1) O documento descreve o cálculo do volume de sólidos através da integral definida, considerando seções transversais perpendiculares a um eixo. 2) O volume é dado pela soma dos volumes elementares de cada seção, sendo este dado pelo produto da área da seção pelo comprimento do elemento. 3) Como exemplo, calcula-se o volume de um tronco de pirâmide através desta abordagem.

1. Aula 20
Aplica»~es selecionadas da integral
co
de¯nida
20.1 ¶
Area de uma regi~o plana
a
a co ³nuas no intervalo [a; b], sendo f (x) ¸ g(x),
Suponhamos que f e g s~o duas fun»~es cont¶
para todo x 2 [a; b].
Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µ esquerda no ponto x, uma fatia retangular
a
vertical, de base ¢x, e altura h(x) = f (x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶rea dessa
a
fatia ser¶ dada por ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x.
a
y = f(x)
y
∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x
y = g(x)
a x b x
∆x
Figura 20.1.
Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶rios sub-intervalos de comprimento ¢x, e
a
sobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶rea ¢A, como acima, teremos a ¶rea entre as
a a
duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamente
por X X
¢A = [f(x) ¡ g(x)]¢x
180

2. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 181
onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶
³ndices do somat¶rio.
a
A ¶rea entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b,
a
ser¶ dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶ dada por
a a
X Z b
A = lim [f(x) ¡ g(x)]¢x = [f (x) ¡ g(x)] dx
¢x!0 a
Sendo ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x, ¶ costume simbolizar dA = [f (x) ¡ g(x)]dx.
e
Rb
Temos ent~o A = a dA.
a
E costume dizer que dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶ um elemento in¯nitesimal de ¶rea,
¶ e a
de altura f(x) ¡ g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶
R ³mbolo
de integra»~o, , prov¶m da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de soma (veja
ca e
R
isto: oma) de um n¶mero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0,
u
Rb
a
f (x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶rea,
a
de alturas f(x), e base dx, com x variando" de a at¶ b.
e
p
Exemplo 20.1 Calcular a ¶rea delimitada pelas curvas y = x2 e y =
a x.
y
y=√ x
1
y = x2
0 1 x
Figura 20.2.
p
Solu»~o. As curvas dadas se interceptam em x0 = 0 e em x1 = 1 (solu»~es de x2 =
ca p co x).
2
Para 0 · x · 1, temos x ¸ x . Veja ¯gura 20.2.
Assim sendo, a ¶rea entre as duas curvas ¶ dada por
a h e i1
R1 p R 1 1=2 3
A = 0 [ x ¡ x2 ] dx = 0 [x ¡ x2 ] dx = 2 x3=2 ¡ x
3 3
= 2
3
¡ 1
3
= 1.
3
0
20.2 M¶dia ou valor m¶dio de uma fun»~o
e e ca
Seja f uma fun»~o cont¶
ca ³nua no intervalo [a; b]. Em [a; b] tomemos os n + 1 pontos
igualmente espa»ados
c
x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn¡1 < xn = b

3. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 182
isto ¶, tais que
e
b¡a
x1 ¡ x0 = x2 ¡ x1 = : : : = xn ¡ xn¡1 = ¢x =
n
A m¶dia aritm¶tica dos n + 1 valores f(x0 ); f (x1 ); f (x2 ); : : : ; f(xn ), ¶ dada por
e e e
f(x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn )
¹n =
n+1
De¯niremos a m¶dia da fun»~o f, no intervalo [a; b], como sendo
e ca
¹
f = lim ¹n
n!1
Mostraremos que
Rb
¹ a
f (x) dx
f=
b¡a
b¡a
De fato, sendo ¢x = , temos
n
f (x0 ) + f (x1 ) + ¢ ¢ ¢ + f (xn )
¹n =
nµ 1
+ ¶
f (x0 ) 1 f (x1 )¢x + f (x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f(xn )¢x
= +
n + 1 ¢x n+1
µ ¶
f (x0 ) n f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x
= +
n+1 b¡a n+1
f (x0 ) 1 n
= + ¢ (f (x1 )¢x + f(x2 )¢x + ¢ ¢ ¢ + f (xn )¢x)
n+1 b¡a n+1
Logo, como os pontos x0 (= a); x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn (= b) subdividem o intervalo [a; b] em
n sub-intervalos, todos de comprimento ¢x = (b ¡ a)=n.
à n !
f (x0 ) 1 n X
lim ¹n = lim + ¢ lim ¢ lim f (xi )¢x
n!1 n!1 n + 1 b ¡ a n!1 n + 1 n!1 i=1
Z b Z b
1 1
=0+ ¢1¢ f (x) dx = f (x) dx
b¡a a b¡a a
Exemplo 20.2 Determine o valor m¶dio de f(x) = x2 , no intervalo a · x · b.
e
Solu»~o. O valor m¶dio de f em [a; b], ¶ dado por
ca e e
Z b ¯b µ 3 ¶
¹= 1 2 1 x3 ¯¯ = 1 b a3
f x dx = ¡
b¡a a b ¡ a 3 ¯a b ¡ a 3 3
2 2 2 2
(b ¡ a)(a + ab + b ) a + ab + b
= =
3(b ¡ a) 3

4. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 183
20.3 Volume de um s¶lido
o
∆ V = A(x) . ∆ x
A(x) A(x)
∆x
a x b x
Figura 20.3.
Na ¯gura 20.3, para cada x, a · x · b, um plano perpendicular a um eixo x corta um
s¶lido (uma batata ?) determinando no s¶lido uma sec»~o transversal de ¶rea A(x). De
o o ca a
x = a at¶ x = b, s~o determinadas as ¶reas de todas todas as sec»~es transversais desse
e a a co
s¶lido, sendo b ¡ a o seu comprimento". Qual ¶ o seu volume ?
o e
Suponhamos que o intervalo [a; b] ¶ subdividido em n sub-intervalos, todos de
e
comprimento ¢x = (b ¡ a)=n.
Se x ¶ um ponto dessa subdivis~o, determina-se um volume de uma fatia cil¶
e a ³n-
drica", de base" com ¶rea A(x) e altura" ¢x,
a
¢V = V (x) ¢ ¢x
Uma aproxima»~o do volume do s¶lido ¶ dado pelo somat¶rio desses v¶rios volumes
ca o e o a
cil¶
³ndricos, X X
V »
= ¢V = A(x) ¢ ¢x
x
sendo o somat¶rio aqui escrito sem os habituais ¶
o ³ndices i, para simpli¯car a nota»~o.
ca
Quanto mais ¯nas as fatias cil¶
³ndricas", mais pr¶ximo o somat¶rio estar¶ do volume do
o o a
s¶lido, sendo seu volume igual a
o
X X Z b
V = lim ¢V = lim A(x) ¢ ¢x = A(x) dx
¢x!0 ¢x!0 a
Os cientistas de ¶reas aplicadas costumam dizer que dV = A(x) ¢ dx ¶ um elemento
a e
in¯nitesimal de volume, constru¶ sobre um ponto x, de um cilindro" de ¶rea da base
³do a
A(x) e altura (espessura) in¯nitesimal" dx. Ao somar" os in¯nitos elementos de
Rb Rb
volume, temos a dV = a A(x) dx igual ao volume do s¶lido.
o

5. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 184
Exemplo 20.3 Qual ¶ o volume de um tronco de pir^mide, de altura h, cuja base ¶ um
e a e
quadrado de lado a e cujo topo ¶ um quadrado de lado b ?
e
Solu»~o. Posicionemos um eixo x perpendicular µs duas bases. Cada ponto (altura) x,
ca a
demarcada nesse eixo, corresponde, no tronco de pir^mide, a uma sec»~o transversal
a ca
quadrada, de tal modo que x = 0 corresponde µ base quadrada de lado a, e x = h
a
corresponde ao topo quadrado de lado b. Veja ¯gura 20.4.
x
b x=h
b
h
a
x=0
a
Figura 20.4.
Procurando uma fun»~o a¯m, f (x) = mx + n, tal que f(0) = a e f (h) = b.
ca
encontramos f(x) = a + b¡a x.
h
A ¶rea da sec»~o transversal, na altura x, ¶ dada por
a ca e
µ ¶
b¡a 2
A(x) = a + x
h
O volume do tronco de pir^mide ¶ ent~o
a e a
Z Z µ ¶
h h
b¡a 2
V = A(x) dx = a+ x dx
0 0 h
Fazendo u = a + b¡a x, temos du =
h
b¡a
h
dx. Al¶m disso, u = a para x = 0, e u = b
e
para x = h, e ent~o
a
Z Z ¯b
h
h b
h u3 ¯ h h
V = A(x) dx = 2
u du = ¢ ¯ =
¯ (b3 ¡ a3 ) = (a2 + ab + b2 )
0 b¡a a b ¡ a 3 a 3(b ¡ a) 3
Note que o volume do tronco de pir^mide ¶ 1=3 do produto de sua altura pelo valor
a e
m¶dio das ¶reas das sec»~es transversais (veja exemplo 20.2). Conforme um antigo
e a co
papiro, esta f¶rmula j¶ era conhecida pela antiga civiliza»~o eg¶
o a ca ³pcia do s¶culo 18 a.C.
e

6. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 185
20.3.1 Volume de um s¶lido de revolu»~o
o ca
Quando rotacionamos uma regi~o do plano xy em torno do eixo x ou do eixo y, real-
a
izando uma volta completa, o lugar geom¶trico descrito pelos pontos da regi~o ¶ o que
e a e
chamamos um s¶lido de revolu»~o.
o ca
Suponhamos que um s¶lido de revolu»~o ¶ obtido rotacionando-se, em torno do
o ca e
eixo x, uma regi~o plana delimitada pelas curvas y = f (x), y = g(x), e pelas retas
a
verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para a · x · b.
Para cada x 2 [a; b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto
x, determina no s¶lido de revolu»~o uma sec»~o transversal. Esta sec»~o transversal ¶
o ca ca ca e
obtida pela revolu»~o completa, em torno do eixo x, do segmento vertical Ax Bx , sendo
ca
Ax = (x; g(x)) e Bx = (x; f(x)). Veja ¯gura 20.5
A ¶rea dessa sec»~o transversal ser¶ nada mais que a ¶rea de uma regi~o plana
a ca a a a
³rculos conc^ntricos de centro (x; 0), sendo um menor, de raio
compreendida entre dois c¶ e
g(x), e outro maior, de raio f (x). Como a ¶rea de um c¶
a ³rculo de raio r ¶ ¼r2 , temos
e
que a ¶rea A(x), da sec»~o transversal do s¶lido de revolu»~o, ¶ dada por
a ca o ca e
A(x) = ¼[f (x)]2 ¡ ¼[g(x)]2
y
y = f(x) BX
f(x)
y = g(x)
AX
g(x)
a x b x x x
180°
Figura 20.5.
Portanto, o volume do s¶lido de revolu»~o ser¶
o ca a
Z b Z b
V = A(x) dx = (¼[f(x)]2 ¡ ¼[g(x)]2 ) dx
a a
Se a regi~o plana for delimitada pelo gr¶¯co de y = f (x), pelo eixo x, e pelas
a a
retas x = a e x = b, teremos g(x) = 0, e ent~o
a
Z b
V = ¼[f (x)]2 dx
a

7. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 186
Exemplo 20.4 Calcule o volume de uma esfera de raio a.
A esfera de raio a pode ser interpretada como o s¶lido obtido pela revolu»~o da regi~o
o ca a
2 2 2
semi-circular x + y · a , y ¸ 0, em torno do eixo x. Uma tal regi~o ¶ delimitada
p a e p
pelas curvas y = a2 ¡ x2 , e y = 0, com ¡a · x · a. Assim, aqui, f (x) = a2 ¡ x2
e g(x) = 0, sendo ent~o
a
dV = A(x) dx = ¼[f(x)]2 dx = ¼(a2 ¡ x2 ) dx
o elemento de volume a integrar.
Portanto,
Z a · ¸a µ ¶ µ ¶
2 2 2 x3 3 a3 3 a3 4
V = ¼(a ¡ x ) dx = ¼ a x ¡ =¼ a ¡ ¡ ¼ ¡a + = ¼a3
¡a 3 ¡a 3 3 3
20.4 Comprimento de uma curva
a ca ³nua f , para a · x ·
Consideremos agora a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o cont¶
b.
Para calcular o comprimento dessa curva, primeiramente particionamos o intervalo
b¡a
[a; b] em n sub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos
e
n
a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b
Em seguida consideramos, no gr¶¯co, os n + 1 pontos correspondentes,
a
A0 = (x0 ; f(x0 )); A1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; An¡1 = (xn¡1 ; f (xn¡1 )); An = (xn ; f (xn ))
A n-1
y y = f(x) ∆s n A n
∆ s2
∆ s1 A2
A0 A1 ...
a x1 x2 xn-1 b x
x0 xn
Figura 20.6.
Sendo ¢si = dist(Ai¡1 ; Ai ), para iP 1; : : : ; n, P
= temos que uma aproxima»~o do
ca
n n
comprimento da curva ¶ dada pela soma i=1 ¢si = i=1 dist(Ai¡1 ; Ai ).
e

8. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 187
Agora,
p
dist(Ai¡1 ; Ai ) =(xi ¡ xi¡1 )2 + (f (xi ) ¡ f (xi¡1 ))2
s µ ¶2
p ¢f
= (¢x)2 + (¢f )2 = 1 + ¢ ¢x
¢x
Assumindo que f ¶ diferenci¶vel no intervalo [a; b], pelo teorema do valor m¶dio, teorema
e a e
15.1, aula 12,
¢f f(xi ) ¡ f(xi¡1 )
= = f 0 (ci )
¢x xi ¡ xi¡1
para algum ci compreendido entre xi¡1 e xi . Assim,
X
n Xp
n
¢si = 1 + (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x
i=1 i=1
p
Esta ¶ uma soma integral de '(x) = 1 + (f 0 (x))2 , no intervalo [a; b], correspondente
e
µ subdivis~o a = x0 ; x1 ; : : : ; xn¡1 ; xn = b, com uma escolha" de pontos intermedi¶rios
a a a
c1 ; c2 ; : : : ; cn . Veja de¯ni»~o µ aula 17.
ca a
Supondo f 0 (x) cont¶
³nua no intervalo [a; b], temos ent~o que o comprimento da curva
a
y = f(x), a · x · b, ¶ dado por
e
X Xp
n Z bp
s = lim ¢s = lim 1+ (f 0 (ci ))2 ¢ ¢x = 1 + (f 0 (x))2 dx
¢x!0 ¢x!0 a
i=1
A id¶ia intuitiva que d¶ a integral para o comprimento de arco ¶ ilustrada na ¯gura
e a e
20.7. Para um elemento in¯nitesimal de comprimento dx, corresponde uma varia»~o ca
in¯nitesimal em y, dy. O elemento in¯nitesimal de comprimento de arco, ds, correspon-
dente µ varia»~o dx, ¶ dado pelo teorema de Pit¶goras:
a ca e a
s µ ¶2
p dy p
ds = (dx)2 + (dy)2 = 1 + dx = 1 + (f 0 (x))2 dx
dx
y
ds
dy
dx
x
Figura 20.7.

9. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 188
20.5 ¶
Area de uma superf¶ de revolu»~o
³cie ca
Consideremos a curva y = f (x), gr¶¯co de uma fun»~o f cont¶
a ca ³nua, a qual assumiremos
0
que tem derivada f tamb¶m cont¶
e ³nua, para a · x · b.
Rotacionando-se essa curva em torno do eixo x, obtemos uma superf¶ de revo-
³cie
lu»~o. Para o c¶lculo de sua ¶rea, primeiramente particionamos o intervalo [a; b] em n
ca a a
b¡a
sub-intervalos de comprimento ¢x = , atrav¶s de pontos a = x0 , x1 , : : : , xn¡1 ,
e
n
xn = b.
Tomando-se dois pontos dessa subdivis~o, xi¡1 e xi , consideramos os pontos cor-
a
respondentes no gr¶¯co de f , Ai¡1 = (xi¡1 ; f (xi¡1 ) e Ai = (xi ; f (xi )). Este procedi-
a
mento geom¶trico est¶ ilustrado na ¯gura 20.6.
e a
Rotacionando-se o segmento Ai¡1 Ai em torno do eixo x, obtemos um tronco de
cone, de geratriz lateral ¢si = Ai¡1 Ai , sendo f (xi¡1 ) e f (xi ) os raios de sua base e de
seu topo. Veja ¯gura 20.8
Ai
A i -1
f(x i -1 ) f(x i )
x
Figura 20.8.
A ¶rea da superf¶ lateral de um tronco de cone, de geratriz lateral ` e raios r e
a ³cie
R no topo e na base, ¶ dada por ¼(r + R)`. Assim, rotacionando o segmento Ai¡1 Ai ,
e
em torno do eixo x, como acima, a superf¶ resultante ter¶ ¶rea
³cie aa
¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si
e a ¶rea da superf¶ de revolu»~o, da curva y = f (x), a · x · b, em torno do eixo x,
a ³cie ca
ser¶ dada por
a X
S = lim ¢x ! 0 ¢Si
Agora, como argumentado na se»~o anterior (con¯ra),
ca
p
¢si = Ai¡1 Ai = 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x

10. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 189
para algum ci entre xi¡1 e xi . Assim sendo,
¢Si = ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si
p
= ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
Assim,
X
S = lim ¢Si
¢x!0
X
= lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ ¢si
¢x!0
X p
= lim ¼[f(xi¡1 ) + f (xi )] ¢ 1 + [f 0 (ci )]2 ¢x
¢x!0
E pode ser mostrado que este ¶ltimo limite ¶ igual a
u e
X p Z b p
lim 2¼f (ci ) ¢ 1 + [f i
0 (c )]2 ¢x = 2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
¢x!0 a
Assim, a ¶rea da superf¶ de revolu»~o resultante ¶ dada por
a ³cie ca e
Rb p
S= a
2¼f (x) 1 + (f 0 (x))2 dx
20.6 Centro de gravidade de uma ¯gura plana
Se temos, em um plano ou no espa»o n pontos P1 ; P2 ; : : : ; Pn , tendo massas m1 ; m2 ;
c
¹
: : : ; mn , respectivamente, o centro de massa P , do sistema de n pontos, ¶ dado por
e
Pn
i=1 mi Pi
P = Pn
¹
i=1 mi
¹
ou seja, P = (¹; y ), sendo
x ¹
Pn Pn
i=1 mi xi i=1 mi yi
x = Pn
¹ e y = Pn
¹
i=1 mi i=1 mi
Consideremos uma regi~o plana, delimitada pelos gr¶¯cos das fun»~es cont¶
a a co ³nuas
y = f (x) e y = g(x), e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f (x) ¸ g(x) para
a · x · b.
Olhando essa regi~o como uma placa plana, de espessura desprez¶
a ³vel, suponhamos
que ela possui densidade super¯cial (massa por unidade de ¶rea) ± constante.
a
Particionando-se o intervalo [a; b], em intervalos de comprimento ¢x = b¡a , n
atrav¶s dos pontos x0 = a; x1 ; : : : ; xn = b, aproximamos essa regi~o por uma reuni~o
e a a
de ret^ngulos, como na ¯gura 20.9, sendo cada ret^ngulo de altura f (x) ¡ g(x) e base
a a
¢x, sendo aqui x o ponto m¶dio do intervalo [xi¡1 ; xi ].
e

11. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 190
y y = f(x)
∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x
Px
x i -1 xi
a x b x
∆x
y = g(x)
Figura 20.9.
Esse ret^ngulo elementar tem ¶rea ¢A = (f (x) ¡ g(x))¢x, seu centro de massa
a ³ ´ a
f (x)+g(x)
¶ o ponto Px = x;
e 2
, sendo sua massa dada por
¢m = ± ¢ ¢A = ±(f (x) ¡ g(x))¢x
O centro de massa da reuni~o de todos esses ret^ngulos elementares coincide com
a a
o centro de massa dos pontos Px , atribuindo-se a cada ponto a massa ¢m do seu
ret^ngulo.
a
Assim, uma aproxima»~o do centro de massa da regi~o plana considerada, o centro
ca a
de massa dos v¶rios ret^ngulos elementares, ¶ dada por
a a e
P P P
^ = P ¢ Px = P¢ ¢A ¢ Px = P ¢ Px
P
¢m ± ¢A
¢m ± ¢ ¢A ¢A
Agora,
µ ¶
f(x) + g(x)
¢A ¢ Px = ¢A ¢ x;
2
µ ¶
f (x) + g(x)
= (f (x) ¡ g(x))¢x ¢ x;
2
µ ¶
f(x) + g(x)
= x(f(x) ¡ g(x))¢x; (f (x) ¡ g(x)) ¢ ¢x
2
µ ¶
1 2 2
= x(f(x) ¡ g(x))¢x; ([f (x)] ¡ [g(x)] ) ¢ ¢x
2
¹
Finalmente, o centro de massa P da regi~o plana considerada, ser¶ dado por
a a
P
¢A ¢ Px
P = lim P = lim P
¹ ^
¢x!0 ¢x!0 ¢A
^ ¹
Portanto, passando ao limite, nas duas coordenadas de P , chegamos a P = (¹; y ),
x ¹
sendo

12. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 191
Rb Rb1
a
x(f (x) ¡ g(x)) dx a 2
([f (x)]2 ¡ [g(x)]2 ) dx
x = Rb
¹ y=
¹ Rb
a
(f (x) ¡ g(x)) dx a
(f (x) ¡ g(x)) dx
20.7 Problemas
¶
Areas de regi~es planas
o
1. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas y 2 = 9x e y = 3x. Resposta. 1=2.
a
2. Calcule a ¶rea delimitada pelas curvas xy = a2 , x = a, y = 2a (a > 0) e o eixo
a
x. Resposta. a2 ln 2.
3. Calcule a ¶rea delimitada pela curva y = x3 , pela reta y = 8 e pelo eixo y.
a
Resposta. 12.
4. Calcule a ¶rea total delimitada pelas curvas y = x3 , y = 2x e y = x. Resposta.
a
3=2.
2 2
5. Calcule a ¶rea delimitada pela elipse x2 + y2 = 1. Resposta. ¼ab.
a a b
b
p
Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»oes y = § a a2 ¡ x2 , com
a a e a c~
¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen t. Na integral resultante, use a
c ca
f¶rmula de redu»~o de pot^ncias cos2 a = 1+cos 2a .
o ca e 2
6. Calcule a ¶rea delimitada pela curva fechada (hipocicl¶ide) x2=3 + y 2=3 = a2=3 .
a o
3 2
Resposta. 8 ¼a . p
Sugest~o. A ¶rea ¶ delimitada pelos gr¶¯cos de fun»~es y = § a2=3 ¡ x2=3 , com
a a e a co
¡a · x · a. Fa»a a substitui»~o x = a sen3 µ, com ¡¼=2 · µ · ¼=2. Na
c ca
1 + cos 2a
integral resultante, use as f¶rmulas de redu»~o de pot^ncias cos2 a =
o ca e ,
2
1 ¡ cos 2a
sen2 a = .
2
Valor m¶dio de uma fun»~o cont¶
e ca ³nua
Determinar o valor m¶dio da fun»~o dada, no intervalo especi¯cado.
e ca
1. f (x) = x2 , a · x · b. Resposta. f = 1 (a2 + ab + b2 ).
¹
3
p p
2(a+b+ ab)
2. f (x) = x, a · x · b (0 · a < b). Resposta. p p .
3( a+ b)
3. f (x) = cos2 x, 0 · x · ¼=2. Resposta. 1=2.

13. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 192
Volumes de s¶lidos
o
Em cada problema, calcule o volume do s¶lido obtido por revolu»~o, conforme descrito.
o ca
x2 y 2
1. A elipse + 2 = 1 gira em torno do eixo x. Resposta. 1 ¼ab2 .
3
a2 b
2. O segmento de reta da origem (0; 0) ao ponto (a; b) gira ao redor do eixo x,
obtendo-se assim um cone. Resposta. 1 ¼a2 b.
3
3. A regi~o plana delimitada pela
a
hipocicl¶ide x2=3 + y 2=3 = a2=3 gira
o y
a
ao redor do eixo x.
Resposta. 32¼a3 =105.
2/3 2/3 2/3
x + y =a
-a 0 a x
-a
4. O arco de sen¶ide y = sen x, 0 · x · ¼, gira em torno do eixo x. Resposta.
o
2
¼ =2.
5. A regi~o delimitada pela par¶bola y 2 = 4x, pela reta x = 4 e pelo eixo x, gira em
a a
torno do eixo x. Resposta. 32¼.
Comprimentos de curvas
Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo.
1. Hipocicl¶ide (veja ¯gura) x2=3 + y 2=3 = a2=3 . Resposta. 6a.
o
1
p x3=2 ,
2. y = a
de x = 0 a x = 5a. Resposta. 335a=27.
p p
3. y = ln x, de x = 3 a x = 8. Resposta. 1 + 1 ln 3 .
2 2
4. y = 1 ¡ ln(cos x), de x = 0 a x = ¼=4. Resposta. ln tg 3¼ .
8

14. »~
Aplicacoes selecionadas da integral definida 193
¶
Areas de superf¶
³cies de revolu»~o
ca
Em cada problema, calcule a ¶rea da superf¶ obtida por revolu»~o da curva dada em
a ³cie ca
torno do eixo especi¯cado.
56
1. y 2 = 4ax, 0 · x · 3a, rotacionada em torno do eixo x. Resposta. 3
¼a2 .
2. y = 2x, 0 · x · 2,
(a) rotacionada em torno do eixo x (b) rotacionada em torno do eixo y.
p p
Respostas. (a) 8¼ 5 (b) 4¼ 5.
3. y = sen x, 0 · x · ¼, p
p rotacionada em torno do eixo x.
Resposta. 4¼[ 2 + ln( 2 + 1)].
Centro de massa (ou de gravidade) de uma regi~o plana
a
Determine as coordenadas do centro de gravidade da regi~o plana especi¯cada.
a
2
x2
1. Regi~o no primeiro ¡
a quadrante, delimitada pela elipse
¢ a2
+ y2 = 1 (x ¸ 0, y ¸ 0).
b
4a 4b
Resposta. (¹; y ) = 3¼ ; 3¼ .
x ¹
x2
2. Area delimitada pela curva y = 4 ¡
¶
4
e o eixo x. Resposta.(¹; y ) = (0; 8=5).
x ¹
3. Area delimitada pela par¶bola y 2 = ax e pela reta x = a. Resposta. (¹; y ) =
¶ a x ¹
(3a=5; 0).