O documento descreve as características da distribuição normal de probabilidades. Explica que a distribuição normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média e é caracterizada pela média e desvio padrão. Também fornece exemplos de como calcular probabilidades usando a distribuição normal.

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Distribuição Normal de
Probabilidades
1Profa.M.a Ecila Alves de Oliveira Migliori
3 12 1 0 2 3
z
Área = 1
2
Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades indica a porcentagem de vezes
que, em grande quantidade de observações, podemos
esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável
aleatória.
 Em uma distribuição de probabilidades é necessário:
  P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis
 0  P(x)  1 para todo o x.
Distribuições de
probabilidade
Distribuições
descontínuas ou
discretas
Distribuições
contínuas

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Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias
relativas a dados que podem ser contados, isto é, é aquela para
a qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito
enumerável.
Exemplos:
 Ao lançarmos um dado ele sempre nos dará um "valor" inteiro. Não existe a
possibilidade que ele caia de "lado" nos dando um valor surpreendente como
2,5555.
 Número de chamadas na central do Corpo de Bombeiros no período da manhã
 Número de alunos aprovados numa disciplina com 80 alunos matriculados
 Número de acessos a um determinado site, das 0h às 6h
 Número de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num
banco no último ano
 Número de consultas ao médico num determinado ano
 Número de domicílios com crianças menores de 6 anos
 Número de clientes que visitaram uma loja num determinado período Número
de ocorrências por unidade num intervalo de tempo
 Número de fumantes presentes em eventos esportivos
Distribuições Discretas
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Distribuições Discretas
Uniforme ou Retangular
Binomial
Binomial Negativa ou de Pascal
Geométrica
Poisson
Multinomial ou Polinomial
Hipergeométrica
Formas da
distribuição
discretas
(Formas)

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Quando se usa as distribuições contínuas?
Distribuições Contínuas
 A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;
A variável aleatória em questão é contínua.
Exemplos:
 altura de um adulto
 custo do sinistro de um carro
 temperatura mínima diária
 saldo em aplicações financeiras
 ganho de peso após dieta
 distância percorrida
6
Distribuições Contínuas
 Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em
um intervalo P(a < x < b);
 Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida
no intervalo considerado.

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Distribuições Contínuas
DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO 2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)
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Distribuições Contínuas
UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL LOG-NORMAL
EXPONENCIAL QUI-QUADRADO GUMBEL

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Distribuição Normal
Um pouco de história
No século XVIII, astrônomos e outros
cientistas observaram que medidas
repetidas de mensurações como a
distância à lua variavam como na figura,
quando coletadas em grande número.
Esta forma gráfica era associada aos
erros de mensuração, daí o nome de
“Distribuição normal dos erros” e depois
“Distribuição normal”.
Também é conhecida por “Distribuição
Gaussiana”, em função do modelo
matemático desenvolvido por Karl F.
Gauss para este comportamento.
10
Distribuição Normal
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
25
40
55
70
85
100
115
Peso da população adulta
n = 5000 µ = 75 kg σ = 12 kg
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
133
137
141
145
149
153
157
161
165
169
Altura de universitários
n = 3000 µ = 152 cm σ = 5 cm
0,00
0,05
0,10
0,15
29,5
29,6
29,7
29,8
29,9
30
30,1
30,2
30,3
30,4
30,5
Comprimento de uma régua
n = 1000 µ = 30cm σ = 0,15cm
0
0,05
0,1
0,15
0,2
197
215
233
251
269
287
305
Pessoas num restaurante
µ = 250 por dia σ = 20 por dia

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Distribuição Normal - Características
1. A curva normal tem a forma de sino.
2. É simétrica em relação a média.
3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica).
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio
padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e
desvio padrão).
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1.
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma
variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses
pontos.
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente
distribuída tomar exatamente determinado valor é zero
(característica da distribuição contínua).
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função
do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto.
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A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor
entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva
normal entre aqueles pontos.
Distribuição Normal
µ a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
Para desenhar a curva normal (curva de Gauss) usamos:
• média (µ ou ẍ)
• desvio padrão (σ ou S).

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Denotamos N(µ,σ) à curva Normal com média e desvio
padrão.
A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão
ao espalhamento (ou achatamento) da curva.
A distribuição normal é simétrica em torno da média o que
implica que a média, a mediana e a moda são todas
coincidentes.
Distribuição Normal de Probabilidades
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O importante é que você entenda como a curva é afetada
pelos valores numéricos de µ e σ => N(µ,σ).
Distribuição Normal

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8
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Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo
dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são:
Distribuição Normal
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
68,3%
95,5%
99,7%
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Exemplo: Suponhamos que os pesos de recém-nascidos
tenham µ = 2800g e σ = 500g.
Então:
Distribuição Normal

