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EPCAR 2012 – 2013 ( VERSÃO A ) - GABARITO COMENTADO


                                                                               −1
                                           ( 2 2 −1) (
                                                        2 2 +1) 


1) O oposto do número real x =
                               526  (
                                   +
                                       −2 )     (           )   
                                                                 está compreendido entre
                               495            128              
                                                               
                                                               
(a) -0,061 e -0,06 (b) -0,062 e -0,061 (c) -0,063 e -0,062 (d) -0,064 e -0,063

RESOLUÇÃO

                                        −1
                ( 2 2 −1) (
                             2      )
                                 2 +1


x=
   526
       +
              (
         ( −2 )           )         
                                      =
                                                     
                                         526  ( −2 ) 
                                            +
                                                      
                                                        (2 2 )
                                                                 2       
                                                                     −12 
                                                                         
                                                                             
                                                                              −1
                                                                                              [ 7 ]  −1
                                                                              = 526 +  ( −2 )  =
   495             128                 495        128                        495  128 
                                            
                                                                            
                                                                                                   
                                    
                    −1
  526  −128      526        31
=      +
  495  128   = 495 − 1 = 495 ≅ 0,0626
Daí, temos −0,063 < − x = −0,0626 < −0,062 .
LETRA C

2) A equação x = 3 x + a 2 + 3a , em que x é a incógnita e a ∈ » tal que a < −3 ,
possui conjunto solução S , S ⊂ » .
 Sobre S tem-se as seguintes proposições:
I) Possui exatamente dois elementos.
II) Não possui elemento menor que 2.
III) Possui elemento maior que 3.
Sobre as proposições acima, são verdadeiras
(a) apenas I e II (b) apenas I e III (c) apenas II e III (d) I, II e III

RESOLUÇÃO
Restrição: x ≥ 0
Elevando ambos os membros da equação x = 3 x + a 2 + 3a ao quadrado, teremos:
                                   2
    2
(x) =     (   3 x + a 2 + 3a   )
x 2 = 3 x + a 2 + 3a
x 2 − a 2 − 3 x − 3a = 0
( x + a )( x − a ) − 3 ( x + a ) = 0
( x + a )( x − a − 3 ) = 0
Logo, temos x = −a > 3 (ok!) ou x = a + 3 ( Não convém, pois a + 3 < 0 ).
Daí, S = {−a} .
LETRA C


3) “NASCIDOS PARA VOAR; 60 ANOS DE FUMAÇA JÁ”
     Fonte: Jornal EPCARIANO – Ano 1, n° 01 – p. 4

 Em maio de 2012, o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de
apresentações.
 Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os
alunos teriam que criar um desenho.
 Uma das regras desse documento foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de
matemática.
 O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferências conforme esquema abaixo.




Com base nas informações do desenho, julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa.
(02) A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos                           é
igual a 6π .
                   ___  ___
                                            2 3
(04) A razão entre PS e ST , nessa ordem, é     .
                                             3
        ___     ___
(08) PS e GH são congruentes.

        ___
               1 ___
(16) AQ =        EJ .
               2
___
          3 3
(32) ST =       .
            4
A soma das alternativas verdadeiras é igual a
(a) 20 (b) 22 (c) 36 (d) 44

RESOLUÇÃO

                                                               ___     ____
                                                                              π
(Falsa) Na figura 1, temos que o comprimento de GH = FK =                         .
                                                                              2
                                                               ___
                                                                       3π
           Na figura 2, temos que o comprimento de LM =                   .
                                                                        2
                                            3
                                      ˆ
           Na figura 3, temos que tg PNR =
                                           3
                                                (   ) ˆ
                                              , logo PNR = 30 . Logo, o
                                        π
comprimento de            é igual a         .
                                        2
       Daí, a soma dos comprimentos dos arcos                        é igual a
 π π π 3π
  + + +         = 3π .
 2 2 2 2
(Verdadeira ) Na figura 3, temos que o triângulo NPS é retângulo em S, logo
                                                        ____

 ˆ                                                      PS           1      2    2 3
NPS = 60 ; e, no triângulo PTS, temos que               ____
                                                               =          =    =     .
                                                                   sen 60    3    3
                                                        ST

                                                             ˆ     ˆ
(Verdadeira) Como as circunferências possuem raios iguais e GEH = PAS = 60 ,
                   ___          ___
então temos que PS e GH são congruentes.


(Falsa) Na figura 3, Os triângulos NAQ e NPR são semelhantes e, a razão de
                         ___       ___
                                          3
semelhança é ½ . Logo, AQ = ½ ( PR ) =      .
                                         2
                           ___
           Na figura 1, EJ =3/2 (raio da circunferência).
                ____
                        3 ____
           Daí, AQ =     ( EJ )
                       3


(Verdadeira) Na figura 3, temos :
                                                                                      ____
                                                                                      PS
                                                     ˆ
                (i) No triângulo PRS, temos que sen PRN = sen 60 = (     )            ____
                                                                                             .
                                                                                      PR
                         ____
                                  3
                 Daí, PS =          .
                                  2
                                                                                      ____
                                                                                      ST
                                                      ˆ
                (ii) No triângulo PST, temos que sen TPS = sen 60 =(     )            ____
                                                                                             .
                                                                                      PS
____
                                  3 3
               Daí, temos ST =        .
                                   4

Logo, a soma é igual a 4 + 8 + 32 = 44.

LETRA D


4) Uma professora de Matemática do 5° ano do Ensino Fundamental, para dar início a
um conteúdo novo, levou para a sala de aula p bolinhas em uma única caixa.
Ela chamou os alunos α , β e γ à frente da turma e pediu a cada aluno que, um de cada
vez, fizesse retiradas sucessivas de um mesmo número de bolinhas, conforme descrito
no quadro abaixo:




Sabe-se que:
I - 40 < p < 80
II - Cada aluno, logo após a contagem das bolinhas por ele retiradas, devolveu todas as
bolinhas para a caixa.
III – Não houve erro na contagem por parte dos alunos.
Com base nessas informações, é FALSO que
                                                       1
(a) x + y + z > p (b) x e y são primos entre si (c) y < p (d) x – z é um número ímpar
                                                       3

RESOLUÇÃO

Pelas informações do quadro acima, temos:

   (i)      p = 2 x ⇒ 15 p = 30 x
   (ii)     p = 3 y + 1 ⇒ 10 p = 30 y + 10
   (iii)    p = 5z + 2 ⇒ 6 p = 30z + 12
                                                      
Fazendo (ii) + (iii) – (i), obtemos p = 30  y + z − x  + 22 = 30k + 22 , onde k ∈ » .
                                                      
                                                k     
Logo, 40 < p < 80 e p = 30k + 22 , então p = 52 .
Daí, temos x = 16 , y = 17 e z = 10 .

