O documento descreve a vida e obra do matemático italiano Leonardo Fibonacci, conhecido por introduzir o sistema numérico hindu-arábico na Europa. Apresenta o problema clássico dos coelhos de Fibonacci, que gerou a famosa sequência numérica de Fibonacci. Explica como a sequência é formada segundo a lei de recorrência.

1. Disciplina : História da Matemática Através de Problemas Título : Estudando as sequências numéricas com Fibonacci Aluno : Leandro Jayme Pimenta Ferreira Pólo : Iguaba Grande Tutora : Sandra Meira Ferreira Trabalho final da disciplina Curso : Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Identificação

2. Leonardo de Pisa (Fibonacci) Leonardo Pisano Bogollo, Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci ou, na maioria das vezes, Fibonacci foi um matemático italiano considerado como o primeiro grande matemático europeu depois da decadência helênica e o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ele nasceu em, aproximadamente, 1170 e faleceu em, aproximadamente, 1250. Fibonacci é muito conhecido no mundo moderno por divulgar o sistema numérico hindu pela Europa.

3. Leonardo de Pisa (Fibonacci) Como menino novo, Leonardo viajou com seu pai, um funcionário diplomático, para Bugia, uma cidade da Argélia que se localiza no norte da África, para ajudá-lo. Lá, ele aprendeu sobre o sistema numérico hindu-arábico. Em 1202, aos 32 anos, publicou um livro chamado Liber Abaci (Livro de Ábaco ou Livro de Cálculo). Com ele, divulgou o sistema hindu-arábico pela Europa. O Liber Abaci apresenta uma problema clássico. Ele é conhecido como o problema dos coelhos.

4. A sequência de Fibonacci O clássico problema dos coelhos, apresentado no livro Liber Abaci de Fibonacci, propõe o seguinte: “ Suponha que as coelhas demorem um mês para gerar suas crias e que cada coelha fique prenha no início de cada mês, contando do início de seu primeiro mês de vida. Além disso, suponha que cada coelha gere um par de coelhos, um macho e uma fêmea. Quantos pares de coelhos você terá em 2 de janeiro de 1203 se você começar com um só par, em 1 de janeiro de 1202, se em cada mês cada par gera um novo par, que se torna produtivo a partir do segundo mês?”

5. A sequência de Fibonacci Fibonacci dá a seguinte solução para o problema: No primeiro mês, teremos um par de coelhos que se manterá no segundo mês, tratando-se de um casal de coelhos jovens. No terceiro mês de vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois pares de coelhos. Para o quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos, no fim deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês, serão dois os pares de coelhos a reproduzir, o que permite obter cinco pares de coelhos no fim deste mês. Continuando assim, Fibonacci mostra que teremos 233 pares ao fim de um ano de vida do par de coelhos do início. Vamos montar uma tabela para ilustrar essa situação.

6. A sequência de Fibonacci 233 02/Jan/1203 144 01/Dez/1202 89 01/Nov/1202 55 01/Out/1202 34 01/Set/1202 21 01/Ago/1202 13 01/Jul/1202 8 01/Jun/1202 5 01/Mai/1202 3 01/Abr/1202 2 01/Mar/1202 1 01/Fev/1202 1 01/Jan/1202 NÚMERO DE PARES DE COELHOS DIA/MÊS/ANO

7. A sequência de Fibonacci Os números que representam o número de pares de coelhos a cada mês, formam uma sucessão ou sequência numérica que pode ser representado por: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233) Essa sequência é famosa e conhecida como a sequência de Fibonacci .

8. Denomina-se sequência qualquer função f cujo domínio é N *. Cada número da sequência de Fibonacci é chamado de termo. Os termos são representados pela letra a acompanhada de um índice n , que informa sua posição ou ordem dentro da sequência. Com isso, os termos são escritos na forma a n , com n  N *. Considerando a sequência de Fibonacci, teremos: a 1 = 1 (primeiro termo) a 8 = 21 (oitavo termo) a 2 = 1 (segundo termo) a 9 = 34 (nono termo) a 3 = 2 (terceiro termo) a 10 = 55 (décimo termo) a 4 = 3 (quarto termo) a 11 = 89 (décimo primeiro termo) a 5 = 5 (quinto termo) a 12 = 144 (décimo segundo termo) a 6 = 8 (sexto termo) a 13 = 233 (décimo terceiro termo) a 7 = 13 (sétimo termo) Sequência numérica

