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GABARITO                         Caderno do Aluno            Matemática – 3a série – Volume 2




     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

     A EQUAÇÃO DE 3º GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS
     NÚMEROS COMPLEXOS




Páginas 3 - 6
1.
     Questões (a) e (b)
                                         b    c
      ax 2  bx  c  0 (a )  x 2       x   0  x 2  Bx  C  0,
                                         a    a
            b             c
      com     B e          C
            a             a


 c)
             2
         B        B                    B B2        B2
      y    B y    C  0  y 2  2 y     By     C  0 
         2        2                    2  4        2
          B2                    B2
     y2      C  0  y2  C     0
           4                     4


                     B2                      B 2  4C
 d)      Como y2 =      – C, segue que y  
                     4                          2


                          B                   B 2  4C B                  B  B 2  4C
 e)      Como x  y        , segue que x              , ou seja, x   
                          2                      2      2                 2     2
                          b        c               b  b 2  4ac
 Substituindo B por         e C por , obtemos x                  , que é a fórmula de
                          a        a                    2a
 Bhaskara.


 f)      Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0;



                                                                                           1
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                           5
     Substituindo x por y  , onde o denominador 2 é o grau da equação, obtemos:
                           2
               2
         5        5
      y    5 y    6  0 .
         2        2
                                            1                 1
     Efetuando os cálculos, obtemos y2 =      , ou seja, y =  .
                                            4                 2
                 5
     Como x = y  , segue que x = – 2 ou x = – 3.
                 2


2.
     a) x1 e x2 são obtidos pela fórmula de Bhaskara:

           b  b 2  4ac  b   b 2  4ac
     x                                 .
                2a         2a      2a
                   b                  c
     Como S           b   Sa e P            c  Pa , temos:
                   a                   a

           ( Sa)   ( Sa) 2  4a ( Pa) Sa a S 2  4 P S  S 2  4 P
     x                                                           .
             2a             2a            2a   2a            2


     Os números 10 e 40 seriam a soma e o produto das raízes da equação x2 – 10x + 40

                                               S  S 2  4P
     =    0.       Segundo   a    fórmula                   ,      teríamos     de     calcular
                                                    2

     10  10 2  4.40 10   60
                               ; como não existe a raiz quadrada de um número
           2              2
     negativo em IR, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e
     cujo produto seja 40.


     b) Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então
     eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas, se o quadrado da soma S dos
     dois números fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P,
     então a equação x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante  = S2 – 4P negativo, ou seja,
     não teria raízes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima.


3.
                                                                                              2
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       a) Efetuando a substituição indicada, obtemos:
        ( y  5) 3  15( y  5) 2  11( y  5)  7  0    y 3  64 y  202  0 .
 b) Efetuando a substituição indicada, obtemos:
                   3     2
       B        B         B
    y    B y    C  y    D  0 
       3        3         3
                 B
                            2
                        B B
                                    3
                                                 B B 
                                                           2
                                                                    B
      y3  3 y 2    3 y      B  y 2  2 y      C  y    D  0 
                 3      3 3           
                                                 3 3           3
                   yB 2 B 3           2 yB 2 B 3        BC                  B 2 y 2 B3        BC
      y3  y 2 B             y2B             Cy        D  0  y3             Cy     D0
                    3     27            3     9          3                   3     27          3

   Verificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando-se os
   cálculos indicados, é possível mostrar que, na equação xn + A1xn-1 + A2xn-2 + A3xn-3 +
                                                             A1
   ... + An-1x + An = 0, a substituição de x por y –            conduz à eliminação do termo em
                                                             n
   yn-1.




Páginas 8 - 12
 1.
       a) x2 + 6x – 1 = 0; a = 1, b = 6 e c = –1
              6  (6) 2  4.1.(1)  6  36  4  6  2 10                     
                                                                                 x  3  10
        x                                                 3  10           1
                     2.1                  2           2                          x2  3  10
                                                                                
       b)                       p  3  3  10
              p 3  3  10
                              
              3              
             q  3  10
                              q  3  3  10
                               


       c) Comparando a igualdade (p + q)3 – 3pq . (p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação
       y3 + M . y + N = 0, deduzimos que, se – 3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q
       será raiz da equação.
       Temos, então, de encontrar dois números p e q tais que:
                M3 
       p . q = 
         3
                27  e p + q = –N.
               3
                    
                         3   3

                   

                                                                                                        3
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     Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da
                                                 M3
     equação do segundo grau z2 + Nz –              = 0.
                                                 27

                                                  4M 3
                                          N N             2
     Resolvendo tal equação, obtemos: z =          27    N                          N2 M3
                                                                                       ,
                                               2         2                          4   27
     isso significa que os valores de p3 e q3 são:

         N     N2 M3     N  N2 M3
                   e         ,
         2     4   27    2  4   27



     logo, os valores de p e de q serão              N     N2 M3               N   N2 M3 .
                                             3                 e    3           
                                                     2     4   27              2   4   27


     Em consequência, o valor de y = p + q será:

               N     N2 M3                  N   N 2 M 3 , como queríamos mostrar.
     y 3                       3            
               2     4   27                 2    4   27


2. Substituindo, na fórmula obtida no exercício anterior, temos:


             2   4  27          2   4  27  3
     y3                    3               1  0  3 1  0  2 ; logo, y = 2 é uma
             2   4   27            2   4   27
     raiz.
     Como será visto nas atividades seguintes, conhecendo-se uma das raízes de uma
     equação de grau 3, é possível reduzi-la a uma equação de 2o grau, encontrando-se,
     assim, todas as raízes da equação inicial.


3.
     a) O volume do cubo de aresta x é igual a x3 e o volume do paralelepípedo de base
     15 m2 e altura x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser
     4 m3 maior do que o volume do paralelepípedo traduz a equação:
     x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0.


                                                                                                    4
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     b) Calculando o valor de x pela fórmula obtida anteriormente para equações de 3o

     grau, obtemos: x  3 2   121  3 2   121 . Pela fórmula, parece não existir raiz

     da equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um
     número negativo.


     c) Certamente, a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar
     diretamente, uma vez que 43 – 15.4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos
     foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações
     de 2o grau, era assim que se procedia: ao se deparar com a raiz quadrada de um
     número negativo, dizia-se: “A equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabe-se que a
     equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos?


