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Notas de aula --- Parte II




      FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS




Escritas pelo Professor Wilson Canesin


Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade
Braz Cubas
Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

     Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade,
depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual
representar estas relações como funções de várias variáveis.
     Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de
produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número
de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A
representação funcional dessa relação é

                   P = f( L, K)

      O mesmo                     conceito se estende para qualquer número de
variáveis.

1.2 – Funções de duas variáveis
       Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-
se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um
único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio
da função.                                              z
Assim,                                                    f(x,y)
D é o domínio da função em R2 ,
f é a função
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).                   y
                                                x                                       z
                                                                              (x,y) D

Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex.1-  se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10
Ex.2-       f(x,y) = (3x+y3)1/2      f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32

Domínio das funções de duas variáveis
      O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio
de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal
que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em
valores finitos e reais para f(x,y).

Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y − x
A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu
domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }.



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Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

                                            x2
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) =         , a função é finita
                                          2x − y
quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais
que,                                        z

                                                                           D

 D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }.                                                    y
                                                            x                   z
                                                                       D




                                             x2
Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) =           , a função é finita
                                            3x − y
quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,

                            D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }.


1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis

     Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no
plano x,y e y=f(x).
     Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma
função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
                                                                                    X     Y
                   Z
                                                       A superfície é obtida        0     0
                                                       para cada par x,y ,          0     1
                                                       fixando um valor de          0     2
                                                       x e variando y, em           0     3
                                                                                    1     0
                                                       seguida fixa um 2o
                                                                                    1     1
                                                       valor de x e varia y ,       1     2
                                                       depois fixa um 3o x e        1     3
                                                  Y    varia y ,etc., até           2     0
                                                       variar x e y em todo         2     1
                                                       o domínio.                   2     2
 X                                                                                  2     3
                                                                                    3     0
                                                                                    3     1
                                                                                    ...   ...




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Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

 Exemplos de funções de 2 variáveis:
                                                                      Z
 Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5
                                                                     5

   A superfície é um
   plano infinito, paralelo                                                                 Y
   a x,y e passando por
   z=5                                                       X

 Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser
 escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para
 achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :
                                                                               Z
       a) x =0 e y =0 → z = 6
       b) x =0 e z = 0 → y = 2                                                      (0,0,6)
       c) y =0 e z = 0 → x = 3

     Portanto, o gráfico de f no
                                                             X
     plano é ⇒                                                                                (0,2,0)
                                                                  (3,0,0)
                                                                                        Y




                                                                    Ex. 4 - A função é
Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2
                                                                     z = f(x,y) = 1 − x − y
                                                                                              2     2




            Z
                        A superfície é                                    Z
                        um parabolóide                                             A superfície gerada
                        de revolução.                                              é uma semi-esfera
                                                                                   de centro na origem.

                                                                                            Y
                              Y
                                                        X
   X




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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

       O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor
(x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
                   lim         f ( x, y )   = L
                   ( x, y ) → ( x 0 , y 0 )
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a
função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um
intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite
existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar
a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
       Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas
restrições.

Ex. 1          f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y

Ex.2           f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6,                contínua ∀ x , y

                      x2 + y2
Ex.3         f(x,y) =                       é contínua            ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x
                       x y −1
                        y


                                              D



                                                    X

                            x+ y
Ex. 4          f(x,y) =                   é contínua se              ∀x≠ y
                            x− y

                                y
                                                        y=x


                                          D
                                                           X




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Ex.5  f(x,y) = ln(x-y)                      é contínua ∀x,y tal que x - y > 0
ou y > x
               y
                        y>x




                                                  x




Ex.6        f(x,y) = 1 − x 2 − y 2            é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1

                   y
                                                                   O domínio é uma
                                                                   circunferência de
                            D                                      centro na origem
                                                  x                e de raio r ≤ 1




Ex.7 f(x,y) = y − 1 / x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x
Que resulta no gráfico:




                                        y


                                                                        x




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1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis

      A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a
mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é
que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa
enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) ,
sua derivada em relação a x é

          ∆f = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )             incremento da função

          ∆f   f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y )
             =                                        taxa de variação da função
          ∆x              ∆x

                lim             ∆f            ∂ f
                ∆x→0                      =       = f x ( x, y )          Derivada parcial em x
                                ∆x            ∂ x


      Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a
 derivada parcial em relação a y é


              l i m ∆f             ∂ f
                               =       = f y ( x, y )         Derivada parcial em y
              ∆y → 0 ∆x            ∂y


1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial

      Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da
reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de
duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta
tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela
ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x
constante.
                     z
                                                                     Assim,

                                                                     tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x
                                     y0
                                                             y        tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y
        x0                                        β
x
         α


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                           TABELA DE DERIVADAS                       (adaptada p/derivadas parciais)

      Número               Função f = f(x,y)                         Derivada       fs = ∂f/∂s , s = x,y

      1                    f=k        ( k = constante)                 fs = 0 (derivada de 1 const.)

      2                    f= x         ou        f=y                 fs = 1             s = x ou y

      3                    f = un         ; u = f(x,y)               Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)

      4                    f = n um                                               m us
                                                                     Ds n u m =          n
                                                                                             um
                                                                                  nu

      5                    f = ln u                                               us
                                                                     Ds ln u =
                                                                                  u

      6                    f = lga u                                                us
                                                                     Ds lga u =
                                                                                  u ln a

      7                    f = au                                    Ds au = au lna us

      8                    f = eu                                    D s e u = eu u s

      9                    f =uv                                      fs = v us + u vs
                                                                                    2
      10                   f=u/v              , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v

      11                   f = senu                                  fs = cosu .us

      12                   f = cosu                                  fs = -senu .us

      13                   f = tanu                                  fs = sec2u .us

      14                   f = secu                                  fs = secu.tanu.us

      15                   f = cscu                                  fs = -cscu.cotu.us

      16                   f = cotu                                  fs = -cotu.cscu.us




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1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais

     A derivada parcial em relação a "x" , considera y como
constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y"
considera x como constante.

fx = ∂ f / ∂ x → y=constante

fy = ∂ f / ∂ y → x=constante

Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2

fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2                        fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y


Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2

fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x                      fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y


Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 )

f=u/v             , u =x         e     v = x 2 + y2         fs = [ v us – u vs ]/v2

fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2

fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2

Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da
superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).
Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.

          ∂z   ∂              ∂
             =   (4 x 2 y ) −    (x y3 ) = 8 x y − y 3
          ∂x ∂x               ∂x

mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se

                      ∂ f
                          (3,2) = 40 ⇒ α = tan (40) = 88,57°
                                              -1
         tanα =
                      ∂x
Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície
z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).

