Sequências

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Estudo sobre sequências; Progressões aritmética e Geométrica

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Sequências

  1. 1. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos Sequˆencias LOURENC¸O GALLETTI 26 de maio de 2015 Sequˆencias Sequˆencias
  2. 2. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) 1 Sequˆencias 2 Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) 3 Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Sequˆencias
  3. 3. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se sequˆencia finita ou n-upla toda fun¸c˜ao f : N∗ n = {1, 2, 3, . . . , n} → R Assim, em toda sequˆencia finita, a cada n´umeros natural i(1 ≤ i ≤ n) est´a associado um n´umero real ai . f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (n, an)} Chama-se sequˆencia infinita toda fun¸c˜ao f : N∗ → R Em toda sequˆencia infinita, a cada i ∈ N∗ est´a associado um ai ∈ R. f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (i, ai ), . . . , } Doravante, indicaremos uma sequˆencia f anotando apenas as imagens de f : f = (a1, a2, a3, . . . , ai , . . .). Sequˆencias
  4. 4. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Quando queremos indicar uma sequˆencia f qualquer, escrevemos f = (ai )i∈I e lemos “sequˆencia f dos termos ai onde o conjunto de ´ındices ´e I” Exemplo 1 (1, 2, 3, 4, 6, 12) ´e a sequˆencia (finita) dos divisores inteiros positivos de 12 dispostos em ordem crescente. 2 (2, 4, 6, 8, . . . , 2i, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos m´ultiplos inteiros positivos de 2. 3 (2, 3, 5, 7, 11, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos n´umeros primos positivos. Sequˆencias
  5. 5. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de forma¸c˜ao Interessam `a Matem´atica as sequˆencias em que os termos se sucedem obedecendo a certa regra, isto ´e, aquelas que tˆem uma lei de forma¸c˜ao. Esta pode ser apresentadas de trˆes maneiras: Por f´ormula de recorrˆencia S˜ao dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (a1) e outra para calcular cada termo (an) a partir do antecedente (an−1). Exemplo a1 = 2 e an = an−1 + 3, ∀n ∈ {2, 3, 4, 5, 6} b1 = 1 e bn = 3.bn−1, ∀n ∈ N e n ≥ 2 Sequˆencias
  6. 6. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de Forma¸c˜ao Expressando cada termo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao ´E dada uma f´ormula que expressa an em fun¸c˜ao de n. Exemplo an = 2n , ∀n ∈ N bn = 3n + 1, ∀n ∈ N Por propriedades dos termos ´E dada uma propriedade que os termos da sequˆencia devem apresentar. Sequˆencias
  7. 7. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Lei de Forma¸c˜ao Exemplo Escrever os cinco termos iniciais da sequˆencia formada pelos n´umeros primos positivos colocados em ordem crescente. Temos ent˜ao: (2, 3, 5, 7, 11, . . .) Notemos que a sequˆencia dos primos n˜ao pode ser dada por uma f´ormula de recorrˆencia bem como n˜ao existe f´ormula para calcular o n-´esimo primo positivo a partir de n. Sequˆencias
  8. 8. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios propostos 1 Escrever os seis primeiros termos das sequˆencias dadas pelas seguintes leis: a) an = 2.3n , ∀n ≥ 1 b) an = 3n − 2, ∀n ≥ 1 2 Escrever os seis termos iniciais das sequˆencias dadas pelas seguintes f´ormulas de recorrˆencia: a) a1 = 5 e an = an−1 + 2, ∀n ≥ 2 b) a1 = −2 e an = (an−1)n , ∀n ≥ 2 Sequˆencias
  9. 9. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia: a1 = a an = an−1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2 onde a e r s˜ao n´umeros reais dados. Assim, uma P.A. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do segundo, ´e a soma do anterior com uma constante r dada. Exemplo a) (1, 4, 7, 10, . . .) ´e uma P.A, em que a1 = 1 e r = 3 b) (0, −2, −4, −6, −8, . . .) ´e uma P.A., em que a1 = 0 e r = −2 Sequˆencias
  10. 10. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  11. 11. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  12. 12. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes categorias: 1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0 2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior. ´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois: an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0 3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois: an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0 Sequˆencias
  13. 13. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  14. 14. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  15. 15. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r · · · · · · · · · an = an−1 + r Somando essas n − 1 igualdades, temos: a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r Sequˆencias