LETRA D


5) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José
tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades
deles será 90 anos.
 Em 29 de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, será
(a) 6/5        (b) 9/7               (c) 5/4                 (d) 27/20

RESOLUÇÃO
Considerando, no futuro, a idade de Luiz sendo 2x, como a soma das idades no referido
tempo é igual a 90 anos, então a idade de José será 90 – 2x.
Como a diferença entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, é sempre a mesma,
teremos:
                                Passado Pr esente Futuro
                        José 90 − 3 x           2x       90 − 2 x
                        Luiz        x        6 x − 90      2x

Como a idade de José no passado é igual a idade de Luiz no presente, temos:
90 – 3x = 6x – 90 ⇒ x = 20.
Logo, atualmente (29 de julho de 2012) as idades de José e Luiz são, respectivamente,
40 anos e 30 anos.
Daí, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, em 29 de julho de 2017, será
         45 9
igual a     = .
         35 7

LETRA B
6) Considere as expressões abaixo e simplifique-as.
                                                                              1
                                                                         n+

A=
   (x      2 n +1
                            )(
                    + x x 2n +1 − x − x 4                  ) ( )              2
                                                                                  , x ≠ 0 , C = 4z 2 − 3 y 2 dado que z =
                                                                                                                                        a+b
                                                                                                                                            ,
                                     2
               (x   n
                        +x       )       −x       2n
                                                       − 2x       n +1                                                                   2
        a−b                                                2012                                      2012
y=
      3
                , a = 2+ 3       (                     )          e b = 2− 3      (              )          .

Marque a alternativa verdadeira.
                                                                                    C
(a) É possível determinar o valor de
                                                                                  4A + C
(b)      C é um número irracional
                                −0,5               3
(c)  − ( A − C ) 
                                       =
                                                  3
                        _            3
                    −0,3                9
(d) ( A + C )               =
                                       3

RESOLUÇÃO

                                                                                       1
                                                                                  n+

(i) A =
           (                         )(
               x 2 n +1 + x x 2n +1 − x − x 4                     ) ( )                2
                                                                                           =
                                                                                                        x 4n +2 − x 2 − x 4n +2           −x2
                                                                                                                                         = 2 .
                                              2
                    (x      n
                                 +x       )       − x 2n − 2 x n +1                            x 2n   + 2 x n +1 + x 2 − x 2n − 2 x n +1   x
       Como x ≠ 0 , temos A = −1 .

(ii)
2                        2
                 a+b    a−b            2           2
                               = ( a + b ) − ( a − b ) = 4ab =
        2     2
C = 4z − 3 y = 4     − 3
                  2      3 
             2012              2012                                           2012
    (
= 4 2+ 3    ) (2 − 3 )                   = 4 2+ 3 2− 3 
                                                  (               )(      )          = 4.12012 = 4
                                                       

                                _             1                   3
                              −0,3        −               1         9
Daí, temos que      (A + C)          =3       3
                                                  =   3
                                                              =       .
                                                          3        3

LETRA D


7) Maria Fernanda utiliza um balde com capacidade igual a 0,028hl para aguar as 16
roseiras de seu jardim. Ela enche o balde, inicialmente vazio, e vai, de roseira em
roseira, sem desperdício de água, jogando exatamente 800 cm3 em cada uma.
Toda vez que o líquido não é suficiente para continuar, Maria Fernanda retorna e
completa a capacidade do balde. Ela faz isso até que tenha aguado todas as roseiras.
 É correto afirmar que, para Maria Fernanda aguar todas as roseiras,

(a) o volume de água que sobra no balde é maior que 5/7 do total de sua capacidade.
(b) o total de água gasto não chega a 15 l.
(c) é necessário encher o balde somente 5 vezes.
(d) o volume de água que sobra no balde é menor que 10% do total de água gasto.
RESOLUÇÃO

Sejam:
C a capacidade do balde e Q a quantidade de água necessária para aguar cada roseira,
temos:
C = 0,028 hl = 2,8 l ;
Q = 800 cm3 = 0,8 l.
Para aguar 16 roseiras, Maria terá que encher o balde 6 vezes e, gastará 12,8 l.

LETRA B


8) Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira
torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório
em 24 minutos.
 Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante
um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se,
imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de ( k + 3 ) minutos.
 Se o volume de água atingido corresponde a 2/3 da capacidade do reservatório, então o
tempo total gasto foi
(a) 31% de hora (b) 30% de hora (c) 28% de hora (d) 27% de hora

RESOLUÇÃO

Consideremos que :
( i ) V é o volume do reservatório;
( ii ) 36 minutos é o tempo necessário para que uma torneira A encha o tanque;
( iii ) 24 minutos é o tempo necessário para que uma torneira B encha o tanque.

Se a torneira A ficou aberta, sozinha, durante k minutos e, a torneira B ficou aberta,
sozinha, durante ( k + 3 ) minutos e, tendo as duas enchido 2/3 do reservatório, temos:

 k       k +3       2
  .V +         .V =   .V
 36       24        3
Dividindo ambos os membros por V, teremos
 k k +3 2
    +       =
36      24    3
k = 7,8 minutos.
Daí, o tempo gasto pelas duas torneiras para encherem 2/3 do reservatório foi de
2k + 3 = 18,6 minutos = 31% de hora.