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 ∂ f
     = 3x2 + 2y
 ∂x
        ∂ f
            (1,1) = 5 ⇒ α = tan (5) = 78,69°
                               -1
tanα =
        ∂x

Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

∂   f   ∂ (u.v)   ∂u         ∂v
      =         =    .v + u.    = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx
∂   x     ∂x      ∂x         ∂x
∂   f   ∂ (u.v)   ∂u         ∂v
      =         =    .v + u.    = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx
∂   y    ∂y       ∂y         ∂y



1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

      A condição para que uma função seja diferenciável é que suas
derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua
diferencial total é :
                   ∂ f      ∂ f
             dz=       dx +     dy
                   ∂x       ∂y
Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

          ∂ f                                         ∂ f
              = 9x2y2 – 2y3 +y                    e       = 6x3y – 6xy2 + x
          ∂x                                          ∂y
assim, a diferencial da função é

         df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy

A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais
forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n
variáveis é:

              ∂F        ∂F                ∂F
                                                                 n
                                                                       ∂F
         dF =
              ∂x1
                  dx1 +
                        ∂x 2
                             dx2 +......+
                                          ∂x n
                                               dx n =           ∑ ∂x
                                                                i =1
                                                                            dxi
                                                                        i




Ex.2-Calcule a diferencial da função                            F(x,y,z) =2x+3xy-2zy

         Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y


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         dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz


1.8 – Derivada de funções compostas

      Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A
derivada desta função em relação a “t” é

          d f ∂ f d x                     ∂ f d y
             =                      +
          dt   ∂x dt                      ∂y dt

Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 ,
onde x(t) = et e y(t) = t3 .

    a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5

         E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

    b) Calcula-se pelas derivadas parciais

          ∂ f                ∂ f                   d x   t        d y     2
              = 2x ;             =3;                   =e ;           = 3t
          ∂x                 ∂y                    dt             dt

         Assim
          dF
             = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2
          dt
Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),
x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é
dada pela regra da cadeia

          df   n
                  ∂ f d xi   ∂ f d x1 ∂ f d x 2         ∂ f d xn
             =∑            =         +          + ... +
          dt i =1 ∂ x d t    ∂ x1 d t ∂ x 2 d t         ∂ xn d t



Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2

fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 ,                       dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

d f
    = 2. cos t + 3.e t − 4t
dt
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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

    1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3
    2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1
    3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3


1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

      Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida
para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável
são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma
implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.
      A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a
x é
          ∂f dx ∂f dy                                       ∂f   ∂f dy
               +      =0                     →                 +       =0
          ∂x dx ∂y dx                                       ∂x ∂y dx

                                             ∂    f
         ou,                 dy              ∂    x           f
                                    = −               = −         x

                             dx              ∂    f           f   y
                                             ∂    y



Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a
fórmula acima,

                 ∂f
             = − ∂x = −
          dy             4x
          dx     ∂f     15 y 2
                 ∂y

Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0

                 ∂f
             = − ∂x =
          dy             6y
          dx     ∂f   8 y − 6x
                 ∂y

      Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e
diferenciando, e após algumas considerações teremos

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          ∂z    ∂ f ∂x    f                               ∂z    ∂ f ∂y    fy
             =−        =− x                       e          =−        =−
          ∂x    ∂ f ∂z    fz                              ∂y    ∂ f ∂z    fz


Ex.3 - Achar as derivadas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , da função x2+y3- z=0.
Solução;

∂z    ∂ f ∂ x − 2x
   =−        =       = 2x
∂x    ∂ f ∂z    −1
∂z    ∂ f ∂ y − 3x 2
   =−        =       = 3y2
∂y    ∂ f ∂z   −1

Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂ z ∂ x e
∂ z ∂ y , nas expressões abaixo

1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0

2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0


1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem

      Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas
parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas
mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,
que são representadas por

                   ∂2 f                ∂2 f            ∂2 f            ∂2 f
          f xx =          , f xy =           , f yx =        , f yy =
                   ∂ x2               ∂ x ∂y          ∂ y ∂x          ∂ y ∂x



Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas
cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx .


Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy

         fx =∂f /∂x = 8x – 6y                         e       fy = ∂f /∂y = 6y – 6x

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                     ∂2 f                                                    ∂2 f
            f xx =        =8 ;                   ;                f yx =           = -6
                     ∂ x2                                                   ∂ y ∂x
                      ∂2 f                                                 ∂2 f
            f xy   =        = -6                     ;           f yy   =        = -6
                     ∂ x ∂y                                               ∂ y ∂x

EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y

fx =∂f /∂x = 2e2x+5y                     fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y

           ∂2 f                                             ∂2 f
 f xx    =      = 4e2x+5y            ;        f yx       =        = 10e2x+5y
           ∂x 2
                                                           ∂ y ∂x

            ∂2 f                                             ∂2 f
  f xy   =        = 10e2x+5y ;                  f yy      =        = 25e2x+5y
           ∂ x ∂y                                           ∂ y ∂x



         Note que fxy = fyx




EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)

                        2x                                                    2y     U
fx =∂f /∂x =                         ;               fy = ∂f /∂y =                 =
                      x + y2
                       2
                                                                            x +y
                                                                             2   2
                                                                                     V

           ∂2 f   V . U x − U . Vx             2( y 2 − x 2 )                              ∂2 f     − 4 xy
 f xx =         =                         =                             ;        f yx =          = 2 2 2
           ∂x 2
                         V2                    (x2 + y 2 )2                               ∂ y ∂x  (x + y )

             ∂2 f    V . U y − U . Vy    − 4 xy                                            ∂2 f    2( x 2 − y 2 )
  f xy =           =                  = 2 2 2                           ;        f yy =          =
            ∂ x ∂y          V 2
                                       (x + y )                                           ∂ y ∂x   (x2 + y 2 )2




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1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis
e são representadas da mesma forma.
Exemplos:

    1)        f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x

              fx = 2x+z2 ;                            fy = 3y2     ;              fz = 2zx

    2)        f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )
                           2                                             3
              fx =                                ;        fy =
                   2x + 3y − z 2 + t 2                          2x + 3 y − z 2 + t 2
                         − 2z                                       2t
              fz =                                    ; ft =
                   2x + 3y − z 2 + t 2                       2x + 3y − z 2 + t 2

Exercícios propostos - Derivar as funções:
  1)    f(x,y,z) = 3x+5y-6z
  2)    f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz
                    x+ y
  3)    f(x,y,z) =
                    x−z
    4)        f(x,y,z) = xyz
    5)        f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3
    6)        f(x,y,z,t) = 2x-3zt
    7)        f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)


1.12 – Derivadas de Ordem Superior

Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de
ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.
fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.

Ex.1 –         f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3

fx = 2x + 4y2 ; fxx =2                   ;    fxy = 8y ;            fxz = 0

fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ;                      fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2

fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z

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Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função :
 f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us
                                              ∂ −1
fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx =                               -2
                                                 ( x ) = -1.x = -1/x
                                                                     2
                                              ∂x
fxy = 0 ;             fxz = 0

                                                                    ∂
fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ;                 fyx = 0 ;        fyy =                     -2
                                                                       (2 y −1 ) = -2y = -2 / y
                                                                                                2
                                                                    ∂y
        ∂
fyz =      (2 y −1 ) = 0
        ∂z

fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ;                      fzy = 0 ; fzz = -3 /z2


EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)

1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz                      Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y
                                                   fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3
                                                   fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4
                                                   fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0

                    x+ y
2) f(x,y,z) =                  ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2
                    y−z
fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;
fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3


3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2

;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z)

;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)

; fzz= 18(x+2y+3z) .
4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2

fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;

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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;

fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 .


