O documento define ponto crítico de uma função derivável como um ponto onde a derivada é igual a zero. Explica que um ponto crítico pode ou não ser um ponto de extremo local, dependendo do sinal da derivada em torno desse ponto. Apresenta o critério da primeira derivada para identificar se um ponto crítico é de máximo ou mínimo local.

1. PONTO CRÍTICO DE UMA
FUNÇÃO DERIVÁVEL
Professora : Adrianne
Mendonça

2. DEFINIÇÃO
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no
qual f '(c)=0.
Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois
f '(0)=0.

3. EXPLICANDO ...
Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada
de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no
ponto (c, f(c)).

4. EXPLICANDO ...
Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo
nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta,
x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

5. EXPLICANDO ...
Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do
domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A
função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2
são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-
1)=2 e f '(2)=-4.

6. CRITÉRIO DA PRIMEIRA DERIVADA
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um
ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita
de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita
de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

7. CRITÉRIO DA PRIMEIRA DERIVADA
Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o
único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0,
assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.

8. CRITÉRIO DA PRIMEIRA DERIVADA
Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o
único ponto crítico ocorre em x=0. g '(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0,
assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.

9. CRITÉRIO DA PRIMEIRA DERIVADA
Nem todo ponto crítico de uma função é ponto de extremo dessa
função, como é o caso de f(x)=x³, definida sobre S=[-2,2]. f '(x)=3x².
O ponto crítico é x=0. À esquerda e também à direita de x=0, a
derivada é positiva, logo, x=0 não pode ser ponto de máximo local
nem ponto de mínimo local para f.

10. OBSERVAÇÃO !!!
O critério da 1a. derivada, pode ser escrito na forma: Se f é uma
função derivável sobre um intervalo [a,b] e existe um ponto x=c no
intervalo aberto (a,b) para o qual f '(c) é diferente de 0, então este
ponto x=c não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para f.