SlideShare uma empresa Scribd logo

Sequências

O documento discute sequências matemáticas, especificamente progressões aritméticas e geométricas. Apresenta definições, fórmulas e exemplos de sequências finitas e infinitas, progressões aritméticas e suas classificações, além de fornecer exercícios sobre o assunto.

1 de 42
Baixar para ler offline
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
Sequˆencias
LOURENC¸O GALLETTI
26 de maio de 2015
Sequˆencias
Sequˆencias
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
1 Sequˆencias
2 Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
3 Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Sequˆencias
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Chama-se sequˆencia finita ou n-upla toda fun¸c˜ao
f : N∗
n = {1, 2, 3, . . . , n} → R
Assim, em toda sequˆencia finita, a cada n´umeros natural
i(1 ≤ i ≤ n) est´a associado um n´umero real ai .
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (n, an)}
Chama-se sequˆencia infinita toda fun¸c˜ao f : N∗ → R
Em toda sequˆencia infinita, a cada i ∈ N∗ est´a associado um
ai ∈ R.
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (i, ai ), . . . , }
Doravante, indicaremos uma sequˆencia f anotando apenas as
imagens de f :
f = (a1, a2, a3, . . . , ai , . . .).
Sequˆencias
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Quando queremos indicar uma sequˆencia f qualquer, escrevemos
f = (ai )i∈I
e lemos “sequˆencia f dos termos ai onde o conjunto de ´ındices ´e I”
Exemplo
1 (1, 2, 3, 4, 6, 12) ´e a sequˆencia (finita) dos divisores inteiros
positivos de 12 dispostos em ordem crescente.
2 (2, 4, 6, 8, . . . , 2i, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos m´ultiplos
inteiros positivos de 2.
3 (2, 3, 5, 7, 11, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos n´umeros primos
positivos.
Sequˆencias
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Lei de forma¸c˜ao
Interessam `a Matem´atica as sequˆencias em que os termos se
sucedem obedecendo a certa regra, isto ´e, aquelas que tˆem uma lei
de forma¸c˜ao. Esta pode ser apresentadas de trˆes maneiras:
Por f´ormula de recorrˆencia
S˜ao dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo
(a1) e outra para calcular cada termo (an) a partir do
antecedente (an−1).
Exemplo
a1 = 2 e an = an−1 + 3, ∀n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}
b1 = 1 e bn = 3.bn−1, ∀n ∈ N e n ≥ 2
Sequˆencias
Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Lei de Forma¸c˜ao
Expressando cada termo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao
´E dada uma f´ormula que expressa an em fun¸c˜ao de n.
Exemplo
an = 2n
, ∀n ∈ N
bn = 3n + 1, ∀n ∈ N
Por propriedades dos termos
´E dada uma propriedade que os termos da sequˆencia devem
apresentar.
Sequˆencias

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Progressão aritmética e geométrica
Progressão aritmética e geométricaProgressão aritmética e geométrica
Progressão aritmética e geométricaGeisla Maia Gomes
 
Matemática - Progressão Aritmética - www.CentroApoio.com - Vídeo Aula
Matemática - Progressão Aritmética  - www.CentroApoio.com - Vídeo AulaMatemática - Progressão Aritmética  - www.CentroApoio.com - Vídeo Aula
Matemática - Progressão Aritmética - www.CentroApoio.com - Vídeo AulaVídeo Aulas Apoio
 
Progressão geométrica
Progressão geométricaProgressão geométrica
Progressão geométricaleilamaluf
 
Matematica: Progressao Aritmetica
Matematica: Progressao AritmeticaMatematica: Progressao Aritmetica
Matematica: Progressao Aritmeticafa_miceli
 
Slides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão GeométricaSlides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão GeométricaKetlin Cavane
 
Sequências e progressões
Sequências e progressõesSequências e progressões
Sequências e progressõesespacoaberto
 
Progressão geométrica
Progressão geométricaProgressão geométrica
Progressão geométricarosania39
 
Progressão aritmética
Progressão aritméticaProgressão aritmética
Progressão aritméticaleilamaluf
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) iMat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) itrigono_metrico
 
