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AGRUPAMENTO VERTICAL DAS ESCOLAS DO TERRITÓRIO EDUCATIVO DE COURA
                                                                                             Matemática A – 11.ºano
                                                                                                    Ano lectivo 2009/2010
 Tópico: Funções
 Conteúdo: Funções Racionais                                                                         Ficha
 Trabalho_8

                                                                                    x+6
1. Considera a função real de variável real h, definida por h( x ) =                     .
                                                                                    x −3
a) Indica o domínio de h e os seus zeros.
b) Indica as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das ordenadas.
c) Determina o conjunto solução da condição h( x ) ≥ x − 2

                                                                                  k
d) Escreve a expressão analítica de h na forma a +                                   e indica as equações das
                                                                                 x−b
assimptotas do gráfico
                                                                                             9
e) O gráfico de h obtém-se do gráfico da função g, definida por g ( x ) =                      , por uma translação
                                                                                             x
                            →
associada a um vector v . Indica as suas coordenadas.


2. Na figura está a representação gráfica de uma função f.
                                                        −x + 1
a) Atendendo aos dados, mostra que f ( x ) =
                                                        x+2
b) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção do

gráfico de f com a recta de equação y = x − 1 .
c) Calcula, caso existam, os seguintes limites:

c1) xlim f ( x )
      → +∞                   c2) xlim f ( x )
                                   → −∞                     c3) xlim2 f ( x )
                                                                  →−




3. Com base na representação gráfica das funções f , g e h:




a) Indica, caso existam:

a1) xlim f ( x )
      → +∞         a2) xlim f ( x )
                         → −∞          a3) x lim+ f ( x )
                                             → −1
                                                            a4) x lim− f ( x )
                                                                  → −1


a5) xlim f ( x )
     → −1
                   a6) xlim g ( x )
                         → +∞          a7) xlim g ( x ) a8) lim g ( x )
                                             → −∞           x →0


b) Comenta a afirmação:



01/2010                                                                                                              1/6
“ lim h( x ) = 4 ”
  x →3




4. Considera as funções reais de variável real g e h, definidas por:
          x2 −1                                         x 3 − x 2 − 14 x + 24
g(x ) =                           e          h( x ) =
          8−x                                                  x2 − 4
     a) Determina as equações das assimptotas do gráfico de g.
     b) Simplifica a expressão designatória que define a função h, e indica o domínio de
          validade da simplificação
                                                                                1
     c) Determina as soluções naturais da condição g ( x ) >
                                                                                x


                                                                                                        ax + b
5. A representação gráfica da figura corresponde a uma função f racional do tipo f ( x ) =                     ,
                                                                                                         x+c
onde a, b e c são números reais.
Quanto aos parâmetros a, b e c, podemos afirmar que:
(A) a = 2 ; b = −6 e c = 2

(B) a = −2 ; b = −6 e c = 2

(C) a = 2 ; b = 6 e c = 2

(D) a = 2 ; b = −6 e c = −2


                                                           2x + 3
6. Considera a função definida por h( x ) =                       .
                                                            x −1
Podemos afirmar que:
(A) D h = IR         e     D' h = IR

(B) D h = IR  { 1 } e          D' h = IR

(C) D h = IR  { 1 } e          D' h = IR  { 2 }

(D) D h = IR  { 2} e           D' h = IR  { 1 }


                                          x−4
7. Considera a função f ( x ) =                 . Podemos afirmar que o domínio da função é:
                                          x2 −1
(A) Dh = IR              (B) D h = IR  { 1 }           (C) D h = IR  { − 1 , 1 }   (D) D h = IR  { 1 , 4 }




8. Sendo f uma função real de variável real, sabe-se que:
     •    f (1) = −1

     •    D h = IR  { − 2}

     •    Quando x → +∞ , y → 0

     •    Quando x → −∞ , y → 0
Então, o gráfico de f pode ser:




