SlideShare uma empresa Scribd logo
Intervalo de Confiança

 Profa. Dra. Juliana Garcia
         Cespedes
Intervalo de Confiança


Quando o interesse é um determinado
 parâmetro de uma população:

  – Retira-se uma amostra aleatória dessa
    população
  – E, através desta amostra, estima-se o
    parâmetro populacional.
Intervalo de Confiança

A partir de amostras aleatórias de tamanho n
 estima-se os parâmetros populacionais  e 2
 através de estimadores:
                                   n

            1  n
                                   ( xi  x) 2
         x   xi          S2    i 1
            n i 1                       n 1

 que produzem, para a amostra selecionada, as
 estimativas pontuais.
São chamadas pontuais, pois são únicas para
 cada amostra selecionada.
Intervalo de Confiança

Um estimador T do parâmetro  é qualquer
 função das observações da amostra. (É uma
 estatística T, porém associada a um parâmetro
 populacional)


Estimativa é o valor assumido pelo estimador em
 uma particular amostra.
Intervalo de Confiança
Contudo, o valor estimado geralmente não será
 exatamente igual ao valor verdadeiro.

Seria interessante medir o possível erro cometido
 na estimação.

Uma maneira de expressar a precisão da
 estimação é estabelecer limites, que com certa
 probabilidade incluam o verdadeiro valor do
 parâmetro.
Intervalo de Confiança
Esses limites são chamados de limites de
 confiança e determinam um intervalo de
 confiança que forneça um intervalo de valores
 plausíveis para o parâmetro baseado nos dados
 amostrais.

Como obter estimativas intervalares para o
 parâmetro de interesse, isto é, como determinar
 intervalos com limites que abranjam o valor do
 parâmetro populacional, com uma margem de
 segurança prefixada?
Intervalo de Confiança
Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória de
 tamanho n de uma população e  o parâmetro de
                    ^   ^
 interesse. Sejam 1 e 2 estatística tais que:

                                           =1-  é
                                         chamado de
                ˆ        ˆ
             P(1     2 )  1     coeficiente de
                                          confiança



Então o intervalo (1; 2) é chamado intervalo de
                    ^   ^

 100(1-)% de confiança para o parâmetro .
 Usualmente assume-se 1- = 0,95 ou 0,99
Interpretação - Intervalo de Confiança

Um intervalo de confiança de 95% fornece um
 intervalo no qual estaríamos 95% confiantes da
 cobertura do verdadeiro valor do parâmetro

Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de
 confiança que construirmos conterão o verdadeiro
 valor do parâmetro (dado que todas as suposições
 envolvidas estejam corretas).
Se obtivermos um intervalo de confiança para o
        parâmetro  para cada uma dentre 100 amostras
        aleatórias da população, somente 5, em média
        destes intervalos de confiança não conterão .
X








    1   2    3   4           .....         100   amostras
Intervalo de confiança para média 
 Como encontrar os limites de confiança?
Se n > 30
Do Teorema do limite central sabe-se que:
             2          X  X 
      X ~ N  ,      Z              ~ N 0,1
               n                S
                             n      n
Intervalo de confiança para média 

O intervalo de confiança para X é dado por:
                                               
     ˆ
                    
                      
  P X 1  X  X 2  P  z / 2 
                                  X 
                                  S
                                                
                                        z / 2  
                                               
                                    n          

                      S                   S 
         P X  z / 2       X  z / 2     1
                       n                   n


                               S               S 
             IC   X  z / 2    ; X  z / 2   
                                n               n
Intervalo de confiança para média 
Se n  30
Sabe-se que:       X 
                 t      ~ t  n 1
                    S
                       n


O IC para a média é dado por:
                 S                 S 
      P X  tn1       X  tn1     1
                  n                 n

                        S             S 
        IC   X  tn1    ; X  tn1   
                         n             n
Exemplo 1

Considere uma amostra de 9 elementos de uma
 população:
            10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9

Determinar:
        A estimativa da média populacional
      A estimativa da variância populacional
  O intervalo de 95% de confiança para a média
                    populacional.
Exemplo 1
              10  4  8  ...  9
         X                         10
                       9
               (10  10) 2  (4  10) 2  ...  (9  10) 2
         S2                                               9
                                   8
                                   9  1  8  t  2,306
                                                     S 
                                 IC ,95%    X  t     
         1-p
                                                      n
p                        p
                                                         3
2                        2                   10  2,306
                                                         3
    -t    0        t             IC ,95%    (7,69 ; 12,31)
Conclusões
• Um estimador pontual para  é dado pela média
  amostral.
                X 1  X 2  ...  X n
             X
                         n

• Um estimador intervalar, ou intervalo de
  confiança, para  tem a forma:

                 X   ;   X    
• Sendo  chamado de erro amostral calculado a
  partir da distribuição de probabilidade de X .
Conclusões
 A partir do teorema do limite central, se X tem distribuição
  Normal com média  e variância 2, então X tem
  distribuição normal exata para todo n com média  e
  variância 2/n, chamado de erro padrão da média.

