1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite. 2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série. 3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.

1. Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3
Resumo dos Testes de Convergência
Nome Afirmação
Teste da
Divergência Se n n
n = 1
lim a 0 ou não existe então a
x
∞
→∞
≠
∑ diverge.
Teste da
Comparação Sejam n
n = 1
a
∞
∑ e n
n = 1
b
∞
∑ com 0 n na b< ≤ , para todo n.
a) Se n
n = 1
b
∞
∑ converge então n
n = 1
a
∞
∑ converge
b) Se n
n = 1
a
∞
∑ diverge então n
n = 1
b
∞
∑ diverge.
Teste da
Comparação no
Limite
Sejam n
n = 1
a
∞
∑ e n
n = 1
b
∞
∑ séries de termos positivos.
a) Se n
n
a
lim 0,
bn
L
→∞
= > então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
b) Se n
n
a
lim 0,
bn→∞
= e se n
n = 1
b
∞
∑ converge então n
n = 1
a
∞
∑ converge.
c) Se n
n
a
lim ,
bn→∞
= ∞ e se n
n = 1
b
∞
∑ diverge então n
n = 1
a
∞
∑ diverge.
Teste da
Integral
Seja f uma função contínua, decrescente e positiva para todo n a≥ e tal que
( )na f n= para n a≥ .
a) Se f(x) dx converge
a
∞
⇔
∫ n
n = a
a converge.
∞
∑
b) Se f(x) dx diverge
a
∞
⇔
∫ n
n = a
a diverge.
∞
∑
Teste da Série
Alternada
( Critério de
Leibniz)
Seja n
n
n = 1
(-1) a
∞
∑ com 0, nna > ∀ . Se
a) 1n na a+ ≤ , ou seja , { }na decrescente
b) nlim a 0
n→∞
=
Então a série alternada converge.

2. Teste da Razão
Seja a série n
n = 1
a :então
∞
∑
a) n+1
n
a
lim 1, a série é absolutamente convergente.
an
L
→∞
= <
b) n+1 n+1
n n
a a
lim 1, lim a série diverge.
a an n
L ou
→∞ →∞
= > = ∞
c) n+1
n
a
lim 1, nenhuma conclusão.
an→∞
=
Teste da Raiz
Seja a série n
n = 1
a :então
∞
∑
n
n)lim a 1, a série é absolutamente convergente.
n
i L
→∞
= <
n n
n n)lim a 1, ou se lim a , a série é divergente.
nn
ii L
→∞→∞
= > = ∞
n
n)lim a 1, nenhuma conclusão.
n
iii
→∞
=