SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 11
Baixar para ler offline
Resolução Comentada da Prova de MATEMÁTICA-2008/2009
              Colégio Naval - Prova Verde
           Elaborada pela equipe de Matemática do Curso General Telles Pires.

01-   ALTERNATIVA C                                         GTP    Colégio Naval-2008

Um Triângulo retângulo, de lados expressos por número inteiros consecutivos, está
inscrito em um triângulo eqüilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos
lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a

(A) 6,8                   (B) 7,0                 (C) 7,5            (D) 8,0              (E) 8,5

Resolução:

                                                  Traçando a altura referente ao vértice A:




Pelo Teorema de Pitágoras:
                   ( a+1)     =a2 + ( a-1 )
                          2                   2


                 a2 +2a+1=a2 +a2 -2a+1
              a2 - 4a = 0 ⇒ a ⋅ ( a - 4 ) = 0
          a = 0 (incompatível) ou a = 4

 assim, o triângulo retângulo possui medidas:
                    3, 4 e 5.

          x 3  x
           2 = 2                    x 3    x
                              ⇒         =     ⇒
           3  x-4                    6    x-4
               2
                 ⇒   3x 2 - 4 3x = 6x ⇒
             ⇒            (           )
                  3x2 - 4 3 + 6 x = 0 ⇒

                                (
             ⇒ x ⋅ ⎡ 3x - 4 3 + 6 ⎤ = 0
                   ⎣              ⎦       )
                   x = 0 ( incompatível)
                               ou
                   6+4 3
             x=                = 2 3 + 4 ≅ 7, 5
                      3




                                                                                                1
02- ALTERNATIVA E                                         GTP       Colégio Naval-2008

Duas tangentes a uma circunferência, de raio igual a dois centímetros, partem de um
mesmo ponto P e são perpendiculares entre si. A área, em centímetros quadrados, da
figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do da figura limitada pelo conjunto de
todos os pontos P do plano, que satisfazem as condições dadas, é um número entre

(A) vinte e um e vinte e dois.
(B) vinte e dois e vinte e três.
(C) vinte e três e vinte e quatro.
(D) vinte e quatro e vinte e cinco.
(E) vinte e cinco e vinte e seis.

Resolução:




                    FIG. I                             FIG. II                       FIG. III
Observando as figuras I e II, conclui-se que o conjunto de todos os pontos que
satisfazem as condições dadas formam uma circunferência cujo raio é a metade da
diagonal do quadrado de lado 4 cm (FIG. III). Assim, a área pedida é a de um círculo de
raio 2 2 cm:

                               (      )
                                      2
                         A=π⋅ 2 2         = 8 × πcm2       ∴ A ≅ 25,12 cm2



03- ALTERNATIVA B                                                GTP           Colégio Naval-2008

Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-se que essas alturas
dividem o ângulo interno do vértice A em três partes iguais, quanto mede o maior ângulo
interno desse paralelogramo?

(A) 1200            (B) 1350                  (C) 1500                (D) 1650                 (E) 1750

Resolução:

                                                       No quadrilátero AFCE:

                                                                  3x + x + 90o + 90 o = 360o
                                                                         4x = 180o
                                                                           x = 45o

                                                         Então o maior ângulo interno será igual
                                                       a 135o .



                                                                                                      2
04- ALTERNATIVA D                                            GTP       Colégio Naval-2008

                                                           2   3
Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação            +    =1 , com x real e x ≠ ±1?
                                                          x-1 x+1

(A) 16                    (B) 20                (C) 23             (D) 25              (E) 30

Resolução:

Sejam x1 e x 2 , as raízes da equação.
Resolvendo a equação, temos:
 2     3       2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) ( x+1 )( x-1 )
   +     =1 ⇒                      =                ⇒
x-1 x+1            ( x-1)( x+1)      ( x-1 )( x+1 )
⇒ 2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) = ( x+1 )( x-1 ) ⇒ 5x-1=x 2 -1 ⇒
⇒ x2 -5x=0 ⇒ x=0 ou x=5
Logo:
x1 + x2 = 02 +52 = 0 + 25 = 25
 2
      2




05- ALTERNATIVA C                                             GTP       Colégio Naval-2008

O  gráfico de um trinômio do 2º grau y tem concavidade voltada para cima e intercepta o
eixo das abscissas em dois pontos à direita da origem. O trinômio –y tem um valor

(A) mínimo e raízes negativas.
(B) mínimo e raízes positivas.
(C) máximo e raízes positivas.
(D) máximo e raízes negativas.
(E) máximo e raízes de sinais opostos.

Resolução:

Esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y=ax2 +bx+c (a ≠ 0) , de acordo com os
dados do problema, temos:
           y




             0 x°
                1           °x2     x


    valor    °        °
    mínimo




                                                                                              3
Agora, esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y'= - y = - ax 2 - bx - c ( a ≠ 0 ) , também, de
acordo com os dados do problema, temos:
                Y’
   valor    °
   máximo        x1              x2
                     °          °           x




Observe que na função -y, muda-se apenas a concavidade da parábola (para baixo).
Logo –y tem um valor máximo e raízes positivas.



06- ALTERNATIVA C                                                       GTP         Colégio Naval-2008

O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais a, x e b,
são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo a < x < b , quantos são os valores de x
que satisfazem essas condições?
(A) Nenhum.
(B) Apenas um.
(C) Apenas dois.
(D) Apenas três.
(E) Apenas quatro.


Resolução:



MMC(a, x, b) = 1680            e      MDC(a, x, b) = 120

Decompondo em fatores primos: 1680=2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

M.M.C. é o produto dos fatores não comuns e comuns com o maior expoente e que
M.D.C. é o produto dos fatores comuns com menor expoente.


