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Notas de Revisão de Matemática
                                     Nécio de Lima Veras - necioveras@gmail.com

                                                        Potências e Raízes
                                                                 Potência de expoente inteiro negativo:   a−n = a1 n

Propriedades válidas para: a ∈ R, b ∈ R, m ∈ N, n ∈ N          Propriedades da raíz enésima aritmética: se a ∈ R+ , b ∈ R+ ,
           P1               am · an = am+n                                                                m ∈ Z, n ∈ N∗ , p ∈ N∗
                                                                                                           √          √
                              m                                                                            n   m    n·p  m·p
           P2               a
                              n = a
                                      m−n                                         R1                       √a = √ a √
                             a                                                                             n
           P3               (a · b)n = an · bn                                    R2                         a·b= na· nb
                                                                                                                   √
                                         n                                                                         n a
                                                                                                           n a
           P4               ( a )n = an , b = 0
                              b        b
                                                                                  R3                          b = n b√ = 0)
                                                                                                                   √ , (b
                                                                                                            √ m
           P5               (am )n = am·n                                         R4                      ( a) = n am
                                                                                                            n

                                                                                                           p n
                                                                                                              √        √
                                                                                  R5                            a = p·n a
                                    p      √
Potência de expoente racional: a q = q ap
        Propriedades :            se a ∈ R∗ , b ∈ R∗ ,
                                               +        +
                                  p          r
                                  q ∈ Q, s ∈ Q
              P1
                                    p      r
                                  aq · as = aq+s
                                                   p r       Redução a uma base comum:         ab = ac ⇔ (0 < a = 1))
                                    p
                                             p              Se b e c são números reais então
                                  aq           −r
              P2                    r = aq       s
                                                                   para a > 1 tem-se:          ab > ac ⇔ b > c
                                  as       p       p   p
              P3                  (a · b)  q = aq · bq           para 0 < a < 1 tem-se:        ab > ac ⇔ b < c
                                                p
                                       p
                                               aq
               P4                   (a q ) =
                                     b          p
                                       p
                                               bq   p r
                                           r
               P5                   (a q ) s = a q · s
                                                           Logaritmos

Definições:  loga b = x ⇔ ax = b                                                         Propriedades
            loga b = x ⇔ b = anti loga x               Do produto:     loga (b · c) = loga b + loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0
                                                                             b
            loga 1 = 0                                Do quociente: loga ( c ) = loga b − loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0
            loga a = 1                                Cologaritmo: co loga b = loga 1 , se 0 < a = 1, b > 0
                                                                                         b
            a loga b
                     =b                                De potência: loga bα = α · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, α ∈ R
                                                                             √             1
            loga b = loga c ⇔ b = c                                    loga n b = loga b n = n · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, n ∈ N∗
                                                                                                1

                         Mudança de base
                            log b
 Propriedade:     loga b = log c a , se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1
                               c
 Observação:      loga b = logc b · loga c, se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1
                                    1
Consequências: (1) loga b = log a , se a, b ∈ R+ , a = 1, b = 1
                                     b
                                   1
                  (2) logaβ b = β · loga b, se a, b ∈ R+ , a = 1, β = 0

                                                           Progressões
                                                                             Geométrica
                 Aritmética                               Fórmula do termo geral: an = a1 · q (n−1)
                                                                                               n·(n−1)
Fórmula do termo geral: an = a1 + (n − 1) · r)                  Produto:          Pn = an · q 2
                                                                                         1 n
        Soma:            Sn = n·(a12+an )                   Soma (P.G. finita):    Sn = a1 ·q −a1 , para q = 1
                                                                                           q−1
                                                                                                        a1
                                                           Soma (P.G. infinita):   S = limn→+∞ Sn = 1−q

                                     Crescimento de funções (notação assintótica)

                                                         Notação
Big O:  Uma função f (x) está na ordem O se existir uma constante positiva que defina um limite superior:
        f (x) ≤ c · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x))
  o:    Uma função f (x) está na ordem o se existir uma constante positiva que defina um limite superior:
        f (x) < c · g(x), ou seja, f (x) = o(g(x))
 Ω:     Uma função f (x) está na ordem Ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior:
        f (x) ≥ c · g(x), ou seja, f (x) = Ω(g(x))
 ω:     Uma função f (x) está na ordem ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior:
        f (x) > c · g(x), ou seja, f (x) = ω(g(x))
  θ:    Uma função f (x) está na ordem θ se existirem duas constantes positivas que definam os
        limites superiores e inferiores: f (x) ≤ c1 · g(x) e f (x) ≥ c2 · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) e f (x) = Ω(g(x))
                   Limites
            f (n)
Se limn→∞ g(n) = 0 Então f (n) = o(g(n))
           f (n)
Se limn→∞  g(n) = ∞      Então f (n) = ω(g(n))
Se   limn→∞ f (n) = c
            g(n)         Então f (n) = θ(g(n))

