Aula de derivadas parciais 2020/3

1. Semestre especial PLSE 2020/3
Professor Cristiano C. Miranda
Derivadas Parciais

2. Introdução
De modo resumido, derivada é a taxa de crescimento pontual de uma
função, para o caso de uma ou várias variáveis. Essa taxa pode ser
positiva ou negativa, o que indica, respectivamente, se a função está
ganhando ou perdendo valor.
tan 𝛼 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎
ℎ
= 𝑓′(𝑎)

3. Introdução
A interpretação geométrica da derivada de função de uma variável é a
inclinação de uma reta tangente ao gráfico da função.
Veja como a derivada
explica a forma de
crescimento da função 𝑓(𝑥)

4. Introdução
Para o caso de funções de duas variáveis, a derivada pode representar a
inclinação de um plano tangente ao gráfico da função.

5. Motivação
O índice Humidex (I)
Em um dia quente, a umidade muito alta aumenta a sensação de calor,
ao passo que, se o ar está muito seco, temos a sensação de temperatura
mais baixa do que a indicada no termômetro. O Serviço Meteorológico
do Canadá introduziu o humidex (ou índice de temperatura-umidade)
para descrever os efeitos combinados da temperatura e umidade. O
humidex 𝐼 é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real
for 𝑇 e a umidade relativa for 𝐻. Desse modo, 𝐼 é uma função de 𝑇 e 𝐻
e podemos descrever 𝐼 = 𝑓 (𝑇, 𝐻).
Índice de calor 𝐼 como
uma função de
temperature 𝑇 e umidade
𝐻.
𝒙𝒚

6. A tabela de valores de I a seguir é a parte de uma tabela compilada
pelo Serviço Meteorológico.
Motivação
Índice de calor I como uma função de temperatura e umidade
Por hora,
tomaremos
como exemplo o
valor 𝑓 30, 60 =
38
Veja que se fixarmos um valor de 𝑇 = 30 a função
dependerá apenas de H. Se torna uma função de uma
variável 𝒚 𝑯 = 𝒇(𝟑𝟎, 𝑯), ou seja o índice 𝑰 varia
conforme caminha-se na direção de 𝑯

7. A tabela de valores de I a seguir é a parte de uma tabela compilada
pelo Serviço Meteorológico.
Motivação
Índice de calor I como uma função de temperatura e umidade
Pela definição, já sabemos como calcular a derivada de 𝑦(𝐻).
𝑦′ 60 = lim
ℎ→0
𝑦 60+ℎ −𝑦 60
ℎ
Usaremos os dados da tabela para estimar esse limite

8. Motivação
Índice de calor I como uma função de temperatura e umidade
𝑦′ 60 ≈
𝑦 65 − 𝑦 60
5
=
40 − 38
5
= 0,4
𝑦′ 60 ≈
𝑦 55 − 𝑦 60
−5
=
37 − 38
−5
= 0,2
Para fazer a aproximação do valor da derivada, vamos analisar o valor de
𝑦′
60 ≈
𝑦 60+ℎ −𝑦 60
ℎ
à direita e a esquerda de 𝐻 = 60
Se o incremento ℎ = 5
temos:
Se o incremento ℎ = −5
temos:
60+560-5
Fazendo a média temos que a taxa de crescimento pontual do índice 𝐼 é
0,4+0,2
2
= 0,3, ou seja 𝐼 aumenta 0,3°𝐶 para cada percentual de 𝐻.

9. Motivação
Uma representação gráfica dessa situação fica da seguinte forma:
𝑦′ 60 ≈
𝑦 65 − 𝑦 60
5
=
40 − 38
5
= 0,4
𝑦′ 60 ≈
𝑦 55 − 𝑦 60
−5
=
37 − 38
−5
= 0,2

