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Módulo 2




                                Aplicações da Integral




                                                        A partir deste momento
     Nesta seção vamos abordar uma das aplicações
                                                         passaremos a examinar
                                                      as aplicações do conteúdo
                                                  estudado na Unidade anterior.
matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que
estudamos na Unidade 7.


                                           f (x) e g(x) sejam funções con-

                            a, b e que f (x)           g(x) para todo x em

 a, b . Então, a área da região limitada acima por y        f (x) , abaixo por

y   g(x) , à esquerda pela reta x       a e à direita pela reta x   b , confor-

                            b

                       A        f (x)     g(x) dx .
                            a




                                                                                      327
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                                     y
                                                            f(x)


                                                              A

                                                           g(x)

                                                  [                       ]
                                     0            a                       b    x


                     Figura 8.1

                                                                                           -


                     de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos
                     seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.


                     Passo 1.
                          acima e qual limita abaixo.

                     Passo 2.                                                    a e b serão
                          as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x)
                           e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz
                            f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.


                     Passo 3.
                           curvas.


                     Observação
                              f (x) , pelas retas x   a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma
                     função contínua sendo f (x)       0 , para todo x em a, b , conforme




 328
Módulo 2




       y
                   a                                        b
        0                                                                  x
                                        A

                                   f(x)




Figura 8.2

O cálculo da área A é dado por:
                                            b

                               A                f (x) dx ,
                                            a




      Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:


Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:

               y       f (x)       x            6 e y       g(x)    x2 .


      Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
      acima, temos os seguintes passos:


      Passo 1. Esboço da região

                                                 y
                                                10

                                                 8

                                                 6

                                                 4

                                                 2


                           −2          −1        0      1       2   3 x

      Figura 8.3

                                                                                   329
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                           Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos
                            f (x)     g(x) , isto é, x 6                                  x 2 ou x 2               x 6, que fornece
                               2
                           x       x 6              0
                           da equação acima, x                            2 e x              3 , que serão os limites de inte-
                           gração. Observe, pelo                                                            x      6        x 2 , para todo
                           x em      2, 3 .

                           Passo 3. Calculando a área da região limitada por:
                           y        f (x)               x        6 e y                    g(x)         x 2 em          2, 3 temos :
                                            b

                                    A               f (x)         g(x) dx
                                            a

                                            3                                                    3
                                                                              2
                                        =               x        6        x           dx               x 6 x 2 dx
                                                2                                                  2
                                                                              3
                                                x2                   x3
                                        =                   6x
                                                2                    3
                                                                                  2
                                          32                    33                         ( 2)2                        ( 2)3
                                        =                   6 3                                         6 ( 2)
                                          2                     3                            2                            3

                                                9                                     4                 8
                                        =         + 18 32                               12
                                                2                                     2                3
                                                9                                                  8
                                        =         + 18 9                          2 12 +
                                                2                                                  3

                                                9                                     8          9 18                  30       8
                                                            9           10
                                                2                                     3           2                         3

                                            27              22       27               22 81 + 44                125
                                        =                                                =                          u.a.
                                             2              3         2                3    6                    6
                           Portanto, a área limitada por
                                                                                                                                    125
                           y        f (x)               x        6 e y                    g(x)         x 2 em          2, 3 é
                                                                                                                                     6
                           unidades de área.


                     Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por

                                                        y       f (x)     4 e y              g(x)           x2 .


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Módulo 2




Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
                                                  y
                                                  5

                                                  4


                                                  3

                                                  2

                                                  1


                               −2       −1        0            1           2    x


Figura 8.4

Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo
 f (x) g(x) ,temos,4 x 2 ou x 2 = 4.Logo,x                                          4=     2,ouseja,
x1    2 e x2 2. Assim, a    2 e b 2.