                         Possibilidade 1    Possibilidade 2   Possibilidade 3   Possibilidade 4
                 a=      23 ⋅ 3 ⋅ 5         23 ⋅ 3 ⋅ 5              X                 X
                 x=      23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7     24 ⋅ 3 ⋅ 5              X                 X
                 b=      24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7     23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7          X                 X




                                                                                                     4
07- ALTERNATIVA A                                                   GTP         Colégio Naval-2008

                                                                  4 y2 z2
Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que              +  +   = 3 . Qual o valor de
                                                                  yz 2z 2y
y+z?

(A) –2                    (B) –1                      (C) 0             (D) 2               (E) 3




Resolução:

4 y2 z2       8+y 3 +z3
  +  +
yz 2z 2y
         =3 ⇒
                2yz
                                                (
                        = 3 ⇒ ( y+z ) ⋅ y2 -yz+z2 =6yz-8 ⇒    )
⇒ ( y + z ) ⋅ ⎡( y + z ) - 3yz ⎤ = -2 ⋅ ( 4 - 3yz )
                        2
              ⎢
              ⎣                ⎥
                               ⎦
por comparação, conclui-se que y + z = -2



08- ALTERNATIVA A                                                  GTP          Colégio Naval-2008

Analise as afirmações abaixo.
I – Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si.
II – Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo do
inteiro yz.
III- A igualdade (1/a ) + (1/b ) =2/ ( a+b ) é possível no campo dos reais.

Assinale a opção correta.

(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
(B) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
(C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(D) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
(E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Resolução:

I – verdadeira, pois MDC(n, n+1) = 1

II – falsa, pois esta afirmativa nem sempre se verifica. Tome, por exemplo: x = 30, y = 2
e z = 10.
    30 é múltiplo de 2 e 30 é múltiplo 10, mas 30 não é múltiplo 20.

         1 1   2    b+a     2
                               ⇒ ( a + b ) = 2 ⋅ a ⋅ b ⇒ a2 + b2 = 0
                                          2
III -     + =     ⇒     =
         a b a +b   a.b   a +b
Para que a2 + b2 = 0 é necessário que: a = 0 e b = 0, porém na expressão inicial, não se
admitem estes valores. (divisão por zero!), assim a afirmativa é falsa.




                                                                                                    5
09- ALTERNATIVA B                                                       GTP           Colégio Naval-2008

Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termo
independente for uma das suas raízes, a outra será o

(A) inverso do coeficiente do termo do 1º grau.
(B) inverso do coeficiente do termo do 2º grau.
(C) simétrico inverso do coeficiente do termo do 1º grau.
(D) simétrico inverso do coeficiente do termo do 2º grau.
(E) simétrico inverso do coeficiente do termo do independente.


Resolução:

Seja o trinômio do 2º grau ax2 +bx+c , com coeficientes a, b e c inteiros, distintos e não
nulos e c o termo independente.
Sendo c uma das raízes da equação ax2 +bx+c=0 , a outra raiz chamaremos de r.
Sabemos que o produto das raízes é:
                c     1
x1 .x 2 = c ⋅ r= ⇒ r=
                a     a
Logo, a outra raiz será o inverso do coeficiente do 2º grau.



10- ALTERNATIVA C                                                       GTP        Colégio Naval-2008

Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10?

(A) Uma.                                (B) Duas.           (C) Três.   (D) Quatro.           (E) Cinco.

Resolução:

                  6
3
    10                102               6
                                            100
          =                     =                 = 6 800
                                    6
    0,5           ( 0,5 )               0,125
              6             3



6
    729 < 6 800 < 6 4096 ⇒ 3 < 6 800 < 4

Logo, a raiz cúbica de 0,5 cabe 3 vezes inteiras na raiz cúbica de 10.



11- ALTERNATIVA E                                                       GTP           Colégio Naval-2008

O número a ≠ 0 tem inverso igual a b . Sabendo-se que a + b = 2 , qual é o valor de
(a + b ) ⋅ (a - b ) ?
    3     3            4        4



(A) 8                                       (B) 6             (C) 4        (D) 2                (E) 0




                                                                                                           6
Resolução:


                                          1
a+b=2 ( I ) e ainda b =                       ( II )
                                          a
Substituíndo       ( II )   em   (       I ) ,temos :
   1     a2 +1-2a
a+ =2 ⇒           =0 ⇒ a2 -2a+1=0 ⇒ a=1
   a         a
       1
Logo b= =1
       1
Substituindo os valores na expressão a3 +b3 ⋅ a4 - b4     (               )(       ),
      (            )(
temos: a3 +b3 ⋅ a4 -b 4      ) = (1 +1         3   3
                                                       ) ⋅ (1   4
                                                                    -14   ) = 2⋅0 = 0
12- ALTERNATIVA D                                                                          GTP   Colégio Naval-2008


           (3 +2 2 )
                            2008

O valor de                               + 3 - 2 2 é um número
           (5 2 + 7 )
                            1338




(A) múltiplo de onze.
(B) múltiplo de sete.
(C) múltiplo de cinco.
(D) múltiplo de três.
(E) primo.

Resolução:


                        (            )                          (          )
                                     2                                      3
Fazendo 3 + 2 2 = 1+ 2                    e 5 2+7= 1+ 2                         , temos:
                                                           2008
                             ⎡
                                           (           )
                                    2⎤

(3 +2 2 )
            2008
                             ⎢ 1+ 2 ⎥
                   +3 -2 2 = ⎣       ⎦      +3-2 2 =
(5 2 + 7 )
            1338                       1338
                             ⎡
                                           (           )
                                   3⎤
                             ⎢ 1+ 2 ⎥
                             ⎣       ⎦

   (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 1 + 2
            4016

                          (      )
                                                       4016-4014
=                                                                         +3 -2 2 =
   ( 1+ 2)
            4014



= (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 3 +2 2 + 3 - 2
            2
                                                                2 =6
    3+2 2




                                                                                                                  7
13- ALTERNATIVA C                                             GTP           Colégio Naval-2008

De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se fossem feitos lotes de 5
DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes com
14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo a
não haver sobra?

