Variaveis complexas

Treinamento em Processamento Digital de Imagens
Prof. Wheidima Carneiro de Melo
wheidimawcm@gmail.com
Curso: Variáveis Complexas

Variáveis Complexas
Ementa:
• Números Complexos
• Funções Analíticas
• Funções Elementares
• Mapeamento Usando Funções Elementares
• Integrais
• Séries de Potências
• Resíduos e Pólos

Introdução
•O conjunto dos números reais é incompleto.
•Euler apresentou o símbolo .
•Gauss denotou números complexos por:
•Um número complexo na forma cartesiana pode ser descrito por:
1iiba iyxz xz}Re{yz}Im{

Operações Básicas com Números Complexos.
•Dado e :
–Conjugado complexo:
–Adição:
–Subtração:
–Multiplicação:
–Divisão:
ibaz1ibaz* 1)()(21dbicazz idcz2)()(21dbicazz )()(21bcadibdaczz 222221dcadbcidcbdaczz      

Plano Complexo ou Plano Z
•Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano xy, denominado plano z ou plano complexo.
•Exemplo:

Forma Polar dos Números Complexos
•A variável complexa pode ser representada por coordenadas polares:
•Fórmula de Euler:
•Com isso:
)(cosisenrz iseneicos ireisenrz)(cos

Forma Polar dos Números Complexos
•Valor absoluto ou módulo:
•Fase ou argumento: *22zzyxrz      xy1tan

Propriedades do Módulo dos Números Complexos
•Se , ,..., são números complexos, então:
1)
2).
3)
4)
1z2zmzmmzzzzzz21210,22121zzzzzmmzzzzzz21212121zzzz

•Exemplo:
–Números Complexos denominados unimodulares .
–Pontos especiais desta circunferência são:
Números Complexos 2/ 0  2/ 1r1z1ziz 1ziz

•Exercícios
Números Complexos

Operações na Forma Polar
•Multiplicação:
•Divisão:
•Seja . Se é um argumento de então é um argumento de . 0zz *z))()(cos()(cos*isenrisenrz

• O módulo e o argumento de são iguais a e
• O módulo e o argumento de são iguais a e
1 2 r r 1 2 z z
1 2  
1 2 z z 1 2 r r
1 2  

• Em , onde , tem-se a
rotação do vetor que representa pelo ângulo .
• Se e representam o módulo e um argumento de ,
então para todo tem-se:
• Teorema de Moivre:
z z 0 cos , 0 0 0 0 0 z   isen  
z 0 
r  z
nN

• Exemplo: Mostre que
• Solução de equações do tipo:
• A regra geral para calcular a th raiz do número
complexo é
• Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8.
Raízes de Números Complexos
n

Parte 2
Funções de Variáveis Complexas

• Definição: Seja um conjunto de números complexos. A
função definida sobre é uma regra que atribui para cada .
um número complexo .
• O conjunto é denominado domínio de definição.
• Existem dois tipos básicos de funções complexas:
– Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor
de . Exemplo:
– Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a
mais de um valor de . Exemplo:
Funções de Variáveis
Complexas
S
S z
w
f
S
z
w
z
w

• Entenda que é um número complexo, logo:
onde e são reais. As partes reais e imaginarias são:
• Exemplo:
Transformações ou
Mapeamentos
w
f (z)  z2
f (z) (x iy) x y i2xy 2 2 2     
2 2 u  x  y   2xy

Transformações ou Mapeamentos
•Mapeamento da função
•Mapeamento da função

• Análise de uma função plurívoca
– Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em
torno de ponto , tem-se
– Repetindo o processo, obtém-se
• Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento
para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No
intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo.
Linhas de Ramificação e
Superfícies de Riemann
f (z)  w  z
z  0
w

•Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito.
•A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação.
Linhas de Ramificação e Superfícies de Riemann

Superfícies de Riemann
• Imagina-se o plano composto por duas folhas
sobrepostas.
• Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se
a borda inferior da folha de baixo à borda superior da
folha de cima
• As duas folhas são denominadas superfície de Riemann
da função . Cada folha corresponde a um ramo
da função e em cada folha a função é unívoca.
z
f (z)  z

