1. O documento discute tópicos sobre números primos, incluindo o Teorema Fundamental da Aritmética e a distribuição de números primos. 2. Apresenta métodos para identificar números primos, como o Crivo de Eratóstenes. 3. Discutem-se questões sobre a distância entre números primos consecutivos e a existência de infinitos pares de primos gêmeos.

1. Sum´ario
N ´UMEROS PRIMOS
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Col´egio Pedro II
04 de novembro de 2016

2. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Sum´ario
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritm´etica

3. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Outline
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritm´etica

4. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Definic¸ ˜ao: Um n´umero natural maior do que 1 que s´o possui
como divisores positivos 1 e ele pr´oprio ´e chamado de n´umero
primo
Dados dois n´umeros primos p e q e um inteiro a qualquer,
decorrem da definic¸ ˜ao os seguintes fatos:
I) Se p | q, ent˜ao p = q
II) Se p a, ent˜ao (p, a) = 1
Definic¸ ˜ao: Um n´umero natural maior do que 1 e que n˜ao ´e
primo ser´a dito composto.
Nesse caso existem naturais n1 e n2, com 1 < n1 < n e
1 < n2 < n, tais que n = n1n2

5. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Lema de Euclides
Proposic¸ ˜ao 7.1: Sejam a, b, p ∈ Z, com p primo. Se p | ab, ent˜ao
p | a ou p | b
A propriedade dos n´umeros primos descrita na proposic¸ ˜ao acima os
caracteriza totalmente
Exerc´ıcio 7.1.9: Seja p > 1 um n´umero natural com a seguinte
propriedade:
Se p divide o produto de dois n´umeros naturais quaisquer, ent˜ao p
divide um dos fatores
Mostre que p ´e necessariamente primo
Corol´ario 7.2: Se p, p1, ..., pn s˜ao n´umeros primos e se p | p1...pn,
ent˜ao p = pi para algum i = 1, ..., n

6. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, os
n´umeros primos s˜ao os mais simples e ao mesmo tempo s˜ao
suficientes para gerar todos os n´umeros naturais, logo, todos
os n´umeros inteiros n˜ao nulos.
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Teorema 7.3: Todo n´umero natural maior do que 1 ou ´e primo
ou se escreve de modo ´unico (a menos da ordem dos fatores)
como um produto de n´umeros primos

7. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Agrupando no Teorema 7.3 os fatores primos repetidos, se
necess´ario, e ordenando os primos em ordem crescente,
temos o seguinte resultado
Teorema 7.4: Dado um n´umero inteiro n = 0, 1, −1, existem
primos p1 < ... < pr e α1, ..., αr ∈ N, univocamente
determinados, tais que
n = ±pα1
1 ...pαr
r

8. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Quando estivermos lidando com a decomposic¸ ˜ao em fatores
primos de dois, ou mais, n´umeros naturais usaremos o recurso
de acrescentar fatores da forma p0(= 1), onde p ´e um n´umero
primo qualquer. Assim, dados n, m ∈ N com n > 1 e m > 1
quaisquer, podemos escrever
n = pα1
1 ...pαr
r e m = pβ1
1 ...pβr
r
usando o mesmo conjunto de primos p1, ..., pr , desde que
permitamos que os expoentes α1, ..., αr , β1, ..., βr variem em
N ∪ {0} e n˜ao apenas em N
Observe que um n´umero natural n > 1, escrito na forma
n = pα1
1 ...pαr
r , como no teoreme acima, ´e um quadrado perfeito
se, e somente se, cada expoente αi ´e par

9. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Proposic¸ ˜ao 7.5: Seja n = pα1
1 ...pαr
r um n´umero natural escrito
na forma acima. Se n ´e um divisor positivo de n, ent˜ao
n = pβ1
1 ...pβr
r
onde 0 ≤ βi ≤ αi, para i = 1, ..., r
Resultado: Se d(n) ´e o n´umero de divisores positivos do
n´umero natural n, segue que se n = pα1
1 ...pαr
r , onde p1, ..., pr
s˜ao n´umeros primos e α1, ..., αr ∈ N, ent˜ao
d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1)

10. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Exemplo 7.6: A f´ormula acima nos mostra que um n´umero natural
n = pα1
1 ...pαr
r possui uma quantidade ´ımpar de divisores positivos se,
e somente se, cada αi ´e par, ou seja, se, e somente se, n ´e um
quadrado perfeito
Exemplo: No vesti´ario de uma escola com n alunos, numerados de 1
a n, h´a n arm´arios enfileirados em um corredor, tamb´em numerados
de 1 a n. Um dia, os alunos resolvem fazer a seguinte brincadeira:
O primeiro aluno abre todos os arm´arios. Em seguida, o aluno
n´umero 2 fecha todos os arm´arios de n´umero par. O aluno de
n´umero 3 inverte as posic¸ ˜oes das portas dos arm´arios de n´umero
m´ultiplo de 3. O aluno n´umero 4 inverte as posic¸ ˜oes dos arm´arios de
n´umero m´ultiplo de 4, e assim sucessivamente. Pergunta-se, qual
ser´a a situac¸ ˜ao de cada um dos arm´arios ap´os todos os alunos
terem completado a brincadeira?

11. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Teorema 7.7: Sejam a = ±pα1
1 ...pαn
n e b = pβ1
1 ...pβn
n . Pondo
γi = min{αi , βi } , δi = max{αi , βi } , i = 1, ..., n
tem-se que
(a, b) = pγ1
1 ...pγn
n e [a, b] = pδ1
1 ...pδn
n
Exemplo 7.8: Vamos determinar para quais pares de n´umeros a e b
temos que [a, b] = (a, b)2
Observac¸ ˜ao: Em geral, a equac¸ ˜ao [a, b] = (a, b)r
tem por soluc¸ ˜oes
positivas pares de n´umeros a = pα1
1 ...pαn
n e b = pβ1
1 ...pβn
n tais que,
∀i = 1, ..., n, tem-se que αi = rβi ou βi = rαi

12. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Exemplo 7.9: Dados dois n´umeros naturais d e m, vamos
resolver em X, Y, nos naturais, o sistema de equac¸ ˜oes
(X, Y) = d , [X, Y] = m
Exemplo 7.10: Se n > 4 ´e um n´umero natural, vamos provar
que n ´e composto se, e somente se, n | (n − 2)!
Resultado: Se n > 4 ´e composto e p ´e o menor n´umero primo
que divide n, ent˜ao, n | (n − p)!

13. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Relacionado com o Teorema Fundamental da Aritm´etica,
temos a seguinte importante notac¸ ˜ao
Notac¸ ˜ao: Se n ∈ Z{0} e p ´e um n´umero primo, denotaremos
por Ep(n) o expoente da maior potˆencia de p que divide n
Proposic¸ ˜ao 7.11: Se m e n s˜ao dois n´umeros naturais, ent˜ao
m = n ⇔ Ep(m) = Ep(n) , ∀ n´umero primo p

14. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Resultado: Temos portanto, para todo primo p, que
Ep((m, n)) = min{Ep(m), Ep(n)}
Ep([m, n]) = max{Ep(m), Ep(n)}
Exemplo 7.12: Se a, b, c ∈ N, vamos mostrar que
[a, b, c]2
(a, b)(a, c)(b, c) = (a, b, c)2
[a, b][a, c][b, c]

15. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Teorema Fundamental da Aritm´etica
Reinterpretac¸ ˜ao dos Corol´arios 6.21 e 6.22
Dados dois n´umeros naturais m e n, temos os seguintes fatos:
a) A condic¸ ˜ao mn
(m,n)2 ´e par, ´e equivalente `a condic¸ ˜ao
E2(m) = E2(n)
b) A condic¸ ˜ao m
(m,n)
´e par, ´e equivalente `a condic¸ ˜ao
E2(m) > E2(n)
Consequentemente m
(m,n)
´e ´ımpar se, e somente se,
E2(m) ≤ E2(n)

16. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Outline
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritm´etica

17. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
Euclides - livro IX dos Elementos: “Quantos ser˜ao os n´umeros
primos?” (primeiro registro do uso de uma demonstrac¸ ˜ao por
absurdo)
Teorema 7.13: Existem infinitos n´umeros primos
. Como podemos obter uma lista contendo n´umeros primos at´e
uma dada ordem?
. O Crivo de Erat´ostenes (230 a.C.)
Teste de primalidade
Lema 7.14: Se um n´umero natural n > 1 n˜ao ´e divis´ıvel por
nenhum n´umero primo p tal que p2 ≤ n, ent˜ao ele ´e primo

18. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
Quest˜oes:
1 Como os n´umeros primos se distribuem dentro dos n´umeros naturais?
Em particular, qual pode ser a distˆancia entre dois primos
consecutivos?
. Pares de n´umeros primos que diferem de duas unidades s˜ao
chamados de primos gˆemeos. At´e o presente momento, ainda n˜ao se
sabe se existem infinitos pares de n´umeros primos gˆemeos
. Yitang Zhang: existem infinitos pares de primos que distam entre si
menos de 70 milh˜oes de unidades
. Em contraste com esses pares de primos consecutivos muito
pr´oximos, existem pares de primos consecutivos arbitrariamente
afastados
Portanto, a resposta `a primeira pergunta ´e que n˜ao h´a nenhum padr˜ao
que descreva o quanto dois primos consecutivos est˜ao longe um do
outro.

19. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
2 Qual ´e a frequˆencia dos n´umeros primos?
Para responder `a essa pergunta ´e necess´ario formalizar o conceito de
frequˆencia de primos, que ´e a mesma coisa que probabilidade
Denotemos por π(x) a quantidade de n´umeros primos menores pu iguais a x.
Portanto a probabilidade de que um elemento do conjunto {1, ..., x} seja primo ´e
dada por
π(x)
x
Como esse quociente ´e uma func¸ ˜ao bastante complexa, o que se gostaria de
fazer ´e achar uma func¸ ˜ao de comportamento bem conhecido que se aproxima
do quociente acima para x suficientemente grande
. Legendre e Gauss: esse quociente tem a ver com 1
ln x
. J. Hadamard e Ch. de la Vall´ee-Poussin (independentemente, por volta de
1900): Teorema dos N´umeros Primos
lim
x→∞
π(x)
x
1
ln x
−1
= 1

20. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
Alguns problemas em aberto acerca da distribuic¸ ˜ao dos n´umeros primos:
Sempre existe um n´umero primo entre n2 e (n + 1)2 para qualquer n ∈ N?
Para n = 0, 1, ..., 40, tem-se que n2 − n + 41 ´e primo. Existem infinitos n´umeros
primos dessa forma?
A sequˆencia de Fibonacci contem infinitos n´umeros primos?
A Conjectura de Goldbach (formulada por Goldbach a Euler em 1742): Todo
n´umero natural par maior do que 3 pode ser escrito como a soma de dois
n´umeros primos
Ivan Vinogradov (1937): Todo n´umero natural ´ımpar, suficientemente grande, pode
ser escrito como soma de, no m´aximo, trˆes n´umeros primos
Harald Helfgott (2013): Todo n´umero natural ´ımpar maior do que 5 pode ser escrito
como soma de, no m´aximo, trˆes n´umeros primos
O mais importante problema em aberto em Teoria dos N´umeros: A Hip´otese de
Riemann

21. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
A Hip´otese de Riemann
Por raz˜oes mais profundas, o problema est´a relacionado com v´arias quest˜oes sutis
envolvendo os n´umeros primos.
Por exemplo: se pk denota o k-´esimo n´umero primo (de modo que p1 = 2, p2 = 3,
p3 = 5, p4 = 7, e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919
estabelece que a diferenc¸a entre dois n´umeros primos consecutivos, pk+1 − pk ,
cresce “na mesma velocidade” que
√
pk log pk .
Mais especificamente, existe uma constante real positiva M > 0 de maneira que vale a
desigualdade
pk+1 − pk > M(
√
pk log(pk ))
para todo k suficientemente grande.
Para provar este resultado, a demonstrac¸ ˜ao de Cramer utilizou crucialmente a
Hip´otese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princ´ıpio ser falso,
caso a Hip´otese tamb´em seja.

22. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Outline
1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritm´etica

23. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Pequeno Teorema de Fermat
Resultado: (Sabido pelos chineses pelo menos 500 a. C.) Se
p ´e um n´umero primo, ent˜ao p | 2p − 2
Lema 7.15: Seja p um n´umero primo. Os n´umeros
p
i
,
onde 0 < i < p, s˜ao todos divis´ıveis por p

24. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Pequeno Teorema de Fermat
Pequeno Teorema de Fermat (s´ec XVII)
Teorema 7.16: Dado um n´umero primo p, tem-se que p divide
o n´umero ap − a, ∀a ∈ Z
Exemplo 7.17: Dado um n´umero inteiro qualquer n ∈ N,
tem-se que n9 e n, quando escritos na base 10, tˆem o mesmo
algarismo da unidade
Teste de n˜ao primalidade (Pequeno Teorema de Fermat)
Corol´ario 7.18: Se p ´e um n´umero primo, e se a ´e um n´umero
natural n˜ao divis´ıvel por p, ent˜ao p divide ap−1 − 1

25. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
Pequeno Teorema de Fermat
. Chineses: Se m ´e composto, ent˜ao m 2m − 2 (uma rec´ıproca
do Teorema de Fermat nol caso a = 2) FALSO!!!
. Saurus (1819): 341(= 31.11) divide 2341 − 2
. Uma rec´ıproca mais restritiva: Dado um inteiro m > 1, a
condic¸ ˜ao m | am−1 − 1, ∀a ∈ N tal que (a, m) = 1, acarreta,
necessariamente, que m ´e primo?
Exemplo 7.19: Seja a ∈ N tal que (a, 3) = (a, 11) = (a, 17) = 1
Exemplo 7.20: 47 divide um, e apenas um, dos n´umeros
223 − 1 ou 223 + 1
. Como determinar qual dessas duas opc¸ ˜oes acima ´e
verificada?

26. Teorema Fundamental da Aritm´etica Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascim
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1 Teorema Fundamental da Aritm´etica
2 Sobre a Distribuic¸ ˜ao dos N´umeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritm´etica