(A) 6              (B) 8              (C) 9               (D) 13                (E) 15

Resolução:


    ⎧m.5 + 2    ⎧m.5 + 2 − 5     ⎧m.5 − 3            ⎧m.5
    ⎪           ⎪                ⎪                   ⎪
N = ⎨m.12 + 9 ⇒ ⎨m.12 + 9 − 12 ⇒ ⎨m.12 − 3 ⇒ N + 3 = ⎨m.12
    ⎪m.14 + 11  ⎪m.14 + 11 − 14  ⎪m.14 − 3           ⎪m.14
    ⎩           ⎩                ⎩                   ⎩

Temos que N+3 é um múltiplo do mmc(5, 12, 14)= {420, 840, ...}


Sendo 500< N <1000

Então, N+3 = 840 ⇒ N=837

Portanto a quantidade de DVDs é 837, e para não haver sobras, o lote deverá ser de 9.



14- ALTERNATIVA E                                             GTP           Colégio Naval-2008

Sabendo-se que 2x+3y=12 e que mx+4y=16 são equações sempre compatíveis, com x
e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem essas condições?
(A) Um.
(B) Dois.
(C) Três.
(D) Quatro.
(E) Infinitos.


Resolução:



2 3               8
 ≠ ⇒ 3m ≠ 8 ⇒ m ≠
m 4               3
                                                                      8
portanto teremos infinitos valores de m. (basta ser diferente de        )
                                                                      3




                                                                                             8
15- ALTERNATIVA E                                        GTP     Colégio Naval-2008

Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado
inicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valor
apostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e
que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na
jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, o
percentual de x obtido no final?
(A) 3,7             (B) 4,7            (C) 5,7              (D) 6,7            (E) 9,8

Resolução:

No total, temos quatro jogadas; ganhou-se duas jogadas e perdeu-se duas (em qualquer
ordem).
Portanto, temos uma das situações:
Valor inicial  x.

Ganhou a 1ª jogada: 1,25x.
                                   25
Ganhou a 2ª jogada: 1,25.1,25x =      x.
                                   16
                          25     25
Perdeu a 3ª jogada: 0,25.    x=      x.
                          16     64
                          25      25
Perdeu a 4ª jogada: 0,25.    x =      x ≅ 0,098x=9,8%x
                          64     256
Portanto, o percentual de x obtido no final, é 9,8.


16- SEM SOLUÇÃO                                          GTP     Colégio Naval-2008

Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC. Sabendo-se
que P é eqüidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida
igual a 250, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede

(A) 250            (B) 450             (C) 500             (D) 650             (E) 850



QUESTAÕ ANULADA



17-ALTERNATIVA D                                         GTP     Colégio Naval-2008

Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC = 12 e AB = 5 . A bissetriz interna
traçada de C intercepta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as
áreas de BMI e ABC é

(A) 1/50          (B) 13/60           (C) 1/30           (D) 13/150          (E) 2/25




                                                                                       9
Resolução:



                                       Cálculo da área do ΔABC:
                                                5 ×12
                                       A ΔABC =       = 30
                                                  2

                                       Pelo Teorema de Pitágoras:
                                          2
                                       BC = 52 + 122 ⇒ BC = 13

                                       Sabemos que A ΔABC = p ⋅ r , onde p é o semi-perímetro do
                                       triângulo e r o raio da circunferência inscrita no triângulo.

                                       Assim, 30 = 15 × r ⇒ r = 2

                                        Como ΔAMC ∼ ΔQIC
                                        AM 12          12
                                           =    ⇒ AM =
                                         2   10         5

                                        podemos concluir que
                                                 12        13
                                        MB = 5 -    ⇒ MB =
                                                  5         5

                                       Podemos agora calcular a área do ΔBMI:
                                                                  13
                                                                     ×2
                                                         MB × r                    13
                                                A ΔBMI =        = 5     ⇒ A ΔBMI =
                                                           2        2               5

                                       Portanto a razão pedida será:

                                                                    13
                                                            A ΔBMI       13
                                                                   = 5 =
                                                            A ΔABC 30 150




18-ALTERNATIVA C                                                 GTP        Colégio Naval-2008

Ao dividir-se a fração 3/5 pela fração 2/3 encontrou-se 2/5. Qual é, aproximadamente, o
percentual do erro cometido?

(A) 35,55%         (B) 45,55%           (C) 55,55%           (D) 65,55%            (E) 75,55%

Resolução:


      3                                       9 2    9-4
                                                 -
      5 = 3 × 3 = 9 valor correto            10 5        5
      2 5 2 10
                    (             )   Erro =
                                                9
                                                   = 10 = ≅ 0, 5555 = 55, 55%
                                                       9 9
      3                                        10     10




                                                                                                 10
19- ALTERNATIVA D                                                             GTP           Colégio NavaL-2008

                                         3
A solução de         4x 2 -4x+1 =            -1+6x-12x 2 +8x 3 no campo reais é

(A) o conjunto vazio.              (B) {1/2}       (C) {-1/2, 1/2}          (D) ⎡1/2,+∞ ⎡
                                                                                ⎣       ⎣      (E) ⎤ -∞ ,+∞ ⎡
                                                                                                   ⎦        ⎣

RESOLUÇÃO:


 (2x-1)
           2
               = 3 (2x-1 )
                           3


     (I)            (II)
De (I) e (II), temos o sistema:

⎧( I ) 2x-1 ≥ 0, pois é um radical de índice par.
⎪
⎨
⎪( II ) x ∈ R, pois é um radical de índice ímpar.
⎩
Vem que:
⎧          1
⎪( I ) x ≥
⎨          2
⎪( II ) x ∈ R
⎩
Fazendo ( I ) ∩ ( II ) ,temos:
     1
x≥
     2
                   ⎡1    ⎡
Logo:           S= ⎢ ,+∞ ⎢
                   ⎣2    ⎣


20-ALTERNATIVA B                                                              GTP           Colégio Naval-2008

Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo     ×    −    , no
qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismos
para toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos são
todos distintos, o menor valor possível para essa expressão é
(Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo).

