1) O documento apresenta uma situação de aprendizagem sobre equações de 3o grau e a introdução dos números complexos. 2) A seção aborda a resolução de equações de 3o grau usando a fórmula de Bhaskara e a introdução dos números complexos como raízes. 3) Exemplos ilustram a aplicação da fórmula para resolver equações do 3o grau.
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
Resolução da prova do colégio naval de 20052marrow
O documento apresenta 6 problemas de matemática resolvidos passo a passo. Os problemas envolvem cálculo do máximo divisor comum, resolução de equações, análise de proporcionalidade, geometria plana e simplificação de frações algébricas. As respostas variam entre números racionais, irracionais e expressões algébricas.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento resume as características e propriedades das equações do segundo grau, incluindo como identificar o tipo de equação, calcular o delta para determinar o número de raízes, e usar a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 11 exercícios de frações algébricas. Os exercícios envolvem simplificar, escrever de forma equivalente e realizar operações com frações.
Este documento resume os principais pontos sobre equações do 1o grau. As equações do 1o grau podem ser escritas na forma ax + b = 0, com a ≠ 0. Pode-se transpor termos de um membro para outro multiplicando-os por -1. A solução é obtida fazendo x = -b/a. Exemplos ilustram como resolver equações do 1o grau passo a passo.
Resolução da prova do colégio naval de 20052marrow
O documento apresenta 6 problemas de matemática resolvidos passo a passo. Os problemas envolvem cálculo do máximo divisor comum, resolução de equações, análise de proporcionalidade, geometria plana e simplificação de frações algébricas. As respostas variam entre números racionais, irracionais e expressões algébricas.
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
O documento resume as características e propriedades das equações do segundo grau, incluindo como identificar o tipo de equação, calcular o delta para determinar o número de raízes, e usar a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 11 exercícios de frações algébricas. Os exercícios envolvem simplificar, escrever de forma equivalente e realizar operações com frações.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações do segundo grau, incluindo classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades.
2) Pede para determinar quais equações são do segundo grau, classificar equações como completas ou incompletas, resolver várias equações, e determinar valores para coeficientes ou raízes.
3) Inclui também exercícios sobre aplicações geométricas e algébricas de equações do segundo grau, como área de retângulos e números que
O documento apresenta os principais métodos para resolver equações do segundo grau:
1) Identificação dos coeficientes a, b e c;
2) Cálculo do discriminante;
3) Aplicação da fórmula de Bháskara ou relações de Girard para encontrar as raízes.
Os produtos notáveis são fórmulas para calcular produtos de termos que ocorrem com frequência em álgebra. O documento explica os seguintes produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos, cubo da soma de dois termos e cubo da diferença de dois termos. Exemplos numéricos são fornecidos para ilustrar cada fórmula.
Resolução da prova do colégio naval de 20072marrow
1) A soma das raízes da equação do 2o grau é 6 + 2√2.
2) O produto xy dos termos da equação é igual a 11.
3) O perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência é igual a 54,4.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de uma prova de matemática do Colégio Naval de 2010. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos relacionados a áreas de figuras, sistemas de equações, raízes de equações e propriedades de triângulos. As respostas variam de letras a, b, c, etc.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
1. O documento é uma lista de exercícios de matemática com 42 questões sobre funções, equações, desigualdades, geometria espacial e cálculo. 2. As questões abordam tópicos como gráficos de funções, esboços de funções, propriedades de funções crescentes e decrescentes, solução de equações e desigualdades, volumes e áreas de figuras geométricas como pirâmides, tetraedros e cones. 3. A lista foi elaborada por quatro professores e contém exercícios de
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
O documento apresenta 5 questões resolvidas de um gabarito de prova. A primeira questão resolve uma equação de segundo grau para encontrar as raízes e determinar o 6° termo de uma progressão geométrica. A segunda questão determina o valor de X para que três números formem uma progressão geométrica. A terceira questão calcula o montante total de depósitos em uma poupança ao longo de 21 anos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 40 questões sobre conjuntos, funções e domínios.
2) As questões abordam tópicos como operações com conjuntos, produto cartesiano, gráficos de funções, equações funcionais e determinação de domínios.
3) A lista tem o objetivo de avaliar o conhecimento dos estudantes em diferentes conceitos fundamentais de álgebra.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre logaritmos e números complexos. As questões abordam traçar gráficos de funções logarítmicas, determinar domínios de funções, inversas de funções, operações com logaritmos e números complexos.
Este documento fornece uma introdução às equações de segundo grau, incluindo: (1) Definição de equação de segundo grau e sua forma geral; (2) Exemplos de equações de segundo grau completas e incompletas; (3) Métodos para encontrar as raízes de equações de segundo grau incompletas e completas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 37 questões sobre funções, gráficos de funções, equações de retas e sistemas lineares. As questões abordam tópicos como composição de funções, função inversa, coeficiente angular e linear de retas, domínio e conjunto imagem de funções.