4.
     a) De fato, como –121 = 121 . (–1), para extrair a raiz quadrada de –121, bastaria
     sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se representarmos a raiz quadrada de
     –1 por i, esse número imaginário, teríamos: –1 = i2, ou seja, i   1 . Em

     consequência,      121  121.  1  11.i .
     Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número
     negativo:     9  9 .  1  3.i ; analogamente,    7  . 7 . i , e assim por diante.
     Insistimos que, por enquanto, é feito apenas um exercício de imaginação: se existir
     um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos
     os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal
     número        imaginário        de       i,    temos,      por        exemplo,           que
        25  25 . (1)  25 .  1  5. i .


     b) Substituindo        121 por 11i na expressão x  3 2   121  3 2   121 ,

     obtemos: x  3 2  11i  3 2  11i .

     c) Ao elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com
     uma parte imaginária, verifica-se que, efetuados os cálculos, obtemos             (2 + i)3
     = 2 + 11i.
     De fato, temos:
                                                                                                5
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     (2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 => (2 + i)3 = 8 + 12 . i + 6 . i2 + i2 . i
     Como i2 = –1, segue que:
     (2 + i)3 = 8 + 12i + 6 . (–1) + (–1) . i, ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i
     De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.


     d)        Substituindo    os     valores   das      raízes   cúbicas     encontradas,     temos:
     x  3 2  11. i  3 2  11. i , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconcilia-se a

     fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes.
     Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de
     números negativos. Será mostrado mais adiante de que modo os novos números
     assim construídos – os chamados números complexos – são uma extensão natural
     muito fecunda dos conhecidos números reais.




Páginas 12 - 13
1.
                           a  2
                                           b  b 2  4ac  (10)  (10)  4.2.12
                                                                          2
                           
     2 x  10 x  12  0  b  10  x 
          2
                                                                                  
                           c  12              2a                   2 .2
                           
              10  2
     x                   x  3 ou      x2
                4

2.
     a) por verificação, encontramos x = 2, pois 23 – 2 – 6 = 8 – 8 = 0.
     b) como a soma dos coeficientes da equação é igual a 0, podemos concluir que
              x = 1 é uma das raízes.
              x3 – 2x2 – x + 2 = 0.
              para x = 1  13 – 2 . 12 – 1 + 2 = 0.




                                                                                                     6
GABARITO              Caderno do Aluno   Matemática – 3a série – Volume 2




Página 13

1.

     a) – 2 – i.

     b) 12 – 3i.

     c) – 81 + 79i.

     d) 170.

     e) – i.

     f)   i.




                                                                       7
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAÇÕES ENTRE
COEFICIENTES E RAÍZES




Páginas 14 - 17

1.

     a) (x – m).(x – p).(x – k) = 0

     b)   (x – 2).(x – 3).(x – 4) = 0

     c)   x 3  (2  3  4) x 2  (2.3  2.4  3.4) x  2.3.4  0  x 3  9 x 2  26 x  24  0



                                                                   Soma das             Produto das
                                                                    raízes                 raízes




          b                                                        c
     d)     é igual à soma das raízes da equação com sinal trocado, é igual à soma dos
          a                                                        a
                                                          d
     produtos das raízes tomadas duas a duas e              é igual ao produto das raízes com o
                                                          a
     sinal trocado.



2.
     a)
     S1  r1  r2  r3  2  3  4  5 , S2  r1.r2  r1.r3  r2 .r3  (2).3  (2).4  3.4  2 e
     P  (2).3.4  24


     b) (x + 2).(x – 3).(x – 4) = 0
     c)   x 3  5 x 2  2 x  24  0


                                                                                                       8
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3.
     S1  r1  r2  r3  2  3  5  10 , S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  2.3  2.5  3.5  31 e
     P  2.3.5  30
     Logo, a equação será: x 3  10 x 2  31x  30  0




Páginas 17 - 18
1.
     a)
      S1  r1  r2  r3  3  5  1  9 , S 2  r1.r2  r1.r3  r2 .r3  3.5  3.1  5.1  23 e
      P  3.5.1  15
     Logo, a equação será: x 3  9 x 2  23x  15  0
     b)
     S1  r1  r2  r3  2  7  3  6 ,   S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  2.7  2.( 3)  7.( 3)  13 e
     P  2.7.( 3)  42


     Logo, a equação será: x 3  6 x 2  13x  42  0

     c)
S1  r1  r2  r3  2  3  4  1, S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  (2).(3)  (2).4  (3).4  14 e
P  (2).(3).4  24
     Logo, a equação será: x 3  x 2  14 x  24  0


2.
     a) (x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0
     b) (x + 2).(x – 3).(x – 4).(x + 5) = 0
     c) (x – 1).(x – 0).(x – 3).(x – 7) = 0




                                                                                                              9
GABARITO                                    Caderno do Aluno                             Matemática – 3a série – Volume 2




Páginas 19 - 20
1.
                                                           b 3 c 2 d    e
  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  x 4                     x  x  x   0,
                                                           a    a   a   a
                b                                 c
  onde :           (r1  r2  r3  r4 ) ,           r1.r2  r1.r3  r1.r4  r2 .r3  r2 .r4  r3 .r4 ,
                a                                a
     d                                                           e
        (r1.r2 .r3  r1.r2 .r4  r1.r3 .r4  r2 .r3 .r4 ) e        r1.r2 .r3 .r4
     a                                                           a


      a)     x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120  0


      b)     x 4  0 x 3  27 x 2  14 x  120  0


      c)     x 4  11x 3  31x 2  21x  0


2.
       a) Observando os coeficientes, pode-se concluir que 24 é igual ao produto das três
      raízes. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 24, ou seja,
      1, 2, 3, 4, 6,  8, 12, 24. Naturalmente, dependendo do valor de k, tal
      equação pode não admitir nenhum desses divisores como raiz. O que se pode afirmar
      é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores
      de 24.


      b) Como a soma das duas raízes simétricas é 0 e a soma das três raízes é 8, então a
      terceira raiz deverá ser igual a 8.


      c) Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é
      24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24.


      d) Não é possível que a equação tenha uma raiz nula, pois, nesse caso, o produto
      das raízes seria 0, e já vimos que o produto das raízes é igual a 24.

                                                                                                                      10
GABARITO                      Caderno do Aluno              Matemática – 3a série – Volume 2




3. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira;
  logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então k = 7.
  Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das
  outras duas deve ser igual a – 8.
  Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das
  outras duas é igual a 15.
  Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua
  soma é –8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raízes da equação de 2º grau x2 +
  8x + 15 = 0.
  Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Conclui-se que a equação
  proposta tem como raízes os números reais 1, – 3 e – 5.




                                                                                         11
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     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

     EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR X – K E REDUÇÃO
     DO GRAU DA EQUAÇÃO




Páginas 22 - 24
1.
     a) A(1) = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 e B(1) = 13 – 2 . 12 – 3 . 1 + 2 = –2


     b)   A( x)  0        x 2  3x  2  0 ; aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

                                           3 1
             3  (3)  4.1.2 3  1
                        2              x1  2  2
                                      
          x                        
                    2           2     x  3 1  1
                                       2
                                             2


     c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2.


     d) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2.
     Efetuando os cálculos, obtemos:
                                               x 2  0  x  0
     x 3  3x 2  0        x 2 ( x  3)  0  
                                               x  3  0  x  3


     e) Não, pois os coeficientes de x3 e x2 são diferentes nos dois polinômios.