 Conhecendo-se o coeficiente de confiança  = 1- obtém-
  se o valor de z.

 Então, da equação do intervalo de confiança para a média
   tem-se a equação do erro amostral:

                                
                       z
                                  n
Exercício 1

Uma amostra de 9 elementos de uma população
 forneceu os seguintes valores:
               1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9

Determinar:
         A estimativa da média populacional
       A estimativa da variância populacional
Os intervalos de 90%, 95% e 99% de confiança para
    a média populacional e interprete o resultado.
Exercício 2

 Seja X uma v.a. com distribuição normal de média e
  variância desconhecidas, considere que a variância
  amostral é igual a 36.

   a) Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média
      amostral 18,5. Construa um intervalo de confiança com
      coeficientes de confiança 91%, 94% e 99% para a
      média populacional.

   b) Para uma confiança de 96%, construa intervalos de
      confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e
      100 (admita que todos forneceram média amostral igual
      a 18,5).

   c) Comente sobre a precisão dos intervalos construídos
      em (a) e (b).
Exercício 3

 O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95%
  foi construído a partir de uma amostra de
  tamanho 25, para a média de uma população.
  O desvio padrão amostral foi igual a 2.

a. Qual o valor encontrado para a média dessa
   amostra?

b. Se utilizássemos essa mesma amostra, mas
   com uma confiança de 90%, qual seria o novo
   intervalo de confiança?
Exercício 4
 O tempo de permanência de contadores recém
  formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado
  considerando um modelo normal com média e variância
  desconhecidas.
 Deseja-se estimar a média populacional. Para uma
  amostra de 15 profissionais, a média obtida foi de 2,7
  anos e o desvio padrão foi de 1,4 anos.

a. Encontre um intervalo para o tempo médio populacional
   de permanência com uma confiança de 90%.

b. Refaça o item a. considerando que a amostra era
    formada por 150 profissionais.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formandoEstatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
Antonio Mankumbani Chora
 
1. intervalo de confiança parte i
1. intervalo de confiança   parte i1. intervalo de confiança   parte i
1. intervalo de confiança parte i
Regional Jataí - Universidade Federal de Goiás
 
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
Regis Andrade
 
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.pptUnidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
CrobelEtiquetas
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
rosania39
 
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava 2013
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava  2013Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava  2013
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava 2013
Pedro Casquilho
 
Estatistica inferencial
Estatistica inferencial Estatistica inferencial
Estatistica inferencial
Caio da Silva
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
aldaalves
 
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
Ariel Rennó Chaves
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
Liliana Carvalho
 
Aula 05 Gráficos Estatísticos
Aula 05   Gráficos EstatísticosAula 05   Gráficos Estatísticos
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Diego Oliveira
 
Distribuição Amostral da Média
Distribuição Amostral da MédiaDistribuição Amostral da Média
Distribuição Amostral da Média
Anderson Pinho
 
Testes parametricos e nao parametricos
Testes parametricos e nao parametricosTestes parametricos e nao parametricos
Testes parametricos e nao parametricos
Rosario Cação
 
Coeficiente de variação
Coeficiente de variaçãoCoeficiente de variação
Coeficiente de variação
Tuane Paixão
 
Correlação Estatística
Correlação EstatísticaCorrelação Estatística
Correlação Estatística
Vitor Vieira Vasconcelos
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
giselesilvaramos
 
Conceitos Básicos de Estatística II
Conceitos Básicos de Estatística IIConceitos Básicos de Estatística II
Conceitos Básicos de Estatística II
Vitor Vieira Vasconcelos
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
joseagrosa
 
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumuladaExercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Diego Oliveira
 

Mais procurados (20)

Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formandoEstatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
Estatistica aplicada exercicios resolvidos manual tecnico formando
 
1. intervalo de confiança parte i
1. intervalo de confiança   parte i1. intervalo de confiança   parte i
1. intervalo de confiança parte i
 
