Aula 20Aplica»~es selecionadas da integral      code¯nida20.1       ¶           Area de uma regi~o plana                  ...
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  1. 1. Aula 20Aplica»~es selecionadas da integral code¯nida20.1 ¶ Area de uma regi~o plana a a co ³nuas no intervalo [a; b], sendo f (x) ¸ g(x),Suponhamos que f e g s~o duas fun»~es cont¶para todo x 2 [a; b]. Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µ esquerda no ponto x, uma fatia retangular avertical, de base ¢x, e altura h(x) = f (x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶rea dessa afatia ser¶ dada por ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x. a y = f(x) y ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x y = g(x) a x b x ∆x Figura 20.1. Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶rios sub-intervalos de comprimento ¢x, e asobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶rea ¢A, como acima, teremos a ¶rea entre as a aduas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamentepor X X ¢A = [f(x) ¡ g(x)]¢x 180
  2. 2. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 181onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶ ³ndices do somat¶rio. a A ¶rea entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, aser¶ dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶ dada por a a X Z b A = lim [f(x) ¡ g(x)]¢x = [f (x) ¡ g(x)] dx ¢x!0 a Sendo ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x, ¶ costume simbolizar dA = [f (x) ¡ g(x)]dx. e RbTemos ent~o A = a dA. a E costume dizer que dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶ um elemento in¯nitesimal de ¶rea, ¶ e ade altura f(x) ¡ g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶ R ³mbolode integra»~o, , prov¶m da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de soma (veja ca e Risto: oma) de um n¶mero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0, uRb a f (x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶rea, ade alturas f(x), e base dx, com x variando" de a at¶ b. e pExemplo 20.1 Calcular a ¶rea delimitada pelas curvas y = x2 e y = a x. y y=√ x 1 y = x2 0 1 x Figura 20.2. pSolu»~o. As curvas dadas se interceptam em x0 = 0 e em x1 = 1 (solu»~es de x2 = ca p co x). 2Para 0 · x · 1, temos x ¸ x . Veja ¯gura 20.2. Assim sendo, a ¶rea entre as duas curvas ¶ dada por a h e i1 R1 p R 1 1=2 3A = 0 [ x ¡ x2 ] dx = 0 [x ¡ x2 ] dx = 2 x3=2 ¡ x 3 3 = 2 3 ¡ 1 3 = 1. 3 020.2 M¶dia ou valor m¶dio de uma fun»~o e e caSeja f uma fun»~o cont¶ ca ³nua no intervalo [a; b]. Em [a; b] tomemos os n + 1 pontosigualmente espa»ados c x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn¡1 < xn = b
  3. 3. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 182isto ¶, tais que e b¡a x1 ¡ x0 = x2 ¡ x1 = : : : = xn ¡ xn¡1 = ¢x = nA m¶dia aritm¶tica dos n + 1 valores f(x0 ); f (x1 ); f (x2 ); : : : ; f(xn ), ¶ dada por e e e f(x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn ) ¹n = n+1De¯niremos a m¶dia da fun»~o f, no intervalo [a; b], como sendo e ca ¹ f = lim ¹n n!1 Mostraremos que Rb ¹ a f (x) dx f= b¡a b¡a De fato, sendo ¢x = , temos n f (x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn ) ¹n = nµ 1 + ¶ f (x0 ) 1 f (x1 )¢x + f (x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f(xn )¢x = + n + 1 ¢x n+1 µ ¶ f (x0 ) n f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x = + n+1 b¡a n+1 f (x0 ) 1 n = + ¢ (f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x) n+1 b¡a n+1Logo, como os