Este documento apresenta 28 exercícios sobre funções racionais. Os exercícios abordam tópicos como determinar o domínio, zeros, assimptotas e representação gráfica de funções racionais dadas algébrica ou graficamente. Alguns exercícios pedem também para resolver inequações ou equações envolvendo funções racionais.

1. AGRUPAMENTO VERTICAL DAS ESCOLAS DO TERRITÓRIO EDUCATIVO DE COURA
Matemática A – 11.ºano
Ano lectivo 2009/2010
Tópico: Funções
Conteúdo: Funções Racionais Ficha
Trabalho_8
x+6
1. Considera a função real de variável real h, definida por h( x ) = .
x −3
a) Indica o domínio de h e os seus zeros.
b) Indica as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das ordenadas.
c) Determina o conjunto solução da condição h( x ) ≥ x − 2
k
d) Escreve a expressão analítica de h na forma a + e indica as equações das
x−b
assimptotas do gráfico
9
e) O gráfico de h obtém-se do gráfico da função g, definida por g ( x ) = , por uma translação
x
→
associada a um vector v . Indica as suas coordenadas.
2. Na figura está a representação gráfica de uma função f.
−x + 1
a) Atendendo aos dados, mostra que f ( x ) =
x+2
b) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção do
gráfico de f com a recta de equação y = x − 1 .
c) Calcula, caso existam, os seguintes limites:
c1) xlim f ( x )
→ +∞ c2) xlim f ( x )
→ −∞ c3) xlim2 f ( x )
→−
3. Com base na representação gráfica das funções f , g e h:
a) Indica, caso existam:
a1) xlim f ( x )
→ +∞ a2) xlim f ( x )
→ −∞ a3) x lim+ f ( x )
→ −1
a4) x lim− f ( x )
→ −1
a5) xlim f ( x )
→ −1
a6) xlim g ( x )
→ +∞ a7) xlim g ( x ) a8) lim g ( x )
→ −∞ x →0
b) Comenta a afirmação:
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2. “ lim h( x ) = 4 ”
x →3
4. Considera as funções reais de variável real g e h, definidas por:
x2 −1 x 3 − x 2 − 14 x + 24
g(x ) = e h( x ) =
8−x x2 − 4
a) Determina as equações das assimptotas do gráfico de g.
b) Simplifica a expressão designatória que define a função h, e indica o domínio de
validade da simplificação
1
c) Determina as soluções naturais da condição g ( x ) >
x
ax + b
5. A representação gráfica da figura corresponde a uma função f racional do tipo f ( x ) = ,
x+c
onde a, b e c são números reais.
Quanto aos parâmetros a, b e c, podemos afirmar que:
(A) a = 2 ; b = −6 e c = 2
(B) a = −2 ; b = −6 e c = 2
(C) a = 2 ; b = 6 e c = 2
(D) a = 2 ; b = −6 e c = −2
2x + 3
6. Considera a função definida por h( x ) = .
x −1
Podemos afirmar que:
(A) D h = IR e D' h = IR
(B) D h = IR { 1 } e D' h = IR
(C) D h = IR { 1 } e D' h = IR { 2 }
(D) D h = IR { 2} e D' h = IR { 1 }
x−4
7. Considera a função f ( x ) = . Podemos afirmar que o domínio da função é:
x2 −1
(A) Dh = IR (B) D h = IR { 1 } (C) D h = IR { − 1 , 1 } (D) D h = IR { 1 , 4 }
8. Sendo f uma função real de variável real, sabe-se que:
• f (1) = −1
• D h = IR { − 2}
• Quando x → +∞ , y → 0
• Quando x → −∞ , y → 0
Então, o gráfico de f pode ser:
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3. 9. Qual das seguintes expressões analíticas pode definir a função cujo gráfico se encontra
representado ao lado?
2
(A) f ( x ) = 2 x + 3 (B) f ( x ) = x −
2
x
3
3 1
(C) f ( x ) = (D) f ( x ) =
2 x −3
x +1
10. Seja f ( x ) =
1− x 2
O domínio da função f é:
(A) IR { − 1 , 1 } (B) IR { 1 } (C) IR { − 1 } (D) IR
 1 x+3
11. Seja f uma função real de variável real de domínio IR   , definida por f ( x ) = .
2  2x − 1
O gráfico desta função tem por assimptotas as rectas de equações:
1 1 1 1
(A) y = ; x=− (B) y = − ; x=
2 2 2 2
1 1 1 1
(C) y = − ; x=− (D) y = ; x=
2 2 2 2
12. A figura representa parte do gráfico de uma função f.
Qual das seguintes expressões pode definir f?
