(1) Um pesquisador precisa examinar 1.681 ratos para estimar a proporção que desenvolve tumor após radiação com erro máximo de 0,02 e probabilidade de 90%. Com informação de que a radiação afeta no máximo 20% dos ratos, o tamanho da amostra cai para 1.076 ratos. (2) Para estimar a proporção de eleitores favoráveis a um candidato com erro 0,01 e probabilidade 80%, são necessários 4.096 eleitores. Sabendo que o favorável está entre 60-70%, são necessários 3.933 eleit

1. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Exercício 01 (2,5)
Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se desenvolve um certo tipo de
tumor quando submetidos a radiação. Ele deseja que sua estimativa não se desvie da
proporção verdadeira por mais de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos 90%.
(a) (1,5) Quantos animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência?
Pelo enunciado acima temos:
- Erro da estimativa: ε=0,02.
- Coeficiente de confiança: P(ε) = γ = 0,90.
Logo, pela tabela da distribuição Normal Padrão, temos que z é tal que A(z)=0,95, portanto,
z=1,64.
Como não temos uma informação preliminar sobre p, devemos utilizar p=0,5, que maximiza
p(1-p).
Assim, podemos calcular o tamanho da amostra da seguinte forma:
22
1,64
(1 ) 0,25
0,02
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
1681
Logo, para que o erro cometido na estimação da proporção de ratos nos quais se desenvolve
certo tipo de tumor quando submetidos a radiação seja no máximo 0,02 com probabilidade
igual a 0,90, o pesquisador precisa examinar 1.681 animais.
(b) (1,0) Como seria possível diminuir o tamanho da amostra utilizando a informação adicional
de que em geral esse tipo de radiação não afeta mais que 20% dos ratos?
Se p for no máximo 20%, o tamanho da amostra será:
22
1,64
(1 ) 0,20*0,80
0,02
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
1076
Logo, se p for no máximo 20%, para que o erro cometido na estimação da proporção de
ratos nos quais se desenvolve certo tipo de tumor quando submetidos a radiação seja no
máximo 0,02 com probabilidade igual a 0,90, o pesquisador precisa examinar 1.076 animais.
Exercício 02 (2,5)
Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de
eleitores favoráveis a seu candidato.
(a) (0,5) Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação
seja de, no máximo 0,01, com probabilidade de 80%.
Pelo enunciado acima temos:
- Erro da estimativa: ε=0,01.
- Coeficiente de confiança: P(ε) = γ = 0,80.
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2. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Logo, pela tabela da distribuição Normal Padrão, temos que z é tal que A(z)=0,90, portanto,
z=1,28.
Como não dispomos de uma informação preliminar sobre p, devemos usar p=0,5, que
maximiza p(1-p).
Assim, podemos calcular o tamanho da amostra da seguinte forma:
22
1,28
(1 ) 0,25
0,01
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
4096
Logo, para que o erro cometido na estimação seja de no máximo 0,01, com probabilidade de
80%, o tamanho da amostra teria que ser de 4.096 eleitores.
(b) (1,0) Uma amostra piloto revelou que entre 60% e 70% dos eleitores eram favoráveis ao
candidato em questão. Com base nessa informação, qual deve ser o tamanho de amostra
de modo que as condições em (a) estejam satisfeitos?
Nesse caso, o máximo de p(1-p) ocorre quando p=0,60. Assim,
22
1,28
(1 ) 0,60*0,40
0,01
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
3933
ou seja, sabendo que p deverá estar entre 0,60 e 0,70, o tamanho da amostra teria que ser
3.933, para que as condições em (a) sejam satisfeitas.
(c) (1,0) Se na amostra com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% dos
eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para a
proporção de eleitores do candidato com coeficiente de confiança de 0,95.
Temos que:
n = 4096
ˆp =0,55
γ = 0,95
Logo, pela tabela da distribuição Normal Padrão, temos que z é tal que A(z)=0,975, portanto,
z=1,96.
ˆ ˆ(1 )
ˆ ˆ( ;0,95)
p p
IC p p z
n
 −
= ± 
 
[ ] [ ]
0,55(1 0,55)
ˆ( ;0,95) 0,55 1,96 0,55 0,0152 0,5348;0,5652
4096
IC p
 −
= ± = ± == 
 
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.
.

3. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Exercício 03 (2,5)
Um cientista resolve estimar a proporção p de indivíduos com certa moléstia numa região. Ele
deseja que a probabilidade de que a sua estimativa não se desvie do verdadeiro valor de p por
mais que 0,02 seja de pelo menos 95%. Qual deve ser o tamanho da amostra para que essas
condições sejam satisfeitas? Um outro cientista descobre que a doença em questão está
relacionada com a concentração da substância A no sangue e que é considerado doente todo
indivíduo para o qual a concentração A é menor que 1,488 mg/cm3
. Sabe-se que a
concentração da substância A no sangue tem distribuição normal com desvio padrão 0,4
mg/cm3
e média maior que 2,0 mg/cm3
. Você acha que essas novas informações podem ser
utilizadas pelo primeiro cientista para diminuir o tamanho amostral? Em caso afirmativo, qual
seria o novo tamanho amostral?
ε = 0,02
P(ε) = γ= 0,95
z é tal que A(z) = 0,975 → z = 1,96
Como não temos uma informação sobre p, devemos usar p=0,5, que maximiza p(1-p).
Assim, podemos calcular o tamanho da amostra da seguinte forma:
22
1,96
(1 ) 0,25
0,02
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
2401
O tamanho da amostra deve ser 2.401 indivíduos para que as condições acima sejam
satisfeitas.
Seja X: concentração da substância A no sangue em mg/cm3
X~N(µ; 0,42
), µ>2.
P = P(estar doente) = P(X<1,488) = P[Z < (1,488-2)/0,4] = P[Z < -1,28] = P[Z >1,28] =
= 1 - P[Z ≤ 1,28] = 1 – A(1,28) = 1 – 0,9 ≅ 0,1.
Assim, segundo um outro cientista, p é menor ou igual a 0,10.
A informação acima podem ser utilizada pelo primeiro cientista para reduzir o tamanho da
amostra,pois como o valor de p é no máximo 0,1, o valor máximo de p(1-p) é atingido quando
p=0,10, e assim:
22
1,96
(1 ) 0,10*0,90
0,02
z
n p p
ε
  
= − = =   
   
865
Neste caso, a informação do segundo cientista ajuda a reduzir o tamanho de amostra para
aproximadamente 865 indivíduos.
Exercício 04 (2,5)
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4. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos
telespectadores de uma região, sobre um certo comentarista esportivo. Para isso entrevistou
380 telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180 desejavam que o
comentarista fosse afastado da TV.
(a) (1,5) Determine um intervalo de confiança de 90% para p:proporção de telespectadores,
favoráveis ao afastamento do comentarista.
Uma estimativa pontual da proporção p de telespectadores da região favoráveis ao
afastamento do comentarista esportivo é dada por:
180
ˆ0,47370,47
380
p==≅
Considerando o coeficiente de confiança γ=0,90, temos que z é tal que A(z)=0,95 e,
portanto, z=1,64.
Assim, o intervalo de confiança para p será:
ˆ ˆ(1 )
ˆ ˆ( ;0,90)
p p
IC p p z
n
 −
= ± 
 
[ ] [ ]
0,47(1 0,47)
ˆ( ;0,90) 0,47 1,64 0,47 0,04 0,43;0,51
380
IC p
 −
= ± = ± = 
 
(b) (1,0) Suponha agora que o centro decida que um intervalo de confiança, com coeficiente
de 90% para p, deve ter comprimento 0,05. Você acha que os dados do item (a) atingem
esse objetivo? Justifique e comente.
Os dados do item (a) não atingiram o objetivo, já que, o intervalo obtido no item (a) tem
comprimento igual a 0,08.
Para que o objetivo seja atingido, deveríamos ter comprimento 0,05.
Para diminuir o comprimento do intervalo, é necessário diminuir o erro, ou seja,
Comprimento 0,05 → ε = 0,025.
Para um erro menor, é necessário aumentar o tamanho da amostra para:
*
ˆˆ(1)
0,025
pp
z
n
−
=
*
*
0,47(1 0,47)
1,64 0,025 n
n
−
= ⇒ =1072.
Assim, os dados do item(a) atingem os objetivos se o número de telespectadores
entrevistados aumentar para 1.072.
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5. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Os dados do item (a) não atingem o objetivo, somente se o número de telespectadores
entrevistados aumentar para 1072, ou seja:
Comprimento = 0,05 ⇒ ε = 0,025.
1076250
0250
641
n
2
==





=′ ,
,
,
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6. ME414 / ME203
2º semestre de 2006
Exemplos 8 – Estimação I
Os dados do item (a) não atingem o objetivo, somente se o número de telespectadores
entrevistados aumentar para 1072, ou seja:
Comprimento = 0,05 ⇒ ε = 0,025.
1076250
0250
641
n
2
==





=′ ,
,
,
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