(A) 123                        (B) 132                 (C) 213                (D) 231                (E) 312

Resolução:

O produto de dois números com 2 algarismos pode ser representada por:

     AB x CD = (10A + B ) × (10C + D ) = 100 × A × C + 10 × ( A × D + BC ) + B × D
                                                   1o termo                      3o termo
                                                                 2o termo
No 1o termo, A e C precisam ser os menores possíveis. Portando, A = 1 e C = 2.

No 3o termo, D = 3 e B = 0 tornam este termo, o menor possível.

O termo a ser subtraído terá que ser o maior possível, portanto 98 é o número procurado.

Assim, a expressão será: 10 × 23 - 98 = 230 - 98 = 132



                                                                                                                11

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Fisica exercicios resolvidos 011
Fisica exercicios resolvidos  011Fisica exercicios resolvidos  011
Fisica exercicios resolvidos 011
comentada
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
con_seguir
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
trigono_metrico
 
Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011
Ana Guerra
 
Circunferencia
CircunferenciaCircunferencia
Circunferencia
con_seguir
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
2marrow
 
Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000
resolvidos
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
con_seguir
 

Mais procurados (19)

Fisica exercicios resolvidos 011
Fisica exercicios resolvidos  011Fisica exercicios resolvidos  011
Fisica exercicios resolvidos 011
 
Lista de exercicios
Lista de exerciciosLista de exercicios
Lista de exercicios
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
Cesgranrio petrobras engenheiro petroleo 2018
 
Comentario exatas
Comentario exatasComentario exatas
Comentario exatas
 
Remember 05
Remember 05Remember 05
Remember 05
 
Matemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercíciosMatemática básica coc exercícios
Matemática básica coc exercícios
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
 
Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011Mat a 635_p2_v1_2011
Mat a 635_p2_v1_2011
 
Números complexos
Números complexosNúmeros complexos
Números complexos
 
Circunferencia
CircunferenciaCircunferencia
Circunferencia
 
Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008Resolução da prova do colégio naval de 2008
Resolução da prova do colégio naval de 2008
 
Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000Apostila matematica ens medio 000
Apostila matematica ens medio 000
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
Caderno - Matemática II
Caderno - Matemática IICaderno - Matemática II
Caderno - Matemática II
 
Remember 01
Remember 01Remember 01
Remember 01
 
Remember 08
Remember 08Remember 08
Remember 08
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Semelhança de T...
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática -  Exercícios Semelhança de T... www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática -  Exercícios Semelhança de T...
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Semelhança de T...
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 

Destaque

Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002
2marrow
 
Resolução prova matematica naval 2008 2009
Resolução prova matematica naval 2008   2009Resolução prova matematica naval 2008   2009
Resolução prova matematica naval 2008 2009
cavip
 

Destaque (11)

Aula 1 - on line
Aula 1 - on lineAula 1 - on line
Aula 1 - on line
 
Cn lista
Cn listaCn lista
Cn lista
 
Aula 2 - On line
Aula 2 - On lineAula 2 - On line
Aula 2 - On line
 
Desafio sabático
Desafio sabáticoDesafio sabático
Desafio sabático
 
álgebra cn lista
álgebra cn listaálgebra cn lista
álgebra cn lista
 
DEMO_Pacotão Comentadas RML | Benjamim César
DEMO_Pacotão Comentadas RML | Benjamim CésarDEMO_Pacotão Comentadas RML | Benjamim César
DEMO_Pacotão Comentadas RML | Benjamim César
 
Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002
 
Equações Polinomiais
Equações PolinomiaisEquações Polinomiais
Equações Polinomiais
 
50 1 exercícios morfologia
50 1 exercícios morfologia50 1 exercícios morfologia
50 1 exercícios morfologia
 
Resolução prova matematica naval 2008 2009
Resolução prova matematica naval 2008   2009Resolução prova matematica naval 2008   2009
Resolução prova matematica naval 2008 2009
 
Logistica
LogisticaLogistica
Logistica
 

Semelhante a Cn2008 2009

Mat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidosMat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidos
comentada
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
oim_matematica
 
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_20112ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
Joelson Lima
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
auei1979
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
auei1979
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
auei1979
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
David Azevedo
 

Semelhante a Cn2008 2009 (20)

Mat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidosMat conjunto vazio resolvidos
Mat conjunto vazio resolvidos
 
Remember 03
Remember 03Remember 03
Remember 03
 
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
Gabarito 1ª Fase - Nível 3 - 2012
 
Proposta de-correccao-do-teste-intermedio-9-ano7-de-fevereiro-de-2011-v1
Proposta de-correccao-do-teste-intermedio-9-ano7-de-fevereiro-de-2011-v1Proposta de-correccao-do-teste-intermedio-9-ano7-de-fevereiro-de-2011-v1
Proposta de-correccao-do-teste-intermedio-9-ano7-de-fevereiro-de-2011-v1
 
Ita02m
Ita02mIta02m
Ita02m
 
matematica
matematica matematica
matematica
 
Simulado I - EEAR (2017)
Simulado I - EEAR (2017)Simulado I - EEAR (2017)
Simulado I - EEAR (2017)
 
Remember 10
Remember 10Remember 10
Remember 10
 
Cn 2012 lista reta final
Cn 2012 lista reta finalCn 2012 lista reta final
Cn 2012 lista reta final
 
