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PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas			 Autores	
Língua Portuguesa			 Francis Madeira da S. Sales
				 Márcio F. Santiago Calixto
				 Rita de Fátima Bezerra
Literatura			 Fábio D’Ávila	
				 Danton Pedro dos Santos
Matemática			 Feres Fares
				 Haroldo Costa Silva Filho
				 Jayme Andrade Neto
				 Renato Caldas Madeira
				 Rodrigo Piracicaba Costa
Física				 Cleber Ribeiro
				 Marco Antonio Noronha
				 Vitor M. Saquette
Química				 Edson Costa P. da Cruz
				 Fernanda Barbosa
Biologia				 Fernando Pimentel
				 Hélio Apostolo
				 Rogério Fernandes
História				 Jefferson dos Santos da Silva	
				 Marcelo Piccinini			
				 Rafael F. de Menezes
				 Rogério de Sousa Gonçalves
				 Vanessa Silva
Geografia	 	 	 Duarte A. R. Vieira
				 Enilson F. Venâncio
				 Felipe Silveira de Souza
				 Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
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1
EM_V_MAT_002
Aritmética
Elementar
Os números podem ser escritos em diversas
bases de numeração conforme a necessidade e con-
veniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base
10 devido à nossa quantidade de dedos, o que faci-
litaria o processo de contagem primitivo. Em áreas
como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o
sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema
de base 16 ou hexadecimal.
Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode
ser expresso como um produto de números primos.
Esse resultado, conhecido como Teorema Funda-
mental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos
“Elementos”, de Euclides, e destaca a importância
dos números primos na Teoria dos Números, de-
sempenhando um papel similar ao dos átomos na
estrutura da matéria.
O conceito de congruências, introduzido por
Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeti-
cae”, será apresentado como importante ferramenta
para estudo dos números.
É importante lembrar que a Teoria dos Nú-
meros é uma área em franco desenvolvimento, que
apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que
ainda possui muitos problemas em aberto que são
um desafio aos matemáticos.
Potência de expoente natural
Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a
e expoente n é um número an
tal que:
a0
= 1
an
= an–1
.a, n, n 1
Assim,	 a1
= a0
⋅ a = 1 ⋅ a = a
	 a2
= a1
⋅ a = a ⋅ a
	 a3
= a2
⋅ a = a ⋅ a ⋅ a
Em geral ap
, p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p
fatores iguais a a.
ap
= a . a . a... . a
p . fatores
Exemplos:``
1)	 40
= 1
2)	 (–5)0
= 1
3)	 21
= 2
4)	
1
5
1
=
1
5
5)	 (–4)1
= –4
6)	 52
= 5 ⋅ 5 = 25
7)	 (–3)2
= (–3)⋅(–3) = 9
8)	 02
= 0 ⋅ 0 = 0
9)	
2
3
2
=
2
3
.
2
3
=
4
9
10)	23
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
11)	(–2)3
= (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8
12)	–23
= –(2)⋅(2)⋅(2) = –8
13)	–(–2)3
= –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8
1) a0
= 1, a 0
2) a1
= a
3) 0P
= 0, p R+
*
4) 00
não é definido
5) n par an
> 0
6) n ímpar an
tem o mesmo sinal de a
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2
EM_V_MAT_002
Potência de expoente
inteiro negativo
a–n
=
1
an , a R*
Exemplos:``
( )
( )
−
−
−
= =
= =
− = = = −
−−
 
