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Variáveis
Aleatórias (V.A)
Lucas Carneiro, Lucas Vinícius, Felipe
Pinheiro, Oto Antônio
Roteiro - Equipe 2
1. Relembrando
2. Variável Aleatória
3. Variável Aleatória Discretas
4. Função de Probabilidade
5. Função de Repartição
6. Variável Aleatória Contínua
7. Função Densidade de Probabilidade
8. Variáveis Aleatórias Independentes
9. Medidas de Posição
10. Medidas de Dispersão
Relembrando
● Experimento Aleatório: experimento que mesmo repetido
em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes,
ou seja, são resultados explicados ao acaso.
● Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
● Eventos: é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, um
subconjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
● Probabilidade: consiste na teoria de permitir que se calcule
a chance de ocorrência de um evento em um experimento
aleatório.
Variável Aleatória - Motivação
● Resumir o resultado de um experimento aleatório através de
um simples número;
● Para a grande maioria dos experimentos aleatórios o espaço
amostral (descrição dos resultados possíveis) não é
suficiente;
● Associar um número a cada resultado do espaço amostral se
torna útil.
Variável Aleatória - Definição
Segundo MONTGOMERY: Uma variável aleatória é
uma função que confere um número real a cada
resultado no espaço amostral de um experimento
aleatório.
Figura 1: Demonstração de uma variável aleatória.
Variável Aleatória - Notação
Segundo MONTGOMERY uma variável aleatória é
denotada por uma letra maiúscula, tal como “X”. Depois
de um experimento ser conduzido, o valor medido da
variável aleatória é denotado por uma letra minúscula,
tal como “x = 70 miliampères”.
Variável Aleatória Discreta - Definição
Segundo MONTGOMERY, uma variável aleatória
discreta é uma varável com uma faixa finita (ou infinita
contável).
Ou seja, os valores possíveis de X, podem ser postos
em lista como x1, x2, x3, ..., xn.
OBS: Em alguns casos a variável aleatória discreta pode ser
analisada como contínua (termo que será explicado mais adiante)
devido a faixa de valores considerada ser muito grande.
Variável Aleatória Discreta - Exemplo
1. E - (Experimento aleatório): Lançamento de duas
moedas;
2. S - (Espaço amostral): {(cara, coroa); (coroa, cara);
(cara, cara); (coroa, coroa)};
3. X - (Variável aleatória): Definida nesse caso como o
número da ocorrência de “caras” nos dois
lançamentos da moeda;
4. X = {0, 1, 2}, (valores que a variável aleatória pode
assumir quando o experimento for observado);
Função de Probabilidade
Descreve todos os valores que a variável pode
assumir e suas probabilidades.
Função de Probabilidade - Condições
Função de Probabilidade - Exemplo 1
Verificando:
Decida se as seguintes distribuições são distribuições de
probabilidades:
Função de Probabilidade - Solução
Função de Probabilidade - Exemplo 2
Construir a distribuição de probabilidade do sexo do
grupo de filhos de uma famílias com 5 filhos.
Função de Probabilidade
Gráfico da distribuição de probabilidade.
Média Desvio Padrão
Função de Repartição
A probabilidade que uma variável aleatória X assuma
um determinado valor menor ou igual a xn é denominada
de função de repartição, isto é:
Função de Repartição - Exemplo
Função de Repartição - Solução
Distribuição de Probabilidade
A distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória X é uma descrição das probabilidades
associadas com os valores possíveis de X.
Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é
frequentemente especificada por apenas uma lista de
valores possíveis, juntamente com a probabilidade de
cada um. (MONTGOMERY, 2009)
Distribuição de Probabilidade
As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que
as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser
interpretadas como limites de frequência.
Duas representações gráficas:
Barras Histograma
Variável aleatória continua
Seja X uma variável aleatória (v.a.).
Se o número de valores possíveis de X (a) (isto é o seu
contradomínio) for infinito não-enumerável como, por
exemplo, um intervalo, X será denominada de variável
aleatória contínua.
Consideremos por exemplo o experimento que consiste em
selecionar, ao acaso, um fruto de tomate de uma área de
produção e determinar o valor do peso do fruto em gramas.
Nesse caso, dentro de um determinado grau de precisão
decorrente da limitação do equipamento de mensuração, a
variável aleatória X = PESO DO FRUTO pode assumir um
valor qualquer em um determinado intervalo da reta real,
sendo, portanto, uma variável aleatória contínua.
