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Parâmetros:
Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da
população  =(, 2 , p).
Identificada uma v.a. X sus parâmetros podem ser a média e variância
Estatísticas:
Uma estatística T é uma função
de X1, X2 ..., Xn
Parâmetros e Estatísticas
 nXXXfT ,,, 21  1
Parâmetros e Estatísticas
)pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2
 
Parâmetros:  =(, 2 , p)
Estimativas:
n
x
psX  ˆˆˆ 22

2
)(X  n
Xi
X
)(2
XVar
  )1/()( 22
nXxS i
Denominação População Amostra
N de elementos N n
Média
Variância
Proporção p pˆ
Símbolos mais comuns a seguir
3
Amostras
Distribuição amostral da estatística T
4
População
com media

Uma amostra aleatória
simples de n elementos
é selecionada a partir
da população
Os dados da amostra
fornecem um valor
para a média da
amostra X
O valor de é usado
para fazer inferências
sobre o valor de 
X
O valor esperado de iguala-se a  a partir da qual
a amostra é extraída.
X
5
1
23
4
Teorema Central do Limite
Dado que :
• A variável aleatória X tem distribuição (que pode ser
normal, ou não), com média  e desvio padrão .
• Amostra  de  tamanho    “n”    são  extraídas  aleatoriamente  
dessa população.
6
Teorema Central do Limite
Conclusões:
• Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição
das médias amostrais tende para uma distribuição normal.
• A média das médias amostrais será a média populacional.
• O desvio padrão das médias amostrais será
 x
nx
 
7
Teorema Central do Limite
Regras Práticas de Uso Comum:
• Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias
amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma
distribuição normal.
• Se a própria distribuição original tem distribuição normal,
então as médias amostrais terão distribuição normal para
qualquer tamanho amostral n.
X
8
Intervalo de Confiança IC
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é
uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem
probabilidade de conter o verdadeiro valor do
parâmetro populacional.
 =(,2 , p)
)()( xUxL 
9
Intervalo de Confiança IC
A partir de uma amostra de uma distribuição f(x,), que
depende de um parâmetro  desconhecido, desejamos
encontrar um intervalo aleatório que contenha  com alta
probabilidade
é chamado de intervalo de confiança (1-) se
)()( xUxL 
    1)()(Pr xUxL
10
Estimação:
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para
obter uma aproximação de um parâmetro populacional.
)pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2
 
Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único
usado para aproximar um parâmetro populacional.
n
x
psX  ˆ,ˆ,ˆ 22

11
Estimativa de uma Média Populacional:
Grandes Amostras
Coeficiente de confiança é
a probabilidade ( 1- ) de
o intervalo de confiança
conter o verdadeiro valor
do parâmetro populacional.
Coeficiente de Confiança
(1- )
/2/2
12
Coeficiente de Confiança
(1- )
/2/2
z/2- z/2
A distribuição normal
padronizada o valor z/2
é o valor crítico
O grau de confiança é
também chamado de
nível de confiança ou
coeficiente de confiança.
Estimativa de uma Média Populacional:
Grandes Amostras
13
Valores críticos mais comuns:
1 -  0,80 0,85 0,90 0,95 0,99
z/2
1,28 1,44 1,645 1,96 2,58
 /2
 /2 1 - 
0 z/2- z/2
Normal(0,1)
14
A margem de erro, denotado por E é a diferença máxima
provável (com probabilidade 1- ) entre a média amostral
observada e a verdadeira média populacional  .X
A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valor
crítico pelo desvio padrão das médias amostrais,
n
.zE 2


Margem de Erro
15
Áreas de uma distribuição amostral de usada para
fazer declarações de probabilidade sobre o erro de
amostragem
 /2 /2
Distribuição amostral da X
(1-  )%

X
 
n
z 
 2/
16
Tamanho da Amostra para estimar 
Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o
tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de
precisão desejado .
Resolvendo a equação do erro em n obtemos,
2
2







