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Aula 5




            Probabilidade

     Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
    Departamento de Matemática e Computação
               UNIFEI – MAT 013
Introdução
• Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados
  por meio de técnicas numéricas nos permite calcular
  medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas
  de dispersão (variância e desvio padrão).

• Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o
  objetivo de organizar e resumir informações.

• Essas medidas são chamadas de estimativas
  associadas a populações das quais os dados foram
  extraídos na forma de amostras.
Modelos probabilísticos
• Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticos.
• São modelos que permitem, sem a observação direta do
  fenômeno aleatório, reproduzir de maneira razoável a
  distribuição de frequências.
Definição: Fenômeno aleatório é a situação ou acontecimento
  cujos resultados não podem ser previstos com certeza.
Ex: Condições climáticas do próximo domingo.
    Taxa de inflação do próximo mês.
Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser
  estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas
  ocorrências.
Conceitos da teoria dos conjuntos -
             REVISÃO

• Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os
  possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório.
  Representaremos pela letra grega Ω.

• Subconjuntos de Ω são denominados eventos e
  representados por letras maíusculas (A, B, C, …).

• Um subconjunto vazio do espaço amostral é representado
  por .
Espaço amostral
                                Eventos



                          B
                  A




                  C       D               Espaço amostral


Elementos do          Ω
espaço amostral
Propriedades dos eventos
• A união de dois eventos A e B, denotada por AB
  representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos
  A ou B.

• A intersecção do evento A com o B, denotada por AB,
  é a ocorrência simultânea de A e B.
Propriedades dos eventos
• Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente
  exclusivos quanto não têm elementos em comum. Isto é
  AB=.

• Dois eventos A e B são chamados complementares se
  AB= e AB=Ω.


    A                            B       O evento B
              B                          complementar de A
                                         é também denotado
                       A                 por Ac

Ω                                    Ω
Exemplo simples do uso dos termos
     mencionados anteriormente
Fenômeno Aleatório – Jogar um dado de seis faces.
Espaço Amostral – Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento A –Sair um número par      A={2, 4, 6}.
Evento B –Sair o número 2            B={2}.


                    1 3 5
                    2 4 6
                                 Ω
Exemplo para clarear a
       definição de espaço amostral
               Fenômeno aleatório: Jogar um dado duas vezes.
               Descreva o espaço amostral.


                           Início : 1a jogada



   1             2            3            4             5     6

 2a jogada

1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6 12 3 4 5 61 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6


                                  36 resultados
Espaço amostral e probabilidades

      1,1        2,1          3,1         4,1           5,1           6,1
      1,2        2,2          3,2         4,2           5,2           6,2
      1,3        2,3          3,3         4,3           5,3           6,3
      1,4        2,4          3,4         4,4           5,4           6,4
      1,5        2,5          3,5         4,5           5,5           6,5
      1,6        2,6          3,6         4,6           5,6           6,6

Evento A: A soma dos dados é igual a 4.             A={(1,3);(2,2);(3,1)}


Evento B: A soma dos dados é igual a 11               B={(5,6);(6,5)}

Evento C: A soma é 4 ou 11.                     C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)}
O que é probabilidade?
• Probabilidade é uma afirmação numérica sobre
  a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o
  grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a
  1 ou 0% a 100%.

• Formalmente, probabilidade é uma função P(.)
  que atribui valores numéricos aos eventos de
  um espaço amostral:
Função probabilidade
Def: Uma função P(.) é denominada probabilidade
    se satisfaz as condições:

1. 0  P(A)  1,  AΩ;
                
2. P(Ω)=1 e P()=0;
3. Para Aj eventos disjuntos:

                n      n
              P  A j    P ( A j )
                       j 1
                j 1  
Como atribuir probabilidades aos
     elementos do espaço amostral?
•     Existem duas maneiras:

1.    Interpretação frequentista:

Observando as diversas repetições do fenômeno em que
   ocorre a variável de interesse, podemos anotar o
   número de ocorrências de cada valor dessa variável,
   ou seja, obtemos as probabilidades através das
   frequências de ocorrências.

Para um número grande de realizações (n) a frequência
    relativa pode ser usada como probabilidade.
Ou seja,

 fri(A)= número de repetições em que ocorre A = fi
                         n                      n



2. Probabilidade teórica P(A):
Atribuir as probabilidades baseando-se em
    características teóricas da realização do
    fenômeno.