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressõescon_seguir
 
Mat exercicios resolvidos 007
Mat exercicios resolvidos  007Mat exercicios resolvidos  007
Mat exercicios resolvidos 007trigono_metrico
 
Mat sequencias e progressoes 005
Mat sequencias e progressoes  005Mat sequencias e progressoes  005
Mat sequencias e progressoes 005trigono_metrico
 

Mais procurados (20)

04 pa e pg
04 pa e pg04 pa e pg
04 pa e pg
 
Matemática - PA e PG
Matemática - PA e PGMatemática - PA e PG
Matemática - PA e PG
 
Progressão aritmética
Progressão aritméticaProgressão aritmética
Progressão aritmética
 
Progressão aritmética e geométrica
Progressão aritmética e geométricaProgressão aritmética e geométrica
Progressão aritmética e geométrica
 
P.a. e p.g.
P.a. e p.g.P.a. e p.g.
P.a. e p.g.
 
Matemática - Progressão Aritmética - www.CentroApoio.com - Vídeo Aula
Matemática - Progressão Aritmética  - www.CentroApoio.com - Vídeo AulaMatemática - Progressão Aritmética  - www.CentroApoio.com - Vídeo Aula
Matemática - Progressão Aritmética - www.CentroApoio.com - Vídeo Aula
 
Progressão geométrica
Progressão geométricaProgressão geométrica
Progressão geométrica
 
Progressão geometrica
Progressão geometricaProgressão geometrica
Progressão geometrica
 
P.a e p.g.
P.a e p.g.P.a e p.g.
P.a e p.g.
 
P.a. e p.g.
P.a. e p.g.P.a. e p.g.
P.a. e p.g.
 
Matematica: Progressao Aritmetica
Matematica: Progressao AritmeticaMatematica: Progressao Aritmetica
Matematica: Progressao Aritmetica
 
Slides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão GeométricaSlides- Progressão Geométrica
Slides- Progressão Geométrica
 
Sequências e progressões
Sequências e progressõesSequências e progressões
Sequências e progressões
 
Progressão geométrica
Progressão geométricaProgressão geométrica
Progressão geométrica
 
Progressão aritmética
Progressão aritméticaProgressão aritmética
Progressão aritmética
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) iMat progressao aritmetica ( pa ) i
Mat progressao aritmetica ( pa ) i
 
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
11 eac proj vest mat módulo 2 progressões
 
Mat exercicios resolvidos 007
Mat exercicios resolvidos  007Mat exercicios resolvidos  007
Mat exercicios resolvidos 007
 
Mat sequencias e progressoes 005
Mat sequencias e progressoes  005Mat sequencias e progressoes  005
Mat sequencias e progressoes 005
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 

Semelhante a Sequências

Mat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) iiMat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) iitrigono_metrico
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Progressão Aritimética
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Progressão Aritimética www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Progressão Aritimética
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Progressão AritiméticaClarice Leclaire
 
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática - Progressão Aritimética
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática -  Progressão Aritiméticawww.TutoresNaWebCom.Br - Matemática -  Progressão Aritimética
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática - Progressão AritiméticaCris Santos Tutores
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Progressão Aritimética
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Progressão Aritimética www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Progressão Aritimética
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Progressão AritiméticaBeatriz Góes
 
Progressões aritméticas
Progressões aritméticasProgressões aritméticas
Progressões aritméticasDayzeCampany
 
Mat progressoes aritmeticas 001
Mat progressoes aritmeticas  001Mat progressoes aritmeticas  001
Mat progressoes aritmeticas 001trigono_metrico
 
todas-as-formulas-de-matematica
 todas-as-formulas-de-matematica todas-as-formulas-de-matematica
todas-as-formulas-de-matematicaHudson Sousa
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFernando Viana
 
aulao_jefferson_fiel.ppt
aulao_jefferson_fiel.pptaulao_jefferson_fiel.ppt
aulao_jefferson_fiel.pptssuser408e791
 

Semelhante a Sequências (20)

Progressões geométricas
Progressões geométricasProgressões geométricas
Progressões geométricas
 
08 - Progressões
08 - Progressões08 - Progressões
08 - Progressões
 
Mat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) iiMat progressao aritmetica ( pa ) ii
Mat progressao aritmetica ( pa ) ii
 
PDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptxPDF PA e PG.pptx
PDF PA e PG.pptx
 
Aula 02 sequências
Aula 02   sequênciasAula 02   sequências
Aula 02 sequências
 
Progressão.pdf
Progressão.pdfProgressão.pdf
Progressão.pdf
 
Progressão aritmética
Progressão aritméticaProgressão aritmética
Progressão aritmética
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Progressão Aritimética
 www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Progressão Aritimética www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br  - Matemática -  Progressão Aritimética
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Progressão Aritimética
 
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática - Progressão Aritimética
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática -  Progressão Aritiméticawww.TutoresNaWebCom.Br - Matemática -  Progressão Aritimética
www.TutoresNaWebCom.Br - Matemática - Progressão Aritimética
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Progressão Aritimética
 www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Progressão Aritimética www.AulasDeMatematicaApoio.com.br  - Matemática - Progressão Aritimética
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Progressão Aritimética
 
Progressões aritméticas
Progressões aritméticasProgressões aritméticas
Progressões aritméticas
 
Mat progressoes aritmeticas 001
Mat progressoes aritmeticas  001Mat progressoes aritmeticas  001
Mat progressoes aritmeticas 001
 
Progressões
ProgressõesProgressões
Progressões
 
Gabarito pa
Gabarito paGabarito pa
Gabarito pa
 
PA e PG
PA e PGPA e PG
PA e PG
 
todas-as-formulas-de-matematica
 todas-as-formulas-de-matematica todas-as-formulas-de-matematica
todas-as-formulas-de-matematica
 
Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticasFórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
 
aulao_jefferson_fiel.ppt
aulao_jefferson_fiel.pptaulao_jefferson_fiel.ppt
aulao_jefferson_fiel.ppt
 
Papg
PapgPapg
Papg
 
Pa
PaPa
Pa
 

Mais de josivaldopassos

Mais de josivaldopassos (20)

Medidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuaçãoMedidas de tendencia central continuação
Medidas de tendencia central continuação
 
Juros compostos1
Juros compostos1Juros compostos1
Juros compostos1
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
 
Aula 07 de estatística
Aula 07 de estatísticaAula 07 de estatística
Aula 07 de estatística
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
 
Aula 07 de estatística
Aula 07 de estatísticaAula 07 de estatística
Aula 07 de estatística
 
Aula 06 de estatística
Aula 06 de estatísticaAula 06 de estatística
Aula 06 de estatística
 
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
 
Atividades de funções modulares
Atividades de funções modularesAtividades de funções modulares
Atividades de funções modulares
 
Exercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacialExercícios de geometria espacial
Exercícios de geometria espacial
 
Jogo dos palitos
Jogo dos palitosJogo dos palitos
Jogo dos palitos
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Agenda de moblização
Agenda de moblizaçãoAgenda de moblização
Agenda de moblização
 
Intervalos reais
Intervalos reaisIntervalos reais
Intervalos reais
 
Análise combinatória
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Análise combinatória
 

Último

Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptx
Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptxSlides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptx
Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;azulassessoriaacadem3
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...azulassessoriaacadem3
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...excellenceeducaciona
 
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médio
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médioElementos da Formação Social: sociologia no ensino médio
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médioProfessor Belinaso
 
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptx
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptxUm círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptx
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptxColmeias
 
Planejamento Anual Matemática para o ENEM - 1º ano 1, 2 e 3 anos-.pdf
Planejamento Anual Matemática para o ENEM -  1º ano 1, 2 e 3  anos-.pdfPlanejamento Anual Matemática para o ENEM -  1º ano 1, 2 e 3  anos-.pdf
Planejamento Anual Matemática para o ENEM - 1º ano 1, 2 e 3 anos-.pdfCludiaFrancklim
 
08 de março - Dia Internacional da Mulher
08 de março - Dia Internacional da Mulher08 de março - Dia Internacional da Mulher
08 de março - Dia Internacional da MulherMary Alvarenga
 
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...GraceDavino
 
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento Mary Alvarenga
 
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...assessoriaff01
 
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptxAndreia Silva
 
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIM
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIMSOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIM
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIMHisrelBlog
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...excellenceeducaciona
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...azulassessoriaacadem3
 
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...azulassessoriaacadem3
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...excellenceeducaciona
 

Último (20)

Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptx
Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptxSlides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptx
Slides Lição 9, BETEL, Família, primeiro ministério e maior patrimônio.pptx
 
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;
2 – A data de implantação de cada tendência pedagógica no Brasil;
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
 
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
2. Como o entrevistado descreve a gestão e execução dos principais processos ...
 