2.
     a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10.
     Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então x =  2.


     b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios.



                                                                                              12
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Páginas 24 - 25
1.
     a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e
     b =  3 = a.
     b) Se – 1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0.
     Logo, substituindo x por –1 e igualando o resultado a 0, obtemos:
                5        4           3        2
      3 . (– 1) – 11(–1) – 2 . ( –1) + 7(– 1) –         3 . (–1) + d = 0.
     Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 .


2.
     a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que
     temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um
     fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x)  (x – 1). Q(x).
     P (1)  3.15  2.14  5.13  11.12  7.1  12  0
     b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na
     forma geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade:
     3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12  (x – 1).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
     Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12  ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e
     Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:




     Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da
     identidade, temos: 3 = a, –2 = b – a, 5 = c – b, –11 = d – c, –7 = e – d, 12 = –e.
     Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12         e então o quociente será:
     Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12.
                                                                                                13
GABARITO                           Caderno do Aluno             Matemática – 3a série – Volume 2



     Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1,
     obtemos o quociente de P(x) por x – 1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes
     de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0




Página 26
1.

     a) Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que
     temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 2 como um
     fator, ou seja, é divisível por x – 2. Podemos, então, escrever: P(x)  (x – 2).Q(x).
     P (1)  3.2 5  2.2 4  5.2 3  11.2 2  7.2  46  0


     b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral,
     podemos escrever que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
     Para determinar Q(x), temos a identidade:
     3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46  (x – 2).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
     Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos:
     3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46  ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 –
     2dx – 2e.
     Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos:




     Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da
     identidade, temos:
     3 = a, –2 = b –2a, 5 = c – 2b, –11 = d – 2c, –7 = e – 2d, –46 = –2e.
     Logo, concluímos que: a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então o quociente será:
     Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.


                                                                                             14
GABARITO                        Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 2



     Em consequência, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes
     é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2 e obtemos o quociente Q(x); as
     demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0.




Página 27




Páginas 28 - 29
1.
     a) Quando P(x) é divisível por x – k, escrevemos P(x)  (x – k) . Q(x) e segue que
     P(k) = 0.
     Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade:
     P(x)  (x – k).Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão.
     Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).
     b) O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + .




                                                                                             15
GABARITO                            Caderno do Aluno                 Matemática – 3a série – Volume 2



       O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot-Ruffini,
       utilizado na Leitura e Análise de Texto. Basta proceder como indicado, notando que
       ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto 0, o valor do
       resto procurado:




               coeficientes de P(x)

                  3         1             3          0          –7             π

raiz –3                3 . (–3)       –8 . (–3)   27 . (–3)   –81 . (–3)      236 . (–3)


                 3        –8              27         –81         236        –708 + 



                 coeficientes de Q(x)                                resto da divisão



  2.
       a) Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente
              9 3        11
       x4 –     x + 3x2 + x – 3 = 0.
              2           2
       Escrita dessa forma, já vimos que as possíveis raízes inteiras serão os divisores de
       –3, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os
       valores numéricos do polinômio do primeiro membro da equação para
       x = ±1 e x = ±3, conclui-se que –1 e 3 são raízes da equação dada.
       b) A equação dada é, portanto, equivalente à equação:
       (x + 1).(x – 3).(mx2 + nx + p) = 0.
       Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p e descobrir a quarta raiz da equação, basta
       dividir o polinômio do primeiro membro sucessivamente por (x + 1) e (x – 3),
       conforme indicado abaixo:




                                                                                                    16
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    2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(ax3 + bx2 + cx + d).




              coeficientes de P(x)

               2          –9               6                 11                 –6


raiz –1              2 . ( –1)        –11 . (–1)            17 . (–1)         –6 . (–1)

               2          –11              17                –6                      0

               coeficientes de Q2(x)                                        resto da divisão



    2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(2x3 – 11x2 + 17x – 6).
    Dividindo-se Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):




                    coeficientes de Q2(x)

                      2          – 11               17               –6


     raiz 3                          2.3           –5 . 3            2.3

                     2               –5              2                  0

                    coeficientes de Q2(x)                         resto da divisão




    (2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3).(2x2 – 5x + 2)
    Conclui-se, então, que:
    2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(x – 3).(2x2 – 5x + 2).
                                                                                               1
    Resolvendo a equação de 2o grau 2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos r3 = 2 e r4 =
                                                                                               2
    Logo, as raízes da equação dada inicialmente são:
                                   1
    r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = .
                                   2

                                                                                                         17
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     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

     NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO E
     SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES, ROTAÇÕES,
     AMPLIAÇÕES)




Páginas 33 - 37
1.
     a) 3 + 4i + 7 = 10 + 4i


     b) 3 + 4i + 7i = 3 + 11i


     c) 3 + 4i + 3 – 4i = 6


     d) 3 + 4i – (3 – 4i) = 3 + 4i – 3 + 4i = 8i


     e) (3 + 4i) . 7 = 21 + 28i


     f)   (3 + 4i) . 7i = 21i + 28i2 = –28 + 21i


     g) 7i . (3 – 4i) = 21i – 28i2 = 28 + 21i


     h) [(3 + 4i) . (3 – 4i)]2 = (32 – 42i2)2 = (9 + 16)2 = 625


     i)   (3 + 4i + 3 – 4i)3 = 63 = 216


     j)   [3 + 4i – (3 – 4i)]3 = (3 + 4i – 3 + 4i)3 = (8i)3 = 83 . i3 = 512 . i2.i = –512i


     k) [7i – (3 + 4i) + 3 – 4i]3 = (7i – 3 – 4i + 3 – 4i)3 = (–i)3 = (–1)3 . (i . i2) = i



                                                                                                 18
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     l)    (–7 + 3 + 4i + 3 – 4i)15 = (–1)15 = –1

2.

                                                          Os módulos de z1, z2, z3 e z4
                                                          são   todos      iguais     a
                                                            32  32  3 2



                                                          O argumento  é o ângulo
                                                          formado pela reta Oz e o eixo
                                                          real; no caso de z1, tal ângulo é
                                                          45o, e sua tangente é igual a 1.



                                                          No caso de z2, o ângulo 
                                                          correspondente é 135º, uma
                                                          vez que temos Im positivo e Re
                                                          negativo.