           Quando n cresce: fr(A)  P(A)
Exemplo
Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de
    forma homogênea e com medidas rigorosamente
    simétricas (dado não viciado).

Da primeira maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e
    anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a
    probabilidade de ocorrência será igual a frequência
    relativa de cada observação. (exercício)

Da segunda maneira: Não temos nenhuma razão para
    privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não
    viciado. Então podemos considerar que todas as faces
    tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja:
            P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.
Exercício
• Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados
  em quatro cursos de uma universidade no ano passado:

                Sexo    Homens Mulheres
    Curso                 (H)    (F)    Total (cursos)
Matemática Pura (M)       70      40         110
Matemática Aplicada (A)   15      15          30
Estatística (E)           10      20          30
Computação (C.)           20      10          30
Total (sexo)              115     85         200

• Considere M o evento de escolher ao acaso um aluno e
  ele estar matriculado no curso de matemática pura.
1.   Descreva graficamente o espaço amostral.

2.   Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado
     no curso de matemática pura? (P(M)?)

3.   Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino?
     (P(H)?)

4.   Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar
     matriculado no curso matemática aplicada? (P(AH)?)

5.   Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em
     matemática aplicada ou ser homem? (P(AH)?)
Resposta
1. Descrever o espaço amostral:
     M      A        E            C




     H                                F
2. P(M)?
                  P(M)=110/200
3. P(H)?
                  P(H)=115/200
4. P(AH)?
                 P(AH)=15/200
               Sexo     Homens Mulheres
    Curso                 (H)    (F)    Total (cursos)
Matemática Pura (M)       70      40         110
Matemática Aplicada (A)   15      15          30
Estatística (E)           10      20          30
Computação (C.)           20      10          30
Total (sexo)              115     85         200
5. P(AH)?

        M    A      E       C




                                F
         H


P(AH)=P(A)+P(H)-P(AH)
     = 30/200 + 115/200 – 15/200
     = 130/200
• Considerando agora a união dos eventos A e C:
P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC)
      = 30/200 + 30/200 – 0
      = 60/200

Os eventos A e C são disjuntos ou mutuamente
 exclusivos.
         M     A        E         C
Regra da adição de probabilidades
• Considere os eventos U e V quaisquer, a
  regra da adição de probabilidades é dada
  por:
          P(UV)=P(U)+P(V)-P(UV)

• Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos
  ou disjuntos, a regra é dada por:
                P(UV)=P(U)+P(V)
Evento complementar
• Suponha agora que queremos calcular a probabilidade de
  aluno NÃO estar matriculado no curso da computação:


          M       A         E          C




• P(Cc)= P(Ω) - P(C) = 1- P(C) = 1-30/200 = 170/200
Propriedades
1.   P(A)+P(Ac)=1   9. AAc= Ω
2.   (AB)c=AcBc   10. AΩ = Ω
3.   (AB)c=AcBc   11. A = A
4.   A=          12. A(BC)=
5.   AΩ=A               (AB) (AC)
6.    c= Ω
7.   Ω c= 
8.   AAc= 
Mega Sena
                                Dezenas   Custo
• O jogo da mega sena
                                6         1,00
  consiste em escolher 6        7         7,00
  dezenas entre 60. O jogador   8         28,00
  pode marcar num cartão de 6   9         84,00
  a 15 dezenas. Os custos (em   10        210,00
  reais) de cada jogo estão     11        462,00
                                12        924,00
  relacionados na tabela:
                                13        1716,00
                                14        3005,00
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• Temos, ao todo  60   50.063.860 possibilidades.
                  
                  
                    6

• Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio
  máximo?

• Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 7,00?
• Resposta 1: A probabilidade de ganhar o
  prêmio máximo é 1 , ou seja, uma
                    60 
                    
                   6
                    

chance em 50 milhões.
• Resposta 2: Porque com 7 dezenas
  podemos formar  7   7 jogos de 7
                    
                    6
  dezenas.          
• Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou
  7 jogos com 6 dezenas são ações
  equiprováveis (equivalentes em termo de
  probabilidade ganhar).
Exercício
• Considere o lançamento de dois dados.
  Considere o evento A = soma dos números
  obtidos igual a 9 e o evento B = número no
  primeiro dado maior ou igual a 4.

