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Lista 6 – Teste de hipóteses

   1) Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm.
      Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro
      dessas peças siga o modelo normal com variância igual a 0,09 cm2.
      Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças são
      observadas e sua média calculada em 2,1 cm.
   a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
   b) Qual seria a região crítica e a decisão? Use α=0,02.
   c) Se a região de aceitação fosse { x ∈ R | 1,9 ≤ x ≤ 2,1}, qual seria a
      probabilidade do erro tipo II se µ = 1,9 cm?

Resp: a) H0: µ = 2 versus Ha: µ ≠ 2.
       b) RC = {x ∈ R | x<1,93 ou x>2,07}, rejeite H0.
       c) β ≈ 0,5


   2) Uma empresa não pode produzir mais que 5% de unidades
        defeituosas de um artigo num mesmo lote. Seja p a proporção de
        unidades defeituosas em um certo lote e suponha que, nesse lote, 100
        artigos são sorteados para serem inspecionados. Responda as
        seguintes questões.
   a)   Qual o parâmetro que se deseja testar?
   b)   Qual é o estimador a ser utilizados e sua distribuição?
   c)   Indique as hipóteses a serem testadas e interprete-as.
   d)   Determine o critério de decisão com nível de significância de 5%.
   e)   Com o critério obtido, calcule a probabilidade de aceitar um lote com
        7% de defeituosos.

Resp: a) proporção de defeituosos.
                 n o de defeituosos
        b) p =
           ˆ                        : proporção amostral de defeituosos,
                          n
           distribuição Normal com média p e variância p(1-p)/n
        c) H0: p = 0,05 versus Ha: p > 0,05.
        d) RC = {x ∈ R | x>0,086}
        e) 0,7324


   3) O crescimento de bebês, durante o primeiro mês de vida, pode ser
        modelado pela distribuição Normal. Admita que, em média, um
        crescimento de 5 centímetros ou mais seja considerado satisfatório.
        Deseja-se verificar se o crescimento de bebês de famílias em um
        bairro da periferia de São Paulo acompanha o padrão esperado. Para
        tanto, 10 recém-nascidos na região foram sorteados e sua altura
        acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em
centímetros: 5,03; 5,02; 4,95; 4,96; 5,01; 4,97; 4,90; 4,91; 4,90; e
        4,93.
   a)   Que hipóteses estão sendo testadas?
   b)   Qual é o estimador a ser utilizados para testar as hipóteses em a) e
        qual é a sua distribuição?
   c)   Se a região crítica construída é {x ∈ R | x < 4,94}, qual é o valor de
        α? Qual a conclusão?
   d)   Qual seria a região crítica e a conclusão se α=5%?

Resp: a) H0: µ = 5 versus Ha: µ < 5.
      b) Xbarra. Use t-Student.
      c) α≈0,2%; aceita Ho.
      d) RC = {x ∈ R | x<4,96}.


   4) Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos,
        apresentou uma freqüência cardíaca média de 68,7 batidas/min, com
        desvio-padrão de 8,67 batidas/min. Um manual de procedimento
        clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa
        etária deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável
        medida se comporte de acordo com um modelo Normal e usando um
        nível descritivo igual a α=4%, você diria que os dados fornecidos
        são compatíveis com a informação do manual?

Resp: Teste bilateral. Os dados são compatíveis, aceita H0.

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Lista6

  • 1. Lista 6 – Teste de hipóteses 1) Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo normal com variância igual a 0,09 cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças são observadas e sua média calculada em 2,1 cm. a) Formule o problema como um teste de hipóteses. b) Qual seria a região crítica e a decisão? Use α=0,02. c) Se a região de aceitação fosse { x ∈ R | 1,9 ≤ x ≤ 2,1}, qual seria a probabilidade do erro tipo II se µ = 1,9 cm? Resp: a) H0: µ = 2 versus Ha: µ ≠ 2. b) RC = {x ∈ R | x<1,93 ou x>2,07}, rejeite H0. c) β ≈ 0,5 2) Uma empresa não pode produzir mais que 5% de unidades defeituosas de um artigo num mesmo lote. Seja p a proporção de unidades defeituosas em um certo lote e suponha que, nesse lote, 100 artigos são sorteados para serem inspecionados. Responda as seguintes questões. a) Qual o parâmetro que se deseja testar? b) Qual é o estimador a ser utilizados e sua distribuição? c) Indique as hipóteses a serem testadas e interprete-as. d) Determine o critério de decisão com nível de significância de 5%. e) Com o critério obtido, calcule a probabilidade de aceitar um lote com 7% de defeituosos. Resp: a) proporção de defeituosos. n o de defeituosos b) p = ˆ : proporção amostral de defeituosos, n distribuição Normal com média p e variância p(1-p)/n c) H0: p = 0,05 versus Ha: p > 0,05. d) RC = {x ∈ R | x>0,086} e) 0,7324 3) O crescimento de bebês, durante o primeiro mês de vida, pode ser modelado pela distribuição Normal. Admita que, em média, um crescimento de 5 centímetros ou mais seja considerado satisfatório. Deseja-se verificar se o crescimento de bebês de famílias em um bairro da periferia de São Paulo acompanha o padrão esperado. Para tanto, 10 recém-nascidos na região foram sorteados e sua altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de crescimento em
  • 2. centímetros: 5,03; 5,02; 4,95; 4,96; 5,01; 4,97; 4,90; 4,91; 4,90; e 4,93. a) Que hipóteses estão sendo testadas? b) Qual é o estimador a ser utilizados para testar as hipóteses em a) e qual é a sua distribuição? c) Se a região crítica construída é {x ∈ R | x < 4,94}, qual é o valor de α? Qual a conclusão? d) Qual seria a região crítica e a conclusão se α=5%? Resp: a) H0: µ = 5 versus Ha: µ < 5. b) Xbarra. Use t-Student. c) α≈0,2%; aceita Ho. d) RC = {x ∈ R | x<4,96}. 4) Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos, apresentou uma freqüência cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio-padrão de 8,67 batidas/min. Um manual de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo com um modelo Normal e usando um nível descritivo igual a α=4%, você diria que os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual? Resp: Teste bilateral. Os dados são compatíveis, aceita H0.