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Aula 8




  Variável aleatória contínua

     Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
     MAT013 Departamento de Matemática e
            Computação UNIFEI
Variável aleatória
•   Uma Variável aleatória é contínua se seu
    conjunto de valores é qualquer intervalo dos
    números reais, isto é, um conjunto não
    enumerável.


          Ex: Peso e altura dos filhos.
Função densidade de
               probabilidade
•    Dizemos que f(x) é uma função contínua de
     probabilidade ou função densidade de probabilidade
     para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz
     duas condições:

1.   f(x)0, para todo x (-,);
2.   A área definida por f(x) é igual a 1
      

       f ( x)dx  1
      
Exemplo
• Arqueólogos estudaram uma certa região e
  mediram o comprimento de fósseis encontrados
  (em cm). Chamamos de C a v.a. contínua
  comprimento de fósseis. Suponha que C possui
  a função densidade de probabilidade:

                 1 c     
                    1 se 0  c  20;
         f (c)   40  10 
                 
                        0   caso contrário.
 1   3 
                             20
                 (b  B)h  40 40 
Área sob f (c)                     1
                     2         2
                        1 c    
                   20
     Área sob f (c)     1  1
                      0
                        40  10 




                               Gráfico da função
                                 densidade de
                                 probabilidade
• Como f(c) é positiva e a área é igual 1, podemos concluir
      que f(c) é efetivamente uma densidade.

    • Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso
      nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm?
                                                     9
                                            f (8) 
                                                    200

                                                  1    9 
                                                        8
9/200                                 P(C  8)   40 200   7
                                                      2       25
                                                 8
                                                             7
                                      P(C  8)   f (c)dc 
                                                 0
                                                             25
Função de distribuição de
           probabilidade
• Dada uma v.a. X com função densidade de
  probabilidade f(x), podemos definir a sua
  função de distribuição acumulada, F(x), do
  mesmo modo como foi definida para v.a.
  discreta:
                              x
      F ( x)  P( X  x)      f (t )dt
                             
• Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de
  probabilidade é dada por:
                 1 c     
                    1 se 0  c  20;
         f (c)   40  10 
                 
                        0   caso contrário.
• A função de distribuição acumulada é dada por:

                 
                 
                             0,             se c  0
                 c            1  c2     
         F (c)   f (t )dt   + c  se 0  c  20
                 0           40  20 
                                         
                  20            c

                   f (t )dt   0dt  1   se x  20
                  0             20
Gráfico da função acumulada
Valor esperado
• Dada a variável aleatória X contínua, com
  função densidade dada por f(x), chamamos de
  valor médio ou esperança matemática de X ao
  valor:
                         
          E( X )      
                         
                           x f ( x)dx
Variância
• A variância da variável aleatória X
  contínua, com f. densidade f(x), é definida
  por:
                  
               ( x   ) f ( x)dx
              2            2

                  

              E( X )  
              2        2       2




• O desvio padrão ( ) de X é definido como
  a raiz quadrada da variância.
Mediana e Moda
• A mediana de uma v.a. X contínua, com f.
  densidade f(x), é o valor que satisfaz às
  seguintes condições:
                     1                     1
       P( X  Md )      e   P( X  Md ) 
                     2                     2

• A moda é valor da variável que tem maior
  probabilidade de ocorrêcia
             P( X  Mo)  max f ( x)
                               x
Conjunto de dados                       Variável aleatória                 Variável aleatória
                                                          discreta                          contínua
Valores
             X       x1           x2   ...   xn      X    x1     x2   ...    xn                 f (x)
            freq.    fr1          fr2 ...    frn     pi   p1     p2 ...      pn
 Média                            n                                    n                        

                    x   xi fri                     E ( X )   xi pi                    x f ( x)dx
                                i 1                                  i 1                      
Mediana     md = valor central                                         1                1
                                                     Md : P( X  Md )  e P( X  Md ) 
                                                                       2                2
 Moda       mo= valor com                          Mo= valor com                     Mo = valor com
            maior frequência                       maior probabilid.                 maior densidade
                                                    P( X  Mo)  max pi              P( X  Mo)  max f ( x)
                                                                        i                               x
Variância                                                  n

                                                           (x  )
                            n                                                              
            var( x)   ( xi  x) fri  
                                                     2                       2
                                                                                         
                                             2
                                                                  i              pi  2  ( x   ) 2 f ( x)dx
                           i 1                           i 1                             

 Desvio        dp( x)  var( x)
 padrão
                                                             2                            2
Principais modelos contínuos
• Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência
  em situações práticas. Em geral nesses casos, a
  distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma
  maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para
  atribuir as probabilidades.



