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                  Estimação

          Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
            Universidade Federal de Itajubá
Resumo
 A principal preocupação numa inferência estatística é obter
  conclusões sobre a população.
 Com a média de uma amostra extraída de uma população será
  estimada a média dessa população.

 Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas
  amostras diferentes do mesmo tamanho.


O parâmetro média da população é um valor único e
  desconhecido.
A estatística média da amostra é um valor
  conhecido, porém pode variar de amostra para
  amostra.
Resumo
 Com as médias das amostras, é possível construir a
  distribuição de freqüências das médias das amostras,
  denominada distribuição amostral da média, cuja média
  denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro
  padrão ou erro amostral.
Estimação

• Devido a natureza aleatória envolvida num
  procedimento amostral (AAS), não podemos
  garantir que repetições de amostras produzam
  sempre resultados idênticos.

• Então, ao coletarmos uma amostra, não
  podemos prever antecipadamente seu
  resultado, ou seja, todas as quantidades
  associadas à amostra terão caráter aleatório e
  portanto, devem receber tratamento
  probabilístico.
Estimação

• À combinação dos elementos da amostra,
  construída com a finalidade de representar, ou
  estimar, um parâmetro de interesse na
  população denominamos estimador. Em geral,
  denotamos os estimadores por símbolos com o
  acento circunflexo: ^ ^ , etc.
                      , , ^

• Aos valores numéricos assumidos pelos
  estimadores denominamos estimativas
  pontuais ou estimativas
Estimação


• Def. Um estimador T do parâmetro  é
  qualquer função da amostra, ou seja,
  T=g(X1,...,Xn).

 Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro
 populacional.



• Estimativa é o valor assumido pelo
  estimador em uma amostra.
Estimação
• Mas qualquer função representa bem o parâmetro
em estudo?
• O estimador precisa ter algumas propriedades:
Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado
  para um parâmetro  se:

                      ˆ
                  E ( )  
Em outras palavras, um estimador é não viciado
 se o seu valor esperado coincide com o
 parâmetro de interesse.
Estimação

Consistência: Um estimador é consistente se, à
 medida que o tamanho da amostra aumenta,
 seu valor esperado converge para o parâmetro
 de interesse e sua variância converge para
 zero:
                       ˆ
           i ) lim E ( )   ;
               n                    O estimador
                                      depende de n !!

                          ˆ
           ii ) lim Var ( )  0;
               n 
Estimação

Eficiência: Dados dois estimadores ^ 1 e 2, não
                                    ^
  viciados para um parâmetro . Dizemos que ^ 1 é
                                               
  mais eficiente do que ^ 2 se:
                        

                 ˆ           ˆ
           Var (1 )  Var ( 2 )
Parâmetro Estimador                            Propriedades
                      X
                          n

                                      i
                                               Não viciado e
              X         i 1
                                               consistente
                              n
    p        % com caracterís tica
                                               Não viciado e
          p
          ˆ
                     n                         consistente
   2              n

                  (X             i    X )2   Não viciado e
           S2    i 1
                                               consistente
                              n 1

   2             
                   n
                    ( X i  X )2               Viciado e
           2 
           ˆ      i 1                         consistente
                                  n
Exemplo
• Considere que, numa certa população,
  uma variável aleatória X assuma os
  valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens
  20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente.
  Logo  = 15 e 2 = 105.

           X      0   10 20 30
           P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
• Retirando todas as amostras de 2
  elementos com reposição tem-se a
  distribuição conjunta

     X1X2   0      10     20     30
     0       0,04   0,06   0,06   0,04
     10      0,06   0,09   0,06   0,09
     20      0,06   0,09   0,09   0,06
     30      0,04   0,06   0,06   0,04
• Para estimar  na população, considere
  os estimadores:
                    1  X 1
                    ˆ
                            n

                           X       i
                    2 
                    ˆ      i 1
                                n
1
^       0     10    20          30
P(1=x) 0,2   0,3   0,3         0,2

2
^       0     5     10          15      20   25   30
P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04
• Obtendo o valor esperado de 1 ,2:
                              ^ ^


 E ( 1 )  0 * 0,2  10 * 0,3  20 * 0,3  30 * 0,3  15
     ˆ
 E ( 2 )  0 * 0,04  5 * 0,12  10 * 0,21  ...  30 * 0,04  15
     ˆ



• Portanto, os estimadores são não
  viciados:
                           E ( 1 )  
                               ˆ
                           E (2 )  
                               ˆ
• Esses estimadores são consistentes?
                                                        Propriedade da Variância:

                                                                   Var (aX )  a 2Var ( X )
i ) lim E (  1)  lim E ( X 1 )  lim 15  
            ˆ
   n            n            n 

ii ) lim Var (  1)  lim Var ( X 1 )  lim 105   2
               ˆ
   n              n                 n 



                                                        n


                          X 1  X 2  ...  X n          E( X i )       n
i ) lim E (  2)  lim E 
            ˆ                                      lim i 1         lim    
    n            n 
                                   n               n      n        n  n

                                                               n


                               X  X 2  ...  X n 
                                                              Var ( X )  i
                                                                                    n 2     2
ii ) lim Var (  2)  lim Var  1
               ˆ                                      lim   i 1
                                                                               lim 2  lim     0
     n              n 
                                      n             n            n2         n  n   n  n




     Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!
• Qual é o estimador mais eficiente?

                    Var (  1)   2  105
                          ˆ


                                  2 105
                    Var (  2) 
                          ˆ              52,5
                                 n    2


 Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1.


                 Var (2 )  Var (1 )
                      ˆ           ˆ
Trabalho em grupo para casa

• Mostre que o estimador da variância dividido por
  n-1 é não viciado?

• Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma
  população com média  e variância 2. Um
  estimador natural da variância é:
                        n

                       (X    i    X)   2


                1 
                ˆ 2    i 1
                              n
Estimação

• Esse estimador é viciado?
          n                        n

        ( X i  X ) 2  ( X i      X ) 2
         i 1                     i 1
                n                             n                  n
         ( X i   )  2 ( X i   )( X   )   ( X   ) 2
                              2

              i 1                           i 1               i 1



              X           é uma constante e                   ( X i   )  n( X   ) 2
                                                            n
• Como                                                      i 1




                      n                              n

                      ( X i  X )   ( X i   ) 2  n( X   ) 2 .
                     i 1
                                         2

                                                    i 1
• Segue que
                       n            2
                     E  ( X i  X ) 
         E ( 12 )   i 1
             ˆ                        
                             n
            1 n                          2
           E ( X i   )  nE ( X   ) 
                               2

            n  i 1                       
          1          1 2
          n  
                2

          n          n
           n 1  2
                
           n 
• Logo
           n     2
         E     ˆ1    12
                         ˆ
           n 1 

              1 n
         S 
          2
                  (Xi  X )
             n  1 i 1
                             2
Exercício 1
• Foi analisado uma população de 15 famílias
  com filhos num certo bairro e observado o
  número de crianças de cada família,
  matriculadas na escola. Os dados foram:
  1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2.
• Qual dos estimadores abaixo é o “melhor”
  estimador da média e por quê?
     (max  min)        ( X1  X 2 )
 1
ˆ                ; 2 
                   ˆ                 ;  3 X
                                       ˆ
          2                  2
Exercício 2
• Suponha um experimento consistindo de n
  provas de Bernoulli, com probabilidade de
  sucesso p. Seja X o número de sucessos, e
  considere os estimadores
       X         1, se a primeira prova resultar sucesso,
   p1  ;
   ˆ        p2  
            ˆ
       n          0, caso contrário.

• Determine a esperança e a variância de cada
                        ^
  estimador. Por que p2 não é um bom estimador?
• Verifique se ^ 1 e p2 são consistentes.
               p     ^

