1) O documento apresenta questões sobre aritmética, incluindo propriedades de quadrados e sequências numéricas, a equação pitagórica e o pequeno teorema de Fermat. 2) A questão 1 mostra que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados pode ser escrita na forma 4n+3 e analisa algumas sequências numéricas. 3) A questão 2 define termos relacionados à equação pitagórica e mostra que a média aritmética da hipotenusa com um cateto é um quadrado.

1. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA
COLÉGIO PEDRO II - CPII
Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura
Avaliação 3 - Aritmética - MA14 - 2016
Prof.
a
Luciana S. da Silva Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
a) Mostre que nenhum quadrado ou soma de dois quadrados é da forma 4n + 3
Se a ∈ Z então a é de uma das formas abaixo:
a = 4k ⇒ a2
= (4k)
2
= 16k2
= 4.4k2
a = 4k + 1 ⇒ a2
= (4k + 1)
2
= 16k2
+ 8k + 1 = 4.(4k2
+ 2k) + 1
a = 4k + 2 ⇒ a2
= (4k + 2)
2
= 16k2
+ 16k + 4 = 4.(4k2
+ 4k + 1)
a = 4k + 3 ⇒ a2
= (4k + 3)
2
= 16k2
+ 24k + 9 = 4.(4k2
+ 6k + 2) + 1
Logo, todo quadrado é da forma 4k ou 4k + 1.
Assim temos, para a soma de dois quadrados:
4k + 4k = 8k = 4.(2k)
4k + 4k + 1 = 8k + 1 = 4.(2k) + 1
4k + 1 + 4k + 1 = 8k + 2 = 4.(2k) + 2
Logo, toda soma de quadrados é da forma 4k, 4k + 1 ou 4k + 2
b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11, 111, 1111, ... é um quadrado ou soma de dois quadrados
Observe que todo número dessa sequência pode ser escrito como 100n + 11, com n ∈ N,
sendo 100n + 11 = 4.(25n + 2) + 3. E o resultado está dado, de acordo com o que vimos no item a.
c) Mostre que nenhum elemento das sequências
44, 444, 4444, ... , 55, 555, 5555, ... , 99, 999, 9999, ...
é um quadrado ou soma de dois quadrados
Observe que 444... = 4.111... e 999... = 9.111.... Logo, se 444... ou 999... fosse um quadrado o número 111... também
o seria, o que não pode ocorrer de acordo com o que vimos no item b.
Por outro lado, 555... = 100n + 55, com n ∈ N. Assim 555... = 100n + 55 = 4.(25n + 13) + 3, que também não pode
ser um quadrado.
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
Sobre a Equação Pitagórica faça o que é pedido:
a) Dena terno pitagórico, triângulo pitagórico primitivo e terno pitagórico primitivo
. Um terno (a, b, c) de números naturais será dito um terno pitagórico quando for solução da equação pitagórica, ou seja,
quando a2
+ b2
= c2
.
. Chamaremos de triângulo pitagórico primitivo a um triângulo retângulo cujos lados são números naturais coprimos.
. Um terno que representa os lados de um triângulo pitagórico primitivo será chamado de terno pitagórico primitivo.

2. b) Sejam n e m números natrais, com n m, (n, m) = 1 e de paridades diferentes. Dados os números a = n2
− m2
,
b = 2nm e c = n2
+ m2
, soluções primitivas devidas à Euclides da Equação Pitagórica X2
+ Y 2
= Z2
, mostre que a
média aritmética da hipotenusa com o cateto ímpar de um triângulo pitagórico primitivo é um quadrado.
De fato, pelas soluções de Euclides, temos a hipotenusa c = n2
+ m2
e o cateto ímpar a = n2
− m2
. Assim
a+c
2 = n2
−m2
+n2
+m2
2 = n2
.
Questão 3 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Sobre o Pequeno Teorema de Fermat faça o que é pedido:
a) Enuncie o Pequeno Teorema de Fermat.
Pequeno Teorema de Fermat: Dado um número primo p, tem-se que p divide o número ap
− a, para todo a ∈ Z.
b) Enuncie o caso particular do Pequeno Teorema de Fermat para o caso de um número natural a não divisível por um
primo, p
Corolário: Se p é um primo e se a é um número natural não divisível por p, então p divide ap−1
− 1
c) Mostre que a12
− b12
é divisível por 13, se a e b são primos com 13
Se (a, 13) = (b, 13) = 1, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos que 13 | a12
− 1 e 13 | b12
− 1.
Logo 13 | [a12
− 1 − (b12
− 1)], ou ainda, 13 | a12
− b12
.
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
a) Mostre por indução que para todo n ≥ 1 tem-se que Fn = 22n
+ 1 ≡ 5 mod 12
Fn = 22n
+ 1 ≡ 5 mod 12 é equivalente a 22n
≡ 4 mod 12, que provaremos por indução.
Para n = 1 temos 22
≡ 4 mod 12.
Suponhamos que 22n−1
≡ 4 mod 12.
Assim (22n−1
)
2
≡ 42
mod 12, ou ainda, 22n−1
.2
≡ 16 mod 12, ou ainda, 22n
≡ 4 mod 12, como queríamos demonstrar.
b) Mostre que nenhum número de Fermat pode ser um quadrado
Para mostrar que nenhum número de Fermat é um quadrado, de acordo com o item a basta mostrar que a congruência
X2
≡ 5 mod 12 não admite solução.
Sabe-se que X2
≡ 5 mod 12 tem solução se, e somente se, ambas as congruências X2
≡ 5 mod 4 e X2
≡ 5 mod 3, ou
ainda, X2
≡ 1 mod 4 e X2
≡ 2 mod 3 possuem uma solução em comum.
Mas, X2
≡ 2 mod 3 não possui solução. De fato:
a = 3q ⇒ a2
= 9q2
= 3.3q2
⇒ resto 0
a = 3q + 1 ⇒ a2
= 9q2
+ 6q + 1 = 3.(3q2
+ 2q) + 1 ⇒ resto 1
a = 3q + 2 ⇒ a2
= 9q2
+ 12q + 4 = 3.(3q2
+ 4q + 1) + 1 ⇒ resto 1
Assim, X2
≡ 5 mod 12 não admite solução.
Questão 5 [2,00 pts]
Determine quantas e quais são as soluções incongruentes mod 20 da congruência 12X ≡ −36 mod 20.
Como d = (12, 20) = 4, a congruência possui quatro soluções incongruentes módulo m = 20.
É evidente que x0 = −3 ≡ 17 mod 20 é solução. Logo as soluções incongruentes módulo 20 são dadas por:
x0 = 17
x0 + m
d = 17 + 20
4 = 22
x0 + 2m
d = 17 + 10 = 27
2

3. x0 + 3m
d = 17 + 15 = 32
3