• Para caracterizar completamente uma variável aleatória
  contínua, precisamos fornecer sua função densidade de
  probabilidade, segundo sua definição, é uma função
  positiva e com integral igual a 1.
Modelo uniforme contínuo
• Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no
  intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de
  probabilidade é dada por:


                        1
                                  a xb
              f ( x)   b  a
                        0
                                caso contrário

                    ab                    (b  a)
          b                                          2
            1
      x     dx      ;               
                                         2

        a
           ba       2                        12
Distribuição Uniforme Contínua

• Função densidade e função de distribuição

                               F(x)
         f(x)
                                 1
    1/(b-a)




     a          b   xi     a          b   xi
Modelo Exponencial
• Utilizado para modelar variáveis como, vida útil de
  equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência
  de espécies.

• Uma v.a. contínua X, assumindo valores não
  negativos, segue o modelo Exponencial com
  parâmetro >0 se sua densidade é:

                      1 
                          x
                      e          x0
           f ( x )  
                      0
                             caso contrário
Distribuição Exponencial





    Gráfico f. densidade      Gráfico f. distribuição acumulada




               E( X )   ;   Var ( X )        2
Distribuição Exponencial
•Para calcular probabilidades com a
Exponencial, precisamos resolver a integral,
pois não teremos as figuras geométricas
simples do exemplo anterior. Assim,

                   b        x              a            b
                       1                            
 P ( a  X  b)          e  dx  e       
                                                e       

                   a
                       
Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
  considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
  =500. Segue-se que a vida média do transistor é
  E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
  mais do que a média?
Exemplo
• O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser
  considerado uma v.a. com distribuição exponencial com
  =500. Segue-se que a vida média do transistor é
  E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure
  mais do que a média?

                                                t
                                 1           
      P(T  500)   f (t )dt       e          500
                                                       dt
                  500
                                500 500
                             
         1                
                          t
                       
             500e       
                         500
                                    e 1  0,3678
        500 
            
                           
                           1/ 500
Modelo Normal
• Modelo fundamental em probabilidade e inferência
  estatística. Representa grande parte das variáveis
  aleatórias contínuas.

• Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com
  parâmetros  e 2, se sua função densidade é
  dada por:
                         ( x )2
                1      
     f ( x)       e       2 2
                                    , para    x  
               2
Propriedades do modelo Normal
•   Algumas propriedades da densidade da
    Normal podem ser observadas no seu gráfico:
1. f(x) é simétrica em relação à ;
2. f(x)→0 quando x→;
3. O valor máximo de f(x) se dá qdo x= .



                                      E( X )  
                                      Var ( X )     2
Calcular probabilidades no modelo
             Normal
• Para calcular probabilidades precisamos
  resolver a integral:
                         b             ( x )2
                              1    
         P ( a  X  b)        e      2 2
                                                  dx
                          a  2


• Entretanto, a integral acima só pode ser
  resolvida de modo aproximado.
• Então essas probabilidades podem ser
  calculadas através do uso de tabelas.
• Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se
  uma transformação da variável X que conduz
  sempre ao cálculo de probabilidades com uma
  variável normal com parâmetros (0,1), isto é,
  média igual a 0 e variância igual a 1.

                        X 
                   Z
                          

• Essa variável Z transformada terá distribuição
  N(0,1) e será denominada Normal Padrão.
• Para determinar a probabilidade X[a.b],
  procedemos da seguinte forma:

      P ( a  X  b)  P ( a    X    b   )
                        a X  b 
                      P             
                                    
                        a     b 
                      P    Z     
                                 

• E então olhamos na tabela e obtemos as
  probabilidades da distribuição Normal
Tabela da Normal Padrão
• Como a distribuição Normal é simétrica,
  apresenta-se na tabela apenas os valore de
  P(0  Z  z). A probabilidade de estar acima (ou
  abaixo de zero) é 0,5.
Exemplo
• Seja X~N(2,9), a probabilidade P(2<X<5) é?

                 22     52
P(2  X  5)  P     Z      P(0  Z  1)
                 9        9 




                                       0,3413
Exemplo
 • Para obter P(0X<2), usamos a simetria da Normal

                02      22     2         
P(0  X  2)  P    Z       P   Z  0 
                 9        9      3         
                                          2
                                P 0  Z  
                                          3


                                              0,2486
• A tabela também pode ser usada no
  sentido inverso, dado uma probabilidade,
  desejamos obter o valor que a originou.
• Por exemplo, quanto vale c tal que
  P(0<Z<c)=0,4?

• É só procurar no corpo da tabela onde está
  o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a
  1,28 que será o valor de c.
• Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal
  que P(Z>d)=0,8.

