1) O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, geométrica e Poisson. 2) São abordados temas como probabilidade de eventos, vida útil de componentes, defeitos em processos industriais e chegada de navios em portos. 3) As respostas dos exercícios envolvem cálculos de probabilidades condicionais e incondicionais utilizando as distribuições apresentadas.

1. AULA 7 - Exerc´
ıcios
1. Suponha que as especifica¸oes do fabricante sobre a extens˜o
c˜ a
de certo tipo de cabo para computadores sejam de 2000 ± 10
mil´
ımetros. Nessa ind´stria, sabe-se que um cabo menor tem a
u
mesma possibilidade de ser defeituoso (n˜o atender as especi-
a
fica¸oes) do que um cabo maior. Ou seja, a probabilidade de se
c˜
produzir, aleatoriamente , um cabo maior que 2010 mm ´ igual
e
` probabilidade de se produzir um cabo com menos de 1990
a
mm. Sabe-se que a probabilidade de que os procedimentos de
produ¸ao atendam `s especifica¸oes ´ de 0,99.
c˜ a c˜ e
a) Qual ´ a probabilidade de que um cabo selecionado aleato-
e
riamente seja muito grande? Resp: 0,005
b) Qual ´ a probabilidade de que um cabo selecionado aleato-
e
riamente seja maior que 1990 mm? Resp: 0,995
2. H´ um interesse centrado na vida util de um componente
a ´
eletrˆnico. Suponha que se saiba que a probabilidade de que
o
esse componente sobreviva mais que 6.000 horas ´ 0,42. Suponha,
e
tamb´m, que a probabilidade de que tal componente sobreviva
e
n˜o mais que 4.000 horas ´ 0,04.
a e
a) Qual ´ a probabilidade de que a vida util do componente
e ´
seja menor ou igual a 6.000 horas?
b) Qual ´ a probabilidade de que a vida util deste compo-
e ´
nente seja maior que 4000 horas?
3. Considere o processo industrial em uma ind´stria tˆxtil, no
u e
qual tiras de determinado tipo de tecido est˜o sendo produzi-
a
das. Essas faixas de tecido podem ter dois tipos de defeitos,
no comprimento ou na natureza de sua textura. No caso de
defeito na textura, o processo de identifica¸˜o ´ bastante com-
ca e
plicado. Sabe-se, de dados hist´ricos do processo, que 10% dos
o
tecidos falham no teste de comprimento, 5% falham no teste
de textura e somente 0,8% falham em ambos os teste. Se uma
faixa de tecido for selecionada aleatoriamente ao processo e
uma r´pida medi¸˜o indicar que tal faixa falhou no teste de
a ca
comprimento, qual ´ a probabilidade de que haja defeito na
e
textura? Resp:0,08
4. Considere uma caixa com 20 fus´ ıveis, dentre os quais cinco
apresentam defeito. Se dois fus´ıveis, s˜o selecionados aleato-
a
riamente e removidos da caixa, sucessivamente, sem reposi¸aoc˜
do primeiro, qual ´ a probabilidade de que ambos apresentem
e
defeito? Resp:0,053
1

2. 5. Uma ind´stria emprega trˆs planos anal´
u e ıticos para criar e de-
senvolver certo produto. Devido aos custos, os trˆs planos s˜o
e a
usados em momentos variados. Na realidade, os planos 1, 2 e
3 s˜o usados para 30%, 20% e 50% dos produtos, respectiva-
a
mente. O ´ ındice de defeitos ´ deferente para os trˆs procedi-
e e
mentos: P (D|P1 ) = 0, 01, P (D|P2 ) = 0, 03, P (D|P3 ) = 0, 02,
onde P (D|Pj ) ´ a probabilidade de um produto apresentar de-
e
feitos, dado que foi usado o plano j. Se selecionarmos um pro-
duto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos,
qual foi provavelmente o plano usado e, em consequˆncia, re-
e
spons´vel pelo defeito? Resp: Plano 3
a
6. Uma vari´vel aleat´ria X tem fun¸ao de distribui¸ao dada por:
a o c˜ c˜

 0
 se x < 10;

 0, 2 se 10 ≤ x ≤ 12;


F (X) = 0, 5 se 12 ≤ x ≤ 13; (1)

 0, 9 se 13 ≤ x ≤ 25;




1 se x ≥ 25.
Determine
a) A fun¸˜o de probabilidade de X.
ca
Resp:
X 10 12 13 25
(2)
P (X = x) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1
b) P (X ≤ 12) Resp: P (X ≤ 12) = F (12) = 0, 5
c) P (X < 12) Resp: P (X < 12) = F (10) = 0, 2
d) P (12 ≤ X ≤ 20) Resp: P (12 ≤ X ≤ 20) = P (X ≤ 20) − P (X <
12) = F (13) − F (10) = 0, 7
e) P (X > 18) Resp: P (X > 18) = 1 − P (X ≤ 18) = 1 − F (18) =
1 − F (13) = 0, 1
7. Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5
bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25, e meu colega tem
outros 5 bilhetes, com os n´meros 1, 11, 29, 68 e 93. Quem
u
tem maior possibilidade de ser sorteado? (Dica: Use o modelo
uniforme discreto) Resp: Possuem a mesma chance.
8. Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento
eletrˆnico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de
o
equipamentos com defeito ´ de 3%.
e
a) O inspetor da rede varejista seleciona 20 itens, com reposi¸ao,
c˜
de um carregamento. Qual ´ a probabilidade de que haja
e
pelo menos um item defeituoso entre esses 20? (Dica: Use
o modelo de probabilidade binomial) Resp: 0,4562
b) Suponha que a rede varejista receba dez carregamentos
por mˆs e o inspetor selecione aleatoriamente 20 equipa-
e
mentos, com reposi¸˜o, de cada carregamento. Qual ´
ca e
probabilidade de que haja trˆs carregamentos com pelo
e
menos um item com defeito? Resp: 0,1602
2

3. 9. Lotes de 40 componentes cada s˜o chamados de inaceit´veis
a a
se contiverem trˆs ou mais itens defeituosos. O procedimento
e
para a amostragem do lote ´ selecionar cinco componentes
e
aleatoriamente, sem reposi¸ao, e rejeitar o lote se um item
c˜
defeituoso for encontrado. Qual ´ a probabilidade de que ex-
e
atamente um item defeituoso seja encontrado na amostra se
h´ trˆs defeituosos no lote inteiro? (Dica: Usar a distribui¸˜o
a e ca
hipergeom´trica) Resp: 0,3011
e
10. Em certo processo de fabrica¸˜o, sabe-se que, em m´dia, um
ca e
em cada 100 itens apresenta defeitos. Qual ´ a probabilidade
e
de que o quinto item inspecionado seja o primeiro item defeitu-
oso encontrado? (Dica: Use a distribui¸˜o geom´trica). Resp:
ca e
0,0096
11. O n´mero m´dio de navios petroleiros que chegam a cada dia
u e
em certo porto ´ dez. As instala¸oes do porto podem suportar
e c˜
no m´ximo 15 navios por dia. Qual ´ a probabilidade de que,
a e
em certo dia, navios ter˜o de ser mandados embora? (Dica:
a
Use a distribui¸˜o Poisson). Resp: 0,0487
ca
3