LETRA A


9) Analise as proposições abaixo.
I) Uma jarra cheia de leite pesa 235 dag; com ¾ de leite a jarra pesa 19,5 hg. O peso da
jarra com 5/8 de leita é y gramas.
 A soma dos algarismos de y é igual a 13.
                ____
II) Com 3/5 de 0,6 da metade de 1 lata que comporta 20 l de tinta, um pintor consegue
pintar uma área de 16 m 2 .
Para pintar uma área 25% menor, são necessários, 0,003 m3 de tinta.

III) Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de cimento e 600 ml de água. Em
seguida, ele aumenta em 50% a quantidade de cimento e mexe até ficar homogênea a
mistura, obtendo 1800 ml dessa mistura.
Se a densidade da água é 1 g/ml, então a densidade do cimento é igual a 1,25 kg/l.
Tem-se que
(a) apenas I é verdadeira.
(b) apenas II é falsa.
(c) apenas I e II são falsas.
(d) I, II e III são verdadeiras.

RESOLUÇÃO
I) Sendo j o peso da jarra vazia e, l o peso do leite sem o recipiente, teremos:
  j + l = 235
 
  j + 3l = 1950 , donde obtemos l = 1600 g e j = 750 g.
 
          4
         5
Daí, j + l = 1750 g = y ; logo, a soma dos algarismos de y é igual a 13.
         8
3 6 1
II) Com   . . .20 = 4l é pintada 16m 2 . Logo, para pintar uma área de 12m 2 serão
         5 9 2
            3
necessários .4 = 3l = 0,003m 3 .
            4
III) Em 1800 ml de mistura, a quantidade de água é 600 ml e a quantidade de cimento é
                                     1500
1200 ml. Logo, a densidade é igual a       = 1,25 kg/l .
                                     1200

Daí, I , II e III são verdadeiras.

LETRA D


10) “ Ensino privatizado
     - 78% dos alunos brasileiros estão matriculados em instituições de ensino superior
privadas.
     - Nos Estados Unidos, o percentual é de 22%.”
     FONTE: ISTO É – 4/abril/12- Ano 36 , n° 2212 – p.55




Sabendo-se que os gráficos acima se referem ao Brasil, analise as afirmativas abaixo e
marque V (verdadeiro) ou F (falso).
( ) O aumento do número de instituições de ensino superior privadas entre os anos
2000 e 2010 foi x%. O número x está compreendido entre 106 e 110.
( ) No período de 2000 e 2010 o crescimento do número de instituições de ensino
superior públicas representa mais que a décima parte do crescimento no número de
instituições de ensino superior privadas.
( ) No ano de 2010, o número de alunos ingressantes no ensino superior privado
representa mais de 360% do número de alunos ingressantes no superior público.
( ) A – B representa mais de 65% de A.
A sequência correta é
(a) V - V – F – F (b) V – F – V – F        (c) F – V – V – V (d) F – F – F – V

RESOLUÇÃO
2099 − 1004
( V)                  ≅ 109,06%
             1004

( F ) 102 < 109,5

          1709
( V)           ≅ 373,96%
           457

          A − B 602 − 227
( F )          =          ≅ 62,29%
            A     602

LETRA B



                                                ___    ___
11) Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e
 10 .
                      ___
                                                                             ˆ
 Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ângulo APD é
                      ˆ
congruente ao ângulo ACB , conforme a figura.




                    ___
 Então, a medida AP é
                            2 10          10
(a) 0,2     (b) 2     (c)           (d)
                              5           5

RESOLUÇÃO

                                                                  ____
                                                             10 AP
Os triângulos ABC e DAP são semelhantes. Daí, temos            =    , donde obtemos
                                                             5   10
____
AP = 2 .

LETRA B


12) Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V(verdadeiro) ou F(falsa).
( ) Se p é um número inteiro, ímpar e p > 2, então o maior valor de x que satisfaz a
inequação − p ( x − p ) ≥ 2 ( 2 − x ) é sempre um número ímpar.
(    ) Para todo m ∈ » , o conjunto solução da equação 2mx − m ( x + 1) = 0 é S = {1} .
(    ) Se a menor raiz da equação ( I ) x 2 + ( m − 1) x − 3m = 0 e a menor raiz da
equação ( II ) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 são iguais, então m é a outra raiz de ( I ).
 Tem-se a sequência correta em
(a) F – F – V     (b) V – V – F      (c) V – F – V     (d) F – V – F



RESOLUÇÃO

(V)

−p ( x − p) ≥ 2 (2 − x )
− px + p 2 ≥ 4 − 2 x
2 x − px ≥ 4 − p 2
( 2 − p ) x ≥ ( 2 − p )( 2 + p )
Como p > 2 , então 2 − p < 0 . Logo, dividindo ambos os membros por 2 − p , obtemos
x ≤ p+2.
Daí, temos que o maior valor de x é p + 2 que é um número ímpar.


( F ) Resolvendo a equação, teremos:
2mx − m ( x + 1) = 0
2mx − mx − m = 0
mx = m

* Se m ≠ 0 , teremos x = 1 . Logo, S = {1} ;
* Se m = 0 , então x é indeterminado. Logo, S = » .


(V)

                                                           1
(II) Resolvendo a equação 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 , obtemos x =  ou x = −3 .
                                                           2
(I) Sendo −3 e x2 raízes da equação x 2 + ( m − 1) x − 3m = 0 , teremos:
    ( −3 ) . x 2 = −3 m ⇒ x 2 = m .

LETRA C
13) Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos
alunos do 1° ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço
foi de 10 dias.
O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada
um trabalhando 6 horas por dia.
Ao final do 8° dia de serviço somente 3/5 do serviço de pintura havia sido executado.
Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2
funcionários e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso a produtividade da
equipe duplicou. A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém
menos de 2 dias.
Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no
10° dia de trabalho, então h é um número compreendido entre
(a) 0 e 2    (b) 2 e 4   (c) 4 e 6  (d) 6 e 8

RESOLUÇÃO


n funcionários − h / dia − dias − a / b − produtividade
      6             6       8     3/5           1
      8             9        x    2/5           2

As grandezas dias e a/b são diretamente proporcionais;
As grandezas dias, n° de funcionários, h/dia e produtividade são inversamente
proporcionais.
                          3
              8 8 9 5 2                4
Logo, temos      = × × × ⇒ x = dia .
               x 6 6 2 1               3
                          5
Daí, h = 3 horas.

