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Carregado porJonathas Magalhães
Probabilidade
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e teoria dos conjuntos. Discute sobre eventos aleatórios, espaço amostral, probabilidade condicional, independência de eventos e o teorema de Bayes. Fornece exemplos para ilustrar esses conceitos e exercícios para aplicá-los.
Probabilidade
- 1. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade UFAL -Universidade Federal de Alagoas UFAL - Instituto de Computa¸c˜ao Probabilidade Jonathas Magalh˜aes jonathas@ic.edu.br Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 1
- 2. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Roteiro 1 Introdu¸c˜ao 2Conceitos Iniciais 3 Probabilidade Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 2
- 3. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Representa¸c˜ao deConhecimento e Racioc´ınio com Incerteza Situa¸c˜oes do mundo real e dos problemas a serem resolvidos raramente lidam com a certeza; Problema do Conhecimento Incerto; Como caracteriz´a-lo? Como trat´a-lo? Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 3
- 4. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Cen´ario deIncerteza – Parte I M´edico atendendo um paciente na emergˆencia: M´edico precisa atuar rapidamente com base nos sintomas ou nas evidˆencias apresentadas pelo paciente; Ele faz perguntas ao paciente e analisa suas respostas: Forte dor no peito e ligeira dor de cabe¸ca; Necessidade do m´edico atuar com base nessa informa¸c˜ao incerta; Pedido de outros exames; Se o caso for grave h´a a necessidade de atuar na ausˆencia de informa¸c˜ao (incerteza). Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 4
- 5. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Cen´ario deIncerteza – Parte II Mais tarde com a chegada dos resultados, pode-se ter que rever a opini˜ao inicial: Inicialmente, pensou-se que o paciente que apresentava dor de cabe¸ca, estava com uma gripe simples; Com as an´alises e exames efetuados, concluiu-se que se tratava de uma meningite; Que li¸c˜ao pode ser tirada do exemplo? Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 5
- 6. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Conhecimento Imperfeito Informa¸c˜aoimperfeita ´e conhecida no contexto de sistemas baseados em conhecimento como incerteza; Incerteza, contudo, pode “significar” informa¸c˜ao (ausˆencia dela): Imprecisa, conflituosa, parcial, n˜ao confi´avel, aproximada, etc. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 6
- 7. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Fontes deIncerteza Falta de dados; Inconsistˆencia de dados; Imprecis˜ao na mensura¸c˜ao; Imprecis˜ao no conceito; Falta de uma teoria. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 7
- 8. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Evento Aleat´orio ´Eum evento em que os resultados n˜ao podem ser previstos com certeza, exemplos: O resultado de um lan¸camento de um dado; Diagn´ostico de uma doen¸ca; O n´umero de vendas de um determinado produto. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 8
- 9. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Espa¸co Amostral Espa¸coamostral ´e o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de um evento aleat´orio; Ser´a representado pela letra grega Ω; Os subconjuntos do espa¸co amostral Ω s˜ao chamados de eventos e s˜ao representados por letras mai´usculas do alfabeto (A,B,C,...,Z). Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 9
- 10. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Espa¸co Amostral– Exemplos 1 Um juiz de futebol lan¸ca uma moeda e observa os poss´ıveis resultados (faces da moeda): Ω = {C, R}, onde C ´e cara e R ´e coroa. 2 Uma moeda ´e lan¸cada duas vezes e observa-se as faces obtidas: Ω = {CC, CR, RC, RR}, onde C ´e cara e R ´e coroa. 3 Em uma cidade, fam´ılias com 3 crian¸cas s˜ao selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma. Ω = {FFF, FFM, FMF, FMM, MMM, MMF, MFM, MFF}, onde F ´e feminino e M ´e masculino. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 10
- 11. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Espa¸co Amostral– Exerc´ıcios 1 Um dado ´e lan¸cado duas vezes e a ocorrˆencia de face par ou ´ımpar ´e observada. 2 Uma urna cont´em 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimens˜oes rigorosamente iguais. Trˆes bolas s˜ao selecionadas ao acaso com reposi¸c˜ao e as cores s˜ao anotadas. 3 Dois dados s˜ao lan¸cados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. 4 Uma m´aquina produz 20 pe¸cas por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o n´umero de pe¸cas defeituosas na pr´oxima hora. 5 Uma moeda ´e lan¸cada consecutivamente at´e o aparecimento da primeira cara. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 11
- 12. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Teoria dosConjuntos Conjunto vazio denotado por ∅; Uni˜ao de dois eventos A e B significa que pelo menos um deles ir´a ocorrer, denota-se por A ∪ B; Intersec¸c˜ao de dois eventos A e B ´e a ocorrˆencia concomitante dos dois eventos, denota-se por A ∩ B. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 12
- 13. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Teoria dosConjuntos Dois eventos A e B s˜ao considerados como disjuntos ou mutualmente exclusivos quando n˜ao possuem elementos em comum: A ∩ B = ∅. Dois eventos A e B s˜ao complementares se sua uni˜ao ´e o espa¸co amostral e sua intersec¸c˜ao ´e vazia: A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω. O complementar de A ´e representado por A (ou por AC ou A ), onde: A ∩ A = ∅ e A ∪ A = Ω. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 13
- 14. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Dado o espa¸co amostral Ω, a fun¸c˜ao P(.), ´e chamada de probabilidade se satisfazer os seguintes axiomas: 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ⊆ Ω; P(Ω) = 1; P( n j=1 Aj ) = n j=1 P(Aj ), com todos os Aj disjuntos. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 14