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1
 
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.pptUnidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
Unidade 04 - Estatística - Medidas de dispersão.ppt
 
Medidas de tendencia central
Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central
Medidas de tendencia central
 
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava 2013
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava  2013Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava  2013
Formulario estatistica descritiva univariada e bivariava 2013
 
Estatistica inferencial
Estatistica inferencial Estatistica inferencial
Estatistica inferencial
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1Aula 8   variáveis aleatória contínua - parte 1
Aula 8 variáveis aleatória contínua - parte 1
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
Aula 05 Gráficos Estatísticos
Aula 05   Gráficos EstatísticosAula 05   Gráficos Estatísticos
Aula 05 Gráficos Estatísticos
 
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
 
Distribuição Amostral da Média
Distribuição Amostral da MédiaDistribuição Amostral da Média
Distribuição Amostral da Média
 
Testes parametricos e nao parametricos
Testes parametricos e nao parametricosTestes parametricos e nao parametricos
Testes parametricos e nao parametricos
 
Coeficiente de variação
Coeficiente de variaçãoCoeficiente de variação
Coeficiente de variação
 
Correlação Estatística
Correlação EstatísticaCorrelação Estatística
Correlação Estatística
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
Conceitos Básicos de Estatística II
Conceitos Básicos de Estatística IIConceitos Básicos de Estatística II
Conceitos Básicos de Estatística II
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
 
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumuladaExercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
Exercícios Resolvidos: Frequência relativa, absoluta, acumulada
 

Semelhante a Aula 12 intervalo de confiança

Aula 2 - Sistemas de informação
Aula 2 - Sistemas de informaçãoAula 2 - Sistemas de informação
Aula 2 - Sistemas de informação
Caroline Godoy
 
inferencia intervalos de confiança teoria associada
inferencia intervalos de confiança  teoria associadainferencia intervalos de confiança  teoria associada
inferencia intervalos de confiança teoria associada
bru231
 
Intervalos de confianã‡a
Intervalos de confianã‡aIntervalos de confianã‡a
Intervalos de confianã‡a
Nathália Mendonça
 
Aula18
Aula18 Aula18
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a médiaAula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Carlos Alberto Monteiro
 
Distribuições amostragem
Distribuições amostragemDistribuições amostragem
Distribuições amostragem
Antonio Simoes
 
Aula 11 estimação
Aula 11   estimaçãoAula 11   estimação
Aula 11 estimação
Ariel Rennó Chaves
 
5 intervalo de confiança
5   intervalo de confiança5   intervalo de confiança
5 intervalo de confiança
Fernando Lucas
 
Estatística intervalo de confiança (aula 4)
Estatística   intervalo de confiança (aula 4)Estatística   intervalo de confiança (aula 4)
Estatística intervalo de confiança (aula 4)
Wellington Marinho Falcão
 
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptxintervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
ssuser2b53fe
 
Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2
Dharma Initiative
 
Resumo -estimacao
Resumo  -estimacaoResumo  -estimacao
Resumo -estimacao
carneiro62
 
Aula 1 - Estatística Inferencial
Aula 1 - Estatística InferencialAula 1 - Estatística Inferencial
Aula 1 - Estatística Inferencial
Caroline Godoy
 
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do SinalIntervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
Anselmo Alves de Sousa
 
Modulo 4
Modulo 4Modulo 4
Modulo 4
FernandoMLagos
 
Tópico 4 regressão linear simples 02
Tópico 4   regressão linear simples 02Tópico 4   regressão linear simples 02
Tópico 4 regressão linear simples 02
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Introd inferencia
Introd inferenciaIntrod inferencia
Introd inferencia
Helenice Lopes
 
Introd inferencia
Introd inferenciaIntrod inferencia
Introd inferencia
Helenice Lopes
 
Princípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - IPrincípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - I
Federal University of Bahia
 
Tutorial03 - Teste de Duas Médias
Tutorial03 - Teste de Duas MédiasTutorial03 - Teste de Duas Médias
Tutorial03 - Teste de Duas Médias
Diego Fernandes Rodrigues
 

Semelhante a Aula 12 intervalo de confiança (20)

Aula 2 - Sistemas de informação
Aula 2 - Sistemas de informaçãoAula 2 - Sistemas de informação
Aula 2 - Sistemas de informação
 
inferencia intervalos de confiança teoria associada
inferencia intervalos de confiança  teoria associadainferencia intervalos de confiança  teoria associada
inferencia intervalos de confiança teoria associada
 