Passo 3. A área da região limitada por y                           f (x)       4 e y     g(x)   x2 ,

em    2, 2 será:
               b

       A           f (x)        g(x) dx
               a
                                                               2
               2
                           2                          x3
           =       4 x dx                4x
               2
                                                      3
                                                                   2
                               23                                      ( 2)3
           = 4 2                         4        ( 2)
                               3                                         3
                     8                        8                        8            8
           = 8                      8                      8                   8+
                     3                       3                         3            3
                8      8                                       8      16
           =8     +8     = 16 2                                  = 16
                3      3                                       3       3
             48 16 32
           =             u.a.
               3     3
Portanto, a área limitada por y f (x)                                      4 e y    g(x)    x 2 em
            32
  2, 2 é        unidades de área.
             3

                                                                                                           331
Curso de Graduação em Administração a Distância




                     Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por

                                                     y       f (x)        8 x 2 e g(x)                    x2 .


                           Resolução: Temos os seguintes passos:


                           Passo 1. Esboço da região:
                                                                              y

                                                                              8
                                                                              7
                                                                              6
                                                                              5
                                                                              4
                                                                              3
                                                                              2
                                                                              1

                                                             −2      −1       0             1         2      x


                           Figura 8.5

                           Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos
                            f (x)       g(x) , isto é, 8 x 2                       x 2 , que fornece 8              2 x2 e

                           x1          2 e x2        2 . Assim, a             2 e b              2.


                           Passo 3. A área da região limitada por y                         f (x)         8 x 2 e g(x)   x2

                           será:
                                   b                                      2

                           A            f (x)       g(x) dx                   8 x2              x 2 dx
                                   a                                      2
                                                                                    2
                                   2
                                                2                      x3
                             =         8 2 x dx                   8x 2
                                   2
                                                                       3
                                                                                        2
                                                         3
                                                     2                                      ( 2)3
                             = 8 2 2                              8 ( 2) 2
                                                     3                                        3

                                                8                              8
                             = 16 2                           16 2
                                                3                             3


 332
Módulo 2




                  16      16                16
        = 16         + 16    = 32 2
                   3       3                 3
                  32 96 32        64
        = 32         =               u.a.
                   3   3           3
     Portanto, a área limitada por y f (x)       8 x 2 e g(x)         x 2 em
                 64
       2, 2 é        unidades de área.
                  3


Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y      f (x)       x2   5x ,
o eixo x e as retas x 1 e x 3.



     Resolução: Temos os seguintes passos:


     Passo 1. Esboço da região.

                   y      1       1,5       2    2,5     3
                   0                                             x
               −1

               −2

               −3

               −4

               −5

               −6

     Figura 8.6

     Passo 2. Os limites de integração são a 1 e b        3.

     Passo 3. A área limitada pela curva y       f (x)   x2    5x o eixo x
     e as retas x 1 e x       3, será:




                                                                                     333
Curso de Graduação em Administração a Distância




                                                                                                       3
                                          3
                                                   2                          x3                x2
                                  A           x         5x dx                          5
                                          1
                                                                              3                 2
                                                                                                       1


                                              33            32            13               12
                                      =                5                           5
                                              3             2             3                2

                                              27                9         1   1
                                      =                 5                   5
                                               3                2         3   2

                                                       45           1     5             18 45                 2 15
                                      =       9
                                                       2            3     2               2                    6

                                                  27                13             27       13
                                      =
                                                  2                 6              2         6

                                              81 + 13                68            34               34
                                      =                                                                u.a.
                                                6                    6             3                 3

                           Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x 2                                     5x , o eixo x
                                                       34
                           e as retas x 1 e x 3 é          unidades de área.
                                                        3
                     Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva
                     y    f (x)   sen x e pelo eixo x de 0 a 2 .

                           Resolução:
                           Passo 1. Esboço da região:

                                          y

                                          1




                                          0                                                                      x
                                                            2                                   2


                                          1


                           Figura 8.7




 334
Módulo 2




      Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo
                                0,     , f (x) sen x 0 e no interva-

      lo     ,2           , f (x)   sen x       0.

      Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x)                        sen x , e pelo
      eixo x de 0 até 2             será:
                                          2
                                                                                       2
             A            sen x dx            sen x dx        c os x 0         cos x
                      0


                  =        cos       ( cos 0) +              cos 2           ( cos

                  = ( 1) ( 1) +                  1       ( 1)

                  = 1+1+ 1 1 =2+                     2 = 2 + 2 = 4 u.a.