= = =    
  
   
=      
1
1
-2
2
3
3
2
2
n n
1 1
1) 3
3 3
1 1
2 ) 3
3 2
1 1 1
3 ) 3
27 273
2 1 1 9
4)
43 42
93
a b
Em geral, temos:
b a
Raiz enésima aritmética
Seja o radicando a R+
e o índice n N, existe
sempre a raiz b R+
, tal que
n
a = b bn
= a.
Exemplos:``
5
32 = 2, pois 25
= 32
Da definição temos que
4
16 = 2 e não
4
16 = 2.
Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da
raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se
a2
= a .
Exemplos:``
(–5)2
= –5 = 5 e x2
= x .
Operações
Só é possível adicionar ou subtrair raízes1)	
idênticas (mesmo índice e radicando).
Exemplo:``
3 3 + 2 3 = 5 3
Para multiplicação ou divisão basta que as2)	
raízes possuam o mesmo índice.
Exemplo:``
3
2 .
3
3 =
3
2.3 =
3
6
Potência de expoente
racional	
Seja a R+
* e p
q
Q*
, temos:
a
p
q
=
q
ap
Expoente
p
q
numerador potência da base
denominador índice da raiz
Exemplos:``
1) 3
1
2
= 3 		 2) 8
2
3
=
3
82
= 4
As potências de expoente irracional são defini-
das por “aproximação” de potências racionais, mas
apenas para bases não-negativas.
Propriedades das potências
1) ap
⋅ aq
= ap + q
2)
ap
aq
= ap – q
, a ≠ 0
3) (a ⋅ b)p
= ap
⋅ bp
4)
a
b
p
=
ap
bp
, b ≠ 0
5) (ap
)q
= ap⋅q
Exemplos:``
1)	 53
⋅ 52
= 53+2
= 55
2)	 34
⋅ 3–1
= 34–1
= 33
3)	
25
22
= 25
– 2 = 23
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3
EM_V_MAT_002
4)	
25
2–2 = 25 –(– 2)
= 27
5)	 (2 ⋅ 3)2
= 22
⋅32
6)	
3
5
2
=
32
52
7)	 (53
)2
= 53⋅2
= 56
8)	 532
= 59
Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 an-
teriores, em geral temos (ap
)q
≠ apq
.
Propriedades das raízes
Sejam n, p ∈ N*
e a, b ∈ R+
1)
n
am
=
n.p
am.p
2)
n
a.b =
n
a .
n
b
3) n a
b
=
a
n
b
n
, b ≠ 0
4)
n
a
m
=
n
am
5)
p n
a =
p.n
a
As propriedades das raízes são iguais às proprie-
dades das potências para expoentes fracionários.
As propriedades acima são úteis para redução
de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua
multiplicação ou divisão.
Exemplo:``
3 .
3
2 =
6
33
.
6
22
=
6
33
.22
=
6
108
Raiz quadrada aproximada
No caso de números que não possuem raiz qua-
drada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta
como o maior número cujo quadrado não excede o
número dado e na raiz quadrada por excesso como o
menor número cujo quadrado excede o número dado.
Os dois números citados diferem em 1 unidade e os
erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade.
A diferença entre o número dado e o quadrado
da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é cha-
mada resto da raiz quadrada.
Exemplo:``
36 < 42 < 49 ⇔ 62
< 42 < 72
, assim 6 é a raiz quadrada
de 42 por falta, 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e
o resto é 42 – 62
= 6.
Racionalização
Racionalizar consiste em transformar as expres-
sões com radicais no denominador em expressões
equivalentes que não apresentem radicais no deno-
minador.
Essa operação é feita multiplicando-se o nume-
rador e o denominador da fração por um fator racio-
nalizante. Esse fator é a expressão que multiplicada
pelo denominador resulte em uma expressão sem
radicais. Esse fator é encontrado tendo por base as
propriedades de potências e raízes, e a analogia com
as fórmulas da fatoração.
Racionalização baseada nas
propriedades de potências e raízes
Exemplos:``
2
1
1)	 =
2
1
.
2
2
=
2
22
=
2
2
3
3
3
2)	 =
3
3
3
.
32
323
3
=
333
9
3
3
= 3
9
3
3.
=
3
9
Racionalização baseada na
fórmula: (a + b).(a - b) = a2
- b2
Exemplos:``
1
3 – 2
1)	 =
1
3 – 2
.
3+ 2
3+ 2
=
3
2
– 2
3+ 2
2
	 = 3 – 2
3 + 2
= 3 + 2
1
2 + 1
2)	 =
1
2 + 1
.
2 – 1
2 – 1
=
2
2
– 12
2 – 1
	 = 2 – 1
2 – 1
= 2 – 1
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4
EM_V_MAT_002
Racionalização
baseada nas fórmulas:
(a3
+ b3
) = (a + b).(a2
- ab + b2
)
e (a3
- b3
) = (a - b).(a2
+ ab + b2
)
Exemplos:``
2 – 1
3
1
1)	 =
2 – 1
3
1 . 2
2
+ 2 . 1 + 12
3 3
2
2
+ 2 . 1 + 123 3
=
2
2
+ 2 . 1 + 123 3
2
3
– 133 =
2
2
+ 2 + 1
3 3
2 – 1
=
3
4 +
3
2 +1
9 –
3
1
6 +
3
4
32)	 =
9 –
3
1
6 +
3
4
3 .
3 +
3
2
3
3 +
3
2
3
3
3
+ 2
3+ 2
33 3
3 3
= 3 + 2
3 + 2
3 3
= 5
3 + 2
3 3
Transformação de radicais
duplos
A B =
A + C
2
A – C
2
C = A2
– B
Exemplos:``
3+ 51)	 = 3 + 2
2
+ 3 – 2
2
= 5
2
+
2
1
=
2
10+ 2
	 C = 32
– 5 = 2
6 – 2 52)	 = 6 – 20 = 6 + 4
2
+ 6 – 4
2
= 5 – 1
	 C = 62
– 20 = 4
Sistemas de numeração
O nosso sistema de numeração chama-se hindu-
arábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos
apenas dez símbolos (algarismos) para representar
todos os números. Esses algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. Os números restantes são representados
por combinações desses símbolos.
Em geral escreve-se: (an
an –1
. . . a2
a1
a0
)10
para
representar 100
a0
+ 101
a1
+ 102
a2
+...+ 10n–1
an–1
+
10n
an
com 0 ≤ ai
< 10.
Dessa forma escreve-se 75 para representar
7 . 10+5 e 223 para representar 2 . 102
+2 . 10 + 3
Entretanto, os números podem ser escritos em
diversas bases de numeração conforme a necessidade
e conveniência.
No sistema de base 2, os algarismos utilizados
são 0 e 1, e os primeiros números são escritos:
(1)2
= (1)10
(10)2
= (2)10
(11)2
= (3)10
(100)2
= (4)10
(101)2
= (5)10
(110)2
= (6)10
(111)2
= (7)10
Em geral, quando representamos os números
da base 10, omitimos o subíndice.
Mudança de uma base
qualquer para a base 10
Um sistema de numeração de base b se relacio-
na com a base 10 da seguinte forma:
(an
an–1
. . . a2
a1
a0
)b
= a0
+ b . a1
+ b2
. a2
+. . . + bn
. an
onde os algarismos podem tomar apenas os
valores 0, 1, 2, . . . , b – 1.
Exemplos:``
(23)6
= 3 + 2 . 6 = 15
(145)6
= 5 + 4 . 6 +1 . 62
= 65
(1011)2
= 1 + 1 . 2 + 0. 22
+1 . 23
= 11
Na expressão acima podemos notar que num sistema
de base b são usados b algarismos e o maior algarismo
utilizado é b – 1. Ex.: O sistema de base 6 possui 6 al-
garismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Caso a quantidade de símbolos exceda 10, uti-
lizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, dessa
forma os símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F, G, ..., onde A equivale a 10 unidades de
base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante.
É usual utilizar um traço acima de variáveis
justapostas para representar que as mesmas são
algarismos que compõem um número.
Por exemplo, para a base 10:
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5
EM_V_MAT_002
xyé usado para representar 10x+y
xyz para representar 100x + 10y + z
Esse tipo de representação pode ser utilizada
também em outras bases.
Mudança da base 10
para uma base qualquer
Já sabemos como relacionar um número em uma
base qualquer com seu correspondente na base 10.
Agora vamos ver como obtemos a representação em
uma outra base de um número que conhecemos na
base 10. Isso é feito baseado na expressão do item
anterior. Dessa forma, para passar um certo número
da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir
o número sucessivamente por b e a sua representa-
ção nessa nova base é dada pelo resto assim obtido
tomados na ordem contrária.
Exemplos:``
Escrever 171 na base 2.
2
2
2
2
2
2
85
42
21
10
2
1
171
1
1
0
1
0
2
5
1
0
171 = (10101011)2
Mudança entre bases
diferentes da base 10
Para converter um número que se encontra em
uma base diferente de 10 para outra também dife-
rente de 10, deve-se converter o número para a base
10 e então para a nova base.
Exemplos:``
Ex.: Escrever (6 165)7
no sistema de base 12
Temos: (6 165)7
= 6⋅73
+ 1⋅72
+ 6⋅7 + 5 = 2 154
Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6
179 = 12 ⋅ 14 + 11
14 = 12 ⋅ 1 + 2
1 = 12 ⋅ 0 + 1
Logo, 2 154 = (12B6)12
Portanto, (6 165)7
= (12B6)12
Contagem
Se n e p são números naturais com n > p, o
número de naturais entre n e p inclusive (isto é, con-
tando também n e p) é igual a n – p + 1.
Se no cômputo incluirmos apenas um dos extre-
mos a quantidade de naturais é n – p.
O número de naturais entre n e p exclusive (isto
é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1.
Exemplos:``
1)	 Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 nú-
meros.
2)	 Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números.
3)	 Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos)
há (100 – 9 – 1) = 90 números.
As ideias expostas acima podem ser utilizadas
na ordem inversa, como no exemplo abaixo:
Exemplo: Qual o vigésimo número após 15?
Temos então que contar 20 números começando
em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x –
15) = 20 donde x = 35.
Muitas vezes precisamos contar a quantidade
de números numa sequência de múltiplos de k. Deve-
se proceder como acima considerando os números
divididos por k.
Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde
33 até 333. Quantos números são escritos?
Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo
devemos contar a quantidade de números de 11 a 111
inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números.
Outras vezes é solicitado que se contem a
quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é ne-
cessário calcular quantos números são escritos com
cada quantidade de algarismos.
Exemplos:``
São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos
foram escritos?
De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo.
De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 alga-
rismos.
De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de
3 algarismos.
Logo, o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 +
51 ⋅ 3 = 342.
A tabela a seguir mostra a quantidade de números que
se pode formar na base 10 com uma determinada quan-
tidade de algarismos.
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EM_V_MAT_002
Qtd. de algarismos Qtd. de números
1 9
2 90
3 900
4 9000
Divisibilidade
Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que
a divide b (denotado por a | b) se, e somente se,
existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide
b escreve-se a b.
Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe
inteiro q, tal que 10 = 3q.
Propriedades
Sejam a, b e c inteiros.
a|0, 1|a e a|a (reflexiva)
Se a|1, então a = ±1
Se a|b e c|d, então ac|bd
Se a|b e b|c, então a|c (transitiva)
Se a|b e b|a, então a = ±b
Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b|
Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z.
Divisores de um inteiro
É o conjunto dos números inteiros não-nulos que
são divisores de a, conforme definido acima.
D(a) = {x Z* x|a}
Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2,
±4, ±8}
Divisores comuns
de dois inteiros
D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e
x D(b)} = D(a) D(b).
Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}.
Número de divisores positivos
O número de divisores positivos de um inteiro
positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p1
1
p2
2
... pk
k
, é dado por:
d(n) = ( 1
+ 1)( 2
+1) ... ( k
+ 1)
Exemplo:``
Quantos divisores positivos possui o número 60?
60=22
. 31
. 51
d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12
Para obter o•• total de divisores positivos e ne-
gativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido
pela expressão acima.
Para obter a•• quantidade de divisores ím-
pares basta excluir do produto d(n) o fator
relativo ao expoente do primo 2, se houver.
A•• quantidade de divisores pares pode ser
obtida subtraindo esse número do total.
Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1).
(1+1) = 12
Total de divisores positivos e negativos de
60 = 2.12 = 24
Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1).
(1+1) = 4
Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8
Máximo divisor comum
(MDC)
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro
positivo d = mdc (a, b) que satisfaz:
(1) d a e d b
(2) se c a e c b, então c d.
A condição (1) diz que d é um divisor comum de
a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores
comuns.
Exemplos:``
mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16,
24) = 8, mdc (24, 60) = 12.
Corolários
mdc (a, 1) = 1
se a 0, então mdc (a, 0) = a
se a b, então mdc (a, b) = a
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7
EM_V_MAT_002
Existência e unicidade do MDC
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso,
existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o
mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b.
A representação do mdc (a, b) como combinação
linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) =
d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t.
Números primos entre si
Diz-se que a e b são primos entre si se, e so-
mente se, o mdc (a, b) = 1.
Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e
20 e 21.
Dois inteiros primos entre si admitem como
únicos divisores comuns 1 e – 1.
Teorema: Dois inteiros a e b, não simultanea-
mente nulos, são primos entre si se, e somente se,
existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1.
Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d,
b/d) = 1.
Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc
(a,c)=1.
Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então
ab c.
Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somen-
te se, mdc (a, bc)=1.
Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a, b) =
1, então a c.
Algoritmo de Euclides
Teorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) =
mdc (b, r).
O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação
repetida do lema acima e é normalmente apresentado
por intermédio do seguinte dispositivo prático:
q1
q2
q3
... qn
qn+1
a b r1
r2
... rn-1
rn
r1
r2
r3
... rn
0
O aparecimento do resto 0 indica rn
= mdc (a, b).
Exemplos:``
mdc (963, 657) = 9
1 2 6 1 4
963 657 306 45 36 9
306 45 36 9 0
Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)=|k| – mcd
(a,b).
MDC a partir das
decomposições canônicas
Conhecidas as decomposições canônicas de dois
inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fa-
tores primos comuns as duas decomposições tomados
com seus menores expoentes.
Exemplos:``
588 = 22
. 3 . 72
e 936 = 23
. 32
. 13, logo mdc (588,936)
= 22
. 3 = 12.
Mínimo múltiplo comum
(MMC)
O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro
qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x
Z tal que ax} = {aq q Z}.
Exemplos:``
M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo
comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x.
M(a,b) = {x Z / a x e b x}={x Z / x M(a) e x
M(b)}
M(a,b) = M(a) M(b)
Exemplo:
M(12)={12qq Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...}
M(18)={18qq Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...}
M(12,18) = M(12) M(18) = {0, 36, 72, ...}
Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se míni-
mo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m =
mmc(a,b) que satisfaz as condições:
(1) a m e b m
(2) se ac e bc, com c > 0, então m c.
Exemplo:``
mmc (12,18) = 36
Corolários
mmc (a,b)•• ab
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8
EM_V_MAT_002
se a•• b, então mmc (a,b) = b
se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) =•• ab
Sejam a e b inteiros positivos, então:
mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b
Exemplos:``
Determinar o mmc (963, 657).
Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo,
mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299.
MMC a partir das
decomposições canônicas
Conhecidas as decomposições canônicas de dois
inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos
fatores primos comuns e não-comuns às duas decom-
posições tomados com seus maiores expoentes.
Exemplos:``
588 = 22
. 3 . 72
e 936 = 23
. 32
. 13, logo mmc (588,936)
= 23
. 32
. 72
. 13 = 45 864.
Números primos
Um inteiro positivo p > 1é um número primo se,
e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores
positivos.
Os inteiros maiores que 1, que não são primos,
ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele
mesmo, são ditos compostos.
Exemplos:``
Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.
Corolários:
Se um primo p não divide um inteiro a,••
então a e p são primos entre si.
Se p é um primo tal que p|ab, então p|a••
ou p|b.
Todo inteiro composto possui um divisor••
primo.
Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo inteiro positivo n > 1 pode ser represen-
tado de maneira única (a menos da ordem) como um
produto de fatores primos.
α α α
= ⋅ ⋅ ⋅1 2 k
1 2 kn P P ... P
Exemplos:``
Decomponha o número 17 640 em um produto de
fatores primos.
Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores
primos em ordem crescente como mostrado abaixo:
17 640 2
8 820 2
4 410 2
2 205 3
735 3
245 5
49 7
7 7
1
Então, 17 640 = 23
.32
.5 . 72
.
Teorema de Euclides: há um número infinito de
primos.
Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então
a possui um divisor primo p a .
Esse teorema indica um processo para reconhe-
cer se um número a > 1 é primo, bastando dividir
os números sucessivamente pelos primos que não
excedam a .
Exemplos:``
22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por
nenhum desses números, então 509 é primo.
Crivo de Eratóstenes:
Construção de uma tabela de primos que não
excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem
os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos
os inteiros compostos múltiplos dos primos menores
que n .
Exemplos:``
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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EM_V_MAT_002
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Congruências
Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é
côngruo a b módulo m se, e somente se, a – b é
múltiplo de m.
a b (mod m) m (a – b)
Exemplos:``
14 8 (mod 3), pois 3 (14 – 8)
20 – 19 (mod 3), pos 3 (20 – (–19))
10 8(mod 3), pois 3 (10-8)
Teorema: a b (mod m) se, e somente se, os restos
das divisões de a e b por m são iguais.
Propriedades:
a a (mod m)
a b (mod m) b a (mod m)
a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m)
a b (mod m) e c d (mod m) a + c b + d (mod
m) e a.c b.d (mod m)
a b (mod m) a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m)
a b (mod m) an
bn
(mod m), n Z+
*.
Exemplos:``
1) Determine o resto de (14 543)567
por 3.
Solução:``
14 543 2 (mod 3)
14 5432
22
1 (mod 3)
14 5433
2 x 1 2 (mod 3)
14 5434
2 x 2 1 (mod 3)
14 543567
2 (mod 3)
Pode-se notar que os valores se repetem, sendo 2 nos
expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. Assim, o
resto é 2.
2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649
.
Solução:``
Para obtermos o algarismo das unidades, devemos cal-
cular o resto por 10.
5 837 7 (mod 10)
5 8372
9 (mod 10)
5 8373
9 x 7 3 (mod 10)
5 8374
3 x 7 1 (mod 10)
O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de
repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4.
Observando os expoentes nota-se o seguinte:
Expoente Resto por 10
4n +1 7
4n + 2 9
4n + 3 3
4n 1
Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1, o resto por 10 é
7, ou seja, o algarismo das unidades é 7.
3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10).
Solução:``
Vamos descobrir uma solução particular xo
tal que
10 (7xo
– 4). Para tanto deve existir yo
inteiro tal que 7xo
– 4
= 10yo
, ou seja, 7xo
– 10yo
= 4. O algoritmo de Euclides
nos permite obter os valores xo
= 12 e yo
= 8, ou seja,
7.12 – 10.8 = 4. Então precisamos encontrar x, tal que
7x 4 (mod 10) e 7.12 4 (mod 10). Subtraindo, temos
7(x – 12) 0 (mod 10), ou seja, 10 7(x – 12). Como 10
é primo com 7, devemos ter 10 (x – 12), isto é, x 12
2 (mod 10) ou x = 10k + 2, com k Z.
Critérios de divisibilidade
Por 2: 2|n n é par
Ex.: 2|356 e 2 357
Sugestão para demonstração: Considere n = 10k
+ r, onde r é o algarismo das unidades de n.
Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múl-
tiplo de 3.
Ex.: 3|111, pois 1+1+ 1 = 3, 3|114, pois 1 + 1 + 4
= 3 2, mas 3 112, pois 1 + 1 + 2 = 4.
Por 4: 4 n o número formado pelos dois últi-
mos algarismos de n é múltiplo de 4.
Ex.: 4 3240, pois 4 40, 4 1516, pois 4 16, mas
4 126, pois 4 26.
Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é
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10
EM_V_MAT_002
0 ou 5.
Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111
Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3.
Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124
Por 8: 8 | n o número formado pelos três úl-
timos algarismos de n é múltiplo de 8.
Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas
8 1516, pois 8 516.
Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é
múltiplo de 9.
Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3
+ 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8.
Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de
n é 0.
Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115
Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de
ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem
par é múltiplo de 11.
Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7
– 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12.
Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e1.	
a2
=56
, b5
=57
e c3
=38
, calcule (abc)15
.
Solução:``
a2
= 56
a = 53
(abc)15
= a15
b15
c15
= a15
⋅ (b5
)3
⋅ (c3
)5
= (53
)15
⋅ (57
)3
⋅ (38
)5
=
= 545
⋅ 521
⋅ 340
= 545+21 .
340
Solução:`` 566 .340
(Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)2.	 0,25
e y = 16−0,125
, é verdade que:
x = ya)	
x > yb)	
xc)	 ⋅ y = 2 2
xd)	 − y é um número irracional.
x + y é um número racional não-inteiroe)	
Solução:``
x = (0,25)0,25
=
1
4
1
4
=
1
224
4
=
2
1
y = 16–0,125
=
1
24
1
8
=
1
248
8
=
2
1
Logo, x = y.
Solução:`` A
(UFCE) O valor exato de3.	 732+10 + 732 – 10 é:
12a)	
11b)	
10c)	
9d)	
8e)	
Solução:`` C
1)	 x = 732+10 + 732 – 10
	 x2
= 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 322
– 100.7
	 ⇒ x2
= 64 +2 324 = 64 +2.18 = 100
	 Como x > 0, então x = 10.
2)	 Observando que 32 = 52
+ 7, então:
	 32 10 7 = 52
2.5. 7 + 7 = (5 7 )2
	 x = 732+10 + 732 – 10 = 5 + 7 +5 − 7
= 10
(ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da4.	
população de Votuporanga (SP). O número de pessoas
que soube do acontecimento t horas após é dado por:
B
1 + Ce–kt
f(t) =
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9
da população soube do acidente três horas após, então
o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse
da notícia foi de:
4 horas.a)	
5 horas.b)	
6 horas.c)	
5 horas e 24 minutos.d)	
5 horas e 30 minutos.e)	
Solução:`` A
f(0) =
B
1 + C.e–k.0 =
B
1 + C
=
B
65
C = 64
f(3) =
B
1+ 64.e3k
=
B
9
⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k
= 9 ⇔ e−3⋅k
=
1
8
⇔ e−k
=
1
2
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11
EM_V_MAT_002
f(t) =
B
5
=
B
1+64.e–k.t
=
B
5
⇔ 1 +64 ⋅ e−k⋅t
= 5 ⇔ e−k⋅t
=
1
16
(e−k
)t
=
1
2
4
1
2
t
=
1
2
4
t = 4 horas
(Unicamp -SP) Para representar um número natural5.	
positivo na base 2, escreve-se esse número como soma
de potências de 2.
Por exemplo: 13 = 1 . 2a)	 3
+ 1 . 22
+ 0 . 21
+1 . 20
=
1 101
Escreva o número 26 +13 na base 2.b)	
Quantos números naturais positivos podem ser es-c)	
critos na base 2 usando-se exatamente cinco alga-
rismos?
Escolhendo-se ao acaso um número natural n tald)	
que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam
usados exatamente quarenta e cinco algarismos
para representar o número n na base 2?
Solução:``
a)	 (1001101)2
, pois 26 +13 = 1 ⋅ 25
+ 0 ⋅ 24
+0 ⋅ 23
+ 1 ⋅ 22
+ 1 ⋅ 21
+1 ⋅ 20
= (100111)2
b)	 16
Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O
primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser
escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos
um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números.
c)	 1/64
entre 1 e 250
temos 250
números naturais. Na base 2,
temos 244
números com 45 algarismos. Portanto, a pro-
babilidade é
2
2
1
2
1
64
44
50 6
= = .
(UFF) Um número6.	 n é formado por dois algarismos cuja
soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos,
obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado
encontrado é 54. Determine o número n.
Solução:``
Número n: xy
yx – xy = 54 (10y + x) – (10x + y) = 54 –9x +9y
= 54
– x + y = 6
x + y = 12
- x + y = 6
2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3
n = 39
(UFMG) Sabe-se que:7.	
para se escreverem os números naturais de 1 até•	
11, são necessários 13 dígitos; e
para se escreverem os números naturais de 1 até o•	
número natural n, são necessários 1341 dígitos.
Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a:
448a)	
483b)	
484c)	
447d)	
Solução:`` B
1 algarismo: 1 a 9 9 n.os
9 ⋅ 1 = 9 dígitos.
2 algarismos: 10 a 99 90 n.os
90 ⋅ 2 = 180 dígitos.
3 algarismos: 100 a 999 900 n.os
900 ⋅ 3 = 2 700
dígitos.
Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3
algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos.
Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 =
1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 núme-
ros.
(n – 100) +1 = 384 n = 483
(UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no8.	
Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra
alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17
anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam
e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de
17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram
outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto
em que ocorrerá uma revoada da futura geração de
cigarras será em:
2072a)	
2068b)	
2076c)	
2080d)	
Solução:`` A
O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada
da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) =
68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072.
Simplifique:1.	
3 3
10
21 23
7
+
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12
EM_V_MAT_002
(FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale:2.	
0,64a)	
6,4b)	
64c)	
640d)	
6 400e)	
(PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação3.	
correta?
(a)	 −68
)3
= (−6)24
(b)	 −2)3
= 2−3
2c)	 3
+ 24
= 27
19 40
131
59
131
2 2
2
+
=d)	
11e)	 2
⋅ 362
= 3962
(PUC-Rio) O valor de4.	 67 6 9− + é igual a:
−3a)	
−9b)	
8c)	
4d)	
2e)	
(PUC-Rio) Assinale a afirmativa correta:5.	
( )2
2
1
a b
b
a
−
=a)	
ab)	 2
b3
= (ab)6
5a + 6b = 11abc)	
Se ad)	 3
= b3
, então a = b
Se ae)	 2
+ b2
=25 então a + b = 5
(Unicamp)6.	
Calcule as seguintes potências:a)	
a = 33
, b = (−2)3
, c = 3−2
e d = (−2)−3
.
Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.b)	
(UFF) A expressão7.	 10 10 10
10 10 10
10 20 30
20 30 40
+ +
+ +
é equivalente a:
1 +10a)	 10
10
2
10
b)	
10c)	 −10
10d)	 10
10 1
2
10
−e)	
(UFRN) Dados os números M = 9,848.	 ⋅ 1015
e N = 1,23
1016
, pode-se afirmar que:
M < Na)	
M + N = 1,07b)	 ⋅ 1016
M > Nc)	
Md)	 ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031
(Unificado) O número de algarismos do produto 59.	 17
 ⋅ 49
é igual a:
17a)	
18b)	
26	c)	
34d)	
35e)	
(Unicamp) Dados os dois números positivos10.	 33
e
44
, determine o maior.
(UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o11.	
auxílio de uma régua.
Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento,
sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11
vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O
comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:
240a)	
235b)	
225c)	
220d)	
(UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num de-12.	
terminado instante. Um deles permanece 10 segundos
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro per-
manece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a partir
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar
juntos outra vez é de:
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13
EM_V_MAT_002
150a)	
160b)	
190c)	
200d)	
(UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o13.	
auditor deparou-se com a seguinte situação:
	Não era possível ver o número de metros vendidos,a)	
mas sabia-se que era um número inteiro. No valor
total, só apareciam os dois últimos dos três alga-
rismos da parte inteira. Com as informações acima,
o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em
metros, declarada nessa nota foi:
16b)	
26c)	
36d)	
46e)	
(UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui14.	
está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de
12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta
uma fita. A soma dos três algarismos do número total
de fitas que ela possui é igual a:
3a)	
4b)	
6c)	
8d)	
(UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.15.	
Considere o determinante de ordem 3 abaixo:
2 0 4
7 8 2
2 5 5
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
(UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que16.	
a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd
= ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d.
(FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de17.	
homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total
de pessoas (número de homens mais o de mulheres).
Um possível valor para N é:
46a)	
47b)	
48c)	
49d)	
50e)	
(Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos18.	
adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de
um número inteiro positivo é:
37a)	
36b)	
35c)	
34d)	
33e)	
(UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos19.	
de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro
do maior.
Dentre esses números, o maior é:
múltiplo de 3.a)	
ímpar.b)	
quadrado perfeito.c)	
divisor de 500.d)	
divisível por 4.e)	
(UFF) Considere p, q20.	 ∈ N* tais que p e q são números
pares. Se p > q, pode-se afirmar que:
(pq + 1) é múltiplo de 4.a)	
p – q é ímpar.b)	
p + q é primo.c)	
pd)	 2
– q2
é par.
p(q + 1) é ímpar.e)	
(UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos mate-21.	
máticosumtipoespecialdenúmeroprimodescritoaseguir:
“Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo,
entãoonúmeroprimopédenominadoprimodeGermain.”
Pode-se afirmar que é primo de Germain o número:
7a)	
17b)	
18c)	
19d)	
41e)	
(UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em22.	
quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou
pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por
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14
EM_V_MAT_002
diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for
nadar, será:
terça-feira.a)	
quarta-feira.b)	
quinta-feira.c)	
sexta-feira.d)	
(UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com23.	
dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos
são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos
é um número:
menor que 9.a)	
múltiplo de 3.b)	
primo.c)	
maior que 30.d)	
A equação1.	 x x x
= 2 é satisfeita apenas quando x é igual
a:
2a)	
24
b)	
2c)	
23
d)	
(CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número:2.	
2x
⋅ 34
⋅ 26y
possa ser expresso como uma potência de
base 39.
8a)	
0b)	
4c)	
2d)	
3e)	
(CN) Sabendo que3.	
x 23 6
1999= , y =19994
e z 45 8
1999=  , (x > 0, y > 0 e
z > 0), o valor de x y z⋅ ⋅( )
− 1
3
é:
1999a)	 9
1999b)	 6
1999
1
9c)	
1999d)	 –6
1999e)	 –9
(CN) Simplificando a expressão:4.	
600
25 52 2 2n n
n
+ +
−
para n
∈ {0, 1}, temos:
5a)	
5b)	 –1
5c)	 –2
5d)	 2
5e)	 0
(CN) Sendo x5.	 2
= 343, y3
= 492
e z6
= 75
, o algarismo das
unidades simples do resultado de
xy
z