Intervalos de confianã‡a
Intervalos de confianã‡aIntervalos de confianã‡a
Intervalos de confianã‡a
 
Aula18
Aula18 Aula18
Aula18
 
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a médiaAula 9-intervalo-de-confiança para a média
Aula 9-intervalo-de-confiança para a média
 
Distribuições amostragem
Distribuições amostragemDistribuições amostragem
Distribuições amostragem
 
Aula 11 estimação
Aula 11   estimaçãoAula 11   estimação
Aula 11 estimação
 
5 intervalo de confiança
5   intervalo de confiança5   intervalo de confiança
5 intervalo de confiança
 
Estatística intervalo de confiança (aula 4)
Estatística   intervalo de confiança (aula 4)Estatística   intervalo de confiança (aula 4)
Estatística intervalo de confiança (aula 4)
 
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptxintervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
intervalo de confiança AGRONOMIA 30_40.pptx
 
Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2Ipaee capitulo3 2
Ipaee capitulo3 2
 
Resumo -estimacao
Resumo  -estimacaoResumo  -estimacao
Resumo -estimacao
 
Aula 1 - Estatística Inferencial
Aula 1 - Estatística InferencialAula 1 - Estatística Inferencial
Aula 1 - Estatística Inferencial
 
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do SinalIntervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
Intervalo de Confiança para a Mediana amostral - Teste do Sinal
 
Modulo 4
Modulo 4Modulo 4
Modulo 4
 
Tópico 4 regressão linear simples 02
Tópico 4   regressão linear simples 02Tópico 4   regressão linear simples 02
Tópico 4 regressão linear simples 02
 
Introd inferencia
Introd inferenciaIntrod inferencia
Introd inferencia
 
Introd inferencia
Introd inferenciaIntrod inferencia
Introd inferencia
 
Princípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - IPrincípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - I
 
Tutorial03 - Teste de Duas Médias
Tutorial03 - Teste de Duas MédiasTutorial03 - Teste de Duas Médias
Tutorial03 - Teste de Duas Médias
 

Mais de Ariel Rennó Chaves

Módulo 1 - Piscicultura.pdf
Módulo 1 - Piscicultura.pdfMódulo 1 - Piscicultura.pdf
Módulo 1 - Piscicultura.pdf
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 6 probabilidade condicional
Aula 6   probabilidade condicionalAula 6   probabilidade condicional
Aula 6 probabilidade condicional
Ariel Rennó Chaves
 
Lista6
Lista6Lista6
Lista 5 modelos de probabilidade
Lista 5   modelos de probabilidadeLista 5   modelos de probabilidade
Lista 5 modelos de probabilidade
Ariel Rennó Chaves
 
Lista 4 variáveis aleatórias discretas
Lista 4   variáveis aleatórias discretasLista 4   variáveis aleatórias discretas
Lista 4 variáveis aleatórias discretas
Ariel Rennó Chaves
 
Lista 2 coeficiente de correlação
Lista 2   coeficiente de correlaçãoLista 2   coeficiente de correlação
Lista 2 coeficiente de correlação
Ariel Rennó Chaves
 
Lista 1 tabela de frequencias e medidas resumo
Lista 1   tabela de frequencias e medidas resumoLista 1   tabela de frequencias e medidas resumo
Lista 1 tabela de frequencias e medidas resumo
Ariel Rennó Chaves
 
Exerccios aula13
Exerccios aula13Exerccios aula13
Exerccios aula13
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 14 new
Aula 14 newAula 14 new
Aula 14 new
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 13 teste de hipóteses
Aula 13   teste de hipótesesAula 13   teste de hipóteses
Aula 13 teste de hipóteses
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 10 planejamento da amostra
Aula 10   planejamento da amostraAula 10   planejamento da amostra
Aula 10 planejamento da amostra
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 7 variáveis aleatórias
Aula 7   variáveis aleatóriasAula 7   variáveis aleatórias
Aula 7 variáveis aleatórias
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 5 probabilidade
Aula 5   probabilidadeAula 5   probabilidade
Aula 5 probabilidade
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 4 medidas resumo - parte 2
Aula 4   medidas resumo - parte 2Aula 4   medidas resumo - parte 2
Aula 4 medidas resumo - parte 2
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 3 medidas resumo - parte 1
Aula 3   medidas resumo - parte 1Aula 3   medidas resumo - parte 1
Aula 3 medidas resumo - parte 1
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 2 resumo de dados
Aula 2   resumo de dadosAula 2   resumo de dados
Aula 2 resumo de dados
Ariel Rennó Chaves
 
