1. O documento discute progressões aritméticas e geométricas, definindo-as e apresentando suas propriedades e fórmulas principais, como a fórmula do termo geral e a fórmula da soma dos termos. 2. Progressões aritméticas são sequências em que a diferença entre os termos é constante, enquanto progressões geométricas são sequências em que a razão entre os termos é constante. 3. O documento apresenta exercícios e exemplos para ilustrar o conceito e aplicação de progressões aritméticas e

1. Sum´ario
PROGESS ˜OES
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
20 de marc¸o de 2015

2. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Sum´ario
1 Progress˜oes Aritm´eticas
2 Progress˜oes Geom´etricas

3. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Outline
1 Progress˜oes Aritm´eticas
2 Progress˜oes Geom´etricas

4. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Progress˜oes Aritm´eticas
Definic¸ ˜ao:
Uma progress˜ao aritm´etica (PA) ´e uma sequˆencia na qual a
diferenc¸a entre cada termo e o termo anterior ´e constante.
Essa diferenc¸a constante ´e chamada de raz˜ao da progress˜ao e
´e representada pela letra r
Termo geral de uma Progress˜ao Aritm´etica
an = a1 + (n − 1)r
pois, ao passar de a1 para an, avanc¸amos (n − 1) termos

5. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Exerc´ıcios e exemplos
Exerc´ıcio p.48 n. 3.1: Formam-se n triˆangulos com palitos. Qual ´e o
n´umero de palitos usados para construir n triˆangulos?
Exerc´ıcio p.48 n. 3.2: Os ˆangulos internos de um pent´agono
convexo est˜ao em progress˜ao aritm´etica. Determine o ˆangulo
mediano
Exerc´ıcio p.48 n. 3.3: Se 3 − x, −x,
√
9 − x, ... ´e uma progress˜ao
aritm´etica, determine x e calcule o quinto termo
Exemplo 7 p.38: Os lados de um triˆangulo retˆangulo formam uma
progress˜ao aritm´etica crescente. Mostre que a raz˜ao dessa
progress˜ao ´e igual ao raio do c´ırculo inscrito
Exemplo 8 p.38: Determine 4 n´umeros em progress˜ao aritm´etica
crescente, conhecendo sua soma 8 e a soma de seus quadrados 36

6. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Em uma progress˜ao aritm´etica, o termo geral ´e dado por um
polinˆomio em n,
an = a1 + (n − 1)r = r.n + (a1 − r)
Se r = 0, ou seja, se a progress˜ao for n˜ao estacion´aria
(constante), esse polinˆomio ´e de grau 1. Se r = 0, isto ´e, se a
progress˜ao for estacion´aria, esse polinˆomio ´e de grau menor
que 1
As progress˜oes aritm´eticas de raz˜ao r = 0 s˜ao chamadas de
progress˜oes aritm´eticas de primeira ordem
Reciprocamente, se em uma sequˆencia o termo de ordem n for
dado por um polinˆomio em n, de grau menor ou igual a 1, ela
ser´a uma progress˜ao aritm´etica

7. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Em uma progress˜ao aritm´etica an = a0 + nr, a func¸ ˜ao que
associa cada natural n o valor de an ´e a restric¸ ˜ao aos naturais
da func¸ ˜ao afim a(x) = a(0) + rx
Pensando em uma progress˜ao aritm´etica como
uma func¸ ˜ao que associa a cada n´umero natural
n o valor an, o gr´afico dessa func¸ ˜ao ´e formado
por uma sequˆencia de pontos colineares no
plano

8. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Soma dos Termos de uma Progress˜ao Aritm´etica
Teorema: A soma dos n primeiros termos da progress˜ao aritm´etica
(a1, a2, a3, ...) ´e
Sn =
(a1 + an)n
2
Sn =
(a1 + an)n
2
=
[a1 + a1 + (n − 1)r]n
2
=
r
2
n2
+ a1 −
r
2
n
Observe que, se r = 0, ent˜ao Sn ´e um polinˆomio do segundo grau em n, desprovido
de termo independente. Se r = 0, Sn ´e um polinˆomio de grau menor que 2, sem termo
independente
Reciprocamente, todo polinˆomio de segundo grau em n, desprovido de termo
independente, ´e o valor da soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao aritm´etica

9. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Progress˜oes Aritm´eticas de Ordem Superior
Define-se para sequˆencias o operador ∆, chamado de
operador diferenc¸a, por ∆an = an+1 − an
Uma sequˆencia (an) ´e uma progress˜ao aritm´etica se, e
somente se, (∆an) = (an+1 − an) ´e constante

10. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Teorema Fundamental da Somac¸ ˜ao
n
k=1 ∆ak = an+1 − a1
Exerc´ıcio p.52 n.3.44: Use o Teorema Fundamental da
Somac¸ ˜ao para calcular
a) n
k=1 3k
b) n
k=1 k.k!
c) n
k=1
1
k(k+1)

11. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Definic¸ ˜ao: Uma progress˜ao aritm´etica de segunda ordem ´e
uma sequˆencia (an) na qual as diferenc¸as (∆an) = (an+1 − an),
entre cada termo e o termo anterior, formam uma progress˜ao
aritm´etica n˜ao estacion´aria
Uma progress˜ao aritm´etica de ordem k (k > 2) ´e uma
sequˆencia na qual as diferenc¸as entre cada termo e o termo
anterior formam uma progress˜ao aritm´etica de ordem k − 1
Exemplo 14 p.42: A sequˆencia (an) = (n3 − n) e as
sequˆencias das suas diferenc¸as (∆an), (∆2an) = (∆∆an),
(∆3an) = (∆∆2an), etc

12. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
A sequˆencia cujo termo de ordem n ´e a soma
Sn = a1 + a2 + ... + an dos n primeiros termos de uma
progress˜ao aritm´etica de ordem p ´e uma progress˜ao aritm´etica
de ordem p + 1
Teorema: Toda sequˆencia na qual o termo de ordem n ´e um
polinˆomio em n, de grau p, ´e uma progress˜ao aritm´etica de
ordem p e, reciprocamente, se (an) ´e uma progress˜ao
aritm´etica de ordem p, ent˜ao an ´e um polinˆomio de grau p em n
Exemplo 15 p.44: Obter uma express˜ao para a soma
n
k=1 k(k + 2)

13. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Somas Polinomiais
Para a demonstrac¸ ˜ao do caso geral do teorema que relaciona
polinˆomios e progress˜oes aritm´eticas de ordem superior,
precisamos estudar somas do tipo n
k=1 kp = 1p + 2p + ... + np
e, de modo mais geral, do tipo n
k=1 P(k), onde P(k) ´e um
polinˆomio em k
Teorema: 1p + 2p + ... + np = n
k=1 kp ´e um polinˆomio de grau
p + 1 em n
Corol´ario: Se F ´e um polinˆomio de grau p ent˜ao n
k=1 F(k) ´e
um polinˆomio de grau p + 1 em n

14. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Outline
1 Progress˜oes Aritm´eticas
2 Progress˜oes Geom´etricas

15. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Progress˜oes Geom´etricas
Se uma grandeza tem taxa de crescimento igual a i, cada valor
da grandeza ´e igual a (1 + i) vezes o valor anterior
Progress˜oes geom´etricas s˜ao sequˆencias nas quais a taxa de
crescimento i de cada termo para o seguinte ´e sempre a
mesma

16. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Progress˜oes Geom´etricas
Definic¸ ˜ao:Uma progress˜ao geom´etrica ´e uma sequˆencia na
qual ´e constante o quociente da divis˜ao de cada termo pelo
termo anterior. Esse quociente ´e chamado de raz˜ao da
progress˜ao e ´e representado pela letra q. A raz˜ao q de uma
progress˜ao geom´etrica ´e simplesmente o valor de 1 + i, onde i
´e a taxa de crescimento constante de cada termo para o
seguinte
Termo geral de uma progress˜ao geom´etrica
De modo geral temos an = a1qn−1, pois, ao passar de a1 para
an, avanc¸amos n − 1 termos

17. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio p.62 n.3.50: O per´ıodo de um pˆendulo simples ´e
diretamente proporcional `a raiz quadrada de seu comprimento.
De quanto devemos aumentar o comprimento para aumentar
de 20% o per´ıodo?
Exerc´ıcio p.62 n.3.51: Mantida constante a temperatura, a
press˜ao de um g´as perfeito ´e inversamente proporcional a seu
volume. De quanto aumenta a press˜ao quando reduzimos 20%
o volume?
Exerc´ıcio p.63 n.3.60: N´umero perfeito ´e aquele que ´e igual `a
metade da soma dos seus divisores positivos. Por exemplo, 6 ´e
perfeito pois a soma de seus divisores ´e 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Prove que, se 2p − 1 ´e um n´umero primo, ent˜ao, 2p−1.(2p − 1)
´e um n´umero perfeito.

18. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Em uma progress˜ao geom´etrica an = a0qn, a func¸ ˜ao que
associa a cada natural n o valor de an ´e simplesmente a
restric¸ ˜ao aos naturais da func¸ ˜ao exponencial a(x) = a(0)qx
Pensando em uma progress˜ao
geom´etrica como uma func¸ ˜ao que
associa a cada n´umero natural n o valor
an, o gr´afico dessa func¸ ˜ao ´e formado por
uma sequˆencia de pontos pertencentes
ao gr´afico de uma func¸ ˜ao exponencial

19. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
A F´ormula das Taxas Equivalentes
Lema: Se I ´e a taxa de crescimento de uma grandeza
relativamente ao per´ıodo de tempo T e i ´e a taxa de
crescimento relativamente ao per´ıodo t, e se T = nt, ent˜ao
1 + I = (1 + i)n
Exerc´ıcio p.62 n. 3.53: Um carro novo custa R$18 000,00 e,
com 4 anos de uso, vale R$12 000,00. Supondo que o valor
decresc¸a a uma taxa anual constante, determine o valor do
carro com 1 ano de uso.

20. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
A Soma dos Termos de uma Progress˜ao
Geom´etrica
Lema: A soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao
geom´etrica (an) de raz˜ao q = 1, ´e Sn = a1
1−qn
1−q
Nas progress˜oes geom´etricas em que |q| < 1, a soma dos n
primeiros termos tem um limite finito quando n → ∞. Como
nesse caso limn→∞ qn = 0, temos
lim
n→∞
Sn = a1
1 − 0
1 − q
ou ainda,
lim
n→∞
Sn =
a1
1 − q

21. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
A Soma dos Termos de uma Progress˜ao
Geom´etrica
O teorema da somac¸ ˜ao n
k=1 ∆ak = an+1 − a1, tamb´em nos
permitiria determinar o valor da soma dos n primeiros termos
de uma progress˜ao geom´etrica.
A F´ormula de Somac¸ ˜ao por Partes
n
k=1
ak+1∆bk = an+1bn+1 − a1b1 −
n
k=1
bk ∆ak (1)
Exemplo p.61: Calcule n
k=1 k3k

22. Progress˜oes Aritm´eticas Progress˜oes Geom´etricas
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio p.64 n.3.70: Larga-se uma bola de uma altura de
5cm. Ap´os cada choque com o solo, ela recupera apenas 4
9 da
altura anterior. Determine:
a) a distˆancia total percorrida pela bola
b) o tempo gasto pela bola at´e parar
Exerc´ıcio p.66 n.3.84: O per´ımetro e a ´area da curva de Koch