10. Motivação
Índice de calor I como uma função de temperatura e umidade
Podemos fazer uma estimativa para derivada de 𝑓(𝑇, 𝐻) na direção de 𝑇. Basta
fixar 𝐻 = 60 e definir 𝑓 𝑇, 60 = 𝑥(𝑇) como uma função que depende apenas
de 𝑇.
𝑥′
30 = lim
ℎ→0
𝑥 30 + ℎ − 𝑥 30
ℎ
𝑥′
30 ≈
𝑥 32 − 𝑥 30
2
=
42 − 38
2
= 2
𝑥′ 30 ≈
𝑥 28 − 𝑥 30
−2
=
35 − 38
−2
= 1,5
Se o incremento ℎ = 2
temos:
Se o incremento ℎ = −2
temos:
Basta fazer a média
aritmética para determinar
qual é a aproximação da
derivada
𝒙′ 𝟑𝟎 ≈
𝟐 + 𝟏, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟕𝟓

11. Definição
Calculamos até então 𝑦′(60) e 𝑥′ 30 :
𝑦′
60 = lim
ℎ→0
𝑦 60+ℎ −𝑦 60
ℎ
≈ 0,3 e 𝑥′
30 = lim
ℎ→0
𝑥 30+ℎ −𝑥 30
ℎ
≈ 1,75
Porém, pode-se ver que 𝑦 60 + ℎ = 𝑓(30, 60 + ℎ), e 𝑦 60 = 𝑓(30, 60)
Assim podemos reescrever 𝑦′ 60 = lim
ℎ→0
𝑓 30, 60+ℎ −𝑓 30, 60
ℎ
= 𝑓𝐻
′
30, 60 ≈ 0,3
E também reescrever 𝑥′ 30 = lim
ℎ→0
𝑓 30+ℎ, 60 −𝑓 30, 60
ℎ
= 𝑓𝑇
′
30, 60 ≈ 1,75
Generalizando:
𝑓𝑇
′
𝑎, 𝑏 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ, 𝑏 − 𝑓 𝑎, 𝑏
ℎ
; 𝑓𝐻
′
(𝑎, 𝑏) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎, 𝑏 + ℎ − 𝑓 𝑎, 𝑏
ℎ
Derivada de 𝒇(𝑻, 𝑯) no ponto (𝒂, 𝒃) na
direção 𝑻
Derivada de 𝒇(𝑻, 𝑯) no ponto (𝒂, 𝒃) na
direção 𝑯

12. Definição
Seja 𝒇(𝒙, 𝒚) uma função 𝒇: 𝑹 𝟐
→ 𝑹. Pode-se calcular as Derivadas Parciais no ponto
(𝒂, 𝒃) nas direção de 𝒙,
𝒇 𝒙
′ 𝒂, 𝒃 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒂 + 𝒉, 𝒃 − 𝒇 𝒂, 𝒃
𝒉
,
e de 𝒚,
𝒇 𝒚
′
𝒂, 𝒃 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒉 − 𝒇 𝒂, 𝒃
𝒉
.
As funções Derivadas Parciais ficam:
𝒇 𝒙
′ 𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
,
𝒇 𝒚
′
𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙, 𝒃 + 𝒉 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
.

13. Exemplos
1. Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐. Encontre as derivadas parciais no ponto 𝟏, −𝟏 .
Podemos repetir o que fizemos no caso da função Humidex.
Quando fixamos 𝑥 = 1 temos: 𝑓 1, 𝑦 = 8 − 𝑦2 = 𝑔(𝑦), ou seja, uma função de
uma variável. Sua derivada para 𝑦 = −1 fica:
𝑔′
(−1) = lim
ℎ→0
𝑔 −1 + ℎ − 𝑔 −1
ℎ
= lim
ℎ→0
8 − −1 + ℎ 2
− 7
ℎ
=
= lim
ℎ→0
8 − 1 − 2ℎ + ℎ2 − 7
ℎ
= lim
ℎ→0
(2 − ℎ) = 2
Também podemos usar o seguinte método equivalente:
𝑓𝑦 1, −1 = lim
ℎ→0
𝑓 1, −1 + ℎ − 𝑓 1, −1
ℎ
= lim
ℎ→0
8 − −1 + ℎ 2 − 7
ℎ
,
𝑓𝑦 1, −1 = 2