5)     f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)

fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;

fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;

fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2;

fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2


6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;

fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);

fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)
fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2)
fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)
fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;
fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)

                x           2
                                + y2 + z3                    x2 + y2 + z3                  x2 + y2 + z3                   x2 + y2 + z3
7) f(x,y,z) = e                             ; fx=2x e                       ; fy=2y e                     ; fz=3z2 e

          x2 + y2 + z3               x2 + y2 + z3                      x2 + y2 + z3                        x2 + y2 + z3
fxx=2 e                  +4x2 e                     ; fxy=4xy e                       ; fxz=6xz2 e
                          x2 + y2 + z3                x2 + y2 + z3                          x2 + y2 + z3
fyx=fxy ; fyy=2 e                        + 4y2 e                     ; fyz= 6yz2 e
                                              x2 + y2 + z3                  x2 + y2 + z3
fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z e                                +9z4 e




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1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis

      Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a
da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar
seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma
variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos
extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo
são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano
calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir.

                                       f xx       f xy
                   H(x0,y0 ) = f                  f yy
                                 yx                      ( x0 , y 0 )

Assim ,

Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e


a)     H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo.

b)     H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo.

c)     H(x0,y0 )<0               então (x0,y0) é um ponto de sela.

d)     H(x0,y0 )= 0            o teste é inconclusivo.




                                     Q
                                                                 Os pontos P e Q são pontos
             P                                                   de máximo, porque qualquer
                        S                                        deslocamento em sua vizinhança,
                                      F(x,y)                     irá descer.
                 T                                               O ponto S é uma sela porque nos
                                                                 sentidos SP e SQ sobe, mas no
                                                                 sentido SL ou ST desce.


                                 L




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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm
de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade
máxima.
                           x senθ                           y cosθ



          x                                   x
                                                  θ

                          12-2x

A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois
triângulos.

A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x)                                 (a)

 f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ

Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função.
fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0
                                                                                sen2θ = 2senθcosθ
                                                                                      =2 cos2θ - 1
         2xcosθ = 4x – 12                  ou         cosθ = 2-6/x
                                                                                cos2θ =cos2θ - sen2θ
                                                                                      = 2cos2θ -1
fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0

                       = x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ

         substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e
         resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2

                   cosθ = ½           → θ = 60o

O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas,
também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza
podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima
destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.




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                                                                            193 4       6       3.336
                                                                            194 4       12      6.58
                                                                            195 4       18      9.647
                                                                            196 4       24      12.453
                                                                            197 4       30      14.928
   20                                                                       198 4       36      17.013
                                                                            199 4       42      18.662
   15
                                                                    XYZ =
   10
                                                                0
                                                                            200 4       48      19.846
                                                                                                         máximo
    5                                                       5               201 4       54      20.553
                                                       10
    0
     0                                            15                        202 4       60      20.785
              5
             25      10
                      50     15             20
                             75       20
                                    100                                     203 4       66      20.562
                                                                            204 4       72      19.919
  X , Y, Z                                                                  205 4       78      18.904
              Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )
                                                                            206 4       84      17.576
                                                                            207 4       90      16




Ex.2 – Achar os extremos da função

f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5].
Calculando as primeiras derivadas , tem-se:
fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0

fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0
Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula)
então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 =
0 , que resulta x = 10 e y =10 .
Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as
segundas derivadas.

fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045
fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045

Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:
fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.


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Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar
zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é
confirmado pelo gráfico tridimensional da função.




                                                                            Note que nos pontos x =10 e y
                                                                            =10, a função tem um de seus
                                                                            mínimos.
  0.5

     0
                                                 0
  0.5                                        5
                                           10
                                          15
         0     5     10      15


 M
             Gráfico 3D da função seno




Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do
exemplo 2, para uma exponencial.

                          e −0,0225( x + y           )+0 , 45( x + y )+ 4 , 5
                                      2      2
             f(x,y) =                                                           = ef(x,y)

                                     e0,0225( x + y                  )−0 , 45( x+ y )+ 4 , 5
                                                            2    2
fx = [-0,045 x + 0,45] .

                                     e0,0225( x + y                  )−0 , 45 ( x+ y )+ 4 , 5
                                                            2    2
fy = [-0,045 y + 0,45] .


fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)
fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)
No ponto x=y=10, tem-se:

fxx + fyy < 0
que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser
verificado no gráfico da função.


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   1
 0.8
 0.6
 0.4
                                                   0
 0.2
                                             10
     0                                 20
            10
                     20



 M
         Gráfico 3D da função exponencial


Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é
dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos
pontos mais quentes e mais frios da região.

fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y

Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando

         x= -3 / 4 = - 0,75                  e            y =0 .


                     f xx             f xy                    32 0
         H(x0,y0 ) = f                                      =
                       yx             f yy
                                             ( x0 , y 0   )
                                                               0 80 ( −3 / 4, 0) > 0


         H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo.

     O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro
ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme
mostra o gráfico da superfície.




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                                                                                            0     1    2
                                                                                         8 -1    1.2 49.6
                                                                                         9 -1    1.6 94.4
                                                                                         10 -1   2    152
                                                                                         11 -0.8 -2   151.04
                                                                                         12 -0.8 -1.6 93.44
                                                                                         13 -0.8 -1.2 48.64
                                                                           100
                                                                                         14 -0.8 -0.8 16.64    mínimo
                                                                                 XYZ =
                                                                                         15 -0.8 -0.4 -2.56
                                                                           0
    20                                                                     0             16 -0.8 0    -8.96
              15                                                      5
                      10                                         10                      17 -0.8 0.4 -2.56
                                  5                  15
                                        0    20                                          18 -0.8 0.8 16.64
         Escala em y =y-10                                Escala em x = x-10             19 -0.8 1.2 48.64
   X , Y, Z                                                                              20 -0.8 1.6 93.44
                           Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)
                                                                                         21 -0.8 2    151.04
                                                                                         22 -0.6 -2   151.36




Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x .

Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema:

fx = 2x –2 = 0 , ou x=1

fy = 2y =0 , ou y=0                               , o ponto é (x,y) =(1,0)

Por outro lado,

fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2

                   f xx    f xy       2 0
H(1,0) =                          =       = 4 >0
                   f yx    f yy       0 2



fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).


1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis

       Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto
P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando
f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho
de P0(x10,x20,...xn0).

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      Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local
de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)
vizinho de P0(x10,x20,...xn0).