CN EPCAR 2012 LISTA DE EXERCÍCIOS
CN EPCAR 2012 LISTA DE EXERCÍCIOSCN EPCAR 2012 LISTA DE EXERCÍCIOS
CN EPCAR 2012 LISTA DE EXERCÍCIOS
 
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAProva do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADA
 
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_20112ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011
 
Fatec1 mat
Fatec1 matFatec1 mat
Fatec1 mat
 
Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1Equação do primeiro e segundo grau1
Equação do primeiro e segundo grau1
 
10
1010
10
 
Ex algebra (11)
Ex algebra  (11)Ex algebra  (11)
Ex algebra (11)
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
 
Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999Vestibular ufsm 1999
Vestibular ufsm 1999
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 

Mais de 2marrow

Geografia cn2
Geografia cn2Geografia cn2
Geografia cn2
2marrow
 
Genética
GenéticaGenética
Genética
2marrow
 
Fisica cn2 parte6 maquinas simples
Fisica cn2 parte6 maquinas simplesFisica cn2 parte6 maquinas simples
Fisica cn2 parte6 maquinas simples
2marrow
 
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma força
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma forçaFisica cn2 parte5 trabalho de uma força
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma força
2marrow
 
Fisica cn2 parte4 tipos de força
Fisica cn2 parte4 tipos de forçaFisica cn2 parte4 tipos de força
Fisica cn2 parte4 tipos de força
2marrow
 
Fisica cn2 parte3 plano inclinado
Fisica cn2 parte3 plano inclinadoFisica cn2 parte3 plano inclinado
Fisica cn2 parte3 plano inclinado
2marrow
 
Fisica cn2 parte2 lei de newton
Fisica cn2 parte2 lei de newtonFisica cn2 parte2 lei de newton
Fisica cn2 parte2 lei de newton
2marrow
 
Fisica cn2 parte1 dinamica
Fisica cn2 parte1 dinamicaFisica cn2 parte1 dinamica
Fisica cn2 parte1 dinamica
2marrow
 
Citologia
CitologiaCitologia
Citologia
2marrow
 
Historia cn2
Historia cn2Historia cn2
Historia cn2
2marrow
 
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
2marrow
 
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completoGabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
2marrow
 
Matematica cn 2010_sexta feira
Matematica cn 2010_sexta feiraMatematica cn 2010_sexta feira
Matematica cn 2010_sexta feira
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2007
Resolução da prova do colégio naval de 2007Resolução da prova do colégio naval de 2007
Resolução da prova do colégio naval de 2007
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2005
Resolução da prova do colégio naval de 2005Resolução da prova do colégio naval de 2005
Resolução da prova do colégio naval de 2005
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2004
Resolução da prova do colégio naval de 2004Resolução da prova do colégio naval de 2004
Resolução da prova do colégio naval de 2004
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2003
Resolução da prova do colégio naval de 2003Resolução da prova do colégio naval de 2003
Resolução da prova do colégio naval de 2003
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002
2marrow
 
Resolução da prova do colégio naval de 2006
Resolução da prova do colégio naval de 2006Resolução da prova do colégio naval de 2006
Resolução da prova do colégio naval de 2006
2marrow
 

Mais de 2marrow (19)

Geografia cn2
Geografia cn2Geografia cn2
Geografia cn2
 
Genética
GenéticaGenética
Genética
 
Fisica cn2 parte6 maquinas simples
Fisica cn2 parte6 maquinas simplesFisica cn2 parte6 maquinas simples
Fisica cn2 parte6 maquinas simples
 
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma força
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma forçaFisica cn2 parte5 trabalho de uma força
Fisica cn2 parte5 trabalho de uma força
 
Fisica cn2 parte4 tipos de força
Fisica cn2 parte4 tipos de forçaFisica cn2 parte4 tipos de força
Fisica cn2 parte4 tipos de força
 
Fisica cn2 parte3 plano inclinado
Fisica cn2 parte3 plano inclinadoFisica cn2 parte3 plano inclinado
Fisica cn2 parte3 plano inclinado
 
Fisica cn2 parte2 lei de newton
Fisica cn2 parte2 lei de newtonFisica cn2 parte2 lei de newton
Fisica cn2 parte2 lei de newton
 
Fisica cn2 parte1 dinamica
Fisica cn2 parte1 dinamicaFisica cn2 parte1 dinamica
Fisica cn2 parte1 dinamica
 
Citologia
CitologiaCitologia
Citologia
 
Historia cn2
Historia cn2Historia cn2
Historia cn2
 
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
Gabarito colegio naval_2011_2_fase_comentado_1
 
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completoGabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
Gabarito colegio naval_2011_1_fase_completo
 
Matematica cn 2010_sexta feira
Matematica cn 2010_sexta feiraMatematica cn 2010_sexta feira
Matematica cn 2010_sexta feira
 
Resolução da prova do colégio naval de 2007
Resolução da prova do colégio naval de 2007Resolução da prova do colégio naval de 2007
Resolução da prova do colégio naval de 2007
 
Resolução da prova do colégio naval de 2005
Resolução da prova do colégio naval de 2005Resolução da prova do colégio naval de 2005
Resolução da prova do colégio naval de 2005
 
Resolução da prova do colégio naval de 2004
Resolução da prova do colégio naval de 2004Resolução da prova do colégio naval de 2004
Resolução da prova do colégio naval de 2004
 
Resolução da prova do colégio naval de 2003
Resolução da prova do colégio naval de 2003Resolução da prova do colégio naval de 2003
Resolução da prova do colégio naval de 2003
 
Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002Resolução da prova do colégio naval de 2002
Resolução da prova do colégio naval de 2002
 
Resolução da prova do colégio naval de 2006
Resolução da prova do colégio naval de 2006Resolução da prova do colégio naval de 2006
Resolução da prova do colégio naval de 2006
 