E
z
n

n
.zE 2


17
Intervalo de Confiança para a média populacional  (com
base a grandes amostras: n > 30)
EXEX   Onde n
.zE 2









n
zX;
n
zX
22


Outras formas equivalentes de escrever:
• com variância conhecida o intervalo de confiança 100(1-)%
para 
Intervalo de Confiança (IC) para 
• com variância desconhecida, usa-se a distribuição
normal com o estimador s2 de 2 .
18
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 1: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma
variável aleatória que tem distribuição Normal com média
desconhecida e variância  = 410. Se encontre um
intervalo de confiança 95% para ..
1428X
Olhando a tabela da Distribuição Normal, temos que o ponto crítico,
tal que
Se  = 0,05, temos que z0,025 = 1,96.
  2/2/   zZP
19
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95
1,96
O IC de 95% de confiança para a  é [1300,85 ; 1555,15]
20
X - z(∝/2)*σ/√n =
= 1428 - 1,96*410/√40 =
= 1.300,94
X + z(∝/2)*σ/√n =
= 1428 + 1,96*410/√40 =
= 1.555,06
Intervalo de Confiança para a média populacional 
(com base a pequenas amostras: n < 30)
Variáveis aleatórias independentes, então:
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pode-se mostrar que:
e2
1n
2
~
S)1n(




  )1,0(Normal~
X
n


 
1nt~
S
Xn

 
21
Intervalo de Confiança para a média populacional  (com
base a pequenas amostras: n < 30)






 
n
s
tX
n
s
tX nn 11 ;
• com variância desconhecida
Intervalo de Confiança (IC) para 
O intervalo de confiança 100(1-)% para 
Onde t é o percentil (1 - /2) da distribuição de Student
com n -1 graus de liberdade.
22
Intervalo de Confiança (IC) para 






 
n
s
tX
n
s
tX nn 11 ;
 /2 /2
tn-1- tn-1
Pr[ t > tn-1] = /2
Ex. Se n = 10 e  = 0,05, temos Pr[ t < 2,262] = 0,975
23
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 2: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória
de uma variável aleatória que tem distribuição Normal
com média e variância desconhecidas. Dado que
e s= 496, encontre um intervalo de confiança 95% para
.
1428X
Se n > 30, então usa-se a distribuição normal com
estimador s2 de 2.
24
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025
- 1,96
Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95
1,96
O IC de 95% de confiança para a  é [1274,18 ; 1581,82]
25
X - t(n-1)*s/√n =
= 1428 - 1,96*496/√40 =
= 1.274,29
X - t(n-1)*s/√n =
= 1428 + 1,96*496/√40 =
= 1.581,71
Intervalo de Confiança (IC) para 
Exemplo 3: Sejam X1, X2, ... X25 uma amostra aleatória de uma
variável aleatória que tem distribuição Normal com média e
variância desconhecidas. Dado que e s2 = 36, encontre um
intervalo de confiança 95% para .
15X
Olhando a tabela da Distribuição t de Student, temos que o ponto
crítico t24,0,025=2,064 então
Pr[t24 > 2,064] = 0,025.
26
Intervalo de Confiança (IC) para 
Pr[t > 2,064 ] = 0,025Pr[t < - 2,064]= 0,025
- 2,064
Pr[-2,064 < t < 2,064] = 0,95
2,064
O IC de 95% de confiança para a  é [ 12,523 ; 17,477]
27
X + t(n-1)*√s²/√n =
= 15 + 2,064*√36/√25 =
= 17,477
X - t(n-1)*√s²/√n =
= 15 - 2,064*√36/√25 =
= 12,523
Lembrando que quando p populacional é conhecida, tem
distribuição assintotica
.
 pp zpzp ˆ0ˆ0 22
ˆ;ˆ   
Logo, temos que o IC para a proporção populacional ao nível de
significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
n
x
p ˆ







n
pq
pNp ,ˆ
Para construir o IC para p desconhecida, determinarmos na
amostra e consideremos
0
ˆp
n
qp
p
00
ˆ
ˆˆ

28
Exemplo: Retiramos de uma população uma amostra de 100
elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir um
IC para a proporção real de sucessos na população.
Intervalo de Confiança (IC) para proporções
29
O IC de 99% de confiança para p é [ 0,0972; 0,3028]
p(o) - z(∝/2)*σ(p) =
= 0,01 - 2,58*?? =
=
p(o) + z(∝/2)*σ(p) =
= 0,01 + 2,58*?? =
=
Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão.
•Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança sem
diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra.
Obtendo o tamanho mínimo da amostra para estimar p
Dado um nível de confiança (1-) e um erro máximo de estimativa E, o
mínimo tamanho necessário da amostra para estimar p é
Essa formula supõe que haja uma estimativa preliminar para e .
Caso não seja assim, use e
30
2
2/
ˆˆ 