• Enumere os elementos de A e B.
• Obtenha de AB, AB e Ac.
• Obtenha as probabilidades do ítem anterior.
Exercício
      Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
     1,1        2,1        3,1        4,1          5,1      6,1
     1,2        2,2        3,2        4,2          5,2      6,2
     1,3        2,3        3,3        4,3          5,3      6,3
     1,4        2,4        3,4        4,4          5,4      6,4
     1,5        2,5        3,5        4,5          5,5      6,5
     1,6        2,6        3,6        4,6          5,6      6,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.      3/36 = 1/12 = 0,083

Determine a probabilidade de que a soma seja 11.   2/36 = 1/18 = 0,056

Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. (3+2)/36 = 0,139
Exercício
• De um grupo de duas mulheres(M) e três
  homens (H), uma pessoa será sorteada
  para presidir uma reunião. Queremos
  saber qual a probabilidade de o presidente
  ser do sexo masculino ou feminino?
• Defina o espaço amostral.       Ω = {H,M}
• Defina o evento. E1 = {H} ou E2={M}
• Calcule as probabilidades. P(E1)=3/5
                              P(E2)=2/5

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Aula 5 probabilidade

  • 1. Aula 5 Probabilidade Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes Departamento de Matemática e Computação UNIFEI – MAT 013
  • 2. Introdução • Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão). • Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o objetivo de organizar e resumir informações. • Essas medidas são chamadas de estimativas associadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras.
  • 3. Modelos probabilísticos • Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticos. • São modelos que permitem, sem a observação direta do fenômeno aleatório, reproduzir de maneira razoável a distribuição de frequências. Definição: Fenômeno aleatório é a situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: Condições climáticas do próximo domingo. Taxa de inflação do próximo mês. Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências.
  • 4. Conceitos da teoria dos conjuntos - REVISÃO • Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório. Representaremos pela letra grega Ω. • Subconjuntos de Ω são denominados eventos e representados por letras maíusculas (A, B, C, …). • Um subconjunto vazio do espaço amostral é representado por .
  • 5. Espaço amostral Eventos B A C D Espaço amostral Elementos do Ω espaço amostral
  • 6. Propriedades dos eventos • A união de dois eventos A e B, denotada por AB representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. • A intersecção do evento A com o B, denotada por AB, é a ocorrência simultânea de A e B.
  • 7. Propriedades dos eventos • Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quanto não têm elementos em comum. Isto é AB=. • Dois eventos A e B são chamados complementares se AB= e AB=Ω. A B O evento B B complementar de A é também denotado A por Ac Ω Ω
  • 8. Exemplo simples do uso dos termos mencionados anteriormente Fenômeno Aleatório – Jogar um dado de seis faces. Espaço Amostral – Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento A –Sair um número par A={2, 4, 6}. Evento B –Sair o número 2 B={2}. 1 3 5 2 4 6 Ω
  • 9. Exemplo para clarear a definição de espaço amostral Fenômeno aleatório: Jogar um dado duas vezes. Descreva o espaço amostral. Início : 1a jogada 1 2 3 4 5 6 2a jogada 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 3 4 5 61 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 resultados
  • 10. Espaço amostral e probabilidades 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Evento A: A soma dos dados é igual a 4. A={(1,3);(2,2);(3,1)} Evento B: A soma dos dados é igual a 11 B={(5,6);(6,5)} Evento C: A soma é 4 ou 11. C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)}
  • 11. O que é probabilidade? • Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 ou 0% a 100%. • Formalmente, probabilidade é uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos de um espaço amostral:
  • 12. Função probabilidade Def: Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as condições: 1. 0  P(A)  1,  AΩ;  2. P(Ω)=1 e P()=0; 3. Para Aj eventos disjuntos:  n  n P  A j    P ( A j )   j 1  j 1 
  • 13. Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral? • Existem duas maneiras: 1. Interpretação frequentista: Observando as diversas repetições do fenômeno em que ocorre a variável de interesse, podemos anotar o número de ocorrências de cada valor dessa variável, ou seja, obtemos as probabilidades através das frequências de ocorrências. Para um número grande de realizações (n) a frequência relativa pode ser usada como probabilidade.