O documento é uma lista de exercícios de funções quadráticas contendo 15 questões. As questões envolvem cálculos com raízes de equações quadráticas, encontrar vértices de funções quadráticas, construir gráficos de funções quadráticas e identificar propriedades dessas funções a partir de gráficos ou enunciados.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
O documento descreve equações de 2o grau, definindo-as como aquelas que podem ser escritas na forma ax2 + bx + c = 0. Explica como resolver equações de 2o grau completas e incompletas, aplicando a lei do anulamento do produto quando necessário. Fornece exemplos de resolução de diferentes tipos de equações de 2o grau.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
Este documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2013 da UFBA, contendo 6 questões de matemática. As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, sistemas de equações, funções e círculos.
O documento apresenta 24 problemas resolvidos utilizando a lei dos cossenos em triângulos. Os problemas envolvem calcular ângulos, lados e áreas de triângulos a partir de dados como medidas de lados e ângulos. As resoluções demonstram a aplicação da fórmula da lei dos cossenos para encontrar as grandezas desconhecidas nos diferentes problemas propostos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações do segundo grau, incluindo classificar equações, resolver equações, determinar valores para que equações tenham determinadas propriedades.
2) Pede para determinar quais equações são do segundo grau, classificar equações como completas ou incompletas, resolver várias equações, e determinar valores para coeficientes ou raízes.
3) Inclui também exercícios sobre aplicações geométricas e algébricas de equações do segundo grau, como área de retângulos e números que
O documento apresenta os principais métodos para resolver equações do segundo grau:
1) Identificação dos coeficientes a, b e c;
2) Cálculo do discriminante;
3) Aplicação da fórmula de Bháskara ou relações de Girard para encontrar as raízes.
Os produtos notáveis são fórmulas para calcular produtos de termos que ocorrem com frequência em álgebra. O documento explica os seguintes produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto da soma pela diferença de dois termos, cubo da soma de dois termos e cubo da diferença de dois termos. Exemplos numéricos são fornecidos para ilustrar cada fórmula.
Resolução da prova do colégio naval de 20072marrow
1) A soma das raízes da equação do 2o grau é 6 + 2√2.
2) O produto xy dos termos da equação é igual a 11.
3) O perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência é igual a 54,4.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta a resolução de 10 questões de uma prova de matemática do Colégio Naval de 2010. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos relacionados a áreas de figuras, sistemas de equações, raízes de equações e propriedades de triângulos. As respostas variam de letras a, b, c, etc.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
1. O documento é uma lista de exercícios de matemática com 42 questões sobre funções, equações, desigualdades, geometria espacial e cálculo. 2. As questões abordam tópicos como gráficos de funções, esboços de funções, propriedades de funções crescentes e decrescentes, solução de equações e desigualdades, volumes e áreas de figuras geométricas como pirâmides, tetraedros e cones. 3. A lista foi elaborada por quatro professores e contém exercícios de
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
1. O documento apresenta uma prova de matemática comentada com 27 questões. As questões abordam tópicos como combinatória, probabilidade, geometria e álgebra.
2. As respostas para cada questão são fornecidas junto com uma breve explicação do raciocínio matemático utilizado.
3. A prova parece ter sido aplicada para ingresso na Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e tem o objetivo de
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, 2o grau, exponenciais e logarítmicas. Inclui questões sobre gráficos, equações, domínios, máximos e mínimos de funções.
O documento apresenta 5 questões resolvidas de um gabarito de prova. A primeira questão resolve uma equação de segundo grau para encontrar as raízes e determinar o 6° termo de uma progressão geométrica. A segunda questão determina o valor de X para que três números formem uma progressão geométrica. A terceira questão calcula o montante total de depósitos em uma poupança ao longo de 21 anos.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 40 questões sobre conjuntos, funções e domínios.
2) As questões abordam tópicos como operações com conjuntos, produto cartesiano, gráficos de funções, equações funcionais e determinação de domínios.
3) A lista tem o objetivo de avaliar o conhecimento dos estudantes em diferentes conceitos fundamentais de álgebra.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre logaritmos e números complexos. As questões abordam traçar gráficos de funções logarítmicas, determinar domínios de funções, inversas de funções, operações com logaritmos e números complexos.
Este documento fornece uma introdução às equações de segundo grau, incluindo: (1) Definição de equação de segundo grau e sua forma geral; (2) Exemplos de equações de segundo grau completas e incompletas; (3) Métodos para encontrar as raízes de equações de segundo grau incompletas e completas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 37 questões sobre funções, gráficos de funções, equações de retas e sistemas lineares. As questões abordam tópicos como composição de funções, função inversa, coeficiente angular e linear de retas, domínio e conjunto imagem de funções.
O documento é uma lista de exercícios de funções quadráticas contendo 15 questões. As questões envolvem cálculos com raízes de equações quadráticas, encontrar vértices de funções quadráticas, construir gráficos de funções quadráticas e identificar propriedades dessas funções a partir de gráficos ou enunciados.