Variável aleatória continua
Como uma variável aleatória contínua pode assumir
uma infinidade de valores em um intervalo real, ou seja,
o conjunto de valores que a variável pode assumir é
infinito não-enumerável, a cada um dos infinitos valores
da reta real é atribuída probabilidade nula. Portanto,
não faz sentido fazer uma soma das probabilidades de
cada um dos valores como no caso das variáveis
aleatórias discretas, mas sim fazer a soma das
probabilidades dos valores sem intervalos da reta real.
Densidade de Probabilidade
Como para variável aleatória contínua a probabilidade
de cada um dos infinitos valores na reta real é igual a
zero, não se tem uma função de probabilidade F(x) = P
(X = xi) = P (xi) como para variável aleatória discreta.
Nesse caso, as probabilidades de ocorrência de cada
um dos possíveis resultados do experimento aleatório
são determinadas por uma função contínua f(x)
denominada FUNÇÃO DENSIDADE PROBABILIDADE
(f.d.p.), que satisfaça as seguintes condições:
Densidade de Probabilidade
Densidade de Probabilidade
OBS:
A f(x) de uma v. a. c., função de densidade
probabilidade, não é probabilidade. Somente quando
a função for integrada entre dois limites, ela
produzirá uma probabilidade, que será a área sob a
curva da função X = a e X = b, a < b, ou seja, a
probabilidade de x em intervalo entre a e b da reta
real.
Densidade de Probabilidade
Exemplo:
Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de
mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x
[f(x)] é dada por:
Dada a função desta variável, calcule k de modo que
f (x) seja uma f.d.p.
Exemplo
Resposta:
Para isto, a f (x) deve atender as duas condições
f(x)>=0 e
Assim,
Exemplo
Portanto qualquer fruto com diâmetro entre 10 e 20
terá a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja,
será igual a 1 ou 100%, e fora desse intervalo a
probabilidade será sempre igual a zero.
Variáveis aleatórias independentes
Definição informal: As variáveis aleatórias X1, X2,..., Xn são independentes se,
e somente se, qualquer grupo de eventos definidos pelas variáveis "individuais"
são independentes.
Definição: As variáveis aleatórias (X1,...,Xn) são independentes se, e somente se,
para quaisquer conjuntos de números reais B1, B2,...,Bn com Bi Xi, para todo
i=1,...,n temos que,
Medidas de Posição
São estatísticas que representam a localização de dados em
relação a uma série de informações distribuídas em um
determinado gráfico.
Medidas de Posição
Média: valor esperado de uma variável aleatória, denominada
E(X), onde x é a variavel. A média de uma distribuição é
também denominada uma medida de tendência central. Do
ponto de vista científico, este valor corresponde ao que se
espera que aconteça em média.
Propriedades da Média:
1º) E(K) = K, sendo K uma constante.
2º) E(X + K) = E(X) + K
3º) E(K.X) = K.E(X)
4º) E(X + Y) = E(X) + E (Y)
5º) E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y são independentes (Cov (X,Y) =
0)
Medidas de Posição
Média para variáveis aleatórias discretas.: Dado uma v.a. X
discreta, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor
médio de X o valor:
Medidas de Posição
Exemplo.: Considerando o experimento: lançamento de duas
moedas consecutivas, em que X é a variável aleatória definida
como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2},
cujas probabilidades de ocorrência são:
P (0) = 1/4,
P (1) = 2/4,
P (2) = 1/4.
Tem-se que:
Medidas de Posição
Média para variáveis aleatórias continuas.: Dado uma v.a. X
continua, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor
médio de X o valor:
Medidas de Posição
Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de
mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada
por:
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Medidas de Dispersão
Em Estatística, dispersão (também chamada de variabilidade ou
espalhamento) mostra o quão esticada ou espremida se
encontra uma distribuição (teórica ou que define uma amostra),
assim, indicando quão longe em geral os seus valores se
encontram do valor esperado.
Medidas de Dispersão
Variância: quantifica a dispersão dos dados em torno da média,
denominada V(x). Seja a v.a. x com valores numericos x1, x2, ...,
xn e probabilidades associadas P(x1), P(x2), …, P(xn),
definimos como variancia de X:
A obtenção da variância depende se X é variável aleatória
discreta ou contínua.
Medidas de Dispersão
Propriedades da Variância:
1º) V(K) = 0, sendo k uma constante.