      Portanto, a área da região limitada pela curva f (x)                    sen x e pelo eixo

      x de 0 até 2 é 4 unidades de área.




                                                                dúvidas, busque orientação junto ao


   Exercícios propostos – 1




                             y
      a)
                            5

                            4

                            3

                            2

                            1


                             0        1          2       3        4      x



Figura 8.8
                                                                                                      335
Curso de Graduação em Administração a Distância




                           Onde y         f (x)       x 1.
                           b)                    y

                                              4


                                              3


                                              2


                                              1



                                                  0            1   2                 3      4      x


                     Figura 8.9

                           Onde y         f (x)        x.


                     2)    Determinar a área da região limitada por:
                            y     f (x)    x e y          g(x)     x2           x.

                     3)    Determinar a área da região limitada por y                           f (x)       x 1, o eixo
                           x e as retas x  2 e x 0.

                     4)    Determinar                 a    área     da           região            limitada         por
                                             2                              2
                            y     f (x)    x e y           g(x)         x            4x .
                                                                                                        1
                     5)    Calcular a área da região limitada por y                         f (x)            , o eixo x e
                                                                                                        x
                           as retas x 1 e x               4.




                          Volume de sólido de revolução


                                                                                                                      -
                                                                                                              centro de
                     massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de
                     um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam
                     formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.
 336
Módulo 2




        Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla-
                                     eixo de revolução, contida no plano.
        Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada
por y     f (x) , o eixo x , x   a e x       b em torno do eixo x . Então o
volume V deste sólido é dado por:
                                    b          2
                            V           f (x) dx.
                                   a


                                                                      -
tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas



                  y




                                  y = f(x)




              a    0                                         b      x


Figura 8.10




                                                                                  337
Curso de Graduação em Administração a Distância




                                        y




                                                                                      x




                     Figura 8.11

                           Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei-

                     ra da região plana é dada pela curva x      g(y) e o eixo y entre y   c e

                     y   d , então o volume V do sólido de revolução é dado por
                                                       d         2
                                                  V        g y       dy.
                                                       c


                                    y
                                    d



                                                      x = g(y)




                                     0                                          x

                                    c


                     Figura 8.12

 338
Módulo 2




      Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su                -
mos que f x     g x          0 para todo x   a,b . Então o volume do sólido
de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada
pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:
                               b         2         2
                     V             f x       g x       dx.
                               a




                 y

                                                              y = f(x)



                                                             y = g(x)


         a        0                                      b               x

Figura 8.13


                         y




                                                                         x




Figura 8.14




                                                                                     339
Curso de Graduação em Administração a Distância




                     Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y                x 2 , o eixo x e as retas
                     x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixo x . Encontre o
                     volume do sólido de revolução gerado.

                           Resolução:


                                         y
                                                                        y = f(x)
                                         4




                                         1


                                         0                 1        2              x


                     Figura 8.15

                           Temos:
                                         b             2        2         2
                                V                f x       dx       x 2 dx
                                         a                      1
                                             2
                                        x5
                                                       32 1
                                        5 1        5
                                      31
                                         , unidades de volume (u.v.).
                                      5


                     Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
                     região limitada por y x 3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .




 340
Módulo 2




      Resolução:
                                     y

                                     2                             y = x3

                                    1,5

                                     1

                                    0,5


                    −1       −0,5     0        0,5          1       1,5     2   x

                                −0,5

                                    −1


Figura 8.16

      De y        x 3 temos x         y1/ 3 . Logo, o volume do sólido obtido pela

      revolução em torno do eixo y é dado por
                         d            2             1
              V              g y          dy            y 2/ 3dy
                         c                          0

                    3 5/ 3 1              3
                       y                     u.v.
                     5     0               5
Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por x 2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno
do eixo x .