O documento resume os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também aborda representações decimais de números racionais, coordenadas cartesianas, distância entre pontos e equações de circunferências. Exemplos e exercícios são fornecidos para revisar os conceitos.
O documento descreve equações de 2o grau, definindo-as como aquelas que podem ser escritas na forma ax2 + bx + c = 0. Explica como resolver equações de 2o grau completas e incompletas, aplicando a lei do anulamento do produto quando necessário. Fornece exemplos de resolução de diferentes tipos de equações de 2o grau.
1) O documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões envolvem cálculos com números complexos, raízes complexas e representações geométricas no plano complexo.
2) As respostas para as questões 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 10 envolvem cálculos algébricos e trigonométricos com números complexos.
3) As questões 2, 5 e 9 requerem a representação geométrica de números complexos no plano e cálculos com suas propriedades algébricas e trigonométricas.
Este documento apresenta o gabarito da segunda fase do vestibular de 2013 da UFBA, contendo 6 questões de matemática. As questões abordam tópicos como porcentagem, geometria plana e espacial, sistemas de equações, funções e círculos.
O documento apresenta 24 problemas resolvidos utilizando a lei dos cossenos em triângulos. Os problemas envolvem calcular ângulos, lados e áreas de triângulos a partir de dados como medidas de lados e ângulos. As resoluções demonstram a aplicação da fórmula da lei dos cossenos para encontrar as grandezas desconhecidas nos diferentes problemas propostos.
1. O polinômio P(x) é dado e sua avaliação em um ponto é fornecida. Isso permite determinar o valor de P no ponto (1+i)/2.
2. O gráfico de um polinômio de terceiro grau é dado. Isso permite determinar o resto da divisão desse polinômio por um binômio.
3. Uma condição é dada sobre uma função quadrática. Isso permite determinar o coeficiente b dessa função.
O documento discute produtos notáveis, definindo-os como resultados importantes de multiplicações. Ele apresenta seis produtos notáveis: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença de dois termos. Exemplos são fornecidos para ilustrar cada um desses produtos notáveis.
O documento apresenta 29 exercícios de álgebra linear envolvendo operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e resolução de sistemas lineares. Os exercícios abordam conceitos como matriz identidade, matriz nula, matriz idempotente e matriz periódica.
O documento apresenta exercícios sobre matrizes e determinantes. No primeiro exercício sobre matrizes, pede para calcular 2A + 3B para diferentes matrizes A e B. No segundo exercício, pede para escrever uma matriz A na forma de produto escalar e produto de matrizes. No terceiro, calcula produtos de matrizes e vetores. Sobre determinantes, pede para calcular determinantes, identificar valores que anulam determinantes e usar o teorema de Laplace.
1) O documento apresenta questões sobre matemática, incluindo álgebra, geometria, trigonometria e limites.
2) São abordados tópicos como representação gráfica de conjuntos, área de figuras planas e geométricas, sistemas de equações lineares e não lineares, funções trigonométricas, limites e derivadas.
3) As questões propõem cálculos, demonstrações e afirmações para avaliar o raciocínio matemático sobre esses diferentes conteúdos.
O documento apresenta os conceitos e métodos para resolução de equações do segundo grau. Em três frases ou menos, o documento resume:
1) Equações do segundo grau podem ser completas ou incompletas e são representadas pela forma geral ax2 + bx + c = 0, sendo resolvidas pela fórmula de Bháskara. 2) Uma equação do segundo grau pode ter zero, uma ou duas raízes reais, e as relações entre os coeficientes a, b e c determinam o número de soluções. 3) Além de equações numéricas,
1) O documento é uma avaliação de física do 2o ano do Colégio Tiradentes da Polícia Militar de Minas Gerais em Uberaba.
2) A avaliação contém 10 questões e um desafio extra sobre conteúdos de física como potências de 10, classificação de triângulos e expressões matemáticas.
3) As questões abordam tópicos como notação científica, trigonometria e resolução de exercícios com triângulos retângulos.
O documento apresenta a demonstração algébrica e geométrica da equação de Bhaskara, que é usada para resolver equações do segundo grau. A demonstração algébrica utiliza o método de completar quadrados para chegar à forma x = -b ± √(b2 - 4ac)/2a. A demonstração geométrica representa os termos da equação do segundo grau como áreas para chegar à mesma forma da equação de Bhaskara.
1) A equação da parábola passando pelos pontos (3,5) e (5,13) é y = 2x2 - 12x + 23. A equação da parábola no novo sistema de coordenadas é y = 2x2 - 8.
2) A equação da parábola que passa pelos pontos (1,9) e (-2,3) é y - 9 = 2(x + 1)2 - 8, ou seja, y = 2x2 + 4x + 3.
3) A equação da parábola representada na figura é dada por f
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
Este documento contém 15 questões de matemática sobre sistemas lineares, matrizes e determinantes. As questões incluem cálculos e resoluções de exercícios envolvendo estas operações matriciais.