pontos x0 (= a); x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn (= b) subdividem o intervalo [a; b] emn sub-intervalos, todos de comprimento ¢x = (b ¡ a)=n. à n ! f (x0 ) 1 n X lim ¹n = lim + ¢ lim ¢ lim f (xi )¢x n!1 n!1 n + 1 b ¡ a n!1 n + 1 n!1 i=1 Z b Z b 1 1 =0+ ¢1¢ f (x) dx = f (x) dx b¡a a b¡a aExemplo 20.2 Determine o valor m¶dio de f(x) = x2 , no intervalo a · x · b. eSolu»~o. O valor m¶dio de f em [a; b], ¶ dado por ca e e Z b ¯b µ 3 ¶ ¹= 1 2 1 x3 ¯¯ = 1 b a3 f x dx = ¡ b¡a a b ¡ a 3 ¯a b ¡ a 3 3 2 2 2 2 (b ¡ a)(a + ab + b ) a + ab + b = = 3(b ¡ a) 3
  4. 4. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 18320.3 Volume de um s¶lido o ∆ V = A(x) . ∆ x A(x) A(x) ∆x a x b x Figura 20.3.Na ¯gura 20.3, para cada x, a · x · b, um plano perpendicular a um eixo x corta ums¶lido (uma batata ?) determinando no s¶lido uma sec»~o transversal de ¶rea A(x). De o o ca ax = a at¶ x = b, s~o determinadas as ¶reas de todas todas as sec»~es transversais desse e a a cos¶lido, sendo b ¡ a o seu comprimento". Qual ¶ o seu volume ? o e Suponhamos que o intervalo [a; b] ¶ subdividido em n sub-intervalos, todos de ecomprimento ¢x = (b ¡ a)=n. Se x ¶ um ponto dessa subdivis~o, determina-se um volume de uma fatia cil¶ e a ³n-drica", de base" com ¶rea A(x) e altura" ¢x, a ¢V = V (x) ¢ ¢xUma aproxima»~o do volume do s¶lido ¶ dado pelo somat¶rio desses v¶rios volumes ca o e o acil¶ ³ndricos, X X V » = ¢V = A(x) ¢ ¢x xsendo o somat¶rio aqui escrito sem os habituais ¶ o ³ndices i, para simpli¯car a nota»~o. caQuanto mais ¯nas as fatias cil¶ ³ndricas", mais pr¶ximo o somat¶rio estar¶ do volume do o o as¶lido, sendo seu volume igual a o X X Z b V = lim ¢V = lim A(x) ¢ ¢x = A(x) dx ¢x!0 ¢x!0 aOs cientistas de ¶reas aplicadas costumam dizer que dV = A(x) ¢ dx ¶ um elemento a ein¯nitesimal de volume, constru¶ sobre um ponto x, de um cilindro" de ¶rea da base ³do aA(x) e altura (espessura) in¯nitesimal" dx. Ao somar" os in¯nitos elementos de Rb Rbvolume, temos a dV = a A(x) dx igual ao volume do s¶lido. o
  5. 5. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 184Exemplo 20.3 Qual ¶ o volume de um tronco de pir^mide, de altura h, cuja base ¶ um e a equadrado de lado a e cujo topo ¶ um quadrado de lado b ? eSolu»~o. Posicionemos um eixo x perpendicular µs duas bases. Cada ponto (altura) x, ca ademarcada nesse eixo, corresponde, no tronco de pir^mide, a uma sec»~o transversal a caquadrada, de tal modo que x = 0 corresponde µ base quadrada de lado a, e x = h acorresponde ao topo quadrado de lado b. Veja ¯gura 20.4. x b x=h b h a x=0 a Figura 20.4. Procurando uma fun»~o a¯m, f (x) = mx + n, tal que f(0) = a e f (h) = b. caencontramos f(x) = a + b¡a x. h A ¶rea da sec»~o transversal, na altura x, ¶ dada por a ca e µ ¶ b¡a 2 A(x) = a + x hO volume do tronco de pir^mide ¶ ent~o a e a Z Z µ ¶ h h b¡a 2 V = A(x) dx = a+ x dx 0 0 hFazendo u = a + b¡a x, temos du = h b¡a h dx. Al¶m disso, u = a para x = 0, e u = b epara x = h, e ent~o a Z Z ¯b h h b h u3 ¯ h hV = A(x) dx = 2 u du = ¢ ¯ = ¯ (b3 ¡ a3 ) = (a2 + ab + b2 ) 0 b¡a a b ¡ a 3 a 3(b ¡ a) 3 Note que o volume do tronco de pir^mide ¶ 1=3 do produto de sua altura pelo valor a em¶dio das ¶reas das sec»~es transversais (veja exemplo 20.2). Conforme um antigo e a copapiro, esta f¶rmula j¶ era conhecida pela antiga civiliza»~o eg¶ o a ca ³pcia do s¶culo 18 a.C. e