24
é:
1a)	
3b)	
5c)	
7d)	
9e)	
(CN) Qual o valor da expressão6.	
1 2 3 50
5 10 15 250
2 125
1
2
3
1
+ + + +
+ + + +



 ⋅ ( )
−
−


,
1a)	
5b)	
53
c)	
5
5
3
d)	
5
5
e)	
(UFF) A expressão7.	
8 4
8 4
88 44
44 22
−
−
é equivalente a:
1 – 2a)	 88
2b)	 44
⋅(288
+1)
9c)	 ⋅ 244
3d)	 ⋅ (1 – 288
)
2e)	 88
⋅ (288
+ 1)
(UERJ) Considere o polinômio8.	
P(n) = (n +1)⋅(n2
+3n +2), n ∈ N. Calcule:
a quantidade de paralelepípedos retângulos de ba-a)	
ses quadradas e volumes numericamente iguais a
P(11), cujas medidas das arestas são expressas por
números naturais.
o valor da expressão:b)	 7 4 7 5 7 2
344
9 6 3
2
+ ⋅ + ⋅ +
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15
EM_V_MAT_002
(UECE) Se n = (0,59.	 ⋅ 40,25
+ 40,75
)2
− 41,5
⋅(1 + 4−0,5
), então
32 ⋅ n é igual a:
16a)	
32b)	
48c)	
64d)	
(IME) Calcule:10.	 2
10
9
3 2
10
9
33 3+ + −
(Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) =11.	
109
⋅ 43⋅t
bactérias no instante t medido em horas
(ou fração na hora). Sabendo-se que inicialmente
existem 109
bactérias, quantos minutos são neces-
sários para que se tenha o dobro da população
inicial?
20a)	
12b)	
30c)	
15d)	
10e)	
Sabendo que: 198912.	 a
= 13 e 1989b
= 17. Calcule
117117
1 a b
2(1 b)
− −
−






(UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio,13.	
julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31
de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira.
Então, 15 de outubro do mesmo ano foi:
quinta-feira.a)	
terça-feira.b)	
quarta-feira.c)	
sexta-feira.d)	
(UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual14.	
se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o
quadrado de um número natural. Então, a soma dos
algarismos de N é:
9a)	
7b)	
8c)	
10d)	
(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em15.	
geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são
anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não
por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis
por 400, que também são bissextos. Assim, o número
de anos bissextos entre 1895 e 2102 é:
50a)	
47b)	
48c)	
49d)	
51e)	
(Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos16.	
é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu
umengano,tendodiminuídoem4oalgarismodasdezenas
do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado
obtidopelomenordosfatores,obtendo39comoquociente
e 22 como resto. Determine os dois números.
(Fuvest)17.	
Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?a)	
Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 eb)	
1 000?
(Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro18.	
n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216
carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de
cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos
carrosdotipoAdoquedotipoB,istoé,n<m,equeMDC
(n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente:
18, 198a)	
36, 180b)	
90, 126c)	
126, 90d)	
162, 54e)	
(UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números19.	
primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.
Se p é primo e maior que 3, demonstre que pa)	 2
– 1 é
múltiplo de 12.
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16
EM_V_MAT_002
Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois númerosb)	
naturais distintos, menores que 37, determine a pro-
babilidade de ambos serem primos maiores que 3.
(UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um20.	
número natural.
N = 10n
– n
Se n é um número par, então N também é um nú-a)	
mero par.
Justifique esta afirmativa.
Determine o valor da soma dos algarismos de Nb)	
quando n = 92.
(UFSCar) Considere as seguintes informações:21.	
o máximo divisor comum entre dois números tam-•	
bém é um divisor da diferença entre esses núme-
ros.
se o máximo divisor comum entre dois números a•	
e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo
comum desses números será igual ao seu produto,
mmc(a,b) = ab.
Prove que o máximo divisor comum entre dois nú-a)	
meros consecutivos é igual a 1.
Determine dois números consecutivos, sabendo queb)	
são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é
igual a 156.
(Fuvest) Um número racional r tem representação de-22.	
cimal da forma r = a1
, a2
,a3
onde 1 ≤ a1
≤ 9, 0 ≤ a2
≤ 9,
0 ≤ a3
≤ 9. Supondo-se que:
a parte inteira de r é o quádruplo de a•	 3
;
a•	 1
, a2
, a3
estão em progressão aritmética;
a•	 2
é divisível por 3.
Então a3
vale:
1a)	
3b)	
4c)	
6d)	
9e)	
(UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural23.	
n é par, então o próprio número n tem que ser, obriga-
toriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2
par ⇒ n par)
(UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que24.	
possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos
os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10.
Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10
por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos
para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo:
número x
na base b
0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 número x
na base10←←
←←0	 *	 #	 ω	 ⊗	♣	 ♠
Determine o menor valor aceitável para b.
(UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e25.	
m = 50! +37.
Calcule o resto da divisão de n por 18.a)	
m é um número primo? Justifique sua resposta.b)	
(Unicamp) Um determinado ano da última década do26.	
século XX é representado, na base 10, pelo número abba
e um outro, da primeira década do século XXI, é repre-
sentado, também na base 10, pelo número cddc.
Escreva esses dois números.a)	
A que século pertencerá o ano representado pelab)	
soma abba + cddc ?
(Unicamp) O teorema fundamental da aritmética ga-27.	
rante que todo número natural n > 1 pode ser escrito
como um produto de números primos. Além disso, se
n = pt
1
1 pt
2
2
...pt
r
r, onde p1
, p2
, ... , pr
são números primos
distintos, então o número de divisores positivos de n é
d(n) = (t1
+ 1) ⋅ (t2
+ 1) ⋅ ... ⋅ (tr
+ 1).
Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivosa)	
de 168.
Encontre o menor número natural que tem exata-b)	
mente 15 divisores positivos.
(Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros po-28.	
sitivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b)
= 105.
Qual é o valor de b se a = 35?a)	
Encontre todos os valores possíveis de (a, b).b)	
(UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dis-29.	
positivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou
mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como
“dadoeletrônico”éumcircuitoelétricoque,deformalógica,
executa o seguinte procedimento: partindo de um número
naturalN,transforma-oemumnúmeronaturalRquecorres-
pondeaorestodadivisãodeNporsete;aseguir,apresenta
no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao
apertarobotãodo“dadoeletrônico”,umapessoagerouum
pulso correspondente ao número natural N formado por
2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número
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17
EM_V_MAT_002
R que aparecerá no visor é:
0a)	
1b)	
2c)	
4d)	
5e)	
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18
EM_V_MAT_002
271.	
C2.	
E3.	
C4.	
D5.	
6.	
a = 27,  b = −8,  c = 1/9,  d = −1/8     a)	
b < d < c < ab)	
C7.	
A8.	
B9.	
3
310.	
C11.	
D12.	
C13.	
B14.	
Resposta pessoal.15.	
(10a +b)16.	 ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c)
D17.	
A18.	
A19.	
D20.	
E21.	
B22.	
C23.	
C1.	
A2.	
E3.	
C4.	
A5.	
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EM_V_MAT_002
C6.	
B7.	
8.	
6a)	
345b)	
A9.	
210.	
E11.	
312.	
D13.	
B14.	
A15.	
31 e 4116.	
17.	
100a)	
140b)	
C18.	
19.	
Resposta pessoala)	 .
2/35b)	
20.	
10a)	 n
é par e n é par, então N = 10n
− n é par
818b)	
21.	
Resposta pessoal.a)	
12 e 13b)	
E22.	
Resposta pessoal23.	 .
10024.	
25.	
0a)	
Não, pois n = 37b)	 ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ...
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1)
26.	
1991 e 2002a)	
XLb)	
27.	
16a)	
144b)	
28.	
15a)	
(5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)b)	
E29.	
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EM_V_MAT_002
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1
EM_V_MAT_006
O estudo das funções exponenciais, apesar de
ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente
relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma
característica importante que motivou o seu desen-
volvimento no século XVII, que é a possibilidade
de simplificar cálculos matemáticos transformando
multiplicações e divisões em adições e subtrações.
As funções exponenciais aparecem em diver-
sas aplicações científicas e profissionais, como por
exemplo, o montante de um capital aplicado a juros
compostos fixos e a desintegração radioativa.
Função exponencial
Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial
de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x
Exemplo:``
f(x) = 3x
, f(x) = (1/2)x
e f(x) = 5( )X
Propriedades
Como f(0) = a1)	 0
= 1, o par ordenado (0, 1) per-
tence ao gráfico da função exponencial.
Quando 0 < a < 1, a função f(x) = a2)	 x
é de-
crescente. Já quando a > 1, a função f(x) =
ax
é crescente.
0 < a < 1:
x1
< x2
f(x1
) > f(x2
)
a > 1:
x1
< x2
f(x1
) < f(x2
)
Essa propriedade tem aplicação na resolução
das inequações exponenciais.
Função
Exponencial
A função f(x) = a3)	 x
, com 0 < a ≠ 1 é injetora.
f(x1
) = f(x2
) x1
= x2
Essa propriedade respalda a solução das equa-
ções exponenciais.
A função f(x) = a4)	 x
, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada
superiormente e a sua imagem é o conjunto
dos números reais positivos (R+
*
).
Gráfico
O gráfico da função exponencial f(x) = ax
, com 0
< a ≠ 1, tem as seguintes características:
está todo acima do eixo Ox;••
corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;••
é crescente para a > 1 e decrescente para••
0 < a < 1;
o eixo x é assíntota do gráfico.••
É interessante observar que o crescimento ex-
ponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.
Os gráficos da função exponencial estão exem-
plificados abaixo:
1.º caso: a > 1 (função crescente)
y
x10 2 3–3 –2 –1
2
4
6
f(x) = ax
(a>1)
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2
EM_V_MAT_006
2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente)
y
x10 2 3–3 –2 –1
2
4
6
f(x) = ax
(0<a<1)
Uma característica peculiar dos gráficos das
funções exponenciais f(x) = ax
, com a > 1, e g(x) =
(1/a)x
, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que
eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x)
= g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x
e g(x) = (1/2)x
.
y
x10 2 3–3 –2 –1
2
4
6
y = 2x
y =
1
2
Os gráficos seguintes retratam as mudanças
nos gráficos quando varia o parâmetro a.
(1) y = 2x
(2) y = 3x
(3) y = 4x
y
x10 2 3–3 –2 –1
2
4
6
(3) (2) (1)
(4) y = (1/2)x
(2) y = (1/3)x
(3) y = (1/4)x
y
x10 2 3–3 –2 –1
2
4
6
(4) (5) (6)
Seja f: R R, f(x) = b . ax
uma função do tipo
exponencial e x1
, x2
, ..., xn
uma progressão aritmé-
tica de razão r, então f(x1
), f(x2
), ... , f(xn
) formam
uma progressão geométrica de razão ar
.
Equações exponenciais
Equações exponenciais são equações cuja in-
cógnita encontra-se no expoente.
Nesse módulo, vamos estudar as equações
que podem ser resolvidas reduzindo os dois mem-
bros a uma base comum, o que possibilita igualar
os expoentes em virtude da injetividade da função
exponencial.
Sendo 0 < a 1, então:
ax
= an
x = n
Serão apresentados exemplos com as variações
mais comuns desse tipo de problema.
Exemplos de equações
Para a resolução dessas equações basta adotar
o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os
membros a uma base comum.
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3
EM_V_MAT_006
31)	 x
=243 3x
=35
x=5
82)	 x
=
1
32
(23
)x
=2–5
23x
= 2–5
3x
= – 5
x= –
5
3
(
4
3 )x
=
3
9 3
x
4
= 3
2
3 x
4
=
2
3
x =
8
3
3)	
No próximo exemplo é necessário observar que,
para todo a 0, tem-se a0
= 1.
54)	 2x2+3x–2
=1 52x2+3x–2
=50
2x2
+3x – 2=0
x = –2 		 ou	 x = 1
2
25)	 3x–1
. 42x+3
= 83–x
23x–1
. (22
)2x+3
= (23
)3–x
23x–1
. 24x+6
= 29–3x
27x+5
=29–3x
7x + 5 = 9 – 3x 10x = 4 x = 0,4
Nesse caso, devemos colocar em evidência 5
elevado ao menor expoente.
56)	 x–2
– 5x
+ 5x+1
= 505
5x–2
– 52
. 5x–2
+53
. 5x–2
= 505
5x–2
. (1–52
+53
) = 505 101 . 5x–2
= 505
5x–2
= 51
x – 2=1 x = 3
No caso abaixo, devemos fazer a substituição
y=2x
e reduzir a equação a uma equação de 2.º
grau.
47)	 x
+ 4 = 5 . 2x
(2x)2
– 5.2x
+4 = 0
y = 2x
y2
– 5y + 4 = 0 y = 1 ou y = 4
2x
= 1 2x
= 20
x = 0
2x
= 4 2x
= 22
x = 2
Agora a base também é uma variável. A base da
função exponencial deve ser maior que 0 e diferente
de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade
exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é
preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou
1, que devem ser analisados em separado.
x8)	 x2 – 5x+6
= 1
x=0•• 06
=1 (falso)
x=1•• 12
=1 (verdadeiro)
0<x•• 1: xx2–5x+6
= 1 xx2–5x+6
= x0
x2
– 5x+6=0
x=2 ou x=3
S= 1, 2, 3
Esse é um caso especial, em que temos várias
bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base
comum.
49)	 x
+ 6x
=2 . 9x
(: 9x
) 4
9
x
+ 6
9
x
– 2=0
2
3
2x
+
2
3
x
– 2=0
y =
2
3
x
y2
+ y – 2 = 0
y=1
ou
y= – 2 (não convém)
2
3
x
= 1 x = 0
Inequações exponenciais
A resolução de inequações exponenciais é ba-
seada na monotonicidade da função exponencial. Os
dois casos estão apresentados abaixo:
a > 1: ax
>an
x > n
0 < a < 1: ax
>an
x < n
As expressões acima refletem o fato da expo-
nencial ser crescente para bases maiores que 1 e
decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação
entre os expoentes é a mesma que entre as expo-
nenciais para bases maiores que 1 e é invertida para
bases entre 0 e 1.
A seguir serão apresentados exemplos de reso-
lução de inequações exponenciais.
Exemplos de inequações
A resolução das inequações a seguir é feita
reduzindo ambos os membros a uma base comum e
aplicando a propriedade das consequências imedia-
tas, que consiste em manter o sinal da desigualdade
entre os expoentes quando a base for maior que 1 e
invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.
31)	 x
>243 3x
>35
x>5
3
5
x
2)	 125
27
3
5
x
5
3
3
3
5
x
3
5
–3
x –3
(273)	 x–2
)x+1
(9x+1
)x–3
33(x–2) (x+1)
32(x+1)(x–3)
3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3) x2
+x 0
x –1
ou x 0
No caso a seguir, devemos colocar em evidência
3 elevado ao menor expoente.
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4
EM_V_MAT_006
34)	 2x+1
– 9x
– 32x–1
– 9x–1
42
32x+1
– 32x
– 32x–1
– 32x–2
42
33
. 32x–2
– 32
. 32x–2
– 3 . 32x–2
– 32x–2
42
32x–2
. (33
– 32
– 3 – 1) 42 14.32x–2
42
32x–2
3 2x – 2 1 x 3
2
Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x
e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.
35)	 2x
– 3x+1
>3x
– 3 32x
– 3 . 3x
>3x
– 3
32x
– 4 . 3x
+3 > 0
y=3x
y2
– 4y+3>0 y<1 ou y>3
3x
<1 x<0
3x
>3 x>1
S= x R x<0 ou x >1
No próximo exemplo, a base também é uma va-
riável, sendo preciso analisar em separado os casos
de base 0 e 1.
Resolva em R6)	 +
, xx2– 5x+7
x.
I) x = 0 07
0 (verdadeiro)
II) x = 1 13
1 (verdadeiro)
III) 0 < x < 1 x2
– 5x +7 1
x2
– 5x +6 0 x 2 ou x 3
S1
= ]0, 1[
IV) x > 1 x2
– 5x +7 1 x2
– 5x +6 0
2 x 3 S1
= [2, 3]
S = [0, 1] [2, 3]
Equações exponenciais
A definição de logaritmo como inversa da função
exponencial permite resolver de imediato equações
exponenciais.
ax
=b x = loga
b
Cabe observar que se deve colocar a equação
exponencial na forma ax
= b .
Uma outra maneira de se resolver a equação
exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os mem-
bros da equação exponencial.
ax
= b logc
ax
= logc
b x =
logc
b
logc
a
=loga
b
Nesse caso, não é necessário sempre colocar a
equação na forma ax
= b, podendo alternativamente
aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente
e posteriormente determinar a variável.
Exemplos:``
21)	 x+2
=3 x+2 = log2
3 x = log2
3 – 2
72)	 2x –1
= 33x+4
1.a
sol.: 72X
7
=33X
. 34 72X
33X
= 7 . 34
72
33
x
=7 . 34
x = log 567
2.a
sol.: 72x –1
= 33x+4
log 72x –1
= log 33x +4
(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3
2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7
x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7
x = log7+4 log 3
2 log 7– 3log
Inequações exponenciais
Da mesma forma que as equações exponenciais,
as inequações podem ser resolvidas pela aplicação
de logaritmos, considerando que a função logarítmica
é crescente quando a base é maior que 1 e decres-
cente quando a base está entre 0 e 1.
x > loga
b, se a>1
x < loga
b, se 0< a<1
ax
> b
x < loga
b, se a>1
x > loga
b, se 0< a<1
ax
< b
Caso seja conveniente, pode ser adotada outra
base para o logaritmo em vez da base a.
21)	 3x+2
> 9 3x+2>log2
9 x>
log2
9 – 2
3
1
3
2)	
x
5 x log 5 x – log3
5
23)	 x–2
> 32x–1
x – 2 >(2x – 1) log2
3
x(1 – 2 log2
3) > 2 – log2
3 x <
2 – log2
3
1 – 2log2
3
Note que 1 – 2 log2
3<0.
(UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de1.	
um funcionário recém-admitido, utilizando uma função
f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças
que a empresa espera que ele produza em cada dia (d),
a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico
auxiliar abaixo, que representa a função y = ex
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5
EM_V_MAT_006
2,72
0,37
0,13
–1–2 1
y=ex
x
Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d
e o gráfico acima,
a empresa pode prever que o funcionário alcançará a
produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for
igual a:
5a)	
10b)	
15c)	
20d)	
Solução:`` B
f(d) = 100 −100 . e−0,2d
= 87 e−0,2.d
= 0,13
No gráfico dado, temos 0,13 = e−2
, então
e−0,2⋅d
= e−2
⇔ −0,2d = −2 d = 10
(UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a2.	
população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por
ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que me-
lhor representam a população da cidade A em função do
tempo e a população da cidade B em função do tempo,
respectivamente, são:
População
Tempo
População
Tempo
População
Tempo
População
Tempo
gráfico 1 gráfico 2
gráfico 3 gráfico 4
gráfico 2 e gráfico 1.a)	
gráfico 1 e gráfico 2.b)	
gráfico 3 e gráfico 1.c)	
gráfico 2 e gráfico 4.d)	
gráfico 3 e gráfico 4.e)	
Solução:`` A
A função que representa a população da cidade A é
f(n) = p0
⋅ (1,03)n
, onde p0
é a população inicial da
cidade A.
A função que representa a população da cidade B é
g(n) = q0
+ 3000⋅n, onde q0
é a população inicial da
cidade B.
Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente,
o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B
cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.
(Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-3.	
ponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x|
é:
a)	
y
0,5
0,5
x10 2 3–3 –2 –1
b)	
y
1
x10 2–1 0,5 1,5 2,5–0,5–1,5
c)	
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
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6
EM_V_MAT_006
d)	
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
e)	
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
Solução:`` C
O gráfico de g(x) =
 