         O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações:

         fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto)

     O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou
de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por:

                           f x1x1 ( P0 )        f x1 x2 ( P0 ) ....       f x1xn ( P0 )
                           f x2 x1 ( P0 )       f x2 x2 ( P0 ) ....       f x1xn ( P0 )
         H(P0) =
                                ....                 ....      ....            ....
                           f xn x1 ( P0 )       f xn x1 ( P0 ) ....      f xn xn ( P0 )



Além disso é necessário calcular os n determinantes

         ∆0 =1

         ∆1 = f x x ( P0 )
                     1 1




                   f x1x1 ( P0 )            f x1x2 ( P0 )
         ∆2 =
                   f x2 x1 ( P0 )           f x2 x2 ( P0 )



              f x1x1 ( P0 )             f x1x2 ( P0 )         f x1x3 ( P0 )
         ∆3 = f x2 x1 ( P0 )            f x2 x2 ( P0 )       f x2 xx3 ( P0 )
              f x3 x1 ( P0 )            f x3 x2 ( P0 )       f x3 x3 ( P0 )

         ..................................................................

                   f x1x1 ( P0 )       f x1x2 ( P0 ) ....             f x1xn ( P0 )
                   f x2 x1 ( P0 )      f x2 x2 ( P0 ) ....            f x1xn ( P0 )
         ∆n =           ....                ....      ....              ....
                   f xn x1 ( P0 )      f xn x1 ( P0 ) ....         f xn xn ( P0 )



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Então, se:

     a)       ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de
              mínimo de f .

     b)       ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é
              um ponto de máximo de f.


Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e
verificar se são de máximos ou de mínimos.
  fx = 2x = 0 →x =0
  fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico
  fz = 2z =0 → z =0

  fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0
  fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0
  fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2

                  2 0 0
H(0,0,0) = 0 2 0 = 8
                  0 0 2
                                                                                        2 0 0
                                                       2 0
∆0=1 ;              ∆1= 2 = 2 ;                ∆2 =            =4;               ∆3   = 0 2 0 =8
                                                       0 2
                                                                                        0 0 2


todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.



Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 .

 Os pontos críticos da função são:

fx = -2x = 0 →x =0
fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico
fz = -2z=2 =0 → z =1

fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0
fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0
fUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em
 zx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2               Tecnologia em Ciências Aeronáutica                     41
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                      −2       0    0
H(0,2,1) = 0                   −2   0 =-8
                      0        0    −2
                                                                                         −2 0        0
                                                       −2 0
∆0=1 ;                ∆1= − 2 = -2 ;              ∆2 =      =4;               ∆3       = 0 −2        0 =-8
                                                       0 −2
                                                                                         0       0   −2


Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto
de máximo da função f.

Ex.3 – Estudar os extremos da função:

          f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2
         fx = x2 – 6x +8 = 0   → x1=4 e x2 =2
         fy = 2y – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3
                 2



         fxx =2x-6 , fxy =0 ,
         fyx = 0   , fyy = 4y - 20 .
         → existem pontos que podem ser críticos, ou seja

                   P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)

                                                                               2x − 6        0
O Hessiano calculado nestes pontos é                              H(x,y) =
                                                                                   0     4 y − 20


               2 0                                                            2 0
H(4,7) =                   >0 e         ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 =                        =4;
               0 8                                                            0 8

O ponto é de mínimo.

              2       0
H(4,3) =                   <0 (sela)
              0 −8

              −2 0
H(2,7) =                   < 0 (sela)
               0       8
               −2          0                                                   −2       0
H(2,3) =                       >0 e ∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 =                               = 16
                  0       −8                                                    0       −8


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O ponto é de máximo.


Exercícios propostos:

1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1
   Resp. P1(0,0) é mínimo e       P4(4,6) é máximo e
           P2(0,6) e P3(4,0) são selas.

2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2)
   Resp. P1(π/2,0) é máximo.


3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1
   Resp. P1(5,-3) é mínimo.

4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1
   Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo.




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1.15 – Operadores especiais da física
1.15.1 - Gradiente
      Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e
representa-se por grad f ou ∇f, a expressão:

                                 ∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ
         grad f = ∇f =              i +    j +    k
                                 ∂x     ∂y     ∂z

O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.

1.15.2 - Divergência                      r
      Denomina-se divergência de um vetor V = V x iˆ + V y ˆ + V z k
                                                           j       ˆ               , e
representa-se por div V ou ∇. V , a expressão

                        ∂ Vx ∂ V y ∂ Vz
         div V = ∇. V =     +     +
                        ∂x ∂y ∂z

Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de
um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela
velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de
volume num ponto do fluido.

1.15.3 - Rotacional
      O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é
definido por
                                          ⎡ iˆ     ˆ
                                                   j     k ⎤
                                                         ˆ
                                          ⎢ ∂     ∂      ∂ ⎥
             rot V = ∇×V =                ⎢                ⎥
                                          ⎢∂ x    ∂y    ∂ z⎥
                                          ⎢ Vx
                                          ⎣       Vy    Vz ⎥
                                                           ⎦

                      ⎛ ∂ Vz ∂ V y     ⎞ ˆ ⎛ ∂ Vx ∂ Vz     ⎞ ˆ ⎛ ∂ V y ∂ Vx   ⎞ˆ
                   =⎜
                    ⎜       −          ⎟i +⎜
                                       ⎟ ⎜ ∂z − ∂x         ⎟ j +⎜
                                                           ⎟    ⎜ ∂x − ∂y     ⎟k
                                                                              ⎟
                      ⎝ ∂y    ∂z       ⎠ ⎝                 ⎠    ⎝             ⎠

O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação
(Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma

                                 Ω = (1/2). rot (ρ v)



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1.16 – Integrais múltiplas
      As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou
podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais
simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de
integração simples:


                u n +1                                              ∫ csu du              = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C
   ∫
        n
       u dx =            +C ,       onde u =f(x) e
                n +1
                                          n≠ 1                       ∫ cotu du               = ln ⎢senu ⎢ + C
        du
       ∫u =      ln u + C
                                                                   ∫ sec u du
                                                                                2
                                                                                              = tanu + C

        ∫ eudu = eu + C                                            ∫ csc u du
                                                                                2
                                                                                              = - cotu + C


            ∫ audu = au / lna + C                                  ∫ secu tanu du                   = secu + C


            ∫ cosu du      = senu + C
                                                                   ∫ cscu cotu du                   = -cscu + C


            ∫ senu du       = -cosu + C
                                                             ∫ sen
                                                                     2
                                                                         u du = [2u - sen2u] / 4 + C


            ∫ tanu du     = -ln|cosu ⎢ + C
                                                              ∫ cos
                                                                     2
                                                                         u du = [2u + sen2u] / 4 + C


∫ secu du       = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C



     A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a
área de uma figura plana.
            y                                               A área infinitesimal   dA = dx. dy
                                             f(x)           é obtida integrando de x1 até x2
                                     dA
                                                                                                       x2

                                                                                                       ∫ [y ]
                                                                           x2       f ( x)
                                                                   A=     ∫ ∫                dx.dy =
                                                                                                            f ( x)
                                                                                                            0        dx
                               dy                                          x1       0
                                                                                                       x1
                          dx                                                                   x2
                                                                                        A = ∫ f ( x )dx
                                                                                              x1


                         x1 x2                    x




Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica                                               45
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Ex.1 Achar a área sob a função                                            y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3.