  6. 6. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 18520.3.1 Volume de um s¶lido de revolu»~o o caQuando rotacionamos uma regi~o do plano xy em torno do eixo x ou do eixo y, real- aizando uma volta completa, o lugar geom¶trico descrito pelos pontos da regi~o ¶ o que e a echamamos um s¶lido de revolu»~o. o ca Suponhamos que um s¶lido de revolu»~o ¶ obtido rotacionando-se, em torno do o ca eeixo x, uma regi~o plana delimitada pelas curvas y = f (x), y = g(x), e pelas retas averticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para a · x · b. Para cada x 2 [a; b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no pontox, determina no s¶lido de revolu»~o uma sec»~o transversal. Esta sec»~o transversal ¶ o ca ca ca eobtida pela revolu»~o completa, em torno do eixo x, do segmento vertical Ax Bx , sendo caAx = (x; g(x)) e Bx = (x; f(x)). Veja ¯gura 20.5 A ¶rea dessa sec»~o transversal ser¶ nada mais que a ¶rea de uma regi~o plana a ca a a a ³rculos conc^ntricos de centro (x; 0), sendo um menor, de raiocompreendida entre dois c¶ eg(x), e outro maior, de raio f (x). Como a ¶rea de um c¶ a ³rculo de raio r ¶ ¼r2 , temos eque a ¶rea A(x), da sec»~o transversal do s¶lido de revolu»~o, ¶ dada por a ca o ca e A(x) = ¼[f (x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 y y = f(x) BX f(x) y = g(x) AX g(x) a x b x x x 180° Figura 20.5. Portanto, o volume do s¶lido de revolu»~o ser¶ o ca a Z b Z b V = A(x) dx = (¼[f(x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 ) dx a a Se a regi~o plana for delimitada pelo gr¶¯co de y = f (x), pelo eixo x, e pelas a aretas x = a e x = b, teremos g(x) = 0, e ent~o a Z b V = ¼[f (x)]2 dx a
  7. 7. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 186Exemplo 20.4 Calcule o volume de uma esfera de raio a.A esfera de raio a pode ser interpretada como o s¶lido obtido pela revolu»~o da regi~o o ca a 2 2 2semi-circular x + y · a , y ¸ 0, em torno do eixo x. Uma tal regi~o ¶ delimitada p a e ppelas curvas y = a2 ¡ x2 , e y = 0, com ¡a · x · a. Assim, aqui, f (x) = a2 ¡ x2e g(x) = 0, sendo ent~o a dV = A(x) dx = ¼[f(x)]2 dx = ¼(a2 ¡ x2 ) dxo elemento de volume a integrar. Portanto, Z a · ¸a µ ¶ µ ¶ 2 2 2 x3 3 a3 3 a3 4V = ¼(a ¡ x ) dx = ¼ a x ¡ =¼ a ¡ ¡ ¼ ¡a + = ¼a3 ¡a 3 ¡a 3 3 320.4 Comprimento de uma curva a ca ³nua f , para a · x ·Consideremos agora a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o cont¶b. Para calcular o comprimento dessa curva, primeiramente particionamos o intervalo b¡a[a; b] em n sub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos e n a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bEm seguida consideramos, no gr¶¯co, os n + 1 pontos correspondentes, a A0 = (x0 ; f(x0 )); A1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; An¡1 = (xn¡1 ; f (xn¡1 )); An = (xn ; f (xn )) A n-1 y y = f(x) ∆s n A n ∆ s2 ∆ s1 A2 A0 A1 ... a x1 x2 xn-1 b x x0 xn Figura 20.6. Sendo ¢si = dist(Ai¡1 ; Ai ), para iP 1; : : : ; n, P = temos que uma aproxima»~o do ca n ncomprimento da curva ¶ dada pela soma i=1 ¢si = i=1 dist(Ai¡1 ; Ai ). e
  8. 8. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 187 Agora, p dist(Ai¡1 ; Ai ) =(xi ¡ xi¡1 )2 + (f (xi ) ¡ f (xi¡1 ))2 s µ ¶2 p ¢f = (¢x)2 + (¢f )2 = 1 + ¢ ¢x ¢xAssumindo que f ¶ diferenci¶vel no intervalo [a; b], pelo teorema do valor m¶dio, teorema e a e15.1, aula 12, ¢f f(xi ) ¡ f(xi¡1 ) = = f 0 (ci ) ¢x xi ¡ xi¡1para algum ci compreendido entre xi¡1 e xi . Assim, X n Xp n ¢si = 1 + (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x i=1 i=1 pEsta ¶ uma soma integral de (x) = 1 + (f 0 (x))2 , no intervalo [a; b], correspondente eµ subdivis~o a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b, com uma escolha" de pontos intermedi¶riosa a ac1 ; c2 ; : : : ; cn . Veja de¯ni»~o µ aula 17. ca aSupondo f 0 (x) cont¶ ³nua no intervalo [a; b], temos ent~o que o comprimento da curva ay = f(x), a · x · b, ¶ dado por e X Xp n Z bp s = lim ¢s = lim 1+ (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x = 1 + (f 0 (x))2 dx ¢x!0 ¢x!0 a i=1 A id¶ia intuitiva que d¶ a integral para o comprimento de arco ¶ ilustrada na ¯gura e a e20.7. Para um elemento in¯nitesimal de comprimento dx, corresponde uma varia»~o cain¯nitesimal em y, dy. O elemento in¯nitesimal de comprimento de arco, ds, correspon-dente µ varia»~o dx, ¶ dado pelo teorema de Pit¶goras: a ca e a s µ ¶2 p dy p ds = (dx)2 + (dy)2 = 1 + dx = 1 + (f 0 (x))2 dx dx y ds dy dx x Figura 20.7.
  9. 9. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 18820.5 ¶ Area de uma superf¶ de revolu»~o ³cie caConsideremos a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o f cont¶ a ca ³nua, a qual assumiremos 0que tem derivada f tamb¶m cont¶ e ³nua, para a · x · b. Rotacionando-se essa curva em torno do eixo x, obtemos uma superf¶ de revo- ³cielu»~o. Para o c¶lculo de sua ¶rea, primeiramente particionamos o intervalo [a; b] em n ca a a b¡asub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos a = x0 , x1 , : : : , xn¡1 , e nxn = b. Tomando-se dois pontos dessa subdivis~o, xi¡1 e xi , consideramos os pontos cor- arespondentes no gr¶¯co de f , Ai¡1 = (xi¡1 ; f (xi¡1 ) e Ai = (xi ; f (xi )). Este procedi- amento geom¶trico est¶ ilustrado na ¯gura 20.6. e a Rotacionando-se o segmento Ai¡1 Ai em torno do eixo x, obtemos um tronco decone, de geratriz lateral ¢si = Ai¡1 Ai , sendo f (xi¡1 ) e f (xi ) os raios de sua base e deseu topo. Veja ¯gura 20.8 Ai A i -1 f(x i -1 ) f(x i ) x Figura 20.8. A ¶rea da superf¶ lateral de um tronco de cone, de geratriz lateral ` e raios r e a ³cieR no topo e na base, ¶ dada por ¼(r + R)`. Assim, rotacionando o segmento Ai¡1 Ai , eem torno do eixo x, como acima, a superf¶ resultante ter¶ ¶rea ³cie aa ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢sie a ¶rea da superf¶ de revolu»~o, da curva y = f (x), a · x · b, em torno do eixo x, a ³cie caser¶ dada por a X S = lim ¢x ! 0 ¢SiAgora, como argumentado na se»~o anterior (con¯ra), ca p ¢si = Ai¡1 Ai = 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
  10. 10. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 189para algum ci entre xi¡1 e xi . Assim sendo, ¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si p = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢xAssim, X S = lim ¢Si ¢x!0 X = lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si ¢x!0 X p = lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x ¢x!0E pode ser mostrado que este ¶ltimo limite ¶ igual a u e X p Z b p lim 2¼f (ci ) ¢ 1 + [f i 0 (c )]2 ¢x = 2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx ¢x!0 a Assim, a ¶rea da superf¶ de revolu»~o resultante ¶ dada por a ³cie ca e Rb p S= a 2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx20.6 Centro de gravidade de uma ¯gura planaSe temos, em um plano ou no espa»o n pontos P1 ; P2 ; : : : ; Pn , tendo massas m1 ; m2 ; c ¹: : : ; mn , respectivamente, o centro de massa P , do sistema de n pontos, ¶ dado por e Pn i=1 mi Pi P = Pn ¹ i=1 mi ¹ou seja, P = (¹; y ), sendo x ¹ Pn Pn i=1 mi xi i=1 mi yi x = Pn ¹ e y = Pn ¹ i=1 mi i=1 mi Consideremos uma regi~o plana, delimitada pelos gr¶¯cos das