2º) V(X + K) = V(X) + V(K) = V(X)
3º) V(K.X) = K² .V(X)
4º) V(XY) = V(X).V(Y)
5º) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov (X, Y), se X e Y são
dependentes (Cov (X,Y) ≠ 0)
6º) V(X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y são independentes (Cov
(X,Y) = 0)
Medidas de Dispersão
Variância para variáveis aleatórias discretas.: A variância de
uma variável aleatória discreta quantifica a dispersão dos dados
emtorno da média esperada. É definida por:
Medidas de Dispersão
Exemplo.: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório:
lançamento de duas moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória
definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas
probabilidades de ocorrência são:
P (0) = 1/4,
P (1) = 2/4
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Variância para variáveis aleatórias continuas.: A variância de
uma variável aleatória contínua quantifica a dispersão dos
dadosem torno da média esperada. É definida por:
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Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de
mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada
por:
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Medidas de Dispersão
Desvio padrão: denominado DP(X), é definido como a raiz
quadrada positiva da variância. É mais usada como medida de
dispersão que a variância por estar na mesma unidade dos
dados.
Medidas de Dispersão
Exemplo (variável aleatória discreta) .: Considerando o
experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas
moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória definida
como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2},
cujas probabilidades de ocorrência são:
P (0) = 1/4,
P (1) = 2/4
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Medidas de Dispersão
Exemplo (variável aleatória continua).: Seja X a variável
diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado
inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por:
Tem-se que:
Referências
[1] MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística aplicada e
probabilidade para engenheiros. 4. ed Rio de Janeiro: LTC, 2009 493 p.
http://pt.slideshare.net/neudesmaira/estatstica-aplicada-informtica?qid=fe20f865-3a32-4d
99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=12
http://pt.slideshare.net/cursoraizes/estatistica-aplicada-a-administracao-aula-6?qid=fe20f
865-3a32-4d99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=6
http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php
http://pt.scribd.com/doc/32600975/Apostila-5-Variaveis-aleatorias
Referências
http://slideplayer.com.br/slide/353604/
http://arquivos.unama.br/nead/graduacao/cesa/pec/probabil
idade_estatistica/unidade6/aula1/unidade6_aula1.pdf
http://www.cearidus.ufc.br/Arquivos/Prob%20e%20Estat%
EDstica/Apostila/Cap%EDtulo%204_%20parte1_vardisc.pd
f
http://www.portalaction.com.br/content/27-vari%C3%A1veis
-aleat%C3%B3rias-independentes
Referências - Imagens
● Figura 1: LOPES, João B. Estatística Básica para
Agronomia. Disponível em:
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAABumYAE/estatistica
-basica-agronomia>. Acesso em: 20 mai. 2014

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Probabilidade e estatística - Variáveis Aleatórias

  • 1. Variáveis Aleatórias (V.A) Lucas Carneiro, Lucas Vinícius, Felipe Pinheiro, Oto Antônio
  • 2. Roteiro - Equipe 2 1. Relembrando 2. Variável Aleatória 3. Variável Aleatória Discretas 4. Função de Probabilidade 5. Função de Repartição 6. Variável Aleatória Contínua 7. Função Densidade de Probabilidade 8. Variáveis Aleatórias Independentes 9. Medidas de Posição 10. Medidas de Dispersão
  • 3. Relembrando ● Experimento Aleatório: experimento que mesmo repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. ● Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Eventos: é um subconjunto do espaço amostral, ou seja, um subconjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. ● Probabilidade: consiste na teoria de permitir que se calcule a chance de ocorrência de um evento em um experimento aleatório.
  • 4. Variável Aleatória - Motivação ● Resumir o resultado de um experimento aleatório através de um simples número; ● Para a grande maioria dos experimentos aleatórios o espaço amostral (descrição dos resultados possíveis) não é suficiente; ● Associar um número a cada resultado do espaço amostral se torna útil.
  • 5. Variável Aleatória - Definição Segundo MONTGOMERY: Uma variável aleatória é uma função que confere um número real a cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. Figura 1: Demonstração de uma variável aleatória.
  • 6. Variável Aleatória - Notação Segundo MONTGOMERY uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula, tal como “X”. Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido da variável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal como “x = 70 miliampères”.
  • 7. Variável Aleatória Discreta - Definição Segundo MONTGOMERY, uma variável aleatória discreta é uma varável com uma faixa finita (ou infinita contável). Ou seja, os valores possíveis de X, podem ser postos em lista como x1, x2, x3, ..., xn. OBS: Em alguns casos a variável aleatória discreta pode ser analisada como contínua (termo que será explicado mais adiante) devido a faixa de valores considerada ser muito grande.