1) O documento apresenta os principais tópicos de Matemática Básica, incluindo produtos notáveis, módulo e distância, potenciação e radiciação, polinômios, equações e inequações.
2) É dividido em seções que tratam de tópicos como produtos notáveis e fatoração, equações polinomiais do 1o e 2o grau, inequações do 1o e 2o grau, entre outros.
3) Contem exemplos resolvidos de cada tópico para auxiliar na compreensão dos conceitos
O documento apresenta conceitos fundamentais de geometria analítica e plana, incluindo pontos, retas, distâncias, equações cartesiana e paramétricas de retas, alinhamento e distância de pontos à retas. Também aborda cálculo de áreas de figuras planas como triângulos, quadrados, losangos e trapézios, além de conceitos básicos de geometria espacial sobre prisma, pirâmide, tetraedro e esfera.
(1) O documento apresenta uma prova de matemática com 25 questões sobre tópicos como expressões algébricas, porcentagem, geometria, funções e limites. (2) As questões variam de dificuldade e abordam diferentes conceitos matemáticos. (3) A prova parece ser um exame final ou de admissão para um curso de matemática.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
Semelhante a 2010 volume2 cadernodoaluno_matematica_ensinomedio_3aserie_gabarito (20)
Este documento fornece instruções e conteúdo sobre física para alunos do ensino médio. Aborda tópicos como calor, temperatura e máquinas térmicas. Inclui atividades práticas para investigação e pesquisa sobre esses conceitos.
Este documento apresenta um caderno de estudos de Física para alunos do ensino médio. Ele inclui atividades sobre identificação e classificação de movimentos do cotidiano, identificação das variáveis relevantes de um movimento como velocidade e tempo, e explica como a velocidade é estimada em estradas e cidades usando placas de sinalização e lombadas eletrônicas.
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1) Os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos em 2009 para apoiar o trabalho dos professores. Eles foram usados e revisados para uma nova edição em 2010.
2) As alterações nos Cadernos foram apontadas por autores, leitores especializados e professores, que contribuíram para aperfeiçoá-los. Alguns dados também foram atualizados.
3) Quando receber a nova edição do Caderno, o professor deve analisar as mudanças para estar preparado para suas aulas.
Este documento fornece exemplos e exercícios sobre proporcionalidade e razão. Resume as seguintes ideias principais:
1) Apresenta situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa entre grandezas como tempo, distância, número de pessoas e produção.
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Este documento fornece exemplos e exercícios sobre proporcionalidade e razão. [1] Discute situações que envolvem proporcionalidade direta e inversa, e fornece exercícios para identificar esses tipos de relação. [2] Apresenta o conceito matemático de razão e proporção, e exemplos de como converter razões em porcentagens. [3] Explica o conceito de escala em mapas e como usar escalas para calcular distâncias reais.
Este documento fornece instruções para atividades de classificação e definição de figuras geométricas. As atividades pedem que os alunos caracterizem figuras com base em termos informais e depois as classifiquem usando a nomenclatura matemática correta. Exemplos de figuras são fornecidos para ilustrar cada conceito.
1. O documento apresenta exemplos de problemas resolvidos envolvendo matrizes. Inclui situações sobre movimentos em plano cartesiano, preferências de modelos de veículos e codificação de imagens.
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1) Os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos em 2009 para apoiar o trabalho dos professores. Eles foram usados, testados e revisados para uma nova edição em 2010.
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3) Quando receber a nova edição do Caderno, analise as mudanças para estar preparado para suas aulas. Utilize as orientações e
1. O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009. As alterações nos cadernos foram sugeridas por professores e especialistas e atualizados com publicações recentes.
2. O documento instrui os professores a analisarem as diferenças na nova edição dos cadernos para estarem preparados para suas aulas.
3. A primeira parte do documento contém orientações sobre as atividades propostas nos cadernos, enquanto a segunda parte traz informações e ajustes para s
1) O documento descreve a edição e distribuição dos Cadernos do Aluno para estudantes da rede estadual de ensino em 2009 e as alterações feitas para a nova edição de 2010 com base em sugestões de professores e especialistas.
2) Os professores contribuíram para aperfeiçoar os Cadernos do Aluno de 2009, analisando o material e postando sugestões. Alguns dados também foram atualizados.
3) A nova edição dos Cadernos do Aluno de 2010 inclui orientações para as atividades propostas, com informações e
Este documento apresenta uma série de exercícios e atividades sobre geometria plana e espacial para alunos do 6o/7o ano. As atividades abordam tópicos como ângulos, simetria, polígonos regulares, classificação e propriedades de poliedros.
Este documento apresenta uma série de exercícios e atividades sobre geometria plana e espacial para alunos do 6o ou 7o ano. As atividades abordam tópicos como ângulos, simetria, polígonos regulares, classificação de poliedros e fórmula de Euler.
1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
A EQUAÇÃO DE 3º GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS
NÚMEROS COMPLEXOS
Páginas 3 - 6
1.