3.
                       b 1                
     a)        tg       1    45 o  rad
                       a 1                4
     O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a

          2.
                       b   3                    3
     b)        tg          1    135 o     rad
                       a 3                      4
     O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a

     3 2.
                       b   3                  
     c)        tg           3    60 o  rad
                       a    3                 3
     O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a

     2 3.



                                                                                       19
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                    3    3               7
     d)    tg               210 0     rad
                    3   3                 6

     O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a
     2 3.




Páginas 38 - 41
1.

                                                                       3       3
     z1  3 2 (cos        isen )                       z 2  3 2 (cos       isen )
                       4       4                                          4        4
                       5       5                                              7       7
     z3  3 2 (cos         isen )                             z 4  3 2 (cos       isen )
                        4        4                                               4        4



2.
                                                                  3       3
     z  2 (cos       isen )                       z  3 2 (cos        isen )
                   4       4                                         4        4
                                                                  7       7
     z  2 3 (cos         isen )                   z  2 3 (cos        isen )
                       3       3                                     6        6


3.
     a)                                                                     
                                                                  
          | z1 | x 2  y 2  0 2  32  3 e             z1  3 cos  isen 
                                                        2             2      2




                                                                                                      20
GABARITO                   Caderno do Aluno              Matemática – 3a série – Volume 2




  b) | z 2 | x 2  y 2  32  0 2  3 e   0  z 2  3cos 0  isen0




                                                                                      21
GABARITO                    Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 2




  c)   | z 3 | x 2  y 2  (2) 2  0 2  2 e     z 3  2(cos   isen )




                                                     3                 3       3 
  d)   | z 4 | x 2  y 2  0 2  (2) 2  2 e           z 4  2 cos     isen 
                                                      2                  2        2 




                                                                                         22
GABARITO                     Caderno do Aluno                Matemática – 3a série – Volume 2




Páginas 41 - 44

1.

 a)
                                          1
                                   cos  2
                                                                               
| z1 | 12  ( 3 ) 2  1  3  2 e                          z1  2 cos  isen 
                                   sen  3                 3             3      3
                                   
                                           2




 b)

                                                 1
                                        cos   2
                                                                2                 2        2 
| z 2 | (1) 2  ( 3 ) 2  1  3  2 e                            z 2  2 cos     isen    
                                        sen  3                 3                  3         3 
                                        
                                                2




                                                                                          23
GABARITO                    Caderno do Aluno           Matemática – 3a série – Volume 2




  c)
                                                3
                                     cos   
                                                           5                 5        5 
| z 3 | ( 3 ) 2  12  3  1  2 e           2              z 3  2 cos     isen    
                                     sen  1               6                  6         6 
                                     
                                             2




                                                                                    24
GABARITO                     Caderno do Aluno             Matemática – 3a série – Volume 2



     d)
                                             3
                                    cos  
                                                            11                  11        11 
| z 4 | ( 3 )  (1)  3  1  2 e 
              2      2                       2                    z 4  2 cos      isen     
                                    sen   1               6                    6          6 
                                    
                                             2




2.
     a)

  45 0                                      2     2                a  4 2
                                  
                 z  8 cos 45 0  isen45 0  8
                                               2 i     4 2  i4 2  
                                                     2 
                                                                        
 | z | 8                                                            b  4 2
                                                                        


     b)
  120 0                                        1      3                a  2
                                       
                  z  4 cos 120 0  isen120 0  4   i
                                                  2
                                                             2  i 2 3  
                                                         2 
 | z | 4                                                                b  2 3




                                                                                       25
GABARITO                    Caderno do Aluno             Matemática – 3a série – Volume 2



  c)
  150 0                                              1                a  3 3
                                      
                 z  6 cos 150 0  isen150 0  6 
                                                 2
                                                    3
                                                       i   3 3  i 3  
                                                         2
 | z | 6                                                               b  3

 d)

  240 0                                       1      3              a  1
                                          
                 z  2 cos 240 0  isen240 0  2   i
                                                 2
                                                            1  i 3  
                                                          
 | z | 2                                             2               b   3




                                                                                      26
GABARITO                          Caderno do Aluno          Matemática – 3a série – Volume 2




Páginas 45 - 55
1.

     a)        
          z  8 cos 45 0  isen 45 0                 b)        
                                                           z  4 cos 120 0  isen 120 0   
     c)        
          z  6 cos 150 0  isen 150 0               d)        
                                                           z  2 cos 240 0  isen 240 0   

2. Questões (a) e (b) - Quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos
     como resultado o complexo z’ = 14 + 12i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta
     deslocada na direção do eixo real 9 unidades no sentido positivo e, quando somamos
     o imaginário 6i ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’’ = 5
     + 18i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada 6 unidades na direção do
     eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura).




     Questões (c) e (d) - Analogamente, a imagem do complexo z’ = z – 9 é a de z
     deslocada no sentido negativo do eixo real 9 unidades; a imagem do complexo
     z’’ = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário 6 unidades para baixo
     (ver figura).




                                                                                              27
GABARITO                       Caderno do Aluno             Matemática – 3a série – Volume 2




     e) Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta
     deslocada sucessivamente (em qualquer ordem) para a direita 9 unidades e para
     baixo 6 unidades (ver figura).




3.
     Questões (a) e (b) - Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i,
     ou seja, tem valor absoluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de
     z. Analogamente, o complexo z será igual a 5  6i , ou seja, tem valor absoluto
                                 2              2
     igual à metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura).




                                                                                         28
GABARITO                        Caderno do Aluno           Matemática – 3a série – Volume 2




4.
     a) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 5 unidades; a
         região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos:
         7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.




     b) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo imaginário 3 unidades;
     a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 +
     5i, 6 + 5i e 6 + 9i.




                                                                                        29
GABARITO                     Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 2




  c) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 3 unidades, seguido
  de outro na direção do eixo imaginário em 4 unidades. Cada ponto terá um
  deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices
  da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.




  d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será
  ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2 e sua área multiplicada por 4.
  Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma
  translação (afastamento da origem) juntamente com a ampliação. Os novos vértices
  serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão
  alterados, ou seja, não haverá rotação.
                                                                                         30
GABARITO                    Caderno do Aluno              Matemática – 3a série – Volume 2




                                                                1
  e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por        ; logo, a região será
                                                                2
                                                   1
  reduzida, tendo cada segmento multiplicado por     e sua área dividida por 4. Como
                                                   2
  as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma
  translação (aproximação da origem) juntamente com a redução. Os novos vértices
  serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados,
  ou seja, não haverá rotação.