                                                                                           − 2x3
                                                                                       [                  ]3
             x2       f ( x)               x2
A = ∫x            ∫            dx.dy = ∫ f ( x )dx =
                                                             3

             1    0                       x1             ∫0
                                                                 ( −2 x 2 + 18) dx =
                                                                                             3
                                                                                                 + 18 x    0




A = - 18 + 54 = 46 (unid2)

Outros exemplos de integrais são:

                                                                                                                   x2
Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida)                                                 ∫ ∫ xydxdy
                                                                                                                   x

Solução:

     x2                                         x2          ⎡ x4 x2 ⎤
∫∫           xydxdy = x.⎡ y ⎤ dx =                      ∫ x.⎢ 2 − 2 ⎥dx =
                           2
                                                                                            x6 x4
         x
                     ∫ ⎢2⎥
                        ⎣ ⎦x                                ⎣       ⎦
                                                                                              −
                                                                                            12 8
                                                                                                  +c


                                                                                  x
Ex.3 Calcular a integral múltipla mista                                         ∫ ∫ sen( x + y)dxdy
                                                                                  o
     x

∫ ∫ sen( x + y)dxdy                      = ∫ [− cos( x + y )]0 dx = - ∫ [cos( 2 x) − cos x]dx =
                                                             x

     o

         1
= − sen( 2 x) + sen x + c
         2

As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de
volume de sólidos, conforme mostra a figura



                               z                                      O volume do sólido pode ser calculado por uma integral
                                                                      tripla, do tipo:

                                                                                  a b c
                                    dz                                      V = ∫ ∫ ∫ dxdydz
                                                         y                        0 0 0
                                   dx
                      dy

 x




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1.16.1- Volume de sólidos de revolução
         Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em
torno de uma reta fixa.
         Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:

                                                                  r = f(x)
                                                       y
                      y = f(x)                                                    dV = πr2 dx

                                                                                  dV = π[f(x)]2 dx
                                                                                            b
                                                                                  V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
                                                                                            a

              a                    b   x



       Figura plana girando em x                               Cálculo do elemento de volume

Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido
gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo
[1,2].
                                                                                    (2,8)
          y                            (2,8)

                                                                   (1,1)
                                                                                    r
                          y = x3
                                                                                                     x
          (1,1)
                                 R

                  1                        2       x




                      2                        2           2       x7 2   127
         V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ x 3 ]2 dx =π ∫ x 6 dx =π         =     π (unid)
                                                                                       3

                      1                        1           1        7 1    7




Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = a 2 − x 2 em [-a, a]


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                                      y

                                                        y=   a2 − x2 = r



                 -a                            a        x



             Semi-círculo em rotação                                        Sólido (esfera) gerado pela rotação
                                                                            do semi-círculo


                 a                        a                       2                ⎡        x3 ⎤ a
    V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ]2 dx =π ∫ [a 2 − x 2 ]dx =π⎢a 2 x −               ⎥
                 −a                       −a                      1                ⎢
                                                                                   ⎣         3 ⎥−a
                                                                                               ⎦

      ⎧⎡
      ⎪               a 3 ⎤ ⎡ 3 a 3 ⎤⎫ ⎪     ⎧ 3 a3
                                             ⎪              a3                 ⎫
                                                                               ⎪     ⎧ 3 2a 3
                                                                                     ⎪                 ⎫
                                                                                                       ⎪
= π ⎨ ⎢a 3 −              ⎥ − ⎢− a + ⎥ ⎬ = π ⎨ a −   + a3 −                    ⎬ = π ⎨ 2a −            ⎬
      ⎪⎢
      ⎩⎣
                       3⎥ ⎢
                          ⎦ ⎣       3 ⎥⎪
                                      ⎦⎭     ⎪
                                             ⎩     3         3                 ⎪
                                                                               ⎭     ⎪
                                                                                     ⎩      3          ⎪
                                                                                                       ⎭

= 2πa3 ⎧1 − ⎫ = πa3
           1   4
       ⎨     ⎬                                      que é o volume da esfera gerada.
             ⎩        3⎭          3


Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno
do eixo de y, no intervalo [0,4].
                              y                                                               y
                      4
                                                   y = x2
                                                                                                               x=
                                                                                                                     y



                          0                x                                                               x

                                                                           Sólido gerado      pela parábola
      Seção plana parábola                                                 de revolução
      girando em y

         b                    b                     4              4       πy 2 4
V = π ∫ r 2 dy = π ∫ [g( y)]2 dy = π ∫ [ y ]2 dy = π ∫ ydy =                      = 8π = 25,13 unid3.
         a                    a                     0              0        2 0




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Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3
Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k

2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k ,                                             calcule a
sua divergência.

Resp.                  div V = 6x2 + 3xz2

3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k

Resp. rot V = 5z2 i + 2y k


                                         x
4) Calcular a integral                 ∫ ∫ ( x + y)dxdy
                                         0
                                                                                   Resp.           x3 / 2 = C

      a b
5)   ∫ ∫ xydxdy
      0 0
                                                                                   Resp. a2b2 / 4

6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana,
transformando integral dupla em integral simples. As expressões em
                                                     x2 f ( x )                             x2 f ( x )

integral dupla são:               xc = (1/A)         ∫    ∫ x dxdy
                                                     x1 g ( x )
                                                                         e yc = (1/A)       ∫ ∫ y dxdy
                                                                                            x1 g ( x )

                             x2                                                      x2

Resp. xc =(1/A). ∫ [ f ( x) − g ( x)]x.dx                         e   yc =(1/2A). ∫ [ f 2 ( x) − g 2 ( x)]dx
                             x1                                                       x1


7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de
0,5 até 3
                        3                    3
                                                   1 2
Resp . V = π ∫ [ f ( x)] dx = π ∫ [
                                  2
                                                     ] dx = 8,34 unid
                                                                     3

