Aula apresentando os conceitos básicos sobre Probabilidade.

1. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
UFAL - Universidade Federal de Alagoas
UFAL - Instituto de Computa¸c˜ao
Probabilidade
Jonathas Magalh˜aes
jonathas@ic.edu.br
Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 1

2. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Roteiro
1 Introdu¸c˜ao
2 Conceitos Iniciais
3 Probabilidade
Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 2

3. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Representa¸c˜ao de Conhecimento e Racioc´ınio com
Incerteza
Situa¸c˜oes do mundo real e dos problemas a serem resolvidos
raramente lidam com a certeza;
Problema do Conhecimento Incerto;
Como caracteriz´a-lo?
Como trat´a-lo?
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4. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Cen´ario de Incerteza – Parte I
M´edico atendendo um paciente na emergˆencia:
M´edico precisa atuar rapidamente com base nos sintomas ou nas
evidˆencias apresentadas pelo paciente;
Ele faz perguntas ao paciente e analisa suas respostas:
Forte dor no peito e ligeira dor de cabe¸ca;
Necessidade do m´edico atuar com base nessa informa¸c˜ao incerta;
Pedido de outros exames;
Se o caso for grave h´a a necessidade de atuar na ausˆencia de
informa¸c˜ao (incerteza).
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5. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Cen´ario de Incerteza – Parte II
Mais tarde com a chegada dos resultados, pode-se ter que rever a
opini˜ao inicial:
Inicialmente, pensou-se que o paciente que apresentava dor de
cabe¸ca, estava com uma gripe simples;
Com as an´alises e exames efetuados, concluiu-se que se tratava
de uma meningite;
Que li¸c˜ao pode ser tirada do exemplo?
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6. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Conhecimento Imperfeito
Informa¸c˜ao imperfeita ´e conhecida no contexto de sistemas
baseados em conhecimento como incerteza;
Incerteza, contudo, pode “significar” informa¸c˜ao (ausˆencia dela):
Imprecisa, conflituosa, parcial, n˜ao confi´avel, aproximada, etc.
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7. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Fontes de Incerteza
Falta de dados;
Inconsistˆencia de dados;
Imprecis˜ao na mensura¸c˜ao;
Imprecis˜ao no conceito;
Falta de uma teoria.
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8. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Evento Aleat´orio
´E um evento em que os resultados n˜ao podem ser previstos com
certeza, exemplos:
O resultado de um lan¸camento de um dado;
Diagn´ostico de uma doen¸ca;
O n´umero de vendas de um determinado produto.
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9. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Espa¸co Amostral
Espa¸co amostral ´e o conjunto de todos os resultados poss´ıveis
de um evento aleat´orio;
Ser´a representado pela letra grega Ω;
Os subconjuntos do espa¸co amostral Ω s˜ao chamados de
eventos e s˜ao representados por letras mai´usculas do alfabeto
(A,B,C,...,Z).
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10. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Espa¸co Amostral – Exemplos
1 Um juiz de futebol lan¸ca uma moeda e observa os poss´ıveis
resultados (faces da moeda):
Ω = {C, R}, onde C ´e cara e R ´e coroa.
2 Uma moeda ´e lan¸cada duas vezes e observa-se as faces obtidas:
Ω = {CC, CR, RC, RR}, onde C ´e cara e R ´e coroa.
3 Em uma cidade, fam´ılias com 3 crian¸cas s˜ao selecionadas ao
acaso, anotando-se o sexo de cada uma.
Ω = {FFF, FFM, FMF, FMM, MMM, MMF, MFM, MFF}, onde
F ´e feminino e M ´e masculino.
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11. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Espa¸co Amostral – Exerc´ıcios
1 Um dado ´e lan¸cado duas vezes e a ocorrˆencia de face par ou
´ımpar ´e observada.
2 Uma urna cont´em 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimens˜oes
rigorosamente iguais. Trˆes bolas s˜ao selecionadas ao acaso com
reposi¸c˜ao e as cores s˜ao anotadas.
3 Dois dados s˜ao lan¸cados simultaneamente e estamos interessados
na soma das faces observadas.
4 Uma m´aquina produz 20 pe¸cas por hora, escolhe-se um instante
qualquer e observa-se o n´umero de pe¸cas defeituosas na pr´oxima
hora.
5 Uma moeda ´e lan¸cada consecutivamente at´e o aparecimento da
primeira cara.
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12. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Teoria dos Conjuntos
Conjunto vazio denotado por ∅;
Uni˜ao de dois eventos A e B significa que pelo menos um deles
ir´a ocorrer, denota-se por A ∪ B;
Intersec¸c˜ao de dois eventos A e B ´e a ocorrˆencia concomitante
dos dois eventos, denota-se por A ∩ B.
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13. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Teoria dos Conjuntos
Dois eventos A e B s˜ao considerados como disjuntos ou
mutualmente exclusivos quando n˜ao possuem elementos em
comum:
A ∩ B = ∅.
Dois eventos A e B s˜ao complementares se sua uni˜ao ´e o
espa¸co amostral e sua intersec¸c˜ao ´e vazia:
A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω.
O complementar de A ´e representado por A (ou por AC ou A ),
onde:
A ∩ A = ∅ e A ∪ A = Ω.
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14. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade
Dado o espa¸co amostral Ω, a fun¸c˜ao P(.), ´e chamada de
probabilidade se satisfazer os seguintes axiomas:
0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ⊆ Ω;
P(Ω) = 1;
P(
n
j=1 Aj ) =
n
j=1 P(Aj ), com todos os Aj disjuntos.
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15. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Propriedades da Probabilidade
Dados os axiomas apresentados, derivam-se as seguintes
propriedades:
P(∅) = 0;
∀A ⊆ Ω, P(A) = 1 − P(A);