  
x
1
2
x é:
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico
de h(x) =
 
  
x
1
2
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
O gráfico de f(x) = 1–
 
  
x
1
2
é:
y
1
1
x10 2 3–3 –2 –1
4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois
a utilização desnecessária ou equivocada de um medi-
camento pode comprometer a saúde do usuário: subs-
tâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos
do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Depois de se administrar determinado medicamento a
um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração
(y) de certa substância em seus organismos alterava-
se em função do tempo decorrido (t), de acordo com
a expressão y = y0 .
2–0,5.t
em que y0
é a concentração
inicial e t é o tempo em hora.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a
concentração da substância tornou-se a quarta parte
da concentração inicial após:
1/4 de hora.a)	
meia hora.b)	
1 hora.c)	
2 horas.d)	
4 horas.e)	
Solução:`` E
y0
4 = y0
. 2–0,5.t
2− 0,5⋅t
=2−2
0,5.t = –2 4 horas
5. (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da
equação 5x2–2
: 25= 1
125
–x
. Então, m é um número:
par.a)	
primob)	
não-real.c)	
irracional.d)	
divisível por 3.e)	
Solução:`` C
5x2–2
: 25 = 1
125
–x
5x2–2
. 5–2
= (5–3
)–x
5x2–4
= 53x
x2
–4 = 3x x2
– 3x – 4 = 0
x = –1 ou x = 4
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7
EM_V_MAT_006
O menor número real que é solução da equação é
m = – 1, logo
m = –1 = i que não é real.
6. (UECE) Se x1
e x2
são as raízes da equação
2x2
. 5x2
= 0,001.(103–x
)2
, então + é:
5a)	
10b)	
13c)	
34d)	
Solução:`` B
2x2
. 5x2
= 0,001.(103 – x
)2
(2.5)x2
= 10–3.
106 – 2X
10x2
= 103 – 2X
x2
= 3–2x
x2
+ 2x – 3 = 0
x = –3 ou x =1
+ = (–3)2
+ 12
= 10
7. (Fatec) Se x é um número real tal que 2–x
. 4x
< 8x+1
,
então:
– 2 < x < 2a)	
x = 1b)	
x = 0c)	
x < 3/2d)	
x > −3/2e)	
Solução:`` E
2x
. 4x
< 8x+1
2–x
. (22
)x
< (23
)x+1
2–x
.22x
< 23x+3
2x
< 23x+3
x < 3x+3 2x >–3 x > –
3
2
8. (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência
com um material volátil, cuja velocidade de volatilização
é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em
função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula
m = –32t
– 3t+1
+ 108. Assim sendo, o tempo máximo
de que os cientistas dispõem para utilizar esse material
antes que ele se volatilize totalmente é:
inferior a 15 minutos.a)	
superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.b)	
superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.c)	
superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.d)	
superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.e)	
Solução:`` E
m = 32t
– 3t+1
+ 108 = 0 –32t
– 3.3t
+108 = 0
y = 3t
–y2
– 3y + 108 = 0
y = 9
y = –12 (não convém)
3t
= 9 = 32
t = 2 horas = 120 minutos.
Como aos 120 minutos o material se volatilizou total-
mente, o tempo máximo de utilização é um valor bem
próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.
9. (FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48,
a raiz da equação 5x
= 60 vale aproximadamente:
2,15a)	
2,28b)	
41c)	
2,54d)	
2,67e)	
Solução:`` D
5x
= 60 log 5x
= log60 x.log 10
2
= log(2 . 3 . 10)
x (1 – log2) = log2 + log3 + 1
x = ≅ 2,54log2 + log3 + 1
1 – log2
=
0,30 + 0,48 + 1
1 – 0,30
= 1,78
0,70
10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera po-
luentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para
controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são
a seguir relatados:
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo,
essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos
até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo
total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y
= 2x
−1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x
.
Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de
poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente:
(Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4)
1 333a)	
2 333b)	
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8
EM_V_MAT_006
3 333c)	
4 333d)	
5333e)	
Solução:`` A
Custo da poluição = custo do controle da poluição
2x
−1 = 6 ⋅ (1/2)x
22x
− 2x
− 6 = 0
a = 2x
a2
− a − 6 = 0 a = −2 ou a = 3
a > 0 2x
= 3 ⇔ x log 2 = log 3
=
log 3
log 2
= 0,4
0,3
= 4
3
.1 000kg =1 333kgton = 4
3
(PUC-Rio) Dada a função f(x) = 51.	 x
(5x
− 1)
Ache f (0) e f (1).a)	
Resolva f (x) = 0.b)	
(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose,2.	
sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo
t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt
, em que Ro
é o risco de infecção no início da contagem do tempo t
e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual
em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a
implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida
uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
ex
8,2 9,0 10,0 11,0 12,2
x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne
igual a 0,2% , é de:
21a)	
22b)	
23c)	
24d)	
(Unesp) Num período prolongado de seca, a variação3.	
da quantidade de água de certo reservatório é dada
pela função q(t) = q0
. 2(–0,1).t
sendo q0
a quantidade
inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de
água no reservatório após t meses. Em quantos meses a
quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade
do que era no início?
5a)	
7b)	
8c)	
9d)	
10e)	
(UENF)Ainflaçãoanualdeumpaísdecresceunoperíodo4.	
de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por
uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx
, conforme
o gráfico a seguir.
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano
de declínio.
(FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu5.	
a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários
com sua experiência.
Experiência (meses) 0 6
Produção (unidades por hora 200 350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à
experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t
,
sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.
Considerando que as projeções do gerente de pro-a)	
dução dessa indústria estejam corretas, quantos me-
ses de experiência serão necessários para que os
operários possam produzir 425 unidades por hora?
Desse modo, qual será a máxima produção possívelb)	
dos operários dessa empresa?
(UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de6.	
bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida,
para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt
, sendo t o tempo, em minuto,
e k uma constante.
A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com
o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a
25 Q(0).
Assinale a opção que indica quantos bilhões de
bactérias estão presentes nesse meio de cultura no
oitavo minuto.
12,5a)	
25b)	
312,5c)	
625d)	
1 000e)	
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9
EM_V_MAT_006
(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera foto-7.	
gráfica, a bateria começa imediatamente a recarregar
o capacitor que armazena uma quantidade de carga
elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) =
Qo
⋅(1 − e– ⋅t
) sendo:
Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t,••
medido em segundo;
Q•• o
a carga máxima; e
λ•• uma constante.
Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine:
a expressão de t em função de Q.a)	
o tempo necessário para que o capacitor recarre-b)	
gue 90% da carga máxima.
(UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função8.	
y = 2x
no plano cartesiano.
Com base nesse gráfico, é correto afirmar que:
ya)	 0
= y2
− y1
yb)	 1
= y3
− y2
yc)	 1
= y3
+ y0
yd)	 2
= y1
⋅ y0
ye)	 3
= y1
⋅ y2
(UFJF) A função c(t)=200 . 39.	 k.t
, com k = 1/12, dá o
crescimento do número C, de bactérias, no instante t
em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja,
nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo:
[0, 4]a)	
[4, 12]b)	
[12, 36]c)	
[36, 72]d)	
[72, 108]e)	
(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão represen-10.	
tados o gráfico da função y = 2x
, os números a, b, c e
suas imagens.
Observando-se a figura, pode-se concluir que, em
função de a, os valores de b e c são, respectivamente:
a
2
a)	 e 4a
ab)	 −1 e a + 2
2a ec)	
a
4
a + 1 e ad)	 − 2
(UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de11.	
variável real definidas por f x
x
( ) =






−
3
2
1
e g (x) = x,
representadas no mesmo sistema de coordenadas carte-
sianas, verificamos que todas as raízes da equação
f(x) = g(x) pertencem ao intervalo:
[0, 3]a)	
1
2
4, ]

b)	
[1, 5)c)	
3
2
6, ]

d)	
(2, 6)e)	
(UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)12.	
proposição(ões) correta(s).
(01)	Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00,
ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamen-
tos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando
mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a
receber.
(02)	Se numa área urbana o número de pessoas atin-
gidas por certa doença (não controlada) aumenta
50% a cada mês, então a função n t N
t
( ) = ⋅






3
2
for-
nece o número (aproximado) de pessoas afetadas
pela doença, t meses após o instante em que havia
N pessoas doentes nessa área.
(04)	Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e
por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na
loja B o produto P está com o preço 100% acima do
preço praticado pela loja A, e que a loja A está pra-
ticando um preço 100% menor do que o praticado
pela loja B.
(08)	Admita que a função n(t) = N .  2t
forneça o número
aproximado de pessoas atingidas por uma epide-
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10
EM_V_MAT_006
mia (não controlada) onde t é o número de meses
decorridos a partir do momento em que N pessoas
são acometidas pela doença. Então é correto afirmar
que, num aglomerado urbano com 10 000 habitan-
tes, não ocorrendo aumento populacional, oito me-
ses após existirem 50 pessoas doentes é provável
que toda a população estará doente, caso nada seja
feito para debelar o mal.
Soma ( )
(Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em13.	
um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque
especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e
observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a
expressão que determina a dívida (em reais) em relação
ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t
.
Após quantos meses a sua dívida duplicou?
loga)	 1,10
2
logb)	 2
1,10
log 2c)	
log 1,10d)	
log 2,10e)	
(PUC-Rio) Uma das soluções da equação14.	 10
1
100
2
3x −
=
é:
x = 1a)	
x = 0b)	
x = 2c)	
x =d)	 −2
x = 3e)	
(UFJF) As raízes da equação15.	 2 1 2 17 4x x+ =/ / são:
iguais em módulo.a)	
ambas negativas.b)	
ambas positivas.c)	
quaisquer números reais.d)	
nulas.e)	
(UFF)16.	
Ao resolver uma questão, José apresentou o se-a)	
guinte raciocínio:
“Como 1
4
1
8
> tem-se
1
2
1
2
2 3



 >



 e conclui-se que
2 > 3.”
Identifique o erro que José cometeu em seu racio-
cínio, levando-o a essa conclusão absurda.
Sem cometer o mesmo erro que José, determine ob)	
menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à
inequação:
1
2
1
4
4 1



 >




+m m
.
(UFMG) Suponha que a equação17.	
8 4 2
2 2
3 5 5 8ax bx c x x x+ + + − +
= ⋅ seja válida para todo número
real x, em que a, b e c são números reais. Então, a
soma a + b + c é igual a:
5
3
a)	
17
3
b)	
28
3
c)	
12d)	
(UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação18.	
2 3 2 322 1 2x x+ +
− ⋅ = , é:
(UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).19.	
Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de(  )(
f(g(1)) é 9.
O gráfico da função f(x) = 2x – 1(  )( não intercepta o
terceiro quadrante.
O conjunto solução da equação(  )( log ( ) log3
2
3 2x x− = é
{−1, 2}.
O conjunto solução da inequação exponencial(  )(
1
7
1
7
x 5x 1 12



 ≥




+ +
é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}.
(M. Campos) Resolvendo as duas equações expo-20.	
nenciais 4 81 5x−
= e 3 52 3 2 3y y+ +
= , obtém-se uma raiz
para cada equação. Nessas equações valor de x − y
corresponde a:
2,8a)	
– 0,2b)	
0,8c)	
1d)	
(EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação21.	
9.
3
5
243
125
x x 92