E
z
qpn 
pˆ qˆ
5,0ˆ p 5,0ˆ q
Determinando um tamanho mínimo para a amostra.
•Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar, com 95%
de confiança, a proporção de eleitores registrados que votarão em seu
candidato.
•Qual é o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar a
proporção populacional com precisão dentro de 3%?
Solução: Uma vez que não temos estimativas preliminares usaremos
e . Usando e E=0,03 temos que
Pelo menos 1.068 eleitores registrados devem ser incluídos na amostra.
Exemplo
5,0ˆ p
31
5,0ˆ q 96,12/ z
11,1067
03,0
96,1
)5,0)(5,0(ˆˆ
22
2/













E
z
qpn 
População Normal com média  desconhecida.
    









 


1
11
2
1
2
2
2
2
2
snsn
P
Logo, o IC para a proporção populacional ao nível de significância
(1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
  2
1
2
1
2


 n
n
i
i xx 
Demostra-se que tem distribuição relacionada com
com (n-1) graus de liberdade, isto é,
 

n
i
i xx
1
2 2

Como temos  

 22
1
1
xx
n
s i
    2
1
2
1 snxx
n
i
i 
  22
1
2
1 snn  
32
    









 


1
11
2
1
2
2
2
2
2
snsn
P
O IC para a variância populacional ao nível de significância (1-) :
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Onde: e
2
)%2/(,1
2
1   n
2
)%2/1(,1
2
2   n
33
Exemplo: Sabe-se que o tempo de vida de certo tipo de válvula tem
distribuição aproximadamente normal. Uma amostra de 25 válvulas
forneceu média amostral de 500 h e s=50 h. Construir um IC para
2, ao nível de 2%.
Intervalo de Confiança (IC) para a variância
Se n = 25, s2=2500 856,102
%1,24
2
1   980,422
%99,24
2
2  
    









 


1
11
2
1
2
2
2
2
2
snsn
P
34
O IC de 98% de confiança para 2 é [ 1395,9; 5526,9]
(n-1)*s²/x2² =
= (25-1)*2500/42,980 =
= 1.396
(n-1)*s²/x1² =
= (25-1)*2500/10,856 =
= 5.526,90

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1. intervalo de confiança parte i