Questões (a) e (b)
b c
ax 2 bx c 0 (a ) x 2 x 0 x 2 Bx C 0,
a a
b c
com B e C
a a
c)
2
B B B B2 B2
y B y C 0 y 2 2 y By C 0
2 2 2 4 2
B2 B2
y2 C 0 y2 C 0
4 4
B2 B 2 4C
d) Como y2 = – C, segue que y
4 2
B B 2 4C B B B 2 4C
e) Como x y , segue que x , ou seja, x
2 2 2 2 2
b c b b 2 4ac
Substituindo B por e C por , obtemos x , que é a fórmula de
a a 2a
Bhaskara.
f) Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0;
1
2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
5
Substituindo x por y , onde o denominador 2 é o grau da equação, obtemos:
2
2
5 5
y 5 y 6 0 .
2 2
1 1
Efetuando os cálculos, obtemos y2 = , ou seja, y = .
4 2
5
Como x = y , segue que x = – 2 ou x = – 3.
2
2.
a) x1 e x2 são obtidos pela fórmula de Bhaskara:
b b 2 4ac b b 2 4ac
x .
2a 2a 2a
b c
Como S b Sa e P c Pa , temos:
a a
( Sa) ( Sa) 2 4a ( Pa) Sa a S 2 4 P S S 2 4 P
x .
2a 2a 2a 2a 2
Os números 10 e 40 seriam a soma e o produto das raízes da equação x2 – 10x + 40
S S 2 4P
= 0. Segundo a fórmula , teríamos de calcular
2
10 10 2 4.40 10 60
; como não existe a raiz quadrada de um número
2 2
negativo em IR, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e
cujo produto seja 40.
b) Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então
eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas, se o quadrado da soma S dos
dois números fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P,
então a equação x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante = S2 – 4P negativo, ou seja,
não teria raízes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima.
3.
2
3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
a) Efetuando a substituição indicada, obtemos:
( y 5) 3 15( y 5) 2 11( y 5) 7 0 y 3 64 y 202 0 .
b) Efetuando a substituição indicada, obtemos:
3 2
B B B
y B y C y D 0
3 3 3
B
2
B B
3
B B
2
B
y3 3 y 2 3 y B y 2 2 y C y D 0
3 3 3
3 3 3
yB 2 B 3 2 yB 2 B 3 BC B 2 y 2 B3 BC
y3 y 2 B y2B Cy D 0 y3 Cy D0
3 27 3 9 3 3 27 3
Verificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando-se os
cálculos indicados, é possível mostrar que, na equação xn + A1xn-1 + A2xn-2 + A3xn-3 +
A1
... + An-1x + An = 0, a substituição de x por y – conduz à eliminação do termo em
n
yn-1.
Páginas 8 - 12
1.
a) x2 + 6x – 1 = 0; a = 1, b = 6 e c = –1
6 (6) 2 4.1.(1) 6 36 4 6 2 10
x 3 10
x 3 10 1
2.1 2 2 x2 3 10
b) p 3 3 10
p 3 3 10
3
q 3 10
q 3 3 10
c) Comparando a igualdade (p + q)3 – 3pq . (p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação
y3 + M . y + N = 0, deduzimos que, se – 3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q
será raiz da equação.
Temos, então, de encontrar dois números p e q tais que:
M3
p . q =
3
27 e p + q = –N.
3
3 3
3
4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da
M3
equação do segundo grau z2 + Nz – = 0.
27
4M 3
N N 2
Resolvendo tal equação, obtemos: z = 27 N N2 M3
,
2 2 4 27
isso significa que os valores de p3 e q3 são:
N N2 M3 N N2 M3
e ,
2 4 27 2 4 27
logo, os valores de p e de q serão N N2 M3 N N2 M3 .
3 e 3
2 4 27 2 4 27
Em consequência, o valor de y = p + q será:
N N2 M3 N N 2 M 3 , como queríamos mostrar.
y 3 3
2 4 27 2 4 27
2. Substituindo, na fórmula obtida no exercício anterior, temos:
2 4 27 2 4 27 3
y3 3 1 0 3 1 0 2 ; logo, y = 2 é uma
2 4 27 2 4 27
raiz.
Como será visto nas atividades seguintes, conhecendo-se uma das raízes de uma
equação de grau 3, é possível reduzi-la a uma equação de 2o grau, encontrando-se,
assim, todas as raízes da equação inicial.
3.
a) O volume do cubo de aresta x é igual a x3 e o volume do paralelepípedo de base
15 m2 e altura x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser
4 m3 maior do que o volume do paralelepípedo traduz a equação:
x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0.
4
5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
b) Calculando o valor de x pela fórmula obtida anteriormente para equações de 3o
grau, obtemos: x 3 2 121 3 2 121 . Pela fórmula, parece não existir raiz
da equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um
número negativo.
c) Certamente, a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar
diretamente, uma vez que 43 – 15.4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos
foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações
de 2o grau, era assim que se procedia: ao se deparar com a raiz quadrada de um
número negativo, dizia-se: “A equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabe-se que a
equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos?
