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Medidas resumo

     Aula 4
Quartis
• Apenas com os valores da média e do desvio
  padrão, não é possível identificar o
  comportamento da distribuição (assimétrico
  ou simétrico).

• Pode-se definir uma medida, chamada quantil
  de ordem p, indicada por q(p), onde p é uma
  proporção qualquer, 0<p<1, tal que 100p% das
  observações sejam menores do que q(p).
• Os quantis mais utilizados são:

• 1º Quartil = q(0,25) = 25º Percentil;
• Mediana = q(0,50) = 50º Percentil;
• 3º Quartil = q(0,75) = 75º Percentil.
• Definição formal:
  • Considere as estatística de ordem x(1), ...,x(n). O
    p-quantil é definido por:

                                                    i  0,5
         x( i ) ,                       se p  pi          , i  1,2,..., n
                                                         n
        (1  f )q ( p )  f q ( p ),    se pi  p  pi 1
q( p)            i  i     i     i 1

         x(1) ,                         se p  p1
        
         x( n ) ,                       se p  pn


                      ( p  pi )
  onde         fi                 .
                    ( pi 1  pi )
1º Quartil = 1
Mediana = 2           Exemplo - Par
3º Quartil = 2
         0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5

                 1º quartil   Mediana     3º quartil



        N. Filhos Freq. Abs. Freq. rela. Freq. Acum.   %
             0         4         0.2          0.2       20%
             1         5        0.25         0.45       25%
             2         7        0.35          0.8       35%
             3         3        0.15         0.95       15%
             4         0          0          0.95       0%
             5         1        0.05           1        5%
           Total      20          1                    100%
1º Quartil = 1
Mediana = 2
3º Quartil = 2
                   Exemplo - Ímpar
          0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
                 1º quartil   Mediana   3º quartil




         N. Filhos Freq. Abs. Freq. rela. Freq. Acum. %
              0         4        0.21         0.21     21%
              1         5        0.26         0.47     26%
              2         7        0.37         0.84     37%
              3         3        0.16         1.00     16%
           Total       19          1                  100%
Classe de         Freq        Freq relativa   Freq acum   Porcentagem
salários
[4,00; 8,00)             10    10/36 =0,278       0,278      27,78%

[8,00; 12,00)            12    12/36 =0,333       0,611      33,33%

[12,00; 16,00)           8      8/36 =0,222       0,833      22,22%

[16,00; 20,00)           5      5/36 =0,139       0,972      13,89%

[20,00; 24,00)           1      1/36 =0,029       1,000       2,78%

Total                    36           1                       100%




                 1º Quartil = 6,00
                 Mediana = 10,00
                 3º Quartil = 14,00
Medida de dispersão alternativa
• Uma medida de dispersão alternativa ao
  desvio padrão é a distância interquartil,
  consiste na diferença entre terceiro e o
  primeiro quartil:

               dq=q(0,75)-q(0,25)
Resistência
• Os quartis são medidas de posição resistentes.
• Uma medida de posição ou dispersão é
  resistente quando for pouco afetada por
  mudanças de uma pequena porção de dados.

• A mediana é uma medida resistente, a média
  e o desvio padrão não são medidas
  resistentes.
Exemplo
• Considere as populações dos 20 municípios
  mais populosos de Minas Gerais, segundo o
  censo do IBGE de 2000.
Município              População   Município         População
Belo Horizonte         2.238.526   Santa Lúcia       184.903
Contagem               538.017     Sete Lagoas       184.871
Uberlândia             501.214     Divinópolis       183.962
Juiz de Fora           456.796     Poços de Caldas   135.627
Montes Claros          306.947     Ibirité           133.044
Betim                  306.675     Teófilo Otoni     129.429
Uberaba                252.051     Patos de Minas    123.881
Governador Valadares   247.131     Sabará            115.352
Ribeirão das Neves     246.846     Barbacena         114.126
Ipatinga               212.496     Varginha          108.998
• Medidas resumos:
Município              População   Município                 População
Belo Horizonte         2.238.526   Santa Lúcia               184.903
Contagem               538.017     Sete Lagoas               184.871
Uberlândia             501.214     Divinópolis               183.962
Juiz de Fora           456.796     Poços de Caldas           135.627
Montes Claros          306.947     Ibirité                   133.044
Betim                  306.675     Teófilo Otoni             129.429
Uberaba                252.051     Patos de Minas            123.881
Governador Valadares   247.131     Sabará                    115.352
Ribeirão das Neves     246.846     Barbacena                 114.126
Ipatinga               212.496     Varginha                  108.998
                                             Sem BH
     Média=336.044                           Média= 235.914
     Desvio padrão=454.389                   Desvio padrão=129.667
     3º quartil= 306.811                     3º quartil= 306.675
     Mediana = 198.700                       Mediana = 184.903
     1º quartil= 131.234                     1º quartil= 129.429
Idéia de simetria
• Os cinco valores são importantes para se ter
  uma boa idéia da assimetria da distribuição
  dos dados:
              x(1), q1, Mediana, q3, x(n)
• Para uma distribuição simétrica deveríamos
  ter: Dispersão inferior Dispersão superior
1)   Mediana – x(1)  x(n) – Mediana
2)   Mediana – q1  q3 – Mediana
3)   q1 – x(1)  x(n) – q3
4)   Distâncias entre mediana e q1, q3 menores do que distâncias
     entre os extremos e q1, q3.
Distribuição assimétrica
1.    89.702  2.039.826
2.    67.466  108.111
3.    22.236  1.931.715
4.    Mediana-q3 < extremo-q3