• Como a probabilidade desejada é maior que ½,
  então d é um número negativo. Então o
  intervalo precisa ter probabilidade 0,3.
• Da tabela –d=0,84, ou seja, d=-0,84.
Exercício 1
•   Se X~N(100,100), calcule:

a) P(X<115)
b) P(X80)
c) O valor a, tal que P(100-aX 100+a)=0,95
    115  100 
a) P( X  115)  P Z                P( Z  1,5) 
                           100 
                      80  100 
b) P( X  80)  P Z              P( Z  2) 
                         100 
c) P(100  a  X  100  a )  0,95
  (100  a)  100     (100  a)  100 
P                 Z                   0,95
        100                 100       
 a           a
P      Z    0,95
  10         10 
Exercício 2
•   O peso bruto de latas de conserva é
    uma v.a. normal, com média 1000g e
    desvio padrão 20g.

a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos
   de 980g?
b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais
   de 1010g?
     980  1000 
a) P( X  980)  P Z               P( Z  1) 
                           20     
                        1010  1000 
b) P( X  1010)  P Z                P( Z  0,5) 
                             20     

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Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1

  • 1. Aula 8 Variável aleatória contínua Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes MAT013 Departamento de Matemática e Computação UNIFEI
  • 2. Variável aleatória • Uma Variável aleatória é contínua se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, isto é, um conjunto não enumerável. Ex: Peso e altura dos filhos.
  • 3. Função densidade de probabilidade • Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: 1. f(x)0, para todo x (-,); 2. A área definida por f(x) é igual a 1   f ( x)dx  1 
  • 4. Exemplo • Arqueólogos estudaram uma certa região e mediram o comprimento de fósseis encontrados (em cm). Chamamos de C a v.a. contínua comprimento de fósseis. Suponha que C possui a função densidade de probabilidade: 1 c     1 se 0  c  20; f (c)   40  10    0 caso contrário.
  • 5.  1 3    20 (b  B)h  40 40  Área sob f (c)   1 2 2 1 c  20 Área sob f (c)     1  1 0 40  10  Gráfico da função densidade de probabilidade
  • 6. • Como f(c) é positiva e a área é igual 1, podemos concluir que f(c) é efetivamente uma densidade. • Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso nessa região, apresentar comprimento inferior a 8 cm? 9 f (8)  200  1 9    8 9/200 P(C  8)   40 200   7 2 25 8 7 P(C  8)   f (c)dc  0 25
  • 7. Função de distribuição de probabilidade • Dada uma v.a. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos definir a sua função de distribuição acumulada, F(x), do mesmo modo como foi definida para v.a. discreta: x F ( x)  P( X  x)   f (t )dt 
  • 8. • Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de probabilidade é dada por: 1 c     1 se 0  c  20; f (c)   40  10    0 caso contrário. • A função de distribuição acumulada é dada por:    0, se c  0 c 1  c2  F (c)   f (t )dt   + c  se 0  c  20 0 40  20     20 c   f (t )dt   0dt  1 se x  20  0 20
  • 10. Valor esperado • Dada a variável aleatória X contínua, com função densidade dada por f(x), chamamos de valor médio ou esperança matemática de X ao valor:  E( X )      x f ( x)dx
  • 11. Variância • A variância da variável aleatória X contínua, com f. densidade f(x), é definida por:     ( x   ) f ( x)dx 2 2    E( X )   2 2 2 • O desvio padrão ( ) de X é definido como a raiz quadrada da variância.
  • 12. Mediana e Moda • A mediana de uma v.a. X contínua, com f. densidade f(x), é o valor que satisfaz às seguintes condições: 1 1 P( X  Md )  e P( X  Md )  2 2 • A moda é valor da variável que tem maior probabilidade de ocorrêcia P( X  Mo)  max f ( x) x
  • 13. Conjunto de dados Variável aleatória Variável aleatória discreta contínua Valores X x1 x2 ... xn X x1 x2 ... xn f (x) freq. fr1 fr2 ... frn pi p1 p2 ... pn Média n n  x   xi fri   E ( X )   xi pi    x f ( x)dx i 1 i 1  Mediana md = valor central 1 1 Md : P( X  Md )  e P( X  Md )  2 2 Moda mo= valor com Mo= valor com Mo = valor com maior frequência maior probabilid. maior densidade P( X  Mo)  max pi P( X  Mo)  max f ( x) i x Variância n  (x  ) n  var( x)   ( xi  x) fri   2 2  2 i pi  2  ( x   ) 2 f ( x)dx i 1 i 1  Desvio dp( x)  var( x) padrão   2   2
  • 14. Principais modelos contínuos • Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei para atribuir as probabilidades. • Para caracterizar completamente uma variável aleatória contínua, precisamos fornecer sua função densidade de probabilidade, segundo sua definição, é uma função positiva e com integral igual a 1.