                                                                                       31
GABARITO                         Caderno do Aluno              Matemática – 3a série – Volume 2



5. Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i. Vamos
  examinar o efeito de tal multiplicação em cada ponto ao multiplicar um número
  complexo z = x + yi por i, e obtém-se: z . i = xi + yi2, ou seja, z.i = – y + xi.
  Inicialmente, nota-se que os módulos de z e zi são iguais. Além disso, verifica-se
                                                              
  que, se o argumento de z é  e o de zi é ’, então ’ +       , ou seja,
                                                          2    
             
  ’ –  =       (ver figura).
             2




                                                                    
  Isso significa que os argumentos de z e de zi diferem de 90º (        radianos), ou seja, zi
                                                                    2
                                      
  tem argumento igual a  +                . De maneira geral, ao multiplicar um número
                                       2
  complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de
  
       . Em decorrência, ao multiplicar por i todos os pontos da região indicada, ela
   2
  manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura:




                                                                                            32
GABARITO                        Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 2




6.

     a) Já foi visto que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do
     complexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a
     região triangular será deslocada para a direita 9 unidades.
     b) A região triangular será deslocada para cima 9 unidades.
     c) A região triangular será deslocada para a direita 9 unidades e depois para cima 9
     unidades, ou, equivalentemente, para cima 9 unidades e depois para a direita
     9 unidades.
     As figuras abaixo traduzem as transformações ocorridas em a, b e c.




     d) A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado
     por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multiplicada por 4.
                                                                                            33
GABARITO                    Caderno do Aluno               Matemática – 3a série – Volume 2




  e) A região será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada; também
  sofrerá uma rotação de 90º, correspondente à multiplicação por i.