                                                                                         341
Curso de Graduação em Administração a Distância




                           Resolução:
                                                y
                                               5
                                                                             x² = y−2
                                               4


                                               3


                                               2                                     2y−x−2 = 0

                                               1


                                                                                                  x
                                   −2              0                         2                4
                                               −1



                     Figura 8.17

                            (a) Volume do sólido em torno do eixo x . Neste caso, temos
                                         b                    2              2
                                   V           f x                    g x        dx
                                         a

                                                                                     2
                                         1
                                                   2
                                                              2        1
                                               x         2               x 1             dx
                                         0                             2

                                         1              15 2
                                              x4           x           x 3 dx
                                         0               4
                                                                                 1
                                          x5           5x 3       x2
                                                                        3x
                                          5             4         2
                                                                                 0
                                          1    5          1             79
                                                                  3         u.v.
                                          5    4          2              20




 342
Módulo 2




     Exercícios propostos – 2




1)     Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em
       torno do eixo x , de região limitada por:

       a)         y    2x 1, x           0, x    3e y      0.

       b)         y    x 2 1, x 1, x             3e y     0.


2)     Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação
       em torno do eixo y , de região limitada por: y ln x, y 1, y 3
       e x   0.


3)     Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada
       pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:


       a)         y    2x 2 , y   0, x    0, x    5 ; em torno do eixo dos x .

       b)         y    x2    5x 6, y       0 ; em torno do eixo dos x .

       c)         y2    2x , x    0, y      0 ey       3; em torno do eixo dos y .

       d)         y    2x 1, x       0, x       3 ey    0 ; em torno do eixo dos x .




                                                                                           343
Curso de Graduação em Administração a Distância




                         Comprimento de arco


                           A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva
                     plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in-

                                        [a,b]                                              y       f (x) .
                                            y




                                                                                       B = (b,ƒ(b))

                                                    y = ƒ(x)



                             A = (a,ƒ(a))

                                       a                                               b       x



                     Figura 8.18

                             Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y                      f (x) .
                                                   ª
                     Seja s o comprimento da curva AB                                              y    f (x) .
                     Então, s é dado por
                                                         b                  2
                                                s              1   f '(x)        dx.
                                                         a


                             A seguir, apresentaremos alguns exemplos.

                                                                                                       x
                     Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y                             1,
                                                                                                       2
                     0   x     3.

                             Resolução: Temos,
                                                             x                  1
                                                     y         1     y'           .
                                                             2                  2




 344
Módulo 2




       Logo,
                       b                               2
               s                1            f '(x)        dx
                    a

                       3                    1
                                1             dx
                    0                       4
                       3        5    3                5 3
                                  dx    5.             x
                  0             4    2                4 0
                                          x
       Portanto, o comprimento de f (x)     1, para 0                                                 x   3 é dada
                                          2
               3
       por s        5 u.c.
               2
Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy                                                   x4   48
de x    2ax        4

       Resolução: Temos,
               24xy   x 4 48
                       1 3 2
                   y     x
                      24    x
                         2
                      3x    2                              x 4 16
                   y'                                             .
                       24 x 2                                8x 2

       Agora,                                                                                2
                        b                         2             4              x 4 16
               s                1            y'       dx                1                        dx
                       a                                        2                8x 2
                       4                      1
                                1               4
                                                  x8         256 32x 4 dx
                    2                       64x
                       4        x8           32x 4 256
                                                       dx
                    2                         64x 4
                       4        (x 4 16)2                           4       (x 4 16)2
                                           dx                                                dx
                    2            (32x 2 )2                          2
                                                                             (32x 2 )2
                       4        x 4 16
                                       dx
                    2             8x 2
                                                                                         4
                   1        4
                                        2             2                 1 x3       16
                                    x         16x          dx
                   8        2                                           8 3         x
                                                                                         2
                   1 64                       8                 1 56                    17
                                            4   8                              4           u.v.
                   8 3                        3                 8 3                      6


                                                                                                                         345
Curso de Graduação em Administração a Distância




compreendeu estas importantes

e para isto tente resolver os
exercícios propostos a seguir. Se

las antes de seguir adiante.
                             Exercícios propostos – 3



                           Determine o comprimento das curvas dadas por:

                                          x2      1
                           1)         y             ln x, 2       x    4.
                                          2       4
                                                                  1         3
                           2)         y   ln 1 x 2 de x             ax        .
                                                                  4         4
                                          1 4       1
                           3)         y     x           de x 1 a x          2.
                                          4        8x 2
                           4)         y 1 ln sen x de x                    ax         .
                                                                       6          4
                                          1 x
                           5)         y     e      e   x
                                                           de x       0 a x 1.
                                          2


                     Saiba Mais...