01/2010                                                                                                    2/6
9. Qual das seguintes expressões analíticas pode definir a função cujo gráfico se encontra
representado ao lado?
                                                   2
(A) f ( x ) = 2 x + 3          (B) f ( x ) = x −
                                              2
                                                     x
                                                   3
                3                                1
(C) f ( x ) =                  (D) f ( x ) =
                2                              x −3


                      x +1
10. Seja f ( x ) =
                     1− x 2
O domínio da função f é:
(A) IR  { − 1 , 1 }           (B) IR  { 1 }                 (C) IR  { − 1 }         (D) IR


                                                             1                         x+3
11. Seja f uma função real de variável real de domínio IR    , definida por f ( x ) =        .
                                                            2                          2x − 1
O gráfico desta função tem por assimptotas as rectas de equações:
          1       1                                      1      1
(A) y =     ; x=−                        (B) y = −         ; x=
          2       2                                      2      2
                1       1                             1      1
(C) y = −         ; x=−                  (D) y =        ; x=
                2       2                             2      2


12. A figura representa parte do gráfico de uma função f.
Qual das seguintes expressões pode definir f?
                          2                              2 + x2
(A) f ( x ) = x + 1 +                    (B) f ( x ) =
                        x −1                              x −1
                x+2                                      x2 −1
(C) f ( x ) =                            (D) f ( x ) =
                x2 +1                                    x −1



13. Sejam A( x ) = x 2 + 3 x + 2 e B( x ) = 1 − x 2

                                   A( x )
O gráfico da função f ( x ) =             tem:
                                   B( x )
(A) três assimptotas
(B) duas assimptotas
(C) uma assimptota
(D) não tem assimptotas


                                                                              1
14. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) =                   :
                                                                            x − 2x
                                                                                 2


a) Determina o domínio e os zeros da função
b) Usando uma tabela de sinais, indica o intervalo em que f ( x ) ≥ 0
c) Verifica se o gráfico da função tem assimptotas e, em caso afirmativo, indica-as.


01/2010                                                                                         3/6
1
15. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) =                      , o seu domínio é:
                                                                                 x +3
                                                                                  2



(A) IR  { − 3 , 3     }                   {
                                 (B) IR  − 3       }                        {
                                                                 (C) IR  − 3 , 3          }                 (D) IR


                                                                1
16. O gráfico da função definida por f ( x ) = x +                    tem:
                                                                x
(A) assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0
(B) assimptota vertical x = 1 e assimptota oblíqua y = x
(C) assimptota vertical x = 0 e assimptota oblíqua y = x
(D) assimptota vertical x = 1 e não tem assimptotas não verticais


                                                                                 x−2
17. As assimptotas do gráfico da função definida por f ( x ) =                          são:
                                                                                 x2 − 4
(A) x = −2 ; x = 2 e y = 0                         (B) x = −2 ; x = 2 e y = 2

(C) x = 2 e y = 2                                  (D) x = −2 e y = 0


18. Considera as seguintes afirmações:
I – A representação gráfica de uma função racional nunca é uma recta
II – Existem funções racionais que não têm zeros
III – Todas as funções racionais têm pelo menos uma assimptota vertical
IV – Nem todas as funções racionais têm domínio IR
As afirmações verdadeiras são:
(A) I e III                  (B) I e IV                 (C) II e IV                   (D) II e III


19. Determina o domínio e os zeros de cada uma das seguintes funções:
                  x −1                                      x2 − 4                                     x2 − x
a) f ( x ) =                               b) f ( x ) =                               c) f ( x ) =
               5( x − 2) 2                                x − 5x + 6
                                                           2
                                                                                                     x − 4x + 3
                                                                                                         2




20. Considera as funções definidas por:
                                       3x 2 − 5x                                                  2x − 6
                             f (x) =                             e                    g(x ) =
                                        x2 − 9                                                  x − 5x + 6
                                                                                                     2


Determina:
     a) o domínio de cada uma das funções dadas
     b) os zeros da função g
     c) as assimptotas do gráfico da função f
     d) os valores para os quais g ( x ) > 0


                                                                       3x − 1           2−x
21. Considera as funções f e g, definidas por f ( x ) =                       e g(x ) =
                                                                       x+2               x
a) Resolve a inequação g ( x ) < x
b) Determina para que valores de x a função f é positiva


01/2010                                                                                                               4/6
c) Se as funções f e g forem representadas no mesmo referencial, para que valores de x o
gráfico de f está abaixo da assimptota horizontal do gráfico de g?