∀A, B ⊆ Ω, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
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16. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Exerc´ıcio
Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil s˜ao
considerados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos s˜ao do
curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 s˜ao
esportistas e da biologia diurno e 200 s˜ao esportistas e da
biologia noturno. Um aluno ´e escolhido, ao acaso, e pergunta-se
a probabilidade de:
1 Ser esportista.
2 Ser esportista e aluno da biologia noturno.
3 N˜ao ser de biologia.
4 Ser esportista ou aluno da biologia.
5 N˜ao ser esportista, nem aluno da biologia.
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17. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade Condicional
Eventos podem influenciar outros;
A probabilidade condicional refere-se a probabilidade de ocorrer
um evento A ⊆ Ω dado a informa¸c˜ao sobre a ocorrˆencia do
evento B;
Exemplo:
Probabilidade de Neymar jogar – P(N);
Probabilidade do Brasil vencer – P(B);
P(B|N) – Lˆe-se: probabilidade do evento B ocorrer dado N, ou
seja, probabilidade do Brasil vencer dado que Neymar est´a
jogando.
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18. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de P(A|B) ´e dada por:
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
, (1)
Onde P(B) > 0.
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19. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade Condicional – Exemplo
Exemplo: Dados os eventos A e B, calcule P(A|B):
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20. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade Condicional – Exemplo
Resposta:
Dado que: P(A|B) = P(A∩B)
P(B) , temos que:
P(A ∩ B) = 5/50 = 1/10;
P(B) = 30/50 = 3/5.
Logo, P(A|B) = 1/10
3/5
= 1/10 * 5/3
= 1/6.
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21. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Independˆencia de Eventos
“Independˆencia de eventos: Dois eventos A e B s˜ao
independentes se a informa¸c˜ao da ocorrˆencia (ou n˜ao)
de B n˜ao altera a probabilidade de ocorrˆencia de A.”
Ent˜ao:
P(A|B) = P(A), P(B) > 0;
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B).
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22. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Os eventos B1, B2, ..., Bk formam uma parti¸c˜ao do espa¸co
amostral, se:
Eles n˜ao tem intersec¸c˜ao entre si, Bi ∩ Bj = ∅ para i = j;
E se sua uni˜ao ´e igual ao espa¸co amostral,
k
i=1 Bi = Ω.
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23. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
O evento A pode ser escrito em termos de intersec¸c˜oes de A com
os eventos B1, B2, ..., Bk:
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ B6). (2)
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24. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Probabilidade Total
Sejam B1, B2, ..., Bn os eventos que formam uma parti¸c˜ao do
espa¸co amostral e seja A um evento desse espa¸co;
Podemos calcular a probabilidade de um evento P(A) em fun¸c˜ao
dos eventos B1, B2, ..., Bn:
P(A) =
n
i=1
P(A|Bi ) ∗ P(Bi ). (3)
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25. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes ´e uma decorrˆencia da f´ormula probabilidade
condicional:
P(A|B) =
P(B|A) ∗ P(A)
P(B)
, (4)
De uma forma extendida, pode ser escrito da seguinte forma:
P(Aj |B) =
P(B|Aj ) ∗ P(Aj )
n
i=1 P(B|Ai ) ∗ P(Ai )
. (5)
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26. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
O teorema de bayes pode ser entendido da seguinte forma:
P(H|E) =
P(E|H) ∗ P(H)
P(E)
, (6)
H ´e a minha hip´otese, ou seja, ´e o evento que est´a sendo
investigado;
E ´e a evidˆencia que ´e observada;
P(H) ´e a probabilidade a priori da minha hip´otese ocorrer, ou
seja, antes do evento E ser observado;
P(H|E) ´e a probabilidade posteriori, ou seja, ´e a probabilidade
da minha hip´otese H ocorrer dado o evento E.
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27. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes – Exemplo
Suponha que no meio da noite dispare o alarme contra ladr˜oes de
uma casa. Deseja-se ent˜ao saber quais s˜ao as chances de que
esteja havendo uma tentativa de roubo.
Admita:
Que existam 95% de chances de que o alarme dispare quando uma
tentativa de roubo ocorre;
Que em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos;
Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa ser
assaltada em um dado dia.
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28. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes – Exemplo
Representando:
Tentativa de roubo – R;
Alarme dispara – A;
Deseja-se saber quais s˜ao as chances de roubo dado que o alarme
disparou – P(R|A) = ?
Sabe-se que:
Existem 95% de chances de que o alarme dispare quando uma
tentativa de roubo ocorre – P(A|R) = 0.95;
Em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos –
P(A|R) = 0.01;
Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa ser
assaltada em um dado dia – P(R) = 0.0001.
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29. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Probabilidade Condicional
Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral
Probabilidade Total
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes – Exemplo
Pelo teorema de Bayes, temos que: P(R|A) = P(A|R)∗P(R)
P(A) ;
Sabemos que:
P(A|R) = 0.95;
P(R) = 0.0001;
P(A) ´e alcan¸cado utilizando-se a f´ormula da probabilidade total:
P(A) = P(A|R) ∗ P(R) + P(A|R) ∗ P(R)
= 0.95 ∗ 0.0001 + 0.01 ∗ 0.9999
= 0.010094
Logo: P(R|A) = 0.95∗0.0001
0.010094 = 0.0094.
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30. Introdu¸c˜ao
Conceitos Iniciais
Probabilidade
Perguntas?
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