  • 8. Variável Aleatória Discreta - Exemplo 1. E - (Experimento aleatório): Lançamento de duas moedas; 2. S - (Espaço amostral): {(cara, coroa); (coroa, cara); (cara, cara); (coroa, coroa)}; 3. X - (Variável aleatória): Definida nesse caso como o número da ocorrência de “caras” nos dois lançamentos da moeda; 4. X = {0, 1, 2}, (valores que a variável aleatória pode assumir quando o experimento for observado);
  • 9. Função de Probabilidade Descreve todos os valores que a variável pode assumir e suas probabilidades.
  • 10. Função de Probabilidade - Condições
  • 11. Função de Probabilidade - Exemplo 1 Verificando: Decida se as seguintes distribuições são distribuições de probabilidades:
  • 13. Função de Probabilidade - Exemplo 2 Construir a distribuição de probabilidade do sexo do grupo de filhos de uma famílias com 5 filhos.
  • 14. Função de Probabilidade Gráfico da distribuição de probabilidade. Média Desvio Padrão
  • 15. Função de Repartição A probabilidade que uma variável aleatória X assuma um determinado valor menor ou igual a xn é denominada de função de repartição, isto é:
  • 18. Distribuição de Probabilidade A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de X. Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é frequentemente especificada por apenas uma lista de valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um. (MONTGOMERY, 2009)
  • 19. Distribuição de Probabilidade As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como limites de frequência. Duas representações gráficas: Barras Histograma
  • 20. Variável aleatória continua Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis de X (a) (isto é o seu contradomínio) for infinito não-enumerável como, por exemplo, um intervalo, X será denominada de variável aleatória contínua. Consideremos por exemplo o experimento que consiste em selecionar, ao acaso, um fruto de tomate de uma área de produção e determinar o valor do peso do fruto em gramas. Nesse caso, dentro de um determinado grau de precisão decorrente da limitação do equipamento de mensuração, a variável aleatória X = PESO DO FRUTO pode assumir um valor qualquer em um determinado intervalo da reta real, sendo, portanto, uma variável aleatória contínua.
  • 21. Variável aleatória continua Como uma variável aleatória contínua pode assumir uma infinidade de valores em um intervalo real, ou seja, o conjunto de valores que a variável pode assumir é infinito não-enumerável, a cada um dos infinitos valores da reta real é atribuída probabilidade nula. Portanto, não faz sentido fazer uma soma das probabilidades de cada um dos valores como no caso das variáveis aleatórias discretas, mas sim fazer a soma das probabilidades dos valores sem intervalos da reta real.
  • 22. Densidade de Probabilidade Como para variável aleatória contínua a probabilidade de cada um dos infinitos valores na reta real é igual a zero, não se tem uma função de probabilidade F(x) = P (X = xi) = P (xi) como para variável aleatória discreta. Nesse caso, as probabilidades de ocorrência de cada um dos possíveis resultados do experimento aleatório são determinadas por uma função contínua f(x) denominada FUNÇÃO DENSIDADE PROBABILIDADE (f.d.p.), que satisfaça as seguintes condições:
  • 24. Densidade de Probabilidade OBS: A f(x) de uma v. a. c., função de densidade probabilidade, não é probabilidade. Somente quando a função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva da função X = a e X = b, a < b, ou seja, a probabilidade de x em intervalo entre a e b da reta real.
  • 25. Densidade de Probabilidade Exemplo: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por: Dada a função desta variável, calcule k de modo que f (x) seja uma f.d.p.
  • 26. Exemplo Resposta: Para isto, a f (x) deve atender as duas condições f(x)>=0 e Assim,
  • 27. Exemplo Portanto qualquer fruto com diâmetro entre 10 e 20 terá a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja, será igual a 1 ou 100%, e fora desse intervalo a probabilidade será sempre igual a zero.
  • 28. Variáveis aleatórias independentes Definição informal: As variáveis aleatórias X1, X2,..., Xn são independentes se, e somente se, qualquer grupo de eventos definidos pelas variáveis "individuais" são independentes. Definição: As variáveis aleatórias (X1,...,Xn) são independentes se, e somente se, para quaisquer conjuntos de números reais B1, B2,...,Bn com Bi Xi, para todo i=1,...,n temos que,
  • 29. Medidas de Posição São estatísticas que representam a localização de dados em relação a uma série de informações distribuídas em um determinado gráfico.