                     Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
                              FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-
                                ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron
                                Books, 1992.
                                LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed.
                                São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.




 346
Módulo 2




RESUMO




 do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva
 utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.




                                                                     347
Curso de Graduação em Administração a Distância




                        RESPOSTAS


                           • Exercícios propostos – 1


                                                                            16
                           1)       a) 12 unidades de área.            b)      unidades de área.
                                                                             3
                                     4
                           2)          unidades de área.
                                     3
                           3)        4 unidades de área.
                                     8
                           4)          unidades de área.
                                     3
                           5)        2 unidades de área.


                           • Exercícios propostos – 2


                                                                        1016
                           1)       a)         57 u.v.;          b)          u.v.
                                                                         15
                                               1
                           2)             e6      u.v.;
                                     2         e2

                           3)       a)         2500 u.v.         b)          u.v.
                                                                        30
                                               243
                                    c)             u.v.          d)     21 u.v.
                                               20


                           • Exercícios propostos – 3


                                       1
                           1)        6+ ln 2      6,173u.c.
                                       4
                                          21      1                                 123
                           2)        ln             u.c.               3)               u.c.
                                          5       2                                  32
                                     1
                           4)          ln 2 ln 2           2   ln 2   3 u.c.
                                     2
                                     1 2
                           5)           e 1 u.c.
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  • 1. Módulo 2 Aplicações da Integral A partir deste momento Nesta seção vamos abordar uma das aplicações passaremos a examinar as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior. matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que estudamos na Unidade 7. f (x) e g(x) sejam funções con- a, b e que f (x) g(x) para todo x em a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b , confor- b A f (x) g(x) dx . a 327
  • 2. Curso de Graduação em Administração a Distância y f(x) A g(x) [ ] 0 a b x Figura 8.1 - de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos. Passo 1. acima e qual limita abaixo. Passo 2. a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x) e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x. Passo 3. curvas. Observação f (x) , pelas retas x a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme 328
  • 3. Módulo 2 y a b 0 x A f(x) Figura 8.2 O cálculo da área A é dado por: b A f (x) dx , a Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas: Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas: y f (x) x 6 e y g(x) x2 . Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região y 10 8 6 4 2 −2 −1 0 1 2 3 x Figura 8.3 329