                                                                                        34

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  • 1. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A EQUAÇÃO DE 3º GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS Páginas 3 - 6 1. Questões (a) e (b) b c ax 2  bx  c  0 (a )  x 2  x   0  x 2  Bx  C  0, a a b c com B e C a a c) 2  B  B B B2 B2  y    B y    C  0  y 2  2 y   By  C  0   2  2 2 4 2 B2 B2 y2   C  0  y2  C  0 4 4 B2 B 2  4C d) Como y2 = – C, segue que y   4 2 B B 2  4C B B B 2  4C e) Como x  y  , segue que x    , ou seja, x    2 2 2 2 2 b c  b  b 2  4ac Substituindo B por e C por , obtemos x  , que é a fórmula de a a 2a Bhaskara. f) Dividindo os coeficientes por 3, obtemos x2 + 5x + 6 = 0; 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 5 Substituindo x por y  , onde o denominador 2 é o grau da equação, obtemos: 2 2  5  5  y    5 y    6  0 .  2  2 1 1 Efetuando os cálculos, obtemos y2 = , ou seja, y =  . 4 2 5 Como x = y  , segue que x = – 2 ou x = – 3. 2 2. a) x1 e x2 são obtidos pela fórmula de Bhaskara:  b  b 2  4ac  b b 2  4ac x   . 2a 2a 2a b c Como S   b   Sa e P   c  Pa , temos: a a  ( Sa) ( Sa) 2  4a ( Pa) Sa a S 2  4 P S  S 2  4 P x     . 2a 2a 2a 2a 2 Os números 10 e 40 seriam a soma e o produto das raízes da equação x2 – 10x + 40 S  S 2  4P = 0. Segundo a fórmula , teríamos de calcular 2 10  10 2  4.40 10   60  ; como não existe a raiz quadrada de um número 2 2 negativo em IR, concluímos que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. b) Se existissem dois números reais de soma igual a S e produto igual a P, então eles seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. Mas, se o quadrado da soma S dos dois números fosse menor que o quádruplo de seu produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equação x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante  = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raízes reais. Logo, não existem dois números reais nas condições acima. 3. 2
  • 3. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 a) Efetuando a substituição indicada, obtemos: ( y  5) 3  15( y  5) 2  11( y  5)  7  0  y 3  64 y  202  0 . b) Efetuando a substituição indicada, obtemos: 3 2  B  B  B  y    B y    C  y    D  0   3  3  3 B 2 B B 3  B B  2  B y3  3 y 2  3 y      B  y 2  2 y      C  y    D  0  3 3 3   3 3    3 yB 2 B 3 2 yB 2 B 3 BC B 2 y 2 B3 BC y3  y 2 B    y2B    Cy   D  0  y3    Cy  D0 3 27 3 9 3 3 27 3 Verificamos que os termos em y2 se cancelam. De modo geral, efetuando-se os cálculos indicados, é possível mostrar que, na equação xn + A1xn-1 + A2xn-2 + A3xn-3 + A1 ... + An-1x + An = 0, a substituição de x por y – conduz à eliminação do termo em n yn-1. Páginas 8 - 12 1. a) x2 + 6x – 1 = 0; a = 1, b = 6 e c = –1  6  (6) 2  4.1.(1)  6  36  4  6  2 10   x  3  10 x    3  10   1 2.1 2 2  x2  3  10  b)  p  3  3  10  p 3  3  10    3   q  3  10  q  3  3  10  c) Comparando a igualdade (p + q)3 – 3pq . (p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação y3 + M . y + N = 0, deduzimos que, se – 3pq = M e – (p3 + q3) = N, então y = p + q será raiz da equação. Temos, então, de encontrar dois números p e q tais que:  M3  p . q =  3  27  e p + q = –N. 3  3 3   3
  • 4. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Tais números p3 e q3, que têm soma e produto conhecidos, devem ser as raízes da M3 equação do segundo grau z2 + Nz – = 0. 27 4M 3 N N  2 Resolvendo tal equação, obtemos: z = 27 N N2 M3    , 2 2 4 27 isso significa que os valores de p3 e q3 são: N N2 M3 N N2 M3    e    , 2 4 27 2 4 27 logo, os valores de p e de q serão N N2 M3 N N2 M3 . 3    e 3    2 4 27 2 4 27 Em consequência, o valor de y = p + q será: N N2 M3 N N 2 M 3 , como queríamos mostrar. y 3     3    2 4 27 2 4 27 2. Substituindo, na fórmula obtida no exercício anterior, temos: 2 4  27  2 4  27  3 y3    3    1  0  3 1  0  2 ; logo, y = 2 é uma 2 4 27 2 4 27 raiz. Como será visto nas atividades seguintes, conhecendo-se uma das raízes de uma equação de grau 3, é possível reduzi-la a uma equação de 2o grau, encontrando-se, assim, todas as raízes da equação inicial. 3. a) O volume do cubo de aresta x é igual a x3 e o volume do paralelepípedo de base 15 m2 e altura x é igual a 15x; segue, então, que a exigência de o volume do cubo ser 4 m3 maior do que o volume do paralelepípedo traduz a equação: x3 = 15x + 4, ou seja, x3 – 15x – 4 = 0. 4
  • 5. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 b) Calculando o valor de x pela fórmula obtida anteriormente para equações de 3o grau, obtemos: x  3 2   121  3 2   121 . Pela fórmula, parece não existir raiz da equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um número negativo. c) Certamente, a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar diretamente, uma vez que 43 – 15.4 – 4 = 0. No uso da fórmula das raízes, os cálculos foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de –121. No estudo das equações de 2o grau, era assim que se procedia: ao se deparar com a raiz quadrada de um número negativo, dizia-se: “A equação não tem raízes reais”. Mas aqui sabe-se que a equação de grau 3 proposta tem uma raiz real, que é x = 4. Então, como ficamos? 4. a) De fato, como –121 = 121 . (–1), para extrair a raiz quadrada de –121, bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Se representarmos a raiz quadrada de –1 por i, esse número imaginário, teríamos: –1 = i2, ou seja, i   1 . Em consequência,  121  121.  1  11.i . Analogamente, seria possível expressar a raiz quadrada de qualquer número negativo:  9  9 .  1  3.i ; analogamente,  7  . 7 . i , e assim por diante. Insistimos que, por enquanto, é feito apenas um exercício de imaginação: se existir um número que seja a raiz quadrada de –1, então as raízes quadradas de todos os números negativos poderão ser expressas com base nesse número; chamando tal número imaginário de i, temos, por exemplo, que  25  25 . (1)  25 .  1  5. i . b) Substituindo  121 por 11i na expressão x  3 2   121  3 2   121 , obtemos: x  3 2  11i  3 2  11i . c) Ao elevar ao cubo o “número” 2 + i, que é uma “mistura” de uma parte real com uma parte imaginária, verifica-se que, efetuados os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i. De fato, temos: 5
  • 6. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 (2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 => (2 + i)3 = 8 + 12 . i + 6 . i2 + i2 . i Como i2 = –1, segue que: (2 + i)3 = 8 + 12i + 6 . (–1) + (–1) . i, ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i De modo análogo, pode ser mostrado que uma raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i. d) Substituindo os valores das raízes cúbicas encontradas, temos: x  3 2  11. i  3 2  11. i , ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconcilia-se a fórmula com o fato concreto de que a equação tinha x = 4 como uma de suas raízes. Como se vê, pode ser conveniente atribuir significado às raízes quadradas de números negativos. Será mostrado mais adiante de que modo os novos números assim construídos – os chamados números complexos – são uma extensão natural muito fecunda dos conhecidos números reais. Páginas 12 - 13 1. a  2  b  b 2  4ac  (10)  (10)  4.2.12 2  2 x  10 x  12  0  b  10  x  2   c  12 2a 2 .2  10  2 x  x  3 ou x2 4 2. a) por verificação, encontramos x = 2, pois 23 – 2 – 6 = 8 – 8 = 0. b) como a soma dos coeficientes da equação é igual a 0, podemos concluir que x = 1 é uma das raízes. x3 – 2x2 – x + 2 = 0. para x = 1  13 – 2 . 12 – 1 + 2 = 0. 6
  • 7. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Página 13 1. a) – 2 – i. b) 12 – 3i. c) – 81 + 79i. d) 170. e) – i. f) i. 7
  • 8. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES Páginas 14 - 17 1. a) (x – m).(x – p).(x – k) = 0 b) (x – 2).(x – 3).(x – 4) = 0 c) x 3  (2  3  4) x 2  (2.3  2.4  3.4) x  2.3.4  0  x 3  9 x 2  26 x  24  0 Soma das Produto das raízes raízes b c d) é igual à soma das raízes da equação com sinal trocado, é igual à soma dos a a d produtos das raízes tomadas duas a duas e é igual ao produto das raízes com o a sinal trocado. 2. a) S1  r1  r2  r3  2  3  4  5 , S2  r1.r2  r1.r3  r2 .r3  (2).3  (2).4  3.4  2 e P  (2).3.4  24 b) (x + 2).(x – 3).(x – 4) = 0 c) x 3  5 x 2  2 x  24  0 8