4.
a) De fato, como –121 = 121 . (–1), para extrair a raiz quadrada de –121, bastaria
sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se representarmos a raiz quadrada de
–1 por i, esse número imaginário, teríamos: –1 = i2, ou seja, i 1 . Em
consequência, 121 121. 1 11.i .
Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número
negativo: 9 9 . 1 3.i ; analogamente, 7 . 7 . i , e assim por diante.
Insistimos que, por enquanto, é feito apenas um exercício de imaginação: se existir
um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos
os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal
número imaginário de i, temos, por exemplo, que
25 25 . (1) 25 . 1 5. i .
b) Substituindo 121 por 11i na expressão x 3 2 121 3 2 121 ,
obtemos: x 3 2 11i 3 2 11i .
c) Ao elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com
uma parte imaginária, verifica-se que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3
= 2 + 11i.
De fato, temos:
5
6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
(2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 => (2 + i)3 = 8 + 12 . i + 6 . i2 + i2 . i
Como i2 = –1, segue que:
(2 + i)3 = 8 + 12i + 6 . (–1) + (–1) . i, ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i
De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.
d) Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos:
x 3 2 11. i 3 2 11. i , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconcilia-se a
fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes.
Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de
números negativos. Será mostrado mais adiante de que modo os novos números
assim construídos – os chamados números complexos – são uma extensão natural
muito fecunda dos conhecidos números reais.
Páginas 12 - 13
1.
a 2
b b 2 4ac (10) (10) 4.2.12
2
2 x 10 x 12 0 b 10 x
2
c 12 2a 2 .2
10 2
x x 3 ou x2
4
2.
a) por verificação, encontramos x = 2, pois 23 – 2 – 6 = 8 – 8 = 0.
b) como a soma dos coeficientes da equação é igual a 0, podemos concluir que
x = 1 é uma das raízes.
x3 – 2x2 – x + 2 = 0.
para x = 1 13 – 2 . 12 – 1 + 2 = 0.
6
7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Página 13
1.
a) – 2 – i.
b) 12 – 3i.
c) – 81 + 79i.
d) 170.
e) – i.
f) i.
7
8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAÇÕES ENTRE
COEFICIENTES E RAÍZES
Páginas 14 - 17
1.
a) (x – m).(x – p).(x – k) = 0
b) (x – 2).(x – 3).(x – 4) = 0
c) x 3 (2 3 4) x 2 (2.3 2.4 3.4) x 2.3.4 0 x 3 9 x 2 26 x 24 0
Soma das Produto das
raízes raízes
b c
d) é igual à soma das raízes da equação com sinal trocado, é igual à soma dos
a a
d
produtos das raízes tomadas duas a duas e é igual ao produto das raízes com o
a
sinal trocado.
2.
a)
S1 r1 r2 r3 2 3 4 5 , S2 r1.r2 r1.r3 r2 .r3 (2).3 (2).4 3.4 2 e
P (2).3.4 24
b) (x + 2).(x – 3).(x – 4) = 0
c) x 3 5 x 2 2 x 24 0
8
9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
3.
S1 r1 r2 r3 2 3 5 10 , S 2 r1 .r2 r1 .r3 r2 .r3 2.3 2.5 3.5 31 e
P 2.3.5 30
Logo, a equação será: x 3 10 x 2 31x 30 0
Páginas 17 - 18
1.
a)
S1 r1 r2 r3 3 5 1 9 , S 2 r1.r2 r1.r3 r2 .r3 3.5 3.1 5.1 23 e
P 3.5.1 15
Logo, a equação será: x 3 9 x 2 23x 15 0
b)
S1 r1 r2 r3 2 7 3 6 , S 2 r1 .r2 r1 .r3 r2 .r3 2.7 2.( 3) 7.( 3) 13 e
P 2.7.( 3) 42
Logo, a equação será: x 3 6 x 2 13x 42 0
c)
S1 r1 r2 r3 2 3 4 1, S 2 r1 .r2 r1 .r3 r2 .r3 (2).(3) (2).4 (3).4 14 e
P (2).(3).4 24
Logo, a equação será: x 3 x 2 14 x 24 0
2.
a) (x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0
b) (x + 2).(x – 3).(x – 4).(x + 5) = 0
c) (x – 1).(x – 0).(x – 3).(x – 7) = 0
9
10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Páginas 19 - 20
1.
b 3 c 2 d e
ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 x 4 x x x 0,
a a a a
b c
onde : (r1 r2 r3 r4 ) , r1.r2 r1.r3 r1.r4 r2 .r3 r2 .r4 r3 .r4 ,
a a
d e
(r1.r2 .r3 r1.r2 .r4 r1.r3 .r4 r2 .r3 .r4 ) e r1.r2 .r3 .r4
a a
a) x 4 14 x 3 71x 2 154 x 120 0
b) x 4 0 x 3 27 x 2 14 x 120 0
c) x 4 11x 3 31x 2 21x 0
2.
a) Observando os coeficientes, pode-se concluir que 24 é igual ao produto das três
raízes. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 24, ou seja,
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Naturalmente, dependendo do valor de k, tal
equação pode não admitir nenhum desses divisores como raiz. O que se pode afirmar
é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores
de 24.
b) Como a soma das duas raízes simétricas é 0 e a soma das três raízes é 8, então a
terceira raiz deverá ser igual a 8.
c) Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é
24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24.
d) Não é possível que a equação tenha uma raiz nula, pois, nesse caso, o produto
das raízes seria 0, e já vimos que o produto das raízes é igual a 24.