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médio
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médioElementos da Formação Social: sociologia no ensino médio
Elementos da Formação Social: sociologia no ensino médio
 
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptx
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptxUm círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptx
Um círculo de Leitura Fada Oriana. Colmeias.pptx
 
Atividade sobre o anacronismo na HIstoria
Atividade sobre o anacronismo na HIstoriaAtividade sobre o anacronismo na HIstoria
Atividade sobre o anacronismo na HIstoria
 
Planejamento Anual Matemática para o ENEM - 1º ano 1, 2 e 3 anos-.pdf
Planejamento Anual Matemática para o ENEM -  1º ano 1, 2 e 3  anos-.pdfPlanejamento Anual Matemática para o ENEM -  1º ano 1, 2 e 3  anos-.pdf
Planejamento Anual Matemática para o ENEM - 1º ano 1, 2 e 3 anos-.pdf
 
Namorar não és ser don .
Namorar não és ser don                  .Namorar não és ser don                  .
Namorar não és ser don .
 
08 de março - Dia Internacional da Mulher
08 de março - Dia Internacional da Mulher08 de março - Dia Internacional da Mulher
08 de março - Dia Internacional da Mulher
 
SANTO AMARO NO LAR VALE FORMOSO _
SANTO AMARO NO LAR VALE FORMOSO         _SANTO AMARO NO LAR VALE FORMOSO         _
SANTO AMARO NO LAR VALE FORMOSO _
 
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...
610854 (4).pptx Linguagem da música. Diferentes gêneros da musica tradicional...
 
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento
Letra da música Maria, Maria de Milton Nascimento
 
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...
MAPA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - 51/2024 (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) 2...
 
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx
01_Apresentacao_25_CIAED_2019_Ambientação_GRAD.pptx
 
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIM
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIMSOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIM
SOCIOLOGIA: O PENSAMENTO DE ÉMILE DURKHEIM
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
 
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...
3 – As principais características de cada tendência pedagógica, na ordem: o p...
 
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
Depois de refletir sobre essas etapas, o planejamento será registrado por mei...
 