                       0,5                   0,5
                                                   x




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  • 1. Notas de aula --- Parte II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Escritas pelo Professor Wilson Canesin Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade Braz Cubas
  • 2. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é P = f( L, K) O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis. 1.2 – Funções de duas variáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama- se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. z Assim, f(x,y) D é o domínio da função em R2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). y x z (x,y) D Exemplos de valores de função de 2 variáveis: Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y). Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y − x A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 18
  • 3. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva x2 Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 2x − y quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que, z D D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }. y x z D x2 Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = , a função é finita 3x − y quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }. 1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3. X Y Z A superfície é obtida 0 0 para cada par x,y , 0 1 fixando um valor de 0 2 x e variando y, em 0 3 1 0 seguida fixa um 2o 1 1 valor de x e varia y , 1 2 depois fixa um 3o x e 1 3 Y varia y ,etc., até 2 0 variar x e y em todo 2 1 o domínio. 2 2 X 2 3 3 0 3 1 ... ... Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 19
  • 4. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Exemplos de funções de 2 variáveis: Z Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5 5 A superfície é um plano infinito, paralelo Y a x,y e passando por z=5 X Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer : Z a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 (0,0,6) c) y =0 e z = 0 → x = 3 Portanto, o gráfico de f no X plano é ⇒ (0,2,0) (3,0,0) Y Ex. 4 - A função é Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2 z = f(x,y) = 1 − x − y 2 2 Z A superfície é Z um parabolóide A superfície gerada de revolução. é uma semi-esfera de centro na origem. Y Y X X Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 20
  • 5. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por lim f ( x, y ) = L ( x, y ) → ( x 0 , y 0 ) Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma. Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições. Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y Ex.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y x2 + y2 Ex.3 f(x,y) = é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x x y −1 y D X x+ y Ex. 4 f(x,y) = é contínua se ∀x≠ y x− y y y=x D X Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 21
  • 6. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 ou y > x y y>x x Ex.6 f(x,y) = 1 − x 2 − y 2 é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1 y O domínio é uma circunferência de D centro na origem x e de raio r ≤ 1 Ex.7 f(x,y) = y − 1 / x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x Que resulta no gráfico: y x Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 22
  • 7. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é ∆f = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) incremento da função ∆f f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y ) = taxa de variação da função ∆x ∆x lim ∆f ∂ f ∆x→0 = = f x ( x, y ) Derivada parcial em x ∆x ∂ x Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é l i m ∆f ∂ f = = f y ( x, y ) Derivada parcial em y ∆y → 0 ∆x ∂y 1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante. z Assim, tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x y0 y tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y x0 β x α Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 23
  • 8. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais) Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y 1 f=k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.) 2 f= x ou f=y fs = 1 s = x ou y 3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y) 4 f = n um m us Ds n u m = n um nu 5 f = ln u us Ds ln u = u 6 f = lga u us Ds lga u = u ln a 7 f = au Ds au = au lna us 8 f = eu D s e u = eu u s 9 f =uv fs = v us + u vs 2 10 f=u/v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v 11 f = senu fs = cosu .us 12 f = cosu fs = -senu .us 13 f = tanu fs = sec2u .us 14 f = secu fs = secu.tanu.us 15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us 16 f = cotu fs = -cotu.cscu.us Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 24
  • 9. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. fx = ∂ f / ∂ x → y=constante fy = ∂ f / ∂ y → x=constante Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2 fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2 fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 ) f=u/v , u =x e v = x 2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2 fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2 fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2 Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante. ∂z ∂ ∂ = (4 x 2 y ) − (x y3 ) = 8 x y − y 3 ∂x ∂x ∂x mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se ∂ f (3,2) = 40 ⇒ α = tan (40) = 88,57° -1 tanα = ∂x Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4). Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 25
  • 10. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂ f = 3x2 + 2y ∂x ∂ f (1,1) = 5 ⇒ α = tan (5) = 78,69° -1 tanα = ∂x Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx ∂ f ∂ (u.v) ∂u ∂v = = .v + u. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx ∂ x ∂x ∂x ∂x ∂ f ∂ (u.v) ∂u ∂v = = .v + u. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx ∂ y ∂y ∂y ∂y 1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é : ∂ f ∂ f dz= dx + dy ∂x ∂y Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1 ∂ f ∂ f = 9x2y2 – 2y3 +y e = 6x3y – 6xy2 + x ∂x ∂y assim, a diferencial da função é df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é: ∂F ∂F ∂F n ∂F dF = ∂x1 dx1 + ∂x 2 dx2 +......+ ∂x n dx n = ∑ ∂x i =1 dxi i Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 26
  • 11. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz 1.8 – Derivada de funções compostas Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é d f ∂ f d x ∂ f d y = + dt ∂x dt ∂y dt Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , onde x(t) = et e y(t) = t3 . a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2 b) Calcula-se pelas derivadas parciais ∂ f ∂ f d x t d y 2 = 2x ; =3; =e ; = 3t ∂x ∂y dt dt Assim dF = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2 dt Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra da cadeia df n ∂ f d xi ∂ f d x1 ∂ f d x 2 ∂ f d xn =∑ = + + ... + dt i =1 ∂ x d t ∂ x1 d t ∂ x 2 d t ∂ xn d t Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2 fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t d f = 2. cos t + 3.e t − 4t dt Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 27
  • 12. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt 1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3 1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc. A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é ∂f dx ∂f dy ∂f ∂f dy + =0 → + =0 ∂x dx ∂y dx ∂x ∂y dx ∂ f ou, dy ∂ x f = − = − x dx ∂ f f y ∂ y Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a fórmula acima, ∂f = − ∂x = − dy 4x dx ∂f 15 y 2 ∂y Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0 ∂f = − ∂x = dy 6y dx ∂f 8 y − 6x ∂y Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, e após algumas considerações teremos Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 28
  • 13. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂z ∂ f ∂x f ∂z ∂ f ∂y fy =− =− x e =− =− ∂x ∂ f ∂z fz ∂y ∂ f ∂z fz Ex.3 - Achar as derivadas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , da função x2+y3- z=0. Solução; ∂z ∂ f ∂ x − 2x =− = = 2x ∂x ∂ f ∂z −1 ∂z ∂ f ∂ y − 3x 2 =− = = 3y2 ∂y ∂ f ∂z −1 Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , nas expressões abaixo 1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0 2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0 1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f f xx = , f xy = , f yx = , f yy = ∂ x2 ∂ x ∂y ∂ y ∂x ∂ y ∂x Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6x Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 29