Cn2008 2009

  • 1. Resolução Comentada da Prova de MATEMÁTICA-2008/2009 Colégio Naval - Prova Verde Elaborada pela equipe de Matemática do Curso General Telles Pires. 01- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 Um Triângulo retângulo, de lados expressos por número inteiros consecutivos, está inscrito em um triângulo eqüilátero T de lado x. Se o maior cateto é paralelo a um dos lados de T, pode-se concluir que x é aproximadamente igual a (A) 6,8 (B) 7,0 (C) 7,5 (D) 8,0 (E) 8,5 Resolução: Traçando a altura referente ao vértice A: Pelo Teorema de Pitágoras: ( a+1) =a2 + ( a-1 ) 2 2 a2 +2a+1=a2 +a2 -2a+1 a2 - 4a = 0 ⇒ a ⋅ ( a - 4 ) = 0 a = 0 (incompatível) ou a = 4 assim, o triângulo retângulo possui medidas: 3, 4 e 5. x 3 x 2 = 2 x 3 x ⇒ = ⇒ 3 x-4 6 x-4 2 ⇒ 3x 2 - 4 3x = 6x ⇒ ⇒ ( ) 3x2 - 4 3 + 6 x = 0 ⇒ ( ⇒ x ⋅ ⎡ 3x - 4 3 + 6 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ) x = 0 ( incompatível) ou 6+4 3 x= = 2 3 + 4 ≅ 7, 5 3 1
  • 2. 02- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Duas tangentes a uma circunferência, de raio igual a dois centímetros, partem de um mesmo ponto P e são perpendiculares entre si. A área, em centímetros quadrados, da figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do da figura limitada pelo conjunto de todos os pontos P do plano, que satisfazem as condições dadas, é um número entre (A) vinte e um e vinte e dois. (B) vinte e dois e vinte e três. (C) vinte e três e vinte e quatro. (D) vinte e quatro e vinte e cinco. (E) vinte e cinco e vinte e seis. Resolução: FIG. I FIG. II FIG. III Observando as figuras I e II, conclui-se que o conjunto de todos os pontos que satisfazem as condições dadas formam uma circunferência cujo raio é a metade da diagonal do quadrado de lado 4 cm (FIG. III). Assim, a área pedida é a de um círculo de raio 2 2 cm: ( ) 2 A=π⋅ 2 2 = 8 × πcm2 ∴ A ≅ 25,12 cm2 03- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008 Do vértice A traçam-se as alturas do paralelogramo ABCD. Sabendo-se que essas alturas dividem o ângulo interno do vértice A em três partes iguais, quanto mede o maior ângulo interno desse paralelogramo? (A) 1200 (B) 1350 (C) 1500 (D) 1650 (E) 1750 Resolução: No quadrilátero AFCE: 3x + x + 90o + 90 o = 360o 4x = 180o x = 45o Então o maior ângulo interno será igual a 135o . 2
  • 3. 04- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 2 3 Qual é a soma dos quadrados das raízes da equação + =1 , com x real e x ≠ ±1? x-1 x+1 (A) 16 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 30 Resolução: Sejam x1 e x 2 , as raízes da equação. Resolvendo a equação, temos: 2 3 2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) ( x+1 )( x-1 ) + =1 ⇒ = ⇒ x-1 x+1 ( x-1)( x+1) ( x-1 )( x+1 ) ⇒ 2 ( x+1 ) +3 ( x-1 ) = ( x+1 )( x-1 ) ⇒ 5x-1=x 2 -1 ⇒ ⇒ x2 -5x=0 ⇒ x=0 ou x=5 Logo: x1 + x2 = 02 +52 = 0 + 25 = 25 2 2 05- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 O gráfico de um trinômio do 2º grau y tem concavidade voltada para cima e intercepta o eixo das abscissas em dois pontos à direita da origem. O trinômio –y tem um valor (A) mínimo e raízes negativas. (B) mínimo e raízes positivas. (C) máximo e raízes positivas. (D) máximo e raízes negativas. (E) máximo e raízes de sinais opostos. Resolução: Esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y=ax2 +bx+c (a ≠ 0) , de acordo com os dados do problema, temos: y 0 x° 1 °x2 x valor ° ° mínimo 3
  • 4. Agora, esboçando o gráfico do trinômio do 2º grau y'= - y = - ax 2 - bx - c ( a ≠ 0 ) , também, de acordo com os dados do problema, temos: Y’ valor ° máximo x1 x2 ° ° x Observe que na função -y, muda-se apenas a concavidade da parábola (para baixo). Logo –y tem um valor máximo e raízes positivas. 06- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais a, x e b, são respectivamente iguais a 1680 e 120. Sendo a < x < b , quantos são os valores de x que satisfazem essas condições? (A) Nenhum. (B) Apenas um. (C) Apenas dois. (D) Apenas três. (E) Apenas quatro. Resolução: MMC(a, x, b) = 1680 e MDC(a, x, b) = 120 Decompondo em fatores primos: 1680=2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 e 120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 M.M.C. é o produto dos fatores não comuns e comuns com o maior expoente e que M.D.C. é o produto dos fatores comuns com menor expoente. Possibilidade 1 Possibilidade 2 Possibilidade 3 Possibilidade 4 a= 23 ⋅ 3 ⋅ 5 23 ⋅ 3 ⋅ 5 X X x= 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 24 ⋅ 3 ⋅ 5 X X b= 24 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 X X 4