LETRA B


14) Gabriel aplicou R$ 6500,00 a juros simples em dois bancos. No banco A, ele
aplicou uma parte a 3% ao mês durante 5/6 de um ano; no banco B, aplicou o restante a
3,5% ao mês, durante ¾ de um ano.
O total de juros que recebeu nas duas aplicações foi de R$ 2002,50.
Com base nessas informações, é correto afirmar que
(a) é possível comprar um televisor de R$3100,00 com a quantia aplicada no banco A.
(b) o juro recebido com a aplicação no banco A foi menor que R$850,00.
(c) é possível comprar uma moto de R$4600,00 com a quantia recebida pela aplicação
no banco B.
(d) o juro recebido com a aplicação no banco B foi maior que R$1110,00.

RESOLUÇÃO
Considerando que a quantia aplicada no banco A foi de x reais a juros simples de 3% ao
mês durante 5/6 de um ano(10 meses) e, que a quantia aplicada no banco B foi de
(6500-x) reais a juros simples de 3,5% ao mês durante ¾ de um ano(9 meses), teremos:
 3                          35 
x      (10 ) + ( 6500 − x )        ( 9 ) = 2002,5
  100                        1000 
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 3000 .

Logo, Gabriel aplicou R$3000,00 no banco A recebendo de juros R$900,00 e, aplicou
R$3500,00 no banco B recebendo de juros R$1102,50.

LETRA C


15) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse
para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se
Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter ¼ da quantia de Pitágoras.
Dessa forma, é correto afirmar que
(a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais.
(b) Pitágoras possui hoje, 2/3 do que Tales possui.
(c) Tales possui hoje, mais que 220 reais.
(d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais.

RESOLUÇÃO

Conforme as informações descritas no texto acima, consideraremos que, hoje, Pitágoras
possui (x+100) reais e Tales possui x reais. Logo, temos que x – 100 = ¼ ( x + 200), de
onde obtemos x = 200.
Daí, hoje, Pitágoras possui 300 reais e Tales 200 reais.

LETRA A


16) Lucas e Mateus são apaixonados por futebol. Eles praticam futebol no quintal de
casa, que é totalmente plano e possui uma rede de 3 m de altura.




Numa brincadeira, Mateus posiciona a bola a 4 m da rede e Lucas varia sua posição em
lado oposto à rede, aproximando-se ou afastando-se dela, conservando uma mesma
linha reta com a bola, perpendicular à rede.
Mateus lança a bola para Lucas, com um único toque na bola, até que ela atinja o chão,
sem tocar a rede.
Considere um plano cartesiano em que:
•   cada lançamento realizado por Mateus é descrito por uma trajetória parabólica;
                                                         ↔
   •   Lucas e o ponto de partida da bola estão no eixo Ox e
   •   a posição da bola é um ponto (x,y) desse plano, onde y = f (x) é a altura
       atingida pela bola, em metros, em relação ao chão.

Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que tem a lei de uma função f que
satisfaz às condições estabelecidas na brincadeira de Lucas e Mateus.
                x2                                         3x2
(a) f ( x ) = −    +2                      (b) f ( x ) = −      +3
                 8                                         16
                x 2 x + 15
(c) f ( x ) = −    +                       (d) f ( x ) = −0,1x 2 + 0,2 x + 4,8
                16    4

RESOLUÇÃO

Dentre as opções acima, a única função que condiz com as informações descritas no
texto é f ( x ) = −0,1x 2 + 0,2 x + 4,8 como podemos ver no esboço abaixo.




LETRA D


17) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e
                       são arcos de circunferência cujo raio mede a.
Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a
    5a 2  π    3            π    3        a2
(a)
     2 
         
         3
             −   
                 
               2 
                     (b) 5a 2  −
                              3   2 
                                       
                                       
                                          (c)
                                              4
                                                     (
                                                 4π − 5 3       )          (
                                                                (d) a 2 4π − 5 3       )
                              

RESOLUÇÃO

Observe que a área hachurada é formada por cinco segmentos circulares relativos a um
setor de 60° de uma circunferência cujo raio é a.
Daí, temos:
                π a 2 60
                    ( )     a 2 3  5a 2  π      3
Shachurada = 5           −       =      −       
                360           4     2 3
                                                2 
                                                   
                                 

LETRA A


18) Uma mãe dividiu a quantia de R$ 2100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A
divisão foi feita em partes inversamente proporcional às idades de cada um.
Dessa forma, é verdade que
(a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a soma dos valores recebidos pelos
outros dois filhos.
(b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho do meio.
(c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que recebeu o mais novo.
(d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho teria sua parte acrescida
de 40% em relação ao que realmente recebeu.

RESOLUÇÃO

Idades dos filhos:                            3           5          6
Valor que cada filho recebeu:                 a           b          c

Como a divisão da quantia de R$2100,00 foi feita em três partes inversamente
proporcionais às respectivas idades dos filhos, temos:
                       
                       a = k
                       
                                3
                       
3a = 5b = 6c = k ⇒ b = k
                                5
                       
                        c = k
                       
                                6
                                      k k k
Temos então: a + b + c = 2100 ⇒ + + = 2100 ⇒ k = 3000 .
                                      3 5 6
Então concluímos que a = 1000 , b = 600 e c = 500 .
Daí, a alternativa correta é a letra d pois, se a divisão fosse feita em partes iguais, o
filho mais velho receberia R$700,00 que é 140% da parte que ele recebeu.

LETRA D
19) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único triângulo por vez,
usando os 12 palitos sem parti-los.
Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos isósceles, z
triângulos equiláteros e w triângulos escalenos.
 A soma x + y + z + w é igual a
(a) 7 (b) 6 (c) 5 (d) 4

RESOLUÇÃO

Sendo a, b e c os lados inteiros de um triângulo onde a + b + c = 12, temos que, pela
condição de existência de um triângulo, a < b + c ⇒ a < 12 − a ⇒ 0 < a < 6 .
Analogamente, teremos 0 < b < 6 e 0 < c < 6 .
Temos então, as seguintes possibilidades:
                           a b c                  ∆
                           2 5 5             isósceles
                           3 4 5 retângulo e escaleno
                           4 4 4 equilátero e isósceles

Daí, x = 1, y = 2, z = 1 e w = 1, donde x + y + z + w = 5.

