Aula 13 teste de hipóteses

Teste de hipóteses - unilateral

Profa. Dra. Juliana Garcia
Cespedes

Inferência
Inferir certas características da
população
amostra

Distribuição estimar
desconhecida X 
ou estimar
Intervalo
Parâmetros S2 2 de
desconhecidos confiança
^ estimar
p p

Teste de hipóteses

amostra
X  107,56

Uma população com
média =100 conhecida
 = 100 poderia produzir uma
amostra com média
107,56?

O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados
amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma
hipótese estatística formulada.

Teste de hipóteses
 Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de
uma certa substância no sangue se comporta segundo
um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio
padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a
concentração média se alterada para 18 unidades/ml
com mesmo desvio padrão.

Sadios: N(14,36)
Doentes: N(18,36)

Teste de hipóteses para a média
Desejamos verificar se um determinado
tratamento é eficaz a essa doença.

 Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que
foram submetidas ao tratamento é selecionada.

X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36)

O valor da média desta amostra vai indicar se o
tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)

Pelo teorema do limite central, sabe-se que:

 36 
X ~ N  , 
 31 

Um critério que pode ser utilizado para
decidir a qual população (=14 ou =18)
pertence a amostra é determinar um valor
crítico xc

Se X>xc concluímos que a amostra pertence
à população doente (=18), ou seja o
tratamento não é eficaz;

Se X  xc concluímos que a amostra
pertence à população sadia (=14) sendo o
tratamento considerado eficiente.

 = 14  = 18
xobs
xc

Podemos formular duas hipóteses para esse
problema:
Hipótese nula

H0: O tratamento NÃO é eficaz;
Ha: O tratamento é eficaz.
Hipótese alternativa

Hipótese simples Hipótese composta
H0:  = 18 H0:  = 18 H0:  = 18
Ha:  = 14 Ha:  < 18 Ha:   18
Teste unilateral Teste bilateral

TESTE UNILATERAL:
No caso do tratamento ser eficaz é razoável
assumirmos que ele foi capaz de fazer com
que as pessoas ficassem curadas, ou seja,
que mudassem para uma população que
X<18
H0:  = 18 versus Ha:  < 18

TESTE BILATERAL
Para verificar se o tratamento produziu algum
efeito benéfico X<18 ou danoso X>18
H0:  = 18 versus Ha:   18

Como X é uma estimativa (é apenas 1 de
infinitas amostras possíveis) pode-se correr o
risco de concluir incorretamente que o
tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento
não é eficiente quando na verdade ele é.

Devemos quantificar os possíveis erros
associados a essa decisão.

Teste de hipóteses
Erro tipo I

Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é
verdadeira
Erro tipo II
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria
ser rejeitada
Situação

H0 verdadeira H0 falsa

Rejeitar H0 Erro tipo I Sem erro
Decisão
Não rejeitar H0 Sem erro Erro tipo II

Teste de hipóteses
 = P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)
 = P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa)
Nível de significância
No exemplo:
 = P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)
 = P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é)

Qual é o erro mais
importante de ser  
evitado?
 



Com determinar o valor crítico xc?
  P(erro I )  P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
 P( X  xc |   18)
 
 X   xc  18 
 P  
  6 
 n 31 
 P( Z  zc )

Sendo que Z ~ N(0,1)

O valor de zc é obtido na tabela da distribuição
normal, dado um valor para  e o valor crítico é
calculado como:
xc  18
zc 
6
31
6 Intervalo de confiança
xc  18  zc para  com n>30!!!
31

Para =0,05:
0,05  P( Z  zc )
zc  1,64

Logo
6
xc  18  1,64  16,23
31

Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o
tratamento é eficaz.

Região crítica:
RC={x  : x<xc}
RC={x  : x<16,23}

Se a amostra forneceu estimativa da média
16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao
nível de significância =0,05 ou =5%.

Portanto o tratamento é eficaz.

Passos para construção do TH.
Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e
alternativa;

Passo 2: Definir a forma da região crítica, com
base na hipótese alternativa;

Passo 3: Identificar a distribuição do estimador
e obter sua estimativa;

Passo 4: Fixar  e obter a região crítica;

Passo 5: Concluir o teste com base na
estimativa e na região crítica.

Exercício
Uma variável aleatória tem distribuição
normal com desvio padrão igual a 12.
Estamos testando se sua média é igual ou
menor que 20 e coletamos uma amostra de
100 valores dessa variável, obtendo uma
média amostral de 17,4.
Formule as hipóteses.
Obtenha a região crítica e dê a conclusão do
teste para os seguintes níveis de
significância: 1%, 4% e 8%.

Teste de hipóteses - bilateral

Profa. Dra. Juliana Garcia
Cespedes

 NOVO OBJETIVO:
Verificar se o tratamento produziu algum efeito
benéfico X<18 ou danoso X>18

H0: O tratamento NÃO é eficaz
Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou
danoso)

H0:  = 18 versus Ha:   18

A região crítica, ou região de rejeição para
o teste de hipóteses bilateral será dada
por:
RC  {x   : x  xc1 ou x  xc 2 }

A região de aceitação é o completar da
região crítica:

RA  {x   : xc1  x  xc 2 }

Para  fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:

  P(erro I )  P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
 P( X  RC |   18)  P( X  xc1 ou X  xc 2 |   18)
 
 X  18 xc1   X  18 xc 2  18 
 P  ou  
 6  6 6 
 31 n 31 31 
 P( Z  zc1 ou Z  zc 2 )
 
 P( Z  zc1 )  e P ( Z  zc 2 ) 
2 2

Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da
distribuição normal, dado um valor para  e o
valor crítico é calculado como:

6 Intervalo de confiança
xci  18  zci para  com n > 30!!!
31
Para =0,05:
0,025  P( Z  zc1 ) 0,025  P( Z  zc 2 )
zc1  1,96 zc 2  1,96

Logo 6
xc1  18  1,96  15,89
31
6
xc 2  18  1,96  20,11
31

A região crítica para =0,05 é:

RC  {x   : x  15,89 ou x  20,11}


Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a
um nível de 5% de significância. Concluímos
que o tratamento não é eficaz.

Também podemos calcular a probabilidade de
acontecer o erro tipo II

Para calcular , nós conhecemos o valor de :

  P(erro I )
 P(rejeitar H 0 | H 0 verd.)
 P( X  RC |   18)

Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o
erro tipo II não sabemos quem é .

  P(erro II )
 P( Não rejeitar H 0 | H 0 falsa )
 P( X  RC |   18)

Quem é o
verdadeiro
valor de ?

Desta forma  será uma função dos valores de
 definido na região da hipótese alternativa.
Então a probabilidade do erro tipo II será
denotada por ().

Por exemplo, se  verdadeiro for =16
 (16)  P(erro tipo II )
 P( X  RC |   16)
 P(15,89  X  20,11 |   16)

 
 15,89  16 X  16 20,11  16 
 (16)  P   
 36 36 36 
 31 31 31 
 P(0,10  Z  3,81)
 0,0398  0,499
 0,5397

Se o verdadeiro =16, estamos concluindo
equivocadamente, com probabilidade de
0,5397, que H0 é verdadeiro.

Exercício
Um relatório de uma companhia afirma que 40%
de toda a água obtida, através de poços
artesianos no nordeste, é salobra.
Mas alguns dizem que a proporção é maior,
outros que é menor.
Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços
e observou-se, em 120 deles, água salobra.
Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?

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