  • 14. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva ∂2 f ∂2 f f xx = =8 ; ; f yx = = -6 ∂ x2 ∂ y ∂x ∂2 f ∂2 f f xy = = -6 ; f yy = = -6 ∂ x ∂y ∂ y ∂x EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y fx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y ∂2 f ∂2 f f xx = = 4e2x+5y ; f yx = = 10e2x+5y ∂x 2 ∂ y ∂x ∂2 f ∂2 f f xy = = 10e2x+5y ; f yy = = 25e2x+5y ∂ x ∂y ∂ y ∂x Note que fxy = fyx EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) 2x 2y U fx =∂f /∂x = ; fy = ∂f /∂y = = x + y2 2 x +y 2 2 V ∂2 f V . U x − U . Vx 2( y 2 − x 2 ) ∂2 f − 4 xy f xx = = = ; f yx = = 2 2 2 ∂x 2 V2 (x2 + y 2 )2 ∂ y ∂x (x + y ) ∂2 f V . U y − U . Vy − 4 xy ∂2 f 2( x 2 − y 2 ) f xy = = = 2 2 2 ; f yy = = ∂ x ∂y V 2 (x + y ) ∂ y ∂x (x2 + y 2 )2 Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 30
  • 15. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma. Exemplos: 1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx 2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) 2 3 fx = ; fy = 2x + 3y − z 2 + t 2 2x + 3 y − z 2 + t 2 − 2z 2t fz = ; ft = 2x + 3y − z 2 + t 2 2x + 3y − z 2 + t 2 Exercícios propostos - Derivar as funções: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz x+ y 3) f(x,y,z) = x−z 4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3) 1.12 – Derivadas de Ordem Superior Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc. Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3 fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0 fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2 fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 31
  • 16. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us ∂ −1 fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = -2 ( x ) = -1.x = -1/x 2 ∂x fxy = 0 ; fxz = 0 ∂ fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = -2 (2 y −1 ) = -2y = -2 / y 2 ∂y ∂ fyz = (2 y −1 ) = 0 ∂z fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2 EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas) 1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 x+ y 2) f(x,y,z) = ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 y−z fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ; fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3 3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2 ;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z) ;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z) ; fzz= 18(x+2y+3z) . 4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2 fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ; Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 32
  • 17. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ; fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 . 5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2) fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2; fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2; fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2; fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2 6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ; fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2); fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2) fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2) fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2) fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ; fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) x 2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 7) f(x,y,z) = e ; fx=2x e ; fy=2y e ; fz=3z2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 fxx=2 e +4x2 e ; fxy=4xy e ; fxz=6xz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 fyx=fxy ; fyy=2 e + 4y2 e ; fyz= 6yz2 e x2 + y2 + z3 x2 + y2 + z3 fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z e +9z4 e Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 33
  • 18. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir. f xx f xy H(x0,y0 ) = f f yy yx ( x0 , y 0 ) Assim , Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo. b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo. c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela. d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo. Q Os pontos P e Q são pontos P de máximo, porque qualquer S deslocamento em sua vizinhança, F(x,y) irá descer. T O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce. L Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 34
  • 19. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima. x senθ y cosθ x x θ 12-2x A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos. A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0 sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1 2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1 fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0 = x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 cosθ = ½ → θ = 60o O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 35
  • 20. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 0 1 2 193 4 6 3.336 194 4 12 6.58 195 4 18 9.647 196 4 24 12.453 197 4 30 14.928 20 198 4 36 17.013 199 4 42 18.662 15 XYZ = 10 0 200 4 48 19.846 máximo 5 5 201 4 54 20.553 10 0 0 15 202 4 60 20.785 5 25 10 50 15 20 75 20 100 203 4 66 20.562 204 4 72 19.919 X , Y, Z 205 4 78 18.904 Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 ) 206 4 84 17.576 207 4 90 16 Ex.2 – Achar os extremos da função f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. Calculando as primeiras derivadas , tem-se: fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0 fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0 Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 . Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas. fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 36
  • 21. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função. Note que nos pontos x =10 e y =10, a função tem um de seus mínimos. 0.5 0 0 0.5 5 10 15 0 5 10 15 M Gráfico 3D da função seno Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do exemplo 2, para uma exponencial. e −0,0225( x + y )+0 , 45( x + y )+ 4 , 5 2 2 f(x,y) = = ef(x,y) e0,0225( x + y )−0 , 45( x+ y )+ 4 , 5 2 2 fx = [-0,045 x + 0,45] . e0,0225( x + y )−0 , 45 ( x+ y )+ 4 , 5 2 2 fy = [-0,045 y + 0,45] . fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) No ponto x=y=10, tem-se: fxx + fyy < 0 que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser verificado no gráfico da função. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 37
  • 22. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1 0.8 0.6 0.4 0 0.2 10 0 20 10 20 M Gráfico 3D da função exponencial Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região. fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 . f xx f xy 32 0 H(x0,y0 ) = f = yx f yy ( x0 , y 0 ) 0 80 ( −3 / 4, 0) > 0 H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo. O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme mostra o gráfico da superfície. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 38
  • 23. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 0 1 2 8 -1 1.2 49.6 9 -1 1.6 94.4 10 -1 2 152 11 -0.8 -2 151.04 12 -0.8 -1.6 93.44 13 -0.8 -1.2 48.64 100 14 -0.8 -0.8 16.64 mínimo XYZ = 15 -0.8 -0.4 -2.56 0 20 0 16 -0.8 0 -8.96 15 5 10 10 17 -0.8 0.4 -2.56 5 15 0 20 18 -0.8 0.8 16.64 Escala em y =y-10 Escala em x = x-10 19 -0.8 1.2 48.64 X , Y, Z 20 -0.8 1.6 93.44 Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0) 21 -0.8 2 151.04 22 -0.6 -2 151.36 Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x . Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: fx = 2x –2 = 0 , ou x=1 fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0) Por outro lado, fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2 f xx f xy 2 0 H(1,0) = = = 4 >0 f yx f yy 0 2 fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y). 1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0). Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 39
  • 24. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0). O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações: fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por: f x1x1 ( P0 ) f x1 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) H(P0) = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 ) Além disso é necessário calcular os n determinantes ∆0 =1 ∆1 = f x x ( P0 ) 1 1 f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) ∆2 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) f x1x3 ( P0 ) ∆3 = f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) f x2 xx3 ( P0 ) f x3 x1 ( P0 ) f x3 x2 ( P0 ) f x3 x3 ( P0 ) .................................................................. f x1x1 ( P0 ) f x1x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) f x2 x1 ( P0 ) f x2 x2 ( P0 ) .... f x1xn ( P0 ) ∆n = .... .... .... .... f xn x1 ( P0 ) f xn x1 ( P0 ) .... f xn xn ( P0 ) Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 40