LETRA C


20) Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais cada. O custo total de
cada camisa para a fábrica é de R$10,00.
O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$0,50 no preço unitário de cada
camisa, são vendidas 5 camisas a mais.
Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na
venda de cada camisa é de y%.
O número de divisores de y é
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12

RESOLUÇÃO

Temos:

      150 − 30
(i)             = 24 × 0,5 = 12 ( desconto no preço de venda de cada camisa);
          5
( ii ) 25 – 12 = 13 ( preço de venda de cada camisa );

( iii ) lucro = preço de venda – preço de custo = 13 – 10 = 3.

Daí, temos y% = 3/10 = 30% .
30 = 2. 3. 5 , logo y possui (1+1)(1+1)(1+1) = 8 divisores positivos.

LETRA B

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  • 1. EPCAR 2012 – 2013 ( VERSÃO A ) - GABARITO COMENTADO −1  ( 2 2 −1) ( 2 2 +1)  1) O oposto do número real x = 526  ( + −2 ) ( )   está compreendido entre 495  128      (a) -0,061 e -0,06 (b) -0,062 e -0,061 (c) -0,063 e -0,062 (d) -0,064 e -0,063 RESOLUÇÃO −1  ( 2 2 −1) ( 2 ) 2 +1 x= 526 + (  ( −2 ) )   =   526  ( −2 )  +  (2 2 ) 2  −12    −1  [ 7 ]  −1  = 526 +  ( −2 )  = 495  128  495  128  495  128            −1 526  −128  526 31 = + 495  128   = 495 − 1 = 495 ≅ 0,0626 Daí, temos −0,063 < − x = −0,0626 < −0,062 . LETRA C 2) A equação x = 3 x + a 2 + 3a , em que x é a incógnita e a ∈ » tal que a < −3 , possui conjunto solução S , S ⊂ » . Sobre S tem-se as seguintes proposições: I) Possui exatamente dois elementos. II) Não possui elemento menor que 2. III) Possui elemento maior que 3.
  • 2. Sobre as proposições acima, são verdadeiras (a) apenas I e II (b) apenas I e III (c) apenas II e III (d) I, II e III RESOLUÇÃO Restrição: x ≥ 0 Elevando ambos os membros da equação x = 3 x + a 2 + 3a ao quadrado, teremos: 2 2 (x) = ( 3 x + a 2 + 3a ) x 2 = 3 x + a 2 + 3a x 2 − a 2 − 3 x − 3a = 0 ( x + a )( x − a ) − 3 ( x + a ) = 0 ( x + a )( x − a − 3 ) = 0 Logo, temos x = −a > 3 (ok!) ou x = a + 3 ( Não convém, pois a + 3 < 0 ). Daí, S = {−a} . LETRA C 3) “NASCIDOS PARA VOAR; 60 ANOS DE FUMAÇA JÁ” Fonte: Jornal EPCARIANO – Ano 1, n° 01 – p. 4 Em maio de 2012, o esquadrão EDA (Esquadrilha da Fumaça) comemorou 60 anos de apresentações. Para homenagear esse esquadrão foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. Uma das regras desse documento foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemática. O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferências conforme esquema abaixo. Com base nas informações do desenho, julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa. (02) A menor soma das medidas dos comprimentos dos arcos é igual a 6π . ___ ___ 2 3 (04) A razão entre PS e ST , nessa ordem, é . 3 ___ ___ (08) PS e GH são congruentes. ___ 1 ___ (16) AQ = EJ . 2
  • 3. ___ 3 3 (32) ST = . 4 A soma das alternativas verdadeiras é igual a (a) 20 (b) 22 (c) 36 (d) 44 RESOLUÇÃO ___ ____ π (Falsa) Na figura 1, temos que o comprimento de GH = FK = . 2 ___ 3π Na figura 2, temos que o comprimento de LM = . 2 3 ˆ Na figura 3, temos que tg PNR = 3 ( ) ˆ , logo PNR = 30 . Logo, o π comprimento de é igual a . 2 Daí, a soma dos comprimentos dos arcos é igual a π π π 3π + + + = 3π . 2 2 2 2 (Verdadeira ) Na figura 3, temos que o triângulo NPS é retângulo em S, logo ____ ˆ PS 1 2 2 3 NPS = 60 ; e, no triângulo PTS, temos que ____ = = = . sen 60 3 3 ST ˆ ˆ (Verdadeira) Como as circunferências possuem raios iguais e GEH = PAS = 60 , ___ ___ então temos que PS e GH são congruentes. (Falsa) Na figura 3, Os triângulos NAQ e NPR são semelhantes e, a razão de ___ ___ 3 semelhança é ½ . Logo, AQ = ½ ( PR ) = . 2 ___ Na figura 1, EJ =3/2 (raio da circunferência). ____ 3 ____ Daí, AQ = ( EJ ) 3 (Verdadeira) Na figura 3, temos : ____ PS ˆ (i) No triângulo PRS, temos que sen PRN = sen 60 = ( ) ____ . PR ____ 3 Daí, PS = . 2 ____ ST ˆ (ii) No triângulo PST, temos que sen TPS = sen 60 =( ) ____ . PS
  • 4. ____ 3 3 Daí, temos ST = . 4 Logo, a soma é igual a 4 + 8 + 32 = 44. LETRA D 4) Uma professora de Matemática do 5° ano do Ensino Fundamental, para dar início a um conteúdo novo, levou para a sala de aula p bolinhas em uma única caixa. Ela chamou os alunos α , β e γ à frente da turma e pediu a cada aluno que, um de cada vez, fizesse retiradas sucessivas de um mesmo número de bolinhas, conforme descrito no quadro abaixo: Sabe-se que: I - 40 < p < 80 II - Cada aluno, logo após a contagem das bolinhas por ele retiradas, devolveu todas as bolinhas para a caixa. III – Não houve erro na contagem por parte dos alunos. Com base nessas informações, é FALSO que 1 (a) x + y + z > p (b) x e y são primos entre si (c) y < p (d) x – z é um número ímpar 3 RESOLUÇÃO Pelas informações do quadro acima, temos: (i) p = 2 x ⇒ 15 p = 30 x (ii) p = 3 y + 1 ⇒ 10 p = 30 y + 10 (iii) p = 5z + 2 ⇒ 6 p = 30z + 12   Fazendo (ii) + (iii) – (i), obtemos p = 30  y + z − x  + 22 = 30k + 22 , onde k ∈ » .    k  Logo, 40 < p < 80 e p = 30k + 22 , então p = 52 . Daí, temos x = 16 , y = 17 e z = 10 . LETRA D 5) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades deles será 90 anos. Em 29 de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, será