14. Exemplos
1. Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐. Encontre as derivadas parciais no ponto 𝟏, −𝟏 .
Do mesmo modo, quando fixamos 𝑦 = −1 temos: 𝑓 𝑥, −1 = 8 − 𝑥2 = ℎ(𝑥), ou
seja, uma função de uma variável. Sua derivada para x = 1 fica:
ℎ′ 1 = lim
ℎ→0
ℎ 1 + ℎ − ℎ 1
ℎ
= lim
ℎ→0
8 − 1 + ℎ 2
− 7
ℎ
=
= lim
ℎ→0
8 − 1 + 2ℎ + ℎ2 − 7
ℎ
= lim
ℎ→0
−2 − ℎ = −2
Também podemos usar o seguinte método equivalente:
𝑓𝑥 1, −1 = lim
ℎ→0
𝑓 1 + ℎ, −1 − 𝑓 1, −1
ℎ
= lim
ℎ→0
8 − 1 + ℎ 2 − 7
ℎ
,
𝑓𝑥 1, −1 = −2

15. 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
− 𝟐𝒙 − 𝒉 𝒉
𝒉
=
2. Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐. Encontre as derivadas parciais de primeira ordem.
Usando a definição da função derivada parcial,
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
,
Temos para a função 𝒇 𝒙:
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟗 − 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙𝒉 − 𝒉 𝟐
− 𝒚 𝟐
− 𝟗 + 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝒉
=
Exemplos
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
− 𝟐𝒙 − 𝒉 = −𝟐𝒙
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 = −𝟐𝒙
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟗 − 𝒙 + 𝒉 𝟐 − 𝒚 𝟐 − (𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐)
𝒉
=

16. 2. Seja 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐. Encontre as derivadas parciais de primeira ordem.
Usando a definição da função derivada parcial,
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒉 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
,
Temos para a função 𝒇 𝒚:
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒉 𝒉
𝒉
=𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟗 − 𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
− 𝟐𝒚𝒉 − 𝒉 𝟐
− 𝟗 + 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝒉
=
Exemplos
𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒉 = −𝟐𝒚
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 = −𝟐𝒚
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝟗 − 𝒙 𝟐 − (𝒚 + 𝒉) 𝟐−(𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐)
𝒉
=

17. RESUMO DOS EXEMPLOS
Exemplos
𝒇 𝒙 𝟏, −𝟏 = −𝟐
𝒇 𝒚 𝟏, −𝟏 = 𝟐
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 = −𝟐𝒚
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 = −𝟐𝒙
Devidas parciais de 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐, no ponto (𝟏, −𝟏)
Devidas parciais de 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐.
O resultado é um número que representa a
inclinação da reta tangente à 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto
(1, −1). Veja que (1, −1) pertence ao domínio
de 𝑓(𝑥, 𝑦)
O resultado é uma função que representa a
inclinação da reta tangente à 𝑓(𝑥, 𝑦) no
ponto (𝑥, 𝑦) . Perceba que 𝑥, 𝑦 deve
pertencer ao domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦)
Usaremos a definição apenas em algumas situações específicas.
Na maioria das situações as derivadas parciais serão calculadas
usando as regras de derivação já conhecidas do Cálculo I

18. Existem algumas notações alternativas para o operador derivadas parciais. Algumas
mais econômicas em espaço e outras melhores para demonstrações
Notação
𝒇 𝒙 𝟏, −𝟏 =
𝝏𝒇(𝟏, −𝟏)
𝝏𝒙
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙 𝒙=𝟏
𝒚=−𝟏
= −𝟐
𝒇 𝒚 𝟏, −𝟏 =
𝝏𝒇(𝟏, −𝟏)
𝝏𝒚
=
𝝏𝒛
𝝏𝒚 𝒙=𝟏
𝒚=−𝟏
= 𝟐
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 =
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= −𝟐𝒚𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 =
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= −𝟐𝒙
Devidas parciais de 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐, no ponto (𝟏, −𝟏)
Devidas parciais de 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐.
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
=
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= 𝑫 𝒙 𝒇 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒚 =
𝝏𝒇
𝝏𝒚
=
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝑫 𝒚 𝒇 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒉 − 𝒇 𝒙, 𝒚
𝒉
Derivada com
relação a 𝑦
mantendo 𝑥 como
uma constante.
Derivada com
relação a 𝑥
mantendo 𝑦 como
uma constante.