fun»~es cont¶ a a co ³nuasy = f (x) e y = g(x), e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) paraa · x · b. Olhando essa regi~o como uma placa plana, de espessura desprez¶ a ³vel, suponhamosque ela possui densidade super¯cial (massa por unidade de ¶rea) ± constante. a Particionando-se o intervalo [a; b], em intervalos de comprimento ¢x = b¡a , natrav¶s dos pontos x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b, aproximamos essa regi~o por uma reuni~o e a ade ret^ngulos, como na ¯gura 20.9, sendo cada ret^ngulo de altura f (x) ¡ g(x) e base a a¢x, sendo aqui x o ponto m¶dio do intervalo [xi¡1 ; xi ]. e
  11. 11. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 190 y y = f(x) ∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x Px x i -1 xi a x b x ∆x y = g(x) Figura 20.9. Esse ret^ngulo elementar tem ¶rea ¢A = (f (x) ¡ g(x))¢x, seu centro de massa a ³ ´ a f (x)+g(x)¶ o ponto Px = x;e 2 , sendo sua massa dada por ¢m = ± ¢ ¢A = ±(f (x) ¡ g(x))¢x O centro de massa da reuni~o de todos esses ret^ngulos elementares coincide com a ao centro de massa dos pontos Px , atribuindo-se a cada ponto a massa ¢m do seuret^ngulo. a Assim, uma aproxima»~o do centro de massa da regi~o plana considerada, o centro ca ade massa dos v¶rios ret^ngulos elementares, ¶ dada por a a e P P P ^ = P ¢ Px = P¢ ¢A ¢ Px = P ¢ Px P ¢m ± ¢A ¢m ± ¢ ¢A ¢A Agora, µ ¶ f(x) + g(x) ¢A ¢ Px = ¢A ¢ x; 2 µ ¶ f (x) + g(x) = (f (x) ¡ g(x))¢x ¢ x; 2 µ ¶ f(x) + g(x) = x(f(x) ¡ g(x))¢x; (f (x) ¡ g(x)) ¢ ¢x 2 µ ¶ 1 2 2 = x(f(x) ¡ g(x))¢x; ([f (x)] ¡ [g(x)] ) ¢ ¢x 2 ¹Finalmente, o centro de massa P da regi~o plana considerada, ser¶ dado por a a P ¢A ¢ Px P = lim P = lim P ¹ ^ ¢x!0 ¢x!0 ¢A ^ ¹Portanto, passando ao limite, nas duas coordenadas de P , chegamos a P = (¹; y ), x ¹sendo
  12. 12. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 191 Rb Rb1 a x(f (x) ¡ g(x)) dx a 2 ([f (x)]2 ¡ [g(x)]2 ) dx x = Rb ¹ y= ¹ Rb a (f (x) ¡ g(x)) dx a (f (x) ¡ g(x)) dx20.7 Problemas¶Areas de regi~es planas o 1. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas y 2 = 9x e y = 3x. Resposta. 1=2. a 2. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas xy = a2 , x = a, y = 2a (a > 0) e o eixo a x. Resposta. a2 ln 2. 3. Calcule a ¶rea delimitada pela curva y = x3 , pela reta y = 8 e pelo eixo y. a Resposta. 12. 4. Calcule a ¶rea total delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x. Resposta. a 3=2. 2 2 5. Calcule a ¶rea delimitada pela elipse x2 + y2 = 1. Resposta. ¼ab. a a b b p Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»oes y = § a a2 ¡ x2 , com a a e a c~ ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen t. Na integral resultante, use a c ca f¶rmula de redu»~o de pot^ncias cos2 a = 1+cos 2a . o ca e 2 6. Calcule a ¶rea delimitada pela curva fechada (hipocicl¶ide) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . a o 3 2 Resposta. 8 ¼a . p Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»~es y = § a2=3 ¡ x2=3 , com a a e a co ¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen3 µ, com ¡¼=2 · µ · ¼=2. Na c ca 1 + cos 2a integral resultante, use as f¶rmulas de redu»~o de pot^ncias cos2 a = o ca e , 2 1 ¡ cos 2a sen2 a = . 2Valor m¶dio de uma fun»~o cont¶ e ca ³nuaDeterminar o valor m¶dio da fun»~o dada, no intervalo especi¯cado. e ca 1. f (x) = x2 , a · x · b. Resposta. f = 1 (a2 + ab + b2 ). ¹ 3 p p 2(a+b+ ab) 2. f (x) = x, a · x · b (0 · a < b). Resposta. p p . 3( a+ b) 3. f (x) = cos2 x, 0 · x · ¼=2. Resposta. 1=2.