 =
− −
são, respectivamente:
1 e –12a)	
7 e 12b)	
–2 e –8c)	
–1 e 12d)	
7 e 10e)	
(AFA) O conjunto-solução da inequação22.	
( , ) ( , )( ) ,
0 5 0 252 15x x x⋅ − −
< é:
{x R l x <1}a)	
{x R l x >3}b)	
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11
EM_V_MAT_006
{x R l 1 < x <3}c)	
{x R l x < 1 ou x > 3}d)	
(UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a1.	
temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja
temperatura é T0
obedece à seguinte relação:
T=T0
+K e-ct
Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o
tempo medido em horas, a partir do instante em que o
corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes
a serem determinadas. Considere uma xícara contendo
café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de
temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura
do café passa a ser de 40ºC.
Calcule a temperatura do café 50 minutos após aa)	
xícara ter sido colocada na sala.
Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleçab)	
o tempo aproximado em que, depois de a xícara
ter sido colocada na sala, a temperatura do café se
reduziu à metade.
(UENF) Em um município, após uma pesquisa de2.	
opinião, constatou-se que o número de eleitores dos
candidatos A e B variava em função do tempo t, em
anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t) = 2.105
(1,60)t
		 B(t) = 4.105
(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se
ao dia 1.° de janeiro de 2000.
Calcule o número de eleitores dos candidatos A e Ba)	
em 1.° de janeiro de 2000.
Determine em quantos meses os candidatos terãob)	
o mesmo número de eleitores.
Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razãoc)	
entre os números de eleitores de A e B era maior
que 1.
(FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma3.	
substancial campanha de propaganda e, pouco antes
de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas
era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas
diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t
, sendo B o
número de unidades vendidas em um determinado dia;
V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e =
2,72 e k um número real.
Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume
diário de vendas era de 8 000 unidades.
Qual o volume diário de vendas 30 dias após o en-a)	
cerramento da promoção?
Quando se espera que a venda diária seja reduzidab)	
a 6 400 unidades?
Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo
de 2 na base 10.
(FGV) Uma empresa estima que após completar o pro-4.	
grama de treinamento básico, um novo vendedor, sem
experiência anterior em vendas, será capaz de vender
V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após
t meses do início das atividades na empresa. Sendo
V(t)=A - b . 3-k.t
, com A, B e k constantes obtidas expe-
rimentalmente, pede-se:
determinar as constantes A, B e k, sabendo que oa)	
gráfico da função V é
admitindo-se que um novo programa de treinamen-b)	
to básico introduzido na empresa modifique a fun-
ção V para V(t) = 55 – 24 . 3-t
, determinar t para V(t)
= 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.
(UFC) Sejam f: R5.	 → R e g: R → R, sendo R o conjunto
dos números reais, funções tais que:
f é uma função par e g é uma função ímpar;I)	
f(x) + g(x) = 2II)	 x
.
Determine f(log2
3) – g(2).
(UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indi-6.	
cado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual
a ______, sendo f(x) = 2x
.
2a)	
2b)	 2
3c)	
3d)	 2
4e)	
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12
EM_V_MAT_006
(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida7.	
pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em
1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está
relacionada com a energia liberada por ele – E –, em
joules (J), de acordo com a expressão E E
M
= ⋅0
3
2
10 ,
em que E0
é uma constante. Com base nessas infor-
mações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V)
ou falsos (F)
Se a energia liberada por um terremoto for igual a(  )(
1 000 000 E0
J, então a magnitude desse terremoto
será igual a 5 na escala Richter.
A energia liberada por um terremoto de magnitude(  )(
5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por
um terremoto de magnitude 4.
Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT)(  )(
libere 5 100
9
2
E ⋅ J durante uma explosão, então um
terremoto de magnitude 8 libera mais energia que
uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT.
A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema(  )(
de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia li-
berada em função da magnitude de um terremoto.
(UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em8.	
uma determinada população de 30 000 frangos em uma
granja pode ser descrita pela equação P t t
( ) =
+ −
11 480
1 34
, em
que t é o número de dias decorridos desde a detecção
da doença, que é definido como o momento do apareci-
mento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade
total de frangos infectados após t dias. Com base nessas
informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros
(V) ou falsos (F).
A quantidade de frangos infectados no momento em(  )(
que a doença foi detectada é superior a 150.
Caso a doença não seja controlada, toda a popula-(  )(
ção de frangos da granja será infectada.
4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log(  )( 3
5
dias do momento da detecção da doença.
O número de frangos infectados somente no terceiro(  )(
dia é inferior a 1 200.
(Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas pro-9.	
ximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da
água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi
descrita por um observador através do seguinte modelo
matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t
, com t em segundos, h(t)
em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o
golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:
1a)	
2b)	
4c)	
8d)	
10e)	
(Unesp) Considere a função dada por10.	
f(x) = 32x+1 
+ m . 3x 
+ 1.
Quando m =a)	 − 4, determine os valores de x para os
quais f(x) = 0.
Determine todos os valores de m para os quais ab)	
equação f(x) = m +1 não tem solução real x.
(Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha11.	
uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço
do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de
fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a expressão para p (t);a)	
o tempo mínimo necessário, em número inteiro deb)	
anos, após a saída da fábrica, para que um automó-
vel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se
necessário, use:log , log ,2 0 301 3 0 477≅ ≅e .
(Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de12.	
uma determinada população seja dado pela função:
F(t) = a . 2-bt
, onde a variável t é dada em anos e a e b
são constantes.
Encontre as constantes a e b de modo que a po-a)	
pulação inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos
e a população após 10 anos seja a metade da po-
pulação inicial.
Qual o tempo mínimo para que a população se re-b)	
duza a 1/8 da população inicial?
Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].c)	
(Unicamp) O processo de resfriamento de um determi-13.	
nado corpo é descrito por: T(t) = TA
+ a . 3b.t
, onde T(t) é
a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t,
dado em minutos, TA
é a temperatura ambiente, suposta
constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi
colocado em um congelador com temperatura de −18ºC.
Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC
após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos.
Encontre os valores numéricos das constantesa)	 α e β.
Determine o valor de t para o qual a temperaturab)	
do corpo no congelador é apenas
2
3






o
C superior
à temperatura ambiente.
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13
EM_V_MAT_006
(UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o14.	
locutor informa:
“Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber
uma notificação da defesa civil do país alertando para
a chegada de um furacão de grandes proporções
nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a
calma, uma vez que os órgãos do governo já estão
tomando todas as providências cabíveis”.
Para atender às solicitações que seguem, suponha
que o número de pessoas que tenha acesso a essa
informação, quando transcorridas t horas após a
divulgação da notícia, seja dado pela expressão
f t
P
k t
( )
.( )
.=
+ −
1 9 3
, sendo t ≥ 0, P a população do
país e k uma constante.
Calcule o percentual da população que tomoua)	
conhecimento da notícia no instante de sua di-
vulgação.
Calcule em quantas horas 90% da populaçãob)	
teve acesso à notícia, considerando que, em 1
hora após a notícia, 50% da população do país
já conhecia a informação.
(FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação19.	
2 2 5 3 53 1 3x x y y+ + +
+ = + ⋅ . Então x − y é:
8a)	
5b)	
9c)	
6d)	
7e)	
(UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema20.	
4 32
3 3
x y
y x
+
−
=
=




é:
5
3
2
,



a)	
5
3
2
,−



b)	
3
2
3
,



c)	
1
3
2
,



d)	
1
1
2
,



e)	
(ITA) Dada a equação 321.	 2x
+ 52x
– 15x
= 0, podemos
afirmar que:
Não existe x real que a satisfaça.a)	
x = logb)	 3
5 é solução dessa equação.
x = logc)	 5
3 é solução dessa equação.
x = logd)	 3
15 é solução dessa equação.
x = 3.loge)	 5
15 é solução dessa equação.
(ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os22.	
valores reais de x para os quais a2x
– (a + a2
) . ax
+ a3
< 0 são:
aa)	 2
< x < a
x < 1 ou x > 2b)	
1 < x < 2c)	
a < x <d)	 a
0 < x < 4e)	
(ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de23.	
12x3
– 19x2
+ 8x – 1 então as soluções reais da
equação 12 . (33x
) – 19 . (32x
) + 8 . (3x
) – 1 = 0
somam:
–loga)	 3
12	
1b)	
–(1/3).logc)	 3
12
(IME) Determine os valores de15.	 l que satisfaçam à
inequação, 27
4
9
27 27 02 1λ λ
− + >−
, e represente, grafi-
camente, a função, y x x
= − + −
27
4
9
27 272 1
(UFF) Resolva o sistema16.	
3 3 36
3 243
x y
x y
+ =
=




+
(UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro17.	
termo é 5x
e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros
termos é 3 900, pode-se afirmar que
5
5
2x−
é igual a:
1/25a)	
1/5b)	
1c)	
5d)	
25e)	
(Unicamp) Considere a equação18.	 2 2 2 2 02x x
m m+ ⋅ − − =−
,
onde m é um número real.
Resolva essa equação para m = 1.a)	
Encontre todos os valores de m para os quais ab)	
equação tem uma única raiz real.
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14
EM_V_MAT_006
–1d)	
loge)	 3
7
(ITA) Seja a24.	 ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as
soluções reais da inequação a ax x x2 1 1⋅ − −
>( )
é:
]a)	 −1 , 1[
]1 , +b)	 ∞[
]c)	 −1/2 , 1[
]d)	 −∞ , 1[
vazio.e)	
(ITA) A soma das raízes positivas da equação25.	
4 5 2 4 0
2 2
x x
− ⋅ + = vale:
2a)	
5b)	
2c)	
1d)	
3e)	
(UECE) Um empregado está executando a sua26.	
tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que
N t
= − − ⋅
640 1 2 0 5
. ( ),
seja o número de unidades fa-
bricadas por dia por esse empregado, após t dias,
do início do processo de fabricação. Se, para t = t1
,
N = 635, então t1
é igual a:
10a)	
12b)	
14c)	
16d)	
(IME) Resolva o sistema27.	
x y
y ax
y x
=
=



onde a ≠ 1 e a > 0.
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15
EM_V_MAT_006
1.	
f(0) = 0 e f(1) = 20a)	
x = 0b)	
C2.	
E3.	
60%4.	
5.	
12 meses.a)	
499b)	
C6.	
7.	
t
Q
Q
= − −





2 1
0
na)	
tb)	 ≈ 4,6s.
E8.	
C9.	
D10.	
C11.	
E, C, E, C12.	 ⇒ soma 10
A13.	
A14.	
A15.	
16.	
1
2
1
2
2 3



 >



a)	 ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2
é decrescente.
m = 2b)	
c17.	
318.	
C, E, C, C19.	
a20.	
A21.	
d22.	
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16
EM_V_MAT_006
1.	
22,5ºCa)	
15 minutos.b)	
2.	
200 000 e 400 000 eleitores.a)	
6 meses.b)	
Razão =c)	 2 > 1
3.	
5 120 unidades.a)	
20 dias.b)	
4.	
A = 50, B = 30 e k = 1/2a)	
1,4b)	
−5.	 5/24
C6.	
F, F, F, F7.	
F, F, V, F8.	
E9.	
10.	
0 ea)	 −1
−12 < mb)	 ≤ 0
11.	
p(t) = (0,81)a)	 t
⋅F
15 anos.b)	
12.	
a = 1024 e b = 1/10a)	
30 anos.b)	
13.	
αa)	 = 54 e β = −1/90
360 minutos.b)	
14.	
10%a)	
2 horas.b)	
λ15.	 < −
2
3
ou λ > −
1
3
(2, 316.	 ) ou (3, 2)
b17.	
18.	
S = {1}a)	
(b)	 −∞, 0] ∪ {1}
b19.	
d20.	
a21.	
c22.	
a23.	
c24.	
c25.	
c26.	
x aa
= −
1
1
27.	 e y a
a
a
= −1
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Aritmética Elementar