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  • 1. Notas de Revisão de Matemática Nécio de Lima Veras - necioveras@gmail.com Potências e Raízes Potência de expoente inteiro negativo: a−n = a1 n Propriedades válidas para: a ∈ R, b ∈ R, m ∈ N, n ∈ N Propriedades da raíz enésima aritmética: se a ∈ R+ , b ∈ R+ , P1 am · an = am+n m ∈ Z, n ∈ N∗ , p ∈ N∗ √ √ m n m n·p m·p P2 a n = a m−n R1 √a = √ a √ a n P3 (a · b)n = an · bn R2 a·b= na· nb √ n n a n a P4 ( a )n = an , b = 0 b b R3 b = n b√ = 0) √ , (b √ m P5 (am )n = am·n R4 ( a) = n am n p n √ √ R5 a = p·n a p √ Potência de expoente racional: a q = q ap Propriedades : se a ∈ R∗ , b ∈ R∗ , + + p r q ∈ Q, s ∈ Q P1 p r aq · as = aq+s p r Redução a uma base comum: ab = ac ⇔ (0 < a = 1)) p p Se b e c são números reais então aq −r P2 r = aq s para a > 1 tem-se: ab > ac ⇔ b > c as p p p P3 (a · b) q = aq · bq para 0 < a < 1 tem-se: ab > ac ⇔ b < c p p aq P4 (a q ) = b p p bq p r r P5 (a q ) s = a q · s Logaritmos Definições: loga b = x ⇔ ax = b Propriedades loga b = x ⇔ b = anti loga x Do produto: loga (b · c) = loga b + loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0 b loga 1 = 0 Do quociente: loga ( c ) = loga b − loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0 loga a = 1 Cologaritmo: co loga b = loga 1 , se 0 < a = 1, b > 0 b a loga b =b De potência: loga bα = α · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, α ∈ R √ 1 loga b = loga c ⇔ b = c loga n b = loga b n = n · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, n ∈ N∗ 1 Mudança de base log b Propriedade: loga b = log c a , se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1 c Observação: loga b = logc b · loga c, se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1 1 Consequências: (1) loga b = log a , se a, b ∈ R+ , a = 1, b = 1 b 1 (2) logaβ b = β · loga b, se a, b ∈ R+ , a = 1, β = 0 Progressões Geométrica Aritmética Fórmula do termo geral: an = a1 · q (n−1) n·(n−1) Fórmula do termo geral: an = a1 + (n − 1) · r) Produto: Pn = an · q 2 1 n Soma: Sn = n·(a12+an ) Soma (P.G. finita): Sn = a1 ·q −a1 , para q = 1 q−1 a1 Soma (P.G. infinita): S = limn→+∞ Sn = 1−q Crescimento de funções (notação assintótica) Notação Big O: Uma função f (x) está na ordem O se existir uma constante positiva que defina um limite superior: f (x) ≤ c · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) o: Uma função f (x) está na ordem o se existir uma constante positiva que defina um limite superior: f (x) < c · g(x), ou seja, f (x) = o(g(x)) Ω: Uma função f (x) está na ordem Ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior: f (x) ≥ c · g(x), ou seja, f (x) = Ω(g(x)) ω: Uma função f (x) está na ordem ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior: f (x) > c · g(x), ou seja, f (x) = ω(g(x)) θ: Uma função f (x) está na ordem θ se existirem duas constantes positivas que definam os limites superiores e inferiores: f (x) ≤ c1 · g(x) e f (x) ≥ c2 · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) e f (x) = Ω(g(x)) Limites f (n) Se limn→∞ g(n) = 0 Então f (n) = o(g(n)) f (n) Se limn→∞ g(n) = ∞ Então f (n) = ω(g(n)) Se limn→∞ f (n) = c g(n) Então f (n) = θ(g(n))