  13. 13. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 192Volumes de s¶lidos oEm cada problema, calcule o volume do s¶lido obtido por revolu»~o, conforme descrito. o ca x2 y 2 1. A elipse + 2 = 1 gira em torno do eixo x. Resposta. 1 ¼ab2 . 3 a2 b 2. O segmento de reta da origem (0; 0) ao ponto (a; b) gira ao redor do eixo x, obtendo-se assim um cone. Resposta. 1 ¼a2 b. 3 3. A regi~o plana delimitada pela a hipocicl¶ide x2=3 + y 2=3 = a2=3 gira o y a ao redor do eixo x. Resposta. 32¼a3 =105. 2/3 2/3 2/3 x + y =a -a 0 a x -a 4. O arco de sen¶ide y = sen x, 0 · x · ¼, gira em torno do eixo x. Resposta. o 2 ¼ =2. 5. A regi~o delimitada pela par¶bola y 2 = 4x, pela reta x = 4 e pelo eixo x, gira em a a torno do eixo x. Resposta. 32¼.Comprimentos de curvasCalcule os comprimentos das curvas descritas abaixo. 1. Hipocicl¶ide (veja ¯gura) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . Resposta. 6a. o 1 p x3=2 , 2. y = a de x = 0 a x = 5a. Resposta. 335a=27. p p 3. y = ln x, de x = 3 a x = 8. Resposta. 1 + 1 ln 3 . 2 2 4. y = 1 ¡ ln(cos x), de x = 0 a x = ¼=4. Resposta. ln tg 3¼ . 8
  14. 14. »~Aplicacoes selecionadas da integral definida 193¶Areas de superf¶ ³cies de revolu»~o caEm cada problema, calcule a ¶rea da superf¶ obtida por revolu»~o da curva dada em a ³cie catorno do eixo especi¯cado. 56 1. y 2 = 4ax, 0 · x · 3a, rotacionada em torno do eixo x. Resposta. 3 ¼a2 . 2. y = 2x, 0 · x · 2, (a) rotacionada em torno do eixo x (b) rotacionada em torno do eixo y. p p Respostas. (a) 8¼ 5 (b) 4¼ 5. 3. y = sen x, 0 · x · ¼, p p rotacionada em torno do eixo x. Resposta. 4¼[ 2 + ln( 2 + 1)].Centro de massa (ou de gravidade) de uma regi~o plana aDetermine as coordenadas do centro de gravidade da regi~o plana especi¯cada. a 2 x2 1. Regi~o no primeiro ¡ a quadrante, delimitada pela elipse ¢ a2 + y2 = 1 (x ¸ 0, y ¸ 0). b 4a 4b Resposta. (¹; y ) = 3¼ ; 3¼ . x ¹ x2 2. Area delimitada pela curva y = 4 ¡ ¶ 4 e o eixo x. Resposta.(¹; y ) = (0; 8=5). x ¹ 3. Area delimitada pela par¶bola y 2 = ax e pela reta x = a. Resposta. (¹; y ) = ¶ a x ¹ (3a=5; 0).

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