• As definições de limites e continuidade para funções de
variáveis complexas são similares às de variáveis reais.
• Condições de existência :
– A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com
a possível exceção do próprio ponto.
– Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente
pequeno, existe um número real positivo tal que
• O limite deve ser independente da maneira como se
aproxima de .
O Cálculo Diferencial de Funções
de uma Variável Complexa


z
0 z

Limite de uma Variável Complexa
•Prove que
•Encontre, se possível,

•Se e , então:
–
–
–
Propriedades dos Limites

Continuidade
•A função é dita contínua em se onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança
•Portanto, três condições devem ser satisfeitas:
•O limite deve existir.
• deve ser finita em .
•O limite deve ser igual a .
•Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.

Derivadas de Funções Complexas
•Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por: desde que esse limite exista de forma independente do modo como .
•Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica.
•A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.

•Se uma função . possui derivada no ponto , então ela é necessariamente contínua no ponto. Prova:
•Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no ponto. Exemplo: .
•Calcule em , dado que .
Derivadas de Funções Complexas

Regras de Derivação
•Se e existem, então
• .
• .
• .

Derivadas de Funções Elementares

•Cauchy e Riemann criaram um método simples para testar a analiticidade de .
•Dedução:
Fazendo , obtém-se
Ao longo do eixo :
Condições de Cauchy-Riemann

•Ao longo de eixo :
•A condição necessária para ser analítica é
•Condições de Cauchy-Riemann:
•Fornecendo duas expressões para a derivada

•Condição necessária: Se a função s de seja e e é analítica na região , então e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos de .
•Condição necessária e suficiente: Se as derivadas parciais são contínuas em , então as equações de Cauchy-Riemann são condições suficientes para que s seja analítica em .
•Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann para:

•Uma função é considerada analítica se ela é analítica em todos os pontos da região .
•Funções analíticas são denominadas holomórficas.
•A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano
•A função é considerada singular em , se ela não é diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado ponto singular.
Funções Analíticas

•Tipos de pontos singulares:
–Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto singular isolado de se for possível encontrar tal que o círculo circunde apenas o ponto singular . Se não for possível encontrar um , o ponto é denominado ponto singular não isolado.
–Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o a , então é denominado pólo de ordem .
–Ponto de Ramificação.
–Singularidades removíveis.
–Singularidades essenciais. Exemplo:
–Singularidades no Infinito.
Pontos Singulares

Parte 3
Funções Elementares

•A função exponencial é a base para definição de outras funções.
•Preserva as principais características de uma função exponencial real:
1. é unívoca e analítica.
2. .
3. reduz-se a quando .
Função Exponencial

•Dedução:
–Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função analítica é
e
–Para satisfazer (2):
e
–A equação será satisfeita se .
–Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann, relembrando:
então:

•Continuação:
–Diferenciando com relação a
segue que finalmente
–Com isso
ou
–A solução desta equação diferencial é da forma
–Então

•Continuação:
–E
–Com isso
–De acordo com a condição (3)
logo
–Finalmente

•Definições:
–
– e
–
•A função é periódica com período imaginário .
•Por causa da periodicidade da função, todos os valores possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa infinita é denominada região fundamental da função.

•Exemplo: Prove que

•Fórmula de Euler:
•Para variável complexa tem-se
•Outras funções trigonométricas:
Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

•Outras definições:
,
,
,
•Desde que é analítica para todo , o mesmo é verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde a função é zero, as funções e não são analíticas.

•Desde que a função exponencial é periódica, as funções trigonométricas também são periódicas:
•Desde que essas funções podem ser escritas na forma retangular: , então

•Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis reais
similarmente,
•Caso particular,
•Existe diferença entre um seno real e um complexo?