  • 9. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 3. S1  r1  r2  r3  2  3  5  10 , S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  2.3  2.5  3.5  31 e P  2.3.5  30 Logo, a equação será: x 3  10 x 2  31x  30  0 Páginas 17 - 18 1. a) S1  r1  r2  r3  3  5  1  9 , S 2  r1.r2  r1.r3  r2 .r3  3.5  3.1  5.1  23 e P  3.5.1  15 Logo, a equação será: x 3  9 x 2  23x  15  0 b) S1  r1  r2  r3  2  7  3  6 , S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  2.7  2.( 3)  7.( 3)  13 e P  2.7.( 3)  42 Logo, a equação será: x 3  6 x 2  13x  42  0 c) S1  r1  r2  r3  2  3  4  1, S 2  r1 .r2  r1 .r3  r2 .r3  (2).(3)  (2).4  (3).4  14 e P  (2).(3).4  24 Logo, a equação será: x 3  x 2  14 x  24  0 2. a) (x – 2).(x – 3).(x – 4).(x – 5) = 0 b) (x + 2).(x – 3).(x – 4).(x + 5) = 0 c) (x – 1).(x – 0).(x – 3).(x – 7) = 0 9
  • 10. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Páginas 19 - 20 1. b 3 c 2 d e ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  x 4  x  x  x   0, a a a a b c onde :  (r1  r2  r3  r4 ) ,  r1.r2  r1.r3  r1.r4  r2 .r3  r2 .r4  r3 .r4 , a a d e  (r1.r2 .r3  r1.r2 .r4  r1.r3 .r4  r2 .r3 .r4 ) e  r1.r2 .r3 .r4 a a a) x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120  0 b) x 4  0 x 3  27 x 2  14 x  120  0 c) x 4  11x 3  31x 2  21x  0 2. a) Observando os coeficientes, pode-se concluir que 24 é igual ao produto das três raízes. Logo, as possíveis raízes inteiras da equação são os divisores de 24, ou seja, 1, 2, 3, 4, 6,  8, 12, 24. Naturalmente, dependendo do valor de k, tal equação pode não admitir nenhum desses divisores como raiz. O que se pode afirmar é precisamente o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá de ser um dos divisores de 24. b) Como a soma das duas raízes simétricas é 0 e a soma das três raízes é 8, então a terceira raiz deverá ser igual a 8. c) Como o produto das duas raízes inversas é igual a 1 e o produto das três raízes é 24, então a terceira raiz deverá ser igual a 24. d) Não é possível que a equação tenha uma raiz nula, pois, nesse caso, o produto das raízes seria 0, e já vimos que o produto das raízes é igual a 24. 10
  • 11. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 3. Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos ter a igualdade verdadeira; logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então k = 7. Como a soma das três raízes é igual a –7, sendo uma delas igual a 1, a soma das outras duas deve ser igual a – 8. Como o produto das três raízes é igual a 15, sendo uma delas igual a 1, o produto das outras duas é igual a 15. Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas raízes da equação são tais que sua soma é –8 e seu produto é 15; elas são, portanto, as raízes da equação de 2º grau x2 + 8x + 15 = 0. Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e r3 = –5. Conclui-se que a equação proposta tem como raízes os números reais 1, – 3 e – 5. 11
  • 12. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR X – K E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO Páginas 22 - 24 1. a) A(1) = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 e B(1) = 13 – 2 . 12 – 3 . 1 + 2 = –2 b) A( x)  0  x 2  3x  2  0 ; aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:  3 1 3  (3)  4.1.2 3  1 2  x1  2  2  x    2 2 x  3 1  1  2  2 c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2. d) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2. Efetuando os cálculos, obtemos: x 2  0  x  0 x 3  3x 2  0  x 2 ( x  3)  0   x  3  0  x  3 e) Não, pois os coeficientes de x3 e x2 são diferentes nos dois polinômios. 2. a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e então x =  2. b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios. 12
  • 13. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Páginas 24 - 25 1. a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e b =  3 = a. b) Se – 1 é raiz da equação P1(x) = 0, então devemos ter P1(–1) = 0. Logo, substituindo x por –1 e igualando o resultado a 0, obtemos: 5 4 3 2  3 . (– 1) – 11(–1) – 2 . ( –1) + 7(– 1) – 3 . (–1) + d = 0. Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2 3 . 2. a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x)  (x – 1). Q(x). P (1)  3.15  2.14  5.13  11.12  7.1  12  0 b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na forma geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12  (x – 1).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12  ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos: Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a, –2 = b – a, 5 = c – b, –11 = d – c, –7 = e – d, 12 = –e. Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e então o quociente será: Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12. 13
  • 14. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1, obtemos o quociente de P(x) por x – 1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0 Página 26 1. a) Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar que o resultado dá 0, ou seja, que temos P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 2 como um fator, ou seja, é divisível por x – 2. Podemos, então, escrever: P(x)  (x – 2).Q(x). P (1)  3.2 5  2.2 4  5.2 3  11.2 2  7.2  46  0 b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4. Em sua forma geral, podemos escrever que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Para determinar Q(x), temos a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46  (x – 2).(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e). Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46  ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e. Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos: Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a, –2 = b –2a, 5 = c – 2b, –11 = d – 2c, –7 = e – 2d, –46 = –2e. Logo, concluímos que: a = 3, b = 4, c = 13, d = 15, e = 23 e então o quociente será: Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23. 14
  • 15. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Em consequência, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 2, obtemos o quociente de P(x) por x – 2 e obtemos o quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0. Página 27 Páginas 28 - 29 1. a) Quando P(x) é divisível por x – k, escrevemos P(x)  (x – k) . Q(x) e segue que P(k) = 0. Quando P(x) não é divisível por x – k, então temos a identidade: P(x)  (x – k).Q(x) + R, onde a constante R é o resto da divisão. Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da divisão de P(x) por x – k é igual a P(k). b) O resto será o valor de P(–3), ou seja, R = P(–3) = –708 + . 15
  • 16. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 O cálculo do resto também poderia ser feito por meio do algoritmo de Briot-Ruffini, utilizado na Leitura e Análise de Texto. Basta proceder como indicado, notando que ao último coeficiente do polinômio corresponderá, em vez do resto 0, o valor do resto procurado: coeficientes de P(x) 3 1 3 0 –7 π raiz –3 3 . (–3) –8 . (–3) 27 . (–3) –81 . (–3) 236 . (–3) 3 –8 27 –81 236 –708 +  coeficientes de Q(x) resto da divisão 2. a) Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a equação equivalente 9 3 11 x4 – x + 3x2 + x – 3 = 0. 2 2 Escrita dessa forma, já vimos que as possíveis raízes inteiras serão os divisores de –3, pois esse coeficiente representa o produto das raízes da equação. Calculando os valores numéricos do polinômio do primeiro membro da equação para x = ±1 e x = ±3, conclui-se que –1 e 3 são raízes da equação dada. b) A equação dada é, portanto, equivalente à equação: (x + 1).(x – 3).(mx2 + nx + p) = 0. Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p e descobrir a quarta raiz da equação, basta dividir o polinômio do primeiro membro sucessivamente por (x + 1) e (x – 3), conforme indicado abaixo: 16
  • 17. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(ax3 + bx2 + cx + d). coeficientes de P(x) 2 –9 6 11 –6 raiz –1 2 . ( –1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1) 2 –11 17 –6 0 coeficientes de Q2(x) resto da divisão 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(2x3 – 11x2 + 17x – 6). Dividindo-se Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x): coeficientes de Q2(x) 2 – 11 17 –6 raiz 3 2.3 –5 . 3 2.3 2 –5 2 0 coeficientes de Q2(x) resto da divisão (2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3).(2x2 – 5x + 2) Conclui-se, então, que: 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1).(x – 3).(2x2 – 5x + 2). 1 Resolvendo a equação de 2o grau 2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos r3 = 2 e r4 = 2 Logo, as raízes da equação dada inicialmente são: 1 r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = . 2 17