22. Considera as funções definidas por:
           5x                                                                2
f (x) =                  ,     g ( x ) = 2x − 3          e        h( x ) =
          x+2                                                                x
     a) Indica o domínio das funções f , g e h
                   1
     b) Calcula f   e o valor para o qual a função f tende quando x → +∞
                         5

     c) Resolve a equação f ( x ) = g ( x )
     d) Determina o intervalo de números reais tais que g ( x ) ≥ h( x )
     e) Indica as assimptotas do gráfico da função h.


23. Indica as assimptotas oblíquas dos gráficos das funções, caso existam:
               2x 2 − 3x + 1                           x2 − 6
a) f ( x ) =                            b) f ( x ) =
                   x+2                                  2x


                                                                                 2x 2 + x + 3
24. Considera a função f real de variável real definida por f ( x ) =                         .
                                                                                     x +1
a) Determina o domínio, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, as
assímptotas e esboça o respectivo gráfico.
b) Determinam, algebricamente, os valores de x de modo que f ( x ) ≤ 0 .


25. A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada

                6t + 1
por h(t ) =
                t +2
a) Com que altura a árvore foi plantada?
b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada?
c) Faz um esboço do gráfico da função h (no contexto do problema)
d) Para que valor tende a altura da árvore com o decorrer dos anos?


                                                                              3x 2 + 8x − 1
26. Considera o ponto A( −1 ,−3) e a função racional f definida por f ( x ) =
                                                                                  1− x
a) Mostra que o ponto A pertence ao gráfico da função f.
b) Determina a e b, números reais, de modo que a recta y = 2ax − 3b seja a assímptota não
vertical do gráfico da função f.


                                                         2x + 5
27. Considera a função f definida por f ( x ) =
                                                          x +1
a) Resolve, por processos analíticos, a inequação f ( x ) ≥ 1




01/2010                                                                                           5/6
b) Utiliza as capacidades gráficas da tua calculadora para resolveres a equação f (x ) = π .
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
28. As rectas de equação x = −1 e y = 2 são assimptotas do gráfico da função f . Qual das
afirmações pode ser verdadeira?
                       5                                                5
 (A) f ( x ) = −1 +                                (B) f ( x ) = 1 −
                      x−2                                              x−2
                      5                                                 5
 (C) f ( x ) = 2 −                                 (D) f ( x ) = 2 +
                     x +1                                              x −1