  • 5. (a) 6/5 (b) 9/7 (c) 5/4 (d) 27/20 RESOLUÇÃO Considerando, no futuro, a idade de Luiz sendo 2x, como a soma das idades no referido tempo é igual a 90 anos, então a idade de José será 90 – 2x. Como a diferença entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, é sempre a mesma, teremos: Passado Pr esente Futuro José 90 − 3 x 2x 90 − 2 x Luiz x 6 x − 90 2x Como a idade de José no passado é igual a idade de Luiz no presente, temos: 90 – 3x = 6x – 90 ⇒ x = 20. Logo, atualmente (29 de julho de 2012) as idades de José e Luiz são, respectivamente, 40 anos e 30 anos. Daí, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, em 29 de julho de 2017, será 45 9 igual a = . 35 7 LETRA B 6) Considere as expressões abaixo e simplifique-as. 1 n+ A= (x 2 n +1 )( + x x 2n +1 − x − x 4 ) ( ) 2 , x ≠ 0 , C = 4z 2 − 3 y 2 dado que z = a+b , 2 (x n +x ) −x 2n − 2x n +1 2 a−b 2012 2012 y= 3 , a = 2+ 3 ( ) e b = 2− 3 ( ) . Marque a alternativa verdadeira. C (a) É possível determinar o valor de 4A + C (b) C é um número irracional −0,5 3 (c)  − ( A − C )    = 3 _ 3 −0,3 9 (d) ( A + C ) = 3 RESOLUÇÃO 1 n+ (i) A = ( )( x 2 n +1 + x x 2n +1 − x − x 4 ) ( ) 2 = x 4n +2 − x 2 − x 4n +2 −x2 = 2 . 2 (x n +x ) − x 2n − 2 x n +1 x 2n + 2 x n +1 + x 2 − x 2n − 2 x n +1 x Como x ≠ 0 , temos A = −1 . (ii)
  • 6. 2 2 a+b a−b 2 2  = ( a + b ) − ( a − b ) = 4ab = 2 2 C = 4z − 3 y = 4   − 3  2   3  2012 2012 2012 ( = 4 2+ 3 ) (2 − 3 ) = 4 2+ 3 2− 3  ( )( ) = 4.12012 = 4   _ 1 3 −0,3 − 1 9 Daí, temos que (A + C) =3 3 = 3 = . 3 3 LETRA D 7) Maria Fernanda utiliza um balde com capacidade igual a 0,028hl para aguar as 16 roseiras de seu jardim. Ela enche o balde, inicialmente vazio, e vai, de roseira em roseira, sem desperdício de água, jogando exatamente 800 cm3 em cada uma. Toda vez que o líquido não é suficiente para continuar, Maria Fernanda retorna e completa a capacidade do balde. Ela faz isso até que tenha aguado todas as roseiras. É correto afirmar que, para Maria Fernanda aguar todas as roseiras, (a) o volume de água que sobra no balde é maior que 5/7 do total de sua capacidade. (b) o total de água gasto não chega a 15 l. (c) é necessário encher o balde somente 5 vezes. (d) o volume de água que sobra no balde é menor que 10% do total de água gasto. RESOLUÇÃO Sejam: C a capacidade do balde e Q a quantidade de água necessária para aguar cada roseira, temos: C = 0,028 hl = 2,8 l ; Q = 800 cm3 = 0,8 l. Para aguar 16 roseiras, Maria terá que encher o balde 6 vezes e, gastará 12,8 l. LETRA B 8) Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos. Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de ( k + 3 ) minutos. Se o volume de água atingido corresponde a 2/3 da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi (a) 31% de hora (b) 30% de hora (c) 28% de hora (d) 27% de hora RESOLUÇÃO Consideremos que :
  • 7. ( i ) V é o volume do reservatório; ( ii ) 36 minutos é o tempo necessário para que uma torneira A encha o tanque; ( iii ) 24 minutos é o tempo necessário para que uma torneira B encha o tanque. Se a torneira A ficou aberta, sozinha, durante k minutos e, a torneira B ficou aberta, sozinha, durante ( k + 3 ) minutos e, tendo as duas enchido 2/3 do reservatório, temos:  k  k +3 2   .V +   .V =   .V  36   24  3 Dividindo ambos os membros por V, teremos k k +3 2 + = 36 24 3 k = 7,8 minutos. Daí, o tempo gasto pelas duas torneiras para encherem 2/3 do reservatório foi de 2k + 3 = 18,6 minutos = 31% de hora. LETRA A 9) Analise as proposições abaixo. I) Uma jarra cheia de leite pesa 235 dag; com ¾ de leite a jarra pesa 19,5 hg. O peso da jarra com 5/8 de leita é y gramas. A soma dos algarismos de y é igual a 13. ____ II) Com 3/5 de 0,6 da metade de 1 lata que comporta 20 l de tinta, um pintor consegue pintar uma área de 16 m 2 . Para pintar uma área 25% menor, são necessários, 0,003 m3 de tinta. III) Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de cimento e 600 ml de água. Em seguida, ele aumenta em 50% a quantidade de cimento e mexe até ficar homogênea a mistura, obtendo 1800 ml dessa mistura. Se a densidade da água é 1 g/ml, então a densidade do cimento é igual a 1,25 kg/l. Tem-se que (a) apenas I é verdadeira. (b) apenas II é falsa. (c) apenas I e II são falsas. (d) I, II e III são verdadeiras. RESOLUÇÃO I) Sendo j o peso da jarra vazia e, l o peso do leite sem o recipiente, teremos:  j + l = 235   j + 3l = 1950 , donde obtemos l = 1600 g e j = 750 g.   4 5 Daí, j + l = 1750 g = y ; logo, a soma dos algarismos de y é igual a 13. 8