- 15. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Propriedades da Probabilidade Dados os axiomas apresentados, derivam-se as seguintes propriedades: P(∅) = 0; ∀A ⊆ Ω, P(A) = 1 − P(A); ∀A, B ⊆ Ω, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 15
- 16. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Exerc´ıcio Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil s˜ao considerados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos s˜ao do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 s˜ao esportistas e da biologia diurno e 200 s˜ao esportistas e da biologia noturno. Um aluno ´e escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidade de: 1 Ser esportista. 2 Ser esportista e aluno da biologia noturno. 3 N˜ao ser de biologia. 4 Ser esportista ou aluno da biologia. 5 N˜ao ser esportista, nem aluno da biologia. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 16
- 17. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Condicional Eventos podem influenciar outros; A probabilidade condicional refere-se a probabilidade de ocorrer um evento A ⊆ Ω dado a informa¸c˜ao sobre a ocorrˆencia do evento B; Exemplo: Probabilidade de Neymar jogar – P(N); Probabilidade do Brasil vencer – P(B); P(B|N) – Lˆe-se: probabilidade do evento B ocorrer dado N, ou seja, probabilidade do Brasil vencer dado que Neymar est´a jogando. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 17
- 18. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Condicional A probabilidade condicional de P(A|B) ´e dada por: P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) , (1) Onde P(B) > 0. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 18
- 19. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Condicional – Exemplo Exemplo: Dados os eventos A e B, calcule P(A|B): Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 19
- 20. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Condicional – Exemplo Resposta: Dado que: P(A|B) = P(A∩B) P(B) , temos que: P(A ∩ B) = 5/50 = 1/10; P(B) = 30/50 = 3/5. Logo, P(A|B) = 1/10 3/5 = 1/10 * 5/3 = 1/6. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 20
- 21. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Independˆencia de Eventos “Independˆencia de eventos: Dois eventos A e B s˜ao independentes se a informa¸c˜ao da ocorrˆencia (ou n˜ao) de B n˜ao altera a probabilidade de ocorrˆencia de A.” Ent˜ao: P(A|B) = P(A), P(B) > 0; P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B). Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 21
- 22. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral Os eventos B1, B2, ..., Bk formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral, se: Eles n˜ao tem intersec¸c˜ao entre si, Bi ∩ Bj = ∅ para i = j; E se sua uni˜ao ´e igual ao espa¸co amostral, k i=1 Bi = Ω. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 22
- 23. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Parti¸c˜ao do Espa¸co Amostral O evento A pode ser escrito em termos de intersec¸c˜oes de A com os eventos B1, B2, ..., Bk: A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ B6). (2) Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 23
- 24. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Probabilidade Total Sejam B1, B2, ..., Bn os eventos que formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral e seja A um evento desse espa¸co; Podemos calcular a probabilidade de um evento P(A) em fun¸c˜ao dos eventos B1, B2, ..., Bn: P(A) = n i=1 P(A|Bi ) ∗ P(Bi ). (3) Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 24
- 25. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema de Bayes O teorema de Bayes ´e uma decorrˆencia da f´ormula probabilidade condicional: P(A|B) = P(B|A) ∗ P(A) P(B) , (4) De uma forma extendida, pode ser escrito da seguinte forma: P(Aj |B) = P(B|Aj ) ∗ P(Aj ) n i=1 P(B|Ai ) ∗ P(Ai ) . (5) Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 25
- 26. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema de Bayes O teorema de bayes pode ser entendido da seguinte forma: P(H|E) = P(E|H) ∗ P(H) P(E) , (6) H ´e a minha hip´otese, ou seja, ´e o evento que est´a sendo investigado; E ´e a evidˆencia que ´e observada; P(H) ´e a probabilidade a priori da minha hip´otese ocorrer, ou seja, antes do evento E ser observado; P(H|E) ´e a probabilidade posteriori, ou seja, ´e a probabilidade da minha hip´otese H ocorrer dado o evento E. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 26
- 27. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema de Bayes – Exemplo Suponha que no meio da noite dispare o alarme contra ladr˜oes de uma casa. Deseja-se ent˜ao saber quais s˜ao as chances de que esteja havendo uma tentativa de roubo. Admita: Que existam 95% de chances de que o alarme dispare quando uma tentativa de roubo ocorre; Que em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos; Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa ser assaltada em um dado dia. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 27
- 28. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema de Bayes – Exemplo Representando: Tentativa de roubo – R; Alarme dispara – A; Deseja-se saber quais s˜ao as chances de roubo dado que o alarme disparou – P(R|A) = ? Sabe-se que: Existem 95% de chances de que o alarme dispare quando uma tentativa de roubo ocorre – P(A|R) = 0.95; Em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos – P(A|R) = 0.01; Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa ser assaltada em um dado dia – P(R) = 0.0001. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 28
- 29. Introdu¸c˜ao Conceitos Iniciais Probabilidade Probabilidade Condicional Parti¸c˜aodo Espa¸co Amostral Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema de Bayes – Exemplo Pelo teorema de Bayes, temos que: P(R|A) = P(A|R)∗P(R) P(A) ; Sabemos que: P(A|R) = 0.95; P(R) = 0.0001; P(A) ´e alcan¸cado utilizando-se a f´ormula da probabilidade total: P(A) = P(A|R) ∗ P(R) + P(A|R) ∗ P(R) = 0.95 ∗ 0.0001 + 0.01 ∗ 0.9999 = 0.010094 Logo: P(R|A) = 0.95∗0.0001 0.010094 = 0.0094. Magalh˜aes, J.J. IA – 2013 29
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