  • 14. Ou seja, fri(A)= número de repetições em que ocorre A = fi n n 2. Probabilidade teórica P(A): Atribuir as probabilidades baseando-se em características teóricas da realização do fenômeno. Quando n cresce: fr(A)  P(A)
  • 15. Exemplo Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado). Da primeira maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a probabilidade de ocorrência será igual a frequência relativa de cada observação. (exercício) Da segunda maneira: Não temos nenhuma razão para privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não viciado. Então podemos considerar que todas as faces tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja: P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.
  • 16. Exercício • Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade no ano passado: Sexo Homens Mulheres Curso (H) (F) Total (cursos) Matemática Pura (M) 70 40 110 Matemática Aplicada (A) 15 15 30 Estatística (E) 10 20 30 Computação (C.) 20 10 30 Total (sexo) 115 85 200 • Considere M o evento de escolher ao acaso um aluno e ele estar matriculado no curso de matemática pura.
  • 17. 1. Descreva graficamente o espaço amostral. 2. Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado no curso de matemática pura? (P(M)?) 3. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino? (P(H)?) 4. Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar matriculado no curso matemática aplicada? (P(AH)?) 5. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicada ou ser homem? (P(AH)?)
  • 18. Resposta 1. Descrever o espaço amostral: M A E C H F
  • 19. 2. P(M)? P(M)=110/200 3. P(H)? P(H)=115/200 4. P(AH)? P(AH)=15/200 Sexo Homens Mulheres Curso (H) (F) Total (cursos) Matemática Pura (M) 70 40 110 Matemática Aplicada (A) 15 15 30 Estatística (E) 10 20 30 Computação (C.) 20 10 30 Total (sexo) 115 85 200
  • 20. 5. P(AH)? M A E C F H P(AH)=P(A)+P(H)-P(AH) = 30/200 + 115/200 – 15/200 = 130/200
  • 21. • Considerando agora a união dos eventos A e C: P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC) = 30/200 + 30/200 – 0 = 60/200 Os eventos A e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos. M A E C
  • 22. Regra da adição de probabilidades • Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da adição de probabilidades é dada por: P(UV)=P(U)+P(V)-P(UV) • Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos, a regra é dada por: P(UV)=P(U)+P(V)
  • 23. Evento complementar • Suponha agora que queremos calcular a probabilidade de aluno NÃO estar matriculado no curso da computação: M A E C • P(Cc)= P(Ω) - P(C) = 1- P(C) = 1-30/200 = 170/200
  • 24. Propriedades 1. P(A)+P(Ac)=1 9. AAc= Ω 2. (AB)c=AcBc 10. AΩ = Ω 3. (AB)c=AcBc 11. A = A 4. A= 12. A(BC)= 5. AΩ=A (AB) (AC) 6.  c= Ω 7. Ω c=  8. AAc= 
  • 25. Mega Sena Dezenas Custo • O jogo da mega sena 6 1,00 consiste em escolher 6 7 7,00 dezenas entre 60. O jogador 8 28,00 pode marcar num cartão de 6 9 84,00 a 15 dezenas. Os custos (em 10 210,00 reais) de cada jogo estão 11 462,00 12 924,00 relacionados na tabela: 13 1716,00 14 3005,00 15 5005,00
  • 26. • Temos, ao todo  60   50.063.860 possibilidades.     6 • Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo? • Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 7,00?
  • 27. • Resposta 1: A probabilidade de ganhar o prêmio máximo é 1 , ou seja, uma  60    6   chance em 50 milhões. • Resposta 2: Porque com 7 dezenas podemos formar  7   7 jogos de 7    6 dezenas.   • Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou 7 jogos com 6 dezenas são ações equiprováveis (equivalentes em termo de probabilidade ganhar).
  • 28. Exercício • Considere o lançamento de dois dados. Considere o evento A = soma dos números obtidos igual a 9 e o evento B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. • Enumere os elementos de A e B. • Obtenha de AB, AB e Ac. • Obtenha as probabilidades do ítem anterior.
  • 29. Exercício Dois dados são jogados e sua soma é anotada. 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. 3/36 = 1/12 = 0,083 Determine a probabilidade de que a soma seja 11. 2/36 = 1/18 = 0,056 Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11. (3+2)/36 = 0,139
  • 30. Exercício • De um grupo de duas mulheres(M) e três homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião. Queremos saber qual a probabilidade de o presidente ser do sexo masculino ou feminino? • Defina o espaço amostral. Ω = {H,M} • Defina o evento. E1 = {H} ou E2={M} • Calcule as probabilidades. P(E1)=3/5 P(E2)=2/5