  • 8. 3 6 1 II) Com . . .20 = 4l é pintada 16m 2 . Logo, para pintar uma área de 12m 2 serão 5 9 2 3 necessários .4 = 3l = 0,003m 3 . 4 III) Em 1800 ml de mistura, a quantidade de água é 600 ml e a quantidade de cimento é 1500 1200 ml. Logo, a densidade é igual a = 1,25 kg/l . 1200 Daí, I , II e III são verdadeiras. LETRA D 10) “ Ensino privatizado - 78% dos alunos brasileiros estão matriculados em instituições de ensino superior privadas. - Nos Estados Unidos, o percentual é de 22%.” FONTE: ISTO É – 4/abril/12- Ano 36 , n° 2212 – p.55 Sabendo-se que os gráficos acima se referem ao Brasil, analise as afirmativas abaixo e marque V (verdadeiro) ou F (falso). ( ) O aumento do número de instituições de ensino superior privadas entre os anos 2000 e 2010 foi x%. O número x está compreendido entre 106 e 110. ( ) No período de 2000 e 2010 o crescimento do número de instituições de ensino superior públicas representa mais que a décima parte do crescimento no número de instituições de ensino superior privadas. ( ) No ano de 2010, o número de alunos ingressantes no ensino superior privado representa mais de 360% do número de alunos ingressantes no superior público. ( ) A – B representa mais de 65% de A. A sequência correta é (a) V - V – F – F (b) V – F – V – F (c) F – V – V – V (d) F – F – F – V RESOLUÇÃO
  • 9. 2099 − 1004 ( V) ≅ 109,06% 1004 ( F ) 102 < 109,5 1709 ( V) ≅ 373,96% 457 A − B 602 − 227 ( F ) = ≅ 62,29% A 602 LETRA B ___ ___ 11) Seja ABCD um paralelogramo cujos lados AB e BC medem, respectivamente, 5 e 10 . ___ ˆ Prolongando o lado AB até o ponto P, obtém-se o triângulo APD, cujo ângulo APD é ˆ congruente ao ângulo ACB , conforme a figura. ___ Então, a medida AP é 2 10 10 (a) 0,2 (b) 2 (c) (d) 5 5 RESOLUÇÃO ____ 10 AP Os triângulos ABC e DAP são semelhantes. Daí, temos = , donde obtemos 5 10 ____ AP = 2 . LETRA B 12) Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V(verdadeiro) ou F(falsa).
  • 10. ( ) Se p é um número inteiro, ímpar e p > 2, então o maior valor de x que satisfaz a inequação − p ( x − p ) ≥ 2 ( 2 − x ) é sempre um número ímpar. ( ) Para todo m ∈ » , o conjunto solução da equação 2mx − m ( x + 1) = 0 é S = {1} . ( ) Se a menor raiz da equação ( I ) x 2 + ( m − 1) x − 3m = 0 e a menor raiz da equação ( II ) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 são iguais, então m é a outra raiz de ( I ). Tem-se a sequência correta em (a) F – F – V (b) V – V – F (c) V – F – V (d) F – V – F RESOLUÇÃO (V) −p ( x − p) ≥ 2 (2 − x ) − px + p 2 ≥ 4 − 2 x 2 x − px ≥ 4 − p 2 ( 2 − p ) x ≥ ( 2 − p )( 2 + p ) Como p > 2 , então 2 − p < 0 . Logo, dividindo ambos os membros por 2 − p , obtemos x ≤ p+2. Daí, temos que o maior valor de x é p + 2 que é um número ímpar. ( F ) Resolvendo a equação, teremos: 2mx − m ( x + 1) = 0 2mx − mx − m = 0 mx = m * Se m ≠ 0 , teremos x = 1 . Logo, S = {1} ; * Se m = 0 , então x é indeterminado. Logo, S = » . (V) 1 (II) Resolvendo a equação 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 , obtemos x = ou x = −3 . 2 (I) Sendo −3 e x2 raízes da equação x 2 + ( m − 1) x − 3m = 0 , teremos: ( −3 ) . x 2 = −3 m ⇒ x 2 = m . LETRA C
  • 11. 13) Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1° ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias. O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia. Ao final do 8° dia de serviço somente 3/5 do serviço de pintura havia sido executado. Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2 funcionários e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso a produtividade da equipe duplicou. A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias. Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no 10° dia de trabalho, então h é um número compreendido entre (a) 0 e 2 (b) 2 e 4 (c) 4 e 6 (d) 6 e 8 RESOLUÇÃO n funcionários − h / dia − dias − a / b − produtividade 6 6 8 3/5 1 8 9 x 2/5 2 As grandezas dias e a/b são diretamente proporcionais; As grandezas dias, n° de funcionários, h/dia e produtividade são inversamente proporcionais. 3 8 8 9 5 2 4 Logo, temos = × × × ⇒ x = dia . x 6 6 2 1 3 5 Daí, h = 3 horas. LETRA B 14) Gabriel aplicou R$ 6500,00 a juros simples em dois bancos. No banco A, ele aplicou uma parte a 3% ao mês durante 5/6 de um ano; no banco B, aplicou o restante a 3,5% ao mês, durante ¾ de um ano. O total de juros que recebeu nas duas aplicações foi de R$ 2002,50. Com base nessas informações, é correto afirmar que (a) é possível comprar um televisor de R$3100,00 com a quantia aplicada no banco A. (b) o juro recebido com a aplicação no banco A foi menor que R$850,00. (c) é possível comprar uma moto de R$4600,00 com a quantia recebida pela aplicação no banco B. (d) o juro recebido com a aplicação no banco B foi maior que R$1110,00. RESOLUÇÃO Considerando que a quantia aplicada no banco A foi de x reais a juros simples de 3% ao mês durante 5/6 de um ano(10 meses) e, que a quantia aplicada no banco B foi de (6500-x) reais a juros simples de 3,5% ao mês durante ¾ de um ano(9 meses), teremos:
  • 12.  3   35  x  (10 ) + ( 6500 − x )   ( 9 ) = 2002,5  100   1000  Resolvendo a equação acima, obtemos x = 3000 . Logo, Gabriel aplicou R$3000,00 no banco A recebendo de juros R$900,00 e, aplicou R$3500,00 no banco B recebendo de juros R$1102,50. LETRA C 15) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter ¼ da quantia de Pitágoras. Dessa forma, é correto afirmar que (a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. (b) Pitágoras possui hoje, 2/3 do que Tales possui. (c) Tales possui hoje, mais que 220 reais. (d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais. RESOLUÇÃO Conforme as informações descritas no texto acima, consideraremos que, hoje, Pitágoras possui (x+100) reais e Tales possui x reais. Logo, temos que x – 100 = ¼ ( x + 200), de onde obtemos x = 200. Daí, hoje, Pitágoras possui 300 reais e Tales 200 reais. LETRA A 16) Lucas e Mateus são apaixonados por futebol. Eles praticam futebol no quintal de casa, que é totalmente plano e possui uma rede de 3 m de altura. Numa brincadeira, Mateus posiciona a bola a 4 m da rede e Lucas varia sua posição em lado oposto à rede, aproximando-se ou afastando-se dela, conservando uma mesma linha reta com a bola, perpendicular à rede. Mateus lança a bola para Lucas, com um único toque na bola, até que ela atinja o chão, sem tocar a rede. Considere um plano cartesiano em que:
  • 13. cada lançamento realizado por Mateus é descrito por uma trajetória parabólica; ↔ • Lucas e o ponto de partida da bola estão no eixo Ox e • a posição da bola é um ponto (x,y) desse plano, onde y = f (x) é a altura atingida pela bola, em metros, em relação ao chão. Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que tem a lei de uma função f que satisfaz às condições estabelecidas na brincadeira de Lucas e Mateus. x2 3x2 (a) f ( x ) = − +2 (b) f ( x ) = − +3 8 16 x 2 x + 15 (c) f ( x ) = − + (d) f ( x ) = −0,1x 2 + 0,2 x + 4,8 16 4 RESOLUÇÃO Dentre as opções acima, a única função que condiz com as informações descritas no texto é f ( x ) = −0,1x 2 + 0,2 x + 4,8 como podemos ver no esboço abaixo. LETRA D 17) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular de lado a e são arcos de circunferência cujo raio mede a.
  • 14. Assim, a área hachurada nessa figura, em função de a, é igual a 5a 2  π 3 π 3 a2 (a) 2   3 −   2  (b) 5a 2  − 3 2    (c) 4 ( 4π − 5 3 ) ( (d) a 2 4π − 5 3 )  RESOLUÇÃO Observe que a área hachurada é formada por cinco segmentos circulares relativos a um setor de 60° de uma circunferência cujo raio é a. Daí, temos:  π a 2 60 ( ) a 2 3  5a 2  π 3 Shachurada = 5  − =  −   360 4  2 3  2     LETRA A 18) Uma mãe dividiu a quantia de R$ 2100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A divisão foi feita em partes inversamente proporcional às idades de cada um. Dessa forma, é verdade que (a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a soma dos valores recebidos pelos outros dois filhos. (b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho do meio. (c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que recebeu o mais novo. (d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho teria sua parte acrescida de 40% em relação ao que realmente recebeu. RESOLUÇÃO Idades dos filhos: 3 5 6 Valor que cada filho recebeu: a b c Como a divisão da quantia de R$2100,00 foi feita em três partes inversamente proporcionais às respectivas idades dos filhos, temos:  a = k   3  3a = 5b = 6c = k ⇒ b = k  5   c = k   6 k k k Temos então: a + b + c = 2100 ⇒ + + = 2100 ⇒ k = 3000 . 3 5 6 Então concluímos que a = 1000 , b = 600 e c = 500 . Daí, a alternativa correta é a letra d pois, se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho receberia R$700,00 que é 140% da parte que ele recebeu. LETRA D
  • 15. 19) Samuel possui 12 palitos iguais e resolveu formar um único triângulo por vez, usando os 12 palitos sem parti-los. Ele verificou que é possível formar x triângulos retângulos, y triângulos isósceles, z triângulos equiláteros e w triângulos escalenos. A soma x + y + z + w é igual a (a) 7 (b) 6 (c) 5 (d) 4 RESOLUÇÃO Sendo a, b e c os lados inteiros de um triângulo onde a + b + c = 12, temos que, pela condição de existência de um triângulo, a < b + c ⇒ a < 12 − a ⇒ 0 < a < 6 . Analogamente, teremos 0 < b < 6 e 0 < c < 6 . Temos então, as seguintes possibilidades: a b c ∆ 2 5 5 isósceles 3 4 5 retângulo e escaleno 4 4 4 equilátero e isósceles Daí, x = 1, y = 2, z = 1 e w = 1, donde x + y + z + w = 5. LETRA C 20) Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais cada. O custo total de cada camisa para a fábrica é de R$10,00. O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$0,50 no preço unitário de cada camisa, são vendidas 5 camisas a mais. Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada camisa é de y%. O número de divisores de y é (a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 RESOLUÇÃO Temos: 150 − 30 (i) = 24 × 0,5 = 12 ( desconto no preço de venda de cada camisa); 5 ( ii ) 25 – 12 = 13 ( preço de venda de cada camisa ); ( iii ) lucro = preço de venda – preço de custo = 13 – 10 = 3. Daí, temos y% = 3/10 = 30% . 30 = 2. 3. 5 , logo y possui (1+1)(1+1)(1+1) = 8 divisores positivos. LETRA B