     Média=336.044              Média= 235.914
     Desvio padrão=454.389      Desvio padrão=129.667
     3º quartil= 306.811        3º quartil= 306.675
     Mediana = 198.700          Mediana = 184.903
     1º quartil= 131.234        1º quartil= 129.429
Box Plot
• O Box Plot é o gráfico que contém os valores
  da mediana, 1º e 3º quartis, limite superior e
  inferior e observações discrepantes.

• O limite inferior é obtido por:
                    Li=q1-(1,5)dq
• O limite superior é obtido por:
                   Ls=q3+(1,5)dq
Distribuição assimétrica
Com BH                 Sem BH
Distribuição simétrica
Exercício 1
• O número de divórcios na cidade, de acordo com a
  duração do casamento, está representado na tabela
  abaixo:                  1) Qual a duração média dos
                                           casamentos? E a mediana?
Anos de casamento   No de divórcios
                                      2)   Encontre a variância e o
[0,6)               2800
                                           desvio padrão da duração
[6,12)              1400                   dos casamento.
[12,18)             600               3)   Construa o histograma da
[18,24)             150                    distribuição.
[24,30)             50
                                      4)   Encontre o 1º e 3º quartil.
                                      5)   Qual o intervalo interquartil?
                                      6)   Construa o box-plot da
                                           distribuição.
Exercício 2
• O que acontece com a mediana, média e o
  desvio padrão de uma série de dados quando:
1. Cada observação é multiplicada por 2?
2. Soma-se 10 a cada observação?
3. Subtrai-se a média geral de cada observação?