Sequências

  • 1. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos Sequˆencias LOURENC¸O GALLETTI 26 de maio de 2015 Sequˆencias Sequˆencias
  • 2. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) 1 Sequˆencias 2 Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) 3 Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Sequˆencias
  • 3. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se sequˆencia finita ou n-upla toda fun¸c˜ao f : N∗ n = {1, 2, 3, . . . , n} → R Assim, em toda sequˆencia finita, a cada n´umeros natural i(1 ≤ i ≤ n) est´a associado um n´umero real ai . f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (n, an)} Chama-se sequˆencia infinita toda fun¸c˜ao f : N∗ → R Em toda sequˆencia infinita, a cada i ∈ N∗ est´a associado um ai ∈ R. f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (i, ai ), . . . , } Doravante, indicaremos uma sequˆencia f anotando apenas as imagens de f : f = (a1, a2, a3, . . . , ai , . . .). Sequˆencias
  • 4. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Quando queremos indicar uma sequˆencia f qualquer, escrevemos f = (ai )i∈I e lemos “sequˆencia f dos termos ai onde o conjunto de ´ındices ´e I” Exemplo 1 (1, 2, 3, 4, 6, 12) ´e a sequˆencia (finita) dos divisores inteiros positivos de 12 dispostos em ordem crescente. 2 (2, 4, 6, 8, . . . , 2i, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos m´ultiplos inteiros positivos de 2. 3 (2, 3, 5, 7, 11, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos n´umeros primos positivos. Sequˆencias
  • 5. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de forma¸c˜ao Interessam `a Matem´atica as sequˆencias em que os termos se sucedem obedecendo a certa regra, isto ´e, aquelas que tˆem uma lei de forma¸c˜ao. Esta pode ser apresentadas de trˆes maneiras: Por f´ormula de recorrˆencia S˜ao dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (a1) e outra para calcular cada termo (an) a partir do antecedente (an−1). Exemplo a1 = 2 e an = an−1 + 3, ∀n ∈ {2, 3, 4, 5, 6} b1 = 1 e bn = 3.bn−1, ∀n ∈ N e n ≥ 2 Sequˆencias
  • 6. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de Forma¸c˜ao Expressando cada termo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao ´E dada uma f´ormula que expressa an em fun¸c˜ao de n. Exemplo an = 2n , ∀n ∈ N bn = 3n + 1, ∀n ∈ N Por propriedades dos termos ´E dada uma propriedade que os termos da sequˆencia devem apresentar. Sequˆencias
  • 7. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de Forma¸c˜ao Exemplo Escrever os cinco termos iniciais da sequˆencia formada pelos n´umeros primos positivos colocados em ordem crescente. Temos ent˜ao: (2, 3, 5, 7, 11, . . .) Notemos que a sequˆencia dos primos n˜ao pode ser dada por uma f´ormula de recorrˆencia bem como n˜ao existe f´ormula para calcular o n-´esimo primo positivo a partir de n. Sequˆencias
  • 8. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios propostos 1 Escrever os seis primeiros termos das sequˆencias dadas pelas seguintes leis: a) an = 2.3n , ∀n ≥ 1 b) an = 3n − 2, ∀n ≥ 1 2 Escrever os seis termos iniciais das sequˆencias dadas pelas seguintes f´ormulas de recorrˆencia: a) a1 = 5 e an = an−1 + 2, ∀n ≥ 2 b) a1 = −2 e an = (an−1)n , ∀n ≥ 2 Sequˆencias
  • 9. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia: a1 = a an = an−1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2 onde a e r s˜ao n´umeros reais dados. Assim, uma P.A. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do segundo, ´e a soma do anterior com uma constante r dada. Exemplo a) (1, 4, 7, 10, . . .) ´e uma P.A, em que a1 = 1 e r = 3 b) (0, −2, −4, −6, −8, . . .) ´e uma P.A., em que a1 = 0 e r = −2 Sequˆencias
  • 10. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  • 11. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  • 12. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  • 13. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  • 14. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  • 15. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  • 16. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do Termo Geral eliminando as parcelas comuns a ambos os membros, obtemos: an = a1 + (n − 1).r Essa express˜ao ´e denominada “F´ormula do Termo Geral” Exemplo Calcular o 17o termo da P.A. cujo primeiro termo ´e 3 e cuja raz˜ao ´e 5. Solu¸c˜ao Notando que a1 = 3 e r = 5, apliquemos a f´ormula do termo geral: a17 = a1 + 16r = 3 + 16.5 = 83. Portanto o d´ecimo s´etimo termo ´e 83. Sequˆencias