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Ft 8 FunçõEs Racionais

  • 1. AGRUPAMENTO VERTICAL DAS ESCOLAS DO TERRITÓRIO EDUCATIVO DE COURA Matemática A – 11.ºano Ano lectivo 2009/2010 Tópico: Funções Conteúdo: Funções Racionais Ficha Trabalho_8 x+6 1. Considera a função real de variável real h, definida por h( x ) = . x −3 a) Indica o domínio de h e os seus zeros. b) Indica as coordenadas do ponto de intersecção do gráfico de h com o eixo das ordenadas. c) Determina o conjunto solução da condição h( x ) ≥ x − 2 k d) Escreve a expressão analítica de h na forma a + e indica as equações das x−b assimptotas do gráfico 9 e) O gráfico de h obtém-se do gráfico da função g, definida por g ( x ) = , por uma translação x → associada a um vector v . Indica as suas coordenadas. 2. Na figura está a representação gráfica de uma função f. −x + 1 a) Atendendo aos dados, mostra que f ( x ) = x+2 b) Determina as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com a recta de equação y = x − 1 . c) Calcula, caso existam, os seguintes limites: c1) xlim f ( x ) → +∞ c2) xlim f ( x ) → −∞ c3) xlim2 f ( x ) →− 3. Com base na representação gráfica das funções f , g e h: a) Indica, caso existam: a1) xlim f ( x ) → +∞ a2) xlim f ( x ) → −∞ a3) x lim+ f ( x ) → −1 a4) x lim− f ( x ) → −1 a5) xlim f ( x ) → −1 a6) xlim g ( x ) → +∞ a7) xlim g ( x ) a8) lim g ( x ) → −∞ x →0 b) Comenta a afirmação: 01/2010 1/6
  • 2. “ lim h( x ) = 4 ” x →3 4. Considera as funções reais de variável real g e h, definidas por: x2 −1 x 3 − x 2 − 14 x + 24 g(x ) = e h( x ) = 8−x x2 − 4 a) Determina as equações das assimptotas do gráfico de g. b) Simplifica a expressão designatória que define a função h, e indica o domínio de validade da simplificação 1 c) Determina as soluções naturais da condição g ( x ) > x ax + b 5. A representação gráfica da figura corresponde a uma função f racional do tipo f ( x ) = , x+c onde a, b e c são números reais. Quanto aos parâmetros a, b e c, podemos afirmar que: (A) a = 2 ; b = −6 e c = 2 (B) a = −2 ; b = −6 e c = 2 (C) a = 2 ; b = 6 e c = 2 (D) a = 2 ; b = −6 e c = −2 2x + 3 6. Considera a função definida por h( x ) = . x −1 Podemos afirmar que: (A) D h = IR e D' h = IR (B) D h = IR { 1 } e D' h = IR (C) D h = IR { 1 } e D' h = IR { 2 } (D) D h = IR { 2} e D' h = IR { 1 } x−4 7. Considera a função f ( x ) = . Podemos afirmar que o domínio da função é: x2 −1 (A) Dh = IR (B) D h = IR { 1 } (C) D h = IR { − 1 , 1 } (D) D h = IR { 1 , 4 } 8. Sendo f uma função real de variável real, sabe-se que: • f (1) = −1 • D h = IR { − 2} • Quando x → +∞ , y → 0 • Quando x → −∞ , y → 0 Então, o gráfico de f pode ser: 01/2010 2/6
  • 3. 9. Qual das seguintes expressões analíticas pode definir a função cujo gráfico se encontra representado ao lado? 2 (A) f ( x ) = 2 x + 3 (B) f ( x ) = x − 2 x 3 3 1 (C) f ( x ) = (D) f ( x ) = 2 x −3 x +1 10. Seja f ( x ) = 1− x 2 O domínio da função f é: (A) IR { − 1 , 1 } (B) IR { 1 } (C) IR { − 1 } (D) IR  1 x+3 11. Seja f uma função real de variável real de domínio IR   , definida por f ( x ) = . 2  2x − 1 O gráfico desta função tem por assimptotas as rectas de equações: 1 1 1 1 (A) y = ; x=− (B) y = − ; x= 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) y = − ; x=− (D) y = ; x= 2 2 2 2 12. A figura representa parte do gráfico de uma função f. Qual das seguintes expressões pode definir f? 2 2 + x2 (A) f ( x ) = x + 1 + (B) f ( x ) = x −1 x −1 x+2 x2 −1 (C) f ( x ) = (D) f ( x ) = x2 +1 x −1 13. Sejam A( x ) = x 2 + 3 x + 2 e B( x ) = 1 − x 2 A( x ) O gráfico da função f ( x ) = tem: B( x ) (A) três assimptotas (B) duas assimptotas (C) uma assimptota (D) não tem assimptotas 1 14. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = : x − 2x 2 a) Determina o domínio e os zeros da função b) Usando uma tabela de sinais, indica o intervalo em que f ( x ) ≥ 0 c) Verifica se o gráfico da função tem assimptotas e, em caso afirmativo, indica-as. 01/2010 3/6