  • 18. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES, ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES) Páginas 33 - 37 1. a) 3 + 4i + 7 = 10 + 4i b) 3 + 4i + 7i = 3 + 11i c) 3 + 4i + 3 – 4i = 6 d) 3 + 4i – (3 – 4i) = 3 + 4i – 3 + 4i = 8i e) (3 + 4i) . 7 = 21 + 28i f) (3 + 4i) . 7i = 21i + 28i2 = –28 + 21i g) 7i . (3 – 4i) = 21i – 28i2 = 28 + 21i h) [(3 + 4i) . (3 – 4i)]2 = (32 – 42i2)2 = (9 + 16)2 = 625 i) (3 + 4i + 3 – 4i)3 = 63 = 216 j) [3 + 4i – (3 – 4i)]3 = (3 + 4i – 3 + 4i)3 = (8i)3 = 83 . i3 = 512 . i2.i = –512i k) [7i – (3 + 4i) + 3 – 4i]3 = (7i – 3 – 4i + 3 – 4i)3 = (–i)3 = (–1)3 . (i . i2) = i 18
  • 19. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 l) (–7 + 3 + 4i + 3 – 4i)15 = (–1)15 = –1 2. Os módulos de z1, z2, z3 e z4 são todos iguais a 32  32  3 2 O argumento  é o ângulo formado pela reta Oz e o eixo real; no caso de z1, tal ângulo é 45o, e sua tangente é igual a 1. No caso de z2, o ângulo  correspondente é 135º, uma vez que temos Im positivo e Re negativo. 3. b 1  a) tg    1    45 o  rad a 1 4 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a 2. b 3 3 b) tg    1    135 o  rad a 3 4 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a 3 2. b 3  c) tg    3    60 o  rad a 3 3 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a 2 3. 19
  • 20. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2  3 3 7 d) tg      210 0  rad 3 3 6 O segmento que une o ponto (a, b) à origem, pelo Teorema de Pitágoras, é igual a 2 3. Páginas 38 - 41 1.   3 3 z1  3 2 (cos  isen ) z 2  3 2 (cos  isen ) 4 4 4 4 5 5 7 7 z3  3 2 (cos  isen ) z 4  3 2 (cos  isen ) 4 4 4 4 2.   3 3 z  2 (cos  isen ) z  3 2 (cos  isen ) 4 4 4 4   7 7 z  2 3 (cos  isen ) z  2 3 (cos  isen ) 3 3 6 6 3. a)     | z1 | x 2  y 2  0 2  32  3 e    z1  3 cos  isen  2  2 2 20
  • 21. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 b) | z 2 | x 2  y 2  32  0 2  3 e   0  z 2  3cos 0  isen0 21
  • 22. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 c) | z 3 | x 2  y 2  (2) 2  0 2  2 e     z 3  2(cos   isen ) 3  3 3  d) | z 4 | x 2  y 2  0 2  (2) 2  2 e    z 4  2 cos  isen  2  2 2  22
  • 23. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Páginas 41 - 44 1. a)  1 cos  2      | z1 | 12  ( 3 ) 2  1  3  2 e     z1  2 cos  isen  sen  3 3  3 3   2 b)  1 cos   2  2  2 2  | z 2 | (1) 2  ( 3 ) 2  1  3  2 e     z 2  2 cos  isen  sen  3 3  3 3    2 23
  • 24. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 c)  3 cos     5  5 5  | z 3 | ( 3 ) 2  12  3  1  2 e  2    z 3  2 cos  isen  sen  1 6  6 6    2 24
  • 25. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 d)  3 cos    11  11 11  | z 4 | ( 3 )  (1)  3  1  2 e  2 2 2    z 4  2 cos  isen  sen   1 6  6 6    2 2. a)   45 0  2 2 a  4 2     z  8 cos 45 0  isen45 0  8  2 i   4 2  i4 2   2    | z | 8   b  4 2  b)   120 0  1 3 a  2     z  4 cos 120 0  isen120 0  4   i  2   2  i 2 3   2   | z | 4   b  2 3 25
  • 26. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 c)   150 0  1 a  3 3     z  6 cos 150 0  isen150 0  6   2 3  i   3 3  i 3   2  | z | 6   b  3 d)   240 0  1 3 a  1     z  2 cos 240 0  isen240 0  2   i  2   1  i 3     | z | 2  2  b   3 26
  • 27. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 Páginas 45 - 55 1. a)  z  8 cos 45 0  isen 45 0  b)  z  4 cos 120 0  isen 120 0  c)  z  6 cos 150 0  isen 150 0  d)  z  2 cos 240 0  isen 240 0  2. Questões (a) e (b) - Quando somamos o real 9 ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’ = 14 + 12i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada na direção do eixo real 9 unidades no sentido positivo e, quando somamos o imaginário 6i ao complexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado o complexo z’’ = 5 + 18i. Nota-se, então, que a imagem de z resulta deslocada 6 unidades na direção do eixo imaginário, no sentido positivo (ver figura). Questões (c) e (d) - Analogamente, a imagem do complexo z’ = z – 9 é a de z deslocada no sentido negativo do eixo real 9 unidades; a imagem do complexo z’’ = z – 6i é a de z deslocada no sentido do eixo imaginário 6 unidades para baixo (ver figura). 27
  • 28. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 e) Quando somamos o complexo z ao complexo 9 – 6i, a imagem de z resulta deslocada sucessivamente (em qualquer ordem) para a direita 9 unidades e para baixo 6 unidades (ver figura). 3. Questões (a) e (b) - Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z será igual a 10 + 24i, ou seja, tem valor absoluto igual ao dobro do de z, mas tem o mesmo argumento de z. Analogamente, o complexo z será igual a 5  6i , ou seja, tem valor absoluto 2 2 igual à metade do de z, mas o mesmo argumento de z (ver figura). 28
  • 29. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 4. a) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 5 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i. b) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo imaginário 3 unidades; a região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 + 5i, 6 + 5i e 6 + 9i. 29
  • 30. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 c) Cada ponto da região será deslocado na direção do eixo real 3 unidades, seguido de outro na direção do eixo imaginário em 4 unidades. Cada ponto terá um deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5. Os vértices da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i. d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2 e sua área multiplicada por 4. Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma translação (afastamento da origem) juntamente com a ampliação. Os novos vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação. 30
  • 31. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 1 e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por ; logo, a região será 2 1 reduzida, tendo cada segmento multiplicado por e sua área dividida por 4. Como 2 as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma translação (aproximação da origem) juntamente com a redução. Os novos vértices serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação. 31
  • 32. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 5. Queremos multiplicar cada ponto da região indicada pelo imaginário i. Vamos examinar o efeito de tal multiplicação em cada ponto ao multiplicar um número complexo z = x + yi por i, e obtém-se: z . i = xi + yi2, ou seja, z.i = – y + xi. Inicialmente, nota-se que os módulos de z e zi são iguais. Além disso, verifica-se   que, se o argumento de z é  e o de zi é ’, então ’ +       , ou seja, 2   ’ –  = (ver figura). 2  Isso significa que os argumentos de z e de zi diferem de 90º ( radianos), ou seja, zi 2  tem argumento igual a  + . De maneira geral, ao multiplicar um número 2 complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de  . Em decorrência, ao multiplicar por i todos os pontos da região indicada, ela 2 manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, conforme mostra a figura: 32
  • 33. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 6. a) Já foi visto que, ao somar um complexo com um número real, a imagem do complexo resulta deslocada horizontalmente na direção do eixo real; no caso, a região triangular será deslocada para a direita 9 unidades. b) A região triangular será deslocada para cima 9 unidades. c) A região triangular será deslocada para a direita 9 unidades e depois para cima 9 unidades, ou, equivalentemente, para cima 9 unidades e depois para a direita 9 unidades. As figuras abaixo traduzem as transformações ocorridas em a, b e c. d) A região será ampliada, cada complexo z tendo seu valor absoluto multiplicado por 2. Não sofrerá rotação e sua área ficará multiplicada por 4. 33
  • 34. GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 2 e) A região será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada; também sofrerá uma rotação de 90º, correspondente à multiplicação por i. 34