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  • 1. Medidas resumo Aula 4
  • 2. Quartis • Apenas com os valores da média e do desvio padrão, não é possível identificar o comportamento da distribuição (assimétrico ou simétrico). • Pode-se definir uma medida, chamada quantil de ordem p, indicada por q(p), onde p é uma proporção qualquer, 0<p<1, tal que 100p% das observações sejam menores do que q(p).
  • 3. • Os quantis mais utilizados são: • 1º Quartil = q(0,25) = 25º Percentil; • Mediana = q(0,50) = 50º Percentil; • 3º Quartil = q(0,75) = 75º Percentil.
  • 4. • Definição formal: • Considere as estatística de ordem x(1), ...,x(n). O p-quantil é definido por:  i  0,5  x( i ) , se p  pi  , i  1,2,..., n n (1  f )q ( p )  f q ( p ), se pi  p  pi 1 q( p)   i i i i 1  x(1) , se p  p1   x( n ) , se p  pn ( p  pi ) onde fi  . ( pi 1  pi )
  • 5. 1º Quartil = 1 Mediana = 2 Exemplo - Par 3º Quartil = 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 1º quartil Mediana 3º quartil N. Filhos Freq. Abs. Freq. rela. Freq. Acum. % 0 4 0.2 0.2 20% 1 5 0.25 0.45 25% 2 7 0.35 0.8 35% 3 3 0.15 0.95 15% 4 0 0 0.95 0% 5 1 0.05 1 5% Total 20 1 100%
  • 6. 1º Quartil = 1 Mediana = 2 3º Quartil = 2 Exemplo - Ímpar 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1º quartil Mediana 3º quartil N. Filhos Freq. Abs. Freq. rela. Freq. Acum. % 0 4 0.21 0.21 21% 1 5 0.26 0.47 26% 2 7 0.37 0.84 37% 3 3 0.16 1.00 16% Total 19 1 100%
  • 7. Classe de Freq Freq relativa Freq acum Porcentagem salários [4,00; 8,00) 10 10/36 =0,278 0,278 27,78% [8,00; 12,00) 12 12/36 =0,333 0,611 33,33% [12,00; 16,00) 8 8/36 =0,222 0,833 22,22% [16,00; 20,00) 5 5/36 =0,139 0,972 13,89% [20,00; 24,00) 1 1/36 =0,029 1,000 2,78% Total 36 1 100% 1º Quartil = 6,00 Mediana = 10,00 3º Quartil = 14,00
  • 8. Medida de dispersão alternativa • Uma medida de dispersão alternativa ao desvio padrão é a distância interquartil, consiste na diferença entre terceiro e o primeiro quartil: dq=q(0,75)-q(0,25)
  • 9. Resistência • Os quartis são medidas de posição resistentes. • Uma medida de posição ou dispersão é resistente quando for pouco afetada por mudanças de uma pequena porção de dados. • A mediana é uma medida resistente, a média e o desvio padrão não são medidas resistentes.
  • 10. Exemplo • Considere as populações dos 20 municípios mais populosos de Minas Gerais, segundo o censo do IBGE de 2000. Município População Município População Belo Horizonte 2.238.526 Santa Lúcia 184.903 Contagem 538.017 Sete Lagoas 184.871 Uberlândia 501.214 Divinópolis 183.962 Juiz de Fora 456.796 Poços de Caldas 135.627 Montes Claros 306.947 Ibirité 133.044 Betim 306.675 Teófilo Otoni 129.429 Uberaba 252.051 Patos de Minas 123.881 Governador Valadares 247.131 Sabará 115.352 Ribeirão das Neves 246.846 Barbacena 114.126 Ipatinga 212.496 Varginha 108.998
  • 11. • Medidas resumos: Município População Município População Belo Horizonte 2.238.526 Santa Lúcia 184.903 Contagem 538.017 Sete Lagoas 184.871 Uberlândia 501.214 Divinópolis 183.962 Juiz de Fora 456.796 Poços de Caldas 135.627 Montes Claros 306.947 Ibirité 133.044 Betim 306.675 Teófilo Otoni 129.429 Uberaba 252.051 Patos de Minas 123.881 Governador Valadares 247.131 Sabará 115.352 Ribeirão das Neves 246.846 Barbacena 114.126 Ipatinga 212.496 Varginha 108.998 Sem BH Média=336.044 Média= 235.914 Desvio padrão=454.389 Desvio padrão=129.667 3º quartil= 306.811 3º quartil= 306.675 Mediana = 198.700 Mediana = 184.903 1º quartil= 131.234 1º quartil= 129.429
  • 12. Idéia de simetria • Os cinco valores são importantes para se ter uma boa idéia da assimetria da distribuição dos dados: x(1), q1, Mediana, q3, x(n) • Para uma distribuição simétrica deveríamos ter: Dispersão inferior Dispersão superior 1) Mediana – x(1)  x(n) – Mediana 2) Mediana – q1  q3 – Mediana 3) q1 – x(1)  x(n) – q3 4) Distâncias entre mediana e q1, q3 menores do que distâncias entre os extremos e q1, q3.
  • 13. Distribuição assimétrica 1. 89.702  2.039.826 2. 67.466  108.111 3. 22.236  1.931.715 4. Mediana-q3 < extremo-q3 Média=336.044 Média= 235.914 Desvio padrão=454.389 Desvio padrão=129.667 3º quartil= 306.811 3º quartil= 306.675 Mediana = 198.700 Mediana = 184.903 1º quartil= 131.234 1º quartil= 129.429
  • 14. Box Plot • O Box Plot é o gráfico que contém os valores da mediana, 1º e 3º quartis, limite superior e inferior e observações discrepantes. • O limite inferior é obtido por: Li=q1-(1,5)dq • O limite superior é obtido por: Ls=q3+(1,5)dq
  • 17. Exercício 1 • O número de divórcios na cidade, de acordo com a duração do casamento, está representado na tabela abaixo: 1) Qual a duração média dos casamentos? E a mediana? Anos de casamento No de divórcios 2) Encontre a variância e o [0,6) 2800 desvio padrão da duração [6,12) 1400 dos casamento. [12,18) 600 3) Construa o histograma da [18,24) 150 distribuição. [24,30) 50 4) Encontre o 1º e 3º quartil. 5) Qual o intervalo interquartil? 6) Construa o box-plot da distribuição.
  • 18. Exercício 2 • O que acontece com a mediana, média e o desvio padrão de uma série de dados quando: 1. Cada observação é multiplicada por 2? 2. Soma-se 10 a cada observação? 3. Subtrai-se a média geral de cada observação?