  • 4. Curso de Graduação em Administração a Distância Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos f (x) g(x) , isto é, x 6 x 2 ou x 2 x 6, que fornece 2 x x 6 0 da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte- gração. Observe, pelo x 6 x 2 , para todo x em 2, 3 . Passo 3. Calculando a área da região limitada por: y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em 2, 3 temos : b A f (x) g(x) dx a 3 3 2 = x 6 x dx x 6 x 2 dx 2 2 3 x2 x3 = 6x 2 3 2 32 33 ( 2)2 ( 2)3 = 6 3 6 ( 2) 2 3 2 3 9 4 8 = + 18 32 12 2 2 3 9 8 = + 18 9 2 12 + 2 3 9 8 9 18 30 8 9 10 2 3 2 3 27 22 27 22 81 + 44 125 = = u.a. 2 3 2 3 6 6 Portanto, a área limitada por 125 y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em 2, 3 é 6 unidades de área. Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 . 330
  • 5. Módulo 2 Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 x Figura 8.4 Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo f (x) g(x) ,temos,4 x 2 ou x 2 = 4.Logo,x 4= 2,ouseja, x1 2 e x2 2. Assim, a 2 e b 2. Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 , em 2, 2 será: b A f (x) g(x) dx a 2 2 2 x3 = 4 x dx 4x 2 3 2 23 ( 2)3 = 4 2 4 ( 2) 3 3 8 8 8 8 = 8 8 8 8+ 3 3 3 3 8 8 8 16 =8 +8 = 16 2 = 16 3 3 3 3 48 16 32 = u.a. 3 3 Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 em 32 2, 2 é unidades de área. 3 331
  • 6. Curso de Graduação em Administração a Distância Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x2 . Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y 8 7 6 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 x Figura 8.5 Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos f (x) g(x) , isto é, 8 x 2 x 2 , que fornece 8 2 x2 e x1 2 e x2 2 . Assim, a 2 e b 2. Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x2 será: b 2 A f (x) g(x) dx 8 x2 x 2 dx a 2 2 2 2 x3 = 8 2 x dx 8x 2 2 3 2 3 2 ( 2)3 = 8 2 2 8 ( 2) 2 3 3 8 8 = 16 2 16 2 3 3 332
  • 7. Módulo 2 16 16 16 = 16 + 16 = 32 2 3 3 3 32 96 32 64 = 32 = u.a. 3 3 3 Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x 2 e g(x) x 2 em 64 2, 2 é unidades de área. 3 Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x e as retas x 1 e x 3. Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região. y 1 1,5 2 2,5 3 0 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 Figura 8.6 Passo 2. Os limites de integração são a 1 e b 3. Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x e as retas x 1 e x 3, será: 333
  • 8. Curso de Graduação em Administração a Distância 3 3 2 x3 x2 A x 5x dx 5 1 3 2 1 33 32 13 12 = 5 5 3 2 3 2 27 9 1 1 = 5 5 3 2 3 2 45 1 5 18 45 2 15 = 9 2 3 2 2 6 27 13 27 13 = 2 6 2 6 81 + 13 68 34 34 = u.a. 6 6 3 3 Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x 2 5x , o eixo x 34 e as retas x 1 e x 3 é unidades de área. 3 Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 . Resolução: Passo 1. Esboço da região: y 1 0 x 2 2 1 Figura 8.7 334
  • 9. Módulo 2 Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo 0, , f (x) sen x 0 e no interva- lo ,2 , f (x) sen x 0. Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo eixo x de 0 até 2 será: 2 2 A sen x dx sen x dx c os x 0 cos x 0 = cos ( cos 0) + cos 2 ( cos = ( 1) ( 1) + 1 ( 1) = 1+1+ 1 1 =2+ 2 = 2 + 2 = 4 u.a. Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo x de 0 até 2 é 4 unidades de área. dúvidas, busque orientação junto ao Exercícios propostos – 1 y a) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Figura 8.8 335
  • 10. Curso de Graduação em Administração a Distância Onde y f (x) x 1. b) y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Figura 8.9 Onde y f (x) x. 2) Determinar a área da região limitada por: y f (x) x e y g(x) x2 x. 3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo x e as retas x 2 e x 0. 4) Determinar a área da região limitada por 2 2 y f (x) x e y g(x) x 4x . 1 5) Calcular a área da região limitada por y f (x) , o eixo x e x as retas x 1 e x 4. Volume de sólido de revolução - centro de massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução. 336
  • 11. Módulo 2 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla- eixo de revolução, contida no plano. Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada por y f (x) , o eixo x , x a e x b em torno do eixo x . Então o volume V deste sólido é dado por: b 2 V f (x) dx. a - tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas y y = f(x) a 0 b x Figura 8.10 337