  • 15. Modelo uniforme contínuo • Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a,b], a<b, se sua função densidade de probabilidade é dada por:  1  a xb f ( x)   b  a  0  caso contrário ab (b  a) b 2 1  x dx  ;   2 a ba 2 12
  • 16. Distribuição Uniforme Contínua • Função densidade e função de distribuição F(x) f(x) 1 1/(b-a) a b xi a b xi
  • 17. Modelo Exponencial • Utilizado para modelar variáveis como, vida útil de equipamentos, tempos de falha e tempos de sobrevivência de espécies. • Uma v.a. contínua X, assumindo valores não negativos, segue o modelo Exponencial com parâmetro >0 se sua densidade é:  1  x  e x0 f ( x )    0  caso contrário
  • 18. Distribuição Exponencial  Gráfico f. densidade Gráfico f. distribuição acumulada E( X )   ; Var ( X )   2
  • 19. Distribuição Exponencial •Para calcular probabilidades com a Exponencial, precisamos resolver a integral, pois não teremos as figuras geométricas simples do exemplo anterior. Assim, b x a b 1   P ( a  X  b)   e  dx  e  e  a 
  • 20. Exemplo • O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado uma v.a. com distribuição exponencial com =500. Segue-se que a vida média do transistor é E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure mais do que a média?
  • 21. Exemplo • O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado uma v.a. com distribuição exponencial com =500. Segue-se que a vida média do transistor é E(T)=500 horas. Qual é a probabilidade de que ele dure mais do que a média?   t 1  P(T  500)   f (t )dt  e 500 dt 500 500 500  1   t     500e  500  e 1  0,3678 500    1/ 500
  • 22. Modelo Normal • Modelo fundamental em probabilidade e inferência estatística. Representa grande parte das variáveis aleatórias contínuas. • Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros  e 2, se sua função densidade é dada por: ( x )2 1  f ( x)  e 2 2 , para    x    2
  • 23. Propriedades do modelo Normal • Algumas propriedades da densidade da Normal podem ser observadas no seu gráfico: 1. f(x) é simétrica em relação à ; 2. f(x)→0 quando x→; 3. O valor máximo de f(x) se dá qdo x= . E( X )   Var ( X )   2
  • 24. Calcular probabilidades no modelo Normal • Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral: b ( x )2 1  P ( a  X  b)   e 2 2 dx a  2 • Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo aproximado. • Então essas probabilidades podem ser calculadas através do uso de tabelas.
  • 25. • Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável X que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável normal com parâmetros (0,1), isto é, média igual a 0 e variância igual a 1. X  Z  • Essa variável Z transformada terá distribuição N(0,1) e será denominada Normal Padrão.
  • 26. • Para determinar a probabilidade X[a.b], procedemos da seguinte forma: P ( a  X  b)  P ( a    X    b   ) a X  b   P         a b   P Z      • E então olhamos na tabela e obtemos as probabilidades da distribuição Normal
  • 27. Tabela da Normal Padrão • Como a distribuição Normal é simétrica, apresenta-se na tabela apenas os valore de P(0  Z  z). A probabilidade de estar acima (ou abaixo de zero) é 0,5.
  • 28. Exemplo • Seja X~N(2,9), a probabilidade P(2<X<5) é?  22 52 P(2  X  5)  P Z   P(0  Z  1)  9 9  0,3413
  • 29.
  • 30. Exemplo • Para obter P(0X<2), usamos a simetria da Normal 02 22  2  P(0  X  2)  P Z    P   Z  0   9 9   3   2  P 0  Z    3 0,2486
  • 31.
  • 32. • A tabela também pode ser usada no sentido inverso, dado uma probabilidade, desejamos obter o valor que a originou. • Por exemplo, quanto vale c tal que P(0<Z<c)=0,4? • É só procurar no corpo da tabela onde está o 0,4 (aprox. 0,3997), que corresponde a 1,28 que será o valor de c.
  • 33.
  • 34. • Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal que P(Z>d)=0,8. • Como a probabilidade desejada é maior que ½, então d é um número negativo. Então o intervalo precisa ter probabilidade 0,3. • Da tabela –d=0,84, ou seja, d=-0,84.
  • 35.
  • 36. Exercício 1 • Se X~N(100,100), calcule: a) P(X<115) b) P(X80) c) O valor a, tal que P(100-aX 100+a)=0,95
  • 37. 115  100  a) P( X  115)  P Z    P( Z  1,5)   100   80  100  b) P( X  80)  P Z    P( Z  2)   100  c) P(100  a  X  100  a )  0,95  (100  a)  100 (100  a)  100  P Z   0,95  100 100  a a P  Z    0,95  10 10 
  • 38. Exercício 2 • O peso bruto de latas de conserva é uma v.a. normal, com média 1000g e desvio padrão 20g. a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980g? b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1010g?
  • 39. 980  1000  a) P( X  980)  P Z    P( Z  1)   20   1010  1000  b) P( X  1010)  P Z    P( Z  0,5)   20 