  • 30. Medidas de Posição Média: valor esperado de uma variável aleatória, denominada E(X), onde x é a variavel. A média de uma distribuição é também denominada uma medida de tendência central. Do ponto de vista científico, este valor corresponde ao que se espera que aconteça em média. Propriedades da Média: 1º) E(K) = K, sendo K uma constante. 2º) E(X + K) = E(X) + K 3º) E(K.X) = K.E(X) 4º) E(X + Y) = E(X) + E (Y) 5º) E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y são independentes (Cov (X,Y) = 0)
  • 31. Medidas de Posição Média para variáveis aleatórias discretas.: Dado uma v.a. X discreta, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor médio de X o valor:
  • 32. Medidas de Posição Exemplo.: Considerando o experimento: lançamento de duas moedas consecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4, P (1) = 2/4, P (2) = 1/4. Tem-se que:
  • 33. Medidas de Posição Média para variáveis aleatórias continuas.: Dado uma v.a. X continua, assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos valor médio de X o valor:
  • 34. Medidas de Posição Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por: Tem-se que:
  • 35. Medidas de Dispersão Em Estatística, dispersão (também chamada de variabilidade ou espalhamento) mostra o quão esticada ou espremida se encontra uma distribuição (teórica ou que define uma amostra), assim, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.
  • 36. Medidas de Dispersão Variância: quantifica a dispersão dos dados em torno da média, denominada V(x). Seja a v.a. x com valores numericos x1, x2, ..., xn e probabilidades associadas P(x1), P(x2), …, P(xn), definimos como variancia de X: A obtenção da variância depende se X é variável aleatória discreta ou contínua.
  • 37. Medidas de Dispersão Propriedades da Variância: 1º) V(K) = 0, sendo k uma constante. 2º) V(X + K) = V(X) + V(K) = V(X) 3º) V(K.X) = K² .V(X) 4º) V(XY) = V(X).V(Y) 5º) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov (X, Y), se X e Y são dependentes (Cov (X,Y) ≠ 0) 6º) V(X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y são independentes (Cov (X,Y) = 0)
  • 38. Medidas de Dispersão Variância para variáveis aleatórias discretas.: A variância de uma variável aleatória discreta quantifica a dispersão dos dados emtorno da média esperada. É definida por:
  • 39. Medidas de Dispersão Exemplo.: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4, P (1) = 2/4 P (2) = 1/4 Tem-se que :
  • 40. Medidas de Dispersão Variância para variáveis aleatórias continuas.: A variância de uma variável aleatória contínua quantifica a dispersão dos dadosem torno da média esperada. É definida por:
  • 41. Medidas de Dispersão Exemplo.: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por: Tem-se que:
  • 42. Medidas de Dispersão Desvio padrão: denominado DP(X), é definido como a raiz quadrada positiva da variância. É mais usada como medida de dispersão que a variância por estar na mesma unidade dos dados.
  • 43. Medidas de Dispersão Exemplo (variável aleatória discreta) .: Considerando o experimento probabilístico ou aleatório: lançamento de duas moedasconsecutivas, em que X é a variável aleatória definida como o NÚMERO DE COROAS obtidas, ou seja: X = {0, 1, 2}, cujas probabilidades de ocorrência são: P (0) = 1/4, P (1) = 2/4 P (2) = 1/4 Tem-se que :
  • 44. Medidas de Dispersão Exemplo (variável aleatória continua).: Seja X a variável diâmetro (em mm) de frutos de mamão colhidos no estado inicial, cuja função de x [f(x)] é dada por: Tem-se que:
  • 45. Referências [1] MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 4. ed Rio de Janeiro: LTC, 2009 493 p. http://pt.slideshare.net/neudesmaira/estatstica-aplicada-informtica?qid=fe20f865-3a32-4d 99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=12 http://pt.slideshare.net/cursoraizes/estatistica-aplicada-a-administracao-aula-6?qid=fe20f 865-3a32-4d99-802a-401b07cdb021&v=default&b=&from_search=6 http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php http://pt.scribd.com/doc/32600975/Apostila-5-Variaveis-aleatorias
  • 47. Referências - Imagens ● Figura 1: LOPES, João B. Estatística Básica para Agronomia. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAABumYAE/estatistica -basica-agronomia>. Acesso em: 20 mai. 2014