  • 5. 07- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008 4 y2 z2 Sejam y e z números reais distintos não nulos tais que + + = 3 . Qual o valor de yz 2z 2y y+z? (A) –2 (B) –1 (C) 0 (D) 2 (E) 3 Resolução: 4 y2 z2 8+y 3 +z3 + + yz 2z 2y =3 ⇒ 2yz ( = 3 ⇒ ( y+z ) ⋅ y2 -yz+z2 =6yz-8 ⇒ ) ⇒ ( y + z ) ⋅ ⎡( y + z ) - 3yz ⎤ = -2 ⋅ ( 4 - 3yz ) 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ por comparação, conclui-se que y + z = -2 08- ALTERNATIVA A GTP Colégio Naval-2008 Analise as afirmações abaixo. I – Dois números consecutivos positivos são sempre primos entre si. II – Se o inteiro x é múltiplo do inteiro y e x é múltiplo do inteiro z, então x é múltiplo do inteiro yz. III- A igualdade (1/a ) + (1/b ) =2/ ( a+b ) é possível no campo dos reais. Assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. (B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. (C) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (D) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. Resolução: I – verdadeira, pois MDC(n, n+1) = 1 II – falsa, pois esta afirmativa nem sempre se verifica. Tome, por exemplo: x = 30, y = 2 e z = 10. 30 é múltiplo de 2 e 30 é múltiplo 10, mas 30 não é múltiplo 20. 1 1 2 b+a 2 ⇒ ( a + b ) = 2 ⋅ a ⋅ b ⇒ a2 + b2 = 0 2 III - + = ⇒ = a b a +b a.b a +b Para que a2 + b2 = 0 é necessário que: a = 0 e b = 0, porém na expressão inicial, não se admitem estes valores. (divisão por zero!), assim a afirmativa é falsa. 5
  • 6. 09- ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008 Um trinômio do 2º grau tem coeficientes inteiros, distintos e não nulos. Se o termo independente for uma das suas raízes, a outra será o (A) inverso do coeficiente do termo do 1º grau. (B) inverso do coeficiente do termo do 2º grau. (C) simétrico inverso do coeficiente do termo do 1º grau. (D) simétrico inverso do coeficiente do termo do 2º grau. (E) simétrico inverso do coeficiente do termo do independente. Resolução: Seja o trinômio do 2º grau ax2 +bx+c , com coeficientes a, b e c inteiros, distintos e não nulos e c o termo independente. Sendo c uma das raízes da equação ax2 +bx+c=0 , a outra raiz chamaremos de r. Sabemos que o produto das raízes é: c 1 x1 .x 2 = c ⋅ r= ⇒ r= a a Logo, a outra raiz será o inverso do coeficiente do 2º grau. 10- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 Quantas vezes inteiras a raiz quadrada de 0,5 cabe na raiz cúbica de 10? (A) Uma. (B) Duas. (C) Três. (D) Quatro. (E) Cinco. Resolução: 6 3 10 102 6 100 = = = 6 800 6 0,5 ( 0,5 ) 0,125 6 3 6 729 < 6 800 < 6 4096 ⇒ 3 < 6 800 < 4 Logo, a raiz cúbica de 0,5 cabe 3 vezes inteiras na raiz cúbica de 10. 11- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 O número a ≠ 0 tem inverso igual a b . Sabendo-se que a + b = 2 , qual é o valor de (a + b ) ⋅ (a - b ) ? 3 3 4 4 (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 0 6
  • 7. Resolução: 1 a+b=2 ( I ) e ainda b = ( II ) a Substituíndo ( II ) em ( I ) ,temos : 1 a2 +1-2a a+ =2 ⇒ =0 ⇒ a2 -2a+1=0 ⇒ a=1 a a 1 Logo b= =1 1 Substituindo os valores na expressão a3 +b3 ⋅ a4 - b4 ( )( ), ( )( temos: a3 +b3 ⋅ a4 -b 4 ) = (1 +1 3 3 ) ⋅ (1 4 -14 ) = 2⋅0 = 0 12- ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 (3 +2 2 ) 2008 O valor de + 3 - 2 2 é um número (5 2 + 7 ) 1338 (A) múltiplo de onze. (B) múltiplo de sete. (C) múltiplo de cinco. (D) múltiplo de três. (E) primo. Resolução: ( ) ( ) 2 3 Fazendo 3 + 2 2 = 1+ 2 e 5 2+7= 1+ 2 , temos: 2008 ⎡ ( ) 2⎤ (3 +2 2 ) 2008 ⎢ 1+ 2 ⎥ +3 -2 2 = ⎣ ⎦ +3-2 2 = (5 2 + 7 ) 1338 1338 ⎡ ( ) 3⎤ ⎢ 1+ 2 ⎥ ⎣ ⎦ (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 1 + 2 4016 ( ) 4016-4014 = +3 -2 2 = ( 1+ 2) 4014 = (1 + 2 ) + 3 - 2 2 = 3 +2 2 + 3 - 2 2 2 =6 3+2 2 7
