1) Variáveis aleatórias contínuas podem assumir qualquer valor fracionário dentro de um intervalo, e a probabilidade de um valor é dada pela área sob a curva de distribuição de probabilidade entre esses valores. 2) A distribuição normal é amplamente usada e definida pela média e desvio padrão, com a variável normalizada Z facilitando cálculos de probabilidade. 3) Exemplos ilustram como usar a tabela normal para calcular probabilidades para variáveis contínuas como tempo de reação.

1. Variáveis Aleatórias Contínuas
Profª. Janine
Disciplina: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

2. Seja X uma v.a. contínua.
Uma variável aleatória pode assumir qualquer valor
fracionário dentro de um intervalo definido de valores.
A proporção da área incluída ou frequência relativa entre
dois pontos quaisquer, abaixo da curva de probabilidade,
identifica a probabilidade de que a v.a. selecionada
assuma um valor entre tais pontos.
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

3. Ou seja:
∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP )()(
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

4. Para que f(x) seja uma função de distribuição de
probabilidade (fdp) legítima, deve satisfazer às duas
condições a seguir:
a)
b)
f(x)degráficodoabaixoáreaaéque1,dxf(x)∫
∞
∞
=
xostodospara,0≥f(x)
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

5. Proposição: Seja X uma variável contínua X com f.d.p.
f(x) então, definimos:
Valor Esperado:
Variância:
Desvio Padrão:
dxxfxXEX ∫
∞
∞−
⋅== )()(µ
222
))(()()( XEXEXVX −==σ
2
Xσσ =
dxxfxXE ∫
∞
∞−
⋅= )()( 22
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

6. Principais Características:
1)Para cada média e desvio padrão existe uma
curva diferente.
2)O ponto mais alto da curva está na média.
3)A curva é simétrica em relação a média: o lado
esquerdo é igual ao lado direito.
4)O desvio padrão determina a largura da curva.
5)A área total abaixo da curva é igual a 1 ou 100%.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

7. O gráfico de f(x) é:
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

8. Se quisermos calcular a probabilidade indicada na
figura, devemos fazer:
Que representa um relativo grau de dificuldade.
Usaremos então a notação:
Seja X~N, definimos:
e
2π
1
=b)≤X≤P(a ∫
b
a
-
2
1
-
dx
σ
σ
μx
²
)²(
²),(N: σµX
-X
:
σ
μ
Z
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

9. A vantagem dessa curva padronizada consiste em definir
parâmetros para qualquer escala de medida que você
utilizar.
Z é chamada de variável normal reduzida, Normal
Padronizada ou Variável Normalizada.
Z tem E(Z)=0 e VAR(Z)=1.
Assim, podemos usar:
(0,1)N:Z²),(N: ⇒σµX
( )
∞-∞e
2π
1
=f(z) 2
1
-
<<
²
z
z
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

10. A variável Z indica quantos desvios padrões a variável
X está afastada da média. Como as curvas são
simétricas em relação a média.
Como para X dado a área a ser encontrada depende de
μ e δ². Então é vantagem usar a variável Normalizada e
encontrar essas as probabilidades por meio de valores
tabelados.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

11. Tabela: Área sob a curva normal padronizada
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

12. Exemplo 1: (Como usar a tabela).
Seja X: N(100, 25). Calcule:
a) P(100 ≤ X ≤ 106);
b) P(89 ≤ X ≤ 107);
c) P(112 ≤ X ≤ 116);
d) P(X ≥ 108);
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

13. Exemplo 2:
O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de
freio em um veículo em desaceleração é crucial para
evitar colisões traseiras. O artigo “Fast-Rise Brake Lamp
as a Collision-Prevention Device ” (Ergonomics, 1993, p.
391-395) sugere que o tempo de reação de uma
respostas no trânsito a um sinal de frenagem com luzes
de freio convencionais pode ser modelado com uma
distribuição normal de média 1,25 segundo e desvio
padrão de 0,46 segundo. Qual é a probabilidade de que o
tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

14. forneceãopadronizaçAxPporbuscamos
reaçãodetempooxpormosrepresentaSe
).75,100,1(
,
≤≤
460
251751
460
251001
751001
,
,,
,
,,
,,,
−
≤≤
−
≤≤
Z
sesomenteesex
( ) ( ) )54,0()09,1(09,154,075,100,1
:
09,154,0
−Φ−Φ=≤≤−=≤≤
≤≤−
ZPxP
Assim
ZsejaOu
( ) 5675,02946,08621,075,100,1 =−=≤≤= xP
DISTRIBUIÇÃO NORMAL

15. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Outras distribuições contínuas:
Distribuição Uniforme Contínua: é aquela em que
todos os elementos têm a mesma probabilidade de
ocorrer.
Distribuição Exponencial: é frequentemente usada para
modelar a distribuição dos tempos entre a ocorrência de
eventos sucessivos, tais como clientes chegando em uma
unidade de atendimento, chamadas em uma central
telefônica (X: tempo decorrido até que o 1º evento ocorra).