  • 1. Parâmetros: Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população  =(, 2 , p). Identificada uma v.a. X sus parâmetros podem ser a média e variância Estatísticas: Uma estatística T é uma função de X1, X2 ..., Xn Parâmetros e Estatísticas  nXXXfT ,,, 21  1
  • 2. Parâmetros e Estatísticas )pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2   Parâmetros:  =(, 2 , p) Estimativas: n x psX  ˆˆˆ 22  2
  • 3. )(X  n Xi X )(2 XVar   )1/()( 22 nXxS i Denominação População Amostra N de elementos N n Média Variância Proporção p pˆ Símbolos mais comuns a seguir 3
  • 5. População com media  Uma amostra aleatória simples de n elementos é selecionada a partir da população Os dados da amostra fornecem um valor para a média da amostra X O valor de é usado para fazer inferências sobre o valor de  X O valor esperado de iguala-se a  a partir da qual a amostra é extraída. X 5 1 23 4
  • 6. Teorema Central do Limite Dado que : • A variável aleatória X tem distribuição (que pode ser normal, ou não), com média  e desvio padrão . • Amostra  de  tamanho    “n”    são  extraídas  aleatoriamente   dessa população. 6
  • 7. Teorema Central do Limite Conclusões: • Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende para uma distribuição normal. • A média das médias amostrais será a média populacional. • O desvio padrão das médias amostrais será  x nx   7
  • 8. Teorema Central do Limite Regras Práticas de Uso Comum: • Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal. • Se a própria distribuição original tem distribuição normal, então as médias amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral n. X 8
  • 9. Intervalo de Confiança IC Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.  =(,2 , p) )()( xUxL  9
  • 10. Intervalo de Confiança IC A partir de uma amostra de uma distribuição f(x,), que depende de um parâmetro  desconhecido, desejamos encontrar um intervalo aleatório que contenha  com alta probabilidade é chamado de intervalo de confiança (1-) se )()( xUxL      1)()(Pr xUxL 10
  • 11. Estimação: Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. )pˆ,ˆ,ˆ(ˆ 2   Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional. n x psX  ˆ,ˆ,ˆ 22  11
  • 12. Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras Coeficiente de confiança é a probabilidade ( 1- ) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. Coeficiente de Confiança (1- ) /2/2 12
  • 13. Coeficiente de Confiança (1- ) /2/2 z/2- z/2 A distribuição normal padronizada o valor z/2 é o valor crítico O grau de confiança é também chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança. Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras 13
  • 14. Valores críticos mais comuns: 1 -  0,80 0,85 0,90 0,95 0,99 z/2 1,28 1,44 1,645 1,96 2,58  /2  /2 1 -  0 z/2- z/2 Normal(0,1) 14
  • 15. A margem de erro, denotado por E é a diferença máxima provável (com probabilidade 1- ) entre a média amostral observada e a verdadeira média populacional  .X A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valor crítico pelo desvio padrão das médias amostrais, n .zE 2   Margem de Erro 15
  • 16. Áreas de uma distribuição amostral de usada para fazer declarações de probabilidade sobre o erro de amostragem  /2 /2 Distribuição amostral da X (1-  )%  X   n z   2/ 16
  • 17. Tamanho da Amostra para estimar  Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de precisão desejado . Resolvendo a equação do erro em n obtemos, 2 2        E z n  n .zE 2   17
  • 18. Intervalo de Confiança para a média populacional  (com base a grandes amostras: n > 30) EXEX   Onde n .zE 2          n zX; n zX 22   Outras formas equivalentes de escrever: • com variância conhecida o intervalo de confiança 100(1-)% para  Intervalo de Confiança (IC) para  • com variância desconhecida, usa-se a distribuição normal com o estimador s2 de 2 . 18
  • 19. Intervalo de Confiança (IC) para  Exemplo 1: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média desconhecida e variância  = 410. Se encontre um intervalo de confiança 95% para .. 1428X Olhando a tabela da Distribuição Normal, temos que o ponto crítico, tal que Se  = 0,05, temos que z0,025 = 1,96.   2/2/   zZP 19
  • 20. Intervalo de Confiança (IC) para  Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025 - 1,96 Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95 1,96 O IC de 95% de confiança para a  é [1300,85 ; 1555,15] 20 X - z(∝/2)*σ/√n = = 1428 - 1,96*410/√40 = = 1.300,94 X + z(∝/2)*σ/√n = = 1428 + 1,96*410/√40 = = 1.555,06
  • 21. Intervalo de Confiança para a média populacional  (com base a pequenas amostras: n < 30) Variáveis aleatórias independentes, então: • com variância desconhecida Intervalo de Confiança (IC) para  Pode-se mostrar que: e2 1n 2 ~ S)1n(       )1,0(Normal~ X n     1nt~ S Xn    21