•Logaritmo natural é definido como o inverso da função exponencial . Para o logarítmico complexo, defini-se , o que significa que
,
•Se e tem-se
•Continuado,
ou e
•Portanto,
Função Logarítmica

•Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica, diferenciando ,
•Exemplo: calcule
•Exemplo: Considere a transformação . Mostre que os círculos com centro na origem do plano z são mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w.
Função Logarítmica

•Definições:
•Existem singularidades.
Função Hiperbólica

Parte 4
Mapeamento Usando Funções Elementares

• Funções Lineares
– Mapeamento do plano no plano utilizando
, é uma constante complexa
– É uma translação por meio do vetor .
– A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto
Mapeamento Usando Funções
Elementares
w
w z C C
C
(x, y)
( , ) 1 2 x C y C

•Propriedades do mapeamento definido por onde é complexo.
e logo
•Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo o zero) com coordenadas polares dentro de não zero pontos com coordenadas polares
•Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação linear
Mapeamento Usando Funções Elementares ibeB BzwB irez)(ibrezz),(r),(brCBzw

• Exemplo:
Mapeamento Usando Funções
Elementares
w (1i)z  2i

•Análise da função
•O mapeamento pode ser realizado por transformações consecutivas
•Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do circulo nos pontos interiores do circulo unitário.

•Continuação da Análise da função
•A segunda transformação é simplesmente a reflexão do eixo real “x”.
•Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio a

•Continuação da Analise da função
•Relações:

•Suponha:
•Mapeamento:
•Relações:
•O circulo que não passa pela origem no plano z é transformado num circulo que não passa pela origem no plano w.

•A linha que não passa pela origem no plano z é transformada num circulo que passa pela origem no plano w.
•Uma linha que passa pela origem no plano z é transformada numa linha que passa pela origem no plano w.
•Note que a linha é transformada no circulo:
•Note que a linha é transformada no circulo:

•Resultados:

•A metade do plano possui imagem na região
•A imagem de qualquer ponto da metade do plano está dentro do circulo.

•Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de
•Exemplo: mostre que a transformação mapeia metade do plano dentro da metade do plano
•Encontre a região na qual a metade do plano é mapeada pela transformação
•Mostre que se , a imagem do plano da transformação é o interior de um circulo.

•A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto no infinito está envolvido.
•Se a função é continua no infinito então
•O número pode ser determinado por
•Pode-se considerar continua no ponto por . Quando o limite de quando tende a é 0.

•Exemplo:
•Exemplo: determine e para

Parte 5
Integrais de Funções Complexas

•A integral de uma função real de uma variável é uma soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo comprimento de um segmento infinitesimal em torno desse ponto.
•Em alguns casos necessita-se estender a definição do integrando para o conjunto dos números complexos.
•Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o teorema de resíduos.

•A função é integrada ao longo de um caminho no plano complexo.

•Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano :
•A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma ao longo de todos os pontos.
•Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de

•Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada integral de contorno de
•Importante: Se o caminho é suave e é continua ao longo de , então sempre existe.
•A integral de linha ao longo pode ser expressa por:

•Propriedades:
–
– .
–
–.
–
–

•Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta ligando os pontos e .
•Exemplo: Calcule a integral
onde circulo de raio centrado em e é um inteiro.
•Exemplo: calcule para o caminho abaixo.
Integrais de Funções Complexas Czdz/

•Tipos de curvas:
–Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado.
–Curva não simples.
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo

•Tipos de domínios (região):
–Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente pontos pertencentes a .
–Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a .
Tipos de Curvas e Domínios no Plano Complexo

•Se uma função é analítica em todos os pontos de um domínio simplesmente conexo , então para todo contorno simples fechado no interior de .
•Se a função é analítica em uma região simplesmente conexa , então dois pontos e , contidos em , a integral independe do caminho que liga os pontos.
Teorema de Cauchy

•Exemplo: Calcule a integral de num caminho que ligue os pontos e .
•Exemplo: Calcule (centrada em zero)
Teorema de Cauchy
2)(zzf 0ziz42 zdz

•Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e que envolvem buracos que podem conter singularidades isoladas ou não. Então:
Deformação do Contorno de Integração

•Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro de

Fórmulas Integrais de Cauchy
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
•Exemplo: Calcule a integral , sendo a circunferência de raio unitário e com centro em (a) e (b)