  • 12. Curso de Graduação em Administração a Distância y x Figura 8.11 Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei- ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por d 2 V g y dy. c y d x = g(y) 0 x c Figura 8.12 338
  • 13. Módulo 2 Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su - mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por: b 2 2 V f x g x dx. a y y = f(x) y = g(x) a 0 b x Figura 8.13 y x Figura 8.14 339
  • 14. Curso de Graduação em Administração a Distância Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x 2 , o eixo x e as retas x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Resolução: y y = f(x) 4 1 0 1 2 x Figura 8.15 Temos: b 2 2 2 V f x dx x 2 dx a 1 2 x5 32 1 5 1 5 31 , unidades de volume (u.v.). 5 Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y x 3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y . 340
  • 15. Módulo 2 Resolução: y 2 y = x3 1,5 1 0,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 x −0,5 −1 Figura 8.16 De y x 3 temos x y1/ 3 . Logo, o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo y é dado por d 2 1 V g y dy y 2/ 3dy c 0 3 5/ 3 1 3 y u.v. 5 0 5 Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x 2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno do eixo x . 341
  • 16. Curso de Graduação em Administração a Distância Resolução: y 5 x² = y−2 4 3 2 2y−x−2 = 0 1 x −2 0 2 4 −1 Figura 8.17 (a) Volume do sólido em torno do eixo x . Neste caso, temos b 2 2 V f x g x dx a 2 1 2 2 1 x 2 x 1 dx 0 2 1 15 2 x4 x x 3 dx 0 4 1 x5 5x 3 x2 3x 5 4 2 0 1 5 1 79 3 u.v. 5 4 2 20 342
  • 17. Módulo 2 Exercícios propostos – 2 1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , de região limitada por: a) y 2x 1, x 0, x 3e y 0. b) y x 2 1, x 1, x 3e y 0. 2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y , de região limitada por: y ln x, y 1, y 3 e x 0. 3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado: a) y 2x 2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dos x . b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dos x . c) y2 2x , x 0, y 0 ey 3; em torno do eixo dos y . d) y 2x 1, x 0, x 3 ey 0 ; em torno do eixo dos x . 343
  • 18. Curso de Graduação em Administração a Distância Comprimento de arco A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in- [a,b] y f (x) . y B = (b,ƒ(b)) y = ƒ(x) A = (a,ƒ(a)) a b x Figura 8.18 Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) . ª Seja s o comprimento da curva AB y f (x) . Então, s é dado por b 2 s 1 f '(x) dx. a A seguir, apresentaremos alguns exemplos. x Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y 1, 2 0 x 3. Resolução: Temos, x 1 y 1 y' . 2 2 344
  • 19. Módulo 2 Logo, b 2 s 1 f '(x) dx a 3 1 1 dx 0 4 3 5 3 5 3 dx 5. x 0 4 2 4 0 x Portanto, o comprimento de f (x) 1, para 0 x 3 é dada 2 3 por s 5 u.c. 2 Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48 de x 2ax 4 Resolução: Temos, 24xy x 4 48 1 3 2 y x 24 x 2 3x 2 x 4 16 y' . 24 x 2 8x 2 Agora, 2 b 2 4 x 4 16 s 1 y' dx 1 dx a 2 8x 2 4 1 1 4 x8 256 32x 4 dx 2 64x 4 x8 32x 4 256 dx 2 64x 4 4 (x 4 16)2 4 (x 4 16)2 dx dx 2 (32x 2 )2 2 (32x 2 )2 4 x 4 16 dx 2 8x 2 4 1 4 2 2 1 x3 16 x 16x dx 8 2 8 3 x 2 1 64 8 1 56 17 4 8 4 u.v. 8 3 3 8 3 6 345
  • 20. Curso de Graduação em Administração a Distância compreendeu estas importantes e para isto tente resolver os exercícios propostos a seguir. Se las antes de seguir adiante. Exercícios propostos – 3 Determine o comprimento das curvas dadas por: x2 1 1) y ln x, 2 x 4. 2 4 1 3 2) y ln 1 x 2 de x ax . 4 4 1 4 1 3) y x de x 1 a x 2. 4 8x 2 4) y 1 ln sen x de x ax . 6 4 1 x 5) y e e x de x 0 a x 1. 2 Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun- ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1. 346
  • 21. Módulo 2 RESUMO do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva utilizando o sistema de coordenadas cartesianas. 347
  • 22. Curso de Graduação em Administração a Distância RESPOSTAS • Exercícios propostos – 1 16 1) a) 12 unidades de área. b) unidades de área. 3 4 2) unidades de área. 3 3) 4 unidades de área. 8 4) unidades de área. 3 5) 2 unidades de área. • Exercícios propostos – 2 1016 1) a) 57 u.v.; b) u.v. 15 1 2) e6 u.v.; 2 e2 3) a) 2500 u.v. b) u.v. 30 243 c) u.v. d) 21 u.v. 20 • Exercícios propostos – 3 1 1) 6+ ln 2 6,173u.c. 4 21 1 123 2) ln u.c. 3) u.c. 5 2 32 1 4) ln 2 ln 2 2 ln 2 3 u.c. 2 1 2 5) e 1 u.c. 2e 348