  • 17. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Obter a raz˜ao da P.A. em que o primeiro termo ´e −8 e o vig´esimo ´e 30. 2 Obter o primeiro termo da P.A. de raz˜ao 4 cujo 23o termo ´e 86. 3 Qual ´e a P.A. em que o 1◦ termo ´e 20 e o 20◦ termo ´e 96? 4 Resolva o problema apresentado no slide 2 Sequˆencias
  • 18. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Para uma P.A. de primeiro termo a1 e n-´esimo termo an, vale o seguinte Teorema A soma dos n primeiros termos de uma P.A. ´e Sn = (a1 + an).n 2 . Demonstra¸c˜ao: Seja a soma Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + an consideremos essa soma na ordem invertida, isto ´e, Sn = an + an−1 + . . . + a2 + a1 Sequˆencias
  • 19. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Somando membro a membro essas duas igualdades, temos: 2.Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + . . . + (an−1 + a2) + (an + a1) Uma vez que todos os parˆenteses da express˜ao acima representam a mesma soma (a1 + an), temos que a mesma ´e equivalente a 2.Sn = (a1 +an)+(a1 +an)+. . .+(a1 +an)+(a1 +an) = n.(a1 +an) portanto Sn = n.(a1 + an) 2 Sequˆencias
  • 20. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Exemplo Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A.(1, 7, 13, . . .) Solu¸c˜ao Sendo a1 = 1 e r = 6, temos: a25 = a1 + 24.r = 1 + 24.6 = 145 S25 = 25(a1 + a25) 2 = 25(1 + 145) 2 = 1825 Sequˆencias
  • 21. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Qual ´e a soma dos n´umeros inteiros de 1 a 350? 2 Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´umeros naturais pares? 3 Quantos termos devem ser somados na P.A.(−5, −1, 3, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 1590? Sequˆencias
  • 22. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se progress˜ao geom´etrica P.G. uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia a1 = a an = an−1.q, ∀n ∈ N, n ≥ 2 onde a e q s˜ao n´umeros reais dados. Assim, uma P.G. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do segundo, ´e o produto do anterior por uma constante q dada. Sequˆencias
  • 23. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes geom´etricas podem ser classificadas em cinco categorias: crescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e maior que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras: a) P.G. com termos positivos an > an−1 ⇔ an an−1 > 1 ⇔ q > 1 b) P.G. com termos negativos an > an−1 ⇔ 0 < an an−1 < 1 ⇔ 0 < q < 1 Sequˆencias
  • 24. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao constantes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e igual ao anterior. Observemos que isto ocorre em duas situa¸c˜oes: a) P.G. com termos nulos a1 = 0 e q qualquer. b) P.G. com termos iguais e n˜ao nulos an = an−1 ⇔ an an−1 = 1 ⇔ q = 1 Sequˆencias
  • 25. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao decrescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e menor que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras: a) P.G. com termos positivos an < an−1 ⇔ 0 < an an−1 < 1 ⇔ 0 < q < 1 b) P.G. com termos negativos an < an−1 ⇔ an an−1 > 1 ⇔ q > 1 Sequˆencias
  • 26. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao alternantes s˜ao as P.G. em que cada termo tem sinal contr´ario ao do termo anterior. Isto ocorre quando q < 0. estacion´aria s˜ao as P.G. em que a1 = 0 e a2 = a3 = a4 = . . . = 0. Isto ocorre quando q = 0. Sequˆencias
  • 27. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.G. e admitindo dados o primeiro termo a1 = 0, a raz˜ao q = 0 e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1.q a3 = a2.q a4 = a3.q · · · · · · · · · an = an−1.q Multiplicando-se essas n − 1 igualdades, temos: Sequˆencias
  • 28. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral a2.a3.a4. . . . .an−1.an = a1.a2.a3.a4. . . . .an−1.qn−1 cancelando os termos comuns aos dois membros dessa ´ultima igualdade, obtemos: an = a1.qn−1 denominada f´ormula do termo geral da P.G. Exemplo Obter o 15o termo da P.G. (1, 2, 4, 8, . . .) Solu¸c˜ao Pela f´ormula do termo geral, temos: a15 = a1.q14 = 1.214 = 4096 Sequˆencias
  • 29. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Obter o 10◦ e o 15◦ termos da P.G(1, 2, 4, 8, . . .). 2 Calcular o 21◦ da sequˆencia (1, 0, 3, 0, 9, 0, . . .). 3 Uma empresa pruiziu, no ano de 2010, 100000 unidades de um produto. Quantas unidades produzir´a no ano de 2015, se o aumento anual de produ¸c˜ao ´e de 20%? 4 Calcular o n´umero de termos da P.G. que tem raz˜ao 1 2 , primeiro termo 6144 e ´ultimo termo 3. Sequˆencias