Fórmulas Integrais de Cauchy
•Teorema: Seja uma função analítica em uma região simplesmente conexa e é um ponto qualquer no interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
•Exemplo: Calcule
Sendo um contorno simples que não passa por . Considere (a) não envolve (b) envolve

Integrais Indefinidas
•Considere e analíticas na região e . Então é denominado integral indefinida de :
•Exemplo:

Representação em Séries de Funções Analíticas
•Seqüência complexa é um conjunto de números complexos.
•A seqüência pode ser finita ou infinita.
•Exemplo:

•A seqüência complexa é dita ser convergente para o número se, dado , pode-se encontrar o número positivo tal que para cada . Pode-se escrever:

•Exemplos:

•A seqüência complexa , pode ser expressa pelas partes reais e imaginárias: e
•Se a parte real converge para e a seqüência da parte imaginária , então a seqüência complexa converge para o valor .
•Exemplo:

•Se e , então
–
– .
– .
–.

•Suponha seja uma dada seqüência.
•Forma-se uma nova seqüência definida por
•A soma infinita é definida por série.
•Se existe, a série é denominada convergente

•A condição necessária para série convergir é
•Exemplo: Prove que se a série converge, então:
•Prove que

•As seqüências e séries de constantes são estendidas para seqüências e séries de funções.
•Considere , uma seqüência de funções de definidas e unívocas em alguma região do plano .
•Defini-se para
•A seqüência é convergente para .
•Região de convergência

•Soma parcial:
•Série infinita:

•Condição necessária para série convergir é
•Se a série converge para todos os valores de na região , denomina-se a região de convergência da série.
•Exemplo: Usando a definição, prove que
•Exemplo: Prove que a série converge para

•A série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
•Se a série converge mas não converge, então a série é condicionalmente convergente.
•Exemplo: Prove que a série é absolutamente convergente.

•A seqüência é uniformemente convergente se depende somente de .
•O conceito se estende a séries.

•Série de potência em :
•Em geral, a série converge para
•Diverge para
•Pode ou não convergir para
•Raio de convergência . Casos especiais: e

•Os testes de convergência determinam uma condição necessária e suficiente para convergência de uma determinada série.
•Teste de convergência absoluta:
–Teste da razão: Dada a série , a convergência absoluta na região é assegurada se:
–Ocorre a divergência para . Não há informação quando

•Exemplo: Mostre que a série complexa converge.

•Séries de potência com raios de convergência não nulos podem representar funções analíticas.
•Exemplo: a série centrada na origem do plano complexo.
•Teste da razão:

•O raio de convergência é definido por:

•Teorema de Taylor: Seja uma função analítica sobre a região , delimitada pela circunferência centrada em e de raio . Se é um ponto interior a então pode ser expandida em uma série de Taylor centrada em
•A qual converge para quando

•Exemplo:
•No caso particular de a série é denominada série de Maclaurin.

•Dedução da série de Taylor:

•Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao longo dos contornos circulares concêntricos e , de raios e , bem como na região anelar delimitada por e . Então em cada ponto neste região, a função pode ser representada por:

•Parte analítica
•Parte principal
•A série Laurent pode ser generalizada

•Encontre a série de Laurent sobre as singularidades indicadas para as funções:
–.
–,
•Encontre a série de Laurent de para:

Integração no Plano Complexo pelo Método dos Resíduos
•O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o integrando não é analítico.
•Cada singularidade isolada contribui com um termo ao resultado da integral, sendo este termo proporcional ao resíduo da singularidade.

•Seja unívoca e analítica no interior e sobre um contorno fechado simples , exceto num ponto , o qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade isolada de , então existe um número real tal que para a função pode ser desenvolvida em termos da série de Laurent

•Em particular, para obtém-se
•O número complexo é denominado resíduo de no ponto singular isolado.
•Notação comum:

•Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao longo de um contorno simples fechado , exceto em um número finito de pontos singulares isolados localizados no interior de . Se são os resíduos de nestes pontos singulares, então

•Cálculo de resíduos:
–Direto da definição
–Pólos de ordem m em

•Exemplo: encontre os resíduos da função
•Avalie ao redor do circulo

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