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9
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Exemplo:
Usando este modelo podemos dizer que cerca de 68% dos
recém-nascidos pesam entre 2300g e 3300g.
O peso de aproximadamente 95% dos recém-nascidos está
entre 1800g e 3800g.
Praticamente todos os bebês desta população nascem com
peso no intervalo (1300,4300).
Distribuição Normal
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Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes
valores de µ e σ.
Para isso, a variável X, cuja distribuição é N(µ,σ) é
transformada numa forma padronizada Z com
distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão) pois tal
distribuição é tabelada.
A quantidade de Z é dada por:
Distribuição Normal

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10
OBSERVAÇÃO:
x - µ = distância do ponto considerado à média
x - µ

z =
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5
desvios padrões
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores
de x inferiores à média.
ef(x) =
x – ponto considerado da distrib.
µ - média da distribuição
 - desvio padrão da distribuição
-1
2
( )x - µ
2

2 
1
Distribuição Normal
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A distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios
padrões (z)
Normal
padronizada
Normal não
padronizada
z =
x - µ

µ x 0 z
PP
Distribuição Normal
20

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11
70 80 90 100 110 120 130
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
µ = 100,0
 = 10,0
escala efetiva
escala padronizada
Escala efetiva X Escala padronizada
Distribuição Normal
21
Distribuição Normal
Calculando Z (relembrando: É a distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios padrões (z)) =>
Consultar a Tabela de Áreas para a Distribuição Normal
Padronizada
22

12. 25/10/2016
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Distribuição Normal
0 z
23
Distribuição Normal
Exemplo: Z = 1,25
Para buscar na Tabela , z será separado em dois valores:
1. Parte inteira e a primeira casa decimal = 1,2 (Valor 1)
2. A segunda casa decimal = 5 (Valor 2)
3. O Valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o Valor 2 será
buscado nos valores de coluna da tabela normal.
O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada
para o valor Z.
Neste exemplo o resultado será 0,3944.
Obs.: Para valores de Z com mais de 2 casas decimais, bastará arredondar.
24

13. 25/10/2016
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Distribuição Normal
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Probabilidade de uma
variável aleatória normal
tomar um valor z entre a
média e o ponto situado a
z desvios padrões
z área entre a média e z
1,00 0,3413
1,50 0,4332
2,13 0,4834
2,77 0,4972
área tabelada = área desejada
0 z
Distribuição Normal
26
z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)
0 z

14. 25/10/2016
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Determinando a área entre dois
pontos quaisquer.
Exemplos
Determinando a área (probabilidade)
sob a curva entre dois pontos
entorno da média.
0,1359=0,4772-0,3413
0 +1 +2
0,3413
0,4772
-1 0 +1
0,3413 0,3413
Distribuição Normal – Cálculo da Probabilidade
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal
com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de
cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?
N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi
%56,101056,0)25,1( ZP
3850 4000
-1,25
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
25,1
120
40003850






X
z
P(z ≤ -1,25)
Distribuição Normal – Exemplos

15. 25/10/2016
15
N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias
2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem
acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma
variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias.
Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente
quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?
27,1
15
5031






X
z
%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1(  oZP
Consultando tabela:
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
X
Z
f(x)
50
0
31
-1,27
3520
Distribuição Normal – Exemplos
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo
comprimento pode ser considerado uma variável normalmente
distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a
 = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o
comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a
10,20 m?
N(,) = N(10;0,09) metros
X = 10,20m
22,2
09,0
1020,10






X
z
%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2(  ZPZP
f(x)
10
X10,20
0 2,22 Z
Consultando tabela
temos:
Distribuição Normal – Exemplos

16. 25/10/2016
16
4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG
de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-
padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente
distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4
minutos.
ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS
%18,90918,04082,05,0)33,1()4(  ZPxP
Consultando
a tabela:
33,1
3
84






X
z
N(,) = N(8;3) minutos
X < 4 minutos
f(x)
X8
0
4
Z-1,33
Distribuição Normal – Exemplos
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão
de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas
defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?
ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL
)3()3()97,1()03,2(  ZPZPxouPxP
3
01,0
203,2
1 





X
z
f(x)
2
X2
0 3 Z
2,031,97
-3
N(,) = N(2,00;0,01)
X1 = 2,03 e X2=1,97
3
01,0
297,1
2 





X
z
Consultando
tabela: %28,00014,00014,0)3()3(  ZPZP
Distribuição Normal – Exemplos

17. 25/10/2016
17
6) A vida média de uma marca de compuador é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8
anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito
dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de
produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo
5% de trocas.
ESTATÍSTICA E AASSISTÊNCIA TÉCNICA
05,0049471,0
)(65,1
050503,0049471,0
)64,1(65,1




 Zx
6449,105,0 Z



X
z
8,1
8
6449,1


X
N(,) = N(8;1,8) anos
X=?
z
-1,65 0,049471
? 0,05
-1,64 0,050503
)( oZ
anosX 04,5
Distribuição Normal – Exemplos
34Obrigada.