10
11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
3. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira;
logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então k = 7.
Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das
outras duas deve ser igual a – 8.
Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das
outras duas é igual a 15.
Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua
soma é –8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raízes da equação de 2º grau x2 +
8x + 15 = 0.
Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Conclui-se que a equação
proposta tem como raízes os números reais 1, – 3 e – 5.
11
12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR X – K E REDUÇÃO
DO GRAU DA EQUAÇÃO
Páginas 22 - 24
1.
a) A(1) = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 e B(1) = 13 – 2 . 12 – 3 . 1 + 2 = –2
b) A( x) 0 x 2 3x 2 0 ; aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
3 1
3 (3) 4.1.2 3 1
2 x1 2 2
x
2 2 x 3 1 1
2
2
c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2.
d) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2.
Efetuando os cálculos, obtemos:
x 2 0 x 0
x 3 3x 2 0 x 2 ( x 3) 0
x 3 0 x 3
e) Não, pois os coeficientes de x3 e x2 são diferentes nos dois polinômios.
2.
a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10.
Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então x = 2.
b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios.
12
13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Páginas 24 - 25
1.
a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e
b = 3 = a.
b) Se – 1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0.
Logo, substituindo x por –1 e igualando o resultado a 0, obtemos:
5 4 3 2
3 . (– 1) – 11(–1) – 2 . ( –1) + 7(– 1) – 3 . (–1) + d = 0.
Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 .
2.
a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que
temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um
fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) (x – 1). Q(x).
P (1) 3.15 2.14 5.13 11.12 7.1 12 0
b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na
forma geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 (x – 1).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e
Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:
Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da
identidade, temos: 3 = a, –2 = b – a, 5 = c – b, –11 = d – c, –7 = e – d, 12 = –e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e então o quociente será:
Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12.
13
14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1,
obtemos o quociente de P(x) por x – 1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes
de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0
Página 26
1.
a) Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que
temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 2 como um
fator, ou seja, é divisível por x – 2. Podemos, então, escrever: P(x) (x – 2).Q(x).
P (1) 3.2 5 2.2 4 5.2 3 11.2 2 7.2 46 0
b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral,
podemos escrever que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Para determinar Q(x), temos a identidade:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 (x – 2).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 –
2dx – 2e.
Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:
Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da
identidade, temos:
3 = a, –2 = b –2a, 5 = c – 2b, –11 = d – 2c, –7 = e – 2d, –46 = –2e.
Logo, concluímos que: a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então o quociente será:
Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.
14
15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Em consequência, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes
é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2 e obtemos o quociente Q(x); as
demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.
Página 27
Páginas 28 - 29
1.
a) Quando P(x) é divisível por x – k, escrevemos P(x) (x – k) . Q(x) e segue que
P(k) = 0.
Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade:
P(x) (x – k).Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão.
Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).
b) O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + .
15
16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot-Ruffini,
utilizado na Leitura e Análise de Texto. Basta proceder como indicado, notando que
ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto 0, o valor do
resto procurado:
coeficientes de P(x)
3 1 3 0 –7 π
raiz –3 3 . (–3) –8 . (–3) 27 . (–3) –81 . (–3) 236 . (–3)
3 –8 27 –81 236 –708 +
coeficientes de Q(x) resto da divisão
2.
a) Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente
9 3 11
x4 – x + 3x2 + x – 3 = 0.
2 2
Escrita dessa forma, já vimos que as possíveis raízes inteiras serão os divisores de
–3, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os
valores numéricos do polinômio do primeiro membro da equação para
x = ±1 e x = ±3, conclui-se que –1 e 3 são raízes da equação dada.
b) A equação dada é, portanto, equivalente à equação:
(x + 1).(x – 3).(mx2 + nx + p) = 0.
Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p e descobrir a quarta raiz da equação, basta
dividir o polinômio do primeiro membro sucessivamente por (x + 1) e (x – 3),
conforme indicado abaixo:
16
19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
l) (–7 + 3 + 4i + 3 – 4i)15 = (–1)15 = –1
2.
Os módulos de z1, z2, z3 e z4
são todos iguais a
32 32 3 2
O argumento é o ângulo
formado pela reta Oz e o eixo
real; no caso de z1, tal ângulo é
45o, e sua tangente é igual a 1.