2 2 + x2
(A) f ( x ) = x + 1 + (B) f ( x ) =
x −1 x −1
x+2 x2 −1
(C) f ( x ) = (D) f ( x ) =
x2 +1 x −1
13. Sejam A( x ) = x 2 + 3 x + 2 e B( x ) = 1 − x 2
A( x )
O gráfico da função f ( x ) = tem:
B( x )
(A) três assimptotas
(B) duas assimptotas
(C) uma assimptota
(D) não tem assimptotas
1
14. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = :
x − 2x
2
a) Determina o domínio e os zeros da função
b) Usando uma tabela de sinais, indica o intervalo em que f ( x ) ≥ 0
c) Verifica se o gráfico da função tem assimptotas e, em caso afirmativo, indica-as.
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4. 1
15. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = , o seu domínio é:
x +3
2
(A) IR { − 3 , 3 } {
(B) IR − 3 } {
(C) IR − 3 , 3 } (D) IR
1
16. O gráfico da função definida por f ( x ) = x + tem:
x
(A) assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0
(B) assimptota vertical x = 1 e assimptota oblíqua y = x
(C) assimptota vertical x = 0 e assimptota oblíqua y = x
(D) assimptota vertical x = 1 e não tem assimptotas não verticais
x−2
17. As assimptotas do gráfico da função definida por f ( x ) = são:
x2 − 4
(A) x = −2 ; x = 2 e y = 0 (B) x = −2 ; x = 2 e y = 2
(C) x = 2 e y = 2 (D) x = −2 e y = 0
18. Considera as seguintes afirmações:
I – A representação gráfica de uma função racional nunca é uma recta
II – Existem funções racionais que não têm zeros
III – Todas as funções racionais têm pelo menos uma assimptota vertical
IV – Nem todas as funções racionais têm domínio IR
As afirmações verdadeiras são:
(A) I e III (B) I e IV (C) II e IV (D) II e III
19. Determina o domínio e os zeros de cada uma das seguintes funções:
x −1 x2 − 4 x2 − x
a) f ( x ) = b) f ( x ) = c) f ( x ) =
5( x − 2) 2 x − 5x + 6
2
x − 4x + 3
2
20. Considera as funções definidas por:
3x 2 − 5x 2x − 6
f (x) = e g(x ) =
x2 − 9 x − 5x + 6
2
Determina:
a) o domínio de cada uma das funções dadas
b) os zeros da função g
c) as assimptotas do gráfico da função f
d) os valores para os quais g ( x ) > 0
3x − 1 2−x
21. Considera as funções f e g, definidas por f ( x ) = e g(x ) =
x+2 x
a) Resolve a inequação g ( x ) < x
b) Determina para que valores de x a função f é positiva
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5. c) Se as funções f e g forem representadas no mesmo referencial, para que valores de x o
gráfico de f está abaixo da assimptota horizontal do gráfico de g?
22. Considera as funções definidas por:
5x 2
f (x) = , g ( x ) = 2x − 3 e h( x ) =
x+2 x
a) Indica o domínio das funções f , g e h
 1
b) Calcula f   e o valor para o qual a função f tende quando x → +∞
5
c) Resolve a equação f ( x ) = g ( x )
d) Determina o intervalo de números reais tais que g ( x ) ≥ h( x )
e) Indica as assimptotas do gráfico da função h.
23. Indica as assimptotas oblíquas dos gráficos das funções, caso existam:
2x 2 − 3x + 1 x2 − 6
a) f ( x ) = b) f ( x ) =
x+2 2x
2x 2 + x + 3
24. Considera a função f real de variável real definida por f ( x ) = .
x +1
a) Determina o domínio, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, as
assímptotas e esboça o respectivo gráfico.
b) Determinam, algebricamente, os valores de x de modo que f ( x ) ≤ 0 .
25. A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada
6t + 1
por h(t ) =
t +2
a) Com que altura a árvore foi plantada?
b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?
c) Faz um esboço do gráfico da função h (no contexto do problema)
d) Para que valor tende a altura da árvore com o decorrer dos anos?
3x 2 + 8x − 1
26. Considera o ponto A( −1 ,−3) e a função racional f definida por f ( x ) =
1− x
a) Mostra que o ponto A pertence ao gráfico da função f.
b) Determina a e b, números reais, de modo que a recta y = 2ax − 3b seja a assímptota não
vertical do gráfico da função f.
2x + 5
27. Considera a função f definida por f ( x ) =
x +1
a) Resolve, por processos analíticos, a inequação f ( x ) ≥ 1
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6. b) Utiliza as capacidades gráficas da tua calculadora para resolveres a equação f (x ) = π .
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
28. As rectas de equação x = −1 e y = 2 são assimptotas do gráfico da função f . Qual das
afirmações pode ser verdadeira?
5 5
(A) f ( x ) = −1 + (B) f ( x ) = 1 −
x−2 x−2
5 5
(C) f ( x ) = 2 − (D) f ( x ) = 2 +
x +1 x −1
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