Este documento apresenta vários exercícios sobre progressão geométrica, incluindo: 1) Cálculo de limites de algumas séries geométricas; 2) Cálculo de expressões envolvendo séries geométricas; 3) Análise do paradoxo de Aquiles e a tartaruga proposto por Zenão, onde ele nunca alcançaria a tartaruga apesar de ser mais rápido.

1. Exercícios: Progressão Geométrica
1. Calcule o limite das seguintes somas:
a) 1 + 1
2 + 1
4 + ...
b) 5 + 3 + 9
5 + ...
c) 3 − 2 + 4
3 − 8
9 + ...
d) −2 − 2
5 − 2
25 − ...
2. Calcule o valor de 22
.2
6
5 .2
18
25 ...
3. Simplique a expressão
1 + 3
4 + 9
16 + ...
3 + 15
8 + 75
64 + ...
sabendo que tanto o numerador quanto o denominador são séries geométricas convergentes
4. Obtenha a fração geratriz de cada dízima:
a) 1,55555...
b) 0,121212...
c) 0,057777...
d) 92,63636363...
5. O paradoxo de Aquiles e a tartaruga, proposto por Zenão, por volta de 450 a.C., retrata
uma situação hipotética em que, numa corrida entre dois personagens, Aquiles jamais alcançaria
a tartaruga, embora sua velocidade fosse maior que a da tartaruga.
Para que se entenda melhor esse paradoxo, vamos supor que Aquiles esteja em um ponto A0,
e a tartaruga, em um ponto B0, 100m a frente de A0 e, ainda, que a velocidade de Aquiles seja
dez vezes a da tartaruga.
Então, quando Aquiles parte de A0 e chega a B0, a tartaruga terá se movido 1
10 dessa distância
e estará em B1, 10m a frente de B0. Quando Aquiles percorrer esses 10m, a tartaruga estará em
B2, e assim sucessivamente. Aquiles estará sempre se aproximando da tartaruga, mas eles nunca
estarão no mesmo ponto simultaneamente.
A partir do paradoxo apresentado, resolva:
a) Determine, em metros, a distância entre:
. B0 e B1 . B1 e B2 . B2 e B3
b) A sequência de distâncias obtidas no item a forma uma PG? Justique
c) A soma dos termos dessa sequência é convergente? Qual é essa soma?
d) Você concorda com as ideias desse paradoxo de Zenão? Por que?

2. 6. A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados
obtêm-se os pontos médios dos lados nesse novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios
dos lados desse novo triêngulo equilátero obtêm-se um terceiro e assim por diante, indenidamente.
Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.
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