Números Especiais

1. Sum´ario
N ´UMEROS ESPECIAIS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
18 de novembro de 2016

2. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
2 N´umeros Perfeitos
3 Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
4 A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α

3. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Outline
1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
2 N´umeros Perfeitos
3 Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
4 A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α

4. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Primos de Fermat
Proposic¸ ˜ao 8.1: Sejam a e n n´umeros naturais maiores que 1.
Se an + 1 ´e primo, ent˜ao a ´e par e n = 2m, com m ∈ N
Definic¸ ˜ao: Os n´umeros de Fermat s˜ao n´umeros da forma
Fn = 22n
+ 1, n = 0, 1, 2, ...
Fermat (em cartas `a Mersenne em 1640): Esses n´umeros s˜ao
todos primos
Euler (1732): F5 = 225
+ 1 = 4294967297 = 641.6700417,
portanto, composto (Exemplos 9.19 e 10.18)

5. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Primos de Fermat
Definic¸ ˜ao: Os primos de Fermat primos s˜ao chamados de
primos de Fermat
Conjectura (Hardy e Wright): Os primos de Fermat s˜ao em
n´umero finito
Exemplo 6.18 (a): (Fn, Fm) = 1, se n = m
Esse resultado fornece-nos uma outra prova de que existem
infinitos n´umeros primos, pois cada n´umero de Fermat tem
pelo menos um divisor primo (Teorema 7.3) e esses divisores
primos s˜ao todos distintos

6. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Primos de Mersenne
Proposic¸ ˜ao 8.2: Sejam a e n n´umeros naturais maiores do
que 1. Se an − 1 ´e primo, ent˜ao a = 2 e n ´e primo
Definic¸ ˜ao: Os n´umeros de Mersenne s˜ao ps n´umeros da
forma Mp = 2p − 1, onde p ´e um primo
. maior n´umero primo conhecido (2013): M57885161 com
17425170 d´ıgitos no sistema decimal

7. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Primos em uma PA
Teorema de Dirichlet
Teorema 8.3: Em uma PA de n´umeros naturais, com primeiro
termo e raz˜ao primos entre si, existem infinitos n´umeros primos
Casos particulares desse teorema
Proposic¸ ˜ao 8.4: Na progress˜ao aritm´etica
3, 7, 11, 15, ..., 4n + 3, ... existem infinitos n´umeros primos
Lema 8.5: Seja x ∈ N, com x ≥ 2. Todo divisor ´ımpar de x2 + 1
´e da forma 4n + 1
Proposic¸ ˜ao 8.6: Na progress˜ao aritm´etica
1, 5, 9, 13, 17, ..., 4n + 1, ... existem infinitos n´umeros primos

8. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Outline
1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
2 N´umeros Perfeitos
3 Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
4 A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α

9. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
N´umeros Perfeitos
Definic¸ ˜ao: Seja n ∈ N. Denotaremos por s(n) a soma de todos
os seus divisores naturais. Note que s(1) = 1
Exemplo 8.7: Seja n ∈ N. Tem-se que s(n) = n + 1 se, e
somente se, n ´e um n´umero primo
Proposic¸ ˜ao 8.8: Seja n = pα1
1 ...pαr
r a decomposic¸ ˜ao de n em
fatores primos. Ent˜ao
s(n) =
pα1+1
1 − 1
p1 − 1
...
pαr +1
r − 1
pr − 1

10. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
N´umeros Perfeitos
Corol´ario 8.9: A func¸ ˜ao s(n) ´e multiplicativa, isto ´e, se (n, m) = 1, ent˜ao s(nm) = s(n)s(m)
Exemplo 8.10:
s(3) =
32
− 1
3 − 1
= 4
s(6) = s(2.3) =
22
− 1
2 − 1
32
− 1
3 − 1
= 12
s(18) = s(2.3
2
) =
21
− 1
2 − 1
33
− 1
3 − 1
= 39
s(28) = s(2
2
.7) =
23
− 1
2 − 1
72
− 1
7 − 1
= 56
s(45) = s(3
2
.5) =
33
− 1
3 − 1
52
− 1
5 − 1
= 78
Note que s(18) = 39 = 48 = s(3).s(6) e, portanto, a conclus˜ao do corol´ario n˜ao vale se (n, m) = 1
Os n´umeros como o 6 e 28, com a propriedade de serem iguais `a metadde da soma de seus divisores, tiveram o
poder de fascinar os gregos antigos, que os chamaram de n´umeros perfeitos

11. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
N´umeros Perfeitos
Definic¸ ˜ao: Um n´umero natural n ´e chamado de n´umero perfeito se
s(n) = 2n. Ou ainda, se o n´umero ´e igual ´a soma dos seus divisores
naturais distintos dele mesmo
. Todos os n´umeros perfeitos conhecidos s˜ao pares
Euclides-Euler
Teorema 8.11: Um n´umero natural n ´e um n´umero perfeito par se, e
somente se, n = 2p−1
(2p
− 1), onde 2p
− 1 ´e um primo de Mersenne
. O fato de o n´umero 2p
− 1 no enunciado do teorema ser um primo
de Mersenne implica que p ´e primo
. O teorema reduz a existˆencia ou n˜ao de um n´umero infinito de
n´umeros perfeitos pares ao problema an´alogo para primos de
Mersenne, o que ainda est´a em aberto

12. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Outline
1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
2 N´umeros Perfeitos
3 Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
4 A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α

13. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Proposic¸ ˜ao 8.12: Sejam a, b, c ∈ N. Temos que
a
b
c = a
bc
. Ep(n!): expoente da maior potˆencia de p que divide n!, ou
seja, o exppoente da potˆencia de p que aparece na fatorac¸ ˜ao
de n! em fatores primos
Teorema 8.13: Sejam n um n´umero natural e p um n´umero
primo. Ent˜ao
Ep(n!) =
n
p
+
n
p2
+
n
p3
+ ...

14. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Na pr´atica, ´e f´acil calcular Ep(n!). Isso se faz com o uso do
seguinte algoritmo:
n = pq1 + r1
q1 = pq2 + r2
...
qs−1 = pqs + rs
Como q1 > q2 > ..., segue-se que, para algum s, tem-se que
qs < p. Portanto,
Ep(n!) = q1 + q2 + ... + qs
Exemplo 8.14: Vamos determinar a decomposic¸ ˜ao de 10! em
fatores primos e descobrir com quantos zeros termina a
representac¸ ˜ao decimal desse n´umero

15. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Lema 8.15: Sejam a1, ..., am, b n´umeros naturais. Tem-se que
a1
b
+ ... +
am
b
≤
a1 + ... + am
b
<
a1
b
+ ... +
am
b
+ m
Corol´ario 8.16: Se a1, ..., am s˜ao n´umeros naturais, ent˜ao ´e
natural o n´umero (a1+...+am)!
a1!...am!
Teorema 8.17: Sejam p, n ∈ N, com p primo. Se
n = nr pr + nr−1pr−1 + ... + n1p + n0 ´e a representac¸ ˜ao p-´adica
de n, ent˜ao
Ep(n!) =
n − (n0 + n1 + ... + nr−1 + nr )
p − 1

16. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Vamos a seguir descrever um algoritmo para calcular Ep
n
m
Sejam dados os n´umeros naturais
m = m0 + m1p + ... + msps e l = l0 + l1p + ... + lt pt ,
escritos na sua expans˜ao p-´adica, e seja n = m + l com expans˜ao p-´adica
n = n0 + n1p + ... + nr pr .
Para determinar os ni em func¸ ˜ao dos mi e li , introduziremos a seguinte notac¸ ˜ao:
ε0 =
0, se m0 + l0 < p
1, se m0 + l0 ≥ p
e para i > 0
εi =
0, se mi + li + εi−1 < p
1, se mi + li + εi−1 ≥ p
Pondo ε−1 = 0 para 0 ≤ i ≤ r, temos que
ni = mi + li + εi−1 − εi p

17. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Kummer
Corol´ario 8.18: Com as notac¸ ˜oes acima temos que
Ep
n
m
=
r
i=0
εi
. O n´umero Ep
n
m
, para n > m, ´e igual ao n´umero de vezes
que se “toma emprestado” uma unidade da casa superior ao
efetuarmos a subtrac¸ ˜ao n − m na base p
. Se n tem r + 1 algarismos na base p, ent˜ao s´o podemos “tomar
emprestado” no m´aximo r vezes uma unidade da casa superior ao
subtrairmos de n um n´umero inferior a ele

18. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
Exemplo 8.19: Seja n = 196 e m = 67, vamos determinar por
meio do algoritmo de Kummer o valor de Ep
196
67
Exemplo 8.20: Seja n ∈ N. Vamos mostrar que
2n
n
divide
[1, 2, ..., 2n]

19. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Outline
1 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
2 N´umeros Perfeitos
3 Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos
4 A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α

20. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
O nosso objetivo nesta sec¸ ˜ao ser´a o de complementar a teoria
desenvolvida na sec¸ ˜ao anterior, determinando quando a
equac¸ ˜ao Ep(x!) = α tem soluc¸ ˜ao em x ∈ N e, nesse caso,
determinar todas as soluc¸ ˜oes
Note que se n = mp + r, onde 0 ≤ r < p, ent˜ao
Ep(n!) = Ep((mp)!). Portanto, se existir uma soluc¸ ˜ao de
Ep(x!) = α, todas as soluc¸ ˜oes ser˜ao da forma
mp, mp + 1, ..., mp + p − 1, para algum m ∈ N

21. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Dados p e α, descreveremos o algoritmo para resolver em m a equac¸ ˜ao
Ep((mp)!) = α
1 Iniciamos com o c´alculo da expans˜ao p-´adica de α
2 Em seguida verificamos se α = ps
+ ps−1
+ ... + p. Em tal caso a
nossa equac¸ ˜ao n˜ao tem soluc¸ ˜ao
3 Em seguida, calculamos ms = α(p−1)
ps+1−1
. Se for zero, calculamos
α(p−1)
ps−1
, que nesse caso ´e igual a ms−1. Assim procede-se at´e
encontrar o primeiro l tal que α(p−1)
pl+1−1
= 0. Nesse caso
ms = ms−1 = ... = ml+1 = 0 e ml = α(p−1)
pl+1−1
= 0
4 Em seguida, p˜oe-se m = m − ml pl
e α = α − ml (pl
+ ... + 1) e
ficamos reduzidos a resolver a equac¸ ˜ao Ep((m p)!) = α , onde m < m
e α < α. Para a qual aplicamos os passos anteriores do algoritmo

22. Primos de Fermat, de Mersenne e em PA N´umeros Perfeitos Decomposic¸ ˜ao do Fatorial em Primos A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
A Equac¸ ˜ao Ep(x!) = α
Exemplo 8.22: Vamos resolver em x a equac¸ ˜ao E7(x!) = 855
Com esse exemplo vemos que a equac¸ ˜ao Ep(x!) = α pode n˜ao
ter soluc¸ ˜ao mesmo que α = ps + ps−1 + ... + p, pois esse ´e
apenas o primeiro passo do algoritmo, podendo tal caso
ocorrer em algum outro passo, inviabilizando a existˆencia da
soluc¸ ˜ao.
Exemplo 8.23: Vamos resolver a equac¸ ˜ao E5(x!) = 148