  • 22. Intervalo de Confiança para a média populacional  (com base a pequenas amostras: n < 30)         n s tX n s tX nn 11 ; • com variância desconhecida Intervalo de Confiança (IC) para  O intervalo de confiança 100(1-)% para  Onde t é o percentil (1 - /2) da distribuição de Student com n -1 graus de liberdade. 22
  • 23. Intervalo de Confiança (IC) para          n s tX n s tX nn 11 ;  /2 /2 tn-1- tn-1 Pr[ t > tn-1] = /2 Ex. Se n = 10 e  = 0,05, temos Pr[ t < 2,262] = 0,975 23
  • 24. Intervalo de Confiança (IC) para  Exemplo 2: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que e s= 496, encontre um intervalo de confiança 95% para . 1428X Se n > 30, então usa-se a distribuição normal com estimador s2 de 2. 24
  • 25. Intervalo de Confiança (IC) para  Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025 - 1,96 Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95 1,96 O IC de 95% de confiança para a  é [1274,18 ; 1581,82] 25 X - t(n-1)*s/√n = = 1428 - 1,96*496/√40 = = 1.274,29 X - t(n-1)*s/√n = = 1428 + 1,96*496/√40 = = 1.581,71
  • 26. Intervalo de Confiança (IC) para  Exemplo 3: Sejam X1, X2, ... X25 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que e s2 = 36, encontre um intervalo de confiança 95% para . 15X Olhando a tabela da Distribuição t de Student, temos que o ponto crítico t24,0,025=2,064 então Pr[t24 > 2,064] = 0,025. 26
  • 27. Intervalo de Confiança (IC) para  Pr[t > 2,064 ] = 0,025Pr[t < - 2,064]= 0,025 - 2,064 Pr[-2,064 < t < 2,064] = 0,95 2,064 O IC de 95% de confiança para a  é [ 12,523 ; 17,477] 27 X + t(n-1)*√s²/√n = = 15 + 2,064*√36/√25 = = 17,477 X - t(n-1)*√s²/√n = = 15 - 2,064*√36/√25 = = 12,523
  • 28. Lembrando que quando p populacional é conhecida, tem distribuição assintotica .  pp zpzp ˆ0ˆ0 22 ˆ;ˆ    Logo, temos que o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) : Intervalo de Confiança (IC) para proporções n x p ˆ        n pq pNp ,ˆ Para construir o IC para p desconhecida, determinarmos na amostra e consideremos 0 ˆp n qp p 00 ˆ ˆˆ  28
  • 29. Exemplo: Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir um IC para a proporção real de sucessos na população. Intervalo de Confiança (IC) para proporções 29 O IC de 99% de confiança para p é [ 0,0972; 0,3028] p(o) - z(∝/2)*σ(p) = = 0,01 - 2,58*?? = = p(o) + z(∝/2)*σ(p) = = 0,01 + 2,58*?? = =
  • 30. Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão. •Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança sem diminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra. Obtendo o tamanho mínimo da amostra para estimar p Dado um nível de confiança (1-) e um erro máximo de estimativa E, o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar p é Essa formula supõe que haja uma estimativa preliminar para e . Caso não seja assim, use e 30 2 2/ ˆˆ        E z qpn  pˆ qˆ 5,0ˆ p 5,0ˆ q
  • 31. Determinando um tamanho mínimo para a amostra. •Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar, com 95% de confiança, a proporção de eleitores registrados que votarão em seu candidato. •Qual é o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar a proporção populacional com precisão dentro de 3%? Solução: Uma vez que não temos estimativas preliminares usaremos e . Usando e E=0,03 temos que Pelo menos 1.068 eleitores registrados devem ser incluídos na amostra. Exemplo 5,0ˆ p 31 5,0ˆ q 96,12/ z 11,1067 03,0 96,1 )5,0)(5,0(ˆˆ 22 2/              E z qpn 
  • 32. População Normal com média  desconhecida.                   1 11 2 1 2 2 2 2 2 snsn P Logo, o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) : Intervalo de Confiança (IC) para a variância   2 1 2 1 2    n n i i xx  Demostra-se que tem distribuição relacionada com com (n-1) graus de liberdade, isto é,    n i i xx 1 2 2  Como temos     22 1 1 xx n s i     2 1 2 1 snxx n i i    22 1 2 1 snn   32
  • 33.                   1 11 2 1 2 2 2 2 2 snsn P O IC para a variância populacional ao nível de significância (1-) : Intervalo de Confiança (IC) para a variância Onde: e 2 )%2/(,1 2 1   n 2 )%2/1(,1 2 2   n 33
  • 34. Exemplo: Sabe-se que o tempo de vida de certo tipo de válvula tem distribuição aproximadamente normal. Uma amostra de 25 válvulas forneceu média amostral de 500 h e s=50 h. Construir um IC para 2, ao nível de 2%. Intervalo de Confiança (IC) para a variância Se n = 25, s2=2500 856,102 %1,24 2 1   980,422 %99,24 2 2                     1 11 2 1 2 2 2 2 2 snsn P 34 O IC de 98% de confiança para 2 é [ 1395,9; 5526,9] (n-1)*s²/x2² = = (25-1)*2500/42,980 = = 1.396 (n-1)*s²/x1² = = (25-1)*2500/10,856 = = 5.526,90