  • 25. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Então, se: a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de mínimo de f . b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é um ponto de máximo de f. Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e verificar se são de máximos ou de mínimos. fx = 2x = 0 →x =0 fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico fz = 2z =0 → z =0 fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2 2 0 0 H(0,0,0) = 0 2 0 = 8 0 0 2 2 0 0 2 0 ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = =4; ∆3 = 0 2 0 =8 0 2 0 0 2 todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f. Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . Os pontos críticos da função são: fx = -2x = 0 →x =0 fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico fz = -2z=2 =0 → z =1 fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0 fUniversidade Braz Cubas – Bacharelado em zx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2 Tecnologia em Ciências Aeronáutica 41
  • 26. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva −2 0 0 H(0,2,1) = 0 −2 0 =-8 0 0 −2 −2 0 0 −2 0 ∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 = =4; ∆3 = 0 −2 0 =-8 0 −2 0 0 −2 Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto de máximo da função f. Ex.3 – Estudar os extremos da função: f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2 fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2 fy = 2y – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3 2 fxx =2x-6 , fxy =0 , fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . → existem pontos que podem ser críticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3) 2x − 6 0 O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = 0 4 y − 20 2 0 2 0 H(4,7) = >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = =4; 0 8 0 8 O ponto é de mínimo. 2 0 H(4,3) = <0 (sela) 0 −8 −2 0 H(2,7) = < 0 (sela) 0 8 −2 0 −2 0 H(2,3) = >0 e ∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 = = 16 0 −8 0 −8 Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 42
  • 27. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva O ponto é de máximo. Exercícios propostos: 1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1 Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e P2(0,6) e P3(4,0) são selas. 2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) Resp. P1(π/2,0) é máximo. 3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 Resp. P1(5,-3) é mínimo. 4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1 Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo. Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 43
  • 28. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.15 – Operadores especiais da física 1.15.1 - Gradiente Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: ∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ grad f = ∇f = i + j + k ∂x ∂y ∂z O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários. 1.15.2 - Divergência r Denomina-se divergência de um vetor V = V x iˆ + V y ˆ + V z k j ˆ , e representa-se por div V ou ∇. V , a expressão ∂ Vx ∂ V y ∂ Vz div V = ∇. V = + + ∂x ∂y ∂z Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de volume num ponto do fluido. 1.15.3 - Rotacional O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é definido por ⎡ iˆ ˆ j k ⎤ ˆ ⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥ rot V = ∇×V = ⎢ ⎥ ⎢∂ x ∂y ∂ z⎥ ⎢ Vx ⎣ Vy Vz ⎥ ⎦ ⎛ ∂ Vz ∂ V y ⎞ ˆ ⎛ ∂ Vx ∂ Vz ⎞ ˆ ⎛ ∂ V y ∂ Vx ⎞ˆ =⎜ ⎜ − ⎟i +⎜ ⎟ ⎜ ∂z − ∂x ⎟ j +⎜ ⎟ ⎜ ∂x − ∂y ⎟k ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação (Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma Ω = (1/2). rot (ρ v) Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 44
  • 29. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.16 – Integrais múltiplas As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de integração simples: u n +1 ∫ csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C ∫ n u dx = +C , onde u =f(x) e n +1 n≠ 1 ∫ cotu du = ln ⎢senu ⎢ + C du ∫u = ln u + C ∫ sec u du 2 = tanu + C ∫ eudu = eu + C ∫ csc u du 2 = - cotu + C ∫ audu = au / lna + C ∫ secu tanu du = secu + C ∫ cosu du = senu + C ∫ cscu cotu du = -cscu + C ∫ senu du = -cosu + C ∫ sen 2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C ∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C ∫ cos 2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C ∫ secu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a área de uma figura plana. y A área infinitesimal dA = dx. dy f(x) é obtida integrando de x1 até x2 dA x2 ∫ [y ] x2 f ( x) A= ∫ ∫ dx.dy = f ( x) 0 dx dy x1 0 x1 dx x2 A = ∫ f ( x )dx x1 x1 x2 x Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 45
  • 30. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3. − 2x3 [ ]3 x2 f ( x) x2 A = ∫x ∫ dx.dy = ∫ f ( x )dx = 3 1 0 x1 ∫0 ( −2 x 2 + 18) dx = 3 + 18 x 0 A = - 18 + 54 = 46 (unid2) Outros exemplos de integrais são: x2 Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫ ∫ xydxdy x Solução: x2 x2 ⎡ x4 x2 ⎤ ∫∫ xydxdy = x.⎡ y ⎤ dx = ∫ x.⎢ 2 − 2 ⎥dx = 2 x6 x4 x ∫ ⎢2⎥ ⎣ ⎦x ⎣ ⎦ − 12 8 +c x Ex.3 Calcular a integral múltipla mista ∫ ∫ sen( x + y)dxdy o x ∫ ∫ sen( x + y)dxdy = ∫ [− cos( x + y )]0 dx = - ∫ [cos( 2 x) − cos x]dx = x o 1 = − sen( 2 x) + sen x + c 2 As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de volume de sólidos, conforme mostra a figura z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo: a b c dz V = ∫ ∫ ∫ dxdydz y 0 0 0 dx dy x Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 46
  • 31. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva 1.16.1- Volume de sólidos de revolução Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em torno de uma reta fixa. Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se: r = f(x) y y = f(x) dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx b V = π ∫ [ f ( x)]2 dx a a b x Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2]. (2,8) y (2,8) (1,1) r y = x3 x (1,1) R 1 2 x 2 2 2 x7 2 127 V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ x 3 ]2 dx =π ∫ x 6 dx =π = π (unid) 3 1 1 1 7 1 7 Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = a 2 − x 2 em [-a, a] Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 47
  • 32. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva y y= a2 − x2 = r -a a x Semi-círculo em rotação Sólido (esfera) gerado pela rotação do semi-círculo a a 2 ⎡ x3 ⎤ a V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ]2 dx =π ∫ [a 2 − x 2 ]dx =π⎢a 2 x − ⎥ −a −a 1 ⎢ ⎣ 3 ⎥−a ⎦ ⎧⎡ ⎪ a 3 ⎤ ⎡ 3 a 3 ⎤⎫ ⎪ ⎧ 3 a3 ⎪ a3 ⎫ ⎪ ⎧ 3 2a 3 ⎪ ⎫ ⎪ = π ⎨ ⎢a 3 − ⎥ − ⎢− a + ⎥ ⎬ = π ⎨ a − + a3 − ⎬ = π ⎨ 2a − ⎬ ⎪⎢ ⎩⎣ 3⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 3 ⎥⎪ ⎦⎭ ⎪ ⎩ 3 3 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ 3 ⎪ ⎭ = 2πa3 ⎧1 − ⎫ = πa3 1 4 ⎨ ⎬ que é o volume da esfera gerada. ⎩ 3⎭ 3 Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4]. y y 4 y = x2 x= y 0 x x Sólido gerado pela parábola Seção plana parábola de revolução girando em y b b 4 4 πy 2 4 V = π ∫ r 2 dy = π ∫ [g( y)]2 dy = π ∫ [ y ]2 dy = π ∫ ydy = = 8π = 25,13 unid3. a a 0 0 2 0 Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 48
  • 33. Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3 Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k 2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule a sua divergência. Resp. div V = 6x2 + 3xz2 3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k Resp. rot V = 5z2 i + 2y k x 4) Calcular a integral ∫ ∫ ( x + y)dxdy 0 Resp. x3 / 2 = C a b 5) ∫ ∫ xydxdy 0 0 Resp. a2b2 / 4 6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana, transformando integral dupla em integral simples. As expressões em x2 f ( x ) x2 f ( x ) integral dupla são: xc = (1/A) ∫ ∫ x dxdy x1 g ( x ) e yc = (1/A) ∫ ∫ y dxdy x1 g ( x ) x2 x2 Resp. xc =(1/A). ∫ [ f ( x) − g ( x)]x.dx e yc =(1/2A). ∫ [ f 2 ( x) − g 2 ( x)]dx x1 x1 7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de 0,5 até 3 3 3 1 2 Resp . V = π ∫ [ f ( x)] dx = π ∫ [ 2 ] dx = 8,34 unid 3 0,5 0,5 x Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 49