Aula 1 data de provas e apresentações
Aula 1   data de provas e apresentaçõesAula 1   data de provas e apresentações
Aula 1 data de provas e apresentações
Ariel Rennó Chaves
 

Mais de Ariel Rennó Chaves (19)

Módulo 1 - Piscicultura.pdf
Módulo 1 - Piscicultura.pdfMódulo 1 - Piscicultura.pdf
Módulo 1 - Piscicultura.pdf
 
Aula 6 probabilidade condicional
Aula 6   probabilidade condicionalAula 6   probabilidade condicional
Aula 6 probabilidade condicional
 
Lista6
Lista6Lista6
Lista6
 
Lista 5 modelos de probabilidade
Lista 5   modelos de probabilidadeLista 5   modelos de probabilidade
Lista 5 modelos de probabilidade
 
Lista 4 variáveis aleatórias discretas
Lista 4   variáveis aleatórias discretasLista 4   variáveis aleatórias discretas
Lista 4 variáveis aleatórias discretas
 
Lista 3 probabilidade
Lista 3   probabilidadeLista 3   probabilidade
Lista 3 probabilidade
 
Lista 2 coeficiente de correlação
Lista 2   coeficiente de correlaçãoLista 2   coeficiente de correlação
Lista 2 coeficiente de correlação
 
Lista 1 tabela de frequencias e medidas resumo
Lista 1   tabela de frequencias e medidas resumoLista 1   tabela de frequencias e medidas resumo
Lista 1 tabela de frequencias e medidas resumo
 
Exerccios aula13
Exerccios aula13Exerccios aula13
Exerccios aula13
 
Aula 14 new
Aula 14 newAula 14 new
Aula 14 new
 
Aula 13 teste de hipóteses
Aula 13   teste de hipótesesAula 13   teste de hipóteses
Aula 13 teste de hipóteses
 
Aula 10 planejamento da amostra
Aula 10   planejamento da amostraAula 10   planejamento da amostra
Aula 10 planejamento da amostra
 
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2Aula 9   variáveis aleatória contínua - parte 2
Aula 9 variáveis aleatória contínua - parte 2
 
Aula 7 variáveis aleatórias
Aula 7   variáveis aleatóriasAula 7   variáveis aleatórias
Aula 7 variáveis aleatórias
 
Aula 5 probabilidade
Aula 5   probabilidadeAula 5   probabilidade
Aula 5 probabilidade
 
Aula 4 medidas resumo - parte 2
Aula 4   medidas resumo - parte 2Aula 4   medidas resumo - parte 2
Aula 4 medidas resumo - parte 2
 
Aula 3 medidas resumo - parte 1
Aula 3   medidas resumo - parte 1Aula 3   medidas resumo - parte 1
Aula 3 medidas resumo - parte 1
 
Aula 2 resumo de dados
Aula 2   resumo de dadosAula 2   resumo de dados
Aula 2 resumo de dados
 
Aula 1 data de provas e apresentações
Aula 1   data de provas e apresentaçõesAula 1   data de provas e apresentações
Aula 1 data de provas e apresentações
 