  16. 16. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do Termo Geral eliminando as parcelas comuns a ambos os membros, obtemos: an = a1 + (n − 1).r Essa express˜ao ´e denominada “F´ormula do Termo Geral” Exemplo Calcular o 17o termo da P.A. cujo primeiro termo ´e 3 e cuja raz˜ao ´e 5. Solu¸c˜ao Notando que a1 = 3 e r = 5, apliquemos a f´ormula do termo geral: a17 = a1 + 16r = 3 + 16.5 = 83. Portanto o d´ecimo s´etimo termo ´e 83. Sequˆencias
  17. 17. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Obter a raz˜ao da P.A. em que o primeiro termo ´e −8 e o vig´esimo ´e 30. 2 Obter o primeiro termo da P.A. de raz˜ao 4 cujo 23o termo ´e 86. 3 Qual ´e a P.A. em que o 1◦ termo ´e 20 e o 20◦ termo ´e 96? 4 Resolva o problema apresentado no slide 2 Sequˆencias
  18. 18. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Para uma P.A. de primeiro termo a1 e n-´esimo termo an, vale o seguinte Teorema A soma dos n primeiros termos de uma P.A. ´e Sn = (a1 + an).n 2 . Demonstra¸c˜ao: Seja a soma Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + an consideremos essa soma na ordem invertida, isto ´e, Sn = an + an−1 + . . . + a2 + a1 Sequˆencias
  19. 19. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Somando membro a membro essas duas igualdades, temos: 2.Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + . . . + (an−1 + a2) + (an + a1) Uma vez que todos os parˆenteses da express˜ao acima representam a mesma soma (a1 + an), temos que a mesma ´e equivalente a 2.Sn = (a1 +an)+(a1 +an)+. . .+(a1 +an)+(a1 +an) = n.(a1 +an) portanto Sn = n.(a1 + an) 2 Sequˆencias
  20. 20. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Exemplo Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A.(1, 7, 13, . . .) Solu¸c˜ao Sendo a1 = 1 e r = 6, temos: a25 = a1 + 24.r = 1 + 24.6 = 145 S25 = 25(a1 + a25) 2 = 25(1 + 145) 2 = 1825 Sequˆencias
  21. 21. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Qual ´e a soma dos n´umeros inteiros de 1 a 350? 2 Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´umeros naturais pares? 3 Quantos termos devem ser somados na P.A.(−5, −1, 3, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 1590? Sequˆencias
  22. 22. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Chama-se progress˜ao geom´etrica P.G. uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia a1 = a an = an−1.q, ∀n ∈ N, n ≥ 2 onde a e q s˜ao n´umeros reais dados. Assim, uma P.G. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do segundo, ´e o produto do anterior por uma constante q dada. Sequˆencias
  23. 23. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao As progress˜oes geom´etricas podem ser classificadas em cinco categorias: crescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e maior que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras: a) P.G. com termos positivos an > an−1 ⇔ an an−1 > 1 ⇔ q > 1 b) P.G. com termos negativos an > an−1 ⇔ 0 < an an−1 < 1 ⇔ 0 < q < 1 Sequˆencias
  24. 24. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao constantes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e igual ao anterior. Observemos que isto ocorre em duas situa¸c˜oes: a) P.G. com termos nulos a1 = 0 e q qualquer. b) P.G. com termos iguais e n˜ao nulos an = an−1 ⇔ an an−1 = 1 ⇔ q = 1 Sequˆencias
  25. 25. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao decrescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e menor que o anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras: a) P.G. com termos positivos an < an−1 ⇔ 0 < an an−1 < 1 ⇔ 0 < q < 1 b) P.G. com termos negativos an < an−1 ⇔ an an−1 > 1 ⇔ q > 1 Sequˆencias
  26. 26. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Classifica¸c˜ao alternantes s˜ao as P.G. em que cada termo tem sinal contr´ario ao do termo anterior. Isto ocorre quando q < 0. estacion´aria s˜ao as P.G. em que a1 = 0 e a2 = a3 = a4 = . . . = 0. Isto ocorre quando q = 0. Sequˆencias
  27. 27. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.G. e admitindo dados o primeiro termo a1 = 0, a raz˜ao q = 0 e o ´ındice n de um termo desejado, temos:    a2 = a1.q a3 = a2.q a4 = a3.q · · · · · · · · · an = an−1.q Multiplicando-se essas n − 1 igualdades, temos: Sequˆencias
  28. 28. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) F´ormula do termo Geral a2.a3.a4. . . . .an−1.an = a1.a2.a3.a4. . . . .an−1.qn−1 cancelando os termos comuns aos dois membros dessa ´ultima igualdade, obtemos: an = a1.qn−1 denominada f´ormula do termo geral da P.G. Exemplo Obter o 15o termo da P.G. (1, 2, 4, 8, . . .) Solu¸c˜ao Pela f´ormula do termo geral, temos: a15 = a1.q14 = 1.214 = 4096 Sequˆencias