  • 4. 1 15. Dada a função, real de variável real, definida por f ( x ) = , o seu domínio é: x +3 2 (A) IR { − 3 , 3 } { (B) IR − 3 } { (C) IR − 3 , 3 } (D) IR 1 16. O gráfico da função definida por f ( x ) = x + tem: x (A) assimptota vertical x = 0 e assimptota horizontal y = 0 (B) assimptota vertical x = 1 e assimptota oblíqua y = x (C) assimptota vertical x = 0 e assimptota oblíqua y = x (D) assimptota vertical x = 1 e não tem assimptotas não verticais x−2 17. As assimptotas do gráfico da função definida por f ( x ) = são: x2 − 4 (A) x = −2 ; x = 2 e y = 0 (B) x = −2 ; x = 2 e y = 2 (C) x = 2 e y = 2 (D) x = −2 e y = 0 18. Considera as seguintes afirmações: I – A representação gráfica de uma função racional nunca é uma recta II – Existem funções racionais que não têm zeros III – Todas as funções racionais têm pelo menos uma assimptota vertical IV – Nem todas as funções racionais têm domínio IR As afirmações verdadeiras são: (A) I e III (B) I e IV (C) II e IV (D) II e III 19. Determina o domínio e os zeros de cada uma das seguintes funções: x −1 x2 − 4 x2 − x a) f ( x ) = b) f ( x ) = c) f ( x ) = 5( x − 2) 2 x − 5x + 6 2 x − 4x + 3 2 20. Considera as funções definidas por: 3x 2 − 5x 2x − 6 f (x) = e g(x ) = x2 − 9 x − 5x + 6 2 Determina: a) o domínio de cada uma das funções dadas b) os zeros da função g c) as assimptotas do gráfico da função f d) os valores para os quais g ( x ) > 0 3x − 1 2−x 21. Considera as funções f e g, definidas por f ( x ) = e g(x ) = x+2 x a) Resolve a inequação g ( x ) < x b) Determina para que valores de x a função f é positiva 01/2010 4/6
  • 5. c) Se as funções f e g forem representadas no mesmo referencial, para que valores de x o gráfico de f está abaixo da assimptota horizontal do gráfico de g? 22. Considera as funções definidas por: 5x 2 f (x) = , g ( x ) = 2x − 3 e h( x ) = x+2 x a) Indica o domínio das funções f , g e h  1 b) Calcula f   e o valor para o qual a função f tende quando x → +∞ 5 c) Resolve a equação f ( x ) = g ( x ) d) Determina o intervalo de números reais tais que g ( x ) ≥ h( x ) e) Indica as assimptotas do gráfico da função h. 23. Indica as assimptotas oblíquas dos gráficos das funções, caso existam: 2x 2 − 3x + 1 x2 − 6 a) f ( x ) = b) f ( x ) = x+2 2x 2x 2 + x + 3 24. Considera a função f real de variável real definida por f ( x ) = . x +1 a) Determina o domínio, os pontos de intersecção do gráfico com os eixos coordenados, as assímptotas e esboça o respectivo gráfico. b) Determinam, algebricamente, os valores de x de modo que f ( x ) ≤ 0 . 25. A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada 6t + 1 por h(t ) = t +2 a) Com que altura a árvore foi plantada? b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada? c) Faz um esboço do gráfico da função h (no contexto do problema) d) Para que valor tende a altura da árvore com o decorrer dos anos? 3x 2 + 8x − 1 26. Considera o ponto A( −1 ,−3) e a função racional f definida por f ( x ) = 1− x a) Mostra que o ponto A pertence ao gráfico da função f. b) Determina a e b, números reais, de modo que a recta y = 2ax − 3b seja a assímptota não vertical do gráfico da função f. 2x + 5 27. Considera a função f definida por f ( x ) = x +1 a) Resolve, por processos analíticos, a inequação f ( x ) ≥ 1 01/2010 5/6
  • 6. b) Utiliza as capacidades gráficas da tua calculadora para resolveres a equação f (x ) = π . Apresenta o resultado arredondado às centésimas. 28. As rectas de equação x = −1 e y = 2 são assimptotas do gráfico da função f . Qual das afirmações pode ser verdadeira? 5 5 (A) f ( x ) = −1 + (B) f ( x ) = 1 − x−2 x−2 5 5 (C) f ( x ) = 2 − (D) f ( x ) = 2 + x +1 x −1 01/2010 6/6