Aula 12 intervalo de confiança

  • 1. Intervalo de Confiança Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
  • 2. Intervalo de Confiança Quando o interesse é um determinado parâmetro de uma população: – Retira-se uma amostra aleatória dessa população – E, através desta amostra, estima-se o parâmetro populacional.
  • 3. Intervalo de Confiança A partir de amostras aleatórias de tamanho n estima-se os parâmetros populacionais  e 2 através de estimadores: n 1 n  ( xi  x) 2 x   xi S2  i 1 n i 1 n 1 que produzem, para a amostra selecionada, as estimativas pontuais. São chamadas pontuais, pois são únicas para cada amostra selecionada.
  • 4. Intervalo de Confiança Um estimador T do parâmetro  é qualquer função das observações da amostra. (É uma estatística T, porém associada a um parâmetro populacional) Estimativa é o valor assumido pelo estimador em uma particular amostra.
  • 5. Intervalo de Confiança Contudo, o valor estimado geralmente não será exatamente igual ao valor verdadeiro. Seria interessante medir o possível erro cometido na estimação. Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro.
  • 6. Intervalo de Confiança Esses limites são chamados de limites de confiança e determinam um intervalo de confiança que forneça um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro baseado nos dados amostrais. Como obter estimativas intervalares para o parâmetro de interesse, isto é, como determinar intervalos com limites que abranjam o valor do parâmetro populacional, com uma margem de segurança prefixada?
  • 7. Intervalo de Confiança Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n de uma população e  o parâmetro de ^ ^ interesse. Sejam 1 e 2 estatística tais que: =1-  é chamado de ˆ ˆ P(1     2 )  1   coeficiente de confiança Então o intervalo (1; 2) é chamado intervalo de ^ ^ 100(1-)% de confiança para o parâmetro . Usualmente assume-se 1- = 0,95 ou 0,99
  • 8. Interpretação - Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança de 95% fornece um intervalo no qual estaríamos 95% confiantes da cobertura do verdadeiro valor do parâmetro Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de confiança que construirmos conterão o verdadeiro valor do parâmetro (dado que todas as suposições envolvidas estejam corretas).
  • 9. Se obtivermos um intervalo de confiança para o parâmetro  para cada uma dentre 100 amostras aleatórias da população, somente 5, em média destes intervalos de confiança não conterão . X  1 2 3 4 ..... 100 amostras
  • 10. Intervalo de confiança para média   Como encontrar os limites de confiança? Se n > 30 Do Teorema do limite central sabe-se que:  2  X  X  X ~ N  ,  Z  ~ N 0,1  n   S   n n
  • 11. Intervalo de confiança para média  O intervalo de confiança para X é dado por:   ˆ    P X 1  X  X 2  P  z / 2  X  S   z / 2      n   S S  P X  z / 2    X  z / 2   1  n n  S S  IC   X  z / 2 ; X  z / 2   n n
  • 12. Intervalo de confiança para média  Se n  30 Sabe-se que: X  t ~ t  n 1 S n O IC para a média é dado por:  S S  P X  tn1    X  tn1   1  n n  S S  IC   X  tn1 ; X  tn1   n n
  • 13. Exemplo 1 Considere uma amostra de 9 elementos de uma população: 10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9 Determinar: A estimativa da média populacional A estimativa da variância populacional O intervalo de 95% de confiança para a média populacional.
  • 14. Exemplo 1 10  4  8  ...  9 X  10 9 (10  10) 2  (4  10) 2  ...  (9  10) 2 S2  9 8   9  1  8  t  2,306  S  IC ,95%  X  t  1-p  n p p 3 2 2  10  2,306 3 -t 0 t IC ,95%  (7,69 ; 12,31)
  • 15. Conclusões • Um estimador pontual para  é dado pela média amostral. X 1  X 2  ...  X n X n • Um estimador intervalar, ou intervalo de confiança, para  tem a forma: X   ; X   • Sendo  chamado de erro amostral calculado a partir da distribuição de probabilidade de X .
  • 16. Conclusões  A partir do teorema do limite central, se X tem distribuição Normal com média  e variância 2, então X tem distribuição normal exata para todo n com média  e variância 2/n, chamado de erro padrão da média.  Conhecendo-se o coeficiente de confiança  = 1- obtém- se o valor de z.  Então, da equação do intervalo de confiança para a média  tem-se a equação do erro amostral:  z n
  • 17. Exercício 1 Uma amostra de 9 elementos de uma população forneceu os seguintes valores: 1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9 Determinar: A estimativa da média populacional A estimativa da variância populacional Os intervalos de 90%, 95% e 99% de confiança para a média populacional e interprete o resultado.
  • 18. Exercício 2  Seja X uma v.a. com distribuição normal de média e variância desconhecidas, considere que a variância amostral é igual a 36. a) Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18,5. Construa um intervalo de confiança com coeficientes de confiança 91%, 94% e 99% para a média populacional. b) Para uma confiança de 96%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e 100 (admita que todos forneceram média amostral igual a 18,5). c) Comente sobre a precisão dos intervalos construídos em (a) e (b).
  • 19. Exercício 3  O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95% foi construído a partir de uma amostra de tamanho 25, para a média de uma população. O desvio padrão amostral foi igual a 2. a. Qual o valor encontrado para a média dessa amostra? b. Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com uma confiança de 90%, qual seria o novo intervalo de confiança?
  • 20. Exercício 4  O tempo de permanência de contadores recém formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado considerando um modelo normal com média e variância desconhecidas.  Deseja-se estimar a média populacional. Para uma amostra de 15 profissionais, a média obtida foi de 2,7 anos e o desvio padrão foi de 1,4 anos. a. Encontre um intervalo para o tempo médio populacional de permanência com uma confiança de 90%. b. Refaça o item a. considerando que a amostra era formada por 150 profissionais.