  • 1. PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR MATEMÁTICA Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 2. © 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico Disciplinas Autores Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Literatura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Matemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Física Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Química Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Biologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes História Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Geografia Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p. ISBN: 978-85-387-0571-0 1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 3. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 4. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 5. 1 EM_V_MAT_002 Aritmética Elementar Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e con- veniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos, o que faci- litaria o processo de contagem primitivo. Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal. Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode ser expresso como um produto de números primos. Esse resultado, conhecido como Teorema Funda- mental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos “Elementos”, de Euclides, e destaca a importância dos números primos na Teoria dos Números, de- sempenhando um papel similar ao dos átomos na estrutura da matéria. O conceito de congruências, introduzido por Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeti- cae”, será apresentado como importante ferramenta para estudo dos números. É importante lembrar que a Teoria dos Nú- meros é uma área em franco desenvolvimento, que apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que ainda possui muitos problemas em aberto que são um desafio aos matemáticos. Potência de expoente natural Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a e expoente n é um número an tal que: a0 = 1 an = an–1 .a, n, n 1 Assim, a1 = a0 ⋅ a = 1 ⋅ a = a a2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a a3 = a2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a Em geral ap , p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p fatores iguais a a. ap = a . a . a... . a p . fatores Exemplos:`` 1) 40 = 1 2) (–5)0 = 1 3) 21 = 2 4) 1 5 1 = 1 5 5) (–4)1 = –4 6) 52 = 5 ⋅ 5 = 25 7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9 8) 02 = 0 ⋅ 0 = 0 9) 2 3 2 = 2 3 . 2 3 = 4 9 10) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 11) (–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8 12) –23 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8 13) –(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8 1) a0 = 1, a 0 2) a1 = a 3) 0P = 0, p R+ * 4) 00 não é definido 5) n par an > 0 6) n ímpar an tem o mesmo sinal de a Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 6. 2 EM_V_MAT_002 Potência de expoente inteiro negativo a–n = 1 an , a R* Exemplos:`` ( ) ( ) − − − = = = = − = = = − −−   = = =            =       1 1 -2 2 3 3 2 2 n n 1 1 1) 3 3 3 1 1 2 ) 3 3 2 1 1 1 3 ) 3 27 273 2 1 1 9 4) 43 42 93 a b Em geral, temos: b a Raiz enésima aritmética Seja o radicando a R+ e o índice n N, existe sempre a raiz b R+ , tal que n a = b bn = a. Exemplos:`` 5 32 = 2, pois 25 = 32 Da definição temos que 4 16 = 2 e não 4 16 = 2. Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se a2 = a . Exemplos:`` (–5)2 = –5 = 5 e x2 = x . Operações Só é possível adicionar ou subtrair raízes1) idênticas (mesmo índice e radicando). Exemplo:`` 3 3 + 2 3 = 5 3 Para multiplicação ou divisão basta que as2) raízes possuam o mesmo índice. Exemplo:`` 3 2 . 3 3 = 3 2.3 = 3 6 Potência de expoente racional Seja a R+ * e p q Q* , temos: a p q = q ap Expoente p q numerador potência da base denominador índice da raiz Exemplos:`` 1) 3 1 2 = 3 2) 8 2 3 = 3 82 = 4 As potências de expoente irracional são defini- das por “aproximação” de potências racionais, mas apenas para bases não-negativas. Propriedades das potências 1) ap ⋅ aq = ap + q 2) ap aq = ap – q , a ≠ 0 3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp 4) a b p = ap bp , b ≠ 0 5) (ap )q = ap⋅q Exemplos:`` 1) 53 ⋅ 52 = 53+2 = 55 2) 34 ⋅ 3–1 = 34–1 = 33 3) 25 22 = 25 – 2 = 23 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 7. 3 EM_V_MAT_002 4) 25 2–2 = 25 –(– 2) = 27 5) (2 ⋅ 3)2 = 22 ⋅32 6) 3 5 2 = 32 52 7) (53 )2 = 53⋅2 = 56 8) 532 = 59 Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 an- teriores, em geral temos (ap )q ≠ apq . Propriedades das raízes Sejam n, p ∈ N* e a, b ∈ R+ 1) n am = n.p am.p 2) n a.b = n a . n b 3) n a b = a n b n , b ≠ 0 4) n a m = n am 5) p n a = p.n a As propriedades das raízes são iguais às proprie- dades das potências para expoentes fracionários. As propriedades acima são úteis para redução de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua multiplicação ou divisão. Exemplo:`` 3 . 3 2 = 6 33 . 6 22 = 6 33 .22 = 6 108 Raiz quadrada aproximada No caso de números que não possuem raiz qua- drada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta como o maior número cujo quadrado não excede o número dado e na raiz quadrada por excesso como o menor número cujo quadrado excede o número dado. Os dois números citados diferem em 1 unidade e os erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade. A diferença entre o número dado e o quadrado da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é cha- mada resto da raiz quadrada. Exemplo:`` 36 < 42 < 49 ⇔ 62 < 42 < 72 , assim 6 é a raiz quadrada de 42 por falta, 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e o resto é 42 – 62 = 6. Racionalização Racionalizar consiste em transformar as expres- sões com radicais no denominador em expressões equivalentes que não apresentem radicais no deno- minador. Essa operação é feita multiplicando-se o nume- rador e o denominador da fração por um fator racio- nalizante. Esse fator é a expressão que multiplicada pelo denominador resulte em uma expressão sem radicais. Esse fator é encontrado tendo por base as propriedades de potências e raízes, e a analogia com as fórmulas da fatoração. Racionalização baseada nas propriedades de potências e raízes Exemplos:`` 2 1 1) = 2 1 . 2 2 = 2 22 = 2 2 3 3 3 2) = 3 3 3 . 32 323 3 = 333 9 3 3 = 3 9 3 3. = 3 9 Racionalização baseada na fórmula: (a + b).(a - b) = a2 - b2 Exemplos:`` 1 3 – 2 1) = 1 3 – 2 . 3+ 2 3+ 2 = 3 2 – 2 3+ 2 2 = 3 – 2 3 + 2 = 3 + 2 1 2 + 1 2) = 1 2 + 1 . 2 – 1 2 – 1 = 2 2 – 12 2 – 1 = 2 – 1 2 – 1 = 2 – 1 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 8. 4 EM_V_MAT_002 Racionalização baseada nas fórmulas: (a3 + b3 ) = (a + b).(a2 - ab + b2 ) e (a3 - b3 ) = (a - b).(a2 + ab + b2 ) Exemplos:`` 2 – 1 3 1 1) = 2 – 1 3 1 . 2 2 + 2 . 1 + 12 3 3 2 2 + 2 . 1 + 123 3 = 2 2 + 2 . 1 + 123 3 2 3 – 133 = 2 2 + 2 + 1 3 3 2 – 1 = 3 4 + 3 2 +1 9 – 3 1 6 + 3 4 32) = 9 – 3 1 6 + 3 4 3 . 3 + 3 2 3 3 + 3 2 3 3 3 + 2 3+ 2 33 3 3 3 = 3 + 2 3 + 2 3 3 = 5 3 + 2 3 3 Transformação de radicais duplos A B = A + C 2 A – C 2 C = A2 – B Exemplos:`` 3+ 51) = 3 + 2 2 + 3 – 2 2 = 5 2 + 2 1 = 2 10+ 2 C = 32 – 5 = 2 6 – 2 52) = 6 – 20 = 6 + 4 2 + 6 – 4 2 = 5 – 1 C = 62 – 20 = 4 Sistemas de numeração O nosso sistema de numeração chama-se hindu- arábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números. Esses algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os números restantes são representados por combinações desses símbolos. Em geral escreve-se: (an an –1 . . . a2 a1 a0 )10 para representar 100 a0 + 101 a1 + 102 a2 +...+ 10n–1 an–1 + 10n an com 0 ≤ ai < 10. Dessa forma escreve-se 75 para representar 7 . 10+5 e 223 para representar 2 . 102 +2 . 10 + 3 Entretanto, os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. No sistema de base 2, os algarismos utilizados são 0 e 1, e os primeiros números são escritos: (1)2 = (1)10 (10)2 = (2)10 (11)2 = (3)10 (100)2 = (4)10 (101)2 = (5)10 (110)2 = (6)10 (111)2 = (7)10 Em geral, quando representamos os números da base 10, omitimos o subíndice. Mudança de uma base qualquer para a base 10 Um sistema de numeração de base b se relacio- na com a base 10 da seguinte forma: (an an–1 . . . a2 a1 a0 )b = a0 + b . a1 + b2 . a2 +. . . + bn . an onde os algarismos podem tomar apenas os valores 0, 1, 2, . . . , b – 1. Exemplos:`` (23)6 = 3 + 2 . 6 = 15 (145)6 = 5 + 4 . 6 +1 . 62 = 65 (1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0. 22 +1 . 23 = 11 Na expressão acima podemos notar que num sistema de base b são usados b algarismos e o maior algarismo utilizado é b – 1. Ex.: O sistema de base 6 possui 6 al- garismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Caso a quantidade de símbolos exceda 10, uti- lizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, dessa forma os símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, ..., onde A equivale a 10 unidades de base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante. É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para representar que as mesmas são algarismos que compõem um número. Por exemplo, para a base 10: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 9. 5 EM_V_MAT_002 xyé usado para representar 10x+y xyz para representar 100x + 10y + z Esse tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases. Mudança da base 10 para uma base qualquer Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10. Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10. Isso é feito baseado na expressão do item anterior. Dessa forma, para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representa- ção nessa nova base é dada pelo resto assim obtido tomados na ordem contrária. Exemplos:`` Escrever 171 na base 2. 2 2 2 2 2 2 85 42 21 10 2 1 171 1 1 0 1 0 2 5 1 0 171 = (10101011)2 Mudança entre bases diferentes da base 10 Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra também dife- rente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base. Exemplos:`` Ex.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12 Temos: (6 165)7 = 6⋅73 + 1⋅72 + 6⋅7 + 5 = 2 154 Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6 179 = 12 ⋅ 14 + 11 14 = 12 ⋅ 1 + 2 1 = 12 ⋅ 0 + 1 Logo, 2 154 = (12B6)12 Portanto, (6 165)7 = (12B6)12 Contagem Se n e p são números naturais com n > p, o número de naturais entre n e p inclusive (isto é, con- tando também n e p) é igual a n – p + 1. Se no cômputo incluirmos apenas um dos extre- mos a quantidade de naturais é n – p. O número de naturais entre n e p exclusive (isto é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1. Exemplos:`` 1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 nú- meros. 2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números. 3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos) há (100 – 9 – 1) = 90 números. As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa, como no exemplo abaixo: Exemplo: Qual o vigésimo número após 15? Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35. Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Deve- se proceder como acima considerando os números divididos por k. Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos? Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números. Outras vezes é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é ne- cessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos. Exemplos:`` São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos foram escritos? De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo. De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 alga- rismos. De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos. Logo, o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 + 51 ⋅ 3 = 342. A tabela a seguir mostra a quantidade de números que se pode formar na base 10 com uma determinada quan- tidade de algarismos. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 10. 6 EM_V_MAT_002 Qtd. de algarismos Qtd. de números 1 9 2 90 3 900 4 9000 Divisibilidade Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que a divide b (denotado por a | b) se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide b escreve-se a b. Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe inteiro q, tal que 10 = 3q. Propriedades Sejam a, b e c inteiros. a|0, 1|a e a|a (reflexiva) Se a|1, então a = ±1 Se a|b e c|d, então ac|bd Se a|b e b|c, então a|c (transitiva) Se a|b e b|a, então a = ±b Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b| Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z. Divisores de um inteiro É o conjunto dos números inteiros não-nulos que são divisores de a, conforme definido acima. D(a) = {x Z* x|a} Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2, ±4, ±8} Divisores comuns de dois inteiros D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e x D(b)} = D(a) D(b). Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}. Número de divisores positivos O número de divisores positivos de um inteiro positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p1 1 p2 2 ... pk k , é dado por: d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) ... ( k + 1) Exemplo:`` Quantos divisores positivos possui o número 60? 60=22 . 31 . 51 d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12 Para obter o•• total de divisores positivos e ne- gativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido pela expressão acima. Para obter a•• quantidade de divisores ím- pares basta excluir do produto d(n) o fator relativo ao expoente do primo 2, se houver. A•• quantidade de divisores pares pode ser obtida subtraindo esse número do total. Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1). (1+1) = 12 Total de divisores positivos e negativos de 60 = 2.12 = 24 Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1). (1+1) = 4 Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8 Máximo divisor comum (MDC) Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a, b) que satisfaz: (1) d a e d b (2) se c a e c b, então c d. A condição (1) diz que d é um divisor comum de a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores comuns. Exemplos:`` mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16, 24) = 8, mdc (24, 60) = 12. Corolários mdc (a, 1) = 1 se a 0, então mdc (a, 0) = a se a b, então mdc (a, b) = a Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 11. 7 EM_V_MAT_002 Existência e unicidade do MDC Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso, existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b. A representação do mdc (a, b) como combinação linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) = d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t. Números primos entre si Diz-se que a e b são primos entre si se, e so- mente se, o mdc (a, b) = 1. Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e 20 e 21. Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e – 1. Teorema: Dois inteiros a e b, não simultanea- mente nulos, são primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1. Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d, b/d) = 1. Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc (a,c)=1. Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então ab c. Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somen- te se, mdc (a, bc)=1. Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a, b) = 1, então a c. Algoritmo de Euclides Teorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) = mdc (b, r). O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação repetida do lema acima e é normalmente apresentado por intermédio do seguinte dispositivo prático: q1 q2 q3 ... qn qn+1 a b r1 r2 ... rn-1 rn r1 r2 r3 ... rn 0 O aparecimento do resto 0 indica rn = mdc (a, b). Exemplos:`` mdc (963, 657) = 9 1 2 6 1 4 963 657 306 45 36 9 306 45 36 9 0 Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)=|k| – mcd (a,b). MDC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fa- tores primos comuns as duas decomposições tomados com seus menores expoentes. Exemplos:`` 588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mdc (588,936) = 22 . 3 = 12. Mínimo múltiplo comum (MMC) O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x Z tal que ax} = {aq q Z}. Exemplos:`` M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x. M(a,b) = {x Z / a x e b x}={x Z / x M(a) e x M(b)} M(a,b) = M(a) M(b) Exemplo: M(12)={12qq Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...} M(18)={18qq Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...} M(12,18) = M(12) M(18) = {0, 36, 72, ...} Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se míni- mo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc(a,b) que satisfaz as condições: (1) a m e b m (2) se ac e bc, com c > 0, então m c. Exemplo:`` mmc (12,18) = 36 Corolários mmc (a,b)•• ab Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 12. 8 EM_V_MAT_002 se a•• b, então mmc (a,b) = b se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) =•• ab Sejam a e b inteiros positivos, então: mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b Exemplos:`` Determinar o mmc (963, 657). Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo, mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299. MMC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns às duas decom- posições tomados com seus maiores expoentes. Exemplos:`` 588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mmc (588,936) = 23 . 32 . 72 . 13 = 45 864. Números primos Um inteiro positivo p > 1é um número primo se, e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores positivos. Os inteiros maiores que 1, que não são primos, ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo, são ditos compostos. Exemplos:`` Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ... O único inteiro positivo par que é primo é o número 2. Corolários: Se um primo p não divide um inteiro a,•• então a e p são primos entre si. Se p é um primo tal que p|ab, então p|a•• ou p|b. Todo inteiro composto possui um divisor•• primo. Teorema Fundamental da Aritmética: Todo inteiro positivo n > 1 pode ser represen- tado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. α α α = ⋅ ⋅ ⋅1 2 k 1 2 kn P P ... P Exemplos:`` Decomponha o número 17 640 em um produto de fatores primos. Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores primos em ordem crescente como mostrado abaixo: 17 640 2 8 820 2 4 410 2 2 205 3 735 3 245 5 49 7 7 7 1 Então, 17 640 = 23 .32 .5 . 72 . Teorema de Euclides: há um número infinito de primos. Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então a possui um divisor primo p a . Esse teorema indica um processo para reconhe- cer se um número a > 1 é primo, bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a . Exemplos:`` 22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por nenhum desses números, então 509 é primo. Crivo de Eratóstenes: Construção de uma tabela de primos que não excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos múltiplos dos primos menores que n . Exemplos:`` 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 13. 9 EM_V_MAT_002 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Congruências Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é côngruo a b módulo m se, e somente se, a – b é múltiplo de m. a b (mod m) m (a – b) Exemplos:`` 14 8 (mod 3), pois 3 (14 – 8) 20 – 19 (mod 3), pos 3 (20 – (–19)) 10 8(mod 3), pois 3 (10-8) Teorema: a b (mod m) se, e somente se, os restos das divisões de a e b por m são iguais. Propriedades: a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) e b c (mod m) a c (mod m) a b (mod m) e c d (mod m) a + c b + d (mod m) e a.c b.d (mod m) a b (mod m) a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m) a b (mod m) an bn (mod m), n Z+ *. Exemplos:`` 1) Determine o resto de (14 543)567 por 3. Solução:`` 14 543 2 (mod 3) 14 5432 22 1 (mod 3) 14 5433 2 x 1 2 (mod 3) 14 5434 2 x 2 1 (mod 3) 14 543567 2 (mod 3) Pode-se notar que os valores se repetem, sendo 2 nos expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. Assim, o resto é 2. 2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649 . Solução:`` Para obtermos o algarismo das unidades, devemos cal- cular o resto por 10. 5 837 7 (mod 10) 5 8372 9 (mod 10) 5 8373 9 x 7 3 (mod 10) 5 8374 3 x 7 1 (mod 10) O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4. Observando os expoentes nota-se o seguinte: Expoente Resto por 10 4n +1 7 4n + 2 9 4n + 3 3 4n 1 Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1, o resto por 10 é 7, ou seja, o algarismo das unidades é 7. 3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10). Solução:`` Vamos descobrir uma solução particular xo tal que 10 (7xo – 4). Para tanto deve existir yo inteiro tal que 7xo – 4 = 10yo , ou seja, 7xo – 10yo = 4. O algoritmo de Euclides nos permite obter os valores xo = 12 e yo = 8, ou seja, 7.12 – 10.8 = 4. Então precisamos encontrar x, tal que 7x 4 (mod 10) e 7.12 4 (mod 10). Subtraindo, temos 7(x – 12) 0 (mod 10), ou seja, 10 7(x – 12). Como 10 é primo com 7, devemos ter 10 (x – 12), isto é, x 12 2 (mod 10) ou x = 10k + 2, com k Z. Critérios de divisibilidade Por 2: 2|n n é par Ex.: 2|356 e 2 357 Sugestão para demonstração: Considere n = 10k + r, onde r é o algarismo das unidades de n. Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múl- tiplo de 3. Ex.: 3|111, pois 1+1+ 1 = 3, 3|114, pois 1 + 1 + 4 = 3 2, mas 3 112, pois 1 + 1 + 2 = 4. Por 4: 4 n o número formado pelos dois últi- mos algarismos de n é múltiplo de 4. Ex.: 4 3240, pois 4 40, 4 1516, pois 4 16, mas 4 126, pois 4 26. Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 14. 10 EM_V_MAT_002 0 ou 5. Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111 Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3. Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124 Por 8: 8 | n o número formado pelos três úl- timos algarismos de n é múltiplo de 8. Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas 8 1516, pois 8 516. Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 9. Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3 + 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8. Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de n é 0. Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115 Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é múltiplo de 11. Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7 – 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12. Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e1. a2 =56 , b5 =57 e c3 =38 , calcule (abc)15 . Solução:`` a2 = 56 a = 53 (abc)15 = a15 b15 c15 = a15 ⋅ (b5 )3 ⋅ (c3 )5 = (53 )15 ⋅ (57 )3 ⋅ (38 )5 = = 545 ⋅ 521 ⋅ 340 = 545+21 . 340 Solução:`` 566 .340 (Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)2. 0,25 e y = 16−0,125 , é verdade que: x = ya) x > yb) xc) ⋅ y = 2 2 xd) − y é um número irracional. x + y é um número racional não-inteiroe) Solução:`` x = (0,25)0,25 = 1 4 1 4 = 1 224 4 = 2 1 y = 16–0,125 = 1 24 1 8 = 1 248 8 = 2 1 Logo, x = y. Solução:`` A (UFCE) O valor exato de3. 732+10 + 732 – 10 é: 12a) 11b) 10c) 9d) 8e) Solução:`` C 1) x = 732+10 + 732 – 10 x2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 322 – 100.7 ⇒ x2 = 64 +2 324 = 64 +2.18 = 100 Como x > 0, então x = 10. 2) Observando que 32 = 52 + 7, então: 32 10 7 = 52 2.5. 7 + 7 = (5 7 )2 x = 732+10 + 732 – 10 = 5 + 7 +5 − 7 = 10 (ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da4. população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por: B 1 + Ce–kt f(t) = onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente três horas após, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: 4 horas.a) 5 horas.b) 6 horas.c) 5 horas e 24 minutos.d) 5 horas e 30 minutos.e) Solução:`` A f(0) = B 1 + C.e–k.0 = B 1 + C = B 65 C = 64 f(3) = B 1+ 64.e3k = B 9 ⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k = 9 ⇔ e−3⋅k = 1 8 ⇔ e−k = 1 2 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 15. 11 EM_V_MAT_002 f(t) = B 5 = B 1+64.e–k.t = B 5 ⇔ 1 +64 ⋅ e−k⋅t = 5 ⇔ e−k⋅t = 1 16 (e−k )t = 1 2 4 1 2 t = 1 2 4 t = 4 horas (Unicamp -SP) Para representar um número natural5. positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências de 2. Por exemplo: 13 = 1 . 2a) 3 + 1 . 22 + 0 . 21 +1 . 20 = 1 101 Escreva o número 26 +13 na base 2.b) Quantos números naturais positivos podem ser es-c) critos na base 2 usando-se exatamente cinco alga- rismos? Escolhendo-se ao acaso um número natural n tald) que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2? Solução:`` a) (1001101)2 , pois 26 +13 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 +0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20 = (100111)2 b) 16 Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números. c) 1/64 entre 1 e 250 temos 250 números naturais. Na base 2, temos 244 números com 45 algarismos. Portanto, a pro- babilidade é 2 2 1 2 1 64 44 50 6 = = . (UFF) Um número6. n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54. Determine o número n. Solução:`` Número n: xy yx – xy = 54 (10y + x) – (10x + y) = 54 –9x +9y = 54 – x + y = 6 x + y = 12 - x + y = 6 2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3 n = 39 (UFMG) Sabe-se que:7. para se escreverem os números naturais de 1 até• 11, são necessários 13 dígitos; e para se escreverem os números naturais de 1 até o• número natural n, são necessários 1341 dígitos. Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a: 448a) 483b) 484c) 447d) Solução:`` B 1 algarismo: 1 a 9 9 n.os 9 ⋅ 1 = 9 dígitos. 2 algarismos: 10 a 99 90 n.os 90 ⋅ 2 = 180 dígitos. 3 algarismos: 100 a 999 900 n.os 900 ⋅ 3 = 2 700 dígitos. Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3 algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos. Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 = 1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 núme- ros. (n – 100) +1 = 384 n = 483 (UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no8. Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será em: 2072a) 2068b) 2076c) 2080d) Solução:`` A O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) = 68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072. Simplifique:1. 3 3 10 21 23 7 + Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 16. 12 EM_V_MAT_002 (FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale:2. 0,64a) 6,4b) 64c) 640d) 6 400e) (PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação3. correta? (a) −68 )3 = (−6)24 (b) −2)3 = 2−3 2c) 3 + 24 = 27 19 40 131 59 131 2 2 2 + =d) 11e) 2 ⋅ 362 = 3962 (PUC-Rio) O valor de4. 67 6 9− + é igual a: −3a) −9b) 8c) 4d) 2e) (PUC-Rio) Assinale a afirmativa correta:5. ( )2 2 1 a b b a − =a) ab) 2 b3 = (ab)6 5a + 6b = 11abc) Se ad) 3 = b3 , então a = b Se ae) 2 + b2 =25 então a + b = 5 (Unicamp)6. Calcule as seguintes potências:a) a = 33 , b = (−2)3 , c = 3−2 e d = (−2)−3 . Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.b) (UFF) A expressão7. 10 10 10 10 10 10 10 20 30 20 30 40 + + + + é equivalente a: 1 +10a) 10 10 2 10 b) 10c) −10 10d) 10 10 1 2 10 −e) (UFRN) Dados os números M = 9,848. ⋅ 1015 e N = 1,23 1016 , pode-se afirmar que: M < Na) M + N = 1,07b) ⋅ 1016 M > Nc) Md) ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031 (Unificado) O número de algarismos do produto 59. 17  ⋅ 49 é igual a: 17a) 18b) 26 c) 34d) 35e) (Unicamp) Dados os dois números positivos10. 33 e 44 , determine o maior. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o11. auxílio de uma régua. Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a: 240a) 235b) 225c) 220d) (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num de-12. terminado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro per- manece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 17. 13 EM_V_MAT_002 150a) 160b) 190c) 200d) (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o13. auditor deparou-se com a seguinte situação: Não era possível ver o número de metros vendidos,a) mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três alga- rismos da parte inteira. Com as informações acima, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi: 16b) 26c) 36d) 46e) (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui14. está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: 3a) 4b) 6c) 8d) (UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.15. Considere o determinante de ordem 3 abaixo: 2 0 4 7 8 2 2 5 5 Demonstre que esse determinante é divisível por 17. (UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que16. a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd = ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d. (FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de17. homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: 46a) 47b) 48c) 49d) 50e) (Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos18. adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é: 37a) 36b) 35c) 34d) 33e) (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos19. de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é: múltiplo de 3.a) ímpar.b) quadrado perfeito.c) divisor de 500.d) divisível por 4.e) (UFF) Considere p, q20. ∈ N* tais que p e q são números pares. Se p > q, pode-se afirmar que: (pq + 1) é múltiplo de 4.a) p – q é ímpar.b) p + q é primo.c) pd) 2 – q2 é par. p(q + 1) é ímpar.e) (UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos mate-21. máticosumtipoespecialdenúmeroprimodescritoaseguir: “Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo, entãoonúmeroprimopédenominadoprimodeGermain.” Pode-se afirmar que é primo de Germain o número: 7a) 17b) 18c) 19d) 41e) (UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em22. quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 18. 14 EM_V_MAT_002 diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será: terça-feira.a) quarta-feira.b) quinta-feira.c) sexta-feira.d) (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com23. dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é um número: menor que 9.a) múltiplo de 3.b) primo.c) maior que 30.d) A equação1. x x x = 2 é satisfeita apenas quando x é igual a: 2a) 24 b) 2c) 23 d) (CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número:2. 2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de base 39. 8a) 0b) 4c) 2d) 3e) (CN) Sabendo que3. x 23 6 1999= , y =19994 e z 45 8 1999=  , (x > 0, y > 0 e z > 0), o valor de x y z⋅ ⋅( ) − 1 3 é: 1999a) 9 1999b) 6 1999 1 9c) 1999d) –6 1999e) –9 (CN) Simplificando a expressão:4. 600 25 52 2 2n n n + + − para n ∈ {0, 1}, temos: 5a) 5b) –1 5c) –2 5d) 2 5e) 0 (CN) Sendo x5. 2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75 , o algarismo das unidades simples do resultado de xy z       24 é: 1a) 3b) 5c) 7d) 9e) (CN) Qual o valor da expressão6. 1 2 3 50 5 10 15 250 2 125 1 2 3 1 + + + + + + + +     ⋅ ( ) − −   , 1a) 5b) 53 c) 5 5 3 d) 5 5 e) (UFF) A expressão7. 8 4 8 4 88 44 44 22 − − é equivalente a: 1 – 2a) 88 2b) 44 ⋅(288 +1) 9c) ⋅ 244 3d) ⋅ (1 – 288 ) 2e) 88 ⋅ (288 + 1) (UERJ) Considere o polinômio8. P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2), n ∈ N. Calcule: a quantidade de paralelepípedos retângulos de ba-a) ses quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais. o valor da expressão:b) 7 4 7 5 7 2 344 9 6 3 2 + ⋅ + ⋅ + Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 19. 15 EM_V_MAT_002 (UECE) Se n = (0,59. ⋅ 40,25 + 40,75 )2 − 41,5 ⋅(1 + 4−0,5 ), então 32 ⋅ n é igual a: 16a) 32b) 48c) 64d) (IME) Calcule:10. 2 10 9 3 2 10 9 33 3+ + − (Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) =11. 109 ⋅ 43⋅t bactérias no instante t medido em horas (ou fração na hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são neces- sários para que se tenha o dobro da população inicial? 20a) 12b) 30c) 15d) 10e) Sabendo que: 198912. a = 13 e 1989b = 17. Calcule 117117 1 a b 2(1 b) − − −       (UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio,13. julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: quinta-feira.a) terça-feira.b) quarta-feira.c) sexta-feira.d) (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual14. se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é: 9a) 7b) 8c) 10d) (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em15. geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: 50a) 47b) 48c) 49d) 51e) (Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos16. é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu umengano,tendodiminuídoem4oalgarismodasdezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtidopelomenordosfatores,obtendo39comoquociente e 22 como resto. Determine os dois números. (Fuvest)17. Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?a) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 eb) 1 000? (Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro18. n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carrosdotipoAdoquedotipoB,istoé,n<m,equeMDC (n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente: 18, 198a) 36, 180b) 90, 126c) 126, 90d) 162, 54e) (UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números19. primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas. Se p é primo e maior que 3, demonstre que pa) 2 – 1 é múltiplo de 12. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 20. 16 EM_V_MAT_002 Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois númerosb) naturais distintos, menores que 37, determine a pro- babilidade de ambos serem primos maiores que 3. (UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um20. número natural. N = 10n – n Se n é um número par, então N também é um nú-a) mero par. Justifique esta afirmativa. Determine o valor da soma dos algarismos de Nb) quando n = 92. (UFSCar) Considere as seguintes informações:21. o máximo divisor comum entre dois números tam-• bém é um divisor da diferença entre esses núme- ros. se o máximo divisor comum entre dois números a• e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab. Prove que o máximo divisor comum entre dois nú-a) meros consecutivos é igual a 1. Determine dois números consecutivos, sabendo queb) são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156. (Fuvest) Um número racional r tem representação de-22. cimal da forma r = a1 , a2 ,a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9. Supondo-se que: a parte inteira de r é o quádruplo de a• 3 ; a• 1 , a2 , a3 estão em progressão aritmética; a• 2 é divisível por 3. Então a3 vale: 1a) 3b) 4c) 6d) 9e) (UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural23. n é par, então o próprio número n tem que ser, obriga- toriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2 par ⇒ n par) (UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que24. possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo: número x na base b 0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 número x na base10←← ←←0 * # ω ⊗ ♣ ♠ Determine o menor valor aceitável para b. (UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e25. m = 50! +37. Calcule o resto da divisão de n por 18.a) m é um número primo? Justifique sua resposta.b) (Unicamp) Um determinado ano da última década do26. século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século XXI, é repre- sentado, também na base 10, pelo número cddc. Escreva esses dois números.a) A que século pertencerá o ano representado pelab) soma abba + cddc ? (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética ga-27. rante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = pt 1 1 pt 2 2 ...pt r r, onde p1 , p2 , ... , pr são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ ... ⋅ (tr + 1). Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivosa) de 168. Encontre o menor número natural que tem exata-b) mente 15 divisores positivos. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros po-28. sitivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b) = 105. Qual é o valor de b se a = 35?a) Encontre todos os valores possíveis de (a, b).b) (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dis-29. positivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como “dadoeletrônico”éumcircuitoelétricoque,deformalógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número naturalN,transforma-oemumnúmeronaturalRquecorres- pondeaorestodadivisãodeNporsete;aseguir,apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao apertarobotãodo“dadoeletrônico”,umapessoagerouum pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 21. 17 EM_V_MAT_002 R que aparecerá no visor é: 0a) 1b) 2c) 4d) 5e) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 22. 18 EM_V_MAT_002 271. C2. E3. C4. D5. 6. a = 27, b = −8, c = 1/9, d = −1/8 a) b < d < c < ab) C7. A8. B9. 3 310. C11. D12. C13. B14. Resposta pessoal.15. (10a +b)16. ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c) D17. A18. A19. D20. E21. B22. C23. C1. A2. E3. C4. A5. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 23. 19 EM_V_MAT_002 C6. B7. 8. 6a) 345b) A9. 210. E11. 312. D13. B14. A15. 31 e 4116. 17. 100a) 140b) C18. 19. Resposta pessoala) . 2/35b) 20. 10a) n é par e n é par, então N = 10n − n é par 818b) 21. Resposta pessoal.a) 12 e 13b) E22. Resposta pessoal23. . 10024. 25. 0a) Não, pois n = 37b) ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1) 26. 1991 e 2002a) XLb) 27. 16a) 144b) 28. 15a) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)b) E29. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 24. 20 EM_V_MAT_002 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 25. 1 EM_V_MAT_006 O estudo das funções exponenciais, apesar de ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desen- volvimento no século XVII, que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações. As funções exponenciais aparecem em diver- sas aplicações científicas e profissionais, como por exemplo, o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa. Função exponencial Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x Exemplo:`` f(x) = 3x , f(x) = (1/2)x e f(x) = 5( )X Propriedades Como f(0) = a1) 0 = 1, o par ordenado (0, 1) per- tence ao gráfico da função exponencial. Quando 0 < a < 1, a função f(x) = a2) x é de- crescente. Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente. 0 < a < 1: x1 < x2 f(x1 ) > f(x2 ) a > 1: x1 < x2 f(x1 ) < f(x2 ) Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais. Função Exponencial A função f(x) = a3) x , com 0 < a ≠ 1 é injetora. f(x1 ) = f(x2 ) x1 = x2 Essa propriedade respalda a solução das equa- ções exponenciais. A função f(x) = a4) x , com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+ * ). Gráfico O gráfico da função exponencial f(x) = ax , com 0 < a ≠ 1, tem as seguintes características: está todo acima do eixo Ox;•• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;•• é crescente para a > 1 e decrescente para•• 0 < a < 1; o eixo x é assíntota do gráfico.•• É interessante observar que o crescimento ex- ponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio. Os gráficos da função exponencial estão exem- plificados abaixo: 1.º caso: a > 1 (função crescente) y x10 2 3–3 –2 –1 2 4 6 f(x) = ax (a>1) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 26. 2 EM_V_MAT_006 2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente) y x10 2 3–3 –2 –1 2 4 6 f(x) = ax (0<a<1) Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax , com a > 1, e g(x) = (1/a)x , onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x) = g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x . y x10 2 3–3 –2 –1 2 4 6 y = 2x y = 1 2 Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a. (1) y = 2x (2) y = 3x (3) y = 4x y x10 2 3–3 –2 –1 2 4 6 (3) (2) (1) (4) y = (1/2)x (2) y = (1/3)x (3) y = (1/4)x y x10 2 3–3 –2 –1 2 4 6 (4) (5) (6) Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo exponencial e x1 , x2 , ..., xn uma progressão aritmé- tica de razão r, então f(x1 ), f(x2 ), ... , f(xn ) formam uma progressão geométrica de razão ar . Equações exponenciais Equações exponenciais são equações cuja in- cógnita encontra-se no expoente. Nesse módulo, vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois mem- bros a uma base comum, o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial. Sendo 0 < a 1, então: ax = an x = n Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema. Exemplos de equações Para a resolução dessas equações basta adotar o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os membros a uma base comum. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 27. 3 EM_V_MAT_006 31) x =243 3x =35 x=5 82) x = 1 32 (23 )x =2–5 23x = 2–5 3x = – 5 x= – 5 3 ( 4 3 )x = 3 9 3 x 4 = 3 2 3 x 4 = 2 3 x = 8 3 3) No próximo exemplo é necessário observar que, para todo a 0, tem-se a0 = 1. 54) 2x2+3x–2 =1 52x2+3x–2 =50 2x2 +3x – 2=0 x = –2 ou x = 1 2 25) 3x–1 . 42x+3 = 83–x 23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x 23x–1 . 24x+6 = 29–3x 27x+5 =29–3x 7x + 5 = 9 – 3x 10x = 4 x = 0,4 Nesse caso, devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente. 56) x–2 – 5x + 5x+1 = 505 5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505 5x–2 . (1–52 +53 ) = 505 101 . 5x–2 = 505 5x–2 = 51 x – 2=1 x = 3 No caso abaixo, devemos fazer a substituição y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º grau. 47) x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0 y = 2x y2 – 5y + 4 = 0 y = 1 ou y = 4 2x = 1 2x = 20 x = 0 2x = 4 2x = 22 x = 2 Agora a base também é uma variável. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou 1, que devem ser analisados em separado. x8) x2 – 5x+6 = 1 x=0•• 06 =1 (falso) x=1•• 12 =1 (verdadeiro) 0<x•• 1: xx2–5x+6 = 1 xx2–5x+6 = x0 x2 – 5x+6=0 x=2 ou x=3 S= 1, 2, 3 Esse é um caso especial, em que temos várias bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base comum. 49) x + 6x =2 . 9x (: 9x ) 4 9 x + 6 9 x – 2=0 2 3 2x + 2 3 x – 2=0 y = 2 3 x y2 + y – 2 = 0 y=1 ou y= – 2 (não convém) 2 3 x = 1 x = 0 Inequações exponenciais A resolução de inequações exponenciais é ba- seada na monotonicidade da função exponencial. Os dois casos estão apresentados abaixo: a > 1: ax >an x > n 0 < a < 1: ax >an x < n As expressões acima refletem o fato da expo- nencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação entre os expoentes é a mesma que entre as expo- nenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1. A seguir serão apresentados exemplos de reso- lução de inequações exponenciais. Exemplos de inequações A resolução das inequações a seguir é feita reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade das consequências imedia- tas, que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1 e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1. 31) x >243 3x >35 x>5 3 5 x 2) 125 27 3 5 x 5 3 3 3 5 x 3 5 –3 x –3 (273) x–2 )x+1 (9x+1 )x–3 33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3) 3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3) x2 +x 0 x –1 ou x 0 No caso a seguir, devemos colocar em evidência 3 elevado ao menor expoente. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 28. 4 EM_V_MAT_006 34) 2x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42 32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42 33 . 32x–2 – 32 . 32x–2 – 3 . 32x–2 – 32x–2 42 32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42 14.32x–2 42 32x–2 3 2x – 2 1 x 3 2 Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau. 35) 2x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3 32x – 4 . 