  29. 29. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Obter o 10◦ e o 15◦ termos da P.G(1, 2, 4, 8, . . .). 2 Calcular o 21◦ da sequˆencia (1, 0, 3, 0, 9, 0, . . .). 3 Uma empresa pruiziu, no ano de 2010, 100000 unidades de um produto. Quantas unidades produzir´a no ano de 2015, se o aumento anual de produ¸c˜ao ´e de 20%? 4 Calcular o n´umero de termos da P.G. que tem raz˜ao 1 2 , primeiro termo 6144 e ´ultimo termo 3. Sequˆencias
  30. 30. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto Vamos deduzir uma f´ormula para calcular o produto Pn dos n termos iniciais de uma P.G. Teorema Em toda P.G. tem-se Pn = an 1.q n.(n − 1) 2 Demonstra¸c˜ao:    a1 = a1 a2 = a1.q a3 = a1.q2 ... an = a1.qn−1 multiplicando membro a membros essas igualdades, obtemos: Sequˆencias
  31. 31. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto a1.a2.a3. . . . .an = (a1.a1.a1. . . . .a1) n fatores .q.q2 .q3 . . . . .qn−1 = = an 1.q1+2+3+...+(n−1) = an 1.q n.(n − 1) 2 isto ´e: Pn = an 1.q n.(n − 1) 2 Sequˆencias
  32. 32. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Produto Exemplo Calcular o produto dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 2, 4, 8, . . .) Solu¸c˜ao Sendo a1 = 1 e q = 2 1 = 2, temos: P10 = a10 1 .q 10.(10 − 1) 2 = 1.245 = 245 Sequˆencias
  33. 33. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Em cada uma das P.G. calcule o produto dos n termos iniciais: a) (1, 3, 9, . . .) e n = 12 b) (3, −6, 12, −24, . . .) e n = 25 2 Calcular a soma S = log2 a + log2 2a + log2 4a + . . . + log2 2r a Sequˆencias
  34. 34. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Consideremos uma P.G. finita de primeiro termo a1 e raz˜ao q. Calculamos a soma dos seus termos, fazendo uso do seguinte Teorema A soma Sndos n termos iniciais de uma P.G. ´e: Sn = a1q − a1 q − 1 (q = 1). Demonstra¸c˜ao: Se Sn ´e a soma dos termos , temos: Sn = a1 + a1q + a1q2 + . . . + a1qn−2 + a1qn−1 (1) Multiplicando ambos os membros por q, obtemos: qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + . . . + a1qn−1 + a1qn (2) Sequˆencias
  35. 35. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Subtraindo membro a membro as equa¸c˜oes (1) e (2), temos: (1) − (2) ⇒ qSn − Sn = a1qn − a1 ⇒ Sn(q − 1) = a1qn − a1 Supondo q = 1, resulta: Sn = a1q − a1 q − 1 Sequˆencias
  36. 36. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de uma P.G. finita Exemplo Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 3, 9, 27, . . .). Solu¸c˜ao S10 = a1q10 − a1 q − 1 = 1.310 − 1 3 − 1 = 59049 − 1 2 = 29524 Sequˆencias
  37. 37. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da s´erie 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . 2 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da s´erie 1 + 3 + 9 + 27 + . . . 3 A soma de seis elementos em P.G. de raz˜ao 2 ´e 1197. Qual ´e o 1o termos da P.G.? Sequˆencias
  38. 38. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Defini¸c˜ao Dada uma P.G. infinita (a1, a2, a3, . . . , an, . . .), dizemos que a1 + a2 + a3 + . . . = S se, formada a sequˆencia (S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) onde: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esta sequˆencia converge para S, isto ´e, limn→∞ Sn = S. Sequˆencias
  39. 39. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de P.G. infinita Teorema Se (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) ´e uma P.G. com raz˜ao q tal que −1 < q < 1, ent˜ao S = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = a1 1 − q Omitiremos aqui a demonstra¸c˜ao desse teorema. Para o leitor interessado, nos detalhes dessa demonstra¸c˜ao, recomendamos [3]. Observa¸c˜ao: Se a1 = 0 e q < −1 ou q > 1, a sequˆencia (S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) n˜ao converge. Neste caso, ´e imposs´ıvel calcular a soma dos termos da P.G.. Sequˆencias
  40. 40. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Soma dos termos de P.G. infinita Exemplo Calcular a soma dos termos da P.G.(1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , . . .) Solu¸c˜ao Como q = 1 3 e −1 < 1 3 < 1, decorre S = a1 1 − q = 1 1 − 1 3 = 1 2 3 = 3 2 . Sequˆencias
  41. 41. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) Exerc´ıcios Propostos 1 Calcular S = 3 + 6 5 + 12 25 + 24 125 + . . . 2 Calcular a soma dos termos da sequˆencia (2, 2 5 , 2 25 , 2 125 . . .) 3 Obter a geratriz das seguintes d´ızimas peri´odicas: a) 0, 555 . . . b) 0, 414141 . . . Sequˆencias
  42. 42. Sequˆencias Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) Progress˜ao Geom´etica (P.G.) GIOVANNI, Jos´e Ruy; BONJORNO, Jos´e Roberto, Matem´atica uma nova abordagem. 4 ed. S˜ao Paulo: Editora FTD, 2001. SMOLE, K´atia Stocco; DINIZ, Maria Ignez, Matem´atica no Ensino M´edio 5 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2005. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel, Fundamentos de Matem´atica Elementar. 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 1977. Sequˆencias

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