  • 30. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto Vamos deduzir uma f´ormula para calcular o produto Pn dos n termos iniciais de uma P.G. Teorema Em toda P.G. tem-se Pn = an 1.q n.(n − 1) 2 Demonstra¸c˜ao:    a1 = a1 a2 = a1.q a3 = a1.q2 ... an = a1.qn−1 multiplicando membro a membros essas igualdades, obtemos: Sequˆencias
  • 31. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto a1.a2.a3. . . . .an = (a1.a1.a1. . . . .a1) n fatores .q.q2 .q3 . . . . .qn−1 = = an 1.q1+2+3+...+(n−1) = an 1.q n.(n − 1) 2 isto ´e: Pn = an 1.q n.(n − 1) 2 Sequˆencias
  • 32. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto Exemplo Calcular o produto dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 2, 4, 8, . . .) Solu¸c˜ao Sendo a1 = 1 e q = 2 1 = 2, temos: P10 = a10 1 .q 10.(10 − 1) 2 = 1.245 = 245 Sequˆencias
  • 33. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Em cada uma das P.G. calcule o produto dos n termos iniciais: a) (1, 3, 9, . . .) e n = 12 b) (3, −6, 12, −24, . . .) e n = 25 2 Calcular a soma S = log2 a + log2 2a + log2 4a + . . . + log2 2r a Sequˆencias
  • 34. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Consideremos uma P.G. finita de primeiro termo a1 e raz˜ao q. Calculamos a soma dos seus termos, fazendo uso do seguinte Teorema A soma Sndos n termos iniciais de uma P.G. ´e: Sn = a1q − a1 q − 1 (q = 1). Demonstra¸c˜ao: Se Sn ´e a soma dos termos , temos: Sn = a1 + a1q + a1q2 + . . . + a1qn−2 + a1qn−1 (1) Multiplicando ambos os membros por q, obtemos: qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + . . . + a1qn−1 + a1qn (2) Sequˆencias
  • 35. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Subtraindo membro a membro as equa¸c˜oes (1) e (2), temos: (1) − (2) ⇒ qSn − Sn = a1qn − a1 ⇒ Sn(q − 1) = a1qn − a1 Supondo q = 1, resulta: Sn = a1q − a1 q − 1 Sequˆencias
  • 36. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Exemplo Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 3, 9, 27, . . .). Solu¸c˜ao S10 = a1q10 − a1 q − 1 = 1.310 − 1 3 − 1 = 59049 − 1 2 = 29524 Sequˆencias
  • 37. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da s´erie 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . 2 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da s´erie 1 + 3 + 9 + 27 + . . . 3 A soma de seis elementos em P.G. de raz˜ao 2 ´e 1197. Qual ´e o 1o termos da P.G.? Sequˆencias
  • 38. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Dada uma P.G. infinita (a1, a2, a3, . . . , an, . . .), dizemos que a1 + a2 + a3 + . . . = S se, formada a sequˆencia (S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) onde: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esta sequˆencia converge para S, isto ´e, limn→∞ Sn = S. Sequˆencias
  • 39. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de P.G. infinita Teorema Se (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) ´e uma P.G. com raz˜ao q tal que −1 < q < 1, ent˜ao S = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = a1 1 − q Omitiremos aqui a demonstra¸c˜ao desse teorema. Para o leitor interessado, nos detalhes dessa demonstra¸c˜ao, recomendamos [3]. Observa¸c˜ao: Se a1 = 0 e q < −1 ou q > 1, a sequˆencia (S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) n˜ao converge. Neste caso, ´e imposs´ıvel calcular a soma dos termos da P.G.. Sequˆencias
  • 40. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de P.G. infinita Exemplo Calcular a soma dos termos da P.G.(1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , . . .) Solu¸c˜ao Como q = 1 3 e −1 < 1 3 < 1, decorre S = a1 1 − q = 1 1 − 1 3 = 1 2 3 = 3 2 . Sequˆencias
  • 41. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Calcular S = 3 + 6 5 + 12 25 + 24 125 + . . . 2 Calcular a soma dos termos da sequˆencia (2, 2 5 , 2 25 , 2 125 . . .) 3 Obter a geratriz das seguintes d´ızimas peri´odicas: a) 0, 555 . . . b) 0, 414141 . . . Sequˆencias
  • 42. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) GIOVANNI, Jos´e Ruy; BONJORNO, Jos´e Roberto, Matem´atica uma nova abordagem. 4 ed. S˜ao Paulo: Editora FTD, 2001. SMOLE, K´atia Stocco; DINIZ, Maria Ignez, Matem´atica no Ensino M´edio 5 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2005. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel, Fundamentos de Matem´atica Elementar. 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 1977. Sequˆencias