9. Sequência numérica Analisando a sequência de Fibonacci, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233), podemos perceber que o último número da sequência, a partir do terceiro, é a soma dos dois números anteriores, sendo os dois primeiros números iguais a 1: a 1 = 1 a 2 = 1 a 3 = 2 a 4 = 3 . . . a n = a n -1 + a n -2 se n = 1 se n = 2 se n  3 Com isso, chegamos a fórmula:

10. Sequência numérica A fórmula que define a sequência de Fibonacci é chamada de lei de formação . Toda sequência numérica apresenta uma lei de formação. Ela pode ser de dois tipos: termo geral ou recorrência . Termo geral Nesse casso, a sequência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo a n em função de sua posição n na sequência. Essa fórmula é denominada termo geral da sequência. Exemplo: Os três primeiros termos da sequência definida pelo termo geral a n = 3 n –2 são: a 1 = 3.1 – 2 = 1 a 2 = 3.2 – 2 = 4 a 3 = 3.3 – 2 = 7 Portanto, a sequência é (1, 4, 7, ...).

11. Sequência numérica Recorrência Uma sequência pode ser definida atribuindo-se um valor a um de seus termos (geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo o valor do termo anterior da sequência. Nesse caso, dizemos que a sequência está definida por recorrência . Exemplo: Escrever os 4 primeiros termos da sequência definida por: Como a 1 = 5, vamos variar os valores de n de 1 a 3: Para n = 1: a 1+1 = a 1 + 2 => a 2 = 5 + 2 = 7 Para n = 2: a 2+1 = a 2 + 2 => a 3 = 7 + 2 = 9 Para n = 3: a 3+1 = a 3 + 2 => a 4 = 9 + 2 = 11 Assim, a sequência é (5, 7, 9, 11, ...).

12. A sequência de Fibonacci é uma sequência definida por recorrência, pois para se calcular cada termo, a partir do terceiro, é necessário se conhecer os dois termos anteriores a ele. Se uma sequência possui um último termo, ela é finita . Caso contrário, a sequência é infinita e para representá-la, colocam-se reticências no final. Exemplos: (2, 5, 14, 41) sequência finita (0, -6, -18, -42, ...) sequência infinita Sequência numérica

13. Exemplos de aplicação Exemplo1: Escreva a sucessão dada pelo termo geral a n = 2 n e n  {1, 2, 3, 4, 5}. Atribuindo valores a n , teremos: Para n = 1: a 1 = 2.1 = 2 Para n = 2: a 2 = 2.2 = 4 Para n = 3: a 3 = 2.3 = 6 Para n = 4: a 4 = 2.4 = 8 Para n = 5: a 5 = 2.5 = 10 Logo, a sucessão é (2, 4, 6, 8, 10).

14. Exemplos de aplicação Exemplo2: Escrever os quatro primeiros termos da sequência Como a 1 = -3, vamos atribuir valores a n : Para n = 1: a 1+1 = 5. a 1 => a 2 = 5.(-3) = -15 Para n = 2: a 2+1 = 5. a 2 => a 3 = 5. (-15) = -75 Para n = 3: a 3+1 = 5. a 3 => a 4 = 5.(-75) = -375 Logo, a sequência é (-3, -15, -75, -375, ...).

15. Exemplos de aplicação Exemplo3: Um empréstimo bancário tem suas parcelas com um aumento na prestação de 4% a mais em relação à anterior. Considerando um empréstimo de R$ 1800,00, parcelado em 6 vezes, qual o valor da quarta prestação? Sendo um empréstimo de R$ 1800,00 parcelado em 6 vezes, podemos calcular a primeira parcela: 1800,00 : 6 = 300,00 Com um aumento, a cada parcela, de 4%, podemos definir a lei de formação:

16. A quarta parcela equivale a n=3, logo: Para n = 1: a 1+1 = 1,04. a 1 => a 2 = 1,04.300,00 = 312,00 Para n = 2: a 2+1 = 1,04. a 2 => a 3 = 1,04.312,00 = 324,48 Para n = 3: a 3+1 = 1,04. a 3 => a 4 = 1,04.324,48 = 337,46 Então, a sequência é (300,00; 324,48; 337,46; ...). Logo, o valor da quarta prestação é de R$ 337,46. Exemplos de aplicação

17. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa . 2. ed. São Paulo: FTD, 2005. v. 1. Wikipédia, a enciclopédia livre. Leonardo Fibonacci . Disponível em <http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci>. Acesso em: 17 dez. 2010, 23:50. OLIVERO, Mário. História da Matemática . Material de estudo, 2008. Referências bibliográficas