19. 3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙 𝟒
𝒚 𝟓
.
Exemplos
𝒇 𝒙 𝒙, 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙 𝟒
𝒚 𝟓
= 𝟏𝟐𝒙 𝟑 𝒚 𝟓
Derivada com
relação a 𝑥
mantendo 𝑦 como
uma constante.
Notação
alternativ
a.
𝒚 𝟓
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙 𝟒 =
O 𝑦 é uma
constante.
Pode sair do
operador
Usando a
regra do
tombo,
𝟑 ⋅ 𝟒 = 𝟏𝟐
𝝏𝒛
𝝏𝒙
=
𝒇 𝒚 𝒙, 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟑𝒙 𝟒
𝒚 𝟓
= 𝟏𝟓𝒙 𝟒 𝒚 𝟒
Derivada com
relação a 𝑦
mantendo 𝑥 como
uma constante.
Notação
alternativ
a.
𝒙 𝟒
𝝏
𝝏𝒚
𝟑𝒚 𝟓 =
O 𝑥 é uma
constante.
Pode sair do
operador
Usando a
regra do
tombo,
𝟑 ⋅ 𝟓 = 𝟏𝟓
𝝏𝒛
𝝏𝒚
=

20. 3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Exemplos
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
Derivada com
relação a 𝑥
mantendo 𝑦 como
uma constante.
Usando a
regra do
tombo, fica
𝟐𝒙
Nota-se que 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função composta, do tipo sin(ℎ(𝑥, 𝑦)),
onde ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦.
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐
𝒚 =
Derivada de
fora
O 𝑦 é uma
constante.
Pode sair do
operador
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅ 𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐
= 𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚

21. 3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Exemplos
𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
Derivada com
relação a y
mantendo x como
uma constante.
Usando a
regra do
tombo, fica
1
Nota-se que 𝑓(𝑥, 𝑦) é uma função composta, do tipo sin(ℎ(𝑥, 𝑦)),
onde ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦.
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒚
𝒙 𝟐
𝒚 =
Derivada de
fora
O 𝑥 é uma
constante.
Pode sair do
operador
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅ 𝒙 𝟐
⋅
𝝏
𝝏𝒚
𝒚 = 𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚
Derivada de fora
Derivada de
dentro

22. 4. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de 𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Derivadas
sucessivas
Já temos o resultado das derivadas de primeira ordem
. 𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) = 𝒙 𝟐
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
𝝏 𝟐
𝝏𝒙 𝟐
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
Vamos calcular, então,
𝝏 𝟐
𝝏𝒙 𝟐 sin(𝒙 𝟐 𝒚) e
𝝏 𝟐
𝝏𝒚 𝟐 sin(𝒙 𝟐 𝒚) .
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒙
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟐𝒙𝒚 ⋅ co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟐𝒙𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒙
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒙
sin 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝟐𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟐𝒙𝒚 − sin 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐
𝒚 =
𝟐𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚 ⋅ 𝟐𝒙𝒚 = 𝟐𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟒𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 sin 𝒙 𝟐 𝒚
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ª função
1ª função
Derivada
da 2ª
função
Função composta

23. x é constante
4. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de 𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Derivadas
sucessivas
Já temos o resultado das derivadas de primeira ordem
. 𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) = 𝒙 𝟐
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
𝝏 𝟐
𝝏𝒚 𝟐
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
Vamos calcular, então,
𝝏 𝟐
𝝏𝒙 𝟐 sin(𝒙 𝟐 𝒚) e
𝝏 𝟐
𝝏𝒚 𝟐 sin(𝒙 𝟐 𝒚) .
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒚
𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒚
sin 𝒙 𝟐 𝒚 =
Função
composta
𝒙 𝟐
𝝏
𝝏𝒚
co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
−𝒙 𝟐
sen 𝒙 𝟐
𝒚
𝝏
𝝏𝒚
𝒙 𝟐
𝒚 =
x é constante
−𝒙 𝟒
sen 𝒙 𝟐
𝒚
Derivada
de fora
Derivada
de dentro

24. 5. Calcule as derivadas parciais mistas de ordem 2 da função 𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Derivadas
sucessivas
Já temos o resultado das derivadas de primeira ordem
. 𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) = 𝒙 𝟐
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) =
Vamos calcular, então,
𝝏 𝟐
𝝏𝒚𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) e
𝝏 𝟐
𝝏𝒙𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐 𝒚).
𝝏 𝟐
𝝏𝒚𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
𝝏
𝝏𝒚
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒙
sin 𝒙 𝟐 𝒚 =
Regra do
produto
𝝏
𝝏𝒚
𝟐𝒙𝒚 ⋅ co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟐𝒙𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒚
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝟐𝒙𝒚 − sin 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒚
𝒙 𝟐
𝒚 =
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ª função
1ª função
Derivada
da 2ª
função
𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚 ⋅ 𝒙 𝟐 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚

25. 5. Calcule as derivadas parciais mistas de ordem 2 da função 𝐳 = 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝐬𝐢𝐧(𝒙 𝟐 𝒚).
Derivadas
sucessivas
Já temos o resultado das derivadas de primeira ordem
. 𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) = 𝒙 𝟐
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) =
Vamos calcular, então,
𝝏 𝟐
𝝏𝒚𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐 𝒚) e
𝝏 𝟐
𝝏𝒙𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐 𝒚).
𝝏 𝟐
𝝏𝒙𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
sin 𝒙 𝟐 𝒚 =
Regra do
produto
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐
⋅ co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝒙 𝟐
⋅
𝝏
𝝏𝒙
co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐
𝒚 + 𝒙 𝟐
− sin 𝒙 𝟐
𝒚 ⋅
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐
𝒚 =
Regra do
produto
Derivada
da 1ª
função
2ª função
1ª função
Derivada
da 2ª
função
𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝒙 𝟐 sin 𝒙 𝟐 𝒚 ⋅ 𝟐𝒙𝒚 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚
Mesmo resultado 

26. Resumindo os exercícios 4, 5 e 6
Derivadas
sucessivas
Já temos o resultado das derivadas de primeira ordem
. 𝝏
𝝏𝒚
sin(𝒙 𝟐 𝒚) = 𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚
𝝏
𝝏𝒙
sin(𝒙 𝟐
𝒚) =
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
sin 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚
𝝏 𝟐
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒙
sin 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟐𝒙 𝟑 𝒚 sin 𝒙 𝟐 𝒚
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙 𝟐
=
𝝏
𝝏𝒙
𝟐𝒙𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒙
sin 𝒙 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒚 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 − 𝟒𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 sin 𝒙 𝟐 𝒚
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚 𝟐
=
𝝏
𝝏𝒚
𝒙 𝟐 co𝑠 𝒙 𝟐 𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒚
sin 𝒙 𝟐
𝒚 = −𝒙 𝟒 sen 𝒙 𝟐 𝒚
Resultado Importante

27. Teorema de Clairaut
Teorema de Clairaut Suponha que 𝑓(𝑥, 𝑦) seja definida em uma bola
aberta 𝐷 que contenha o ponto (𝑎, 𝑏). Se as funções
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
e
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
forem ambas contínuas em 𝐷, então
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥2 𝑦3 – 2𝑦2.Considere a função
Analise as seguintes derivadas mistas:
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
= 3𝑥2 + 2𝑥𝑦3
𝝏
𝝏𝒙
𝑥3 + 𝑥2 𝑦3 – 2𝑦2 = 𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
= 3𝑥2 𝑦2 – 4𝑦
𝝏 𝟐
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇 𝒙, 𝒚
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
3𝑥2 𝑦2 – 4𝑦 = 6𝑥𝑦2
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇 𝒙, 𝒚
𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
3𝑥2 + 2𝑥𝑦3 = 6𝑥𝑦2
𝒚 se torna
constante
Mesmo
resultado

28. Teorema de Clairaut
Teorema de Clairaut Suponha que 𝑓(𝑥, 𝑦) seja definida em uma bola
aberta 𝐷 que contenha o ponto (𝑎, 𝑏). Se as funções
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
e
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
forem ambas contínuas em 𝐷, então
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏 𝟐 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙
Você também pode verificar que
𝝏 𝟑 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚 𝟐
=
𝝏 𝟑 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚 𝟐 𝝏𝒙
=
𝝏 𝟑 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏 𝟑
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚𝝏𝒙 𝟐
=
𝝏 𝟑
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙 𝟐 𝝏𝒚
=
𝝏 𝟑
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙𝝏𝒚𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇(𝒙, 𝒚)
𝝏𝒙
=
E ainda verificar que

29. Anote suas dúvidas!
Estarei sempre disposto a tirar vossas dúvidas. Boa leitura!