3x +3 > 0 y=3x y2 – 4y+3>0 y<1 ou y>3 3x <1 x<0 3x >3 x>1 S= x R x<0 ou x >1 No próximo exemplo, a base também é uma va- riável, sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1. Resolva em R6) + , xx2– 5x+7 x. I) x = 0 07 0 (verdadeiro) II) x = 1 13 1 (verdadeiro) III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3 S1 = ]0, 1[ IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 2 x 3 S1 = [2, 3] S = [0, 1] [2, 3] Equações exponenciais A definição de logaritmo como inversa da função exponencial permite resolver de imediato equações exponenciais. ax =b x = loga b Cabe observar que se deve colocar a equação exponencial na forma ax = b . Uma outra maneira de se resolver a equação exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os mem- bros da equação exponencial. ax = b logc ax = logc b x = logc b logc a =loga b Nesse caso, não é necessário sempre colocar a equação na forma ax = b, podendo alternativamente aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente e posteriormente determinar a variável. Exemplos:`` 21) x+2 =3 x+2 = log2 3 x = log2 3 – 2 72) 2x –1 = 33x+4 1.a sol.: 72X 7 =33X . 34 72X 33X = 7 . 34 72 33 x =7 . 34 x = log 567 2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4 (2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3 2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7 x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7 x = log7+4 log 3 2 log 7– 3log Inequações exponenciais Da mesma forma que as equações exponenciais, as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos, considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decres- cente quando a base está entre 0 e 1. x > loga b, se a>1 x < loga b, se 0< a<1 ax > b x < loga b, se a>1 x > loga b, se 0< a<1 ax < b Caso seja conveniente, pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a. 21) 3x+2 > 9 3x+2>log2 9 x> log2 9 – 2 3 1 3 2) x 5 x log 5 x – log3 5 23) x–2 > 32x–1 x – 2 >(2x – 1) log2 3 x(1 – 2 log2 3) > 2 – log2 3 x < 2 – log2 3 1 – 2log2 3 Note que 1 – 2 log2 3<0. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de1. um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 29. 5 EM_V_MAT_006 2,72 0,37 0,13 –1–2 1 y=ex x Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a: 5a) 10b) 15c) 20d) Solução:`` B f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87 e−0,2.d = 0,13 No gráfico dado, temos 0,13 = e−2 , então e−0,2⋅d = e−2 ⇔ −0,2d = −2 d = 10 (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a2. população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que me- lhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo, respectivamente, são: População Tempo População Tempo População Tempo População Tempo gráfico 1 gráfico 2 gráfico 3 gráfico 4 gráfico 2 e gráfico 1.a) gráfico 1 e gráfico 2.b) gráfico 3 e gráfico 1.c) gráfico 2 e gráfico 4.d) gráfico 3 e gráfico 4.e) Solução:`` A A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da cidade A. A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da cidade B. Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente, o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1. (Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-3. ponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é: a) y 0,5 0,5 x10 2 3–3 –2 –1 b) y 1 x10 2–1 0,5 1,5 2,5–0,5–1,5 c) y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 30. 6 EM_V_MAT_006 d) y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 e) y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 Solução:`` C O gráfico de g(x) =      x 1 2 x é: y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico de h(x) =      x 1 2 y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 O gráfico de f(x) = 1–      x 1 2 é: y 1 1 x10 2 3–3 –2 –1 4. (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medi- camento pode comprometer a saúde do usuário: subs- tâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava- se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y = y0 . 2–0,5.t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: 1/4 de hora.a) meia hora.b) 1 hora.c) 2 horas.d) 4 horas.e) Solução:`` E y0 4 = y0 . 2–0,5.t 2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas 5. (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da equação 5x2–2 : 25= 1 125 –x . Então, m é um número: par.a) primob) não-real.c) irracional.d) divisível por 3.e) Solução:`` C 5x2–2 : 25 = 1 125 –x 5x2–2 . 5–2 = (5–3 )–x 5x2–4 = 53x x2 –4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0 x = –1 ou x = 4 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 31. 7 EM_V_MAT_006 O menor número real que é solução da equação é m = – 1, logo m = –1 = i que não é real. 6. (UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 . 5x2 = 0,001.(103–x )2 , então + é: 5a) 10b) 13c) 34d) Solução:`` B 2x2 . 5x2 = 0,001.(103 – x )2 (2.5)x2 = 10–3. 106 – 2X 10x2 = 103 – 2X x2 = 3–2x x2 + 2x – 3 = 0 x = –3 ou x =1 + = (–3)2 + 12 = 10 7. (Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1 , então: – 2 < x < 2a) x = 1b) x = 0c) x < 3/2d) x > −3/2e) Solução:`` E 2x . 4x < 8x+1 2–x . (22 )x < (23 )x+1 2–x .22x < 23x+3 2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > – 3 2 8. (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1 + 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é: inferior a 15 minutos.a) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos.b) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos.c) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos.d) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.e) Solução:`` E m = 32t – 3t+1 + 108 = 0 –32t – 3.3t +108 = 0 y = 3t –y2 – 3y + 108 = 0 y = 9 y = –12 (não convém) 3t = 9 = 32 t = 2 horas = 120 minutos. Como aos 120 minutos o material se volatilizou total- mente, o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120. 9. (FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente: 2,15a) 2,28b) 41c) 2,54d) 2,67e) Solução:`` D 5x = 60 log 5x = log60 x.log 10 2 = log(2 . 3 . 10) x (1 – log2) = log2 + log3 + 1 x = ≅ 2,54log2 + log3 + 1 1 – log2 = 0,30 + 0,48 + 1 1 – 0,30 = 1,78 0,70 10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera po- luentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados: Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x . Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4) 1 333a) 2 333b) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 32. 8 EM_V_MAT_006 3 333c) 4 333d) 5333e) Solução:`` A Custo da poluição = custo do controle da poluição 2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x 22x − 2x − 6 = 0 a = 2x a2 − a − 6 = 0 a = −2 ou a = 3 a > 0 2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3 = log 3 log 2 = 0,4 0,3 = 4 3 .1 000kg =1 333kgton = 4 3 (PUC-Rio) Dada a função f(x) = 51. x (5x − 1) Ache f (0) e f (1).a) Resolva f (x) = 0.b) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose,2. sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: ex 8,2 9,0 10,0 11,0 12,2 x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de: 21a) 22b) 23c) 24d) (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação3. da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(–0,1).t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início? 5a) 7b) 8c) 9d) 10e) (UENF)Ainflaçãoanualdeumpaísdecresceunoperíodo4. de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx , conforme o gráfico a seguir. Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. (FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu5. a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência. Experiência (meses) 0 6 Produção (unidades por hora 200 350 Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t , sendo e = 2,72 e k um número real, positivo. Considerando que as projeções do gerente de pro-a) dução dessa indústria estejam corretas, quantos me- ses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? Desse modo, qual será a máxima produção possívelb) dos operários dessa empresa? (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de6. bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt , sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25 Q(0). Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. 12,5a) 25b) 312,5c) 625d) 1 000e) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 33. 9 EM_V_MAT_006 (UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera foto-7. gráfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo ⋅(1 − e– ⋅t ) sendo: Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t,•• medido em segundo; Q•• o a carga máxima; e λ•• uma constante. Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine: a expressão de t em função de Q.a) o tempo necessário para que o capacitor recarre-b) gue 90% da carga máxima. (UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função8. y = 2x no plano cartesiano. Com base nesse gráfico, é correto afirmar que: ya) 0 = y2 − y1 yb) 1 = y3 − y2 yc) 1 = y3 + y0 yd) 2 = y1 ⋅ y0 ye) 3 = y1 ⋅ y2 (UFJF) A função c(t)=200 . 39. k.t , com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo: [0, 4]a) [4, 12]b) [12, 36]c) [36, 72]d) [72, 108]e) (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão represen-10. tados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e suas imagens. Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente: a 2 a) e 4a ab) −1 e a + 2 2a ec) a 4 a + 1 e ad) − 2 (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de11. variável real definidas por f x x ( ) =       − 3 2 1 e g (x) = x, representadas no mesmo sistema de coordenadas carte- sianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: [0, 3]a) 1 2 4, ]  b) [1, 5)c) 3 2 6, ]  d) (2, 6)e) (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)12. proposição(ões) correta(s). (01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamen- tos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber. (02) Se numa área urbana o número de pessoas atin- gidas por certa doença (não controlada) aumenta 50% a cada mês, então a função n t N t ( ) = ⋅       3 2 for- nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área. (04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está pra- ticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B. (08) Admita que a função n(t) = N .  2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide- Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 34. 10 EM_V_MAT_006 mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com 10 000 habitan- tes, não ocorrendo aumento populacional, oito me- ses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal. Soma ( ) (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em13. um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t . Após quantos meses a sua dívida duplicou? loga) 1,10 2 logb) 2 1,10 log 2c) log 1,10d) log 2,10e) (PUC-Rio) Uma das soluções da equação14. 10 1 100 2 3x − = é: x = 1a) x = 0b) x = 2c) x =d) −2 x = 3e) (UFJF) As raízes da equação15. 2 1 2 17 4x x+ =/ / são: iguais em módulo.a) ambas negativas.b) ambas positivas.c) quaisquer números reais.d) nulas.e) (UFF)16. Ao resolver uma questão, José apresentou o se-a) guinte raciocínio: “Como 1 4 1 8 > tem-se 1 2 1 2 2 3     >     e conclui-se que 2 > 3.” Identifique o erro que José cometeu em seu racio- cínio, levando-o a essa conclusão absurda. Sem cometer o mesmo erro que José, determine ob) menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação: 1 2 1 4 4 1     >     +m m . (UFMG) Suponha que a equação17. 8 4 2 2 2 3 5 5 8ax bx c x x x+ + + − + = ⋅ seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a: 5 3 a) 17 3 b) 28 3 c) 12d) (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação18. 2 3 2 322 1 2x x+ + − ⋅ = , é: (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).19. Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de( )( f(g(1)) é 9. O gráfico da função f(x) = 2x – 1( )( não intercepta o terceiro quadrante. O conjunto solução da equação( )( log ( ) log3 2 3 2x x− = é {−1, 2}. O conjunto solução da inequação exponencial( )( 1 7 1 7 x 5x 1 12     ≥     + + é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}. (M. Campos) Resolvendo as duas equações expo-20. nenciais 4 81 5x− = e 3 52 3 2 3y y+ + = , obtém-se uma raiz para cada equação. Nessas equações valor de x − y corresponde a: 2,8a) – 0,2b) 0,8c) 1d) (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação21. 9. 3 5 243 125 x x 92     = − − são, respectivamente: 1 e –12a) 7 e 12b) –2 e –8c) –1 e 12d) 7 e 10e) (AFA) O conjunto-solução da inequação22. ( , ) ( , )( ) , 0 5 0 252 15x x x⋅ − − < é: {x R l x <1}a) {x R l x >3}b) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 35. 11 EM_V_MAT_006 {x R l 1 < x <3}c) {x R l x < 1 ou x > 3}d) (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a1. temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: T=T0 +K e-ct Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. Calcule a temperatura do café 50 minutos após aa) xícara ter sido colocada na sala. Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleçab) o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. (UENF) Em um município, após uma pesquisa de2. opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2.105 (1,60)t B(t) = 4.105 (0,4)t Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1.° de janeiro de 2000. Calcule o número de eleitores dos candidatos A e Ba) em 1.° de janeiro de 2000. Determine em quantos meses os candidatos terãob) o mesmo número de eleitores. Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razãoc) entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. (FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma3. substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t , sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real. Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades. Qual o volume diário de vendas 30 dias após o en-a) cerramento da promoção? Quando se espera que a venda diária seja reduzidab) a 6 400 unidades? Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10. (FGV) Uma empresa estima que após completar o pro-4. grama de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t)=A - b . 3-k.t , com A, B e k constantes obtidas expe- rimentalmente, pede-se: determinar as constantes A, B e k, sabendo que oa) gráfico da função V é admitindo-se que um novo programa de treinamen-b) to básico introduzido na empresa modifique a fun- ção V para V(t) = 55 – 24 . 3-t , determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5. (UFC) Sejam f: R5. → R e g: R → R, sendo R o conjunto dos números reais, funções tais que: f é uma função par e g é uma função ímpar;I) f(x) + g(x) = 2II) x . Determine f(log2 3) – g(2). (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indi-6. cado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a ______, sendo f(x) = 2x . 2a) 2b) 2 3c) 3d) 2 4e) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 36. 12 EM_V_MAT_006 (UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida7. pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em 1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –, em joules (J), de acordo com a expressão E E M = ⋅0 3 2 10 , em que E0 é uma constante. Com base nessas infor- mações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F) Se a energia liberada por um terremoto for igual a( )( 1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter. A energia liberada por um terremoto de magnitude( )( 5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4. Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT)( )( libere 5 100 9 2 E ⋅ J durante uma explosão, então um terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT. A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema( )( de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia li- berada em função da magnitude de um terremoto. (UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em8. uma determinada população de 30 000 frangos em uma granja pode ser descrita pela equação P t t ( ) = + − 11 480 1 34 , em que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do apareci- mento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F). A quantidade de frangos infectados no momento em( )( que a doença foi detectada é superior a 150. Caso a doença não seja controlada, toda a popula-( )( ção de frangos da granja será infectada. 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log( )( 3 5 dias do momento da detecção da doença. O número de frangos infectados somente no terceiro( )( dia é inferior a 1 200. (Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas pro-9. ximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t , com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi: 1a) 2b) 4c) 8d) 10e) (Unesp) Considere a função dada por10. f(x) = 32x+1  + m . 3x  + 1. Quando m =a) − 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. Determine todos os valores de m para os quais ab) equação f(x) = m +1 não tem solução real x. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha11. uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a expressão para p (t);a) o tempo mínimo necessário, em número inteiro deb) anos, após a saída da fábrica, para que um automó- vel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use:log , log ,2 0 301 3 0 477≅ ≅e . (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de12. uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 2-bt , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Encontre as constantes a e b de modo que a po-a) pulação inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da po- pulação inicial. Qual o tempo mínimo para que a população se re-b) duza a 1/8 da população inicial? Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].c) (Unicamp) O processo de resfriamento de um determi-13. nado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t , onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos. Encontre os valores numéricos das constantesa) α e β. Determine o valor de t para o qual a temperaturab) do corpo no congelador é apenas 2 3       o C superior à temperatura ambiente. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 37. 13 EM_V_MAT_006 (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o14. locutor informa: “Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”. Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão f t P k t ( ) .( ) .= + − 1 9 3 , sendo t ≥ 0, P a população do país e k uma constante. Calcule o percentual da população que tomoua) conhecimento da notícia no instante de sua di- vulgação. Calcule em quantas horas 90% da populaçãob) teve acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação19. 2 2 5 3 53 1 3x x y y+ + + + = + ⋅ . Então x − y é: 8a) 5b) 9c) 6d) 7e) (UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema20. 4 32 3 3 x y y x + − = =     é: 5 3 2 ,    a) 5 3 2 ,−    b) 3 2 3 ,    c) 1 3 2 ,    d) 1 1 2 ,    e) (ITA) Dada a equação 321. 2x + 52x – 15x = 0, podemos afirmar que: Não existe x real que a satisfaça.a) x = logb) 3 5 é solução dessa equação. x = logc) 5 3 é solução dessa equação. x = logd) 3 15 é solução dessa equação. x = 3.loge) 5 15 é solução dessa equação. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os22. valores reais de x para os quais a2x – (a + a2 ) . ax + a3 < 0 são: aa) 2 < x < a x < 1 ou x > 2b) 1 < x < 2c) a < x <d) a 0 < x < 4e) (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de23. 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . (33x ) – 19 . (32x ) + 8 . (3x ) – 1 = 0 somam: –loga) 3 12 1b) –(1/3).logc) 3 12 (IME) Determine os valores de15. l que satisfaçam à inequação, 27 4 9 27 27 02 1λ λ − + >− , e represente, grafi- camente, a função, y x x = − + − 27 4 9 27 272 1 (UFF) Resolva o sistema16. 3 3 36 3 243 x y x y + = =     + (UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro17. termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se afirmar que 5 5 2x− é igual a: 1/25a) 1/5b) 1c) 5d) 25e) (Unicamp) Considere a equação18. 2 2 2 2 02x x m m+ ⋅ − − =− , onde m é um número real. Resolva essa equação para m = 1.a) Encontre todos os valores de m para os quais ab) equação tem uma única raiz real. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 38. 14 EM_V_MAT_006 –1d) loge) 3 7 (ITA) Seja a24. ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a ax x x2 1 1⋅ − − >( ) é: ]a) −1 , 1[ ]1 , +b) ∞[ ]c) −1/2 , 1[ ]d) −∞ , 1[ vazio.e) (ITA) A soma das raízes positivas da equação25. 4 5 2 4 0 2 2 x x − ⋅ + = vale: 2a) 5b) 2c) 1d) 3e) (UECE) Um empregado está executando a sua26. tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N t = − − ⋅ 640 1 2 0 5 . ( ), seja o número de unidades fa- bricadas por dia por esse empregado, após t dias, do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 , N = 635, então t1 é igual a: 10a) 12b) 14c) 16d) (IME) Resolva o sistema27. x y y ax y x = =    onde a ≠ 1 e a > 0. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 39. 15 EM_V_MAT_006 1. f(0) = 0 e f(1) = 20a) x = 0b) C2. E3. 60%4. 5. 12 meses.a) 499b) C6. 7. t Q Q = − −      2 1 0 na) tb) ≈ 4,6s. E8. C9. D10. C11. E, C, E, C12. ⇒ soma 10 A13. A14. A15. 16. 1 2 1 2 2 3     >    a) ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2 é decrescente. m = 2b) c17. 318. C, E, C, C19. a20. A21. d22. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 40. 16 EM_V_MAT_006 1. 22,5ºCa) 15 minutos.b) 2. 200 000 e 400 000 eleitores.a) 6 meses.b) Razão =c) 2 > 1 3. 5 120 unidades.a) 20 dias.b) 4. A = 50, B = 30 e k = 1/2a) 1,4b) −5. 5/24 C6. F, F, F, F7. F, F, V, F8. E9. 10. 0 ea) −1 −12 < mb) ≤ 0 11. p(t) = (0,81)a) t ⋅F 15 anos.b) 12. a = 1024 e b = 1/10a) 30 anos.b) 13. αa) = 54 e β = −1/90 360 minutos.b) 14. 10%a) 2 horas.b) λ15. < − 2 3 ou λ > − 1 3 (2, 316. ) ou (3, 2) b17. 18. S = {1}a) (b) −∞, 0] ∪ {1} b19. d20. a21. c22. a23. c24. c25. c26. x aa = − 1 1 27. e y a a a = −1 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br