  • 8. 13- ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 De uma determinada quantidade entre 500 e 1000 DVDs, se fossem feitos lotes de 5 DVDs sobram 2; se forem feitos lotes com 12 DVDs sobram 9 e se forem feitos lotes com 14 DVDs sobram 11. Qual é a menor quantidade, acima de 5 DVDs por lote, de modo a não haver sobra? (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 13 (E) 15 Resolução: ⎧m.5 + 2 ⎧m.5 + 2 − 5 ⎧m.5 − 3 ⎧m.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N = ⎨m.12 + 9 ⇒ ⎨m.12 + 9 − 12 ⇒ ⎨m.12 − 3 ⇒ N + 3 = ⎨m.12 ⎪m.14 + 11 ⎪m.14 + 11 − 14 ⎪m.14 − 3 ⎪m.14 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ Temos que N+3 é um múltiplo do mmc(5, 12, 14)= {420, 840, ...} Sendo 500< N <1000 Então, N+3 = 840 ⇒ N=837 Portanto a quantidade de DVDs é 837, e para não haver sobras, o lote deverá ser de 9. 14- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Sabendo-se que 2x+3y=12 e que mx+4y=16 são equações sempre compatíveis, com x e y reais, quantos são os valores de m que satisfazem essas condições? (A) Um. (B) Dois. (C) Três. (D) Quatro. (E) Infinitos. Resolução: 2 3 8 ≠ ⇒ 3m ≠ 8 ⇒ m ≠ m 4 3 8 portanto teremos infinitos valores de m. (basta ser diferente de ) 3 8
  • 9. 15- ALTERNATIVA E GTP Colégio Naval-2008 Num determinado jogo, o apostador recebe, toda vez que ganha, o valor apostado inicialmente, mais 25% do mesmo; e recebe, toda vez que perde, apenas 25% do valor apostado inicialmente. Sabendo-se que foi feita uma aposta inicial de uma quantia x e que foram realizadas quatro jogadas, sempre sendo apostado o valor total obtido na jogada anterior, das quais ganhou-se duas e perdeu-se duas, qual é, aproximadamente, o percentual de x obtido no final? (A) 3,7 (B) 4,7 (C) 5,7 (D) 6,7 (E) 9,8 Resolução: No total, temos quatro jogadas; ganhou-se duas jogadas e perdeu-se duas (em qualquer ordem). Portanto, temos uma das situações: Valor inicial x. Ganhou a 1ª jogada: 1,25x. 25 Ganhou a 2ª jogada: 1,25.1,25x = x. 16 25 25 Perdeu a 3ª jogada: 0,25. x= x. 16 64 25 25 Perdeu a 4ª jogada: 0,25. x = x ≅ 0,098x=9,8%x 64 256 Portanto, o percentual de x obtido no final, é 9,8. 16- SEM SOLUÇÃO GTP Colégio Naval-2008 Considere um triângulo acutângulo ABC, e um ponto P coplanar com ABC. Sabendo-se que P é eqüidistante das retas suportes de AB e de BC e que o ângulo BPC tem medida igual a 250, pode-se afirmar que um dos ângulos de ABC mede (A) 250 (B) 450 (C) 500 (D) 650 (E) 850 QUESTAÕ ANULADA 17-ALTERNATIVA D GTP Colégio Naval-2008 Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC = 12 e AB = 5 . A bissetriz interna traçada de C intercepta o lado AB em M. Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as áreas de BMI e ABC é (A) 1/50 (B) 13/60 (C) 1/30 (D) 13/150 (E) 2/25 9
  • 10. Resolução: Cálculo da área do ΔABC: 5 ×12 A ΔABC = = 30 2 Pelo Teorema de Pitágoras: 2 BC = 52 + 122 ⇒ BC = 13 Sabemos que A ΔABC = p ⋅ r , onde p é o semi-perímetro do triângulo e r o raio da circunferência inscrita no triângulo. Assim, 30 = 15 × r ⇒ r = 2 Como ΔAMC ∼ ΔQIC AM 12 12 = ⇒ AM = 2 10 5 podemos concluir que 12 13 MB = 5 - ⇒ MB = 5 5 Podemos agora calcular a área do ΔBMI: 13 ×2 MB × r 13 A ΔBMI = = 5 ⇒ A ΔBMI = 2 2 5 Portanto a razão pedida será: 13 A ΔBMI 13 = 5 = A ΔABC 30 150 18-ALTERNATIVA C GTP Colégio Naval-2008 Ao dividir-se a fração 3/5 pela fração 2/3 encontrou-se 2/5. Qual é, aproximadamente, o percentual do erro cometido? (A) 35,55% (B) 45,55% (C) 55,55% (D) 65,55% (E) 75,55% Resolução: 3 9 2 9-4 - 5 = 3 × 3 = 9 valor correto 10 5 5 2 5 2 10 ( ) Erro = 9 = 10 = ≅ 0, 5555 = 55, 55% 9 9 3 10 10 10
  • 11. 19- ALTERNATIVA D GTP Colégio NavaL-2008 3 A solução de 4x 2 -4x+1 = -1+6x-12x 2 +8x 3 no campo reais é (A) o conjunto vazio. (B) {1/2} (C) {-1/2, 1/2} (D) ⎡1/2,+∞ ⎡ ⎣ ⎣ (E) ⎤ -∞ ,+∞ ⎡ ⎦ ⎣ RESOLUÇÃO: (2x-1) 2 = 3 (2x-1 ) 3 (I) (II) De (I) e (II), temos o sistema: ⎧( I ) 2x-1 ≥ 0, pois é um radical de índice par. ⎪ ⎨ ⎪( II ) x ∈ R, pois é um radical de índice ímpar. ⎩ Vem que: ⎧ 1 ⎪( I ) x ≥ ⎨ 2 ⎪( II ) x ∈ R ⎩ Fazendo ( I ) ∩ ( II ) ,temos: 1 x≥ 2 ⎡1 ⎡ Logo: S= ⎢ ,+∞ ⎢ ⎣2 ⎣ 20-ALTERNATIVA B GTP Colégio Naval-2008 Uma expressão constituída por números de dois algarismos é do tipo × − , no qual cada quadrinho deve ser ocupado por um algarismo, num total de seis algarismos para toda a expressão. Sabendo-se que os algarismos que preencherão os quadrinhos são todos distintos, o menor valor possível para essa expressão é (Observação: números do tipo 07 são considerados de um algarismo). (A) 123 (B) 132 (C) 213 (D) 231 (E) 312 Resolução: O produto de dois números com 2 algarismos pode ser representada por: AB x CD = (10A + B ) × (10C + D ) = 100 × A × C + 10 × ( A × D + BC ) + B × D 1o termo 3o termo 2o termo No 1o termo, A e C precisam ser os menores possíveis. Portando, A = 1 e C = 2. No 3o termo, D = 3 e B = 0 tornam este termo, o menor possível. O termo a ser subtraído terá que ser o maior possível, portanto 98 é o número procurado. Assim, a expressão será: 10 × 23 - 98 = 230 - 98 = 132 11