No caso de z2, o ângulo
correspondente é 135º, uma
vez que temos Im positivo e Re
negativo.
3.
b 1
a) tg 1 45 o rad
a 1 4
O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
2.
b 3 3
b) tg 1 135 o rad
a 3 4
O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
3 2.
b 3
c) tg 3 60 o rad
a 3 3
O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
2 3.
19
20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
3 3 7
d) tg 210 0 rad
3 3 6
O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
2 3.
Páginas 38 - 41
1.
3 3
z1 3 2 (cos isen ) z 2 3 2 (cos isen )
4 4 4 4
5 5 7 7
z3 3 2 (cos isen ) z 4 3 2 (cos isen )
4 4 4 4
2.
3 3
z 2 (cos isen ) z 3 2 (cos isen )
4 4 4 4
7 7
z 2 3 (cos isen ) z 2 3 (cos isen )
3 3 6 6
3.
a)
| z1 | x 2 y 2 0 2 32 3 e z1 3 cos isen
2 2 2
20
21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
b) | z 2 | x 2 y 2 32 0 2 3 e 0 z 2 3cos 0 isen0
21
22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
c) | z 3 | x 2 y 2 (2) 2 0 2 2 e z 3 2(cos isen )
3 3 3
d) | z 4 | x 2 y 2 0 2 (2) 2 2 e z 4 2 cos isen
2 2 2
22
26. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
c)
150 0 1 a 3 3
z 6 cos 150 0 isen150 0 6
2
3
i 3 3 i 3
2
| z | 6 b 3
d)
240 0 1 3 a 1
z 2 cos 240 0 isen240 0 2 i
2
1 i 3
| z | 2 2 b 3
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27. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
Páginas 45 - 55
1.
a)
z 8 cos 45 0 isen 45 0 b)
z 4 cos 120 0 isen 120 0
c)
z 6 cos 150 0 isen 150 0 d)
z 2 cos 240 0 isen 240 0
2. Questões (a) e (b) - Quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos
como resultado o complexo z’ = 14 + 12i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta
deslocada na direção do eixo real 9 unidades no sentido positivo e, quando somamos
o imaginário 6i ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’’ = 5
+ 18i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada 6 unidades na direção do
eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura).
Questões (c) e (d) - Analogamente, a imagem do complexo z’ = z – 9 é a de z
deslocada no sentido negativo do eixo real 9 unidades; a imagem do complexo
z’’ = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário 6 unidades para baixo
(ver figura).
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28. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
e) Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta
deslocada sucessivamente (em qualquer ordem) para a direita 9 unidades e para
baixo 6 unidades (ver figura).
3.
Questões (a) e (b) - Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i,
ou seja, tem valor absoluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de
z. Analogamente, o complexo z será igual a 5 6i , ou seja, tem valor absoluto
2 2
igual à metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura).
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29. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
4.
a) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 5 unidades; a
região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos:
7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.
b) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo imaginário 3 unidades;
a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 +
5i, 6 + 5i e 6 + 9i.
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30. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
c) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 3 unidades, seguido
de outro na direção do eixo imaginário em 4 unidades. Cada ponto terá um
deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices
da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.
d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será
ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2 e sua área multiplicada por 4.
Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma
translação (afastamento da origem) juntamente com a ampliação. Os novos vértices
serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão
alterados, ou seja, não haverá rotação.
30
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1
e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por ; logo, a região será
2
1
reduzida, tendo cada segmento multiplicado por e sua área dividida por 4. Como
2
as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma
translação (aproximação da origem) juntamente com a redução. Os novos vértices
serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados,
ou seja, não haverá rotação.
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32. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
5. Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i. Vamos
examinar o efeito de tal multiplicação em cada ponto ao multiplicar um número
complexo z = x + yi por i, e obtém-se: z . i = xi + yi2, ou seja, z.i = – y + xi.
Inicialmente, nota-se que os módulos de z e zi são iguais. Além disso, verifica-se
que, se o argumento de z é e o de zi é ’, então ’ + , ou seja,
2
’ – = (ver figura).
2
Isso significa que os argumentos de z e de zi diferem de 90º ( radianos), ou seja, zi
2
tem argumento igual a + . De maneira geral, ao multiplicar um número
2
complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de
. Em decorrência, ao multiplicar por i todos os pontos da região indicada, ela
2
manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura:
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33. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
6.
a) Já foi visto que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do
complexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a
região triangular será deslocada para a direita 9 unidades.
b) A região triangular será deslocada para cima 9 unidades.
c) A região triangular será deslocada para a direita 9 unidades e depois para cima 9
unidades, ou, equivalentemente, para cima 9 unidades e depois para a direita
9 unidades.
As figuras abaixo traduzem as transformações ocorridas em a, b e c.
d) A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado
por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multiplicada por 4.
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34. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2
e) A região será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada; também
sofrerá uma rotação de 90º, correspondente à multiplicação por i.
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