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  • 1. Aula 11 Estimação Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes Universidade Federal de Itajubá
  • 2. Resumo  A principal preocupação numa inferência estatística é obter conclusões sobre a população.  Com a média de uma amostra extraída de uma população será estimada a média dessa população.  Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas amostras diferentes do mesmo tamanho. O parâmetro média da população é um valor único e desconhecido. A estatística média da amostra é um valor conhecido, porém pode variar de amostra para amostra.
  • 3. Resumo  Com as médias das amostras, é possível construir a distribuição de freqüências das médias das amostras, denominada distribuição amostral da média, cuja média denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro padrão ou erro amostral.
  • 4. Estimação • Devido a natureza aleatória envolvida num procedimento amostral (AAS), não podemos garantir que repetições de amostras produzam sempre resultados idênticos. • Então, ao coletarmos uma amostra, não podemos prever antecipadamente seu resultado, ou seja, todas as quantidades associadas à amostra terão caráter aleatório e portanto, devem receber tratamento probabilístico.
  • 5. Estimação • À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população denominamos estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento circunflexo: ^ ^ , etc. , , ^ • Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou estimativas
  • 6. Estimação • Def. Um estimador T do parâmetro  é qualquer função da amostra, ou seja, T=g(X1,...,Xn). Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro populacional. • Estimativa é o valor assumido pelo estimador em uma amostra.
  • 7. Estimação • Mas qualquer função representa bem o parâmetro em estudo? • O estimador precisa ter algumas propriedades: Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado para um parâmetro  se: ˆ E ( )   Em outras palavras, um estimador é não viciado se o seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse.
  • 8. Estimação Consistência: Um estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero: ˆ i ) lim E ( )   ; n  O estimador depende de n !! ˆ ii ) lim Var ( )  0; n 
  • 9. Estimação Eficiência: Dados dois estimadores ^ 1 e 2, não  ^ viciados para um parâmetro . Dizemos que ^ 1 é  mais eficiente do que ^ 2 se:  ˆ ˆ Var (1 )  Var ( 2 )
  • 10. Parâmetro Estimador Propriedades  X n i Não viciado e X i 1 consistente n p % com caracterís tica Não viciado e p ˆ n consistente 2 n (X i  X )2 Não viciado e S2  i 1 consistente n 1 2  n ( X i  X )2 Viciado e 2  ˆ i 1 consistente n
  • 11. Exemplo • Considere que, numa certa população, uma variável aleatória X assuma os valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens 20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente. Logo  = 15 e 2 = 105. X 0 10 20 30 P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
  • 12. • Retirando todas as amostras de 2 elementos com reposição tem-se a distribuição conjunta X1X2 0 10 20 30 0 0,04 0,06 0,06 0,04 10 0,06 0,09 0,06 0,09 20 0,06 0,09 0,09 0,06 30 0,04 0,06 0,06 0,04
  • 13. • Para estimar  na população, considere os estimadores: 1  X 1 ˆ n X i 2  ˆ i 1 n 1 ^ 0 10 20 30 P(1=x) 0,2 0,3 0,3 0,2 2 ^ 0 5 10 15 20 25 30 P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04
  • 14. • Obtendo o valor esperado de 1 ,2: ^ ^ E ( 1 )  0 * 0,2  10 * 0,3  20 * 0,3  30 * 0,3  15 ˆ E ( 2 )  0 * 0,04  5 * 0,12  10 * 0,21  ...  30 * 0,04  15 ˆ • Portanto, os estimadores são não viciados: E ( 1 )   ˆ E (2 )   ˆ
  • 15. • Esses estimadores são consistentes? Propriedade da Variância: Var (aX )  a 2Var ( X ) i ) lim E (  1)  lim E ( X 1 )  lim 15   ˆ n  n  n  ii ) lim Var (  1)  lim Var ( X 1 )  lim 105   2 ˆ n  n  n  n  X 1  X 2  ...  X n   E( X i ) n i ) lim E (  2)  lim E  ˆ   lim i 1  lim  n  n   n  n  n n  n n  X  X 2  ...  X n  Var ( X ) i n 2 2 ii ) lim Var (  2)  lim Var  1 ˆ   lim i 1  lim 2  lim 0 n  n   n  n  n2 n  n n  n Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!
  • 16. • Qual é o estimador mais eficiente? Var (  1)   2  105 ˆ 2 105 Var (  2)  ˆ   52,5 n 2 Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1. Var (2 )  Var (1 ) ˆ ˆ
  • 17. Trabalho em grupo para casa • Mostre que o estimador da variância dividido por n-1 é não viciado? • Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma população com média  e variância 2. Um estimador natural da variância é: n (X i  X) 2 1  ˆ 2 i 1 n
  • 18. Estimação • Esse estimador é viciado? n n  ( X i  X ) 2  ( X i      X ) 2 i 1 i 1 n n n   ( X i   )  2 ( X i   )( X   )   ( X   ) 2 2 i 1 i 1 i 1 X  é uma constante e  ( X i   )  n( X   ) 2 n • Como i 1 n n  ( X i  X )   ( X i   ) 2  n( X   ) 2 . i 1 2 i 1
  • 19. • Segue que  n 2 E  ( X i  X )  E ( 12 )   i 1 ˆ  n 1 n 2   E ( X i   )  nE ( X   )  2 n  i 1  1 1 2  n   2 n n  n 1  2    n 
  • 20. • Logo  n 2 E ˆ1    12 ˆ  n 1  1 n S  2 (Xi  X ) n  1 i 1 2
  • 21. Exercício 1 • Foi analisado uma população de 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados foram: 1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2. • Qual dos estimadores abaixo é o “melhor” estimador da média e por quê? (max  min) ( X1  X 2 )  1 ˆ ; 2  ˆ ;  3 X ˆ 2 2
  • 22. Exercício 2 • Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores X 1, se a primeira prova resultar sucesso, p1  ; ˆ p2   ˆ n  0, caso contrário. • Determine a esperança e a variância de cada ^ estimador. Por que p2 não é um bom estimador? • Verifique se ^ 1 e p2 são consistentes. p ^