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![MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA
COLÉGIO PEDRO II - CPII
Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura
Avaliação 3 - Aritmética - MA14 - 2016
Prof.
a
Luciana S. da Silva Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
a) Mostre que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados é da forma 4n + 3
b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, ... é um quadrado ou soma de dois quadrados
c) Mostre que nenhum elemento das sequências
44, 444, 4444, ... , 55, 555, 5555, ... , 99, 999, 9999, ...
é um quadrado ou soma de dois quadrados
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Sobre a Equação Pitagórica faça o que é pedido:
a) Dena terno pitagórico, triângulo pitagórico primitivo e terno pitagórico primitivo
b) Sejam n e m números natrais, com n m, (n, m) = 1 e de paridades diferentes. Dados os números a = n2
− m2
,
b = 2nm e c = n2
+ m2
, soluções primitivas devidas à Euclides da Equação Pitagórica X2
+ Y 2
= Z2
, mostre que a
média aritmética da hipotenusa com o cateto ímpar de um triângulo pitagórico primitivo é um quadrado.
Questão 3 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Sobre o Pequeno Teorema de Fermat faça o que é pedido:
a) Enuncie o Pequeno Teorema de Fermat.
b) Enuncie o caso particular do Pequeno Teorema de Fermat para o caso de um número natural a não divisível por um
primo, p
c) Mostre que a12
− b12
é divisível por 13, se a e b são primos com 13
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
a) Mostre por indução que para todo n ≥ 1 tem-se que Fn = 22n
+ 1 ≡ 5 mod 12
b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado
Questão 5 [2,00 pts]
Determine quantas e quais são as soluções incongruentes mod 20 da congruência 12X ≡ −36 mod 20.](https://image.slidesharecdn.com/av3ma142016final-170306175404/75/AV3-MA14-PROFMAT-CPII-2016-1-2048.jpg)
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