mais alguns problemas nos próximos exemplos. Leia com atenção o enunciado, interprete-o e tente resolver cada exemplo sozinho. Assim você poderá verificar se realmente compreende o problema e sua solução. EXEMPLO Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emergência. Dez acidentados de um ônibus chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em macas, no corredor do hospital. De quantas formas poderíamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos ? Solução: Na realidade, os responsáveis pela emergência estudariam cada caso e escolheriam os mais graves, mas imagine que todos tenham a mesma gravidade. Neste caso, há duas coisa a observar : 10 pessoas, 5 serão escolhidas e a ordem em que a escolha é feita não importa. Trata-se, então , de uma combinação onde: N = 10 ( números de “ objetos” disponíveis ) P = 5 ( número de “objetos” a serem escolhidos ) Usando a fórmula , temos : C510 = 10! = 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 3 . 2 . 7 . 6 = 252 (10 – 5 )! 5! 5! 5! 5! 5! 5 4 3 2 1 Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos. Exemplo Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 15 funcionários se inscreveram, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolhe os 11 jogadores do time ? Solução: De 15 operários , 11 serão escolhidos e a ordem de escolha não importa, pois queremos escolher apenas os jogadores sem determinar as posições campo . 59
  • 60. Temos, então, as características de uma combinação de 15 pessoas (n = 15) para formar grupos de 11 (p = 11). Usando a fórmula: C1115 = 15 = 15 . 14 . 13 . 12 . 11! = 15 . 14 . 13 . 12 = 15 . 7 . 13 = 1365 (15 –11 )! 11! 4! 11! 4.3.2.1 Assim , os jogadores podem ser escolhidos de 1365 formas diferentes. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. No caso da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesma base, pois sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus expoentes também são iguais. Por exemplo, para resolver a equação 3x = 243, podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de potência, assim: 3x=35 logo, x = 5 A solução da equação é x = 5 . Você verá, agora, vários outros exemplos de resolução de equações exponenciais. EXEMPLO Resolver a equação 2x = 2. Como já sabemos, todo número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo. Então podemos escrever: 2x = 21 logo , x = 1 A solução da equação é x = 1 EXEMPLO Resolver a equação 5 2x = 1 Lembrando que um número diferente de zero, elevado a zero, é igual a um, a equação pode ser escrita assim: 52x = 5n ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 A solução da equação é x = 0 60
  • 61. EXEMPLO Resolver a equação 33x = 1/9 Uma fração, cujo numerador é 1 (um), pode ser escrita na forma de uma potência de expoente negativo. Decompondo o denominador da fração em fatores primos, temos : 33x = 1/32 ⇒ 33x = 3-2 3x = -2 ⇒ x = - 2/3 A solução da equação é x = - 2 . 3 EXEMPLO Resolva a equação 10 x-1 = 0,001 O número 0,001 pode ser escrito com uma potência de expoente negativo, logo : 10 x–1 = 10 3 ⇒ x – 1 = -3 ⇒ x = -3 + 1 ⇒ x = -2 A solução da equação é x = - 2 EXEMPLO Resolver a equação 5 2x + 1 = √5 Vamos escrever a raiz na forma de potência de expoente fracionário, como vimos na aula anterior : 5 2x + 1 = 5 ½ ⇒ 2x + 1 = ½ 2x = ½ -1 2x = 1 – 2 ⇒ 2x = - ½ ⇒ x = - ¼ 2 A solução da equação é x = - ¼ EXEMPLO Resolva a equação 4 3x – 5 = 4 x – 1 Neste exemplo, as potências já estão com as base iguais, portanto, podemos igualar diretamente seus expoentes. 3x – 5 = x – 1 3x – x = -1 + 5 2x = 4 x=2 61
  • 62. A solução da equação é x = 2 . EXEMPLO Resolva a equação 16 x + 3 = 2 x + 3 Vamos decompor 16 e escrevê-lo em forma de potência de base 2 . Temos que 16 = 24, logo: ( 24 ) x + 3 = 2 x + 3 ( vamos aplicar a propriedade da potenciação de potência ) 24(x + 3 ) = 2 x + 3 2 4x + 12 = 2 x + 3 ⇒ 4x - 12 = x + 3 4x – x = 12 + 3 3x = 15 x=5 A solução da equação é x = 5 . Em todos os exemplos apresentados até agora, poderíamos ter conferido a resposta, substituindo a solução encontrada na equação dada. EXEMPLO x Resolva e confira a solução da equação ( 1 ) = 10 x – 3 (100) Vamos substituir na equação 1/100 por 10 –2 (10 –2) = 10 x – 3 10 – 2x = 10 x – 3 ⇒ - 2x = x – 3 - 2x – x = -3 - 3x = - 3 x= 1 Vamos agora fazer a verificação. Substituindo x, na equação por 1, temos : 1 = 10 1 – 3 100 1 = 10 –2 , que é uma sentença verdadeira. 100 logo, a solução da equação é, de fato, x = 1. 62
  • 63. MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente proporcionais quando , aumentado uma dela, a outra aumenta na mesma ração da primeira. EXEMPLO: 1 hora percorre 80 km Um automóvel em 2 horas percorre 160 km 3 horas percorre 240 km As rações entre os elementos correspondente são iguais. 1 = 2 = 3 . 80 160 240 As grandezas “tempo” e “ distância” são diretamente proporcionais. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma ração da primeira. REGRA DE TRÊS SIMPLES É um processo prático para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Para resolver problemas envolvendo regra de três deve-se proceder da seguinte maneira : - Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechas de mesmo sentido. - Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário. EXEMPLO 1 ) Com 14 litro de tinta, podemos pintar, uma parede de 35m2.Quando litros são necessários para uma parede de 15m2. Solução: Litros m2 14 35 x 15 14 = 35 ⇒ 35x = 210 ⇒ x = 210 ⇒ x = 6 x 15 35 Resp.: 6 litros 63
  • 64. 2) com 12 operários podemos construir uma muro em 3 dias. Quantos dias levarão 4 operários para fazer o mesmo muro ? solução : Operários dias Operários e dias são grandezas inversamente 14 3 proporcionais. Então, devemos inverter a grandeza”operário” 4 x 4 = 3 . ⇒ 4x = 12 . 3 ⇒ 4x = 36 ⇒ x = 9 12 x Resp.: 9 dias REGRA DE TRÊS COMPOSTA É um processo prático que envolve problemas com mais de duas grandezas. EXEMPLO: Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia.Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia ? Solução: Km dias horas Para colocar as setas, compara-se 2232 6 12 cada grandeza com aquela que contém a incógnita “x” x 10 14 2232 = 6 . 12 . x 10 14 Igual à razão que contém “x” com o produto das outras razões 2232 = 72 . x 140 72 x = 2232 . 140 x = 312480 Resp.: 4340 km 72 Resolva os problemas, aplicando as regras de três simples e composta. 1) Se oito metros de tecido custam R$ 156,00 qual o preço de 12m de tecidos? Resp.: R$ 234,00 64